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三重积分习题课

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三重积分习题课(一)

三重积分习题课(一)
r2 : z 2, 0 r 2, 0 2 2 2 2 2 2 2 2 故有 ( x y )dv 0 d 0 dr r r dz
2

z

2
x
y
16 3
【例5】计算三重积分 zdxdydz .其中 是由锥面 z 与平面 z h ( R 0, h 0) 所围成的闭区域。
解法二:利用球面坐标计算
zdxdydz

d sin cos d r 3dr 0
4 0

R
1 R 4 8
注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法 来计算，但利用柱面坐标计算相对简便。
2 2 2 I ( x y z )dxdydz，其中 是由球面 【例7】求
0
R
59 R 5 480
解法2：利用柱面坐标计算。
2 3 R 2 2 由于 在 xoy 平面的投影区域 D xy : x y 4
；
故在柱面坐标下，
3R : R R r z R r , 0 r , 0 2 2
2 2 2 2
于是有
z

2
dxdydz
D xy : 0 y x , 0 x 1
z
x+ y=1
z=xy
y
1
o
z =0
1

x
1 : z xy (2) 确定上顶曲面 1 及下顶曲面 2 。
2: z 0
(3) 转化为先对
z 后对 x, y
D xy
的三次积分计算：
1 5 6 x y dxdy 4 D xy
xy z dxdydz

二重及三重积分习题课

二重及三重积分习题课
习题课
重积分(二重)
习题二重积分计算
一
∫ ∫ f ( x, y )dσ 的解题程序
D
（1）画出积分域D的草图。 （2）选择坐标系，主要根据积分或D的形状，有时也参看被 积函数的形式，见表11-1。
表11-1
（3）选择积分次序 选序的原则：① 先积分的容易，并能为后积分创造条件； ② 对积分域D的划分，块数越少越好。 （4）确定累次积分的上下限，作定积分运算。 定限口诀： 后积先定限,(累次积分中后积变量的上下限均为常数) 限内划条线，(该直线//坐标轴且同向.) 先交下限写,(上下限或者为常数或者后积分变量的函数) 后交上限见。 直角坐标系中积分限的确定，参看图11-2(a)、(b).
y2 2a
f ( x, y)dx +
∫
2a
a
dy
∫
2a
y2 2a
f ( x, y)dx +
∫
2a
a
dy
∫
2a
2 2
a+ a − y
f ( x, y)dx
(4) I =
∫
4
0
dy
∫
4 y− y2 4− y
f ( x, y )dx
图11-7
写出确定D的不等式组， 并作出其图形，见图。
⎧− 4 − y ≤ x ≤ 4 y − y2 ⎪ D: ⎨ ⎪0 ≤ y ≤ 4 ⎩
【例1】 设
1− x
∫ ∫ f ( x, y )dxdy = ∫ dx ∫
0 D
1
1− x
0
f ( x , y ) dy ，则改变其
1− x
积分次序后为
。
(a )
∫
0 1

8.6__三重积分习题课

8.6__三重积分习题课

所围成的。
解
关 于 yo z面 为 对 称
O x
: 0 r 1, 0
0 2
y

4 ,
f ( x, y, z) x 为 x 的奇函数
有
xdv 0




( x z ) dv

1 0


zdv
（利用球面坐标）
2


2 0
d
1
要结合被积函数、积分区域两方面的因素综 合考虑才能找到好的方案。 对积分区域要有一定的空间想象力，最好能 画出的图形。如 的图不好画，也要画出在 某坐标面上的投影区域的图形。
2
1、利用直角坐标系计算三重积分。
适用性较广，要有一定的空间想象力。
(1)“投影法”又叫“先单后重法” 设 往xoy平面上的投影区域为Dxy ，过Dxy 内 任一点而穿过 内部的平行于轴的直线与 的边 界曲面至多两个交点，则
解
y
B E
o
A
D
x
是以梯形 ABED 为底，以梯形 ACFD
为顶的柱体。 梯 形 A C F D 所 在 平 面 过 x 轴 ,
设其方程为 y z 0
又 因 过 C (1, 1, 2 ) 点 , 得 其 方 程 为 z 2 y 0。
: 0 z 2 y; 0 y x; 1 x 2
Dxy : 0 r 1,0 2
1
y
x
y
D xy
o
1
x
I

2
o
d rdr
0
1
r
2
f ( r cos , r sin , z )dz

[理学]三重积分习题课ppt课件

[理学]三重积分习题课ppt课件

2Rcos r 2 cos2 r 2 sindr
0
3
2
d
3 d
R
r
2
cos
2
r
2
s
in
dr
0
0
0
59 R5 480
解法2：利用柱面坐标计算。
由于 在 x平oy面的投影区域
故在柱面坐标下，
D xy
:
x2
；y 2
3R2 4
: R R2 r2 z R2 r2 , 0 r 3R , 0 2 2
主要内容
三重积分
一、三重积分的概念
n
1．定义:
f (x,
y,
z)dv lim 0 i1
f (i ,
i ,
i )vi
2．物理意义: M (x, y, z)dv
表示体密度为 ( x, y, z) 的空间物体 的质量。
二、三重积分的性质
三、三重积分的计算方法
1．利用直角坐标计算
f (x, y, z)dv f ( x, y, z)dxdydz
e z tan(x 2 y3 )dv 3dv
0 3dv 3
[e z tan(x 2，y 3 ) 3]dv z 1
o
y
1
x
于是有
z2dxdydz
2
d
3R
2 dr
R2 r2 z2 rdz
0
0
R R2 r2
2
3R
2 r[( R2 r 2 )3 2 ( R R2 r 2 )3 ]dr
30
59 R5 480
解法3：用“先二后一”法计算。
用平面 z R将积分区域
2
划分为两部分：

精品课件-三重积分习题

精品课件-三重积分习题

h
zdz
dxdy
h
R2z2
z dz

0 Dz
0
h2
R 2
h2
h z3dz 1 R 2 h2
0
4
解法2：利用柱面坐标计算。
在柱面坐标下
:hzh ,0R ,02 R
故有

zdxdydz
2
d
0
R
d
0
R hhzdz20R1 2(h2R h222)d
三重积分习题
2. 锥面
3. 椭球面
4. 双曲面
5. 抛物面
习题10-3 第1(1)题
计I 算 f(x,y,z)d xd yd z

:zx与 y xy1,z0所围成的区域
x+ y=1
z
z=xy
y
1
o
1
.
x
习题10-3 第1(1)题
计I 算 f(x,y,z)d xd yd z
分析: 由于积分区域和被积函数不具有利用“先二后一”、 柱面 坐标和球面坐标计算的特点, 故本题考虑利用直角坐标来计算.
解: (1) 求 （如图）在平面 xo上y 的投影区域为 D xy
D x: y 0yx ,0x1
(2) 确定上顶曲面 1及下顶曲面 。2 因为当(x, y)Dx时y 满足 x ，0 y , 0 zxy0 。因此 1 :zxy 2 :z 0
z
x2 y2 a2 b2 1
1(4)题
y
cz=xy
b
o
.
a
x
计I算 f(x,y,z)d xd yd z:czxy(c0),a x2 2b y2 21
及z0所围成的在区 第域 习一 题。 10卦 -3 限第的

习题课11--三重积分部分

习题课11--三重积分部分

宁波工程学院 高等数学AI 教案习题课11（三重积分部分）1.利用二重积分、三重积分求下列立体Ω的体积：⑵ Ω是由平面0,0,1x y x y ==+=所围成的柱面被平面0z =及抛物面226x y z +=-所截得的立体.2.化三重积分dv z y x f ⎰⎰⎰Ω).,(为三次积分，其中积分区域Ω是：由曲面z x y =及平面1,0,0,0x y z x y +====围成的位于第一卦限的闭区域.3.dv z ⎰⎰⎰Ω2其中Ω为两个球体2222R z y x =++与2222x y z Rz ++=的公共部分(0)R >.提示：用坐标轴投影法.4.利用柱面坐标计算下列三重积分：（1）v d y x ⎰⎰⎰+Ω22，其中Ω是由曲面229z x y =--及平面0z =所围成的闭区域； （2）v d y ⎰⎰⎰Ω，其中Ω是由曲面22z x y =+及平面2z y =所围成的闭区域.（3）⎰⎰⎰Ω++122y x dxdydz ，其中Ω为锥面222z y x =+及平面1=z 所围成的闭区域； （4）dxdydz y x z ⎰⎰⎰Ω+22，其中Ω由曲面22x x y -=，0=z ，)0(>=a a z ，0=y 所围成的闭区域。

5.利用球面坐标计算下列三重积分：（1）dv y ⎰⎰⎰Ω2，其中Ω为介于两球面2222x y z a ++=与2222b z y x =++之间的部分(0)a b ≤<.（2）v d y x ⎰⎰⎰Ω+)(22，其中Ω是由曲面z =与z =所围成的闭区域. （3）计算⎰⎰⎰Ω++dv z y x f )(222，Ω： 1222≤++z y x （4）计算dv e z y x Z ⎰⎰⎰≤++1222 6.选用适当的坐标系计算下列三重积分。

（1）⎰⎰⎰Ωdxdydz xyz ，Ω是由曲面226y xz --=，22y x z +=所围成闭区域； （2）dxdydz z y x z⎰⎰⎰Ω++222，其中Ω是由不等式：1222≤++z y x ，223y x z +≥所确定；（3）⎰⎰⎰Ωdxdydz z 2其中Ω是2222R z y x≤++ ，)0(2222>≤++R Rz z y x 的公共部分。

三重积分习题课.


f ( x , y, z )dz d . z1 ( x , y ) D
z2 ( x , y )
xy
z2 S 2

z1
S1
z z1 ( x , y )
下边界曲面（下底） o
( x, y)
D
y
xOy 坐标面上的投影区域
x
“先一后二”
（二）坐标轴投影法 ( x, y, z ) | c1 z c2 , ( x, y) Dz
I f ( x , y, z ) dxdydz

c2 z
z
Dz



c2
c1
dz
f (x, y, z)dxdy
Dz
[c1, c2]: 向 z 轴的投影区间 Dz : 过 z[c1, c2]且垂于z轴 的平面截 得到的截面
.
c1
0 y
“先二后一”
x
二、利用柱面坐标计算三重积分
Dz : x 2 y 2 2 Rz z 2
2 dxdy z R dz 2
R
Dz : x 2 y 2 R 2 z 2
dxdy
59 R 5 . 480
例5 求半球面 z 3a 2 x 2 y 2与旋转抛物面
x 2 y 2 2az 所围成立体的表面积. z
D
V d xd ydz

(三)曲面的面积
z f ( x, y)
A 1 f x2 f y2 d
Dxy
重积分在物理上的应用
(一 )质 (重 )心
(1) 平面薄片的质心 x ( x , y )d My D x , y Mx M M ( x , y )d (2) 空间物体的质心

习 题 课 三 重 积 分 2

习 题 课 三 重 积 分一、 三重积分的概念（ⅰ）定义：设),,(z y x f 是空间有界闭区域Ω上的有界函数。

函数),,(z y x f 在闭区域Ω上的三重积分=⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(iiiini v f ∆∑=),,(1ζηξ.其中Ω成为积分区域，dv 称为体积元素（ⅱ）当在),,(z y x f 有界闭区域Ω上连续时，三重积分⎰⎰⎰Ωdvz y x f ),,(一定存在。

（ⅲ）三重积分的物理意义：设物体占有空间有界闭区域Ω，它在点()z y x ,,处的体密度为()z y x ,,μ，并假定()z y x ,,μ在Ω上连续。

则物体质量为()dv z y x M ⎰⎰⎰Ω=,,μ。

（2）三重积分的性质：二重积分的性质可推广到三重积分，如： （ⅰ）VV dv ,=⎰⎰⎰Ω为Ω的体积；（ⅱ）（三重积分的中值定理） 设函数),,(z y x f 在闭区域Ω上连续，V 是Ω的面积，则在Ω上至少存在一点),,(ξηζ使得 Vf dv z y x f ),,(),,(ξηζ=⎰⎰⎰Ω二、 三重积分的计算法（ⅰ）利用直角坐标计算二重积分： ①先单后重计算法：若空间闭区域()()()(){}xy D y x y x z z y x z z y x ∈≤≤=Ω,,,,,,21， 若()()(){}b x a x y y x y y x D xy ≤≤≤≤=,,21，则三重积分可化为如下三次积分：()()()()()()dz z y x f dy dx dz z y x f dxdy dv z y x f y x z y x z x y x y baD y x z y x z xy⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==Ω,,),(),(212121,,),,(,,。

②先重后单计算法：设空间闭区域()(){}21,,,,c z c D y x z y x z ≤≤∈=Ω， 其中z D 是竖标为z 的平面截闭区域Ω所得到的一个平面闭区域，则有：()()dxdy z y x f dz dv z y x f zD c c ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω,,,,21（ⅱ）利用柱面坐标计算三重积分：若空间闭区域Ω可以表示为： },)()(,),(),(|),,{(2121βθαθρρθρθρθρθρ≤≤≤≤≤≤=Ωz z z z ，则()()dz d d z f dxdydz z y x f θρρθρθρ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=,sin ,cos ,,⎰⎰⎰=βαθρθρθρθρθρθρρρθ)()(),(),(2121),sin ,cos (z z dz z f d d（ⅲ）利用球面坐标计算三重积分：若空间闭区域Ω可以表示为： },)()(,),(),(|),,{(2121βθαθϕϕθϕθϕθϕθϕ≤≤≤≤≤≤=Ωr r r r ，则()()θϕϕϕθϕθϕd drd r r r r f dxdydz z y x f sin cos ,sin sin ,cos sin ,,2⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=⎰⎰⎰=βαθϕθϕθϕρθϕρϕθϕθϕϕϕθ)()(),(),(22121)cos ,sin sin ,cos sin (sin dr r r r r f d d举例如下：教科书 P164习题10-3、1，（1）直角坐标、（2），直角坐标（先单后重。

三重积分习题课(2012)


t t 0
4 x2 y2 z2t2
解 I
f ( x 2 y 2 z 2 )dv。
x2 y2 z2t2
x
o
y
2
d
d
t f (r)r2 sindr 4
t r 2 f (r)dr
0
0
0
0
lim 1
f ( x 2 y 2 z 2 )dv。
t t 0
4 x2 y2 z2t2
4
a (a 2 z 2 )z 2dz
0
a 2
(a z4
2
z5 )
5
a
2 0
(a2
3
z3
z5 5
)
a a
2
59 a 5
480
24
例8 求 x2 y2 z2 2az与x2 y2 az所围立体的体积。 解一:用柱坐标: Dxy : x2 y2 a2
V
2
d
0
a
rdr
0
a r2 a
R r 2 fdr
0
0
0
3) : z R 2 x 2 y 2 与z x 2 y 2 所围
fdxdydz
2
d
4 sind
R r 2 fdr
0
0
0
4
4) : x 2 y2 (z R)2 R2
fdxdydz
2
d
2 sind
2R cos r 2 fdr
0
0
0
5) : x 2 y 2 z 2 2Rz与z x 2 y 2 所围
lim
t0
t4
tr2
0
f
(r )dr
lim
t 0

三重积分习题课

则 f ( x , y , z ) d v

0 f 为 x或y或z的奇函数 f 同为 x , y , z的偶函数 8 f ( x , y , z ) d v 3 其中 3 是 在第一卦限部分的区域.
例 设域 为 x 2 y 2 z 2 a 2 , 3 是 在第一 卦限的部分, 则
其中 4 为 中 关于原点对称的一半区域.
例1 计算

( x z ) d v , 其中Ω由 z
x y
2
2
与z
1 x y 所围成.
2
2
解 因 关于 yOz 面对称， f ( x , y , z ) x
为 x 的奇函数，
有


xdv 0 .

( x z ) dv
2
z
8

旋转曲面方程为：
x y 2z
2 2
O
y
x
法一
先二后一
( x y )d v
2 2
2


8
0
8
d z ( x y ) d x d y
2 2
x y 2z
2 2
dz 0 0
2
d
2z
0
2z
z
8

r r dr
1024 3
2
0
8r
4
dz
柱面坐标
I

2 0
d

1 0
dr
1 r
2
f ( r co s , r sin , z ) rd z
球面坐标
I
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I x = ∫∫ y2µ ( x, y)dσ
D
I y = ∫∫ x2 µ( x, y)dσ
D
Io = ∫∫ ( x2 + y2 ) µ( x, y)dσ
D
(2)空间物体的转动惯量 (2)空间物体的转动惯量 设物体占有空间域Ω 设物体占有空间域Ω ,有连续密度函数 ρ ( x , y , z ) 则转动惯量为 转动惯量为
2 2 2
D2 z
Dz 1
z
R
R 2
面为对称， 解 Q Ω 关于 yoz 面为对称， ∫∫∫ xdv = 0.
Ω
x 的函数， 又 Q 被积函数仅为 z 的函数，截面 D(z ) 为圆域 2
o
y
采用＂先二后一＂ 为方便． 采用＂先二后一＂法较 为方便．
Ω
I = ∫∫∫ z dv
= ∫ z dz
2 R 2 0
ϕ
dV
r
∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz
Ω
0
θ
dθ
.
y
x
= ∫∫∫ f ( r sin ϕ cos θ , r sin ϕ sin θ , r cos ϕ ) r 2 sin ϕ dr dϕ dθ
Ω
重积分在几何上的应用
(一)平面区域的面积 设有平面区域D, 则其面积为: 设有平面区域 则其面积为 D = (二)体积
∫0 dz ∫−
2
2z 2z
1 dx 2 2z − z
=8
x
x2= 2z
O
2
A = 2 A1 = 16
z
例9 设f ( x )在x = 0处可导，且 f (0) = 0, 求极限 处可导，
1 lim 4 ∫∫∫ f ( x 2 + y 2 + z 2 )dxdydz , t →0 t Ω
其中Ω : x 2 + y 2 + z 2 ≤ t 2 .
dxdy + ∫R z 2 dz ∫∫
Dz : x 2 + y 2 ≤ 2 Rz − z 2
2
R
∫∫ dxdy
Dz : x 2 + y 2 ≤ R 2 − z 2
59 = πR 5 . 480
例5 求半球面z = 3a2 − x2 − y2与旋转抛物面
x2 + y2 = 2az 所围成立体的表面积. 所围成立体的表面积. z
∫∫ dσ D
设曲面方程为 z = f ( x , y ) ≥ 0, ( x , y ) ∈ D . 上的曲顶柱体体积为: 则D上的曲顶柱体体积为 V = ∫∫ f ( x, y)dσ 上的曲顶柱体体积为 占有空间有界域Ω的立体的体积为: 占有空间有界域Ω的立体的体积为:
D
V = ∫∫∫ dxdydz
x
求半球面z = 3a2 − x2 − y2与旋转抛物面 例5 16 2 2 2 x + y = 2az 所围成立体的表面积. S = S1 + S2 = πa 所围成立体的表面积. 3 3a 2 2 dxdy 解 S1 = ∫∫ 1 + z x + z y dxdy = ∫∫ 2 2 2 3a − x − y D D
Ω
(三)曲面的面积
z = f ( x, y)
A = ∫∫ 1+ fx2 + f y2 dσ
Dxy
重积分在物理上的应用 ( 一) 质( 重) 心
(1) 平面薄片的质心 ∫∫ xµ( x, y)dσ ∫∫ yµ( x, y)dσ My D x= , y = Mx = D = M M ∫∫ µ( x, y)dσ ∫∫ µ( x, y)dσ (2) 空间物体的质心 ∫∫∫ xρ( x, y, z)dVxΒιβλιοθήκη zOyxz y
y = 2z − z 2
1− z , y x = 0, yz = 2 2z − z
1 1+ y + y = 2z − z 2
2 x 2 z
1 1+ y + y = 2z − z 2
2 x 2 z
A1 =
=
∫∫ D
xz
1 + y + y d xd z =
2 x 2 z
∫∫ D
xz
1 d xd z 2 2z − z
设物体占有空间区域V, 设物体占有空间区域 体密度为ρ ( x , y , z ), 区域 V 之外有一质量为 m 的质点 A(a, b, c), 求物体 V 对质点 A 的引力. 的引力 引力F在三个坐标方向上的分量为 引力 在三个坐标方向上的分量为
m ρ ( x , y , z )( x − a ) Fx = ∫∫∫ G dv , 3 r V m ρ ( x , y , z )( y − b ) Fy = ∫∫∫ G dv , 3 r V m ρ ( x , y , z )( z − c ) Fz = ∫∫∫ G dv . 3 r V 其中G为万有引力系数 为万有引力系数。 其中 为万有引力系数。
x = r cosθ y = r sinθ
z=z
. .
z
z M(x, y, z) M(r,θ, z) z
0
y
x
x
θ
y
r
P(x, y, 0)
柱面坐标下的体积元素
z
元素区域由六个坐标面围成： 元素区域由六个坐标面围成： 半平面 θ 及θ+dθ ; 半径为 r 及 r+dr 的圆柱面； 平面 z及 z+dz； 及
= 3a ∫ dθ ∫
0 2π 2a
1
S2 = ∫∫
D
.
3a 2 − r x 2 y 2 1 + ( ) + ( ) dxdy a a
0
rdr = 2 3( 3 − 1)πa 2
2.
.
2a 1 2π = ∫ dθ ∫ a 2 + r 2 rdr 0 a 0 2 2 = ( 2 3 − )πa 3
z = 3a 2 − x 2 − y 2 2 x + y 2 = 2az x 2 + y 2 ≤ 2a 2 即D: z = 0
解 球 =
z
t
∫∫∫ f ( Ω
Ω 2π
x + y + z )dxdydz
三重积分的计算
直角坐标、柱面坐标和 三重积分可以用 直角坐标、柱面坐标和球面坐标 来计算. 其方法都是将三重积分化为三次积分 来计算. 其方法都是将三重积分化为三次积分. 将三重积分化为三次积分关键： 三重积分化为三次积分关键： • 根据被积函数和积分域选择合适的坐标系; 根据被积函数和积分域选择合适的坐标系; • 画出投影域、确定积分序; 画出投影域、确定积分序; • 定出积分限、计算要简便 . 定出积分限、
I x = ∫∫∫( y2 + z2 ) ρ( x, y, z)dv
Ω
I y = ∫∫∫( x2 + z2 )ρ( x, y, z)dv
Ω
Iz = ∫∫∫( x2 + y2 ) ( x, y, z)dv ρ
Ω
I0 = ∫∫∫ ( x2 + y2 + z2 )ρ ( x, y, z)dv
Ω
(三) 引力
x= Myz M =
D
D
∫∫∫ ρ ( x, y, z)dV
Ω
Ω
, z=
,
Mzx y= = M
∫∫∫ yρ ( x, y, z)dV ∫∫∫ ρ ( x, y, z)dV
Ω Ω
Mxy M
=
∫∫∫ zρ ( x, y, z)dV ∫∫∫ ρ ( x, y, z)dV
Ω Ω
(二) 转动惯量
(1) 平面薄片的转动惯量
z2 ( x , y )
上边界曲面（上顶） 上边界曲面（上顶）
z
z = z2 ( x , y )
f ( x , y, z )dz dσ . = ∫∫ ∫ z1 ( x , y ) D
z2 S 2
Ω
z1 S1
z = z1 ( x , y )
下边界曲面（下底） 下边界曲面（下底） o
0 4 0
2π
π
2cosϕ
0
7π . r cos ϕ ⋅ r sin ϕdr = 6
例2： 计算三重积分 I = ∫∫∫ x dxdydz，其中
Ω
Ω 由x = 0, y = 0 , z = 0及x + 2y + z = 1围成.
画图
z 1
x + 2y + z =1
x =0 y=0
0
1 2
上顶：z = 1 − x − 2 y 下底： z = 0 Dxy: x = 0, y = 0, x+2y =1 围成
dx
0
Dyz
1 = ∫ dy ∫
1 0
1-y 0
(1 − y)(1 − y − z)e
-(1-y-z )2
dz
1
x
1− y 1 -(1- y ) 2 )dy = =∫ ⋅ (1 − e 0 2 4e
1
y
例4 计算 ∫∫∫ (z2 + x)dv Ω : x2 + y2 + z2 ≤ R 与 ，
Ω
x + y + z ≤ 2Rz 所围的公共部分 .
Ω
z = 1 + 1 − x2 − y2 所围成的． 所围成的．
解 Q Ω 关于 yoz 面为对称， f ( x , y , z ) = x 为 x 的 面为对称， 奇函数， 奇函数， 有 ∫∫∫ xdv = 0.
Ω
∴ ∫∫∫ ( x + z )dv = ∫∫∫ zdv