《画法几何及土木工程制图》平面与立体相交

平面与平面立体相交
何培英
平面与平面立体相交
概述 平面立体的截交线 作图举例
平面与平面立体相交
概述
当平面截切立体时，由截交线围成的平面图形——截断面 平面与立体表面相交产生的交线——截交线
截断面
截断面
截平面
截平面
截交线
截交线
平面与平面立体相交
平面立体的截交线
1.截交线的特点
平面多边形
平面与平面立体相交产生的截交 线是一个封闭的平面多边形。
作图举例
平面与平面立体相交
例3：作出两平面立体交线的三面投影 。
由图可以看出，这是一 个正垂的三棱柱与一个铅垂 的六棱柱相交，三棱柱由前 穿入六棱柱，不再穿出。
两立体相交可以看成是 六棱柱被三个平面截切所得。
作图举例
平面与平面立体相交
例3：作出两平面立体交线的三面投影 。求水平面与六棱柱 面的交点
作图：
求水平面截切后的
1/
截交线
1//
求正垂面截切后的
2/
2//
截交线
（Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ点）
2 1
平面与平面立体相交
作图举例 例2：求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。
作图：
求水平面截切后的 截交线
求正垂面截切后的 截交线 （Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ点）
1/
1//
2/
3/ (4/) 4//
2// 3//
Y4 Y3
4
2 1
多边形的顶点是截平面与立体棱 线或边线的交点。
截平面与立 体棱线交点 截平面与立
多边形的边是截平面与立体表面的交线。 体表面交线
平面立体的截交线
2.求截交线的方法
平面与平面立体相交
棱线法：求各棱线与截平面的交点。

6"(8")
5"(7") 10"
68 24
1
3
5 97
10
例题2 求三棱锥与四棱柱的相贯线
1'(2') 3'(4') 9'
10' 5'(6') 7'(8')
2"(4")1"(3") 9"
6"(8")
5"(7")10"
68 24
1
3
5 97
10
思考题〔2〕
如果三棱锥与三棱柱相贯， 相贯线将如何变化？
s"
5"
4"
例题3 求三棱锥正面
投影被Q、P 两面截切 以后交线的三面投影。
1' 2'(3')
3" 1"2"
a'
b 'c ' c" a" b"
c 作作作图图图步步步骤骤骤：：：
a 1
3
5
s
2 4
②①③然作加后水粗作平可正截见截面轮面Q廓P与线与a正's'’垂的 面交△点B1C',又S交与出正正截垂面线P交4' 于2' 〔〔53'〕' 〕，，并并对对应应在在△absc上s上求 求出出1，4 且5，过在1作△底b"c边"sa"b上及求ac
两根本立体外表相交称为相贯，参与 相交的立体称为相贯体；其外表交线称为 相贯线，它是两立体外表的共有线，求两 立体外表相贯线的投影，实质上就是求出 相贯线上一系列共有点的投影〔完成相贯 线的三面投影〕。

⒉ 求截交线的步骤:
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
a)空间及投影分析
b)画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交线,并连接成多边形。
⒈ 求截交线的两种方法:
求各棱线与截平面的交点→线面交点法。
求各棱面与截平面的交线→面面交线法。
［例1］试完成五棱柱被两平面Ｐ、Ｑ截切后的投影。
截交线的基本性质:
4)求截交线的实质是求它们的共有点。
截交线的每条边是截平面与棱面的交线。
2.1 平面与平面立体相交
求解平面与平面立体的截交线问题,可归结为:求平面与平面立体各表面的交线(面面相交)的集合,或归结为求平面与平面立体各棱线的交点(线面相交)的集合。
求截交线的实质是求两平面的交线。
[例题3] 求立体切割后的投影
2
3
5
4
1
1
1
6
6
5
4
3
2
6
Ⅰ
Ⅴ
Ⅳ
Ⅲ
Ⅱ
Ⅵ
4
（5）
2
（3）
1≡8
8
例4:求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
P
截交线的形状?
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅶ
Ⅷ
1
5
4
3
2
8
7
6
截交线的投影特性?
2≡3≡6≡7
4≡5
求截交线
1
5
4
7
6
3
2
分析棱线的投影
检查截交线的投影
例3:求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
截交线的空间形状?
截交线的投影特性?
★找特殊点

图3-11 平面与平面立体相交
平面立体及其轴测投影
1.截交线的性质
截平面与立体表面的相对位置不相同，所产生 的截交线的形状也可能不同，但所有的截交线都具 有以下两个基本性质。 ➢ 封闭性：因为任何基本体表面都是封闭的，而截
交线又是截平面和基本体表面的交线，所以截交 线所围成的图形一定是封闭的。 ➢ 共有性：因为截交线既属于截平面，又属于基本 体表面，所以截交线是截平面和基本体表面的共 有线。
平面立体及其轴测投影
【例3-4】已知五棱柱及其截平面的V面 投影和H面投影，如图3-12所示，求作五棱 柱被截切后的三面投影图。
分析：由图3-12可知，五棱柱的棱线均为铅 垂线，除了后方侧棱面为正平面外，其他侧棱面 均为铅垂面，上、下底面为水平面。截平面为正 垂面，截切五棱柱的上表面和4个侧棱面，所以， 截交线的空间形状为五边形ABCDE。
图3-12 五棱柱截断体
第6 页
平面立体及其轴测投影
第7 页
作图步骤:
（1）参照立体图在V面投影和W面投影 上找到截断面ABCDE各顶点的投影，并标上 相应的字母。C，D点在H面上的投影c和d可 利用积聚性法作出，并用直线连接，如图313（a）所示。
（2）用细线画出未切割前五棱柱的W面 投影，如图3-13（a）所示。
所谓交点法，是指先求出平面立 体的各棱线与截平面的交点，然后将 各点依次连接起来即得截交线。连接 各交点时应注意：① 只有两点在同一 投影面上时才能连接；② 可见棱面上 的两点用粗实线连接，不可见棱面上 的两点用细虚线连接。
第5 页
提示
求平面立体切 割体的投影时，要 先分析平面立体在 未切割前的形状、 它是怎样被切割的， 以及截交线有何特 点等问题，然后再 进行作图。

6.2.1 平面与平面立体相交
由于平面立体是由平面围成的,截交线是封闭的平 面多边形，多边形的边是截平面与平面立体表面的交 线。求截交线的问题可以简化为求平面与平面的交线 问题，进而简化为求直线与平面交点的问题。
例1 三棱锥被一正垂面所截切，求截交线的投影。
s’ s
3
2 1
a’ b’
3 1
e’(f’)
g’(h’) b’ b”
RV
RW
h b g
df a
c e
例5
求铅垂圆台与半球的相贯线的投影。
PV2
PV3 PV4
2' 5'
3'
4'
1'
1"
4" 3" 5"
2"
y y
5
3
4
y
2
1
PH1
y
3.
辅助球面法
常用的辅助球面法为同心球面法,要使辅助球面与两立 体表面交线的投影为直线或圆。
例6
3 求出若干个一般点 Ⅴ、Ⅵ、 Ⅶ、Ⅷ；
3" 7" 2"
4 光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
8"
Ⅵ
4
6 1
Ⅰ
Ⅳ Ⅷ
Ⅴ
Ⅲ Ⅶ
7 3
5
Ⅱ
作图步骤： （1）根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别 截交线的形状和性质。 （2）求出截交线上的特殊点。 （3）根据需要求出若干个一般点。 （4）光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判 别可见性。 （5）最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向 轮廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。 特殊点：是指绘制曲线时有影响的各种点。 极限位置点 曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。 转向轮廓点 曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区 分曲线可见与不可见部分的分界点。 特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。 结合点 截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。

节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
画法几何及机械制图-平面 与立体表面的交线
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。

已知一直线与一圆柱体相交，求交点 坐标。
03
例题3
已知一平面与一直线同时与一球体相交，求 交线方程和交点坐标。
05
02
解法
首先确定平面与长方体表面的交线方程，然 后根据交线方程求解交线。
04
解法
首先确定直线与圆柱体表面的交点坐 标，然后根据交点坐标求解交点。
06
解法
首先分别确定平面和直线与球体表面的交线方 程和交点坐标，然后根据交线方程和交点坐标 求解交线和交点。
05
平面、直线与立体相交在 工程制图中的应用
工程图中平面、直线与立体相交表示方法
交点法
通过求解平面与立体、直线与立 体的交点，将交点在工程图中表 示出来，以此表达平面、直线与 立体的相交关系。
截交线法
当平面与立体相交时，其交线称 为截交线。通过绘制截交线的形 状和位置，可以清晰地表达平面 与立体的相交情况。
03
的形状和特性。
实验内容和步骤
01 • 分析截交线的形成原理，理解其与立体形状的 关系。
02
2. 直线与立体相交
03
• 选择一条直线和一个立体图形。
实验内容和步骤
• 确定直线与立体的相对位置，观察并记录相交点（贯穿点）的位置和特 性。
• 分析贯穿点的形成原理，理解其与立体形状的关系。 3. 实验记录与报告
学会运用投影法表示平面与立体、直线与立体的相交关系
通过学习和实践，能够熟练运用投影法表示平面与立体、直线与立体的相交关系，并能够正确绘制相 应的投影图。
培养空间想象能力和分析能力
通过学习和实践，逐渐培养空间想象能力和分析能力，为后续学习和工作打下基础。
教学内容与安排
平面与立体相交的基本概念和性质

3）连接各交点。
S
连接时必须注意：
① 同时位于两立体同一棱面上的相
邻两点才能相连。
② 相贯的两立体应视为一个整体，
一个立体位于另一立体内部的部分
不必画出（即：同一棱线上的两点
不能相连）。
L
N
M Ⅲ
A Ⅳ
Ⅴ Ⅵ Ⅰ
Ⅱ
D
B FC
E
4）判断可见性。每条相贯线段， 只有当其所在的两立体的两个棱 面同时可见时，它才是可见的； 否则，若其中的一个棱面 不可见，或两个棱面均不可见时， 则该相贯线段不可见；
E
一. 相贯线的特点
★ 两平面立体相贯，其相贯线 为封闭的平面折线或空间折线。
★ 每一段折线 都是两平面体某 两棱面的交线，每一个转折点 为一平面体的棱线与另一平面 体某棱面的交点。
★ 因此，求两平面体的相贯线， S 实质上就是求直线与平面的交点 或两平面交线的问题。
C B
A
D E
L
N
M Ⅲ
A Ⅳ
Ⅱ
D
即相贯线段。
作图时，依次检查两平面体上各相交的棱面，
求出相交的两棱面的交线（一般可利
E
用积聚投影求交线，参考前面两平面相交求
交线的方法），即为相贯线。
N A
B FC
三. 求相贯线的步骤
1）分析两立体表面特征及与投影面
的相对位置，确定相贯线的形状及特点， 观察相贯线的投影有无积聚性；
2）求一平面体的棱线与另一平面体 棱面的交点（贯穿点）；
【例题4】求下列两平面立体的相贯线。
返回
例5. 作四棱柱与四棱台的相贯线，并补全和画出相贯体 的H 投影、V 投影。
（a）补绘V投影
（b）作相贯线的投影

然后,根据可见性光滑连接这几 个点的投影即可.
7
4
6 2
5
3
连线、加粗
(6’ ) (4 ) 5 3 7 ( 8’ ) 1 2 4 6 2 5
3
1 7
8
8
1 7
4
6 2
5
3
三、平面与圆锥相交 平面截切圆锥时， 根据截平面与圆锥轴线 相对位置不同，圆锥面 上产生五种不同形状的 截交线。
平面与圆锥的截交线
截交线 形状 垂直于轴线 圆 通过圆锥顶点 三角形
通常在截交线有积聚性的投影面上通常在截交线有积聚性的投影面上截交点的投影是已知的点的投影是已知的利用此已知条件结合利用此已知条件结合投影关系求出所有截交点在另两个投影投影关系求出所有截交点在另两个投影面上的投影
第3章 直线,平面,立体的相对位置
3.2平面与立体相交
3.2.1 概述
平面与立体相交，可设想为 立体被平面所截切。这个平面称 为截平面。截平面与立体表面的 交线称为截交线，截交线所围成 的图形称为截断面。 研究平面与立体相交，其主 要目的是求出截交线(的投影)。
五、组合回转体表面的截交线
车床顶针
• 由几个回转体组成的立体称为组合回转体。 • 处理组合回转体截交线的关键在于将组合回转体分解为单个 回转体，分别画出截平面与单个回转体的截交线,从而得到
组合回转体的截交线。
例7： 求作立体的俯视图
小
结
求回转曲面立体截交线的方法：
在截平面有积聚性的投影面 上，截交线的投影是已知的；由 此已知投影出发，取几个特ห้องสมุดไป่ตู้点 和中间点,求出这几个点在另外 投影面上的投影；
前者:球体,圆环 后者:圆柱体、圆锥体 平面与曲面立体相交，其截交线在一般情 况下是平面曲线或平面曲线与直线段的组 合图形。

ⅣⅠ
Ⅱ Ⅲ
4
3
●
1
●
●
●2
★ 空间分析
截交★平线投面的影与形体分状的？析 ★几求个截截棱交面交线相线在交俯？、 ★ 分析左状棱视？线图的上投的影形 ★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
棱线我们法采！用的是
哪种解题方法？
一. 平面立体的截交线和断面（P54)
截交线的 空间形状？
●
a′
e′
●
●
●
c d′
′
●
b′
E
截C交线D的B 投影特性？
A
a●
●
c
e
●
●
●
db
例2:圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。 P63
截截交交线线的的 空投间影形特状性？？
如何找椭圆另
一根轴的端点？
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
例2:圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
y2
补全三面投影
P
y1 y
y1 y2 y
★ 空间分析
截交★平线投面的影与形体分状的？析
★几析左状棱视？线图的上投的影形 ★ 检查 尤其注意检查截
交线投影的类似性
2；面）1面影）侧五水部投截面个平分影平投交投在积面影点影棱聚是求。求边，正截 交两截的垂平 点正交积平面 分垂聚线面与 别面投的，棱 连的水影在边 线交平上正及 ，线投。顶 作
2.2 平面与立体表面相交（截交线）
几个基本概念
用以截切立体的平面——截平面。 截平面与立体表面的交线——截交线。 截交线围成的平面图形 ——断面(截面）。

[例3]圆锥被正垂面P和侧平面Q截切，已知 其主视图，求作俯视图和左视图。
2.3 圆球的截交线
圆球的截交线总是圆。 由于截平面相对于投影面的位置不同，截 交线的投影可能是圆、椭圆或直线。
[例1]P平面与球面相交，求其截交线的投影。
解题步骤
1.分析: 圆球被正垂 面截切，截交线为圆 ，其水平和侧面两投 影均为椭圆；
曲面立体相贯的三种基本形式
1.两外表面相交 2.外表面与内表面相交
3.两内表面相交
以下分别是圆柱外表面与圆柱内表面相 贯、圆柱内表面与圆柱内表面相贯的情况。
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以下分别是圆柱外表面与圆柱内表面相 贯、圆柱内表面与圆柱内表面相贯的情况。
3.2 用辅助平面法求相贯线
辅助平面法：
根据三面共点的原理，利用辅助平面求出 两回转体表面上的若干共有点，从而画出相 贯线的投影。
3.4 圆柱、圆锥相贯线变化规律
当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。
动画一
动画二
[例4] 如图所示为三个回转体相交，试求其相贯线。
本章结束
本章结束
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平面与立体、立体与立体相交形成不同的 表面交线，可分为两大类：
相 贯:两立体相交。 相贯线——立体与立体表面的交线。
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§1 平面立体的截交线
1.1 平面与平面立体的截交线 截交线的性质：
1)截交线既在截平面上，又在立体表面上， 是截平面与立体表面的共有线。
2)截交线的形状是由直线段围成的平面多边形。 3)多边形的顶点是立体棱线与截平面的交点，