【优质文档】【精品课件】部编人教版高中数学必修一B版_3.1函数的概念与性质(18)

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方法点睛求抽象函数定义域的原则及方法
(1)原则:同在对应法则f下的范围相同,即f(t),f(φ(x)),f(h(x))三个函数 中的t,φ(x),h(x)的范围相同. (2)方法:①已知f(x)的定义域为A,求f(g(x))的定义域,其实质是已知 g(x)∈A,求x的范围; ②已知f(g(x))的定义域为A,求f(x)的定义域,其实质是已知x∈A,求 g(x)的范围,此范围就是f(x)的定义域.
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3.(2020江西莲塘高一月考)已知函数f(x)的定义域为[-1,1],则函数
f(2x-1)的定义域为 . 解析:∵f(x)的定义域为[-1,1], ∴-1≤2x-1≤1,∴0≤x≤1. ∴函数f(2x-1)的定义域为[0,1].
答案:[0,1]
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求函数的定义域 例1求下列函数的定义域:
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分析本题主要考查函数的定义域.只给出函数的关系式,而没有指 明它的定义域,那么函数的定义域就是使函数关系式有意义的实数 的全体构成的集合.
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反思感悟函数定义域的求法
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抽象函数定义域的求法
典例 (1)函数f(x)的定义域为[2,3],求函数f(x-1)的定义域. (2)函数f(x-1)的定义域为[2,3],求函数f(x)的定义域. 解:(1)函数f(x)的定义域为[2,3],则函数f(x-1)中,2≤x-1≤3,解得 3≤x≤4,即函数f(x-1)的定义域为[3,4]. (2)函数f(x-1)的定义域为[2,3],即2≤x≤3,则1≤x-1≤2,所以函数f(x) 的定义域为[1,2].

于是有f(－x)＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．
14
判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法：
15
(2)图像法：
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1．下列函数中，是偶函数的有________．(填序号) ①f(x)＝x3；②f(x)＝|x|＋1；③f(x)＝x12； ④f(x)＝x＋1x；⑤f(x)＝x2，x∈[－1,2]．
由 y＝f(x)在[0,5]上的图像，可知它在[－5,0]上的图像，如图所示． (2)由图像知，使函数值 y<0 的 x 的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．
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(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问 题．
[解] (1)如图所示
(2)由(1)可知，使函数值y<0的x的取值集合为(－5，－2)∪(2,5)．
31
3．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________. 4 [法一：f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，f(－x)＝(－x＋ a)(－x－4)＝x2－(a－4)x－4a，两式恒相等，则a－4＝0，即a＝4. 法二：f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，要使函数为偶函 数，只需多项式的奇次项系数为0，即a－4＝0，则a＝4. 法三：根据二次函数的奇偶性可知，形如f(x)＝ax2＋c的都是偶 函数，因而本题只需将解析式看成是平方差公式，则a＝4.]
都不具有奇偶性．]
7
3．函数 y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则 a 等于( )
A．－1
B．0 C．1
D．无法确定
C [∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即 a＝1.]
8
4．若 f(x)为 R 上的偶函数，且 f(2)＝3，则 f(－2)＝________. 3 [∵f(x)为 R 上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝3.]

开区间
(a,b)
{x|a<x≤b} 左开右闭区间 [a,b]
[a≤x<b}
左闭右开区间 (a,b)
辑表示
常见区间的含义及表示方法如下表所示：
定义
数学符号
{x|x≥a}
(a,+co)
数翻表示
{x|x>al
(a,+0)
{x|x≤bl
[-c,b]
{x|x<b}
(-o,b) (-0,+0)
求函数的定义域和函数值
【例题】已知函 (1)求函数的定义域
( 3 ) 当a>0 时，求f(a),f(a-1)
(2)求f(-3), 的值
的值
【解】(1)由题意有
所 以函
域为 (-3,-2)U(-2,+c)
f -(2) ( -3 )
- 1;
(3)a>0时，f(a),f(a-1) 均有意义；
什么是相同函数?
由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.因为 值域是由定义域和对应关系决定的，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系 完全一致，那么这两个函数就是同一个函数.
如果两个函数仅仅是对应关系相同，但定义域不同，那么它们肯定不是同一 个函数.
此外，函数y=x²,xe(-00,+00);m=n²,ne(-00,+0);t=v², ve(-00,+0) , 虽然它们的字母不同，但是因为他们的定义域和对应关系都相同， 所以它们是同一个函数.
提示
两个函数只要定义域和对应关系任何一个不同，那么它们都不是相同函数
;④f(x)=x²-2x-1与g()=²-2t-1.
解析①)=-x√ -2x,g(x)=x√-2x, 对应关系不同，

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2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是( )
A．y＝－1x
B．y＝x
C．y＝x2
D．y＝1－x
D [函数y＝1－x在区间(0，＋∞)上是减函数，其余函数在(0， ＋∞)上均为增函数，故选D.]
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3．函数 y＝f(x)在[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、
最大值分别是( )
[解] 函数在[－1,0]，[2,4]上是减函数，在[0,2]，[4,5]上是增函 数．
27
3．写出y＝|x2－2x－3|的单调区间． [解] 先画出 f(x)＝x－2－x22－x－2x3－，3x<，－－1或1≤x>x3≤，3 的图像，如图．
28
所以y＝|x2－2x－3|的单调减区间为(－∞，－1]，[1,3]；单调增 区间为[－1,1]，[3，＋∞)．
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提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式 乘积的形式.
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1．证明：函数y＝x＋x 1在(－1，＋∞)上是增函数． [证明] 设x1>x2>－1，则 y1－y2＝x1x＋1 1－x2x＋2 1＝x1＋x11－xx22＋1.
21
∵x1>x2>－1，∴x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0， ∴x1＋x11－xx22＋1>0，即y1－y2>0，y1>y2， ∴y＝x＋x 1在(－1，＋∞)上是增函数．
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3．求函数的最值与求函数的值域类似，常用的方法是： (1)图像法，即画出函数的图像，根据图像的最高点或最低点写出 最值； (2)单调性法，一般需要先确定函数的单调性，然后根据单调性的 意义求出最值； 4．通过函数最值的学习，渗透数形结合思想，树立以形识数的解 题意识．

【拓展训练】
函数 y＝f(x＋1)的定义域是[－2，3]，求 y＝f(2x－1)的定义域．
【解析】因为函数 y＝f(x＋1)的定义域是[－2，3]，所以－2≤x≤3，－1≤x＋1≤4，所以
f(x)的定义域是[－1，4].再由－1≤2x－1≤4，得
5 0≤x≤2
.
所以 f(2x－1)的定义域是0，52 .
1．关于对应关系的选择 根本的方法是依据函数的定义进行判断，判断时可以借助区间的端点值、区间中的 特殊值进行验证、排除，另外值域一定是集合 B 的子集． 2．关于利用对应关系求值 利用对应关系建立定义域 A 中的 x 与值域中的 y 之间的方程，通过解方程求值，其 中 x 可以是一个或多个，而 y 值只能是一个．
备选类型 函数的逆向问题 【典例】已知函数 y＝k2x2k＋x＋3k1x＋1 的定义域为 R，求实数 k 的值． 【思路导引】将定义域为 R 转化为分母不为 0 在 R 上恒成立，或分母为 0 在 R 上无 解，据此确定参数．
1.y＝f(x)表示的是“y 等于 f 与 x 的乘积”吗？ 提示：符号 y＝f(x)是“y 是 x 的函数”的数学表示，应理解为 x 是自变量，它是关系所 施加的对象． 2．f(x)与 f(a)有何区别与联系？ 提示：f(x)与 f(a)的区别与联系：f(a)表示当 x＝a 时，函数 f(x)的值，是一个常量， 而 f(x)是自变量 x 的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是 f(x)的一个特殊值， 如一次函数 f(x)＝3x＋4，当 x＝8 时，f(8)＝3×8＋4＝28 是一个常数．
的定义域为{x|x≥－3 且 x≠1}．
3．(教材例题改编)若 f(x)＝1－1x2 ，则 f(3)＝________. 【解析】f(3)＝1－1 9 ＝－81 . 答案：－18

【典例】 已知函数f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且f(x-2)<f(1-x),则x
的取值范围为
.
错解:因为f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且f(x-2)<f(1-x),
3
所以x-2<1-x,解得x< 2
3
答案:x< 2
.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防
由图象确定函数单调性的方法及注意事项
(1)若图象从左向右上升,则函数单调递增;若图象从左向右下降,则函数单
调递减.
(2)单调区间必须是函数定义域的子集,单调区间之间不能用“∪”,而应用“,”
将它们隔开或用“和”字连接.
【变式训练1】 画出函数y=-x2+2|x|+1的图象,并写出该函数的单调区间.
函数(也称在区间I上单调递增);
(2)如果对任意x1,x2∈I,当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2),则称y=f(x)在区间I上是减
函数(也称在区间I上单调递减).
两种情况下,都称函数在区间I上具有单调性(区间I为函数的单调区间,也可
分别称为单调递增区间或单调递减区间).
3.(1)若函数y=f(x)在区间[1,+∞)内是减函数,则f(3)和f(5)的大小关系
-a≥2(其中当-a≤1时,函数f(x)在区间[1,2]上单调递减;
当-a≥2时,函数f(x)在区间[1,2]上单调递增),从而a∈
(-∞,-2]∪[-1,+∞).
已知函数的单调性或单调区间求参数的取值范围,要将参数视为已知数,依
据函数的图象或函数单调性的定义,确定函数的单调区间,与已知的单调区

)
A．{x|x＞0}
B．{x|x＜0}
C．{x|x＜0，且 x≠－1}
D．{x|x≠0，且 x≠－1}
(4)已知等腰△ABC 的周长为 10，则底边长 y 关于腰长 x 的函数关系为 y＝10－2x，
则函数的定义域为________．
[解析] (1)由11－－x≥1－0，x≠0 解得xx≤ ≠10，. 故选 B. (2)由于 y＝f(x)与 y＝ x＋3＋ 1－x是相等函数，故二者定义域相同，所以 y＝f(x) 的定义域为{x|－3≤x≤1}．写成区间形式为[－3,1]．故选 A. (3)∵x|x＋|－1x≠＞00，， ∴x|x≠|＞－x，1， ∴xx≠＜－0. 1， 故选 C.
[自主检测] 1．下列从集合 A 到集合 B 的对应中不是函数的是( )
答案：D
2．已知函数 g(x)＝2x2－1，则 g(1)＝( A．－1 C．1
) B．0 D．2
答案：C
3．函数 f(x)＝ 41－x的定义域是(
)
A．(－∞，4)
C．(4，＋∞)
B．(－∞，4] D．[4，＋∞)
答案：A 4．已知全集 U＝R，A＝{x|1＜x≤3}，则∁UA 用区间表示为________． 答案：(－∞，1]∪(3，＋∞)
[解析] 按照函数定义，选项 B，集合 A 中的元素 1 对应集合 B 中的元素±1，不符 合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项 C，元素 0 取倒数没 有意义，也不符合函数定义中集合 A 中任意元素都对应唯一函数值的要求；选项 D， 集合 A 中的元素 0 在集合 B 中没有元素与其对应，也不符合函数定义中集合 A 中的 任意元素都对应唯一函数值的要求，只有选项 A 符合函数定义．

例3.⑴ 已知函数f(x)的定义域是(-2,3)，则f(x-2)定 义域是？
问题10：已知函数
，则
定
义域是? f(x)定义域是
f(x+1)定义域是 思考：1. f(x+1)的定义域是x+1的范围还是x的范围？
由定义域的定义可得：是x的范围
2. f(x)中x的范围与f(x+1)中x+1的范围有什么
关系？
相同
(二)抽象函数定义域问题：
例3.⑴ 已知函数f(x)的定义域是(-2,3)，则 f(x-2)定义域是？ （0,5）
f(x-2)定义域是指谁的范围？
f(x-2)中的x-2范围与谁的范围相同？
⑵ 已知函数f(x-2)的定义域是(-2,3)，则f(x)
定义域是？
（-4,1）
f(x)定义域为[1,3]
对于2022年任意一个月份y，都有唯一确定的PM2.5的值 与之对应，因此i是y的函数
这个函数很难用一个解析式表示
⑵ 下图是用医疗仪器测量出的一段心电图：
如果用t表示测量时间，v表示测量的指标值 问题6：v是t的函数吗？如果是，这个函数用数 学符号可以怎样表示？ 对于任意一个 测量时间t，都有唯一确定的 测量指标v与 之对应，因此 测量指标v 是 测量时间t 的函数 这个函数很难用一个解析式表示
二. 函数的定义域
(一)具体函数求定义域考虑以下几方面： 1.偶次根式中被开方数要大于等于零； 2.分式中分母不能为零；
3.0次幂的底数不为零；
4.实际问题中函数的定义域使得实际 问题有意义； 5.若函数是由几部分数学式子构成的，则定 义域是使各部分式子都有意义的实数集合；
问题9：如果不知道函数解析式你能求出其定义 域吗？

函数的值域为[2,6)
配方法
题型探究
题型四
例4
求函数值和值域
(2)求下列函数的值域：
3x－1
③y＝
；
x＋1
− + −

=
=
=−
+
+
+

≠0
+
值域为{y|y∈R且y≠3}
分离常数法
题型探究
题型四
例4
求函数值和值域
(2)求下列函数的值域：
换元法
④y＝2x－ x－1.
√ D．f(x)＝|x|；g(x)＝ 2
课前预习
任务二：简单题型通关
3．函数y＝
1
−1
的定义域为A，函数y＝ + 1 的值域是B，
[0,1)∪(1，＋∞)
则A∩B＝________________(用区间表示)．
新知精讲
函数的概念
(1)函数的定义：
设 A，B 是 非空的数集 ，如果按照某种确定的对应关系 f，
(2)求 f(－1)，f(2)的值；
(3)当 a≠－1 时，求 f(a＋1)的值．
1
(2) f(－1)＝－1＋ ＝－2
−1
1
5
2
2
f(2)＝2＋ ＝
(3)当a≠－1时，a＋1≠0
f(a＋1)＝a＋1＋
1
+1
本课小结
➢ 1. 判断对应关系是否为函数的条件
➢ 2. 判断函数相等的方法
➢ 3. 求函数定义域的常用方法
设t＝ −
y＝2(t2＋1)－t＝2 −
t≥0且x＝t2＋1
函数的值域为