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2013年高中数学 1.7 1定积分的应用教案新人教A版选修2-2一、主要内容：1．面积：了解定积分的元素法，掌握用两条、三条、四条简单曲线所围平面图形的面积，并能根据图形选用以y作积分变量以简化计算过程；会用参数方程求解常用图形（圆、星形线）的面积，能用极坐标求用极坐标表示的圆、阿基米德螺线的图形的面积2．体积：掌握简单图形分别绕x轴、y轴旋转所得旋转体体积，能在平行截面面积为已知时求立体的体积3．弧长：掌握用参数方程所表示的常用曲线（圆、星形线等）的弧长4．功：会求在变力沿直线所作的功5．习题课2学时二、具体的内容分配如下：习题6－1：定积分的元素法，平面图形的面积, 旋转体体积(1)习题6－2：旋转体体积(2)，平面曲线的弧长，变力沿直线所作的功总习题六：三、习题内容：习题6—1一、填空题1、曲线x e y =，x 轴及直线()ln ,ln 0.x a x b b a ==，围成图形面积 是_____2、由曲线θcos 2a r =所围成图形的面积是 二、选择题1、曲线3x y =与直线1,0==y x 围成的面积是（ ） A ．43 B ．1 C ．34 D ．32 2、由x 轴、曲线2x y =和直线32=x 围成的图形面积被直线k x =分成两个相等的面积，则 k 应为（ ）A ．322- B ．612 C ．1 D ．312-三、求解题1、用定积分计算下列图形的面积 （1）由曲线222,1x y x y =+=围成（2）由曲线21y x=与直线4,==y x y 围成（3）由曲线x y 42=与圆()4122=+-y x 围成2、求星形线｛33cos sin x a ty a t==所围成0.的面积 3、求以下极坐标所表示的图形的面积 （1）心形线()θcos 1-=a r 围成（2）对数螺线a r e θ=对应θ从0到2π的一段与极轴所围成 （3）伯努利双纽线θ2cos 22a r =右边一支（即对应θ从4π-到4π的一段）习题 6—2 一、填空题1、连续曲线()x f y = ()()0≥x f ，直线b x a x ==,()b a 及x 轴所围成图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积是______2、曲线2x y =及直线1=y 所围成图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积是_______ 二、选择题1、由曲线2x y =与直线x y =围成平面图形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积是（ ）A ．()dx x x ⎰-102π Ｂ．)21d y y π-⎰Ｃ．()⎰-1042dx x x π Ｄ．()dy y y ⎰-102π2、底面为圆422=+y x ，垂直于x 轴的所有截面都是正方形的立体体积为（ ）A. 3121 B. 3210 C. 3242 D. 3185 三、解答题1、求下列旋转体的体积（1）曲线x y sin = ()π≤≤x 0与x 轴所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转（2）曲线x y =与直线2-=x y ，0=y 所围成的图形分别绕x 轴、y轴旋转（3）星形线｛ta y t a x 33sin cos == ()π≤≤t 0绕x 轴旋转2、求底面为园222R y x =+，而垂直于x 轴的所有截面都是等边三角形的立体的体积习题6—3一、求下列弧线段的长度1、星形线｛ta y ta x 33sin cos ==的全长 2、抛物线x y 2= 从()2,1到()4,4的一段二、根据虎克定律，弹簧的倔强系数为k ，把弹簧拉长x 的拉力为kx f =，求将一根弹簧从原长拉伸x 的长度，外力做的功三、在一个半径为R 的半球形容器里盛放着密度为ρ的液体，求为将液体吸出容器至少应做多少功四、水渠的截面为一等腰梯形，上、下底分别为2m 和1m ，深为2m ，水渠上有一闸门，求渠水满时对闸门的压力（水的密度31000m kg=ρ）。
第10章 定积分的应用10.1 复习笔记一、平面图形的面积由连续曲线()(0)y f x =≥，以及直线,()x a x b a b ==<和x 轴所围曲边梯形的面积为()b baaA f x dx ydx ==⎰⎰如果()f x 在[,]a b 上不都是非负的，则所围图形的面积为()b baaA f x dx y dx ==⎰⎰一般地，由上、下两条连续曲线2()y f x =与1()y f x =以及两条直线,()x a x b a b ==<所围的平面图形(图l0-1)，它的面积计算公式为21[()()]baA f x f x dx =⎰－图10-1二、由平行截面面积求体积 1．立体体积的一般计算公式 设为三维空间中的一立体，它夹在垂直于x 轴的两平面x ＝a 与x ＝b 之间（a ＜b ），称为位于[a，b]上的立体，若在任意一点x∈[a，b]处作垂直于x轴的平面，它截得的截面面积是关于x的函数，记为A（x），并称之为的截面面积函数（见图10-2），设A（x）是连续函数．图10-2 图10-3对[a，b]作分割过各个分点作垂直于x轴的平面x＝xi，i＝1,2,…，n，它们把分割成n个薄片,i＝1，2，…，n任取那么每一薄片的体积（见图10-3）于是由定积分的定义和连续函数的可积性，当时，上式右边的极限存在，即为函数A （x）在[a，b]上的定积分，于是立体的体积定义为2．旋转体的体积a b上的连续函数，Ω是由平面图形设f是[,]≤≤≤≤0|||f(x)|,ay x b绕x轴旋转一周所得的旋转体，那么易知截面面积函数为2()[()],[,]A x f x x a b π=∈得到旋转体Ω的体积公式为2=[()]baV f x dxπ⎰三、平面曲线的弧长与曲率 1．平面曲线的弧长 （1）定义①如果存在有限极限ss T T =→0||||lim即任给0ε>，恒存在0δ>，使得对C 的任意分割T ，只要||||T δ<，就有|s |T s ε-<则称曲线C 是可求长的，并把极限s 定义为曲线C 的弧长．②设曲线AB 是一条没有自交点的闭的平面曲线．在AB 上任取点P ,将AB 分成两段非闭曲线，如果AP 和PB 都是可求长的，则称AB 是可求长的，并把AP 的弧长和PB 的弧长的和定义为AB 的弧长．③设曲线C 由参数方程(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈给出．如果(t)x 与()y t 在[,]αβ上连续可微，且'()x t 与'()y t 不同时为零,即''()()0x t y t +≠，],[βα∈t ，则称C 为一条光滑曲线．（2）定理设曲线C 是一条没有自交点的非闭的平面曲线，由参数方程(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈ （10-1）给出．若()x t 与()y t 在[,]αβ上连续可微，则C 是可求长的，且弧长为'2'2[()][()]s x t y t dt βα=+⎰ （10-2）（3）性质设AB 是一条没有自交点的非闭的可求长的平面曲线．如果D 是AB 上一点，则和AD 和DB 也是可求长的，并且AB 的弧长等于AD 的弧长与DB 的弧长的和．2．曲率 （1）定义如图10-4，设()t α表示曲线在点((),())P x t y t 处切线的倾角，==()()t t t ααα∆+∆-表示动点由P 沿曲线移至))(),((t t y x t x Q ∆+∆+时切线倾角的增量，若PQ 之长为s ∆，则称||K sα-∆=∆为弧段PQ 的平均曲率．如果存在有限极限|||lim ||lim |00dsd s s K s t ααα=∆∆=∆∆=→∆→∆则称此极限K 为曲线C 在点P 处的曲率．图10-4（2）计算公式设曲线C 是一条光滑的平面曲线，由参数方程（10-1）给出，则曲率的计算公式为2322)(||''''''''y x y x y x K +-=若曲线由()y f x =表示,则相应的曲率公式为2''3'2||(1+y )y K =四、旋转曲面的面积1．设平面光滑曲线C 的方程为(),[,]y f x x a b =∈（不妨设()0f x ≥），这段曲线绕x 轴旋转一周得到旋转曲面的面积为2(baS f x π=⎰2．如果光滑曲线C 由参数方程(),(),[,]x x ty y t t αβ==∈给出，且()0y t ≥，那么由弧微分知识推知曲线C 绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积为2(S y t βαπ=⎰五、定积分的近似计算 1．梯形法公式121()(...)22bn n ay y b a f x dx y y y n --=+++++⎰2．抛物线法公式（辛普森Simpsom 公式）021*******()[4(...y )2(...)]6bn n n ab af x dx y y y y y y y n---≈+++++++++⎰10.2 课后习题详解§1 平面图形的面积1．求由抛物线y ＝x 2与y ＝2－x 2所围图形的面积．解：该平面图形如图10-1所示．两条曲线的交点为（－1，1）和（1，1），所围图形的面积为图10-12．求由曲线与直线所围图形的面积．解：该平面图形如图10-2所示．所围图形的面积为。
第四章DISIZHANG定积分§3定积分的简单应用课后篇巩固提升A组1.设f(x)在区间[a,b]上连续,则曲线f(x)与直线x=a,x=b,y=0围成的图形的面积为( )A.∫ba f(x)dx B.|∫f(x)badx|C.∫ba|f(x)|dx D.以上都不对f(x)在区间[a,b]上满足f(x)<0时,∫baf(x)dx<0,排除A;当围成的图形同时存在于x轴上方与下方时,∫baf(x)dx是两图形面积之差,排除B;无论什么情况C都正确.2.下列各阴影部分的面积S不可以用S=∫ba[f(x)-g(x)]dx求出的是( )S=∫ba[f(x)-g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积,必须注意f(x)的图像要在g(x)的图像上方,对照各选项可知,D项中的f(x)的图像不全在g(x)的图像上方.故选D.3.如图,由函数f(x)=e x-e的图像,直线x=2及x轴围成的阴影部分的面积等于( )A.e2-2e-1B.e2-2eC.e 2-e 2D.e2-2e+1S=∫21f(x)dx=∫21(e x-e)dx=(e x-e·x)|12=e2-2e.4.直线y=2x,x=1,x=2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到一个圆台,则该圆台的体积为( )A.28π3B.32π C.4π3D.3πV=∫21π·(2x)2dx=π∫214x2dx=4π·13x3|12=4π3(8-1)=28π3.5.如图所示,在边长为1的正方形OABC中,任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为( )A.14B.15C.16D.17{y=√x,y=x,得O(0,0),B(1,1).则S阴影=∫1(√x-x)dx=(23x 32-x 22)|01=23−12=16.故所求概率为S 阴影S 正方形=161=16.6.曲线y=cos x (π2≤x ≤3π2)与x 轴围成的平面图形的面积为 .解析由图可知,曲线y=cosx (π2≤x ≤3π2)与x 轴围成的平面图形的面积S=∫3π2π2cos xdx=-sin xπ23π2=(-sin3π2)−(-sin π2)=2.7.在同一坐标系中,作出曲线xy=1和直线y=x 以及直线y=3的图像如图所示,则阴影部分的面积为 . ∫113(3-1x )dx+∫31(3-x)dx=(3x-lnx)|131+(3x -12x 2)|13=3-(1-ln 13)+(9-12×32)−(3-12)=4-ln3.8.计算由y 2=x,y=x 2所围成图形的面积.,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线的交点的横坐标.解方程组{y 2=x ,y =x 2,得出交点的横坐标为x=0或x=1.因此,所求图形的面积S=∫10(√x -x2)dx,又因为(23x 32-13x 3)'=x 12-x 2,所以S=(23x 32-13x 3)|01=23−13=13.9.求由曲线y=x 2+4与直线y=5x,x=0,x=4所围成的平面图形的面积.,如图所示.所求平面图形为图中阴影部分.解方程组{y =x 2+4,y =5x ,得交点为A(1,5),B(4,20).故所求平面图形的面积S=∫1(x 2+4-5x)dx+∫41(5x-x 2-4)dx=(13x 3+4x -52x 2)|01+(52x 2-13x 3-4x)|14=13+4-52+52×42-13×43-4×4-52+13+4=193.10.求抛物线y 2=2x 与直线y=4-x 围成的平面图形的面积.{y 2=2x ,y =4-x得抛物线和直线的交点为(2,2)及(8,-4).方法一:选x 作为积分变量,由图可得S=S A 1+S A 2.在A 1部分:由于抛物线的上部分方程为y=√2x ,下部分方程为y=-√2x ,所以S A 1=∫2[√2x -(-√2x )]dx=2√2∫20x 12dx=2√2·23x 32|02=163.S A 2=∫82[4-x-(-√2x )]dx =(4x -12x 2+2√23x 32)|28=383.所以S=163+383=18.方法二:∵y 2=2x,∴x=12y 2. 由y=4-x.得x=4-y,∴S=∫2-4(4-y -12y 2)dy=(4y -12y 2-16y 3)|-42=18.B 组1.如图,已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=-32,x=2围成的图形面积为S 1=1,S 2=3,S 3=32,则∫2-32f(x)dx 等于( )A.112B.12C.-12D.72∫2-32f(x)dx=∫-1-32f(x)dx+∫1-1f(x)dx+∫21f(x)dx=S 1-S 2+S 3=1-3+32=-12.2.设直线y=1与y 轴交于点A,与曲线y=x 3交于点B,O 为原点,记线段OA,AB 及曲线y=x 3围成的区域为Ω.在Ω内随机取一点P,已知点P 取在△OAB 内的概率等于23,则图中阴影部分的面积为( )A.13B.14C.15D.16{y =1,y =x 3,解得{x =1,y =1. 则曲边梯形OAB 的面积为∫1(1-x 3)dx=(x -14x 4) 01=1-14=34.∵在Ω内随机取一个点P,点P 取在△OAB 内的概率等于23, ∴点P 取在阴影部分的概率等于1-23=13,∴图中阴影部分的面积为34×13=14.故选B.3.如图所示,直线y=kx 分抛物线y=x-x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分,则k 的值为 .y=x-x 2与x 轴两交点横坐标为0,1,∴抛物线与x 轴所围成图形的面积为S=∫1(x-x 2)dx=(x 22-x 33)|01=16,抛物线y=x-x 2与直线y=kx 的两交点横坐标为0,1-k.∴S 2=∫1-k0(x-x 2-kx)dx=(1-k2x 2-x33)|01-k =16(1-k)3.又∵S=16,∴(1-k)3=12.∴k=1-√123=1-√432. 1-√4324.由直线y=x 和曲线y=x 3(x≥0)所围成的平面图形,绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 .{y =x ,y =x 3(x ≥0),得{x =0,y =0,或{x =1,y =1.故所求体积V=∫1πx 2dx-∫10πx 6dx=π∫10x 2dx-π∫1x 6dx=π(13x 3|01-17x 7|01)=π(13-17)=4π21.5.已知函数f(x)=x 3-x 2+x+1,求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)=x 2围成的图形的面积.(1,2)为曲线f(x)=x 3-x 2+x+1上的点,设过点(1,2)处的切线的斜率为k,则k=f'(1)=3×12-2×1+1=2,∴过点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.∴y=2x 与函数g(x)=x 2围成的图形如图.由{y =x 2,y =2x可得交点A(2,4). 又S △AOB =12×2×4=4,g(x)=x 2与直线x=2,x 轴围成的区域的面积S=∫20x 2dx=13x3|02=83,∴y=2x 与函数g(x)=x 2围成的图形的面积为S'=S △AOB -S=4-83=43.。
第⼗章定积分应⽤习题课第⼗章定积分应⽤习题课⼀⾯积1．求平⾯图形的⾯积1）若曲线()0y f x =≥，x 轴及直线,x a x b ==所围曲边梯形的⾯积为()b baaA f x dx ydx ==??．2）由连续曲线()0y f x =≤，x 轴及直线,x a x b ==所围曲边梯形的⾯积为()b baaA f x dx ydx =-=-??．3）如果连续曲线()y f x =在[],a b 上可正可负，则所围图形的⾯积为()b baaA f x dx y dx ==??．4）由上、下两条连续曲线()2yf x =与()1y f x =以及两条直线,x a x b ==所围的平⾯图形，它的⾯积计算公式为()()21baA f x f x dx =-．5）由左右两条连续曲线1()x g y =，2()x g y =，及直线c y =与d y =所围成，则围成图形的⾯积为()21A [()]d d cg y g y y =-?．6) 由上下两条连续曲线()y f x =与()y g x =（它们可能相交）以及两条直线,x a xb ==所围的平⾯图形，它的⾯积计算公式为()()baA f x g x dx =-?．7）由左右两条连续曲线1()xg y =，2()x g y =（它们可能相交），及直线c y =与d y =所围成，则围成图形的⾯积为()21A ()d d cg y g y y =-?．如果所求平⾯图形是属于上述情形之⼀，就不需画图，直接⽤上述公式，否则就需画图选⽤相应公式．求平⾯图形的步骤：（1）先画草图，并求出边界曲线有关交点．（2）确定积分变量与积分区间．例1．求由抛物线2y x =与直线230x y --=所围平⾯图形的⾯积A ．解法⼀（上下曲线）先求出抛物线与直线的交点()1,1P-，()9,3Q ．⽤1x =把图形分为左、右两部分，应⽤公式分别求得它们的⾯积为(11042,3A dx ?=-==92132823x A dx -?=-=．所以12323A A A =+=．法⼆(左右曲线)．把抛物线和直线⽅程改写成()21x y g y ==，()223x y g y =+=，[]1,3y ∈-．则()()()332211132233A g y g y dy y y dy --=-=+-=．例2 计算椭圆12222=+by a x 所围成的平⾯图形⾯积．解由于椭圆关于x 轴及y 轴对称，所以只需计算位于第⼀象限部分的⾯积，然后乘以4就得到所求平⾯图形⾯积．由12222=+by a x ，解得22x a a by -±=，故第⼀象限的椭圆的⽅程是22x a aby -=从⽽04A =?，()2220041sin cos sin 4cos 422b x a t a td a t ab tdt ab ab a ππππ===??=??令．特别地，当R b a ==时，得圆的⾯积2A R π=．注：计算平⾯图形⾯积时，尽可能利⽤图形的对称性，以简化计算．2．参数⽅程的⾯积若所给的曲线⽅程为参数形式：()()x x t y y t =??=? （t αβ≤≤），其中()y t 是连续函数，()x t 是连续可微函数，且()0x t '≥且()x a α=，()x b β=，那么由()()x x t y y t =??=?，x 轴及直线,x a x b ==所围图形的⾯积A 的公式为||()|()()|A y dx t y t x t dt ββαα'==??．（αβ<）．如果由参数⽅程所表⽰的曲线是封闭的，即有()()x x αβ=，()()y y αβ=且在(),αβ内曲线⾃⾝不再相交，那么由曲线⾃⾝所围图形的⾯积为()()A y t x t dt βα'=(或()()?'βαdt t y t x )．例2另解1：化椭圆为参数⽅程cos ,sin ,x a t y b t =??=?02t π≤≤ 则所求⾯积为20A sin (cos )πb t a t dt πab '==?．另解2：第⼀象限参数⽅程为cos ,0sin ,2x a t t y b t π=?≤≤?=?，()()()2222014||4|sin sin |4sin 422A y t x t dt b t a t dt ab tdt abab πππππ'==-===．例3 求内摆线323232a y x =+所围成的⾯积．解令33cos ,sin ,x a t y a t ?=?=?由曲线既关于轴x 对称，也关于y 轴对称，只须计算第⼀象限内的⾯积1A ，再乘以4即可，于是()()()()332422220242246222006224||4sin cos 12sin cos 12sin 1sin 12sin sin 31531312.42264228A y t x t dt a t a t dt a t tdta t t dt a tdt tdt a a πππππππππ''===??=-=-??=-?=3．极坐标⽅程1）曲线()θr r =与射线()βαβθαθ<==,围成的曲边扇形的⾯积()?=βαθθd r S 2212）曲线()1r r θ=，()2r r θ=与射线()βαβθαθ<==,围成的曲边扇形的⾯积()()222112S r r d βαθθθ??=-．例4 由下列极坐标⽅程式所表曲线围成的⾯积A ，⽅程中的0a >．（1）θ2cos 2 2a r =（双纽线）；（2）()θcos 1+=a r （⼼脏形线）；（3）θ3sin a r =（三叶线）．解（1）由图形关于x 轴与y 轴对称，只需计算第⼀象限⾯积1A ，再乘以4即可，由在第⼀象限20π≤时，02cos 22≥=θa r ，知40πθ≤≤，即1A 看成θ2cos a r =与4,0πθθ==所围成，故2224410144cos 2sin 22A A a d a a ππθθθ==?==?．（2）由图形关于x 轴对称，在第⼀，⼆象限，当πθ≤≤0时，需求()0cos 1≥+=θa r ，知πθ≤≤0，故所求⾯积为()2221013221cos 22A A a d a πθθπ==?+=?．（3）由图形知，所求⾯积A 为第⼀象限内⾯积1A 的3倍，由20πθ≤≤时，要求03sin ≥=θa r ，知πθ≤≤30，即30πθ≤≤时，0≥r ，于是()223102330133sin 323311cos 6sin 6.4464A A a d a a a d πππθθπθθθθ===-=-=⼆体积1）设⼀⼏何体夹在a x =和b x =这两个平⾏平⾯之间，⽤垂直于x 轴的平⾯去截此⼏何体，设截⾯与x 轴交点为(),0x ，可得的截⾯⾯积为()A x ，如果()A x 是],[b a 上的可连续函数，此时，取x 为积分变量，它的变化区间为],[b a ．相应于],[b a 上的任⼀⼩区间[,]x x x +?的⽴体薄⽚的体积近似于底⾯积为()A x 、⾼为x d 的圆柱体的体积即体积微元d ()d VA x x =，因此所求⽴体的体积为()d baV A x x =?．2）由连续曲线()0y f x =≥、直线a x =、b x =及x 轴所围成的曲边梯形绕x ⼀周⽽成的旋转体的体积()2bx aV f x dx π=?．3）由连续曲线()0y f x =≥、直线a x =、b x =及x 轴所围成的曲边梯形绕绕y 轴旋转⼀周的体积()dx x xf V b ay ?=π2．4）平⾯图形由曲线()y g x =()0≥与直线c y =，d y =和y 轴围成绕y 轴旋转⼀周的体积()?=dcy dy y g V 2π，5）平⾯图形由曲线()y g x =()0≥与直线c y =，d y =和y 轴围成绕x 轴旋转⼀周的体积()?=dcx dy y yg V π2．6）平⾯区域?>≤≤≤≤)0()()(,a x f y x gb x a 绕x 轴旋转⼀周所形成的旋转体体积为 ?-=badx x g x f V .)]()([22π7）平⾯区域>≤≤≤≤)0()()(,a x f y x gb x a 绕y 轴旋转⼀周所形成的旋转体体积为-=badx x g x f x V .)]()([2π例5 ⼀平⾯经过半径为R 的圆柱体的底圆中⼼，并与底⾯交成⾓α，求此平⾯截圆柱体所得⽴体的体积．解取此平⾯与圆柱体的底⾯的交线为x 轴，底⾯上过圆⼼且垂直于x 轴的直线为y 轴，那么底圆的⽅程为2 22R y x =+．⽴体中过x 轴上的点x 且垂直于x 轴的截⾯是⼀个直⾓三⾓形，它的两条直⾓边的长分别为y 和αtan y ，即22x R -及αtan 22x R -，因⽽截⾯⾯积为αtan )(21)(22x R x A -=，于是所求体积为x x R V RR d tan )(2122?--=αααtan 32tan )31(21332R x x R RR =-=-．例6 求椭球球体体积：2222221x y z a b c++=．解：⽤垂直于x 轴的平⾯截椭球得截⾯为⼀椭圆，它在平⾯yoz 上的投影为222222221(1)(1)y z x x b c aa+=--，从⽽得截⾯⾯积为22()(1)x s x bc aπ=-，于是所求的椭球体积为224()(1)3aaa a x V s x dx bc dx abc a ππ--==-=??．注当a b c R ===得球2222x y z R ++=的体积为343R π．例7 求下列平⾯图形绕坐标轴旋转⼀周所得的体积()π≤≤==x y x y 00,sin ．（1）绕x 轴；（2）绕y 轴．解（1）221cos 2sin 22x x V xdx dx πππππ-===?；（2）()()??--=12102arcsin arcsin dy y dy y V y πππ()-=-=123102arcsin 2arcsin 2ydy dy y πππππ．()()().212112211arcsin 2210 2122210212231021023πππππππ=??--=?--+-=??-?--=??-y y d y dy y y y y另⼀解法02sin 2cos y V x xdx xd x ππππ==-?2002cos cos 2ππππ=??--=xdx x x ．注：从上⾯的两种解法中可看出，知道的公式越多，解决问题越⽅便，但要理解公式，记住公式．例8 过点()0,1P 作抛物线2-=x y 的切线，该切线与上述抛物线及x 轴围成⼀平⾯图形，求此图形绕x 轴旋转⼀周所成旋转体的体积．解设所作切线与抛物线相切于点()2,00-x x ，因,22100-='=x y x x故切线⽅程为().2212000x x x x y --=--⼜因该切线过点()0,1P ，所以(),12212000x x x --=--即30=x ．从⽽切线⽅程为().121-=x y 因此所求旋转体的体积 ()()33212112.46V x dx x dx πππ=---=??三平⾯曲线的弧长1）若曲线⽅程为],[),(b a x x f y ∈=，则曲线弧长为?'+=b adx x f s .)]([122）若曲线⽅程为??∈==],[,)()(βαt t y y t x x ，则曲线弧长为?'+'=βadt t y t x s .)]([)]([223）若曲线⽅程为],[),(βαθθ∈=r r ，则曲线弧长为?'+=βαθθθd r r s 22)]([)]([．例9 计算圆222R y x =+的周长．解将圆的⽅程化成参数⽅程.20,sin ,cos πθθθ≤≤??==R y R x则()().2cos sin 202022R d R d R R s πθθθθππ==+-=例10 计算内摆线323232ay x =+()0a >的周长．解法1 由于曲线关于x 轴及y 轴对称，所以，只需计算第⼀象限内曲线的长，再乘以4即得所求．13a y x ??'== ，得.6403a dx x a s a =??=法2 把曲线化为参数⽅程??==,sin ,cos 33θθa y a x 在第⼀象限的参数20πθ≤≤，于是 ,cos sin 3,sin cos 322θθθθa y a x ='-='因此4s θ=.62cos 32sin 6cos sin 12202020a a d a d a =-===??πππθθθθθθ四旋转体的侧⾯积及表⾯积1）设平⾯光滑曲线C 的⽅程为(),[.]y f x x a b =∈（不妨设()0f x ≥），这段曲线绕x 轴旋转⼀周得到旋转曲⾯得旋转曲⾯的⾯积公式(2.baS f x π=?2）如果光滑曲线C 由参数⽅程()x x t =，()y y t =，[],t a b ∈给出，且()0y t ≥，那么由弧微分知识推知曲线C 绕x 轴旋转所得旋转曲⾯的⾯积为2(.S y t βπ=?例11 设有曲线1-=x y ，过原点作其切线，求由此曲线，切线及x 轴围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所得到的旋转体的表⾯积．解设切点为()1,00-x x ，则过原点的切线⽅程为.1210x x y -=再以点()1,00-x x 代⼊，解得11,2000=-==x y x ，则上述切线⽅程为.21x y =由曲线()211≤≤-=x x y 绕x 轴旋转⼀周所得到的旋转⾯的⾯积().15563412212121-=-='+=??πππdxx dx y y S由直线段()2021≤≤=x x y 绕x 轴旋转⼀周所得到的旋转⾯的⾯积.525212202ππ?=?=dx x S因此，所求旋转体的表⾯积为().1511621-=+=πS S S ．例12 计算半径为R 的球⾯的⾯积．解半径为R 的球⾯可以看成圆222R y x =+所围成的平⾯图形绕R 轴旋转所形成旋转体的侧⾯积．由于y xy -='，于是 2222242212R dx R dx yy x y dx y x y S R R R R R Rππππ==+=???? ?-+=---．。
同济大学数学系《高等数学》第7版上册课后习题第六章定积分的应用习题6-1定积分的元素法本部分无课后习题．习题6-2定积分在几何学上的应用1．求图6-1中各阴影部分的面积：图6-1解：（1）解方程组，得到交点坐标为（0，0）和（1，1）．如果取x为积分变量，则x的变化范围为[0，1]，相应于[0，1]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有如果取y为积分变量，则y的变化范围为[0，1]，相应于[0，1]上的任一小区间[y，y ＋dy]的窄条面积近似于高为dy、底为y－y2的窄矩形的面积，因此有（2）取x为积分变量，则易知x的变化范围为[0，1]，相应于[0，1]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为e－e x、底为dx的窄矩形的面积，因此有如果取y为积分变量，则易知y的变化范围为[1，e]，相应于[1，e]上的任一小区间[y，y＋dy]的窄条面积近似于高为dy、底为lny的窄矩形的面积，因此有（3）解方程组，得到交点坐标为（－3，－6）和（1，2）．如果取x为积分变量，则x的变化范围为[－3，1]，相应于[－3，1]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有如果用y为积分变量，则y的变化范围为[－6，3]，但是在[－6，2]上的任一小区间[y，y＋dy]的窄条面积近似于高为dy、底为的窄矩形的面积，在[2，3]上的任一小区间[y，y＋dy]的窄条面积近似于高为dy、宽为的窄矩形的面积，因此有由此可知以x为积分变量较易，因为图形边界曲线若分为上下两段，分别为y＝2x和y＝3－x2；若分为左右两段，分别为和，其中右段曲线的表示相对比较复杂，也就会导致计算形式复杂．（4）解方程组，得到交点坐标为（－1，1）和（3，9），同上，以x为积分变量计算较易．取x为积分变量，则x的变化范围为[－1，3]，相应于[－1，3]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为2x＋3－x2、底为dx的窄矩形的面积，则有2．求由下列各曲线所围成的图形的面积：（1）与（两部分都要计算）；（2）与直线y＝x及x＝2；（3）与直线x＝1；（4）y＝lnx，y轴与直线y＝lna，y＝lnb（b＞a＞0）．解：（1）图6-2中，可先计算图形D1（阴影部分）的面积，易求得与x2＋y2＝8的交点为（－2，2）和（2，2）．取x为积分变量，则x的变化范围为[－2，2]，相应于[－2，2]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有图形D2的面积为图6-2（2）图6-3中，取x为积分变量，则x的变化范围为[1，2]，相应于[1，2]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有图6-3（3）图6-4中，取x为积分变量，则x的变化范围为[0，1]，相应于[0，1]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有图6-4（4）图6-5中，取y为积分变量，则y的变化范围为[lna，lnb]，相应于[lna，lnb]上的任一小区间[y，y＋dy]的窄条面积近似于高为dy、底为e y的窄矩形的面积，因此有图6-53．求抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点（0，－3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积．解：首先求得导数，因此抛物线在点（0，－3），（3，0）处的切线分别为y＝4x－3，y＝－2x＋6，容易求得这两条切线交点为（见图6-6）．因此所求面积为图6-64．求抛物线y2＝2px及其在点处的法线所围成的图形的面积．解：利用隐函数求导方法，抛物线方程y2＝2px两端分别对x求导，2yy′＝2p．即得，因此法线斜率为k＝－1，从而得到法线方程为（如图6-7），因此所求面积为图6-75．求由下列各曲线所围成的图形的面积：（1）ρ＝2acosθ；（2）x＝acos3t，y＝asin3t；（3）ρ＝2a（2＋cosθ）．解：（1）（2）由对称性可知，所求面积为第一象限部分面积的4倍，记曲线上的点为（x，y），因此（3）。
第六章定积分的应用内容概要课后习题全解习题6-2★ 1．求由曲线xy =与直线x y =所围图形的面积。
知识点：平面图形的面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1∵所围区域D 表达为X-型：⎩⎨⎧<<<<x y x x 10， （或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y y 210）∴⎰-=10)(dx x x S D61)2132(1223=-=x x （⎰=-=1261)(dy y y S D） ★ 2．求在区间[0，π/2]上，曲线x y sin =与直线0=x 、1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解：见图6-2-2∵所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<1sin 20y x x π， （或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y arcsin 010） ∴12)cos ()sin 1(202-=+=-=⎰πππx x dx x S D（ 12arcsin 1-==⎰πydy S D）★★3．求由曲线x y =2与42+-=x y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时解法较简单，所以用Y-型做 解：见图6-2-3∵两条曲线的交点：⎩⎨⎧±==⇒⎩⎨⎧+-==22422y x x y x y ， ∴所围区域D 表达为Y-型：⎩⎨⎧-<<<<-22422yx y y ，∴2316)324()4(2232222=-=--=--⎰y y dy y y S D（由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为：2316)324(2)4(223222=-=--=⎰y y dy y y S D ）★★4．求由曲线2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y y 210，∴34322)2(22102311=⨯=-==⎰y dy y y S S D D（若用X-型做，则第一象限内所围区域=1D b a D D Y ，其中a D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<22410x y x x ，b D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<14212y x x ；∴12212201422[()(1)]443D D x x S S x dx dx ==-+-=⎰⎰） ★★5．求由曲线xy 1=与直线x y =及2=x 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型,解法较简单，所以用X-型做解：见图6-2-5∵两条曲线xy =和x y =的交点为（1，1）、（-1，-1），又这两条线和2=x 分别交于 21,2(、2) ,2( ∴所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<x y xx 121，∴22211113((ln )ln 222DS x dx x x x =-=-=-⎰★★★6．抛物线x y 22=分圆822=+y x 的面积为两部分，求这两部分的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于X 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-6，设阴影部分的面积为1D S ，剩余面积为2D S∵两条曲线x y 22=、822=+y x 的交于(2,2)±（舍去4-=x 的解），∴所围区域1D 表达为Y-型：⎪⎩⎪⎨⎧-<<<<-228222y x y y ；又图形关于x 轴对称，∴342)342(2)68(2)28(220320220221+=-+=--=--=⎰⎰ππy y dy y y S D（其中222cos 18cos 22cos 22844sin 2222+=+=⨯=-⎰⎰⎰=πππdt ttdt t dyy ty ） ∴34634282-=--=πππDS ★★★7．求由曲线x e y =、x e y -=与直线1=x 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型时，解法较简单，所以用X-型做 解：见图6-2-7∵两条曲线x e y =和x e y -=的交点为（0，1），又这两条线和1=x 分别交于) ,1(e 和) ,1(1-e∴所围区域D 表达为X-型：⎩⎨⎧<<<<-x x e y e x 10，∴2)()(1101-+=+=-=---⎰e e e e dx e e S x x x x D★★★8．求由曲线x y ln =与直线a y ln =及b y ln =所围图形的面积)0(>>a b知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时，解法较简单，所以用Y-型做 解：见图6-2-8∵在x ln 的定义域范围内所围区域D ：⎩⎨⎧<<<<ye x by a 0ln ln ， ∴a b edy e S b ay bayD-===⎰ln ln ln ln★★★★9．求通过（0，0），（1，2）的抛物线，要求它具有以下性质：（1）它的对称轴平行于y 轴，且向下弯；（2）它与x 轴所围图形面积最小知识点：平面图形面积和求最值思路：首先根据给出的条件建立含参变量的抛物线方程，再求最值时的参变量解：由于抛物线的对称轴平行于y 轴，又过（0，0），所以可设抛物线方程为bx ax y +=2，（由于下弯，所以0<a），将（1，2）代入bx ax y +=2，得到2=+b a ，因此x a ax y )2(2-+=该抛物线和X 轴的交点为0=x 和aa x 2-=， ∴所围区域D ：2200(2)a x ay ax a x-⎧<<⎪⎨⎪<<+-⎩ ∴23223226)2()223(])2([a a x a x a dx x a ax S aa a a D-=-+=-+=--⎰)4()2(61)]2()2()2(3[61)(233322+-=-⨯-+-⨯='---a a a a a a a a S D得到唯一极值点：4-=a ，∴所求抛物线为：x x y 642+-=★★★★10．求位于曲线x e y =下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积知识点：切线方程和平面图形面积思路：先求切线方程，再作出所求区域图形，然后根据图形特点，选择积分区域表达类型解：x e y =⇒xe y ='，∴在任一点0x x =处的切线方程为)(000x x e ey x x -=-而过（0，0）的切线方程就为：)1(-=-x e e y ，即ex y =所求图形区域为21D D D Y =,见图6-2-10X-型下的1D ：⎩⎨⎧<<<<∞-x e y x 00，2D ：⎩⎨⎧<<<<xey ex x 1∴222)(12110e e e x eedx ex e dx e S x x x D=-=-=-+=∞-∞-⎰⎰ ★★★11．求由曲线θcos 2a r =所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：作图可知该曲线是半径为a 、圆心（0 ,a ）的圆在极坐标系下的表达式，可直接求得面积为2a π，也可选择极坐标求面积的方法做。
