14拓扑泛函分析抽象代数

希尔伯特的23个数学问题展开全文德国数学家希尔伯特(图8-6)是19世纪末和20世纪上半叶最伟大的数学家之一．希尔伯特希尔伯特特别强调重大问题在数学发展中的作用，他指出：“如果我们想对最近的将来数学知识可能的发展有一个概念，那就必须回顾一下当今科学提出的，希望在将来能够解决的问题．”同时又指出：“某类问题对于一般数学进程的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的．只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止．”1900年8月，在巴黎召开的第二届国际数学家大会上，年仅38岁的希尔伯特应邀做了题为“数学问题”的著名讲演．在这具有历史意义的演讲中，他提出许多重要的思想：正如人类的每一项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题．正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新观点，达到更为广阔的自由的境界．他阐述了重大问题所具有的特点，好的问题应具有以下三个特征：清晰性和易懂性；虽困难但又给人以希望；意义深远．同时，他还分析了研究数学问题时常会遇到的困难及克服困难的一些方法．就是在这次会议上，希尔伯特根据19世纪数学研究的成果和发展趋势提出23个悬而未决的数学问题，即著名的“希尔伯特的23个数学问题”．这次大会是数学史上一个重要的里程碑，他提出的23个问题更是功勋卓著、影响深远．希尔伯特的23个问题分为四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题是数论问题；第13到第18问题是属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析问题．经过一个多世纪，希尔伯特提出的23个问题中，接近一半已经解决或基本解决．有些问题虽未解决，但也取得了重要的进展．问题1康托尔的连续统基数问题(公理化集合论)1874年，康托尔猜测在可数集基数与实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设．1938年，奥地利数理逻辑学家哥德尔证明了连续统假设与策梅洛-弗伦克尔(Zermelo-Fraenkel，ZF)集合论公理系统的无矛盾性．1963年，美国数学家科恩证明了连续统假设与ZF 集合论公理系统彼此独立．因而连续统假设不能用ZF集合论公理系统加以证明，即连续统假设的真伪不可能在ZF集合论公理系统内判定．在这个意义上，问题已经解决了．问题2算术公理的相容性(数学基础)欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性．希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明方法加以证明，后来发展为系统的希尔伯特计划(“元数学”或“证明论”)，但1931年，哥德尔发表“不完备性定理”做出否定．1936年，根茨(G. Gentaen，1909—1945)使用超限归纳法证明了算术公理系统的相容性，但数学的相容性问题至今未解决．问题3只根据合同公理证明等底等高的四面体有相等之体积是不可能的(几何基础)问题的含义是：存在两个等底等高的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等，这一问题很快于1900年由希尔伯特的学生德恩(M. Dehn，1878—1952)给出了肯定的解答．这是希尔伯特问题中最早获得解决的一个．问题4直线作为两点间最短距离问题(几何基础)这一问题提得过于一般，满足这一性质的几何例子很多，只需要加以某些限制条件．在构造特殊度量几何方面已有很大进展，但未完全解决．1973年，苏联数学家波格列洛夫(Pogleov)宣布，在对称距离情况下，问题获得解决．问题5不要定义群的函数的可微性假设的李群概念(拓扑群论)这一问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧式群都一定是李群．经过漫长的努力，这个问题于1952年，由美国格里森(Gleason)、蒙哥马利(Montqomery)和齐宾(Zipping)共同解决．1953年，日本的山迈彦得到完全肯定的结果．问题6物理公理的数学处理(数学物理)希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理学．1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫(A. Kolmogorov，1903—1987)将概率论公理化．后来在量子力学、量子场论和热力学等领域，公理化方法获得很大成功，但物理学各个分支能否全盘公理化，很多人对此表示怀疑．公理化的物理意味着什么，仍是需要探讨的问题．问题7某些数的无理性与超越性(超越数论)要求证明：若是代数数，是无理数的代数数，则一定是超越数或至少是无理数．苏联数学家盖尔丰德(A. O. Gelfond)于1929年、德国数学家施奈德(T. Schneieder)及西格尔(C. L. Siegel，1896—1981)于1934年各自独立地解决了这问题的后半部分．1966年贝克等大大推广了此结果．但是，超越数理论还远远未完成．要确定所给的数是否超越数，还没有统一的方法，如欧拉常数的无理性至今未获得证明．问题8素数分布问题(数论)希尔伯特在此问题中提到黎曼猜想、哥德巴赫猜想以及孪生素数问题．一般情形的黎曼猜想至今未解决．哥德巴赫猜想和孪生素数问题也未最终解决，这两个问题的最佳结果均属于中国的数学家陈景润．问题9任意数域中最一般的互反律之证明(类域论)该问题于1921年由日本学者高木贞治(1875—1860)、1927年由德国学者阿廷(E. Artin)各自给以基本解决．类域理论至今仍在发展之中．问题10丢番图方程可解性的判别(不定分析)希尔伯特提出问题：能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解．1970年，由苏联数学家马蒂雅塞维奇证明希尔伯特所期望的一般算法是不存在的．尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系．问题11系数为任意代数数的二次型(二次型理论)德国数学家哈塞(H. Hasse，1898—1979)于1929年和西格尔于1951年在这个问题上获得了重要的结果．20世纪60年代，法国数学家魏依取得了新的重大进展，但未获最终解决．问题12阿贝尔(Abel)域上的克罗内克(L. Kroneker，1823—1891)定理推广到任意代数有理域(复乘法理论)尚未解决．问题13不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程(方程论与实函数论)连续函数情形于1957年由苏联数学家阿诺尔德(V. Arnold，1937—2010)否定解决．1964年，苏联数学家维图斯金(Vituskin)推广到连续可微情形．但若要求是解析函数，则问题仍未解决．问题14证明某类完全函数系的有限性(代数不变式理论)1958年，日本数学家永田雅宜举出反例给出了否定解决．问题15舒伯特(Schubert)记数演算的严格基础(代数几何学)由于许多数学家的努力，舒伯特演算的基础的纯代数处理已有可能，但舒伯特演算的合理性仍待解决．至于代数几何的基础，已由荷兰数学家范·德·瓦尔登于1940年及法国数学家魏依于1950年各自独立建立．问题16代数曲线与曲面的拓扑(曲线与曲面的拓扑学、常微分方程的定性理论)这个问题分为两部分：前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目，后半部分要求讨论极限环的最大个数和相对位置．关于问题的前半部分，近年来不断有重要结果出现．关于问题的后半部分，1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出了至少有4个极限环的具体例子．1983年，中国的秦元勋进一步证明了二次系至多有4个极限环，从而最终解决了二次微分方程的解的结构问题，并且为希尔伯特第16问题的研究提供了新的途径．问题17半正定形式的平方表示式(实域论)一个实数n元多项式对任意数组都恒大于零或等于零，是否能写成平方和的形式？此问题于1927年，由阿廷给予肯定的解决．问题18用全等多面体构造空间(结晶体群理论)该问题由三部分组成．第一部分欧式空间仅有有限个不同类的带基本区域的运动群．第二部分包括是否存在不是运动群的基本区域但经适当毗连即可充满全空间的多面体？第一部分由德国数学家贝尔巴赫(Bieberbach)于1910年做出了肯定的回答．第二部分由德国数学家莱因哈特(Reinhart)于1928年、黑施于1935年做出了部分解决．第三部分至今未能解决．问题19正则变分问题的解是否一定解析(椭圆型偏微分方程理论) 1929年，德国数学家伯恩斯坦(L. Bernstein，1918—1990)证明了一个变元的、解析的非线性椭圆方程，其解必定是解析的．这个结果后来又被伯恩斯坦和苏联数学家彼德罗夫斯基等推广到多变元和椭圆组的情形．在此意义下，问题已获解决．问题20一般边值问题(椭圆型偏微分方程理论)偏微分方程边值问题的研究正处于蓬勃发展的阶段，已成为一个很大的数学分支，目前还在继续发展，进展十分迅速．问题21具有给定单值群的线性偏微分方程的存在性证明(线性常微分方程大范围理论)此问题属于线性常微分方程的大范围理论．希尔伯特于1905年、勒尔(H. Rohrl)于1957年分别得出重要结果．1970年，法国数学家德利涅(Deligne)做出了突出的贡献．问题22用自守函数将解析函数单值比(黎曼曲面体)此问题涉及深奥的黎曼曲面理论，一个变数的情形已由德国数学家克贝(P. Koebe)于1907年解决，但一般情形尚未解决．问题23变分法的进一步发展(变分法)这是一个不明确的数学问题，只是谈了一些对变分法的一般看法．希尔伯特本人和许多数学家对变分法的发展做出了重要的贡献．20世纪变分法已有了很大的进展．希尔伯特的23个数学问题的影响及意义希尔伯特的23个数学问题绝大部分业已存在，并不是希尔伯特首先提出来的，但他站在更高的层面，用更尖锐、更简单的方式重新提出了这些问题，并指出了其中许多问题的解决方向．在世纪之交提出的这23个问题，涉及现代数学的许多领域．一个世纪以来，这些问题激发着数学家们浓厚的研究兴趣，对20世纪数学的发展起着巨大的推动作用．许多世界一流的数学家都深深为这23个问题着迷，并力图解决这些问题．希尔伯特所提出的问题清晰、易懂，其中一些有趣得令许多外行都跃跃欲试．解决其中任意一个，或者在任意一个问题上有重大突破，就自然地被公认为是世界一流水平的数学家．我国的数学家陈景润因在解决希尔伯特第8个问题(即素数问题，包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等)上有重大贡献而为世人所瞩目，由此也可见希尔伯特问题的特殊地位．经过整整一个世纪，希尔伯特的23个数学问题中，将近一半已经解决或基本解决．有些问题虽未解决，但也取得了重要进展．希尔伯特提出的问题是极其深奥的，不少问题一般人连题目也看不懂．正因为困难，才吸引有志之士去做巨大的努力．但它又不是不可接近的，因而提供了使人们终有收获的科学猎场．一百多年来，人们始终注视着希尔伯特问题的研究，绝不是偶然的．希尔伯特问题的研究与解决大大推动了许多现代数学分支的发展，包括数理逻辑、几何基础、李群、数学物理、概率论、数论、函数论、代数几何、常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面论和变分法等．第2问题和第10问题的研究，还促进了现代计算机理论的成长．当然，预测不可能全部符合后来的发展，20世纪数学发展的广度和深度都远远超出20世纪初年的预料，像代数拓扑、抽象代数、泛函分析和多复变量函数等许多理论学科都未列入这23个问题，更不要说与应用有关的应用数学以及随计算机出现发展起来的计算数学和计算机科学了．（本期责编：王芳）本文摘编自胡伟文徐忠昌主编《数学文化欣赏》（北京：科学出版社，责任编辑吉正霞，2016.11）第八章部分，内容略有删节。

泛函分析复习与总结泛函分析是数学中的一个重要分支，是研究无限维空间上的函数和线性算子的学科。

它的研究对象不再是有限维线性空间上的向量，而是函数或者函数空间，包括无限维的函数空间。

泛函分析在数学中有着广泛的应用，例如在微分方程的理论研究中，泛函分析有助于研究解的连续性、唯一性和存在性等问题；在概率理论中，泛函分析有助于研究随机过程的性质等。

下面将对泛函分析的重要内容进行复习和总结。

1.线性空间与拓扑空间线性空间是指具有线性结构的集合，泛函分析研究的对象就是线性空间上的函数或者函数空间。

拓扑空间是指在集合中引入一个拓扑结构，使得可以定义连续性和收敛性等概念。

泛函分析的研究对象通常是拓扑线性空间，即同时具有线性结构和拓扑结构的空间。

2.赋范空间与完备空间赋范空间是指在线性空间上定义了一个范数（或称规范），从而使得该空间成为一个度量空间。

范数的引入使得我们可以定义距离，并且可以定义收敛性。

完备空间是指其中的Cauchy列总是收敛于该空间中的点。

泛函分析中，赋范空间和完备空间是重要的概念，在研究函数的连续性和收敛性时起到了关键的作用。

3.内积空间与希尔伯特空间内积空间是指在线性空间上定义了一个内积，从而可以定义长度和夹角。

希尔伯特空间是指满足内积空间中所有Cauchy列都收敛于该空间中的点的空间。

内积空间和希尔伯特空间在泛函分析中具有重要的作用，特别是在研究函数的正交性和投影等问题时。

4.线性算子与连续算子线性算子是指将一个线性空间映射到另一个线性空间的映射。

连续算子是指在拓扑空间上保持连续性的线性算子。

泛函分析中，线性算子和连续算子是重要的研究对象，它们可以用来描述函数之间的关系和映射。

5. Banach空间与可分空间Banach空间是指在完备的范数空间上定义了一个范数，从而构成一个完备空间。

可分空间是指线性空间中存在可数稠密子集的空间。

Banach空间和可分空间是泛函分析中重要的类别，它们在研究最优性，特别是最优解的存在性和表示性时起到了关键的作用。

点集拓扑学拓扑是英文Topology 的译音，Topology 一词有时是指拓扑，有时是指研究有关拓扑的整个学科. 第一个使用此名称的是姜立夫（1890—1978. 1911年赴美，1918年获哈佛大学博士学位，留校任教，后回国，1920年南开大学教授，1934—1936在德国访问，后一直在中山大学任教. 他培养了陈省身等世界著名数学家.）. 而topology是由希腊语topos（位置）和logos（学问）合成. 发明此词的是德国人Listing（1828—1882，Gauss的学生和助手），即表示形状和位置关系的数学（位置分析）.拓扑学是新三基之一（泛函分析、近世代数、拓扑学）. （旧三基：数学分析、高等代数、解析几何）.拓扑学是一门综合学科（即包含有分析、代数和几何的内容）.分析：分析中有三大问题：1）连续性；2）介值定理；3）有限覆盖定理. 在拓扑学中将1）连续性推广到一般集合；2）是连通集的特性；3) 推广为紧致性.代数：在拓扑学有很多代数概念，如群、同态、同构等.几何：以前称拓扑学为橡皮（弹性）几何学.按德国数学家Klein（1849—1925）关于几何分类的变换群观点知：欧氏几何是研究图形在刚体运动下不变的性质（或量）的数学（图形大小和形状不变）.解析几何是研究图形在坐标变换下不变的性质（或量）的数学.仿射几何是研究图形在仿射变换下不变的性质（或量）的数学.射影几何是研究图形在射影变换下不变的性质（或量）的数学.而拓扑学是研究拓扑空间及其子集在拓扑变换（同胚变换）下不变的性质（或量）的数学.故拓扑学属几何范畴（橡皮膜上的几何）.拓扑学是数学的一个重要分支. 起初它是几何学的一个分支，研究几何图形在连续变形上保持不变的性质，后来发展为研究连续性现象的数学分支. 拓扑学发展到近代形成了互相联系的几个分支. 即一般拓扑学、代数拓扑学、微分拓扑学、几何拓扑学、直观拓扑学和模糊拓扑学等. 目前，拓扑学的概念、理论和方法已经广泛地渗透到现代数学以及邻近科学的许多领域中，并且有了日益重要的应用.拓扑学对近代数学的学习起着很大的作用，有人甚至说：“不懂得拓扑，就不懂得现代数学”.研究拓扑空间的自身结构与其间的连续映射的学科，称为一般拓扑学，也称为点集拓扑学，或基础拓扑学. 它是拓扑学的基础. 本课程介绍一般拓扑学的基本内容，并为进一步学习有关其它课程提供必要的基础知识.第 0章拓扑学的直观例子§0.1 七座问题18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥.如图1所示：河中的小岛A与河的对岸B、C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结.当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题（有7！=5040种走法）. 此七桥问题引起了著名数学家欧拉（1707—1783）的关注. 1736年，欧拉在圣彼得堡科学院作了一次学术报告. 在报告中，他把具体七桥布局化归为图1所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发，一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸，而且a、b、c、d、e、f、g各条线只画一次不准重复），并且最后返回起点？欧拉经过研究得出的结论是：图1是不能一笔画出的图形.这就是说，七桥问题是无解的. 虽然使人们感到失望，但由此创立了一门新的数学分支—拓扑学.著名数学家欧拉图1§0.2 网络的一笔画问题定义由有限个点和有限条线组成的图形叫做网络，其中每条线都要求有两个不同的端点.这些线叫做网络的弧，弧的端点叫做网络的顶点.由顶点出发的弧的条数叫做此顶点的次数，若一顶点次数为偶数或奇数，则称此顶点为偶顶点或奇顶点. 网络中互相衔结的一串弧叫做一条路.如果网络中任意两个顶点都可以用一条路连结起来，那么就称这个网络为连通的；否则称为不连通的.可以证明定理1在任一网络中奇顶点个数之和必为偶数.定理2 任一网络若有两个以上的奇顶点，则不能一笔画成.定理3 若一连通网络没有奇顶点，则可由任一点任一弧开始一笔画成.定理4若一连通网络有两个奇顶点，则它可被从某一奇顶点出发到另一奇顶点终止一笔画成.注1）定理2否定了七桥问题可一次走完.2）现在在B,D之间加了一座桥，那么八桥一次走完就可能了. 又在B,C之间加了一座铁路桥，九桥问题又如何？3）如图：§0.3 平面网络的Euler公式Euler定理在连通平面网络中，若顶点数，边数和网络分平面所得的区域数（即面数）分别为,,V E F. 则有Euler公式-+=.V E F2§0.4 凸多面体的Euler公式这是Euler在1750年写信给好友Goldbach(德1690-1764)时提出来的，并于1752年发表了一个证明.即Euler定理若一凸多面体的顶点数，棱数和面数分别为V E F，则有Euler公式2,,V E F-+称为多面体的-+=.其中V E FEuler示性数（或Euler特征数）.§0.5 正多面体定义 若一凸多面体的各面都是全等的正多边形，且所有多面角都相等，则这样的凸多面体称为正多面体（或正多面形、或柏拉图（Platonic) 多面体）.有些化学元素的结晶体呈正多面体的形状，如食盐的结晶体是正六面体，明矾的结晶体是正八面体.定理 有且只有五种正多面体.即只有正4，6，8，12，20多面体，证明 设正多面体顶点数，棱数和面数分别为,,V E F ，且正多面体的每个面是正n 边形，每个顶点有m 条棱. 棱数E 应是面数F 与n 的积的一半（每两面共用一条棱），即2nF E =（1）同时，E 应是顶点数V 与m 的积的一半，即2m V E =（2）由（1）、（2）得2E F n =，2E V m =代入欧拉公式2V E F -+=，得222E E E m n+-=，即11112m n E +=+，由于E 是正整数，所以10E >. 故1112m n +> （3）说明,m n 不能同时大于3，否则（3）不成立。

泛函分析概念总结泛函分析是数学的一个分支，研究无限维空间上的函数和函数空间。

它将数学分析的基本概念和方法推广到无限维空间上，通过引入拓扑空间和线性空间的概念，揭示了函数空间的结构和性质。

泛函分析在实际问题的建模和解决中有着广泛的应用，特别是在物理、工程、计算机等领域。

泛函分析的基本概念包括：线性空间、拓扑空间和连续线性泛函等。

线性空间是泛函分析的基础，它包括了向量空间的概念，并满足了一个加法封闭性和一个数乘封闭性的要求。

拓扑空间是泛函分析中用来描述空间结构的工具，它引入了开集和邻域的概念。

通过与度量空间的关系，拓扑空间可以定义连续性的概念，并研究拓扑结构和连续映射的性质。

连续线性泛函是泛函分析的核心概念，它是一个从一个线性空间到标量域的线性映射，并满足了一定的连续性条件。

连续线性泛函可以通过内积和范数的概念进行推广。

泛函分析的基本工具和技巧包括：度量、拓扑结构、收敛性、紧性、完备性、分离等。

度量可以用来度量空间中的两个元素之间的距离，进而衡量连续性、收敛性等性质。

拓扑结构定义了空间中的开集和闭集，通过拓扑性质，可以描述函数空间中的收敛性和连续性等性质。

紧性是指空间中任意无限多的序列必存在收敛子列，体现了空间的紧缩性。

完备性是指空间中任意柯西序列必存在极限元素，体现了空间的完备性。

分离是指通过函数来分离空间中的元素，体现了空间的分立性。

泛函分析的应用领域主要有：变分法、偏微分方程、函数逼近和最优化等。

变分法是通过求泛函的极值来解决实际问题的一种方法，它在物理学、力学、气象学等领域有着广泛的应用。

偏微分方程是描述自然界中的数学模型，通过泛函分析的方法可以研究偏微分方程的解的存在性和唯一性等性质。

函数逼近是将连续函数用离散的函数进行近似表示，通过泛函分析的方法可以计算逼近误差和逼近的收敛性等性质。

最优化是求一个泛函的最大或最小值，通过泛函分析的方法可以寻找最优解的条件和性质。

总之，泛函分析作为数学的一个重要分支，通过推广数学分析的基本概念和方法，研究了无限维空间上的函数和函数空间的结构和性质。

泛函分析泛函分析作为数学领域中的一个重要分支，研究了无限维度的向量空间和函数空间上的问题。

其广泛应用于物理学、工程学和计算机科学等领域，为解决现实生活中的问题提供了有效的数学工具和方法。

泛函分析的起源可以追溯到19世纪，其发展得益于函数论和拓扑学的进展。

在20世纪初，泛函分析的理论框架和方法逐渐形成，并为很多数学家和科学家所接受和应用。

泛函分析的基本概念包括向量空间、线性算子、泛函以及拓扑结构等，这些概念构成了泛函分析的基础。

在泛函分析中，向量空间是一个非常重要的概念。

它是一种由向量组成的集合，具有加法和数乘运算，并满足一定的性质。

向量空间可以是有限维的，也可以是无限维的。

无限维空间是泛函分析的研究对象之一，其特点是空间中的向量可以是无限维的。

线性算子是泛函分析中另一个重要的概念。

它是将一个向量空间映射到另一个向量空间的函数，保持线性性质。

线性算子可以描述很多实际问题，例如变换、积分和微分等。

泛函是对向量空间中的向量进行映射的函数。

它可以将向量映射到实数域或复数域，并满足一定的性质。

泛函的概念是泛函分析的核心之一，使得我们可以研究函数的性质和行为。

拓扑结构是泛函分析中的一个重要概念，它描述了向量空间中元素之间的接近程度。

通过引入拓扑结构，可以定义连续性和收敛性等概念，为研究函数空间中的极限和连续性提供了数学基础。

泛函分析的应用广泛而且多样化。

在物理学中，泛函分析被用于描述量子力学和经典力学中的问题，例如量子力学算子、哈密顿力学和波动方程等。

在工程学中，泛函分析可以应用于控制论、信号处理和图像处理等领域。

在计算机科学中，泛函分析被用于定义距离度量和相似性度量，提供了计算机视觉和模式识别等方面的基本工具。

泛函分析的发展离不开众多优秀的数学家和科学家的努力。

知名的数学家如Hilbert、Banach和Frechet等对泛函分析的发展做出了重要贡献。

他们提出了许多重要的定理和概念，奠定了泛函分析的基础。

泛函分析报告知识的总结泛函分析是数学中的一个重要分支领域，它研究的是无穷维空间上的函数及其性质。

泛函分析的应用广泛，包括函数空间、傅里叶分析、偏微分方程等等。

下面是我对泛函分析的一些知识进行总结。

首先，泛函分析的基础是线性代数和实分析。

线性代数研究的是向量空间及其线性关系，实分析则研究的是实数空间上的函数性质，例如收敛性、极限、连续性等等。

这两个基础学科为泛函分析的理论及应用打下了坚实的基础。

其次，泛函分析的核心是函数空间的研究。

函数空间是指一组函数的集合，其中的函数可以是有界函数、可积函数、连续函数等等。

泛函分析研究的是函数空间上的线性算子及其性质，例如范数、内积、完备性等等。

常见的函数空间有Lp空间、C(X)空间、Sobolev空间等等。

然后，泛函分析的重要工具是算子理论。

算子理论研究的是线性算子的性质和作用。

在泛函分析中，线性算子可以将一个函数映射到另一个函数，例如导数、积分等。

算子理论主要研究线性算子的性质，例如有界算子、紧算子、自伴算子等等。

算子理论在解析、几何等问题中有着广泛的应用。

此外，泛函分析也研究了拓扑结构及度量空间的性质。

拓扑结构是用来描述集合上点的邻域关系的概念，是泛函分析中重要的概念。

度量空间是带有度量函数的拓扑空间，度量函数可以度量空间中两个点之间的距离。

拓扑结构和度量空间的研究为泛函分析提供了一种统一的框架。

最后，泛函分析的应用广泛，特别是在数学的其他分支领域中。

在偏微分方程中，泛函分析可以用来研究问题的存在性、唯一性和稳定性；在概率论中，泛函分析可以用来研究随机过程的性质和收敛性；在图像处理中，泛函分析可以用来研究图像的压缩和恢复等等。

总之，泛函分析在数学及其应用领域中具有重要的地位和作用。

总结起来，泛函分析研究的是无穷维空间上的函数及其性质，它的基础是线性代数和实分析。

泛函分析的核心是函数空间的研究，它的重要工具是算子理论及拓扑结构和度量空间的性质。

泛函分析的应用非常广泛，涉及到数学的各个分支领域。

人类进入原始社会，就需要数学了，从早期的结绳记事到学会记数，再到简单的加减乘除，这些都是人类日常生活中所遇到的数学问题。

数学是有等级的，就像自然数的运算是小学生的水平一样，超出了这个范围小学生就不能理解了。

像有未知数的运算小学生就无从下手一样，数学的发生发展也是从低级向高级进化的，人类最早理解的是算数，经过额一段时间的发展算数发展到了方程、函数，一级一级的进化，才发展到了现代的的数学。

人类数学的发展做出较大成就的是古希腊时期，奇怪的是古希腊对数的运算并不突出，反而是要到中学才能学到的几何学在古希腊就奠定了基础，学过几何的人对欧几里得不会陌生，欧几里得是古希腊人，数学家，被称为“几何之父”。

他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公设，欧几里得几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。

欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。

在古希腊教育中几何学占有相当重要的地位，柏拉图提倡的希腊六艺就包括几何，后来希腊文化衰落了，希腊被入侵，希腊图书馆的藏书被掠夺了，被阿拉伯人保存了。

有这么一个说法，是阿拉伯人对希腊语与拉丁语文献的保留，才让欧洲人得以返过来取经，找回“失落”的希罗文化。

其中包括柏拉图学说和欧几里得几何。

经过了中世纪的黑暗，欧洲找回了古希腊古罗马文化，才有了欧洲的文艺复兴。

在算术上，阿拉伯人对数学的贡献是现在人们最熟悉的1、2、……9、0十个数字，称为阿拉伯数字。

但是，在数学发展过程中，阿拉伯人主要吸收、保存了希腊和印度的数学，并将它传给欧洲。

阿拉伯人采用和改进了印度的数字记号和进位记法，也采用了印度的数学记号和进位记法，也采用了印度的无理数运算，但放弃了负数的运算。

代数这门学科名称就是由阿拉伯人发明的。

阿拉伯人还解出一些一次、二次方程，甚至三次方程，我们数数的时候都是从1开始的，标准的0这个数字由古印度人在约公元5世纪时发明。

他们最早用黑点“·”表示零，后来逐渐变成了“0”。

关于近世代数的介绍抽象代数即近世代数。

代数〔Algebra〕是数学的其中一门分支，当中可大致分为初等代数学和抽象代数学两部分。

初等代数学是指19世纪上半叶以前发展的方程理论，主要研究某一方程〔组〕是否可解，如何求出方程所有的根〔包括近似根〕，以及方程的根有何性质等问题。

法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用「群」的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题。

他是第一个提出「群」的思想的数学家，一般称他为近世代数的创始人。

他使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学，即把代数学由初等代数时期推向抽象代数即近世代数时期。

抽象代数学对于全部现代数学和一些其它科学领域都有重要的影响。

抽象代数学随着数学中各分支理论的发展和应用需要而得到不断的发展。

经过伯克霍夫、冯.诺伊曼、坎托罗维奇和斯通等人在1933-1938年所做的工作，格论确定了在代数学的地位。

而自20世纪40年代中叶起，作为线性代数的推广的模论得到进一步的发展并产生深刻的影响。

泛代数、同调代数、范畴等新领域也被建立和发展起来。

中国数学家在抽象代数学的研究始于30年代。

当中已在许多方面取得了有意义和重要的成果，其中尤以曾炯之、华罗庚和周炜良的工作更为显著。

现代数学的基础课程正在更新。

50年代数学系的教学计划，以“高等微积分”、“高等代数”、“高等几何”为主体。

时至今日，人们认为光靠这“老三高”已不够用了，应该发展“新三高”，即抽象代数、拓扑学和泛函分析。

现代数学理论是由这三根支柱撑着的。

现在，我们来追寻它们形成和发展的历史足迹，并从这一侧面窥视20世纪数学的特征。

抽象代数抽象代数在上一个世纪已经有了良好的开端，伽罗瓦在方程求根中就蕴蓄了群的概念。

后来凯利对群作了抽象定义(Cayley，1821~1895)。

他在1849年的一项工作里提出抽象群的概念，可惜没有引起反响。

“过早的抽象落到了聋子的耳朵里”。

直到1878年，凯利又写了抽象群的四篇文章才引起注意。

泛函分析中的拓扑与线性算子泛函分析是数学中的重要分支，研究的是无穷维空间上的函数与算子的性质和行为。

在泛函分析中，拓扑和线性算子是两个核心概念，它们在描述函数空间的结构和操作中起着关键的作用。

一、拓扑空间与拓扑结构拓扑空间是泛函分析中最基本的概念之一。

它是一个集合，再加上一个满足一定条件的拓扑结构。

拓扑结构是通过开集来描述的，它包括了空集和全集，而且对任意个开集的并集和有限个开集的交集仍然是开集。

拓扑结构可以用来定义距离、连通性、紧致性等概念。

常见的拓扑结构包括欧几里得拓扑、离散拓扑、有限补拓扑等。

在泛函分析中，我们通常研究的是拓扑向量空间，即一个向量空间上加上了一个拓扑结构。

拓扑向量空间有很多重要的性质，比如赋范向量空间和希尔伯特空间。

赋范向量空间是一种拓扑向量空间，它在向量空间的基础上还定义了一个范数函数，满足一定的条件。

希尔伯特空间是一种完备的赋范向量空间，它是无穷维内积空间的推广。

二、线性算子与连续性线性算子是泛函分析中另一个重要的概念。

它是一个从一个向量空间到另一个向量空间的映射，并且保持线性性质。

线性算子在泛函分析中扮演着非常重要的角色，它可以描述向量空间之间的映射关系，比如微分算子、积分算子等。

线性算子的性质和行为很大程度上依赖于定义域和值域的拓扑结构。

在泛函分析中，我们关注的是连续线性算子。

连续线性算子是指在拓扑空间上连续的线性映射，即在定义域和值域的拓扑中保持线性算子的连续性。

连续线性算子在泛函分析中有很多重要的性质，比如有界性、紧致性、逆算子等。

连续线性算子的理论是泛函分析的核心内容之一，它在函数空间、概率论、偏微分方程等领域中有广泛的应用。

三、拓扑与线性算子的关系拓扑和线性算子是密切相关的，在泛函分析中它们相互影响，共同构成了一个完整的理论体系。

首先，线性算子的定义域和值域的拓扑结构对其性质和行为起着重要的影响。

不同的拓扑结构可能导致线性算子的不同的性质，比如有界性、紧致性等。

泛函分析知识点范文泛函分析是数学中的一门学科，研究向量空间上的函数和函数空间的性质，涉及到实数或复数域上的向量空间。

泛函分析包括线性代数、实变函数分析和拓扑学等多个学科的内容，因此具有广泛的应用领域，如物理、工程、经济等。

泛函分析的核心内容包括线性空间、拓扑空间和连续映射等概念、线性算子和泛函的基本性质以及泛函分析中的基本定理等。

1.线性空间：泛函分析的基础是线性空间，也就是向量空间。

线性空间满足线性组合和分配律等性质，例如实数域或复数域上的向量空间。

线性空间中的向量可以是函数、矩阵等不同的对象。

2.拓扑空间：泛函分析中的向量空间往往是赋予了拓扑结构的空间，即拓扑向量空间。

拓扑空间是一种具有连续性质的空间，它引入了开集、闭集和收敛性等概念。

拓扑空间的拓扑结构可以通过开集、闭集、邻域、基等方式来定义。

3.连续映射：泛函分析中的重要概念是映射的连续性。

连续映射是保持拓扑结构的映射，即对于拓扑空间中的开集，其原像仍然是开集。

连续映射可以用来描述泛函和线性算子的性质。

4.线性算子和泛函：线性算子是线性空间之间的映射，它可以是有界算子或无界算子。

线性算子的基本性质包括线性性、有界性、闭图像性等。

泛函是线性空间到数域的映射，它可以看作是线性算子的特殊情况。

泛函的基本性质包括线性性、有界性、连续性等。

5. Hahn-Banach定理：Hahn-Banach定理是泛函分析中的基本定理，它是关于泛函延拓的定理。

该定理说明了任意线性子空间上的有界泛函可以延拓到整个空间上，并且保持原有泛函的范数不变。

6.可分性：可分性是拓扑空间的一个重要性质，它指的是拓扑空间中存在可数稠密子集。

可分性保证了拓扑空间中存在足够多的元素，使得在拓扑空间上可以进行良定义的运算。

7.反射空间：反射空间是泛函分析中的一类特殊线性空间，它是线性空间和拓扑空间的交叉概念。

反射空间具有良好的性质，例如有界闭集外包性、扩张定理等。

8.紧算子和迹类算子：紧算子是对有界算子的一种推广，它在泛函分析中具有重要的地位。

数学中的抽象代数与代数拓扑抽象代数与代数拓扑在数学领域扮演着重要的角色。

它们是数学中的两个分支，旨在研究代数结构和空间之间的关系。

本文将重点介绍抽象代数和代数拓扑的基本概念、应用领域以及它们在数学研究中的重要性。

一、抽象代数抽象代数是一门涉及代数结构的数学学科。

它主要研究代数系统的一般性质，而不关注具体的运算规则。

常见的抽象代数结构包括群、环、域等。

1. 群群是抽象代数中最基本的代数结构。

它由一个集合和一个二元运算组成，满足封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性等性质。

群的研究有助于理解对称性、对称变换以及对称性在不同学科中的应用。

2. 环环是具有两个二元运算的代数系统，一般表示为(R, +, *)。

环中的运算满足封闭性、结合律和分配律等性质。

环的研究在代数几何、数论和密码学等领域有着广泛的应用。

3. 域域是一个满足特定条件的代数结构，它具有加法和乘法两种运算。

域同时满足了群和环的性质，并且乘法具有可逆性。

域的研究在数论、线性代数和代数几何等领域具有重要的地位。

二、代数拓扑代数拓扑是拓扑学与抽象代数的交叉学科。

它研究了如何将代数结构与拓扑结构相结合，通过拓扑方法来研究代数问题。

1. 拓扑空间拓扑空间是代数拓扑的基础。

它由一个集合和定义在该集合上的一些特定子集组成。

拓扑空间通过定义开集、闭集、极限等概念，研究空间之间的连续性和紧致性等性质。

2. 群拓扑群拓扑是将群的代数结构与拓扑结构相结合的研究领域。

通过引入拓扑结构，研究群运算的连续性、稳定性和变换等性质。

群拓扑在物理学、量子力学和几何学等领域中有广泛的应用。

3. 代数拓扑的应用代数拓扑在数学研究中有着广泛的应用。

它在代数几何、微分几何和拓扑动力系统等领域中发挥着重要的作用。

通过将代数结构与拓扑结构相结合，研究领域之间的关系，提供了一种更加深入的数学分析方法。

总结：抽象代数和代数拓扑作为数学中的两个重要分支，它们研究了代数结构和空间结构的性质和关系。

代数拓扑知识点总结1. 拓扑空间拓扑空间是代数拓扑研究的基本对象，它是由一组满足一定性质的子集构成的。

具体来说，给定一个集合X，如果在X上定义了一个满足一定性质的集合系统T（称为拓扑），那么(X, T)就构成一个拓扑空间。

拓扑空间的基本性质包括开集、闭集、邻域、连通性等概念，这些都是代数拓扑研究的重要内容。

2. 连通性在拓扑空间中，我们常常研究与连通性相关的问题。

一个拓扑空间X被称为连通的，如果它不能表示为两个不相交的非空开集的并。

如果一个集合A既不是开集也不是闭集，那么我们称A是不连通的。

连通性在代数拓扑中有很多重要应用，例如连通性与函数中值定理、极值问题等密切相关。

3. 同胚映射同胚映射是代数拓扑研究中一个重要的概念。

给定两个拓扑空间(X, T)和(Y, S)，如果存在一个双射f：X→Y，并且f和f^{-1}都是连续的，那么我们称f是一个同胚映射，而X和Y则被称为同胚的。

同胚映射可以帮助我们理解和描述拓扑空间之间的关系，因此在代数拓扑中有着重要的地位。

4. 紧性紧性是一个拓扑空间的重要性质，它描述了一个拓扑空间的“紧凑程度”。

一个拓扑空间X被称为紧的，如果它的任何开覆盖都有有限子覆盖。

紧性在代数拓扑中有很多重要应用，例如在分析学、微分几何、泛函分析等领域都有着重要应用。

5. 同调理论同调理论是代数拓扑中的一个重要分支，它研究了拓扑空间之间的同调性质。

同调理论不仅能够帮助我们分析拓扑空间的结构，还可以用于解决一些代数几何、微分几何等问题。

同调理论是代数拓扑中一个非常深奥且重要的研究领域，对于理解和描述拓扑空间之间的关系有着重要的意义。

6. 群表示论群表示论是代数拓扑中的一个重要分支，它研究了群作用在向量空间上的表示。

群表示论在代数学、几何学、物理学、密码学等领域都有着广泛的应用，因此在代数拓扑中有着重要的地位。

7. 流形流形是拓扑空间的一个重要子类，它是一种光滑拓扑空间。

流形理论是代数拓扑研究中的一个重要分支，它研究了流形的结构和性质，对于理解和描述拓扑空间之间的关系有着重要的意义。

点集拓扑与泛函分析`0001 01C1设A B C ，，是三个集合，则()()()A B C A B A C -=-- .~0001因为()x A B C ∈- ⇔ x A ∈且x B C ∉ ⇔ x A ∈且x B ∉且x C ∉⇔（x A ∈且x B ∉）且（x A ∈且x C ∉）⇔ ()()x A B A C ∈-- ，所以()()()A B C A B A C -=-- .`0002 01B2写出关系的定义.~0002设X ，Y 是两个集合. 如果R 是X 与Y 的笛卡儿积X Y ⨯的一个子集，则称R 是从X 到Y 的一个关系.`0003 01B2写出等价关系的定义.~0003集合X 中的一个关系如果同时是自反、对称和传递的，则称其为集合X 中的一个等价关系.`0004 01C1设A ，B 都是集合，A B ⊂，则()B B A A --=． ~0004因为A B ⊂，所以()x B B A ∈--当且仅当x B ∈且x B A ∉-当且仅当x A ∈，故()B B A A --=.`0005 02B1写出度量空间的定义.~0005设X 是一个集合，:R X X ρ⨯→，若ρ满足正定性，对称性与三角不等式，则称ρ是集合X 的一个度量，称偶对()X ρ，是一个度量空间.`0006 03B2写出点集拓扑学中Hilbert 空间的定义.~0006记H 为平方收敛的所有实数序列构成的集合，()x y ρ=，123()x x x x ∀= ，，，，123()y y y y H =∈ ，，，，称偶对()H ρ，为Hilbert 空间.`0007 02B1写出点集拓扑学中的离散度量空间的定义. ~0007设()X ρ，是一个度量空间，若对每一个x X ∈，存在一个实数0x δ>，使得对于任何y X ∈，y x ≠，有()x x y ρδ>，，则称()X ρ，为离散的度量空间.`0008 02B1写出球形邻域的定义.~0008设()X ρ，是一个度量空间，x X ∈.对于任意给定的实数0ε>，集合{|()}y X x y ρε∈<，称为一个以x 为中心、以ε为半径的球形邻域.`0009 02B1写出度量空间中的开集的定义.~0009设A 是度量空间X 的一个子集.如果A 中的每一个点都有一个球形邻域包含于A ，则称A 是度量空间X 中的一个开集.`0010 02B1试述度量空间中开集的性质~0010（1）集合X ，∅均为开集；（2）任意两个开集的交仍为开集； （3）任意多个开集的并仍为开集.`0011 02C1定义:R R R σ⨯→，使得对于R x y ∀∈，，有2()()x y x y σ=-，. 证明σ不是R 上的度量.~0011 证明：取2x yz +=，其中R x y ∈，，x y ≠，则 2()2x y x z σ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，，2()2x y y z σ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，，2()()()()2x y x z y z x y σσσ-+=<，，，， 故σ不是R 上的度量.`0012 02C1定义:R R R σ⨯→，使得对于R x y ∀∈，，有()x y x y σ=-，. 证明σ是R 上的度量.~0012证明：（1）()0x y x y σ=-≥，，R x y ∀∈，成立，并且()0x y x y σ=-=，当且仅当y x =；（2）()()x y y x x y σσ==-，，，R x y ∀∈，；（3）x z x y y z -≤-+-，R x y z ∀∈，，，即有()()()x z x y y z σσσ≤+，，，，R x y z ∀∈，，. 故σ是R 上的度量.`0013 02C2定义:R R R σ⨯→，使得对于R x y ∀∈，，有1()0.x y x y x y σ≠⎧=⎨=⎩，，，， 证明σ是R 上的度量.~0013 证明：（1）()0x y σ≥，，R x y ∀∈，成立，并且()0x y σ=，当且仅当y x =；（2）()()x y y x σσ=，，，R x y ∀∈，；（3）()()()x z x y y z σσσ≤+，，，，R x y z ∀∈，，显然. 故σ是R 上的度量.`0014 02C2定义:R R R σ⨯→，使得对于R x y ∀∈，，有1()20.x y x y x y σ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，，，， 证明σ是R 上的度量.~0014 证明：（1）()0x y σ≥，，R x y ∀∈，成立，并且()0x y σ=，当且仅当y x =；（2）()()x y y x σσ=，，，R x y ∀∈，显然；（3）()()()x z x y y z σσσ≤+，，，，R x y z ∀∈，，显然. 故σ是R 上的度量.`0015 02C1定义:R R R σ⨯→，使得对于R x y ∀∈，，有1(,)2x y x y σ=-. 证明σ是R 上的度量.~0015证明：（1）1()02x y x y σ=-≥，，R x y ∀∈，成立，并且1()02x y x y σ=-=，当且仅当y x =； （2）1()()2x y y x x y σσ==-，，，R x y ∀∈，；（3）111222x z x y y z -≤-+-，R x y z ∀∈，，，即有()()()x z x y y z σσσ≤+，，，，R x y z ∀∈，，.故σ是R 上的度量.`0016 02C1定义:R R R σ⨯→，使得对于R x y ∀∈，，有()0x y σ=，. 证明σ不是R 上的度量.~0016证明：()0x y σ≥，，R x y ∀∈，成立，但是y x ≠时也有()0x y σ=，，故σ不是R 上的度量.`0017 02C1定义:R R R σ⨯→，使得对于R x y ∀∈，，有()2x y x y σ=-，. 证明σ是R 上的度量.~0017证明：（1）()20x y x y σ=-≥，，R x y ∀∈，成立，并且()20x y x y σ=-=，当且仅当y x =；（2）()()2x y y x x y σσ==-，，，R x y ∀∈，；（3）222x z x y y z -≤-+-，R x y z ∀∈，，，即有(,)(,)(,)x z x y y z σσσ≤+，R x y z ∀∈，，. 故σ是R 上的度量.`0018 02C1定义:R R R σ⨯→，使得对于R x y ∀∈，，有22()x y x y σ=-，. 证明σ不是R 上的度量.~0018证明：当()0x y σ=，时，220x y -=，则x y =±，故σ是R 上的度量.`0019 02C1定义:R R R σ⨯→，使得对于R x y ∀∈，，有()x y σ=，. 证明σ不是R 上的度量.~0019证明：()0x y σ≥，，R x y ∀∈，成立，但是y x -=时也有()0x y σ=，，故σ不是R 上的度量.`0020 02C1定义:R R R σ⨯→，使得对于R x y ∀∈，，有()x y σ=，证明σ不是R 上的度量.~0020证明：()0x y σ≥，，R x y ∀∈，成立，但是y x -=时也有()0x y σ=，，σ不是R 上的度量.`0021 02C1定义:R R R σ⨯→，使得对于R x y ∀∈，，有()x y x y σ=-，. 证明σ不是R 上的度量.~0021证明：因为当0x =，1y =时()10x y σ=-<，，即()0x y x y σ=-≥，不一定成立，所以σ不是R 上的度量.`0022 02C1定义:R R R σ⨯→，使得对于R x y ∀∈，，有()2x y x y σ=-，.证明σ不是R 上的度量.~0022证明：()0x y σ≥，，R x y ∀∈，成立，但是y x ≠时也有()0x y σ=，，σ不是R 上的度量.`0023 02C1设X 为度量空间，证明X 本身和空集∅都是开集.~0023证明：X 中的每一个元素x 都有一个球形邻域，这个球形邻域当然包含在X 中，所以X 满足开集的条件；空集∅中不包含任何一个点，也自然地可以认为它满足开集的条件.`0024 02C1设X 为度量空间，证明任意两个开集的交是一个开集.~0024证明：设U 和V 是X 中的两个开集，如果x U V ∈ ，则存在x 的球形邻域1()B x U ε⊂，和也存在x 的球形邻域2()B x V ε⊂，. 由球形邻域的基本性质知存在x 的球形邻域()B x ε，同时包含于1()B x ε，与2()B x ε，，因此，由于12()()()B x B x B x U V εεε⊂⊂ ，，，. 由于U V 中的每一点都有一个球形邻域包含于U V ，所以U V 是一个开集.`0025 02C1设X 为度量空间，证明任意一族开集的并仍为开集.~0025证明：设A 是一个由X 中开集构成的子集族. 如果A A x A ∈∈ ，那么存在0A A ∈. 由于0A 是一个开集，故x 有一个球形邻域包含于0A ，显然这个球形邻域也包含于A A A ∈ . 这就证明了A A A ∈ 是X 中的一个开集.`0026 02C3在点集拓扑中证明：只含有限个点的度量空间都是离散的度量空间.~0026证明：设()X ρ，为度量空间，并且X 为有限集，只需证明X 的每一子集都是开集. 因为X 是有限集，记min{()|}x y x y X x y ερ=∈≠，，，，所以对X 中任意一点x ，(){}2B x x ε=，，即X 中所有单点集都是开集. 故X 的每一子集都是开集.`0027 02C3在点集拓扑中，设()X ρ，是一个离散的度量空间，证明X 的每一个子集都是开集.~0027证明：设A 是X 的任一子集，则x A ∀∈，存在0ε>，使得(){}B x x A ε=⊂，，所以A 为开集.`0028 03B1写出拓扑空间的定义.~0028设X 是一个集合，T 是X 的一个子集族.如果T 满足如下条件： （1）X ，T ∅∈；（2）若T A B ∈，，则T A B ∈ ；（3）若1T T ⊂，则1T T A A ∈∈ ，则称T 是X 的一个拓扑，称偶对(T)X ，是一个拓扑空间.`0029 03B1写出平庸（拓扑）空间的定义.~0029设X 是一个集合，令T {}X =∅，，则T 是X 的一个拓扑，称之为X 的平庸拓扑，称拓扑空间(T)X ，为平庸空间.`0030 03B1写出离散（拓扑）空间的定义.~0030设X 是一个集合，令T ()P X =，则T 是X 的一个拓扑，称之为X 的离散拓扑，称拓扑空间(T)X ，为离散空间.`0031 03B1写出有限补空间的定义.~0031设X 是一个集合，令T {|U X U '=⊂是X 的有限子集}{}∅ ，则T 是X 的一个拓扑，称之为X 的有限补拓扑，称拓扑空间(T)X ，为有限补空间.`0032 03B1写出可数补空间的定义.~0032设X 是一个集合，令T {|U X U '=⊂是X 的可数子集}{}∅ ，则T 是X 的一个拓扑，称之为X 的可数补拓扑，称拓扑空间(T)X ，为可数补空间.`0033 03B1写出可度量化空间的定义.~0033设(T)X ， 是一个拓扑空间.如果存在X 的一个度量ρ，使得拓扑T 是由度量ρ诱导出来的拓扑T ρ，则称(T)X ，是一个可度量化空间.`0034 03B1写出同胚映射的定义.~0034设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →为一一映射，并且f 和1:f Y X -→都是连续的，则称f 是一个同胚映射.`0035 03B1写出同胚的拓扑空间的定义.~0035设X 和Y 是两个拓扑空间.如果存在一个同胚:f X Y →，则称拓扑空间X 与拓扑空间Y 是同胚的.`0036 03B1写出拓扑不变性质的定义.~0036拓扑空间的某种性质P ，如果为某一个拓扑空间所具有，则必为与其同胚的任何一个拓扑空间所具有，则称此性质P 是一个拓扑不变性质.`0037 03B1拓扑学的中心任务是什么？~0037拓扑学的中心任务是研究拓扑不变性质.`0038 04B2写出点集拓扑中度量空间中邻域的定义.~0038设x 是度量空间X 中的一个点，U 是X 的一个子集. 如果存在一个开集V 满足条件：x V U ∈⊂，则称U 是点x 的一个邻域.`0039 04B2写出拓扑空间中一点的邻域的定义.~0039设(T)X ，是一个拓扑空间，x X ∈. 如果U 是X 的一个子集，满足条件：存在一个开集T V ∈，使得x V U ∈⊂，则称U 是点x 的一个邻域.`0040 04B2写出拓扑空间中一点的邻域系的定义.~0040设X 是拓扑空间，x X ∈，点x 的所有邻域构成的X 的子集族称为点x 的邻域系.`0041 04B2写出拓扑空间中一点的开邻域的定义.~0041设X 是拓扑空间，x X ∈，如果U 是包含着点x 的一个开集，则称U 是点x 的一个开邻域.`0042 04C1设()X ρ，为度量空间，证明对于任意点x X ∈，至少有一个球形邻域，并且点x 属于它的每一个球形邻域.~0042证明：设x X ∈. 对于每一个实数0ε>，()B x ε，是x 的一个球形邻域，所以x 至少有一个球形邻域. 由于()0x x ρ=，，所以x 属于它的每一个球形邻域.`0043 04C1设()X ρ，为度量空间，证明对于点x X ∈的任意两个球形邻域，存在x 的一个球形邻域同时包含于两者.~0043证明：如果1()B x ε，和2()B x ε，是x X ∈的两个球形邻域，任意选取实数0ε>，使得12min{}0εεε=>，，则易见有12()()()B x B x B x εεε⊂ ，，，，即()B x ε，满足要求.`0044 04C1设()X ρ，为度量空间，证明如果y X ∈属于x X ∈的某一个球形邻域，则y 有一个球形邻域包含于x 的那个球形邻域.~0044证明：设()y B x ε∈，，令1()x y εερ=-，. 显然10ε>. 如果1()z B y ε∈，，那么1()()()()z x z y y x y x ρρρερε≤+≤+=，，，，，所以()z B x ε∈，，这证明了1()()B y B x εε⊂，，.`0045 04C1设x 是度量空间X 中的一个点，则X 的子集U 是x 的一个邻域的充分必要条件是x 有某一个球形邻域包含于U .~0045证明：如果U 是点x 的一个邻域，根据邻域的定义存在开集V 使得x V U ∈⊂. 又根据开集的定义，x 有一个球形邻域包含于V ，从而这个球形邻域也包含于U . 这就证明了必要性. 反之，如果x 有某一个球形邻域包含于U ，由于球形邻域都是开集，故U 是x 的邻域，这就证明了充分性.`0046 04C3设()X ρ，为度量空间，证明如果z X ∈属于x X ∈的某一个球形邻域，也属于y X ∈的某一个球形邻域，则z 有一个球形邻域包含于x 的那个球形邻域，也包含于y 的那个球形邻域.~0046证明：设1ε，20ε>，12()()z B x B y εε∈ ，，，则1()x z ρε<，，2()y z ρε<，. 取12min{()()}x z y z εερερ=--，，，，则0ε>，且对()u B z ε∈，，有1()()()()x u x z z u xz ρρρρεε≤+≤+=，，，，，2()()()()y u y z z u y z ρρρρεε≤+≤+=，，，，，于是12()()()B z B x B y εεε⊂ ，，，.`0047 05B2写出点集拓扑中的凝聚点的定义.~0047设X 是一个拓扑空间，A X ⊂，如果点x X ∈的每一个邻域中都有A 中异于x 的点，则称点x 是A 的一个凝聚点.`0048 05B2写出导集的定义.~0048设X 是一个拓扑空间，A X ⊂，集合A 的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集.`0049 05B2写出孤立点的定义.~0049设X 是一个拓扑空间，A X ⊂，如果x A ∈并且x 不是A 的凝聚点，则称x 为A 的一个孤立点.`0050 05A2（ ）离散拓扑空间中存在一个集合的导集不是空集.~0050 ⨯`0051 05A2（ ）离散空间中的任何集合都是既是开集也是闭集.~0051 √`0052 05B2写出点集拓扑中的闭集的定义.~0052设X 是一个拓扑空间，A X ⊂，如果A 的每一个凝聚点都属于A ，则称A 是拓扑空间X 中的一个闭集.`0053 05B2写出点集拓扑中的闭包的定义.~0053设X 是一个拓扑空间，A X ⊂，集合A 与A 的导集的并称为集合A 的闭包.`0054 05B2写出点集拓扑中的内点的定义.~0054设X 是一个拓扑空间，A X ⊂，如果A 是点x 的一个邻域，则称点x 是集合A 的一个内点.`0055 05B2写出点集拓扑中的内部的定义.~0055设X 是一个拓扑空间，A X ⊂，集合A 的所有内点构成的集合称为A 的内部.`0056 05B2写出点集拓扑中的边界点的定义.~0056设X 是一个拓扑空间，A X ⊂，x X ∈，如果x 的任何邻域中既有A 中的点，也有A '中的点，则称x 是A 的边界点.`0057 05B2写出点集拓扑中的边界的定义.~0057设X 是一个拓扑空间，A X ⊂，集合A 的全体边界点构成的集合称为A 的边界.`0058 05B2设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，求A 的导集和闭包.~0058对任意x X ∈，U x V ∈，都有({})V A x -≠∅ ，否则当({})V A x -=∅ 时，{}A x V '-⊂，所以V '为可数集，矛盾. 故()d A A X ==.`0059 05B2求实数空间R 中有理数集Q 的导集和闭包.~0059(Q)Q R d ==.`0060 06B2 写出基的定义.~0060设(T)X ，是一个拓扑空间，B 是T 的一个子族. 如果T 中的每一个元素是B 中某些元素的并，则称B 是拓扑T 的一个基.`0061 06B2写出子基的定义.~0061设(T)X ，是一个拓扑空间，S 是T 的一个子族. 如果S 的所有非空有限子族之交构成的集族是拓扑T 的一个基，则称集族S 是拓扑T 的一个子基.`0062 06B2写出邻域基的定义.~0062设X 是一个拓扑空间，x X ∈. U x 的子族V x 如果满足条件：对于每一个U x U ∈，存在V x V ∈，使得V U ⊂，则称V x 是点x 的邻域系的一个基，或简称为点x 的一个邻域基.`0063 06B2写出邻域子基的定义.~0063设X 是一个拓扑空间，x X ∈. U x 的子族W x 如果满足条件：W x 的每一个非空有限子族之交的全体构成的集族是U x 的一个邻域基，则称W x 是点x 的邻域系的一个子基，或简称为点x 的一个邻域子基.`0064 09B1~0064如果某拓扑空间的一个基是一个可数族，则称之为一个可数基.`0065 09B1写出可数邻域基的定义.~0065如果某拓扑空间在某一点处的一个邻域基是可数族，则称之为一个可数邻域基.`0066 06C2设12X X X =⨯是拓扑空间1X 与2X 的积空间.令T 为X 的拓扑，T i 为i X 的拓扑，12i =，.证明X 以它的子集族1S {()|T 12}i i i i p U U i -=∈=，，为它的一个子基.~0066证明：首先注意，对于11A X ⊂和22A X ⊂，有11112()p A A X-=⨯和12212()p A X A -=⨯，根据积空间的定义，12{|T 12}i i U U U i β=⨯∈=，，是它的一个基. 令β为S 的每一个有限非空子族之交的全体构成的集族，即 12{|S 12Z}njS S S S j n n β=∈=∈ ，，，，，， 由于显然有S β⊂ ，所以T β⊂ . 另一方面，根据121212()()U U U X X U ⨯=⨯⨯ ，可见ββ⊂ . 综上我们有T ββ⊂⊂ . 明显地，β 是X 的一个基. 因此S 是X 的一个子基.`0067 06C3设n X X X X ⨯⨯⨯= 21是1n ≥个拓扑空间12n X X X ，，，的积空间，对于每一个12i n = ，，，，拓扑空间i X 有一个基B i .证明X 的子集族12B {|B ,12}n i iU U U U i n =⨯⨯⨯∈= ，，，是拓扑空间X 的一个基.~0067证明：设i T 为i X 的拓扑，12i n = ，，，. 令B 如积拓扑的定义中的积拓扑的那个基. 为证明B 是积空间X 的一个基，只需证明B 中的每一个元素均可表示为B 中的某些元素的并. 为证此，设12B n U U U ⨯⨯⨯∈ ，其中i iU T ∈. 由于B i 是i X 的一个基，故对于每一个i ，存在D B i i ⊂使得D =i i i B i U B ∈ . 令12D {|D 12}n i i B B B B i n =⨯⨯⨯∈= ，，，，，于是D B ⊂，且()()()112212D 1D 2D n n n B B B n U U U B B B ∈∈∈⨯⨯⨯=⨯⨯⨯()()112212D D D 12D 12n n n B B B n B B B n B B B B B B ∈∈∈⨯⨯⨯∈=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ ，，，.`0068 07B1试述点集拓扑中度量空间之间的映射在一点处连续的概念~0068设X 和Y 是两个度量空间，:f X Y →，0x X ∈. 若对于0()f x 的任何一个球形邻域0(())B f x ε，，存在0x 的某一个球形邻域0()B x δ，，使得00(())(())f B x B f x δε⊂，，，则称映射在点0x 处是连续的.`0069 07B1写出拓扑空间之间的连续映射的定义.~0069设X 和Y 是两个拓扑空间，:f X Y →. 如果Y 中每一个开集U 的原像1()f U -是X 中的一个开集，则称f 是从X 到Y 的一个连续映射.`0070 07B1写出拓扑空间之间的映射在一点处的连续性的定义.~0070设X 与Y 是两个拓扑空间，:f X Y →，x X ∈. 如果()f x Y ∈的每一个邻域的原像是x X ∈的一个邻域，则称映射f 是一个在点x 处连续的映射.`0071 07B2~0071设X 和Y 是两个拓扑空间，映射:f X Y →称为一个开映射，如果对于X 中的任何一个开集U ，像集()f U 是Y 中的一个开集.`0072 07B2写出闭映射的定义.~0072设X 和Y 是两个拓扑空间，映射:f X Y →称为一个闭映射，如果对于X 中的任何一个闭集U ，像集()f U 是Y 中的一个闭集.`0073 07C2（点集拓扑）设X 和Y 是两个度量空间，:f X Y →.证明若Y 中每一个开集的原像是X 中的一个开集，则f 为连续映射.~0073证明：对于任意x X ∈，设U 是()f x 的一个邻域，即存在包含()f x 的一个开集V U ⊂. 从而11()()x f V f U --∈⊂. 因为1()f V -是一个开集，所以1()f U -是x 的一个邻域，因此f 在x 点连续. 由于x 是任意选取的，所以f 是一个连续映射.`0074 08B2写出度量子空间的定义.~0074设()X ρ，是一个度量空间，Y 是X 的一个子集.显然|:R Y Y Y Y ρ⨯⨯→是Y 的一个度量，称其为由度量ρ诱导出来的.度量空间()Y ρ，称为度量空间()X ρ，的一个度量子空间.`0075 08B2写出集族A 在集合Y 上的限制的定义.~0075设A 是一个集族，Y 是一个集合.集族{|}a Y a A ∈ 称为集族A 在集合Y 上的限制.`0076 08B2写出拓扑子空间的定义.~0076设Y 是拓扑空间(T)X ，的一个子集，Y 的拓扑T |Y 称为相对拓扑；拓扑空间(Y T |)Y ，称为拓扑空间(T)X ，的一个拓扑子空间.`0077 08B2写出嵌入的定义.~0077设X 和Y 是两个拓扑空间，:f X Y →，映射f 称为一个嵌入，如果它是一个单射，并且是从X 到它的像集()f X 的一个同胚.`0078 08B2写出拓扑空间X 可嵌入拓扑空间Y 的定义.~0078如果存在一个嵌入:f X Y →，我们说拓扑空间X 可嵌入拓扑空间Y .`0079 08B2写出可遗传性质的定义.~0079拓扑空间的某种性质称为可遗传性质，如果一个拓扑空间具有这个性质，那么它的任何一个子空间也都具有这个性质.`0080 08B2写出对于开子空间可遗传的性质的定义.~0080拓扑空间的某种性质称为对于开子空间可遗传性质，如果一个拓扑空间具有这个性质，那么它的任何一个开子空间也都具有这个性质.`0081 08B2写出对于闭子空间可遗传的性质的定义.~0081拓扑空间的某种性质称为对于闭子空间可遗传性质，如果一个拓扑空间具有这个性质，那么它的任何一个闭子空间也都具有这个性质.`0082 08B2写出度量积空间的定义.~0082设1122()()()n n X X X ρρρ ，，，，，，是1n ≥个度量空间，令12n X X X X =⨯⨯⨯ . 定义:R X X ρ⨯→使得对于任何12()n x x x x = ，，，，12()n y y y y X =∈ ，，，，()x y ρ=，称()X ρ，为n 个度量空间1122()()X X ρρ ，，，，，()n n X ρ，的度量积空间.`0083 08B2写出拓扑积空间的定义.~0083 设1122(T )(T )(T )n n X X X ，，，，，，是1n ≥个拓扑空间，则12n X X X X =⨯⨯⨯ 的以子集族 12B {|T 12}n i i U U U U i n =⨯⨯⨯∈= ，，，， 为它的一个基的那个唯一的拓扑T 称为拓扑1T ，2T ，…，T n 的积拓扑，拓扑空间(T)X ，称为拓扑空间1122(T )(T )(T )n n X X X ，，，，，，的（拓扑）积空间.`0084 08A1（ ）作为拓扑空间，n 维欧氏空间R n是n 个实数空间R 的积空间.~0084 √`0085 08A1（ ）n 维欧氏空间R n中所有开方体不能构成它的一个基.~0085 ×`0086 03C3对于每一个Z n +∈，令{Z |}n A m m n +=∈≥，证明T {|Z }{}n A n +=∈∅ 是正整数集Z +的一个拓扑.~0086证明：显然∅，1Z T A +=∈，又T n A ∅=∅∈ ，12n = ，，；T m n i A A A =∈ ，其中m a x {}i m n =，；任意1T T ∅≠⊂，11T min{|T }T n n A n A A ∈∈=∈ . 故T 是Z +的一个拓扑.`0087 03C3证明每一个离散空间都是可度量化的.~0087证明：设(T)X ，是离散空间，则T ()P X =. 定义度量1()0.x y x y x y ρ≠⎧=⎨=⎩，，，， 则A X ∀⊂，x A ∀∈，有1(){}2B x x A =⊂，，故A 是度量空间()X ρ，中的开集，即T 是由ρ诱导出来的，即(T)X ，是可度量化的空间.`0088 03C3设()X ρ，是一个度量空间.证明作为拓扑空间X 是一个离散空间，当且仅当ρ是一个离散度量.~0088证明：（充分性）若()X ρ，是离散的度量空间，则X 的每一个子集均为开集，于是T ()P X ρ=，即(T )X ρ，是一个离散空间. （必要性）设(T )X ρ，是一个离散空间，则T ()P X ρ=. 所以{}x 是开集，由中开集的定义，存在0x ε>，使得(){}x B x x ε⊂，. 对任何y X ∈，y x ≠，显然()x y B x ε∉，，有()x x y ρε≥，. 取0x x δε<<，则对任何y X ∈，y x ≠，有()x x y ρδ>，成立.由离散度量定义得ρ是一个离散度量.`0089 03C3设12T T ，是集合X 的两个拓扑.证明12T T 也是X 的拓扑.举例说明12T T 可以不是X 的拓扑.~0089证明：设12T T ，是X 的拓扑，由12T T X ∅∈，，知12T T X ∅∈ ，. 若12T T A B ∈ ，，则12T T A B ∈，，，于是12T T A B ∈ ，，从而12T T A B ∈ . 由12T T T ∅≠⊂ ，则12T T T ⊂，，于是T 12T T A A ∈∈ ，，从而T 12T T A A ∈∈ . 综上12T T 是X 的拓扑.例如设{}X a b c =，，，1T {{}{}}a a c X =∅，，，，，2T {{}{}}b b c X =∅，，，，都是X 的拓扑，但是 12T T {{}{}{}{}}a b a c b c X =∅ ，，，，，，，不是X 的拓扑，因为12{}{}{}T T a b a b =∉ ，.`0090 03C3设{T }γγ∈Γ是由集合X 的一些拓扑构成的一个集族，其中指标集Γ非空. 证明：T γγ∈Γ 是X 的一个拓扑.~0090证明：T X γγ∈Γ∅∈ ，；由T A B γγ∈Γ∈ ，显然知T A B γγ∈Γ∈ ；设1T T γγ∈Γ⊂ ，则1T T γγ⊂∀∈Γ，于是1T T A A γγ∈∈∀∈Γ ，，从而1T T A A γγ∈∈Γ∈ .`0091 03C3设(T)X ，是一个拓扑空间，其中∞是任何一个不属于X 的元素. 令*{}X X =∞ ，T*T {*}X = . 证明(*T*)X ，是一个拓扑空间.~0091证明：显然*T*X ∅∈，. 任意T*A B ∈，，若A B ，中有一个为*X ，显然T*A B ∈ ；否则T A B ∈ ，则T T*A B ∈⊂ ，故总有T*A B ∈ . 任意1T T*⊂，若1*T X ∈，则1T *T*A A X ∈=∈ ；若1*T X ∉，即1T T ⊂，也有1T T T*A A ∈∈⊂ ，故总有1T T*A A ∈∈ .所以(*T*)X ，为拓扑空间.`0092 03C3拓扑空间X 的一个子集U 是开集的充分必要条件是U 是它的每一点的邻域. 即只要x U ∈，U 便是x 的一个邻域.~0092证明：必要性明显. 下证充分性. 如果U 是空集∅，当然U 是一个开集. 下设U ≠∅，根据条件对于每一个x U ∈，存在一个开集x U 使得x x U U ∈⊂. 因此{}x U x U x U x U U ∈∈=⊂⊂ ，故x U x U U ∈= . 根据拓扑的定义U 是一个开集.`0093 05C2设X 是一个拓扑空间，A B X ⊂，. 证明： （1）()d ∅=∅；（2）若A B ⊂，则()()d A d B ⊂.~0093证明：（1）由于对于任何一点x X ∈和点x 的任何一个邻域U 有({})U x ∅-=∅ ，故()x d ∉∅. 因此()d ∅=∅. （2）设A B ⊂. 如果()x d A ∈，U 是x 的一个邻域，由于({})U A x -≠∅ ，故({})U B x -≠∅ ，因此()x d B ∈. 这就证明了()()d A d B ⊂.`0094 05C3设X 是一个拓扑空间，A X ⊂. 证明(())()d d A A d A ⊂ .~0094证明：设()x A d A ∉ ，即既有x A ∉又有()x d A ∉. 则x 有一个邻域U 使得({})U A x -=∅ . 任意选择V 为x 的一个开邻域，使得它包含于U 中，这时也有({})V A x -=∅ . 由于x A ∉，所以V A =∅ ，也就是说，V 的任何一个点都不是A 中的点，因此对于任何y V ∈，有({})V A y -=∅ ；由于V 是y 的一个邻域，因此()y d A ∉. 这就说明V 中没有A 的凝聚点. 于是x 有一个邻域V 与A 的导集无交，所以()()x d d A ∉. 将以上的论证概括起来便是：只要()x A d A ∉ ，便有()()x d d A ∉，这也就是说(())()d d A A d A ⊂ .`0095 05C1设X 是一个拓扑空间，A X ⊂. 证明A 是一个闭集当且仅当A 的补集A '是一个开集.~0095证明：必要性：设A 是一个闭集，如果x A '∈，那么x A ∉，并且x 有一个邻域U 使得({})U A x -=∅ . 从而U A =∅ ，亦即U A '⊂. 这证明，对于任何x A '∈，A '是x 的一个邻域，因此A '是一个开集.充分性：设A '是一个开集. 如果x A '∈，那么A '是x 的一个邻域，它满足条件：A A '=∅ . 因此()x d A ∉，于是有()d A A ⊂，即A 是一个闭集.`0096 05C2设X 是一个拓扑空间，记F 为所有闭集构成的族，则 （1）F X ∅∈，；（2）若F A B ∈，，则F A B ∈ ； （3）若1F F ∅≠⊂，则1F F A ∈∈ .~0096证明：由于F {|T}U U '=∈，其中T 是X 的拓扑.（1）由于T X ∅∈，，故F X X ''∅==∅∈，.（2）当F A B ∈，时，有T A B ''∈，，从而T A B ''∈ ，因此()F A B A B A B '''''''==∈ .（3）令11T {|F}A A '=∈，于是1T T ⊂，因此1T T U U ∈∈ . 从而()()1111F F T T F A A A U A A A U '∈∈∈∈'''''===∈ .`0097 05C1在点集拓扑中证明离散空间中任意子集的导集是空集.~0097证明：设X 是离散空间，A 是X 中任一子集，由于X 中的每一个单点集都是开集. 因此如果x X ∈，那么x 有一个邻域{}x ，使得{}({})=x A x -∅ ，于是x 不是A 的凝聚点，以上论证说明集合A 没有任何一个凝聚点，从而A 的导集是空集，即()d A =∅.`0098 05C2证明平庸空间中单点集的导集为其补集.~0098证明：设X 是平庸空间，A 是X 中任一单点集，令0{}A x =. 如果x X ∈，0x x ≠，那么点x 只有唯一的一个邻域X ，这是0({})x X A x ∈- ，所以({})X A x -≠∅ . 因此x 是A 的一个凝聚点，即()x d A ∈. 然而对于0x 的唯一邻域X 有0({})X A x -=∅ ，所以0()x d A ∉. 于是()d A X A =-.`0099 05C2证明平庸空间中非单点集的非空集合的导集为全集.~0099证明：设X 是平庸空间，A 是X 中任一子集，A 包含多于一个点，此时x X ∀∈，则对任一y A ∈，y x ≠，都有({})y X A x ∈- ，从而({})X A x -≠∅ . 故()x d A ∈，从而()d A X =.`0100 05C2证明拓扑空间X 的子集A 是闭集的充分必要条件是A A =.~0100证明：由闭集的定义知A 是闭集当且仅当()d A A ⊂，这又当且仅当()A A d A A == .`0101 05C1设X 是一个拓扑空间，A B X ⊂，. 证明A B A B = .~0101证明：()()()()(())(())A B A B d A B A B d A d B A d A B d B A B ==== .`0102 05C1设X 是一个拓扑空间，A X ⊂. 证明A A =.~0102证明：()()()(())()A A d A A d A A d A d d A A d A A ===== .`0103 05C1设X 是一个拓扑空间，F 是由空间X 中所有的闭集构成的族.则对于X 的每一个子集A ，有F B B A A B ∈⊃= ，，即集合A 的闭包等于包含A 的所有闭集之交.~0103证明：由于A 包含于F B B A B ∈⊃ ，，而后者是一个闭集，所以F B B A A B ∈⊃⊂ ，. 另一方面，由于A 是一个闭集，且A A ⊂，所以F B B A B A ∈⊃⊂ ，. 综合这两个包含关系，即得所求证的等式.`0104 05C2设X 是一个拓扑空间，A B X ⊂，，()d A B A ⊂⊂.证明B 为闭集.~0104证明：因为()d A B A ⊂⊂，所以()()d B d A B ⊂⊂，即得()d B B ⊂，故B 为闭集.设X 是一个拓扑空间，A X ⊂.证明A A -'= '.~0105证明：设x A ∈ ，即A 是x 的一个邻域. 由于A A '=∅ ，所以x A -'∉，即x A -'∈'，这就证明了A A -'⊂ '. 另一方面，若x A -'∈'，即x A -'∉，亦即x 有一个邻域V 使得V A '=∅ . 从而V A ⊂，故A 也是x 的一个邻域，亦即x A ∈ . 这证明了A A -'⊃ '. 综上得证.`0106 05C1拓扑空间X 的子集A 是开集的充分必要条件是A A =.~0106证明：集合A 是一个开集，即A 的补集A '是闭集. 又A '是闭集当且仅当A A -''=成立. 通过等式两边取补集的办法可见这当且仅当A A -'='成立，即A A = 成立.`0107 05C1设X 是一个拓扑空间，T 是X 的拓扑，A X ⊂.证明T B B A A B ∈⊂=，，即集合A 的内部等于包含于A 的所有开集之并.~0107 证明：A A -'='()1111F 1F 1T B B A B B A B B A B B B ''∈⊃∈⊂∈⊂''=== ，，，，其中F 是拓扑空间X中全体闭集构成的族.`0108 05C1设A 是度量空间()X ρ，中的一个子集. 证明x A ∈当且仅当()0x A ρ'>，.~0108证明：x A A -'∈= '当且仅当x A -'∉当且仅当()0x A ρ'>，`0109 05C1设A 是度量空间()X ρ，中的一个子集. 证明()x A ∈∂当且仅当既有()0x A ρ=，又有()0x A ρ'=，.~0109证明：()x A A A --'∈∂=⋂当且仅当x A -∈且x A -'∈当且仅当()0x A ρ=，又有()0x A ρ'=，.`0110 05C2设X 和Y 是两个拓扑空间，:f X Y →.证明以下两个条件等价： （1）f 连续；（2）对于Y 的任何一个子集B ，B 的内部的原像包含于B 的原像的内部，即()11()()f B f B --⊂.~0110证明：对任意B Y ⊂，B Y '⊂，由定理 2.4.10（4）和定理 2.5.6（2）知f 连续当且仅当()()11fB f B --''⊃，当且仅当()()()()()()()()()()111111()fB f B f B f B f B f B ----------''''''''==⊂==`0111 06C2设B 是拓扑空间(T)X ，的一个开集族（即B T ⊂），则B 是拓扑空间X 的一个基当且仅当对于每一个x X ∈和x 的每一个邻域x U ，存在B x V ∈使得x x x V U ∈⊂.~0111 证明：（必要性）如果B 是X 的一个基，则对于每一个x X ∈和x 的每一个邻域x U ，存在x 的每一个开邻域x W ，使得x x W U ⊂. 由于x W 是一个开集，根据基的定义，存在1B B ⊂使得1B x A W A ∈= . 于是1B A x A ∈∈ 可知存在1B (B)x V ∈⊂使得1B x A x x x V A W U ∈∈⊂=⊂ ，这就证明必要性.（充分性）设对于每一个x X ∈和x 的每一个邻域x U ，存在B x V ∈使得x x x V U ∈⊂. 如果U 是X 中的一个开集，则对于每一个x U ∈，由于U 是x 的一个邻域，故存在B x V ∈使得x x V U ∈⊂. 于是{}x U x U x U x V U ∈∈=⊂⊂ . 因此x U x U V ∈= ，亦即U 是B 中某些元素之并，从而B 是X 的基.`0112 06C1证明2R 中所有的开矩形构成的集族是2R 的一个基.~0112证明：记{()()|R }a b c d a b c d a b c d β=⨯∈<<，，，，，，，，则β是X 中的一个开集族. 任一2()R P x y =∈，，任一U x U ∈，存在0ε>，使得()B P U ε⊂，，取2a x ε=-，2b x ε=+，2c y ε=-，2d y ε=+，则()()()a b c d BP U ε⨯⊂⊂，，，，且()()a b c d β⨯∈，，.故β构成2R 的一个基.`0113 06C2证明实数集合R 有一个拓扑以集族{[)|R}{(]|R}a a b b ∞∈-∞∈ ，，为它的一个子基，并说明这个拓扑的特点.~0113证明：记{[)|R}{(]|R}a a b b ϕ=∞∈-∞∈ ，，. 因为R (][)R S S a a ϕ∈⊃⊃-∞∞= ，，，所以R S S ϕ∈= . 因此存在R 的唯一拓扑T 以ϕ为子基.任意R x ∈，因为(][)T x x ϕ-∞∞∈⊂，，，，所以{}(][)T x x x =-∞∞∈ ，，，即R 的每一单点集皆为开集，因此T 是R 的离散拓扑.`0114 06C2证明实数集合R 有一个拓扑T 以集族{()|R}a a ∞∈，为它的一个基，并且 （1）将T 明确地表示出来；（2）设R A ⊂，求A 在拓扑空间T)X （，中的闭包.~0114证明：记{()|R}a a β=∞∈，，显然R B B β∈= ，设12()()B a B b β=∞=∞∈，，，，则12()()a a b B B b a b ∞≥⎧=⎨∞<⎩，，，，，， 所以12B B β∈ ，故R 有以β为基的拓扑.（1）显而易见T {R}β=∅ ，；（2）设F {(]|R}b b =-∞∈，是(R T)，中所有闭集构成的闭集族，任意R A ⊂，有F {(]|(]}(sup ]B B A A b A b A ∈⊃==-∞⊂-∞=-∞ ，，，，.`0115 08C3 设Y 是拓扑空间T)X （，的一个子集，证明集族T|Y 是Y 的一个拓扑.~0115 证明：（1）由于T X ∈和Y X Y = ，所以T|Y Y ∈；由于T ∅∈和Y ∅=∅ ，所以T|Y ∅∈.（2）如果T|Y A B ∈，，那么存在T AB ∈ ，使得A A Y B B Y == ，. 于是 ()()()A B A Y B Y A B Y == ，由于T A B ∈ ，所以T|YA B ∈ . （3）如果1T 是集族T|Y的一个子集族，那么对于每一个1T A ∈，存在T A∈ 使得A A Y = . 于是 111T T T ()()A A A A A Y A Y ∈∈∈== .由于1T T A A ∈∈ ，故1T T|A Y A ∈∈ . 综上知集族T|Y 是Y 的一个拓扑.`0116 06C1 设1122(T )(T )(T )n n X X X ，，，，，，是1n ≥个拓扑空间，证明12n X X X X =⨯⨯⨯ 有唯一的一个拓扑T 以X 的子集族 12B {|T 12}n i i U U U U i n =⨯⨯⨯∈= ，，，，为它的一个基.~0116 证明：（1）由于12B n X X X X =⨯⨯⨯∈ ，所以B U U X ∈= .（2）如果12n U U U ⨯⨯⨯ ，12B n V V V ⨯⨯⨯∈ ，其中i U ，T 12i i V i n ∈= ，，，，，那么12121122()()()()()B n n n n U U U V V V U V U V U V ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯∈ .综上知B 是X 的一个基.`0117 07C3（点集拓扑）设X 和Y 是两个度量空间，:f X Y →，0x X ∈. 证明: 若0()f x 的每一个邻域的原像是0x 的一个邻域，则f 在点0x 处连续.~0117证明：任意给定0()f x 的一个球形邻域0(())B f x ε，，则10((()))fB f x ε-，是0x 的一个邻域. 于是0x 有一个球形邻域0()B x δ，包含于10((()))f B f x ε-，，因此00(())(())f B x B f x δε⊂，，，这就证明了f 在点0x 处连续.`0118 07C3（点集拓扑）设X 和Y 是两个度量空间，:f X Y →，0x X ∈. 证明若f 在点0x 处连续，则0()f x 的每一个邻域的原像是0x 的一个邻域.~0118证明：令U 为0()f x 的一个邻域，于是0()f x 有一个球形邻域0(())B f x ε，包含于U . 由于f 在点0x 处连续，所以0x 有一个球形邻域0()B x δ，使得00(())(())f B x B f x δε⊂，，. 然而110((()))()f B f x f U ε--⊂，，所以10()()B x f U δ-⊂，. 这证明了1()f U -是0x 的一个邻域.`0119 07C3（点集拓扑）设X 和Y 是两个度量空间，:f X Y →. 证明: f 为连续映射蕴含Y 中每一个开集的原像是X 中的一个开集.~0119证明：令V 是Y 中任一开集，1()U f V -=. 对任一x U ∈，有()f x V ∈. 由于V 是开集，故V 是()f x 的一个邻域. 由于f 为连续映射，故f 在每一点都连续. 于是U 是x 的一个邻域. 因此存在含x 的开集x U ，使得x U U ⊂，从而x U x U U ∈= 是开集.`0120 07C3（点集拓扑）设X 和Y 是两个度量空间，:f X Y →. 证明f 为连续映射的充分必要条件是Y 中每一个开集的原像是X 中的一个开集.~0120证明：必要性：令V 为Y 中任一开集，1()U f V -=.对任一x U ∈，有()f x V ∈. 由于V 是开集，故V 是()f x 的一个邻域. 由于f 为连续映射，故f 在每一点都连续. 于是U 是x 的一个邻域. 因此存在含x 的开集x U ，使得x U U ⊂，从而x U x U U ∈= 是开集.充分性：对于任意x X ∈，是U 是()f x 的一个邻域，即存在包含()f x 的一个开集V U ⊂. 从而11()()x f V f U --∈⊂. 因为1()f V -是开集，所以1()f U -是x 的一个邻域，于是f 在点x 连续. 由于点x 是任意选取的，所以f 是一个连续映射.`0121 07C2（点集拓扑）设()X ρ，是一个离散度量空间，证明如果Y 也是一个度量空间，则任何映射:f X Y →都是连续的.~0121证：设:f X Y →为任一映射，U 为Y 中任意开集，则)(1U f -为X 的子集，显然)(1U f -为X 的开集，故f 为连续映射.`0122 07C2设1ρ和2ρ是集合X 的两个等价的度量，Y 是一个度量空间，:f X Y →.证明f 相对于度量1ρ而言是连续的当且仅当f 相对于度量2ρ而言是连续的.（集合X 的两个度量1ρ和2ρ称为等价的，如果X 的子集A 是度量空间1()X ρ，中的开集当且仅当A 是度量空间2()X ρ，中的开集）~0122证明：设A 是Y 中任一开集，由于f 相对应度量1ρ而言的连续性得1()f A -是度量空间1()X ρ，中的开集. 因为1ρ和2ρ等价，所以1()f A -也是度量空间2()X ρ，中的开集，即f 相对应度量2ρ而言的连续. 充分性类似可证.`0123 07C2设X 为拓扑空间，证明恒同映射:X i X X →是连续映射.~0123证明：设U 是X 中的任一开集，则1()X i U U -=也是是X 中的开集，所以连续的.`0124 07C2设X 为拓扑空间，证明恒同映射:X i X X →是同胚映射.~0124证明：X i 是一个一一映射，并且1X X i i -=都是连续映射，从而X i 是同胚.`0125 07C2设X ，Y 和Z 都是拓扑空间，:f X Y →和:g Y Z →都是同胚映射，证明:g f X Z → 也是同胚映射.~0125证明：设:f X Y →和:g Y Z →都是同胚映射，因此f 和g 都是一一映射，并且f ，1f-，g 和1g -都是连续映射，因此g f 也是一一映射，并且g f 和111()g f f g ---= 都是连续的. 所以g f 是同胚.`0126 07C2设X 和Y 是两个拓扑空间，:f X Y →，则映射f 连续当且仅当对于每一点x X ∈，映射f 在点x 处连续.~0126证明：必要性：设映射f 连续，x X ∈. 如果U 是()f x 的一个邻域，那么存在开集V 使得()f x V U ∈⊂，于是11()()x f V f U --∈⊂，其中1()f V -是一个开集，从而1()f U -是x 的一个邻域，这就证明了f 在点x 处连续.充分性：设对于每一点x X ∈，映射f 在点x 处连续. 如果U Y ⊂是一个开集，那么对于每一点1()x f U -∈，集合U 是()f x U ∈的一个邻域. 因此对于每一点1()x f U -∈，1()f U -是x 的一个邻域，这就证明了f 连续.。