三重积分,第一型线,面积分习题课.

三重积分的计算方法例题摘要：一、三重积分的概念及应用场景二、三重积分的计算方法1.重积分的计算2.重积分的换元法3.重积分的性质4.重积分的几何意义三、实例解析四、总结与拓展正文：一、三重积分的概念及应用场景三重积分是一种多元函数的积分形式，通常表示为对空间中一个几何体内部的属性进行积分。

它在物理学、工程学、经济学等领域具有广泛的应用。

三重积分的计算方法有多种，包括重积分、换元法等。

二、三重积分的计算方法1.重积分的计算重积分是指对一个空间函数在某个区域内的值进行积分。

求解重积分的过程通常包括以下步骤：确定被积函数、确定积分区域、选择积分顺序、进行积分计算。

2.重积分的换元法重积分的换元法是一种求解重积分的高效方法。

通过引入一个新的变量，将复杂的重积分问题转化为简单的一重积分问题。

换元法的关键在于选择合适的换元函数，使得积分过程变得简洁。

3.重积分的性质重积分具有线性、可交换、满足乘法公式等性质。

这些性质使得重积分在实际计算中具有很好的灵活性，可以简化计算过程。

4.重积分的几何意义重积分在几何上的意义是对一个立体图形的质量进行求解。

具体来说，重积分可以表示为空间曲线长度、曲面面积或体积的函数。

这为求解空间几何问题提供了理论依据。

三、实例解析以一个球体的体积为例，介绍三重积分的计算过程。

设球体的半径为R，球体的密度为ρ。

我们需要求解球体内部某一区域内质量的分布。

1.确定被积函数：球体内部的密度函数，即ρ(x, y, z)。

2.确定积分区域：球体内部，用球坐标系表示为x^2 + y^2 + z^2 <R^2。

3.选择积分顺序：先对z积分，再对y积分，最后对x积分。

4.进行积分计算：利用重积分公式，计算出球体内部的质量分布。

四、总结与拓展本文详细介绍了三重积分的计算方法，包括重积分、换元法等。

通过实际应用场景和实例解析，加深了对三重积分的理解。

在实际问题中，三重积分有着广泛的应用，掌握其计算方法有助于解决诸多实际问题。

三重积分计算详解例题当我们进行三重积分计算时，通常会遇到一个三维空间中的函数，我们希望求解该函数在某个特定区域上的体积、质量、质心等物理量。

下面我将以一个具体的例题来详细解释三重积分的计算过程。

假设我们要计算函数f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2在球体x^2 + y^2 + z^2 <= 1上的体积。

首先，我们需要确定积分的顺序，由于球体的形状对称性较好，我们选择球坐标系进行积分。

球坐标系下，积分区域为0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2π。

接下来，我们可以按照r、θ、φ的顺序进行积分。

首先对r进行积分，然后是θ，最后是φ。

具体的计算过程如下：∫∫∫(球体内部) x^2 + y^2 + z^2 dV = ∫[0, 2π] ∫[0, π] ∫[0, 1] (r^2) r^2 sin(θ) dr dθ dφ。

其中，dV = r^2 sin(θ) dr dθ dφ是球坐标系下的体积元素。

对r进行积分后得到，∫[0, 2π] ∫[0, π] ∫[0, 1] r^4sin(θ) dr dθ dφ = 2π ∫[0, π] sin(θ) dθ ∫[0, 1]r^4 dr.继续计算可得，2π (-cos(π) + cos(0)) (1/5) = 2π (2) (1/5) = 4π/5。

因此，函数f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2在球体x^2 + y^2+ z^2 <= 1上的体积为4π/5。

这就是对三重积分计算的详细解释。

在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的坐标系和积分顺序，通过逐步积分来求解体积、质心等物理量。

希望这个例题能够帮助你更好地理解三重积分的计算过程。

宁波工程学院 高等数学AI 教案习题课11（三重积分部分）1.利用二重积分、三重积分求下列立体Ω的体积：⑵ Ω是由平面0,0,1x y x y ==+=所围成的柱面被平面0z =及抛物面226x y z +=-所截得的立体.2.化三重积分dv z y x f ⎰⎰⎰Ω).,(为三次积分，其中积分区域Ω是：由曲面z x y =及平面1,0,0,0x y z x y +====围成的位于第一卦限的闭区域.3.dv z ⎰⎰⎰Ω2其中Ω为两个球体2222R z y x =++与2222x y z Rz ++=的公共部分(0)R >.提示：用坐标轴投影法.4.利用柱面坐标计算下列三重积分：（1）v d y x ⎰⎰⎰+Ω22，其中Ω是由曲面229z x y =--及平面0z =所围成的闭区域； （2）v d y ⎰⎰⎰Ω，其中Ω是由曲面22z x y =+及平面2z y =所围成的闭区域.（3）⎰⎰⎰Ω++122y x dxdydz ，其中Ω为锥面222z y x =+及平面1=z 所围成的闭区域； （4）dxdydz y x z ⎰⎰⎰Ω+22，其中Ω由曲面22x x y -=，0=z ，)0(>=a a z ，0=y 所围成的闭区域。

5.利用球面坐标计算下列三重积分：（1）dv y ⎰⎰⎰Ω2，其中Ω为介于两球面2222x y z a ++=与2222b z y x =++之间的部分(0)a b ≤<.（2）v d y x ⎰⎰⎰Ω+)(22，其中Ω是由曲面z =与z =所围成的闭区域. （3）计算⎰⎰⎰Ω++dv z y x f )(222，Ω： 1222≤++z y x （4）计算dv e z y x Z ⎰⎰⎰≤++1222 6.选用适当的坐标系计算下列三重积分。

（1）⎰⎰⎰Ωdxdydz xyz ，Ω是由曲面226y xz --=，22y x z +=所围成闭区域； （2）dxdydz z y x z⎰⎰⎰Ω++222，其中Ω是由不等式：1222≤++z y x ，223y x z +≥所确定；（3）⎰⎰⎰Ωdxdydz z 2其中Ω是2222R z y x≤++ ，)0(2222>≤++R Rz z y x 的公共部分。

三重积分练习题第六讲三重积分、重积分应用习题课教学目的使学生能更清楚进行三重积分计算时．在何种情况下用何种坐标计算，以便灵活的进行三重积分的计算．使学生能方便地运用重积分进行曲面的面积，质心，转动恒量以及引力的计算教学重点通过三重积分计算的强化使学生明确在三重积分计算时如何确定用何种坐标以及各是如何化为三次积分．教学难点柱面坐标与球面坐标所适用情况的区分与判定. 教学时数学时教学过程一、知识回顾1．三重积分的意义及物理模型．在直角坐标，柱面坐标，球面坐标下计算三重积分柱面坐标与球面坐标.柱面坐标，球面坐标分别与直角坐标之关系. 直角坐标化柱面坐标，球面坐标的公式. 何时用何种坐标计算. 3．曲面的面积，物体的质心，转动惯量及引力的计算曲面的面积：关键在找曲面在坐标面的投影，这里问题是往何坐标面上投如何找投影区域物理应用，注意利用密度为常数以及物体所占区域在坐标面上的对称性.二、练习1．将I=zdv?分别表示成直角坐标，柱面坐标和球面坐标下的三次积分，并选择其中一种计算出结果．其中?是由曲面z=2?x?y22及z=x+y所围成的闭区域.22分析为计算该三重积分，我们先把积分区域投影到某坐标平面上，由于是由两张曲面z?2?x?y22及z?x?y，而由这两个方程所组成的方22?z??z??程组极易消去z，我们把它投影到xoy面上．然后，为在指定的坐标系下计算之，还应该先把?的边界曲面用相应的坐标表示，并找出各种坐标系下各个变量的取值范围，最后作代换?z??22222z??解将?投影到xoy平面上，由消去z得 =2-，或=0，于是有 x+y=1．即知，?在xoy平面上的投影为圆域D：22x+y?1 ．222222为此在D内任取一点Q，过Q作平行于z轴的直线自下而上穿过?．穿入时碰22到的曲面为z?x?y，离开时碰到的曲面为z?2?x?y22，这是因为x2+y2?1)22直角坐标系下，我们分直角坐标及柱面坐标，下边找z的变化范围从而化为三重积2222分．因此再由D：x+y?1，有z?x?y?z?2?x?y，于是在直角坐标下，?可表示为?，y?x2?y2?z???:于是有1?x22?x?y22I=?1柱面坐标下?dxdy?1?x2x?y2?zdz2.首先把?的表面方程用柱面坐标表示，这时z=x+y表示为z= ?，z=222?x?y22表示为z=2??表示为22．再由投影区域D为x+y?1．故01，0?θ?2?．于是?可?02?,???01,?22??z?2??.??：?将所给三重积分中的体积元素d?用d?=?d?d?dz去替换，有2?12??2I=球面坐标下zd??=z?d?d?dz?=?d??d????22dz.cos?用球面坐标代换两曲面的方程，得曲面z=xz=2?x?y 2222变为?=sin?；曲面2变为?=2．22由?在xoy平面上的投影为x+y?1知02?，下边找?的变化范围．??22正z轴在?内，即?内有点P，使op与oz夹角为零，即?的下界为零．又曲面z=x+y??与xoy平面相切，故?的上界为2，于是02再找?的变化范围．原点在?的表面上，故?取到最小值为零．为找?的上界，从原点出发作射线穿过?，由于?的表面由两张曲面所组成，因而?22??z?x?y，?22z?2?x?y的上界随相应的的不同而不同．为此在两曲面的交线上取一点A，故A所对应的???4．?cos?2当42时，r的上界由曲面r=sin?所给，故这时r ?cos?sin?2?cot?csc?．即r的变化范围为??2,当0时，??4?r???cot?，当时。

三重积分的计算方法：三重积分的计算是化为三次积分进行的。

其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。

从顺序看：如果先做定积分⎰21),,(z z dz z y x f ，再做二重积分⎰⎰Dd y x F σ),(，就是“投影法”，也即“先一后二”。

步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。

多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。

σd dz z y x f dv z y x f Dz z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=21]),,([),,(如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是“截面法”，也即“先二后一”。

步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。

区域z D 的边界曲面都是z 的函数。

计算区域z D 上的二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分⎰21)(c c dz z F ，完成“后一”这一步。

dz d z y x f dv z y x f c c D z]),,([),,(21σ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。

为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。

可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面)（1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）（2） D 是圆域（或其部分），且被积函数形如)(),(22xyf y x f +时，可选择柱面坐标系计算（当Ω为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）（3）Ω是球体或球顶锥体，且被积函数形如)(222z y x f ++时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。