山东省乐陵市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1曲线与方程的概念学案

满足什么条件的点的轨迹是椭圆呢？ [提示] 到两定点的距离之和等于定值的点的轨迹是椭 圆．
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
椭圆的定义
定义 焦点
平面内与两个定点F1，F2的_距__离__之__和__等__于__定__值___( 大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆 两个_定__点___叫做椭圆的焦点
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
4．已知椭圆的焦点在 x 轴上，且焦距为 4，P 为椭圆上一点， 且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项．
(1)求椭圆的方程； (2)若△PF1F2 的面积为 2 3，求 P 点坐标．
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
解析： (1)由题意知，2c＝4，c＝2. 且|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝8， 即 2a＝8， ∴a＝4. ∴b2＝a2－c2＝16－4＝12. 又椭圆的焦点在 x 轴上， ∴椭圆的方程为1x62 ＋1y22 ＝1.
数学 选修1-1
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(3)a，b，c三个量的关系：椭圆的标准方程中，a表示椭 圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记 忆．a，b，c(都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以a>b，a>c，且a2＝b2＋c2.
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程

第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程 2.1.2求曲线的轨迹方程一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．(二)能力训练点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力．(三)学科渗透点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础．二、教材分析1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．(解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．)2．难点：作相关点法求动点的轨迹方法．(解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．)教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．三、教学过程学生探究过程：(一)复习引入大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质．我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析．(二)几种常见求轨迹方程的方法1．直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．对(1)分析：动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R 或|OP|=0．解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．即x2+y2=4R2或x2+y2=0．故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．对(2)分析：题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：设弦的中点为M(x，y)，连结OM，。

曲线与方程【知识要点】1、曲线与方程：在平面坐标系中，如果一条曲线C 上的点与一个二元方程(, )=0f x y 的实数解建立了如下关系：① 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；② 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线，曲线上的点的坐标都是这个方程的解，说明曲线上没有任何一个点的坐标不满足方程，即曲线上所有的点都符合这个方程。

2、曲线方程的构成：方程(, )=0f x y 无实数解，则曲线C 不存在；若(, )=0f x y 只有有限个实数解，则曲线C 一定是一些孤立的点；若方程(, )=0f x y 可以分解成12(, )(, )...(, )=0n f x y f x y f x y ，则曲线C 是由12(, )=0,(, )=0,...(, )=0n f x y f x y f x y 表示的曲线全体构成。

3、曲线方程的对称性：在曲线方程里，如果以–y 代y 方程不变，那么当点(x,y)p 在曲线上时，它关于x 轴的对称点'(x,-y)p 也在曲线，所以曲线关于x 轴对称。

同理：如果以–x 代x 方程不变，那么曲线关于y 轴对称；如果同时以–x 代x ，以–y 代y 方程不变，那么曲线关于原点对称。

4、求曲线方程的几种常用方法：①直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，直接表述成含x ，y 的等式，就可以得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。

②定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法。

③代入法：又称相关点法，其特点是：动点(x , y)M 的坐标取决于已知曲线C 上的点''(x , y )的坐标，可先用x ，y 来表示''x , y ，再代入曲线C 的方程，既得点M 的轨迹方程。

④参数法：选取适当的参数，分别用参数表示动点的坐标x ，y ，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程。

2,∴所求直线的斜率 k
=
1 2
又∵线段 AB 的中点坐标是 ( 1 3 , 1 7) ，即(1,3)
22
∴线段 AB 的垂直平分线的方程为
y 3 1 (x 1) .即 x+2y-7=0 2
例1.设A，B两点的坐标分别是(-1,-1), (3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。
法二:求曲线方程的一般性方法
所以 M1A
M1B点 M
在线段AB的垂直平分线上.
1
综上，线段AB的垂直平分线的方程是x+2y-7=0.
求曲线的方程的一般步骤:
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对_(_x_，__y_)_表示 曲线上任意一点M的坐标；
(2)写出适合条件p的点M的集合P= _{_M__|p_(_M__)_}_； (3)用_坐__标__表示条件p(M)，列出方程__f_(x_，__y_)_=_0_ ； (4)化方程f(x，y)＝0为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
例1.设A，B两点的坐标分别是(-1,-1), (3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。
y B
思考：我们有哪些可以 求直线方程的方法？
0
x
A
例1.设A，B两点的坐标分别是(-1,-1), (3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。
法一: 运用直线方程的知识来求.
解:∵ kAB
7 (1) 3 (1)
∴ x2 2x 1 y2 2y 1 x2 6x 9 y2 14y 49
x2y70
化简
综上，线段AB的垂直平分线的方程是x+2y-7=0.
下面证明线段AB的垂直平分线的方程是x+2y-7=0.