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代数K理论是数学中一个重要的分支领域，它旨在研究代数结构的各个方面，从而推动数学理论的发展和应用。
在代数K理论中，K代表一个固定的域，通常是一个特征为零的代数闭域。
代数K理论的研究内容多种多样，包括代数拓扑学、代数几何学、代数数论等等。
它涉及的概念和方法非常抽象和深奥，需要一定的数学基础才能理解和应用。
代数K理论的一个重要应用领域是代数拓扑学。
代数拓扑学旨在研究拓扑空间中的代数结构，如群、环、域等。
它的研究对象包括拓扑空间的同伦群、同调群以及基本群等。
代数K理论提供了一种刻画拓扑空间的代数方法，能够更深入地研究和理解拓扑对象的性质和结构。
在代数几何学中，代数K理论也起到了重要的作用。
代数几何学研究的是代数方程的几何性质，如曲线、曲面等。
代数K理论提供了一种分析代数几何对象的工具。
它的研究方法包括代数拓扑学、同伦论等，能够用代数结构分析和刻画代数几何对象的性质。
代数数论也是代数K理论的一个研究领域。
代数数论旨在研究代数数的性质和结构，如整数解的性质、数域的性质等。
代数K理论在代数数论中起到了推动研究的作用。
通过代数K理论的方法，人们能够研究和探索更深层次的代数数的性质和结构。
除了对数学理论的研究，代数K理论还有实际应用。
在计算机科学中，代数K理论被广泛应用于密码学、编码理论等领域。
它的抽象和严谨的理论体系，能够提供可靠和安全的密码系统，保护信息的安全。
总之，代数K理论是数学中一个重要的分支领域，它研究代数结构的各个方面，从而推动数学理论的发展和应用。
它在代数拓扑学、代数几何学、代数数论等领域都有重要的研究应用。
此外，代数K理论还在计算机科学中具有实际应用。
它的研究内容深奥、抽象，需要一定的数学基础才能理解和应用。
然而，代数K理论的发展和应用，为我们理解数学本质、解决实际问题提供了强有力的工具和方法。
数学中的拓扑学分支数学是一门广泛而深奥的学科，涵盖了许多分支和领域。
其中，拓扑学作为数学的一个重要分支，主要研究集合和空间的性质及其之间的映射关系。
在本文中，我们将深入探讨数学中拓扑学的几个分支，包括点集拓扑学、代数拓扑学和微分拓扑学。
一、点集拓扑学点集拓扑学是拓扑学的最基础、最基本的分支，它研究的是点集及其子集的性质。
在点集拓扑学中，我们关注的是集合中的点及其之间的关系，而不考虑度量和距离。
通过引入开集、闭集、连通性等概念，点集拓扑学研究了集合的性质，如连通性、紧致性、分离性等。
例如，欧几里得空间中的开集是指任意一点存在一个足够小的邻域，使得该邻域中的所有点仍然属于该集合。
闭集则是指集合包含了所有其极限点。
通过对开集和闭集的研究，我们可以推导出许多重要的性质，如集合的交、并、差运算、闭包、内部等。
二、代数拓扑学代数拓扑学是拓扑学中的另一个重要分支，它结合了拓扑学和代数学的方法和思想，研究了在拓扑空间上定义的代数结构。
代数拓扑学的研究内容主要包括群论、环论、域论等代数结构与拓扑空间之间的关系。
代数拓扑学的一个重要应用是同伦论，它是研究拓扑空间中连续变形的方法。
同伦论通过引入同伦等价的概念，研究了拓扑空间之间的变形和形状不变性。
例如，同伦论可以用来研究环面和球面是否同胚，即它们是否具有相同的形状。
三、微分拓扑学微分拓扑学是拓扑学中应用最广泛的分支之一，它结合了微积分和拓扑学的知识，研究了光滑流形和向量场等对象的性质。
微分拓扑学主要关注的是流形及其上的微分结构和微分同胚。
光滑流形是一个具有光滑结构的拓扑空间，它可以用来描述现实世界中的各种物理现象。
微分拓扑学通过引入切空间、切丛和微分同胚等概念，研究了流形的性质，如维度、切空间的结构、流形的切向量场等。
微分拓扑学的一个重要结果是斯托克斯定理，它建立了微分形式在流形上的积分与边界的关系，是微分几何和微分拓扑学的基础。
总结起来，数学中的拓扑学分支涵盖了点集拓扑学、代数拓扑学和微分拓扑学三个重要方向。
代数拓扑所需要的基础代数拓扑是数学中的一个分支，它结合了代数和拓扑的概念与方法。
它的基础包括代数和拓扑的基本概念、定理和方法。
本文将介绍代数拓扑所需要的基础知识。
1. 集合论：集合论是数学中研究集合和它们之间关系的一个分支。
在代数拓扑中，集合论是基础。
它提供了描述拓扑空间和代数结构的语言和符号。
集合论中的概念，如集合的并、交、补等，以及集合的运算和关系，都是代数拓扑研究的基础。
2. 拓扑空间：拓扑空间是代数拓扑的核心概念之一。
在拓扑空间中，我们关注的是空间中的点和它们之间的关系。
拓扑空间的基本概念包括开集、闭集、拓扑基、邻域等。
通过研究拓扑空间的性质和结构，我们可以得到一些重要的拓扑定理和结论。
3. 映射与同胚：映射是代数拓扑中的另一个重要概念。
映射描述了两个拓扑空间之间的关系。
在代数拓扑中，我们关注的是保持拓扑性质的映射，即同胚。
同胚是一个双射映射，它保持了拓扑空间中的邻域关系。
同胚在代数拓扑中有很多重要的应用。
4. 群论：群论是代数拓扑中的一个重要分支。
群是一种代数结构，它是由一组元素以及它们之间的运算组成的。
在代数拓扑中，我们研究的是拓扑空间上的群以及群的作用。
群论提供了一种描述对称性和变换的数学语言，它在代数拓扑中有广泛的应用。
5. 同调论：同调论是代数拓扑中的一个重要工具和方法。
它通过研究拓扑空间中的连续映射和代数结构之间的关系，来研究拓扑空间的性质和结构。
同调论可以用来计算拓扑空间的不变量，揭示空间的拓扑性质。
6. 赋范空间：赋范空间是代数拓扑中的一个重要概念。
赋范空间是一个带有范数的线性空间，它赋予了空间中的向量长度的概念。
赋范空间在分析学和几何学中有重要的应用，它在代数拓扑中也有广泛的应用。
7. 流形：流形是代数拓扑中的一个重要概念。
流形是一种局部与欧几里得空间同胚的空间，它在代数拓扑中用来描述曲线和曲面等几何对象。
流形理论在代数拓扑中有广泛的应用，它为研究高维空间提供了一种有效的方法。
庞加莱猜想-前言Wir m\"ussen wissen! Wir werden wissen!(我们必须知道！我们必将知道！)—— David Hilbert两年前科学版举行过一次版聚，我报告了低维拓扑里面的一些问题和进展，其中有一半篇幅是关于Poincar\'e 猜想。
版聚后，flyleaf 要求大家回去后把自己所讲的内容发在版上。
当时我甚至已经开始写了一两段，但后来又搁置了。
主要是因为自己对于低维拓扑还是一个门外汉，写出来的东西难免有疏漏之处，不敢妄下笔。
两年过去，我对低维拓扑这门学科的了解比原先多了，说话的底气也就比原先足了。
另外，由于Clay 研究所的百万巨赏，近年来Poincar\'e 猜想频频在媒体上曝光；而且Perelman 最近的工作使数学家们有理由相信我们已经充分接近于这一猜想的最后解决。
所以大概会有很多人对Poincar\'e 猜想的来龙去脉感兴趣，我也好借机一偿两年来的宿愿。
现代科学的高速发展使各学科之间的鸿沟加大，不同学科之间难以互相理解，所以非数学专业的读者在阅读本文时可能会遇到一些困难。
但限于篇幅和文章的形式，我也不可能对很多东西详细解释。
一些最基本的拓扑概念如“流形”，我将在本文的附录中解释。
还有一些“同调群”、“基本群”之类的名词，读者见到时大可不去理会它们的确切含义。
我将尽量避免使用这一类的专业术语。
作者并非拓扑方面的专家，对下面要说的很多内容都是道听途说，只知其然而不知其所以然；作者更不善于写作，写出来的东东总会枯燥无味，难登大雅之堂。
凡此种种，还请读者诸君海涵。
问题的由来Consid\'erons maintenant une vari\'et\'e [ferm\'ee] $V$ \`a trois dimensions ... Est-il possible que le groupe fondamental de $V$ ser\'eduise \`a la substitution identique, et que pourtant $V$ ne soit pas simplement connexe?—— Henri Poincar\'e在拓扑学家的眼里，篮球、排球和乒乓球并没有什么不同，它们都同胚于三维空间中的球面S^2. (我们把n+1维欧氏空间中到原点距离为1的点的集合记作S^n，称为n维球面(sphere)。
拓扑学最初被称为位置分析（Analysis situs），它是一门研究图形（或集合）在连续变形下的不变的整体性质的一门几何学。
17世纪莱布尼茨时期，拓扑学思想的萌芽开始出现。
到了1895年，庞加莱发表了论文《位置分析》，标志着拓扑学从前期的研究阶段开始转向现代拓扑学的发展阶段。
庞加莱的工作确定了新的拓扑学的研究对象，为证明拓扑学中许多结论的合法性提供了依据。
欧拉公式是拓扑学发展过程中的一个重要里程碑。
这个公式表明了多面体的顶点数、边数和面数之间存在一种关系，而且满足这个关系所必须的条件是：在欧氏空间中，任意一个简单凸多面体（简单凸多面体指其表面是连续的平面或曲面，没有任何凹角或竖直面）的顶点数减去边数再加上面数等于2。
欧拉公式实际上是将多面体在欧氏空间中的性质转化为一个简单的公式，使得人们可以更加方便地研究多面体的几何形态和性质，以及对复杂的多面体进行分类和研究。
随着时间的推移，拓扑学已经从研究几何图形在连续变形下保持不变的性质发展成为研究连续性现象的分支。
现在，拓扑学已经成为数学的基础性学科之一，并在数学的其它领域，甚至非数学领域有着广泛且极其重要的应用。
20世纪以来，拓扑学得到了进一步的发展，并逐渐形成了几个重要的分支。
这些分支包括：1. 代数拓扑学：代数拓扑学是利用代数学的方法研究拓扑学问题的分支。
它主要关注拓扑空间的同胚分类以及相关的代数不变量，如同伦分类、同调理论等。
2. 微分拓扑学：微分拓扑学主要研究流形（包括微分流形、光滑流形等）的几何性质和结构。
它关注流形的嵌入、浸入、微分同胚等问题，以及与微分几何的联系。
3. 几何拓扑学：几何拓扑学主要研究高维空间中的几何结构和性质，如高维流形、几何群论等。
它与微分几何、代数几何等学科有密切的联系，并涉及到一些重要的数学问题，如庞加莱猜想等。
4. 泛函分析在拓扑学中的应用：泛函分析在拓扑学中的应用主要涉及无穷维拓扑空间的研究。
它包括对Banach空间、Fréchet空间等的研究，以及与调和分析的联系。
拓扑学简介
简介
年后拓扑学发展迅速，逐渐地数学家将这个学科分为三个分支：
代数拓扑学（伦移等问题）
几何拓扑学（有名的庞加莱猜想属于此类，已为俄罗斯数学家佩雷尔曼解决。
）
微分拓扑学研究可以微分结构等等
这些分支的基础是研究一般的拓扑空间的点集拓扑学。
但是随着时间的发展这些区分又越来越显得是人为的区分了。
年代初已经开始的许多研究成果引致几何拓扑学本身变化了。
年史提芬·斯梅尔化解了高维中的庞加莱悖论，这使三维和四维变得尤其困难。
事实上这些困难的化解须要代莱技术，而与此同时高维提供更多的自由度使换球之术的问题也沦为可以排序的问题了。
威廉·瑟斯顿在年代末明确提出的几何化悖论提供更多了在低维中几何与流形之间的关系的理论基础。
瑟斯顿采用过去在数学中只是较弱地互相关联的分支的相同技术化解了haken 流体的几何化问题。
年代初沃恩·琼斯辨认出的琼斯多项式为浴室柜理论提供更多了代莱方向，同时也给数学物理与低维拓扑学之间至今年才依然未明了的关系提供更多了代莱促进。
这些发展使得几何拓扑学被更好地应用于数学的其它领域了。
代数拓扑的主要内容及其历史 拓扑学的名称首见于德国数学家利斯廷（listing，-），拓扑是topology的中文音译，以前长期被称作位置分析（analysis situs），关于位置分析的经典例子是欧拉解决的（Eluer，1707-1783）科尼斯堡七桥问题。拓扑学是研究几何图形在被弯曲，拉大，缩小或任意变形下保持性质不变得一门学科。 20世纪中期最伟大的数学家赫尔曼·外尔（H.weyl，1885-1955）曾经说过：20世纪将是抽象代数的魔鬼和拓扑学的天使争夺数学灵魂的时期。诚如此，从1900年希尔伯特在国际数学家大会上宣读的23个问题中竟然没有一个是拓扑的问题开始，到1935年在苏联召开的国际拓扑学大会的召开，拓扑学的发展可谓天翻地覆，一大批新的概念和理论建立了起来，整个拓扑学仿佛有做不完的问题。数学灵魂争夺的最终结果是群进入了拓扑学。一方面20世纪数学（特别是抽象代数学）的发展为拓扑学提供了工具从而形成了代数拓扑这一学科，另一方面拓代数扑学的发展反过来又促进了新的数学的产生（典型的例子是同调代数，范畴论）。 代数拓扑是现代数学的主流。法国布尔巴基学派的迪厄多内说过：代数拓扑和微分拓扑是现代数学的女王。陈省身先生当年在中央研究院主持工作训练新人时，吸取了苏联函数论学派的和波兰泛函分析学派的成功的经验，认为当时数学的主流乃是代数拓扑，应当以代数拓扑为主要学习内容，培养从全国各地选拔的青年才俊。这种方式取得了很大的成效，如首届国家最高科技奖吴文俊的早期工作就是代数拓扑，廖山涛，张素诚，杨忠道等都出自代数拓扑讨论班。 代数拓扑起源于庞加莱的组合拓扑学，本文旨在简要叙述一下代数拓扑的历史。毫无疑问，早期的代数拓扑学已经成为经典。本文简要介绍一下同调的思想发展史，即组合拓扑学是如何发展到代数拓扑学的。那么组合拓扑学的主要研究对象是什么？同调群是如何引入拓扑学的？同调群的拓扑不变性又是由谁证明的？上同调群、相对上同调群、局部同调群、上同调环之间有什么关系呢？通过一学期的学习，使我下定决心以这种方式写这篇作业。本学期的主要内容是多面体的同调论，我的思路是以重大人物的伟大功绩和重大定理的发明为线索，阐明代数拓扑中许多重要又不为人所知的事实和重大思想，这仅是我的一个尝试。 代数拓扑的主要方法思路：代数拓扑学中的最基本的研究对象是----单纯复合形及其多面体。然后从几何性质出发，利用群的术语，对于每一个多面体的一个固定的剖分，即对于每一个单纯复合形，引进它的同调群，同调群集中反映了单纯复合形的许多重要的几何性质。并进而引出了上同调群，并由此可以定义上同调环，代数拓扑最终导致了同调代数的产生。 1庞加莱（H.poincare,1854-1912） 庞加莱基本引进同调群，尽管他没有以群论的语言表述出来，但是庞加莱已经拥有了全部的同调思想，他引进的是另一个拓扑不变量--基本群。 庞加莱当时法国乃至世界上是伟大的法国数学家，被称为掌握全部数学的最后一位全才，他的哲学思维在数学家中也是首屈一指。庞加莱在1895年发表了他的论文【位置分析】，随后又做了5篇补充（1899,1900，1902,1902,1904），从而一举开创了组合拓扑学。 庞加莱的方法是以多面体为对象，把点、棱、面推广为标准构件----单形，然后把所有图形都分解为单形的组合---复形，从而得到其拓扑性质。（单形和复形的术语是又不劳威尔引入的） 从上面我们已经看出，庞加莱以一般流形以及把它们三角剖分之后构成的复合形为拓扑学的研究对象。并把欧拉公式推广到庞加莱公式，建立了庞加莱对偶定理。庞加莱还留下了一系列猜想，最著名的是庞加莱猜想和主猜测。庞加莱猜想一直吸引着其后数学家的注意，并最终以俄罗斯数学家佩雷尔曼解决而画上圆满的符号。佩雷尔曼也因此获得了2006年数学界最高的荣誉---菲尔兹奖。 组合拓扑学的最主要的拓扑不变量是贝蒂数和挠系数，对此庞加莱已经明了。因为庞加莱对偶定理明确告知我们：对于可定向的n维闭流形，k维挠系数=n-k维挠系数。 庞加莱的另一个大贡献是他引入一个非数值的拓扑不变量---基本群，在区分单连通上很有作用，基本群其实是一维同伦群。本文不讨论它们，因为我对此几乎一无所知。那么后来的同调群这个非数值的拓扑不变量引入组合拓扑，似乎也就没什么大惊小怪了。因为早在1895年庞加莱就定义了基本群，而同调群的引入是埃米•诺特提醒了拓扑学家，她这样认为：为什么非要把不变量看做数呢？苏联的数学家亚历山大洛夫和瑞士的霍普夫大受影响，从而开始了代数拓扑真正开始---群进入拓扑学。 群进入拓扑学没什么大不了的，当时的哥廷根大学是世界的数学中心，以埃米•诺特的为首的抽象代数学派如日中天，抽象代数的思维迅速的进入了数学的各个领域并且占有了它，拓扑、数论、几何都由于获得了新思路而生机勃勃，其后代数拓扑，代数数论，代数几何一直是数学的主流。代数拓扑就是在这个大背景下形成的。 那么我们看一下复形的同调群是怎么定义的。 单形 一个单形只不过是一个n维的三角形，也就是说0维的单形只不过是一个点，以为单行是一条线段，二维单形是一个三角形，三位单形是一个四面体，n维单形是一个具有n+1个定点的广义的四面体。 一个单形较低维的面还是单形。 复形 一个复形是具有下述性质的一组有限个单形：组中任何两个单形的交，如果有的话，是一个公共的面，并且组中每一个单形的面也是组中的单形。即单形要规则相处。 在引入同调群的过程中，最重要的是单形定向和边缘运算这两个概念。对于一组顶点，当选定过顶点的一个顺序，就给了它一个定向。 一个单形的边缘由这个单形所包含的低一维的单形组成。一个二维单形的边缘由三个一维的单形组成。边缘其实就是其顺向面的组合。 对于一个给定的复形，可以做它的q维定向单形的线性组合，系数我们一般取整数。这样一个线性组合我们称之为链。经过我们验证，所有的这样的链组成
一个群，我们叫做k维链群，记作(,)qCKJ。这其实是一个自由Abel群。 一个边缘为零的链叫做一个闭链。所以有些链是闭链，这样的闭链组合在一起也构成一个群，我们叫做q维闭链群，记作(,)qZKJ。闭链之中有些是其他链的边缘我们把它叫做q维边缘链，我们把闭链群中边缘链组合起来，发现也构成一个群，我们把这样的群叫做q维边缘链群，记作(,)qBKJ。 而k维闭链群和k维边缘链群的商群()()qqZKBK就是这个复形的同调群，记作(,)qHKJ！ 这里只不过是用群的语言进行了一下描述，前面已经说过，庞加莱已经定义了贝蒂数和挠系数，而整同调群的结构定理恰恰告诉我们，告诉了我们同调群就知道了贝蒂数和挠系数，二者是一样的！ 整同调群的结构：n维的有限复形K的q维整同调群能唯一分解成下述直和：
1q()qHKJJJJJ…………。前面为qR个J的直和，qR就是前面所
述的贝蒂数，i就是前面所述的挠系数。 同调群（贝蒂数，挠系数）可以取自不同的系数群。美国数学家维不仑和亚历山大引进了模2同调群，模2同调群的优点是不用区分方向。同为美国数学家的莱夫谢兹用有理数做链的系数，而苏联数学家庞特亚里金则更加广泛，直接用交换群作为链的系数。这些都是对同调群的推广。 同调群反映了复形的几何性质。例如n维有限复形的零维贝蒂数等于复形的连通分支的个数。 庞加莱公式：欧拉得出了多面体的欧拉公式，即V-E+F=2。而单形和复形是
多面体的推广，庞加莱把它推广到n维复形，其中q维单形的个数是qa，q维贝
蒂数是qR，则庞加莱示性数为0(1)nnqqa，它等于0(1)nnqqR。这是复形的一个拓扑不变量。 关于如何计算同调群，庞加莱用关联矩阵给出了算法，当时还没有计算机，这在现代情形下可以用计算机来机械完成。 至此我们大致说清楚了同调群。庞加莱的思想太过超前，且注意直觉思维的重要性。当时，大多数法国数学家把自己限制在狭小的范围内研究函数论，而没有关注庞加莱的拓扑学思想。实际上，庞加莱的思想广博深刻，大大超越了时代，庞加莱的工作在法国后继无人，关于关同调群的拓扑不变性的严密证明（实际上是贝蒂数和挠系数不变性）庞加莱也没有完成。虽然法国没人继承，但是拓扑学的思想已经生根开花，世界范围内涌现出一大批拓扑学家。尤其著名的是布劳威尔，霍普夫，后来更是形成了苏联和美国两大拓扑学派。在为代数拓扑注入了严密基础的数学家中，有一个人不得不提，他就是直觉主义的另一旗帜人物—布劳威尔。 2布劳威尔 布劳威尔是荷兰伟大的数学家和哲学家，直觉主义的坚定拥护者。在1909-1913年短短的5年里，他创立了单形逼近方法来证明拓扑不变形，其中尤为著名的是维数的拓扑不变性。我们在这里提两个重要的概念和定理，一是单形逼近，二是不劳威尔不动点定理。 我们重点关注一下同调群的拓扑不变性是如何证明的。 如果两个多面体作为拓扑空间同胚，那么它们的同调群有什么关系呢？答案是同构。本学期所学习的课程从重心重分开始，从复形K的链群到重心重分SdK的链群建立了链映射，并诱导出了同调群的同态，进而证明了同调群的重分不变性，并用重分不变性证明了拓扑不变性。最后提到了伦型不变性，虽然伦型不变性包括了前两者，但是作为历史，我们有必要看一下这个思想过程。 复形K和L之间的链群(),()qqCKCL存在一序列的同态qf，那么它们的同调
群(),()qqHKHL有什么关系呢？答案是什么也没有。链映射：但是当这组同态qf
满足1qqqqff时，称为复形K到复形L的一个链映射，这时则链映射可诱导出同调群的同态。由此不同的链映射可诱导出不同的同调群(),()qqHKHL的同态，但是什么时候诱导出的同态相同呢？当两个链映射同伦时，诱导出相同的同调群之间的同态。链同伦：qD：1()()qqCKCL，满足11qqqqqqDDgf。D叫做从f到g的连轮移。 到底复形K和复形L之间能否建立链映射呢？这点通过单纯映射得到了保证。我发现，代数拓扑的所有定义都是从单形开始定义，然后定义复形，进而定义到链，这是否是一个规律呢？单纯映射既有明显的几何直观，又自然诱导出一个链映射。 在同调群的重分不变性的证明中，关键的两个概念是重分链映射和标准链映射，分别是K到SdK 的链映射和SdK到K的链映射，我们可以证明这两个链映射诱导出的同调群的同态互逆，从而一举证明了同调群的重分不变性。 在同调群的拓扑不变性的证明中，我们证明了任何一个映射都可以由单纯映射来“逼近”，我觉得这点和非线性函数由线性函数逼近，不连续函数由连续函数逼近类似。 同调群的拓扑不变形：如果两个多面体作为拓扑空间同胚，那么它们的各维
同调群同构。我们发现如果复形K到复形L之间的映射有星形性质,则K到L存在单纯逼近，这是著名的单纯逼近定理。由于证明中用到了重分不变性，所以还要说明这跟重分的次数没有关系。 最后我们获取了如下事实，即如果复形K复形L存在着连续映射，则它们的各维同调群同态。这真是几何直观和代数机械运算的完美结合。 布劳威尔不动点定理：n维球到其自身的任意连续映射都有一个不动点。这个定理运用极广，尤其在微分方程中。此后这个定理又得到了大规模的推广，如
