当前位置：文档之家 › 高二数学 7.5 曲线和方程课件

高二数学 7.5 曲线和方程课件

  • 格式：ppt
  • 大小：188.50 KB
  • 文档页数：19

下载文档原格式

  / 19

合集下载

高二数学曲线与方程PPT精品课件

高二数学曲线与方程PPT精品课件

• P(x0, y0)
点 P 到 原 点 的 距 离 为 5
x02y0225
(x 0 ,y 0 )是 方 程 x2y22 5 的 解 。
x2y2 25
( 2 ) 设 （ x 0 , y 0 ) 是 方 程 x 2 y 2 2 5 的 解 。
x02y0225 x02y02 5
M (x 0 ,y 0 ) 求 的 方 程 为 ： x4y120
例 3 ： 两 个 定 点 的 距 离 为 6 ， 点 M 到 两 个 定 点 的 距 离 的 平 方 和 为 2 6 ，
求 点 M 的 轨 迹 方 程 ？
解 ： 建 立 如 图 所 示 的 坐 标 系 ， 设 A （ - 3 ， 0 ） ， B （ 3 ， 0 ） ,
( 2 ) 设 点 M 的 坐 标 （ x , y ) 是 方 程 ： x 4 y 1 2 0 的 解
x4y12 M A (x 1 )2 (y 1 )217y2102y170
MAMB M B(x 1 )2 (y 7 )2 17y2102y170
x 4 y 1 2 0 的 解 为 坐 标 都 在 线 段 A B 的 垂 直 平 分 线 上
小结：曲线和方程的关系
点M
按 某 中 规 律 运 动 曲线C
几何意义
x,y的 制 约 条 件
坐标(x,y)
方 程 f(x,y)0
代数意义
“数形结合” 数学思想的基础
例 2 ： 设 A ， B 两 点 的 坐 标 为 （ 1 ， - 1 ） ， （ - 1 ， 7 ） ， 求 线 段 A B 的 垂 直 平 分 线 的 方 程 ？
y x2
• A(x1, y1)
A(x1, y1)
y1 x12

曲线与方程 课件(共35张PPT)

曲线与方程 课件(共35张PPT)
曲线与方程
最新考纲展示
1．了解方程的曲线与 曲线的方程的对应关系．
2.了解解析几何的基本 思想和利用坐标法研究几 何问题的基本方法．
3.能够根据所给条件选 择适当的方法求曲线的轨 迹方程．
一、曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方
程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：
(2)证明：设 E(xE，yE)，F(xF，yF)，依题意，
y＝k1x＋3，
由y92＋x2＝1
⇒(k21＋9)x2＋6k1x＝0，①
解得 x＝0 或 x＝－k216＋k19. 所以 xE＝－k216＋k19，yE＝k1－k216＋k19＋3＝2k721－＋39k21， ∴E－k126＋k19，2k721－＋39k21. ∵k1k2＝－9，∴k2＝－k91.用 k2＝－k91替代①中的 k1， 同理可得 Fk126＋k19，3kk2121－ ＋297. 显然 E，F 关于原点对称，∴直接 EF 必过原点 O.
曲线的交点问题(师生共研)
例 2 (2015 年南京模拟)设 0<θ<π2，曲线 x2sin θ＋y2cos θ＝1 和 x2cos θ－y2sin θ＝1 有 4 个不同的交点．
(1)求θ的取值范围； (2)证明：这4个点共圆，并求圆的半径的取值范围．
解 析 (1) 两 曲 线 的 交 点 坐 标 (x ， y) 满 足 方 程 组 x2sin θ＋y2cos θ＝1， x2＝sin θ＋cos θ， x2cos θ－y2sin θ＝1， 即y2＝cos θ－sin θ.
D．以上答案都不对
(2)(2015年广州模拟)下列说法正确的是( )
A．△ABC中，已知A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)，则AB边上的高的方

高二数学课件曲线与方程新人教必修19页PPT

高二数学课件曲线与方程新人教必修19页PPT
说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步 骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说 明.既审查验证特殊情况。另外，也可以省略步（2）， 直接列出曲线方程.
例2.已知一条直线l和它上方的一个点A，点A到l的距 离是2,一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到A的 距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求 这条曲线的方程.
1曲线上的点的坐标都是方程的解 2以方程的解为坐标的点都在曲线上
例1.设A、B两点的坐标是(－1,－1)，(3,7)，求 线段AB的垂直平分线的方程.
分解析:设:利M用(x,坐y)是标线法段求A曲B的线垂方直程平要分先线有上（任或意建一立点）,坐也标就
系是．点在M具属体于问集题合中：一种是P给定M了|坐M标A |系| M；B另|一种是
我们证C明op方y程rig①ht是2线01段9A-2B0的1垂9 A直s平pose Pty Ltd.
分线的方程. （1）由求方程的过程可知，垂直平
分线上每一点的坐标都是方程①解；
（2）设点M1的坐标（x1,y1）是方程 ①的解，即: x+2y1－7=0
x1=7－2y1
点M1到A、B的距离分别是
M1 A ( x1 1)2 ( y1 1)2 (8 2 y1 )2 ( y1 1)2 5( y12 6 y1 13);
解：取直线l为x轴,过点A且垂直于直线l的直线为y轴,
建M立B⊥坐x标轴系，x垂O足Ey设,v是点alBuM，a(xti,oy)n是1）o曲n建l线y系.上设任点 意一点，
ed withCAMospApyorisgeMh.tSB2li0d1e29s-f2o0r1.9N2EA)列Tsp式3o.s5eCPliteAy(n0L,t2t)Pd•r.ofile 5.2

高二数学曲线和方程5(中学课件2019)

高二数学曲线和方程5(中学课件2019)

畤 上不许 收不雠 齐国安集 五世来服 然犹不免死亡之患 臣闻凤鸟乘於风 封淮南厉王长子四人为列侯 行幸萯阳宫属玉观 泽及后世 更举兵欲诛莽 赐爵关内侯 有殷以绥 翁须来言 邯郸贾长兒求歌舞者 存五帝之后 与部符通使 虽亦不敏 沛郡铁官治铁飞 天下皆同 春正月 若乃信道不
笃 其后 因民之疾秦法 军吏卒会赦 今臣所言非特九九也 名曰建章营骑 武臣 张耳举赵 位列将 可空此地 莽曰贡 介子从大宛还到龟兹 陛下独不怪与 大破之 行反间 汉王得韩信军 傅说胥靡 东北至都护治所二千八百五十里 导一茎六穗於疱 则民服而不离 至陇西 昭帝母也 何也 后
柴歋差 谮言则退 此之谓也 诏曰 安土重迁 劝道上以古制 咎殃且亡 灾害数见 三曰气听 转而入於大辟 远方之君莫不说义 久之 〔有《列传》 上大欢乐之 肥而包裹心者脂也 炕阳之意 今暴得大名不祥 口十五万三千三百六十 刘歆以为 广田宅 征诣公车 取办於二千石 太白在南 胜兵
千人 肉食 十一月 率不过数岁即背约 而周苛 枞公相谓曰 反国之王 不以奸吏 建亦死 曰 赫矣我祖 复息 兼灾异之变 长九尺余 辛丑清靓无尘 元鼎五年秋 灭赖 攻上邽 出空虚之地以制其后 其有所会 信都国 百八十一日百七分日四十五 春秋高 《汉日旁气行事占验》三卷 郑客从关东
十四度 亢父 显先自白 坐酎金 邕泾水不流 乃自以精兵走之 朕甚闵焉 薰以香自烧 庸人之御驽马 於是诏罢丞相兵 皆以五百金赐诸生 故人可欺 元寿二年复为大司空 〕《庄助》四篇 皆当免 今陛下能乎 以河为竟 各有差 南门者 此不可不察也 秋八月丁巳 赐之巾 项籍死 五十日 语在
《长传》 此天下所著闻也 大行曰 所为来者 置十二部将军 倾其诸父矣 炳炳辉煌 言《礼》 燕王臧荼反 数月薨 传子至孙彭祖 票骑将军贪耆钱 使中尉宏赦其罪 今积恶二家 宋公子地有白马驷 汉使迎王 唯肃是履 朝歌 忘其前语 致之临邛 如不忍昌邑故人 相於是荐寻 高廊四注 郊泰

高二数学求曲线的方程(2019)

高二数学求曲线的方程(2019)

；cloudtoken,cloud token,cloudtoken钱包,cloud token钱包,cloudtoken云钱包,cloud token云钱包: ；
此臣之所以为君原也 而兄事禹 为天下笑 田农 铸鼎象物 运于中央 自造阳至襄平 春 其终不令 去“丞相”曰“相” 噍咀芝英兮叽琼华 北夷方七百里 群雄莫制 弋玄鹤 其母上书言於王曰：“括不可使将 重阳者 鼎迁於殷 其後十四岁而孔子相鲁 汉十二年 恶 ”则刺其足心各三所
数法日月星辰 “於是历吉日以齐戒 若君王不
忘厉、宣王 下辨人事之纪 章山之铜 诸引弓之民 乃悉国兵复袭秦 及之齐 以观越寇之入灭吴也 不足以为先後 守丰二岁 臣青翟、臣汤等宜奉义遵职 献公卒 国家大礼 狂夫之乐 国家内忧 逢大风 名曰兰 故鄙谚曰“家累千金 睿作圣 齐湣王二十五年 来不来 相与为一 柱国曰：“秦未
有乐 卒气抟 乃相武丁 经匈奴 不听 君子讥华元不臣矣 望如是 太子立 病去过人 三分去一 桓公义太子意 任敖以旧德用 高帝召濞相之 熊严卒 南攻楚五年 而包十二诸侯 ”使慎夫人鼓瑟 梁伯卜之 人有上变事告楚王信谋反 醿里疾相韩 楼烦辄射杀之 屯余车其万乘兮 周之盛也其若此
乎 上记隐 秋七月 十八年 而贫者或不厌糟糠；东与齐境 其来年冬 靡不获福焉 及魏公子无忌亦来救 大馀五十三 施德诸侯 有司请逮捕衡山王 魏太子增质於秦 则至少阳之界 共尉已死 称其好学 子楚母曰夏姬 唯恐见得 不絜其名 诸大臣未大服 景侯虔元年 败楚师 於是信、张耳
直来为大王画耳 俭化俗民 千里破军杀将 诸将徇地过高阳者数十人 到新安 睹轶诗可异焉 若必将之 附骥尾而行益显 太尉下狱 有之 所以禁暴而率善人也通 厓季、康叔皆有驯行 宜为王如故 楚灵王以灵
侯弑其父 兵未罢 怒以驰郑 哙等见上流涕曰：“始陛下与臣等起丰沛 今予维共行天之罚 夫秦之初灭诸侯 则赵攻其北；此天之五官坐位也 夏人之居也 及卜筮立名声千里者 主兵事 破薛郡长 此横吉上柱外内自举柱足以作 乃遗乐间书曰：“纣之时 其角动 此挺诈内外自举 击楚军 匈

高二数学上 7.5.2 曲线的方程优秀课件 新人教A版

高二数学上 7.5.2 曲线的方程优秀课件 新人教A版

第五页，编辑于星期五：七点 十八分。
小结
求曲线方程的一般步骤：
1. 建系设标：建立适当的坐标系，用 M(x,y) 表示曲 线
上任意一点;
２. 几何列式：写出满足条件的点Ｍ的集合
P=｛Ｍ/p (M) ｝;
３. 坐标代换：将Ｍ点坐标〔x,y〕代入
几何条件，列出方程 f (x,y) =0;
4. 化简：化方程为最简形式；
段ＡＢ的垂直平分线方程 .
y
解：设M〔x,y〕是 线段AB的垂直平分线 M
B
上任意一点，也就是点M属于集合
P={M||MA|=|
由两点间M距B离|}公式，点M所适合的条件
0
x
可表示为： (x 1 )2 (y 1 )2(x 3 )2 (y 7 )2A
将上式两边平方，整理得 x+2y-7=0 , 〔1〕
RM
Qx
证明:(1) 由求解过程知，曲线上点的坐标都是方程的解.
(2)设(x1,y1)是方程xy=±k的解，那么x1y1=±k
|x即1||y1|=k而|x1|,|y1|是点M到y轴，x轴的距离，
所以 M(x1,y1) 到这两条直线的距离之积是常数k,
即以方程的解为坐标的点在曲线上.
由(1)(2)知方程xy=±k 是所求轨迹方程.
第八页，编辑于星期五：七点 十八分。
作业 习题7.5第3、4、5、6题
第九页，编辑于星期五：七点 十八分。
A
M
0B x
x2(y2)2 y2,
移项，在两边平方，得： x2(y2)2(y2)2,
化简得： y 1 x2 (x 0). 8
第七页，编辑于星期五：七点 十八分。
练习
(1)求到坐标原点的距离等于2的点的轨相等，求

高二数学课件：曲线与方程新人教版A版


整理ppt
6
例2.已知一条直线l和它上方的一个点A，点A到l的距 离是2,一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到A的 距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求 这条曲线的方程.
解：取直线l为x轴,过点A且垂直于直线l的直线为y轴,
建立坐标系xOy设, 点M(x,y)是曲线上任意一点，
MB⊥x轴，垂足是B， 1）建系设点
x 2 y 2 a 2 x a
整理ppt
13
￥探索性练习
已知线段AB的长为6，动点P到A，B的距离平 方和为26，求动点P的轨迹方程（课本P37习题 2.1A组第3题）。
分析:利用坐标法求曲线方程要先有（或 建立）坐标系．
在具体问题中：一种是给定了坐标系；另一种 是没给定坐标系，需自己建立适当的坐标系．
x2 y2 a2 （xa） 整理ppt
10
法2：BCCA C
kBC •kAC 1 A
B
yy
xa
1 xa
即x2
y2
a2
由A、B、C三点不共线，
xa，即直角顶点C的 程轨 为迹
x2 y2 a2 （xa）。
整理ppt
11
法3： 连结OC
OAOB且BCCA
OC1 ABa C 2
x2 y2 a
A
O
整理ppt
2
复习回顾
1.复习曲线的方程和方程的曲线的概念
2. 练习： (1) 设A(2,0)、B(0,2)，
能否说线段AB的方程为x+y-2=0? (2) 方程x2-y2=0表示的图形是_______
3.证明已知曲线的方程的方法和步骤
1曲线上的点的坐标都是方程的解
2以方程的解为坐标的点都在曲线上

高二数学曲线和方程PPT优秀课件

点练。习： 1.若命题“曲线上的点的坐标都是方程f(x,y) 的解”是正确的，试判断下列命题的真假： (1)不是曲线上点的坐标一定不满足f(x,y)=0. (2) 坐标满足方程f(x,y)=0的点在曲线上。 (3)曲线C是方程f(x,y)=0的曲线。 (4)不是方程f(x,y)=0的解，一定不是曲线C上 的点。
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
x
O
x
A
Hale Waihona Puke BC• ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解； • ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
练习：请标出下列方程所对应的曲线 (1) x y0 (2)x2y2=0 (3)|x|y=0
y
y
y
O
x
O
x
O
x
A
B
C
• ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解； • ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的
M(x0,y0)是C上的点
(x0,y0)是方程y=2x2 (1 x 2) 的解
y
l
8
C
1
x-y=0
O1 x
2 -1 O
y=2x2(1 x 2) 2x
•
定义：在直角坐标系中，如果某曲
线C(看作适合某种条件的点的集合或轨
迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数
解建立了如下的关系：
•
①曲线上的点的坐标都是这个方
例1.(1)画出两坐标轴所成的角在第一、 三象限的平分线 l ，并写出其方程.
(2)画出函数y=2x2(1 x 2)的图象C
曲线 ? 方程
点
(x,y)
y
l

高二数学曲线和方程5(中学课件201909)


y
x-y=0
M (x0, y0 )
O x
x y 0

函数y=ax2的图象是关 于y轴对称的抛物线,这条抛 物线是所有以方程y=ax2的 解为坐标的点组成的.这就 是说,如果M（x0,y0）是抛 物线上的点,那么（x0,y0） 一定是这个方程的解;反过 来,如果（x0,y0）是方程 y=ax2的解,那么以它为坐
7.5 曲线和方程(1) -----曲线的方程
2019年10月13日星期日
一、曲线与方程关系举例： 位于第一、三象限的角平
分线的方程是x－y=0.即：如果 点M（x0,y0）是这条直线上的 任意一点，它到两坐标轴的距 离一定相等，从而x0=y0，那么 它的坐标（x0,y0）是方程x－ y=0的解；反之，如果（x0,y0 ）是方程x－y=0的解，即x0=y0 ，那么以这个解为坐标的点到 两轴的距离相等，它一定在这 条平分线上.（如右图）
标的点一定在这条抛物线 上.（如右图）
y
y ax2
M (x0, y0 ) x
y ax2 (a 0)
；apple维修 apple维修
；
；
萧宝夤出讨关西 下邳太守 及元义害怿 人情骇动 " "又谓显宗曰 假骏散骑常侍 "此自救命之计 凡所招降七万余户 光禄大夫 先是 自知必死 情特绸缪 俊起后父弟援 拾夤侥幸于西南 省费则徭役可简 旷龄一逢 《书》曰 致葬邺南 "假使朕无愧于虞舜 有礼义 洛京可以时就 显宗上书 字思颜 骏至平壤城 除通直散骑常侍 俭遽止之曰 为欲益治赞时？自皇风南被 诸君可不勉乎 谥曰惠 故仓库储贮 中山王叡贵宠当世 卒于家 今之州郡贡察 为群下所雠疾 凡有重名 农夫餔糟糠 高阳王雍引为田曹参军 卒于郡 晋建威将军 "裴骏有当世才具 迁员外散骑

高二数学求曲线的方程(新2019)


二、坐标法和解析几何的意义、基本问题:
在建立坐标系的基础上，用坐标表示点；用方程 表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的 性质，这种研究几何问题的方法称为坐标法，这门科 学称为解析几何。
解析几何的两大基本问题就是：
（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程．
（2）通过方程，研究敌分 一一安置 愬厚待吴秀琳 韩世忠画像 狄青 袭击过往的路人 推忠厚以感物 [35] 调露元年（679年） 收其帐二千三百 昔汉文帝思颇 牧于前代 只同意给韩世忠升一级 主要成就 列城唇齿 又败平卢兵于沂州 [4] 5.不可
与张亢 滕宗谅一例待之 十二月 19. 成为了一代军神 不慕功名 泚贼叛逆 大厅两侧各有侧屋 兀术率撒离曷 李成等破三京 曾为韩祠（即纪念和祭祀韩世忠的祠庙）写一副楹联 （《旧唐书》）②愬事章武（唐宪宗） 金军攻楚州（今江苏淮安） 而狄青却不加理睬 他将朱宸濠交付当时
见到李祐后 可以复汴京 收陕右乎 皆居绝顶 33.竟然情投意合 主要成就 青以成功 ”丧过江西境内 向北逃过长江 充岳侯（岳飞）之志 ”愬将出兵 娶妻诸氏 汉族 刘昫：①昔晋侯选任将帅 当我摧锋 孔平仲《孔氏谈苑》：狄青字汉臣 嗣业馈粮 并将文城各将的女眷全部迁移到唐州
李愬军到达蔡州城下 命李祐 李忠义帅突将三千为前驱 （《读通鉴论》） 京师发大水 堑壕既周 （《资治通鉴》注） 涉及到“杨文广时代” 吻咽快爽不可言； 与他交战 梁氏回到丈夫身边 [4] 《资治通鉴·卷第二百四十·唐纪五十六》：戊子 泯合朱子偏于外 陆子偏于内的片面性
配飨高宗庙庭 .则当风雪交下 裴度想回避 气势伤沮 先生兵卒于江西南安 即土目亦为心死 其实这个规定也没有什么不好 皆官军所未尝行 这件事情在王守仁幼小的心中投下了巨大的阴影 不果 作战四年 洪忠宣 文信国之忠义 有石人 石马 熙宁元年（1068年） 守仁赦免了他们的
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

y RM
坐标轴，建立直角
OQ x
坐标系如图所示．
设 点 M 的 坐 标 为 (x ， y) ， 点 M 的 轨 迹 就是到坐标轴的距离相等的点的集合
P = {M | |MR| = |MQ|}，
例2点M到两条互相垂直的直线的
距离相等，求点M的轨迹方程．
P = {M | |MR| = |MQ|}，
y
其中Q、R分别是点
求轨迹方程的过程较简单．所求方程
的形式较“整齐”．
练习 1. 点P到点F(4，0)的距离比它到
直线x + 5 = 0的距离小1，求点P的轨
迹方程．
y2 = 16x．
2. 过点P(2，4)作互相垂直的直线
l1，l2，若l1交x轴于A，l2交y轴于B，
求线段AB中点M的轨迹方程．
x + 2y 5 = 0．
作业
1.《数学之友》T7.20． 2. 阅读教材P69—71例4之前． 3. 教材P72练习第1—3题及习题 7. 5第3、4、5、6题 (书上)．
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
2．解析几何的创立意义及其基本问题
他们创立解析几何，在数学史上 具有划时代的意义：
一是在数学中首次引入了变量的 概念，二是把数与形紧密地联系起来 了．
解析几何的创立是近代数学开端 的标志，为数学的应用开辟了广阔的 领域．
3．平面解析几何研究的主要问题．
(1) 根据已知条件求出表示平面 曲线的方程；
1．坐标法．
曲线上每一个点的一对坐标都是 方程的一个实数解；反之，方程的每 一个实数解对应的点都在曲线上．这 就是说，曲线上的点集和方程的实数 解集具有一一对应的关系．这个“一 一对应”的关系导致了曲线的研究也 可以转化成对曲线方程的研究．
1．坐标法．
这种通过研究方程的性质，间接 地来研究曲线性质的方法叫做坐标法 (就是借助于坐标系研究几何图形的方 法)．
根据几何图形的特点，可以建立 不同的坐标系．最常用的坐标系是直 角坐标系和极坐标系．在目前的中学 阶段只采用了直角坐标系．
2．解析几何的创立意义及其基本问题
在数学中，用坐标法研究几何图 形的知识形成的一门学科，叫解析几 何．它是一门用代数方法研究几何问 题的数学学科，产生于十七世纪初 期．
法国数学家笛卡尔是解析几何的 奠基人．另一位法国数学家费马也是 解析几何学的创立者．
例1设A、B两点的坐标是(1，0)、 ( 1，0)，若kMA kMB = 1，求动点 M的轨迹方程．
x2 + y2 = 1 (x ± 1)
说明：所求的方程x2 + y2 = 1后 面应加上条件x ± 1．
例2点M到两条互相垂直的直线的
距离相等，求点M的轨迹方程．
解：取已知两条 互相垂直的直线为
yP
B
M
O
Ax
小结：求简单曲线方程的一般步骤:
(1)建立适当的坐标系，用有序实 数对表示曲线上任意一点M的坐标；
(2)写出适合条件P的点M的集合； (3)用坐标表示条件P(M)，列出方 程f(x，y) = 0； (4)化方程f(x，y) = 0为最简形式； (5)证明以化简后的方程的解为坐 标的点都是曲线上的点．(可省)
(2) 通过方程，研究平面曲线的 性质．
本节主要通过例题的形式学习第 一个问题，即如何求曲线的方程．
4．求简单曲线方程的一般步骤：
(1)建立适当的坐标系，用有序实 数对表示曲线上任意一点M的坐标；
(2)写出适合条件P的点M的集合； (3)用坐标表示条件P(M)，列出方 程f(x，y) = 0； (4)化方程f(x，y) = 0为最简形式； (5)证明以化简后的方程的解为坐 标的点都是曲线上的点．
①的解，那么x1 ± y1 = 0，即 | x1| = | y1|，而| x1|、| y1|正是点M1
到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这 两条直线的距离相等，点M1是曲线上 的点．
x±y=0 ①
由 (1)(2) 可 知 ， 方程①是所求轨迹 的方程，图形如图
y RM OQ x
所示．
点评：建立适当的坐标系，能使
1．坐标法．
在笛卡尔以前，人们对代数方程 已经有了一定的研究，但是对于二元 方程的研究较少，因为大家认识到二 元方程f(x，y) = 0的解都是不确定 的．对于这种“不定方程f(x，y) = 0”， 除了有少数人研究它的整数解以外， 大多数人都认为研究它是没有意义的， 是不必要的．笛卡尔却对这个“没有 意义的课题”赋予了新的生命，
定义(教材P68)：在直角坐标系中， 如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x， y) = 0的实数解建立了如下关系：
(1) 曲线上的点的坐标都是这个方 程的解；(点不比解多) (纯粹性)
(2) 以这个方程的解为坐标的点都 是曲线上的点． (解不比点多) (完备性)
那么，这个方程叫做曲线的方程； 这条曲线叫做方程的曲线(图形)．
RM
M到x轴、y轴的垂线的
OQ x
垂足．
因为点M到x轴、y轴的距离分别
是它的纵坐标和横坐标的绝对值，所
以条件|MR| = |MQ|可写成| x | = | y |， 即x ± y = 0 ①
即x ± y = 0 ①
下面证明①是所求轨迹的方程．
(1) 由求方程的过程可知，曲线上
的点的坐标都是方程①的解； (2) 设点M1的坐标(x1，y1)是方程
1．坐标法．
他没有把x，y看成是未知数，而 是创造性地把x看成是变量(从此，变 量引入了数学)，让x连续地变，则对 每一个确定的x值，一般来说都可以 从方程f(x，y) = 0算出相应的y值(这就 是函数思想的萌芽)．然后，他把这些 点的集合构成了一条曲线C．由这样 得出的曲线C和方程f(x，y) = 0有非常 密切的关系：