高三数学《直线、平面、简单几何体》基础过关(5)

2021年地区高三数学专题资料 直线、平面与简单几何体创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日例1、〔1〕设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出以下四个命题：①假设γα⊥，γβ⊥，那么βα||；②假设α⊂m ，α⊂n ，β||m ，β||n ，那么βα||；③假设βα||，α⊂l ，那么β||l ；④假设l =βα ，m =γβ ，n =αγ ，γ||l ，那么n m ||其中真命题的个数是 〔 B 〕A ．1B ．2C ．3D ．4(2)下面是关于三棱锥的四个命题：① 底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；② 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③ 底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；④ 侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；其中，真命题的编号是_______①④_______．〔写出所有真命题的编号〕例2、如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，a B A A A AC AB AC A AB A ===∠=∠1111,,，侧面11BCC B 与底面ABC 所成的二面角为120，E 、F 分别是棱A A C B 111、的中点．〔Ⅰ〕求A A 1与底面ABC 所成的角；〔Ⅱ〕证明E A 1∥平面FC B 1〔Ⅲ〕求经过C B A A 、、、1四点的球的体积．〔Ⅰ〕解：过A 1作A 1H ⊥平面ABC ，垂足为H.连结AH ，并延长交BC 于G ，连结EG ，于是∠A 1AH 为A 1A 与底面ABC 所成的角.∵∠A 1AB=∠A 1AC ， ∴AG 为∠BAC 的平分线.又∵AB=AC ， ∴AG ⊥BC ，且G 为BC 的中点因此，由三垂线定理，A 1A ⊥BC.∵A 1A//B 1B ，且EG//B 1B ， EG ⊥BC于是∠AGE 为二面角A —BC —E 的平面角，即∠AGE=120°由于四边形A 1AGE 为平行四边形，得∠A 1AG=60°，所以，A 1A 与底面ABC 所成的角为60°， 〔Ⅱ〕证明：设EG 与B 1C 的交点为P ，那么点P 为EG 的中点，连结PF.在平行四边形AGEA 1中，因F 为A 1A 的中点，故A 1E//FP.而FP ⊂平面B 1FC ，A 1E//平面B 1FC ，所以A 1E//平面B 1FC.〔Ⅲ〕解：连结A 1C ，在△A 1AC 和△A 1AB 中，由于AC=AB ，∠A 1AC=∠A 1AB ，A 1A=A 1A ，那么△A 1AC ≌△A 1AB ，故A 1C=A 1B ，由得 A 1A=A 1B=A 1C=a .又∵A 1H ⊥平面ABC ， ∴H 为△ABC 的外心.设所求球的球心为O ，那么O ∈A 1H ，且球心O 与A 1A 中点的连线OF ⊥A 1A.在Rt △A 1FO 中， .3330cos 21cos 111a a H AA F A O A =︒==故所求球的半径a R 33=，球的体积 3332734)33(3434a a R V πππ=== 例3、如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB=3，BC=1，PA=2，E 为PD 的中点.〔Ⅰ〕求直线AC 与PB 所成角的余弦值；〔Ⅱ〕在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ，并求出N 点到AB 和AP 的间隔 .解：〔Ⅰ〕设AC ∩BD=O ，连OE ，那么OE//PB ，∴∠EOA 即为AC 与PB 所成的角或者其补角.在△AOE 中，AO=1，OE=,2721=PB ,2521==PD AE ∴.1473127245471cos =⨯⨯-+=EOA 即AC 与PB 所成角的余弦值为1473. 〔Ⅱ〕在面ABCD 内过D 作AC 的垂线交AB 于F ，那么6π=∠ADF .连PF ，那么在Rt △ADF 中.33tan ,332cos ====ADF AD AF ADF AD DF 设N 为PF 的中点，连NE ，那么NE//DF ，∵DF ⊥AC ，DF ⊥PA ，∴DF ⊥面PAC ，从而NE ⊥面PAC.∴N 点到AB 的间隔 121==AP ，N 点到AP 的间隔 .6321==AF 例4、以下图〔1〕为一几何体的展开图．（1） 沿图中虚线将它们折叠后得到的是一个什么样的几何体？试用文字描绘并画出示意图；有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱锥〔2〕 需要 3 个这样的几何体才能拼成一个棱长为6cm 的正方体？试在棱长为6cm 的在正方体''''D C B A ABCD -〔图2〕中指出这个几何体的名称．〔2〕 练习：一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，那么此球的外表积为〔 A〕〔A 〕 π3 〔B 〕π4 〔C 〕 π33 〔D 〕π6练习题1．设γβα、、为平面，l n m 、、为直线，那么β⊥m 的一个充分条件是 〔 D 〕(A) l m l ⊥=⋂⊥,,βαβα(B) γβγαγα⊥⊥=⋂,,m (C) αγβγα⊥⊥⊥m ,, (D) αβα⊥⊥⊥m n n ,,2．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2， 〔2〕单位：〔厘米〕 示意图： E D 1C 1B 1A 1AD ＝1，E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点， 那么异面直线A 1E 与GF 所成的角是 〔 D 〕〔A 〕arccos 515 〔B 〕4π 〔C 〕arccos510 〔D 〕2π ３．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，B 1C 1的中点.那么,正方体的过P ，Q ，R 的截面图形是 ( D )〔A 〕 三角形 〔B 〕 四边形 〔C 〕 五边形 〔D 〕六边形４．设三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA=QC 1，那么四棱锥B —APQC 的体积为〔 C 〕 〔A 〕16V 〔B 〕14V 〔C 〕13V 〔D 〕12V 5．假如把两条异面直线看成“一对〞，那么在长方体6个面的12条对角线所在的直线中，异面直线一共有 〔 D 〕 〔A 〕60对 〔B 〕 54对 〔C 〕 42对 〔D 〕30对6．矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，那么四面体ABCD 的外接球的体积为〔 C 〕 〔A 〕π12125 〔B 〕π9125 〔C 〕π6125 〔D 〕π3125 7．球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面间隔 为2π，那么球心O 到平面ABC 的间隔 为 〔 B 〕 〔A 〕31 〔B 〕33 〔C 〕 32 〔D 〕36 8．在矩形ABCD 中，3=AB ，a BC =，A ABCD PA 于点平面⊥，假设BC 边上有且仅有两个点21Q Q ，满足条件：11DQ PQ ⊥、22DQ PQ ⊥，那么实数a 的取值范围是 〔 C 〕 〔A 〕 60<<a 〔B 〕6>a 〔C 〕6≥a 〔D 〕60≤<a9．正三棱锥ABC S -的底面边长是a 2，E 、F 、G 、H 分别是SA 、SB 、BC 、AC 的中点，那么四边形EFGH 面积的取值范围是 〔 B 〕(A) ),0(+∞ (B) ),33(2+∞a (C) ),63(2+∞a (D) ),21(2+∞a 10．如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -内有一个内切球O ，过正方体中两条互为异面直线的棱1AA 、BC 的中点P 、Q 做直线，该直线被球面截在球内的线段MN 的长为 〔 C 〕(A)a 41 (B)a 21 (C)a 22 (D) ()a 12- 11．在0120的二面角内放一个半径为5的球，使球与两个半 平面各有且仅有一个公一共点，那么这两点之间的球面间隔 等于 π3512．正四棱锥的侧棱长是底面边长的k 倍，那么k 的取值范围是 ),22(+∞ 13．正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，在正方体的侧面11B BCC 上到点A 间隔 为332的点的集合是一条曲线，那么这条曲线的形状是 以B 为圆心，半径为33 的41 圆弧 ，它的长度是63π ． 14．二面角βα--l 大小为600，点P 到α的间隔 为2，到β的间隔 为3，βα∈∈B A ,，那么PAB ∆周长的最小值为 76 ．15．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，中，AD=AA 1=1， AB=2，点E 在棱AD 上挪动.〔1〕证明：D 1E ⊥A 1D ；〔2〕当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的间隔 ； 〔3〕AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4π.〔1〕证明：∵AE ⊥平面AA 1DD 1，A 1D ⊥AD 1，∴A 1D ⊥D 1E〔2〕设点E 到面ACD 1的间隔 为h ，在△ACD 1中，AC=CD 1=5，AD 1=2， 故.2121,232152211=⋅⋅==-⋅⋅=∆∆BC AE S S ACE C AD 而 .31,23121,3131111=∴⨯=⨯∴⋅=⋅=∴∆∆-h h h S DD S V C AD AEC AEC D 〔3〕过D 作DH ⊥CE 于H ，连D 1H 、DE ，那么D 1H ⊥CE ，∴∠DHD 1为二面角D 1—EC —D 的平面角.设AE=x ，那么BE=2－x,,,1,.1,4,211x EH DHE Rt x DE ADE Rt DH DHD DH D Rt =∆∴+=∆=∴=∠∆中在中在中在 π.4,32.32543.54,3122π的大小为二面角时中在中在D EC D AE x x x x x x CE CBE Rt CH DHC Rt ---=∴-=⇒+-=+∴+-=∆=∆。

直线和平面平行的判定与性质（二）一、素质教育目标（一）知识教学点直线和平面平行的性质定理．（二）能力训练点用转化的方法掌握应用直线与平面平行的性质定理，即由线面平行可推得线线平行．（三）德育渗透点让学生认识到研究直线和平面平行的性质定理是实际生产的需要，充分体现了理论联系实际的原则．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：直线和平面平行的性质定理．2．教学难点：直线和平面平行的性质定理的证明及应用．理4，平面α内与b平行的所有直线都与a平行（有无数条）．否则，都与a是异面直线．三、课时安排1．7直线和平面的位置关系和1．8直线和平面平行的判定与性质这两个课题安排为2课时，本节课为第二课时，讲解直线和平面平行的性质定理．四、教与学过程设计（一）复习直线和平面的位置关系及直线和平面平行的判定（幻灯显示）师：直线和平面的位置关系有哪几种？生：有三种位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行．直线与平面相交或平行统称为直线在平面外．直线在平面内，说明直线与平面有无数个公共点；直线与平面相交，说明直线与平面只有1个公共点；直线与平面平行，说明直线与平面没有公共点．师：直线和平面的判定方法有哪几种？生：两种．第一种根据定义来判定，一般用反证法．第二种根据判定定理来判定：只要在平面内找出一条直线和已知直α，a∥b，则a∥α．（二）直线和平面平行的性质师：命题“若直线a平行于平面α，则直线a平行于平面α内的一切直线．”对吗？（幻灯显示）生：不对．师：为什么不对？（出示教具演示）平行的所有直线（为b′，b″）都与a平行（有无数条），否则，都与a是异面直线．师：在上面的论述中，平面α内的直线b满足什么条件时，可以与直线a平行呢？我们有下面的性质．直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．求证：a∥b．师提示：要证明同一平面β内的两条直线a、b平行，可用反证法，也可用直接证法．证明：（一）反证法．假设直线a不平行于直线b．∴直线a与直线b相交，假设交点为O，则a∩b＝O．∴a∩α＝O，这与“a∥α”矛盾．∴a∥b．（二）直接证法∵a∥α，∴a与α没有公共点．∴a与b没有公共点．a和b同在平面β内，又没有公共点，∴a∥b．下面请同学们完成例题与练习．（三）练习例2 有一块木料如图1-65，已知棱BC平行于面A′C′．要经过木料表面A′B′C′D′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？所画的线和面AC 有什么关系？解：（1）∵BC∥面A′C′，面BC′经过BC和面A′C′交于B′C′，∴BC∥B′C′．经过点P，在面A′C′上画线段EF∥B′C′，由公理4，得：EF∥BC．的线．（2）∵EF∥BC，根据判定定理，则EF∥面AC；BE、CF显然都和面AC相交．总结：解题时，应用直线和平面平行的性质定理，要注意把线面平行转化为线线平行．练习：（P．22中练习3）在例题的图中，如果AD∥BC，BC∥面A′C′，那么，AD和面BC′、面BF、面A′C′都有怎样的位置关系．为什么？∥面BC′．同理AD∥面BF．又因为BC∥面A′C′，过BC的面EC与面A′C′交于EF，（四）总结本节课我们复习了直线和平面平行的判定，学习了直线和平面平行的性质定理．性质定理的实质是线面平行，过已知直线作一平面和已知直线都与已知直线平行．五、作业P．22—23中习题三5、6、7、8．六、板书设计直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．性质定理的证明：求证：a∥b．例：有一块木料，已知棱BC平行于面A′C′，要经过木料表面A′B′C′D′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？所画的线和面AC有什么关系？练习：在例中，若AD∥BC，BC∥面A′C′，那么，AD和面BC′、面BF、面A′C′都有怎样的位置关系，为什么？。

高考教材优化演练(九) 直线 平面 简单几何体一、直线与平面1 下列说法不正确的是A,如果一条直线的两点在一个平面内,则这条直线的所有点都在这个平面内. B,如果两个平面有一个公共点,则它们还有其他公共点,且它们都在一条直线上. C,三点确定一个平面. D,平行于同一条直线的两条直线互相平行. 2下列说法不正确的是A,经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.B,经过两条相交直线有且只有一个平面. C,经过两条平行直线有且只有一个平面. D,三条两两相交的直线确定一个平面. 3下列说法不正确的是A,如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,则这两个角相等. B,正方体的12条棱中,异面直线共有24对.C,若直线l ⊄平面α,直线m ⊂平面α,且//l m ,则//l α.D,在空间四边形ABCD 中,E,F 分别是AB,AD 的中点,则EF//平面BCD.4在长方体ABCD -''''A B C D 中'1AA AD == ,则(1)异面直线'BA 与'CC 所成的角等于 ;(2)异面直线'BA 与'AC 所成的角等于 ;(3)异面直线'BA 与AD 的距离等于 ;(4)二面角'A BC A --的平面角等于 ;(5)二面角''C BA C --的平面角等于 ;(6)点'C 到平面'A BC 的距离等于 ; (7)点'C 到直线'AC 的距离等于 ;(8)四面体''AB CD 的体积等于 . (9)外接球的体积等于 ;(10)外接球的表面积等于 ; 5(如图)点P 在平面α外,PE AB ⊥, PF AC ⊥且PAE PAF ∠=∠060EAF =∠=,1AP =, 则点P 到平面α的距离等于 .6在直三棱柱ABC '''A B C -中,AB=BC=CA=a,'AA =,则直线'AB 与侧面'AC 所成的角等于 .7把正方形ABCD 沿着对角线AC 折成直二面角,点E,F 分别为AD,BC 的中点,点O 是 原正方形ABCD 中心,则折起后EOF ∠= .8(如图)AB 是圆O 的直径,PA 垂直圆O 所在的平面,C 是圆上的任意一点, (1) 求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)图中有哪些直角三角形?二、空间向量9设点O 是空间任一点,A,B,C 三点不共线,且点P 满足OP=xOA yOB zOC ++, (,,x y z R ∈),若四点P,A,B,C 共面,则x y z ++= .10已知空间四边形OABC,点M,N 分别是边OA,BC 的中点,且OA=a ,OB=b ,OC=c , 用,,a b c 表示MN= .11已知平行六面体OABC ''''O A B C -,且OA=a ,OC=b ,'OO =c ,用,,a b c 表示 OG= .(点G 是侧面''BB C C 的中心)12在空间四边形OABC 中, ,OA BC OB AC ⊥⊥,则OC 与AB 所成的角等于 . 13如图,已知线段AB 在平面α内,线段AC α⊥,线段BD ⊥AB,线段'DD α⊥,'DBD ∠=030,如果AB =a ,AC=BD=b ,则(1)C,D 间的距离等于 ;(2)向量AB 与CD 所成的角等于 . 14已知平行六面体ABCD ''''A B C D -中,AB=4,AD=3, '5AA =,090BAD ∠=,''60BAA DAA ∠=∠=,则(1)'AC 的长等于 ;(2)异面直线'BA 与'CB 所成的角等于 ; (3)二面角'B A A D --的大小等于 ;15已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2,点E,F,G 分别是AB,AD,DC 的 中点,则向量EF ﹒GF= .16正方形ABCD 1111A B C D -中,E,F 分别是1BB ,CD 的中点,则直线1D F 与平面ADE 所成 的角等于 .17在空间直角坐标系O xyz -中,点P(2,3,4)在平面xOy 内的射影的坐标为 ; 点P(2,3,4)关于平面xOy 的对称点的坐标为 ; 点P(2,3,4)关于z 轴的对称点 的坐标为 ;点P(2,3,4)关于原点的对称点的坐标为 .18在正方体1111ABCD A B C D -中,E,F 分别是1BB ,1DB 的中点,则EF 与1DA 所成的角 等于 ;EF 与1AC 所成的角等于 .19已知AB 为平面α的一条斜线,B 为斜足, AO α⊥于点O,BC 为α内的一条直线, 060ABC ∠=,045OBC ∠=,则斜线AB 与平面α所成的角等于 .20已知在一个060的二面角的棱上有两个点A,B.AC,BD 分别是在这个二面角的两个 面内,且垂直于AB 的线段,又知AB=4,AC=6,BD=8,则CD= .21已知正三角形ABC 的边长为6,点O 到ABC ∆各顶点的距离都是4,则点O 到这个三 角形所在平面的距离等于 .22(如图)在棱长为1正方体''''ABCD A B C D -中,E 是AC 的 中点,点F 在'DB 上,且'EF DB ⊥. (1) 求证:'DB ⊥平面'ACD ;(2) 求证:EF 是异面直线AC 与'DB 的公垂线, 并求EF 的长.(3)求平面'D AC 与平面'B AC 所成的角的大小.23(如图)在正方体1111ABCD A B C D -中, 1111114A B B E D F ==, (1) 求1BE 与1DF 所成的角的余弦值;(2) 求平面1ADF 与平面1BCE 所成的角的大小; (3) 求直线1BE 与平面1ADF 所成的角的大小; (4) 求点1C 到平面11BE F 的距离.24(如图)在直三棱柱111ABC A B C -中,1CA CB ==,90BCA ∠=,棱12AA =,M,N 分别为11A B ,1A A 的中点.(1) 求向量BN 的长;(2)求11cos ,BA CB <>的值; (3)求证:11A B C M ⊥.三、简单多面体与球 25下列说法不正确的是A,侧棱与底面不垂直的棱柱叫斜棱柱;B,侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱. C,底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱;D,底面是正多边形的棱锥叫正棱锥. 26在长方体''''ABCD A B C D -中,从一个顶点出发的三条棱长分别为,,a b c . (1)长方体的对角线长等于 ; (2)若对角线与棱所成的角分别为,,αβγ,则222c o s c o sc o s αβγ++= , 222sin sin sin αβγ++= .(3)若对角线与各面所成的角分别为,,αβγ,则222c o s c o sc o s αβγ++= , 222sin sin sin αβγ++= .27正三棱锥S ABC -的各条棱长均为1,则它的高SO 与斜高SM 的夹角等于 .28正四面体内切球的半径与外接球的半径的比等于 .29在半径是13的球面上有A,B,C 三点,AB=BC=CA=12,则球心到经过这三点的截面的 距离等于 .30用一个平面截半径为25cm 的球,面截面积是492cm π,则球心到截面的距离等于 . 31设球O 的半径为R,点A,B 在球面上,AOB θ∠=,则A,B 两点间的球面距离等于 . 32P,A,B,C,是球O 面上的四个点,PA,PB,PC 两两垂直,且PA=PB=PC=1,则球的表面积为 .参考答案:一1.C 2.D 3.A 4.(14P 练习改)(1)030;(2)arccos5:B ,'(1,0,1)A ,A(1,0,0)'C ,'(0,BA =,'(AC =-,''cos ,5BA AC <>==-;(3) .:作'AE BA ⊥于点E,则AE 是它们的公垂线;(4).030;(5).arccos :作''C F A B ⊥ 于点F,设(,,)F a b c ,则''A F AB λ=,有(1,,1)1)a b c λ--=-=,)λ-,得11a b c λ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩,'(,)FC λ=-,由''A B FC ⊥,有1)-⋅(-, )0λ=,得34λ=,求'FC 与BC 的夹角即可;(6).2:''''C A BC A BCC V V --=;(7).5:作 ''C M AC ⊥于点M,在''Rt ACC ∆中求高'C M-截去4个三棱锥的体积11(11)432⋅⋅⋅:对角线'AC =是球的直径;(10).5π00cos60cos30cos PAO =⋅∠,得sin 3PAO ∠=.6.030:取''AC 的中点E,则'''B E AC ⊥, ''B E CC ⊥,得'B E ⊥平面'AC ,有'B E AE ⊥,'B AE ∠为所求的角.7.0120.8.(1)证明:AB 为直径,C 在圆O 上,得BC AC ⊥,又PA ⊥平面ABC,得PA BC ⊥,PAAC A =,BC ⊥平面PAC,而BC ⊂平面PBC,得平面PAC ⊥平面PBC.(2)Rt PAC ∆, Rt PAB ∆, Rt ABC ∆,Rt PBC ∆.二.9.1. 10.1()2b c a +-:1()2ON b c =+,MN ON OM =-.11.1122b ac ++. 12.090:34(P 例34P 例7);(2). :AB 2CD a ⋅=35(P 例8);(2).arccos266:将'CB 平移至'DA ;(3)1arccos 3π-:作'DM AA ⊥于点M, 在AB 上取一点N,使AN=3,连结NM,则NMD ∠为所求二面角的平面角.15.0. 16.090:作 EM//BC 交1CC 于点M,则1DM D F ⊥,又1EM D F ⊥,得1D F ⊥平面ADE.17.(2,3,0);(2,3,-4);(-2,-3,4);(-2,-3,-4).18.0120;090:空间直角坐标系.19.04544(P 例1).20.46P 例2).21.2(48P 例1).22.(1)证明:DB 为'DB 在平面ABCD 上的射影,而AC DB ⊥,得AC 'DB ⊥, 同理''AD DB ⊥,又'ACAD A =,可得.(2) AC DB ⊥, AC 'DB ⊥,'DB DB D =,得AC⊥平面'DBB ,EF ⊂平面'DBB ,得AC ⊥EF,又EF ⊥'DB ,得EF 是AC 与'DB 的公垂线.在'Rt DBB ∆中,ED=12BD=2, EF ⊥'DB ,'DB'BB =1,''DE EF DB BB =,得EF=6. (3).连结'D E ,'B E ,有'D E AC ⊥,'B E AC ⊥,有''D EB ∠为所求二面角的平面角,又'BE ='D E2=''D B,得''D EB ∠=1arccos 3.(用空间直角坐标系算更方便). 23.(1)1517(14P 例4).(2).12arctan 4:设正方体的棱长为1,1114B E =,111tan 4E BB ∠=,所求二面 角是11E BB ∠的2倍.(3).12arctan4.(4).7:建立空间直角坐标系有,(1,1,0)B ,13(1,,1)4E ,11(0,,1)4F ,1(0,1,1)C ,设平面11BE F 的方程为0ax by cz d +++=,则0304104a b d a b c d b c d ⎧⎪++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪++=⎪⎩,得212b a c a d a =-⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩,有1::::2::2a b c d a a a a =--=2:4:1:2--,得平面11BE F 的方程为2420x y z --+=,点1(0,1,1)C到它的距离d =24.分别以CA,CB,1CC 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,(1)由(0,1,0)B ,(1,0,1)N ,则BN .(2).1(1,1,2)BA =-,1(0,1,2)CB =, 11111cos ,10BA CB BA CB BA CB ⋅<>==⋅.(3).1(1,1,2)A B =--,111(,,0)22C M =,110A B C M ⋅=. 三1arcsin3;中心到面的距离12:中心到顶点的距离12. 29.11:O-ABC 为正三棱锥.30.24. 31.Rθ. 32.3π:由222)33R R -+=,得2R =.。

仲元中学高三数学专题训练测试系列(直线、平面、简单几何)时间是：120分钟分值：150分一、选择题(每一小题5分，一共60分)1．过空间一点与平面垂直的直线有( ) A．0条B．1条C．0条或者1条D．无数条解析：根据线面垂直的定义及其性质定理可知过空间一点与平面垂直的直线只有1条，应选B.答案：B2．平面α⊥平面β的一个充分条件是( ) A．存在一条直线l，使得l⊥α，l⊥βB．存在一个平面γ，使得γ⊥α，γ⊥βC．存在一个平面γ，使得γ∥α，γ∥βD．存在一条直线l，使得l⊥α，l∥β解析：对于A，由l⊥α，l⊥β得α∥β，因此A不正确；对于B，假设直线l⊥γ，那么任意一个经过直线l的平面都与平面γ垂直，显然可以找到两个都经过直线l但互不垂直的平面α、β，因此B不正确；对于C，由γ∥α，γ∥β只能得出α∥β，因此C 不正确；对于D，由l⊥α，l∥β可得α⊥β，因此D正确．答案：D3．(2021·二检)设a、b是两条直线，α、β是两个平面，那么a⊥b的一个充分条件是( ) A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β解析：依题意易知A，D中的位置关系不确定，故A、D错误；对于B，易知a∥b，故B 错误；对于C，因为b⊥β，α∥β，故b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b，故C正确．答案：C4．(2021·八校联考)直线a，假如直线b同时满足条件①a与b异面；②a与b成定角；③a与b的间隔为定值，那么这样的直线b( ) A．唯一确定B．有2条C．有4条D．有无数条解析：找出模型，如墙角处考虑D正确．答案：D5．正方体A′B′C′D′－ABCD的棱长为a，EF在AB上滑动，且|EF|＝b(b<a)，Q点在D′C′上滑动，那么四面体A′－EFQ的体积为( )图1A ．与E 、F 位置有关B ．与Q 位置有关C ．与E 、F 、Q 位置都有关D ．与E 、F 、Q 位置均无关，是定值 解析：V A ′－EFQ ＝V Q －A ′EF . 答案：D6．设M 是正四面体ABCD 的高线AH 上一点，连结MB 、MC ，假设∠BMC ＝90°，那么AM MH的值是( )A.5－12B.5＋12C. 2D ．1解析：设正四面体的棱长为a ，MH ＝x ，那么MC 2＝MB 2＝MH 2＋BH 2＝x 2＋13a 2，在Rt△BMC中，由MB 2＋MC 2＝BC 2，得2(x 2＋13a 2)＝a 2，解得x ＝66a ，∴AM ＝MH ＝12AH ，即AM MH＝1.答案：D7．球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面间隔 均为π2，那么球心O 到平面ABC 的间隔 为( )A.13B.33C.23D.63解析：设球心O 到平面ABC 的间隔 为h ，由等体积法可知，V O －ABC ＝V C －AOB ，即h ·S △ABC＝OC ·S △AOB ，即h ＝OC ·S △AOBS △ABC ＝1×12×1×112×2×2×sin60°＝33. 答案：B8．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成一个120°的二面角，点C 到达点C 1，这时异面直线AD 与BC 1所成的角的余弦值是( )A.22B.12C.34D.34解析：由题意易知∠ABC 1即为AD 与BC 1所成的角，解△ABC 1，得余弦为34.答案：D9．(2021·调研)在正四面体S —ABC 中，E 为SA 的中点，F 为△ABC 的中心，那么直线EF 与平面ABC 所成的角的大小为( )A ．arccos 13B ．45°C ．arctan 2D ．arctan22解析：连接SF ，那么SF ⊥平面ABC .连接AF 并延长交BC 于H ，取线段AF 的中点G ，连接EG ，由E 为SA 的中点，那么EG ∥SF ，∴EG ⊥平面ABC ，∴∠EFG 即为EF 与平面ABC 所成的角．图2设正四面体的边长为a ，那么AH ＝32a ，且AF ＝23AH ＝33a ； 在Rt△AGE 中，AE ＝a 2，AG ＝12AF ＝36a ，∠EGA ＝90°，∴EG ＝AE 2－AG 2＝66a . 在Rt△EGF 中，FG ＝12AF ＝36a ，EG ＝66a ，∠EGF ＝90°，∴tan∠EFG ＝EG FG＝2，∴∠EFG ＝arctan 2，即EF 与平面ABC 所成的角为arctan 2，应选C.答案：C10．(2021·五校联考)如图3，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，沿对角线BD 将△ABD 折起，使A 点在平面BCD 内的射影O 落在BC 边上，假设二面角C —AB —D 的平面角大小为θ，那么sin θ的值等于( )图3A.377B.74C.34D.45解析：由题意可知，折起后平面ABC ⊥平面BCD ，又∵DC ⊥BC ，∴DC ⊥平面ABC ，∴DC ⊥AB ，又∵AB ⊥AD ，AD ∩DC ＝D ，∴AB ⊥平面ACD ，∴AB ⊥AC ，∴∠CAD 即为二面角C —AB —D 的平面角θ，在直角三角形ACD 中，易求得sin θ＝34，应选C.答案：C11．(2021·全国卷Ⅱ)纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．如今沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，那么标“△〞的面的方位是图4( )A ．南B ．北C ．西D ．下解析：将展开图复原成原来的正方体可知选B. 答案：B12．(2021·一调)如图5，在棱长为4的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 、F 分别是AD 、A ′D ′的中点，长为2的线段MN 的一个端点M 在线段EF 上运动，另一个端点N 在底面A ′B ′C ′D ′上运动，那么线段MN 的中点P 的轨迹(曲面)与二面角A —A ′D ′—B ′所围成的几何体的体积为( )图5A.4π3B.2π3C.π3D.π6解析：依题意可知|FP |＝12|MN |＝1，因此点P 的轨迹是以点F 为球心、1为半径的球面，于是所求的体积是14×(43π×13)＝13π，选C.答案：C二、填空题(每一小题4分，一共16分)13．(2021·一检)以下命题：①假如一个平面内有一条直线与另一个平面内的一条直线平行，那么这两个平面平行；②假如一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；③平行于同一平面内的两个不同平面互相平行；④垂直于同一直线的两个不同平面互相平行．其中的真命题是__________(把正确的命题序号全部填在横线上)．解析：对于①，相应的两个平面可能相交，因此①不正确；对于②，其中的两条直线可能是两条平行直线，此时相应的两个平面不一定平行，因此②不正确；对于③④，显然正确．答案：③④14．设球O 的半径为R ，A 、B 、C 为球面上三点，A 与B 、A 与C 的球面间隔 为πR2，B与C 的球面间隔 为πR3，那么球O 在二面角B －OA －C 内的这局部球面的面积是__________．解析：如图6所示．图6∵A 与B ，A 与C 的球面间隔 都为πR2，∴OA ⊥OB ，OA ⊥OC .从而∠BOC 为二面角B －OA －C 的平面角． 又∵B 与C 的球面间隔 为πR3，∴∠BOC ＝π3.这样球O 在二面角B －OA －C 的局部球面的面积等于16×4πR 2＝2π3R 2.答案：2π3R 215．如图7，∠BAD ＝90°的等腰直角三角形ABD 与正三角形CBD 所在平面成60°的二面角，那么AB 与平面BCD 所成角的大小为________．图7解析：作AE ⊥BD ，连结CE ，那么CE ⊥BD ，∠AEC ＝60°. 作AO ⊥EC ，那么AO ⊥面BCD ，连结BO ，∠ABO 即为AB 与面BCD 所成的角．设AB ＝a ，那么AE ＝22a ，AO ＝AE sin60°＝22a ×32＝64a .∴sin∠ABO ＝64a a ＝64.∴∠ABO ＝arcsin64. 答案：arcsin64 16．(2021·东北三校一模)如图8，将∠B ＝π3，边长为1的菱形ABCD 沿对角线AC 折成大小等于θ的二面角B —AC —D ，假设θ∈[π3，2π3]，M 、N 分别为AC 、BD 的中点，那么下面的四种说法：图8①AC ⊥MN ；②DM 与平面ABC 所成的角是θ； ③线段MN 的最大值是34，最小值是34；④当θ＝π2时，BC 与AD 所成的角等于π2.其中正确的说法有__________(填上所有正确说法的序号)．解析：如图9(1)，AC ⊥BM ，AC ⊥MD ⇒AC ⊥平面BMD ，所以AC ⊥MN ，①正确；因为θ∈[π3，2π3]，且线与面所成角的范围为[0，π2]，所以DM 与平面ABC 所成的角不一定是θ，②错；BM ＝DM ＝32，MN ⊥BD ，∠BMD ＝θ，所以MN ＝BM ·cos θ2＝32·cos θ2，所以线段MN 的最大值是34，最小值是34，③正确；当θ＝π2时，过C 作CE ∥AD ，连接DE (如图9(2))，且DE ∥AC ，那么∠BCE (或者补角)即为两直线的夹角，BM ⊥DM ，BM ＝DM ＝32，BD 2＝32，又DE ∥AC ，那么DE ⊥平面BDM ，∴DE ⊥BD ，BE 2＝32＋1＝52，cos BCE ＝1＋1－522＝－14≠0，所以④错．图9答案：①③三、解答题(本大题一一共6个小题，一共计74分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17．(12分)(2021·质检)如图10，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为A 1B 1、A 1D 1的中点，G 、H 分别为BC 、B 1D 1的中点．图10(1)指出直线GH 与平面EFDB 的位置关系，并加以证明； (2)求异面直线GH 与DF 所成角的大小． 解：(1)连结EH ，易知EH ＝BG 且EH ∥BG ，所以四边形EHGB 为平行四边形，所以GH ∥BE ，所以GH ∥平面EFDB . (2)取BD 中点M ，连结MF ，易知MF ∥BE ，所以MF ∥GH ， 所以∠DFM 为异面直线GH 与DF 所成的角， 设正方体棱长为2，可得，MF ＝5，DF ＝5，MD ＝2，在三角形MDF 中，由余弦定理可得cos∠MFD ＝45，∴异面直线GH 与DF 所成的角的大小为arccos 45.18．(12分)如图11，在△ABC 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，点D 在斜边AB 上，∠BCD ＝α(0<α<π2)．把△BCD 沿CD 折起到△B ′CD 的位置，使平面B ′CD ⊥平面ACD .图11(1)求点B ′到平面ACD 的间隔 (用α表示)； (2)当AD ⊥B ′C 时，求三棱锥B ′－ACD 的体积．解：(1)作B ′E ⊥CD 于E . ∵平面B ′CD ⊥平面ACD ，∴B ′E ⊥平面ACD .∴B ′E 的长为点B ′到平面ACD 的间隔 ．B ′E ＝B ′C ·sin α＝sin α.图12(2)∵B ′E ⊥平面ACD ，∴CE 为B ′C 在平面ACD 内的射影． 又AD ⊥B ′C ，∴AD ⊥CD (CE )． ∵AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°， ∴D 为AB 中点，且α＝π4.∴S △ACD ＝12·12AC ·BC ＝14，B ′E ＝sin π4＝22.∴V B ′－ACD ＝13·14·22＝224.19．(12分)(2021·联考)如图13，长方体AC 1中，AB ＝2，BC ＝AA 1＝1.E 、F 、G 分别为棱DD 1、D 1C 1、BC 的中点．(1)试在底面A 1B 1C 1D 1上找一点H ，使EH ∥平面FGB 1； (2)求四面体EFGB 1的体积．图13解：(1)取A 1D 1的中点P ，D 1P 的中点H ，连接DP 、EH ，那么DP ∥B 1G ，EH ∥DP ，∴EH ∥B 1G ，又B 1G ⊂平面FGB 1，∴EH ∥平面FGB 1.即H 在A 1D 1上，且HD 1＝14A 1D 1时，EH ∥平面FGB 1.20．(12分)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1，AB ＝CC 1＝a ，BC ＝b . (1)设E ，F 分别为AB 1，BC 1的中点，求证：EF ∥平面ABC ； (2)求证：A 1C 1⊥AB ；(3)求点B 1到平面ABC 1的间隔 ．图14解：(1)∵E ，F 分别为AB 1，BC 1的中点，∴EF ∥A 1C 1. ∵A 1C 1∥AC ，∴EF ∥AC ，∴EF ∥平面ABC . (2)∵AB ＝CC 1，∴AB ＝BB 1. 又三棱柱为直三棱柱， ∴四边形ABB 1A 1为正方形， 连结A 1B ，那么A 1B ⊥AB 1.又∵AB 1⊥BC 1，∴AB 1⊥平面A 1BC 1，∴AB 1⊥A 1C 1. 又A 1C 1⊥AA 1，∴A 1C 1⊥平面A 1ABB 1，∴A 1C 1⊥AB . (3)∵A 1B 1∥AB ，∴A 1B 1∥平面ABC 1，∴A 1到平面ABC 1的间隔 等于B 1到平面ABC 1的间隔 ，过A 1作A 1G ⊥AC 1于G . ∵AB ⊥平面ACC 1A 1，∴AB ⊥A 1G ，从而A 1G ⊥平面ABC 1，故A 1G 即为所求的间隔 ， 求得A 1G ＝a bb 2－a 2. 21．(12分)(2021·二模)如图15，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面所成的角为60°，AB ＝BC ，A 1A ＝A 1C ＝2，AB ⊥BC ，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC .(1)证明：A 1B ⊥A 1C 1；(2)求二面角A －CC 1－B 的大小；(3)求经过A 1、A 、B 、C 四点的球的外表积．图15图16解：取AC 中点为O ，由A 1A ＝A 1C ，AB ＝BC ，知A 1O ⊥AC ，BO ⊥AC ，又平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，所以A 1O ⊥OB .建立如图16所示的坐标系O －xyz ，那么A (0，－1,0)，B (1,0,0)，A 1(0,0，3)，C (0,1,0)．(1)∵A 1B →＝(1,0，－3)，A 1C 1→＝AC →＝(0,2,0)，∴A 1B →·A 1C 1→＝0，∴A 1B ⊥A 1C 1.(2)设n ＝(x ，y ，z )为面BCC 1的一个法向量． ∵BC →＝(－1,1,0)，CC 1→＝AA 1→＝(0,1，3)， 又n ·BC →＝n ·CC 1→＝0，∴⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，y ＋3z ＝0.取n ＝(3，3，－1)．又m ＝(1,0,0)是面ACC 1的法向量，cos m ，n ＝m ·n |m ||n |＝37＝217.由点B 在平面ACC 1内的射影O 在二面角的面ACC 1内，知二面角A －CC 1－B 为锐角， 所以二面角A －CC 1－B 的大小为arccos217. (3)设球心为O 1，因为O 是△ABC 的外心，A 1O ⊥平面ABC ， 所以点O 1在A 1O 上，那么O 1是正三角形A 1AC 的中心． 那么球半径R ＝33A 1A ＝233，球外表积S ＝4πR 2＝163π. 22．(14分)(2021·东城模拟)如图17所示，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PB ⊥BC ，PD ⊥CD ，且PA ＝2，E 为PD 中点．图17(1)求证：PA ⊥平面ABCD ； (2)求二面角E －AC －D 的大小；(3)在线段BC 上是否存在点F ，使得点E 到平面PAF 的间隔 为255？假设存在，确定点F 的位置；假设不存在，请说明理由．解：(1)证明：∵底面ABCD 为正方形，∴BC ⊥AB ，又BC ⊥PB ，∴BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥PA . 同理CD ⊥PA ， ∴PA ⊥平面ABCD .(2)建立如图18所示的空间直角坐标系A －xyz ，图18那么A (0,0,0)，C (2,2,0)、E (0,1,1)． 设m ＝(x ，y ，z )为平面AEC 的一个法向量． 那么m ⊥AE →，m ⊥AC →.又AE →＝(0,1,1)，AC →＝(2,2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，2x ＋2y ＝0.令x ＝1，那么y ＝－1，z ＝1，得m ＝(1，－1,1) 又AP →＝(0,0,2)是平面ACD 的一个法向量， 设二面角E －AC －D 的大小为θ，那么cos θ＝cos m ，AP →＝m ·AP→|m |·|AP →|＝23·2＝33. ∴二面角E －AC －D 的大小为arccos33. (3)设F (2，t,0)(0≤t ≤2)，n ＝(a ，b ，c )为平面PAF 的一个法向量，那么n ⊥AP →，n ⊥AF →.又AP →＝(0,0,2)，AF →＝(2，t,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝0，2a ＋tb ＝0.令a ＝t ，那么b ＝－2，c ＝0， 得n ＝(t ，－2,0)． 又AE →＝(0,1,1)．∴点E 到平面PAF 的间隔 为|AE →·n ||n |＝2t 2＋4，∴2t 2＋4＝255，解得t ＝1，即F (2,1,0)．∴在线段BC 上存在点F ，且F 为BC 中点，使得点E 到平面PAF 的间隔 为255.。

一．高考考点（一）直线与平面平行(1) 直线与平面的位置关系 (2) 直线与平面平行的判定① a ∩α=ф⇒a ∥α(定义法)；② 判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。

（a ∥b ，a α⊄，b α⊂⇒a ∥α）；③ b ⊥a, b ⊥α, a α⊄⇒a ∥α； ④ α∥β,a ⊂α⇒a ∥β。

(3) 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

（a ∥α，a ⊂β，α∩β=b ⇒a ∥b ；即“线面平行，则线线平行”）(4) 直线与平面的距离: 一条直线和一个平面平行,这条直线上任一点到这个平面的距离叫做这条直线与平面的距离。

（注：线到面的距离是用点到平面的距离来度量的）（5）思维方式: 线线平行 或找一直线在平面内作线面平行 平面与平面相交得交线经过直线作或找线线平行 （6）特别注意:在直线与平面的位置关系中,直线与平面平行,直线与平面相交,统称直线在平面外,记作a α⊄.（二）平面与平面平行（1）位置关系：平行：没有公共点；βα//相交：至少有一个公共点，必有一条公共直线，公共点都在公共直线上．（相交包括垂直相交和斜交）βαβα⊥=或l（2）平行的判定：① 定义：没有公共点的两个平面平行．（常用于反证）βαβα//⇒Φ=⋂② 判定定理：若一个平面内的两条相交直线平行于另一平面，则这两个平面平行．（线线平行推得线面平行）βαββα////,//,,,⇒=⋂⊂b a o b a b a③ 垂直于同一条直线的两个平面平行．βαβα//,⇒⊥⊥a a④ 平行于同一个平面的两个平面平行．βαγβγα////,//⇒ ⑤ 过已知平面外一点作这个平面的平行平面有且只有一个． （3）平行的性质：① 两个平行平面没有公共点(定义法)．Φ=⋂⇒βαβα//② 若一个平面与两个平行平面都相交，则两交线平行．（面面平行得线线平行） b a b a //,,//⇒=⋂=⋂βγαγβα③ 两个平行平面中的一个平面内的所有直线平行于另一个平面．（面面平行得线面平行）βαβα//,//a a ⇒⊂④ 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直于另一个平面．（用来判定直线与平面垂直）βαβα⊥⇒⊥a a ,//⑤ 一般地，一条直线与两个平行平面所成的角相等，但反之不然．⑥ 夹在两个平行平面间的平行线段相等．特别地，两个平行平面间的距离处处相等．二．强化训练一．选择题（共10个小题）1．已知直线a 、b 和平面α，那么b a //的一个必要不充分的条件是 （ ） ()A α//a ，α//b ()B α⊥a ，α⊥b()C α⊂b 且α//a ()D a 、b 与α成等角2．α、β表示平面，a 、b 表示直线，则α//a 的一个充分条件是 （ ） ()A βα⊥，且β⊥a ()B b =βα ，且b a // )(C b a //，且α//b ()D βα//，且β⊂a3．若不共线的三点到平面α的距离相等，则该三点确定的平面β与α之间的关系为（ ）A ．平行B ．相交C ．平行或相交D ．以上都不是4.已知平面//α平面β，P 是βα,外一点，过点P 的直线m 与βα,分别交于点C A ,，过点P 的直线n 与βα,分别交于点D B ,，且6=PA ，9=AC ，8=PD ，则BD 的长为（ ）()A 16 ()B 24或524()C 14 ()D 20 5．在下列条件下，能够判定平面M 与平面N 平行的条件是（ ）（A ）M 、N 都垂直于另一平面Q （B ）M 内不共线的三点到N 的距离相等（C ）l,m 是M 内的两条直线，且l ∥N,m∥N （D ）l,m 是两条异面直线，且l ∥M,m∥M，l ∥N,m∥N6．a,b,c 为三条不重合的直线，α,β,γ为三个不重合的平面，现给出六个命题：①b a c b b a //////⇒⎭⎬⎫ ②b a b a //////⇒⎭⎬⎫γγ ③βαβα//////⇒⎭⎬⎫b b ④βαγβγα//////⇒⎭⎬⎫ ⑤ αα//////a c a c ⇒⎭⎬⎫ ⑥αγγα//////a a ⇒⎭⎬⎫ 其中正确的是（ ） （A ）①②③ （B ）①④⑤ （C ）①④ （D ）①④⑤⑥7．b a ,表示直线，β表示平面，则下列命题中正确的个数为（ ） ① 若b a a ⊥⊥,β，则β//b ② 若b a a ⊥,//β，则β⊥b ③ 若ββ⊥b a ,//，则a b ⊥ ④ 若ββ⊂⊥b a ,，则b a ⊥ （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 8．如果直线a //平面β，那么（ ） （A ）平面β内不存在与a 垂直的直线 （B ）平面β内有且只有一条直线与a 垂直 （C ）平面β内有且只有一条直线与a 平行 （D ）平面β内有无数条直线与a 不平行9．已知直线m l ,，平面βα,，且βα⊂⊥m l ,，给出下列四个命题： ① 若βα//，则m l ⊥； ② 若m l ⊥，则βα//； ③ 若βα⊥，则m l //；④若m l //，则βα⊥。

十年高考分类解析与应试策略数学第九章直线、平面、简单几何体（A）●考点阐释高考试卷中，立体几何考查的立足点放在空间图形上，突出对空间观念和空间想象能力的考查.立体几何的基础是对点、线、面的各种位置关系的讨论和研究，进而讨论几何体，而且采用了公理化体系的方法，在中学数学教育中，通过这部分内容培养学生空间观念和公理化体系处理数学问题的思想方法，这又是考生进入高校所必须具备的一项重要的数学基础，因此高考命题时，突出空间图形的特点，侧重于直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系的考查，以便审核考生立体几何的知识水平和能力.多面体和旋转体是在空间直线与平面的理论基础上，研究以柱、锥、台、球为代表的最基本的几何体的概念、性质、各主要元素间的关系、直观图画法、侧面展开图以及表面和体积的求法等问题.它是“直线和平面”问题的延续和深化.在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题.近些年来即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解.本章主要考查平面的性质、空间两直线、直线和平面、两个平面的位置关系以及空间角和距离面积及体积.●试题类编一、选择题1.（2003京春文11，理8）如图9—1，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为图9—1（）A.90°B.60°C.45°D.0°2.（2003上海春，13）关于直线a 、b 、l 及平面M 、N ，下列命题中正确的是（ ） A.若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b B.若a ∥M ，b ⊥a ，则b ⊥MC.若a M ，b M ，且l ⊥a ，l ⊥b ，则l ⊥MD.若a ⊥M ，a ∥N ，则M ⊥N3.（2002北京春，2）已知三条直线m 、n 、l ，三个平面α、β、γ.下面四个命题中，正确的是（ ）A.⇒⎭⎬⎫⊥⊥γβγαα∥βB.⇒⎭⎬⎫⊥m l m β//l ⊥βC.⇒⎭⎬⎫γγ////n m m ∥nD.⇒⎭⎬⎫⊥⊥γγn m m ∥n 4.（2002北京文，4）在下列四个正方体中，能得出AB ⊥CD 的是（ ）5.（2002上海，14）已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α，m β，给出下列四个命题：（1）若α∥β，则l ⊥m （2）若l ⊥m ，则α∥β （3）若α⊥β，则l ∥m（4）若l ∥m ，则α⊥β 其中正确命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4 6.（2002京皖春，7）在△ABC 中，AB =2，BC =1.5，∠ABC =120°（如图9—2），若将△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ）A.29π B.27π C.25π D.23π 7.（2002京、皖、春，12）用一张钢板制作一个容积为4 m 3的无盖长方体水箱.可用的长方形钢板有四种不同的规格（长×宽的尺寸如选项所示，单位均为m ）若既要够用，又要所剩最少，则应选择钢板的规格是（ ）图9—2A.2×5B.2×5.5C.2×6.1D.3×58.（2002全国文8，理7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（ ）A.43 B.54 C.53D.－53 9.（2002北京文5，理4）64个直径都为4a的球，记它们的体积之和为V 甲，表面积之和为S 甲；一个直径为a 的球，记其体积为V 乙，表面积为S 乙，则（ ）A.V 甲＞V 乙且S 甲＞S 乙B.V 甲＜V 乙且S 甲＜S 乙C.V 甲=V 乙且S 甲＞S 乙D.V 甲=V 乙且S 甲=S 乙10.（2002北京理，10）设命题甲：“直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ACB 1与对角面BB 1D 1D 垂直”；命题乙：“直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体”.那么，甲是乙的（ ）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件11.（2002全国理，8）正六棱柱ABCDEF —A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是（ ）A.90°B.60°C.45°D.30°12.（2001上海，15）已知a 、b 为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面，且a ⊥α, b ⊥β，则下列命题中的假命题．．．是（ ） A.若a ∥b ，则α∥β B.若α⊥β，则a ⊥bC.若a 、b 相交，则α、β相交D.若α、β相交，则a 、b 相交13.（2001京皖春，11）图9—3是正方体的平面展开图．在这个正方体．．．中， ①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线图9—3③CN与BM成60°角④DM与BN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是（）A.①②③B.②④C.③④D.②③④14.（2001全国文，3）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是（）A.3πB.33πC.6πD.9π15.（2001全国，11）一间民房的屋顶有如图9—4三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3.图9—4若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（）A.P3＞P2＞P1B.P3＞P2＝P1C.P3＝P2＞P1D.P3＝P2＝P116.（2001全国，9）在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝2BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（）A.60°B.90°C.105°D.75°17.（2001京皖春，9）如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是（）A.30°B.45°C.60°D.90°18.（2000上海，14）设有不同的直线a、b和不同的平面α、β、γ，给出下列三个命题：（1）若a∥α，b∥α，则a∥b．（2）若a∥α，a∥β，则α∥β．（3）若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中正确的个数是（）A.0B ．1C ．2D ．319.（2000京皖春，5）一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是（ ）A.1∶3B.2∶3C.1∶2D.2∶920.（2000全国，3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是（ ）A.23B.32C.6D.621.（2000全国文，12）如图9—5，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（ ）A.321 B.21 C.21 D.421 22.（2000全国理，9）一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）A.ππ221+ B.ππ441+ C.ππ21+ D.ππ241+ 23.（1999全国，7）若干毫升水倒入底面半径为2 cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6 cm.若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ）A.63cmB ．6 cm C.2318cmD.3312cm24.（1999全国，12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1∶2，那么R 等于（ ）A.10B.15C.20D.2525.（1999全国理，10）如图9—6，在多面体ABCDEF 中，已知图9—5面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF =23，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积是（ ）A.29 B.5C.6D.215 26.（1998全国，7）已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（ ）A.120°B.150°C.180°D.240°27.（1998全国，9）如果棱台的两底面积分别是S 、S ′，中截面的面积是S 0，那么（ ） A.S S S '+=02B.S S S '=0C.2S 0＝S ＋S ′D.S 02＝2S ′S28.（1998全国，13）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（ ）A.43B.23C.2D.329.（1998上海）在下列命题中，假命题是（ ）A.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任一直线，则α⊥βB.若平面α内任一直线平行于平面β，则α∥βC.若平面α⊥平面β，任取直线l α，则必有l ⊥βD.若平面α∥平面β，任取直线l α，则必有l ∥β30.（1997全国，8）长方体一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是（ ）A.202πB.252πC.50πD.200π31.（1997全国，12）圆台上、下底面积分别为π、4π，侧面积为6π，这个 圆台的体积是（ ） A.332πB.23πC.637πD.337π32.（1996全国理，14）母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于（ ） A.322π B.332π C.2π D.362π 33.（1996全国文12，理9）将边长为a 的正方体ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD ＝a ，则三棱锥D —ABC 的体积为（ ）A.63aB.123a C.3123a D.3122a 34.（1996全国文7，理5）如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l ＝β∩γ，l ∥α，m ⊂α和m ⊥γ，那么必有（ ）A.α⊥γ且l ⊥mB.α⊥γ且m ∥βC.m ∥β且l ⊥mD.α∥β且α⊥γ35.（1996上海，4）在下列命题中，真命题是（ ） A.若直线m 、n 都平行于平面α，则m ∥nB.设α—l —β是直二面角，若直线m ⊥l ，则m ⊥βC.若直线m 、n 在平面α内的射影依次是一个点和一条直线，且m ⊥n ，则n 在α内或n 与α平行D.设m 、n 是异面直线，若m 与平面α平行，则n 与α相交36.（1996全国文，10）圆锥母线长为1，侧面展开图的圆心角为240°，该圆锥的体积等于（ ）A.8122π B.818π C.8154π D.8110π 37.（1995全国文，10）如图9—7，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ）A.1715 B.21 C.178 D.23 图9—738.（1995全国，4）正方体的全面积是a 2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（ ）A.32a πB.22a π C.2πa 2 D.3πa 239.（1995上海，4）设棱锥的底面面积为8 cm 2，那么这个棱锥的中截面（过棱锥高的中点且平行于底面的截面）的面积是（ ）A.4 cm 2B.22 cm 2C.2 cm 2D.2 cm 240.（1995全国理，10）已知直线l ⊥平面α，直线m 平面β，有下面四个命题： ①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ∥m ； ③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β 其中正确的两个命题是（ ） A.①②B.③④C.②④D.①③41.（1995全国理，15）如图9—8，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱， ∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ）A.1030B.21 C.1530D.1015 42.（1994全国，11）对于直线m 、n 和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是（ ） A.m ⊥n ，m ∥α，n ∥βB.m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂αC.m ∥n ，n ⊥β，m ⊂αD.m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β43.（1994上海，14）已知a 、b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b （ ） A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线44.（1994全国，7）已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（ ）A.323B.283C.243D.20345.（1994全国，13）已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积是（ ）图9—8A.916πB.38πC.4πD.964π二、填空题46.（2003京春理13，文14）如图9—9，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则rR= .图9—947.（2003上海春，10）若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小等于（结果用反三角函数值表示）.48.（2002上海春，12）如图9—10，若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N1、N2，则三角形面积之比21212211ONONOMOMSSNOMNOM⋅=∆∆.若从点O所作的不在同一平面内的三条射线OP、OQ和OR上，分别有点P1、P2，点Q1、Q2和点R1、R2，则类似的结论为.图9—10 图9—1149.（2002京皖春，15）正方形ABCD的边长是2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角（如图9—11所示）.M为矩形AEFD内一点，如果∠MBE=∠MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为21，那么点M到直线EF的距离为.50.（2002北京，15）关于直角AOB在定平面α内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角.其中正确判断的序号是（注：把你认为是正确判断的序号都填上）.51.（2002上海春，10）图9—12表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有对.图9—1252.（2002上海，4）若正四棱锥的底面边长为23cm，体积为4 cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是.53.（2001京皖春，16）已知m、n是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题：①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；④若α∩β＝m，n∥m且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.其中正确的命题序号是（注：把你认为正确的命题的序号都．填上）.54.（2001春季北京、安徽，13）已知球内接正方体的表面积为S，那么球体积等于．55.（2001全国理，13）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是.56.（2000上海春，9）若两个长方体的长、宽、高分别为5 cm、4 cm、3 cm，把它们两个全等的面重合在一起组成大长方体，则大长方体的对角线最长为_____cm.57.（2000上海春，8）如图9—13，∠BAD＝90°的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直，E是BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为_____.58.（2000年春季北京、安微，18）在空间，下列命题正确的是_____（注：把你认为正确的命题的序号都填上）.①如果两直线a、b分别与直线l平行，那么a∥b.②如果直线a与平面β内的一条直线b平行，那么a∥β.图9—13③如果直线a与平面β内的两条直线b、c都垂直，那么a⊥β.④如果平面β内的一条直线a垂直平面γ，那么β⊥γ.59.（2000春季北京、安徽，16）如图9—14是一体积为72的正四面体，连结两个面的重心E、F，则线段EF的长是_____.60.（2000全国，16）如图9—15（1），E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是图9—15（2）的（要求：把可能的图的序号都．填上）.图9—14 图9—15（1）图9—15（2）61.（2000上海，7）命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥．命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且的三棱锥是正三棱锥．62.（1999全国，18）α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线.给出四个论断：①m⊥n②α⊥β③n⊥β④m⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．命题：.63.（1998全国，18）如图9—16，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件（或任何能推导出这个条件的其他条件，例如ABCD是正方形、菱形等）时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）.64.（1998上海）棱长为2的正四面体的体积为.图9—1665.（1997全国，19）已知m 、l 是直线，α、β是平面，给出下列命题①若l 垂直于α内的两条相交直线，则l ⊥α②若l 平行于α，则l 平行于α内的所有直线③若m ⊂α，l ⊂β，且l ⊥m ，则α⊥β④若l ⊂β，且l ⊥α，则α⊥β⑤若m ⊂α，l ⊂β，且α∥β，则m ∥l其中正确的命题的序号是_____（注：把你认为正确的命题的序号都填上）.66.（1997上海）圆柱形容器的内壁底半径为5 cm ，两个直径为5 cm 的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降_____ cm.67.（1996上海，18）把半径为3 cm 、中心角为32π的扇形卷成一个圆锥形容器，这个容器的容积为 cm 3（结果保留π）.68.（1996上海，18）如图9—17，在正三角形ABC 中，E 、F 依次是AB 、AC 的中点，AD ⊥BC ，EH ⊥BC ，F Ｇ⊥BC ，D 、H 、G 为垂足，若将正三角形ABC 绕AD 旋转一周所得的圆锥的体积为V ，则其中由阴影部分所产生的旋转体的体积与V 的比值是 .图9—17 图9—1869.（1996全国，19）如图9—18，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是_____.70.（1995全国，17）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为3π，则圆台的体积与球体积之比为_____.71.（1995上海理）把圆心角为216°，半径为5分米的扇形铁皮焊成一个圆锥形容器（不计焊缝），那么容器的容积是_____.72.（1994全国，19）设圆锥底面圆周上两点A 、B 间的距离为2，圆锥顶点到直线AB 的距离为3，AB 和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的体积为_____.73.（1994上海）有一个实心圆锥体的零部件，它的轴截面是边长为10 cm的等边三角形，现在要在其整个表面上镀一层防腐材料，已知每平方厘米的工料价为0.10元，则需要的费用为_____元（π取3.2）.三、解答题74.（2003京春文，19）如图9—19，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点.（Ⅰ）求三棱锥D1—DBC的体积；（Ⅱ）证明BD1∥平面C1DE；（Ⅲ）求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值.75.（2003京春理，19）如图9—20，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4.E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD=G.（Ⅰ）求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；（Ⅱ）求点D1到平面B1EF的距离d；（Ⅲ）求三棱锥B1—EFD1的体积V.76.（2002京皖春文，19）在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=图9—21∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=55.（如图9—21）（Ⅰ）证明：SC⊥BC；（Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；（Ⅲ）求三棱锥的体积V S－AB C.77.（2002京皖春理，19）在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=13，SB=29.（Ⅰ）证明：SC⊥BC；（Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；（Ⅲ）求异面直线SC与AB所成的角的大小（用反三角函数表示）.图9—22 图9—2378.（2002全国文，19）四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥面ABCD ，如图9—22所示.（Ⅰ）若面P AD 与面ABCD 所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；（Ⅱ）证明无论四棱锥的高怎样变化，面P AD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°.79.（2002北京文，18）如图9—23，在多面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，上、下底面矩形的长、宽分别为c ，d 与a ，b ，且a ＞c ，b ＞d ，两底面间的距离为h .（Ⅰ）求侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成二面角的正切值；（Ⅱ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V 估=S 中截面·h 来计算.已知它的体积公式是V =6h （S 上底面+4S 中截面+S 下底面），试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明. （注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）80.（2002北京理，18）如图9—24，在多面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E ，F 两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c ，d 与a ，b ，且a ＞c ，b ＞d ，两底面间的距离为h .（Ⅰ）求侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成二面角的大小；（Ⅱ）证明：EF ∥面ABCD ；（Ⅲ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V 估=S 中截面·h 来计算.已知它的体积公式是V =6h （S 上底面+4S 中截面+S 下底面）， 试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明.（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）81.（2002全国文，22）（Ⅰ）给出两块相同的正三角形纸片（如图（1），图（2）），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积图9—24都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图（1）、图（2），并作简要说明；（Ⅱ）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；图9—2582.（2002全国理，18）如图9—26，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直.点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM =BN =a （0＜a ＜2）.（Ⅰ）求MN 的长；（Ⅱ）当a 为何值时，MN 的长最小；（Ⅲ）当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB 所成的二面角α的大小.图9—26 图9—2783.（2001春季北京、安徽，19）如图9—27，已知VC 是△ABC 所在平面的一条斜线，点N 是V 在平面ABC 上的射影，且在△ABC 的高CD 上.AB ＝a ，VC 与AB 之间的距离为h ，点M ∈V C.（Ⅰ）证明∠MDC 是二面角M —AB —C 的平面角；（Ⅱ）当∠MDC ＝∠CVN 时，证明VC ⊥平面AMB ；（Ⅲ）若∠MDC ＝∠CVN ＝θ（0＜θ＜2 ），求四面体MABC 的体积.84.（2001上海，19）在棱长为a 的正方体OABC —O ′A ′B ′C ′中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF ．（Ⅰ）求证：A ′F ⊥C ′E ；（Ⅱ）当三棱锥B ′—BEF 的体积取得最大值时，求二面角B ′—EF —B 的大小（结果用反三角函数表示）．85.（2001全国理17，文18）如图9—28，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，∠ABC ＝90°，SA ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD＝21.（Ⅰ）求四棱锥S —ABCD 的体积；（Ⅱ）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值.86.（2000京皖春理20,文21）在直角梯形ABCD 中，如图9—29，∠D ＝∠BAD ＝90°，AD ＝21AB ＝a （如图（1）），将△ADC 沿AC 折起，使D 到D ′，记面ACD ′为α，面ABC 为β，面BCD ′为γ．图9—29（Ⅰ）若二面角α—AC —β为直二面角（如图（2）），求二面角β—BC —γ的大小； （Ⅱ）若二面角α—AB —β为60°（如图（3）），求三棱锥D ′—ABC 的体积．87.（2000全国理，18）如图9—30，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°．（Ⅰ）证明：C 1C ⊥BD ；（Ⅱ）假定CD ＝2，CC 1＝23，记面C 1BD 为α，面CBD 为β，求二面角α—BD —β的平面角的余弦值；（Ⅲ）当1CC CD 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明．图9—30 图9—31图9—2888.（2000全国文，19）如图9—31，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ．（Ⅰ）证明：C 1C ⊥BD ； （Ⅱ）当1CC CD 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ?请给出证明． 89.（2000上海，18）如图9—32所示四面体ABCD 中，AB 、BC 、BD 两两互相垂直，且AB ＝BC ＝2，E 是AC 中点，异面直线AD 与BE 所成的角大小为arccos1010，求四面体ABCD 的体积．图9—32 图9—3390.（1999全国文22，理21）如图9—33，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC ∥D 1B ，且面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°，AB ＝a .（Ⅰ）求截面EAC 的面积；（Ⅱ）求异面直线A 1B 1与AC 之间的距离；（Ⅲ）求三棱锥B 1－EAC 的体积.91.（1998全国理，23）已知如图9—34，斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面A 1ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC ＝90°，BC ＝2，AC ＝23，且AA 1⊥A 1C ，AA 1＝A 1C.（Ⅰ）求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；（Ⅱ）求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的大小；（Ⅲ）求顶点C 到侧面A 1ABB 1的距离.图9—34图9—3592.（1998全国文，23）已知如图9—35，斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面A 1ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC ＝90°，BC ＝2，AC ＝23，且AA 1⊥A 1C ，AA 1＝A 1C.（Ⅰ）求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；（Ⅱ）求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的大小；（Ⅲ）求侧棱B 1B 和侧面A 1ACC 1的距离.93.（1997全国，23）如图9—36，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点.（Ⅰ）证明：AD ⊥D 1F ；（Ⅱ）求AE 与D 1F 所成的角；（Ⅲ）证明：面AED ⊥面A 1FD 1；（Ⅳ）（理）设AA 1＝2，求三棱锥F —A 1ED 1的体积11ED A F V -.（文）设AA 1＝2，求三棱锥E —AA 1F 的体积F AA E V 1-.图9—36 图9—37 94.（1997上海理）如图9—37在三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，四边形A ′ABB ′是菱形，四边形BCC ′B ′是矩形，C ′B ′⊥A B.（1）求证：平面CA ′B ⊥平面A ′AB ；（2）若C ′B ′=3，AB =4，∠ABB ′=60°，求AC ′与平面BCC ′所成的角的大小（用反三角函数表示）.95.（1996上海，21）如图9—38，在二面角α—l —β中，A 、B ∈α，C 、D ∈l ，ABCD 为矩形，P ∈β，P A ⊥α，且P A ＝AD ，M 、N 依次是AB 、PC 的中点.（1）求二面角α—l —β的大小；（2）求证：MN ⊥AB ；（3）求异面直线P A 与MN 所成角的大小.图9—38 图9—3996.（1995全国文24，理23）如图9—39，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 在底面的圆周上，AF ⊥DE ，F 是垂足.（Ⅰ）求证：AF ⊥DB ；（Ⅱ）（理）如果圆柱与三棱锥D —ABE 的体积比等于3π，求直线DE 与平面ABCD 所成的角.（文）求点E 到截面ABCD 的距离.97.（1995上海，23）如图9—40，四棱锥P —ABCD 中，底面是一个矩形，AB ＝3，AD ＝1，又P A ⊥AB ，P A ＝4，∠P AD ＝60°.（Ⅰ）求四棱锥P —ABCD 的体积；（Ⅱ）求二面角P —BC —D 的大小（用反三角函数表示）.图9—40 图9—4198.（1994全国，23）如图9—41，已知A 1B 1C 1—ABC 是正三棱柱，D 是AC 中点. （Ⅰ）证明：AB 1∥平面DBC 1；（Ⅱ）（理）假设AB 1⊥BC 1，求以BC 1为棱的DBC 1与CBC 1为面的二面角α的度数. （文）假设AB 1⊥BC 1，BC ＝2，求线段AB 1在侧面B 1BCC 1上的射影长.99.（1994上海，23）如图9—42在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝2 ，AB ＝a ，AD ＝3a ，且∠ADC ＝arcsin 55，又P A ⊥平面ABCD ，P A =a .图9—42求（1）二面角P—CD—A的大小（用反三角函数表示）.（2）点A到平面PBC的距离.●答案解析1.答案：B解析：将三角形折成三棱锥如图9—43所示.HG与IJ为一对异面直线.过点D分别作HG与IJ的平行线，即DF与AD.所以∠ADF即为所求.因此，HG与IJ所成角为60°.评述：本题通过对折叠问题处理考查空间直线与直线的位置关系，图9—43在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键.通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力.而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向.2.答案：D解析：A选项中，若a∥M，b∥M，则有a∥b或a与b相交或a与b异面.B选项中，b可能在M内，b可能与M平行，b可能与M相交.C选项中须增加a与b相交，则l⊥M. D选项证明如下：∵a∥N，过a作平面α与N交于c，则c∥a，∴c⊥M.故M⊥N.评述：本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的基本性质.3.答案：D解析：垂直于同一平面的两直线必平行，因此选D.评述：判断元素之间的位置关系问题，也可以从元素之间所有关系分析入手，再否定若干选项.如A，因为α、β有两种位置关系，在α与β相交情况下，仍有α⊥r，β⊥r.因此，α∥β是错误的.4.答案：A解析：∵CD在平面BCD内，AB是平面BCD的斜线，由三垂线定理可得A.5.答案：B解析：（1）、（4）是正确命题.因为α∥β，l⊥α，∴l⊥β.又m β，∴l⊥m.因为l∥m，l⊥α，∴m⊥α，∴β⊥α.6.答案：D解析：如图9—44，该旋转体的体积为圆锥C—ADE与圆锥B—ADE体积之差又∵求得AB =1 ∴23133125331πππ=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-=--ADEB ADEC V V V7.答案：C解析：设该长方体水箱的长、宽、高分别为x 、y 、z ，∴x ·y ·z =4 ∴原长方形中用于制作水箱的部分的长、宽应分别为x +2z ，y +2z （如图9—45中（2）所示）从而通过对各选项的考查，确定C 答案.图9—458.答案：C解析：如图9—46，作出轴截面，设公共底面圆的半径为R ，圆锥的高为h∴V 锥=31πR 2h ，V 半球=21·43πR 3 ∵V 锥=V 半球，∴h =2R ∴tan α=21∴cos θ=53411411tan 1tan 122=+-=+-αα 9.答案：C 解析：V 甲=64·34π·（4a ·21）3=61πa 3， S 甲=64·4π·（4a ·21）2=4πa 2 图9—47V 乙=34π（a ·21）3=61πa 3，S 乙=4π（a ·21）2=πa 2 ∴V 甲=V 乙，S 甲＞S 乙. 10.答案：C解析：若命题甲成立，命题乙不一定成立，如底面为菱形时. 若命题乙成立，命题甲一定成立. 11.答案：B解析：连结FE 1、FD ，则由正六棱柱相关性质得FE 1∥BC 1. 在△EFD 中，EF =ED =1，∠FED =120°，∴FD =3.在Rt △EFE 1和Rt △EE 1D 中，易得E 1F =E 1D =3.∴△E 1FD 是等边三角形.∴∠FE 1D =60°. ∴BC 1与DE 1所成的角为60°.评述：本题主要考查正六棱柱的性质及异面直线所成的角的求法. 12.答案：D解析：①∵a ∥b ，a ⊥α，∴b ⊥α，又∵b ⊥β，∴α∥β ②∵a ⊥α，α⊥β ∴a ∥β或a ∈β 又∵b ⊥β ∴b ⊥a ③若α∥β，则a ∥b④若α、β相交，则a 、b 可能相交也可能异面，显然D 不对.13.答案：C解析:展开图可以折成如图9—47的正方体,由图可知①②不正确. ∴③④正确. 14.答案：A 解析：∵S ＝21ab sin θ ∴21a 2sin60°＝3 ∴a 2＝4，a ＝2，a =2r ∴r ＝1 S 全＝2πr ＋πr 2＝2π＋π＝3π 15.答案：D图9—47解析：由S 底＝S 侧cos θ可得P 1＝P 2而P 3＝θθθcos )(2)cos sin (22121S S S S +=+ 又∵2（S 1＋S 2）＝S 底 ∴P 1＝P 2＝P 3 16.答案：B解析：如图9—48，D 1、D 分别为B 1C 1、BC 中点，连结AD 、D 1C ，设BB 1＝1，则AB ＝2，则AD 为AB 1在平面BC 1上的射影，又32cos ,22,3311====BC BC BC C BD BE∴DE 2＝BE 2＋BD 2－2BE ·BD ·cos C 1BC ＝6132223322131=⋅⋅⋅-+ 而BE 2＋DE 2＝216131=+＝BD 2 ∴∠BED ＝90° ∴AB 1与C 1B 垂直 17.答案：C解析：设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，依条件则有2πr ＝πl ，如图9—49∴21=l r ，即∠ASO ＝30°，因此圆锥顶角为60°. 18.答案：A解析：（1）如果a ，b 是平面M 中的两条相交直线，面M ∥α， ∴有a ∥α，b ∥α，但a b ，所以（1）错．（2）如果α∩β＝b ，而a ∥b ，∴有a ∥α，a ∥β，但αβ，所以（2）错． （3）如果α∩β＝b ，而b ⊥γ，∴有β⊥γ，α⊥γ，但αβ，（3）错． 19.答案：C解析：设圆锥的底面半径为R ，则V 圆锥＝32πR 3，V 球＝34πR 3， ∴V 圆锥∶V 球＝1∶2．图9—48图9—4920.答案：D解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a =1，b ＝2，c ＝3，则对角线l 的长为l =6222=++c b a ．21.答案：D解析：如图9—50，由题意知，31πr 2h ＝61πR 2h ， ∴r ＝2R． 又△ABO ∽△CAO ， ∴R OA OA r =，∴OA 2＝r ·R ＝422,2R OA R =， ∴cos θ＝421=R OA ． 22.答案：A解析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则由题设知h =2πr . ∴S 全=2πr 2+（2πr ）2=2πr 2（1+2π）.S侧=h 2=4π2r 2，∴ππ221+=侧全S S . 评述：本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识. 23.答案：B解析：设水面半径为x cm ， 则水面高度为3x cm则由已知得：π·22·6＝31πx 2·3x （3x ）3＝63，3x ＝6.评述：本题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力. 24.答案：D解析：由已知得中截面圆的半径r ′＝25+R . 图9—50设圆台的母线长为l ，则中截面截圆台所得上面小圆台的母线长l ′＝2l，且上面小圆台的侧面积S ′与圆台侧面积S 之比为1∶3，由圆台侧面积公式得：31)5(21)255(=+⋅++='l R R S S ππ，解得R =25 评述：本题主要考查圆台及其侧面积公式，立足课本，属送分题. 25.答案：D解析：连EB 、E C.四棱锥E —ABCD 的体积V E —ABCD =31·32·2=6.由于AB =2EF ，EF ∥AB ，所以S △EAB =2S △BEF∴V F —EBC =V C —EFB =21V C —ABE =21V E —ABC =21·21V E —ABCD =23 ∴多面体EF —ABCD 的体积V EF —ABCD =V E —ABCD +V F —EBC =6+21523=. 此题也可利用V EF —ABCD ＞V E —ABCD =6.故选D.评述：本题考查多面体体积的计算以及空间想象能力和运算能力. 26.答案：C解析：设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，由已知得：πr 2＋πrl ＝3πr 221=⇒l r ， ∴θ＝lr×2π＝π. 评述：本小题考查圆锥的概念、性质及侧面积公式.侧面展开是立体问题平面化的重要手段应引起广大考生的注意. 27.答案：A解析：设该棱台为正棱台来解即可.评述：本题考查棱台的中截面问题.根据选择题的特点本题选用“特例法”来解，此种解法在解选择题时很普遍，如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等.28.答案：B解析：设球心为O ，由题设知三棱锥O —ABC 是正四面体，且△ABC 的外接圆半径是2，设球半径为R ，则33R ＝2，∴R ＝23. 29.答案：C解析：A 中直线l ⊥β，l α，所以α⊥β，A 为真命题.B 中，在α内取两相交直线，则此二直线平行于β，则α∥β，B 为真命题.D 为两平面平行的性质，为真命题.C 为假命题，l 只有在垂直交线时才有l ⊥β，否则l 不垂直β.故选C.评述：本题考查平面与平面垂直、直线与平面平行的判定和性质. 30.答案：C解析：长方体的对角线长等于球的直径，于是（2R ）2＝32＋42＋52，R 2＝225， 则S 球＝4πR 2＝4π·225＝50π. 评述：本题考查长方体、球的有关概念和性质. 31.答案：D解析：由已知圆台的上、下底面的半径分别为1、2.由π（1＋2）l ＝6π，得母线l =2，高h ＝3122=-，其体积V ＝31·3（π＋4π＋2π）＝337π. 32.答案：D解析：设圆锥底面半径为r ，高为h ， 则2πr ＝ϕ，h ＝21r -，V ＝31πr 2h ＝31πr 221r -，于是)22(29)1(9222222222r r r r r r V-⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅=ππ2788)322(2922222⋅=-++⋅⋅≤ππr r r ， 当r 2＝2－2r 2，即r ＝32时，圆锥体积最大，此时ϕ＝2πr ＝2π36232π=. 33.答案：D解析：设AC 与BD 交点为E ，先可判断出△BDE 是直角三角形，于是V D －ABC ＝。

吉林省吉林一中高三数学《直线、平面、简单几何体 》基础过关（3）、一．高考考点（一）直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。

(2)直线与平面垂直的判定：常用方法有：① 判定定理: ,,,P b a b a =⋂⊂⊂αα α⊥⇒⊥⊥l b l a l ,.② b ⊥α, a ∥b ⇒a ⊥α；（线面垂直性质定理） ③α∥β,a ⊥β⇒a ⊥α（面面平行性质定理）④α⊥β，α∩β=l ，a ⊥l ，a ⊂β⇒a ⊥α（面面垂直性质定理）(3)直线与平面垂直的性质定理：① 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

（ a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b ） ② 直线和平面垂直时，那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线(b a b a ⊥⇒⊂⊥αα,)(4)点到平面的距离的定义: 从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离。

（5）三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直；三垂线逆定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。

注意：①两个定理中“平面内”这个条件不能省略，否则不一定成立。

三垂线定理及其逆定理共涉及“四线一面”。

其中平面的垂线、平面的斜线及射影这三条直线都是平面内的一条直线的垂线。

②利用三垂线定理及其逆定理的关键是要善于从各种图形中找出“平面的垂线”、“平面的斜线”、“斜线的射影” 。

③从两个定理的作用上区分，三垂线定理解决已知共面直线垂直证明异面直线垂直，逆定理相反。

④主要应用：可证两异面直线垂直；确定点到直线的垂线等；可确定二面角的平面角。

线线垂直⇒线面垂直⇒线线垂直（6）特别注意:点到面的距离可直接向面作垂线，但要考虑垂足的位置，如果垂足的位置不可确定，往往采取由点向面上某一条线作垂线，再证明此垂足即为面的垂足。