尹长川老师课件第2章

2005-09-221第2章确定信号分析傅立叶变换确定信号的表示确定信号通过线性系统 希尔伯特变换 解析信号频带信号与带通系统2005-09-222确定信号分析信号：一般是时间的函数确定信号：可以用确定的时间函数表示的信号周期信号和非周期信号 能量信号和功率信号 基带信号和频带信号模拟信号和数字信号随机信号：具有随机性，可用统计规律来描述通信过程中的有用信号和噪声2005-09-2231 傅立叶变换表达式：()()j t F f t e dtωω∞−−∞=∫1()()2j t f t F e d ωωωπ∞−∞=∫,0()()1,00,0t t t dt t εεδδε−∞= ==∀>≠ ∫且()()f t F ω⇔充分条件：f (t ) 在无限区间内绝对可积引入广义函数之后的扩展()f t dt ∞−∞<∞∫t1()t δ2005-09-2241.1 傅立叶变换的运算特性放大叠加复共轭标度换算时移频移()()f t F ω⇔()()kf t kF ω11221122()()()()a f t a f t a F a F ωω++*()*()f t F ω−1()f at F a a ω00()()j t f t t e F ωω−−00()()j t e f t F ωωω− 1.1 傅立叶变换的运算特性调制卷积对偶微分积分0001()cos ()()2f t tF F ωωωωω++− 12121212()()()()()()()()2f t f t F F f t f t F F ωωωωπ∗⋅⋅∗()2()F t f πω−()()()nnnd f t j F dt ωω()()()()0tf z dzF j F ωωπδω−∞+∫000()sin ()()2jf t tF F ωωωωω+−−1.2 常用信号的傅立叶变换()()f t F ω⇔12()πδω002()jn tn nn n F eF n ωπδωω∞∞=−∞=−∞−∑∑()1at e u t a j ω−+()2sgn t j ω()()1u t j πδωω+()00()(),2T t t nT n Tδδωδωωωπ∞∞=−−=∑∑任意周期信号2005-09-2271.2 常用信号的傅立叶变换()t f t rect τ=()2F Sa ωτωτ=t12τ2τ−()sinc f ττ=2πτ−4πτ−6πτ6πτ−()F ωω2πτ4πττ1τ−2τ−3τ3τ−()F ff1τ2ττ2005-09-2281.2 常用信号的傅立叶变换22W Wt Sa πrect W ωt tri τ22Sa ωττt10ττ−02πτ2πτ−τω12W ω2W −02Wπ2Wπ−t 2W π()()f t F ω⇔2005-09-2291.3 实信号的傅立叶变换如果f (t ) 为实信号，()()j t F f t e dtωω∞−−∞=∫()A ω∼偶函数()()()22F A B ωωω=+∼偶函数()cos ()sin f t tdt j f t tdtωω∞∞−∞−∞=−∫∫()()A jB ωω=+()B ω∼奇函数()()()B arctgA ωθωω=∼奇函数()()*.F F ωω=−即：2005-09-22102 确定信号的表示(1)能量信号：能量有限(限时或非限时信号)221()()2E f t dt F d ωωπ+∞+∞−∞−∞==∫∫能量谱密度：单位带宽中信号能量与角频率的关系双边能量谱密度()()2E F ωω=2(), 0()0, 0E G ωωωω> =<单边能量谱密度1()(2)2E E d E f df ωωππ+∞+∞−∞−∞==∫∫01()(2)2G d G f dfωωππ+∞+∞==∫∫()()()222E f F f J H z ππ=或2 确定信号的表示(2)能量信号的自相关函数()*()()R f t f t dtττ+∞−∞=+∫()()(1)0R R τ≤()(2)0E R =()()(3)R E τω⇔能量信号的互相关函数()1212*()()R f t f t dtττ+∞−∞=+∫()()()()121212*R E F F τωωω⇔= 2 确定信号的表示(3)功率信号：平均功率有限()(),20, T T f t t f t t<= 其它()()T T f t F ω⇔()()2212T T T E f t dt F d ωωπ+∞+∞−∞−∞==∫∫定义截短信号()22()1lim lim 2T T T T F E P d f t T Tωωπ+∞−∞→∞→∞===∫T T E P T=2005-09-22132 确定信号的表示(4)功率谱密度：单位带宽中信号平均功率与角频率的关系 双边功率谱密度()()2limT T F P Tωω→∞=2(), 0()0, 0P B ωωωω> =<单边功率谱密度1()(2)2P P d P f dfωωππ+∞+∞−∞−∞==∫∫01()(2)2B d B f dfωωππ+∞+∞==∫∫()()()222lim T TF fP fW Hz Tππ→∞=或2005-09-22142 确定信号的表示(5)功率信号的自相关函数()221lim *()()T T T R f t f t dtT ττ−→∞=+∫()()(1)0R R τ≤()(2)0P R =()()(3)R P τω⇔功率信号的互相关函数()2121221lim*()()T T T R f t f t dtT ττ−→∞=+∫()()1212R P τω⇔Wiener-Khinchine theorem2005-09-22152 确定信号的表示(6)周期信号( 周期为T )()()f t F ω⇔定义一个周期内的截短信号()()(), 20, T T T f t t f t F tω<=⇔其它傅氏级数()002,jn tnn f t F eTωπω∞=−∞==∑()0221T jn t n T F f t e dt Tω−−=∫其中()01T n F T ωωω==2005-09-22162 确定信号的表示(6)周期信号(续)()0(1)2()nn F F n ωπδωω∞=−∞=−∑()20(2)2()n n P F n ωπδωω∞=−∞=−∑()02(3)jn n n R F e ωττ∞=−∞=∑周期函数(周期为T )2 确定信号的表示(7)信号带宽：信号能量或功率主要部分集中的频率范围(正频率部分)--Hz定义方法零点带宽：B 13dB(半功率点)带宽：B 2 等效矩形带宽：B 3B 1B 210.5()E f -B 1-B 2fB 3-B 3E (0)()E f f()()320E f dfB E ∞−∞=∫1.1B τ=例门函数: ()2(0)2E E B =2 确定信号的表示(8)基带信号：信号能量或功率集中在零频率附近频带信号：信号能量或功率集中在某一载频附近B 3()E f ff 0B 1B 3-f 0B 1占总能量(功率)的百分比带宽：B 4()4290%B E f dfE=∫()4290%B P f dfP=∫或2005-09-22193 确定信号通过线性系统(1)单入单出线性：系统输入线性和的响应等于响应的线性和(叠加原理)()()()i i i i i iy t L C x t C L x t==∑∑时不变性(恒参)[]()()τL t h t δτ−=−[]()()L t h t δ=若时，对于线性时不变系统，()()()()()()j Y h t H H eX ϕωωωωω⇔==传递函数()x t ()y t ()L ⋅2005-09-22203 确定信号通过线性系统(2)信号不失真条件——理想系统()()y t kx t τ=−|)(|ωH kω()τ()d d ϕωωτω=−=()()()()j j h t k t H keke ϕωωτδτω−=− ==幅频特性相频特性群时延特性：不同频率分量的到达时间()ϕωω2005-09-22213 确定信号通过线性系统(3)基波相移π谐波相移2π线性失真：由于系统特性不理想产生的失真幅度相位2005-09-22223 确定信号通过线性系统(4)系统的带宽3dB 带宽B (Hz)：()12H f 保持在其最大值的以内的频率区间()H f 0.71若信号带宽位于系统带宽以内，失真可忽略3 确定信号通过线性系统(5)理想低通滤波器LPF理想带通滤波器BPF()2j H rect eW ωτωω− = ()()W h t Sa W t τπ=− 1ω()H ωWωWω−()ϕωωτ=−10Wω()H ωW−()ϕωωτ=−限带基带信号通过理想LPF 不失真限带频带信号通过理想BPF 不失真4 Hilbert 变换(1)定义：若f (t ) 为实函数，1(τ)ˆ()[()]-τf ft H f t d t τπ+∞−∞==∫1ˆ1(τ)ˆ()[()]-τff t Hft d t τπ+∞−−∞==−∫()f t ˆ()f t 1tπ()f t ˆ()ft 1tπ−1()f t t π=∗1ˆ ()ft tπ=−∗2005-09-22254 Hilbert 变换(2)希尔伯特滤波器(理想宽带相移网络)()1h t tπ=,0()sgn (),0j H j j ωωωω−> ⇔=−=+< 0()cos ,f t t ω=例. 0ˆ ()cos 2f t t πω =−0sin tω=()ϕωω2π2π−2005-09-22264 Hilbert 变换(3){[()]}()H H f t f t =−22ˆ()()f t dt ft dt ∞∞−∞−∞=∫∫ˆ()()0f t ft d t ∞−∞=∫性质重变换：等能量：正交性：奇偶性：ˆ()()f t ft ⇒∼∼偶函数奇函数ˆ()()f t ft ⇒∼∼奇函数偶函数2005-09-22274 Hilbert 变换(4)常用变换()ˆ()ft f t 00co s s in t t ωω00sin co s ttωω−()()00c o s s in m t t m t t ωω()()00sin co s m t tm t tωω−()[]0-,,.m t W W Wω<注：为低通信号，角频率范围为且2005-09-22285 解析信号(1)实信号f (t ) 的解析信号定义为ˆ()()()z t f t j ft =+2)()(),()()f t F z t Z ωω⇔⇔若，则有2(),()0, 0F Z ωωωω> =< [][]11)()Re ()()*()2f t z t z t z t ==+()0, 03)*2(), 0z t F ωωω> = <F 判断准则()01()j t z t F e d ωωωπ∞=∫2()()F u ωω= 5 解析信号(2)4)解析信号z (t ) 的能量为其实信号f (t )能量的2倍()()()()121205)0z t z t z t z t ∗∗∗= ∗= ()6),f t 已知实函数求其解析信号的方法ˆ()()f t ft →()()f t F ω→ˆ()()()z t f t j f t →=+()01()j t z t F e d ωωωπ∞→=∫时域：频域：0()cos f t t ω=00()cos sin z t t j t ωω→=+0()()cos f t m t tω=()0()j tz t m t e ω→=0j te ω= 6 频带信号与带通系统(1)频带信号：信号的频谱集中在某一频率附近(带通信号)()()f t F ω⇔ˆ()()()()2()()z t f t j ft Z F u ωωω=+=2c Wω c ω()F ωc Wω−+ω0c Wω−−c Wω+c W ω−Ac ωωc Wω+c W ω−()Z ω2A()L F ω2A()()L c F Z ωωω=+()()c j tL f t z t e ω−=窄带信号：2005-09-22316 频带信号与带通系统(2)频带信号的表示方法()()()ˆ,()()()L c s f t f t jf t z t f t jft =+=+令又，则有()()cos ()sin c c s c f t f t t f t tωω=−()()(),j t L f t a t e θ=若令()()cos[()]c f t a t t t ωθ=+()Re ()c j tL f t f t eω =表示方法1表示方法2表示方法3同相分量正交分量包络相位()()L f t f t 中包含了中除载波频率之外的所有信息f (t )的等效基带信号[]()Re ()f t z t =2005-09-22326 频带信号与带通系统(3)带通系统：系统的通频带位于某一频率附近2c Wω ()()h t H ω⇔ˆ()()()()2()()z t h t j ht Z H u ωωω=+=()()()L c c H H u ωωωωω=++1()()2c j tL h t z t e ω−=h (t )的等效低通特性c ω()H ωc Wω−+ω0c Wω−−c Wω+c W ω−Ac ωωc Wω+c W ω−()Z ω2Aω0W W −()L H ωA窄带系统：2005-09-22336 频带信号与带通系统(4)频带信号通过带通系统()Re ()c j tL f t f t e ω = ()()2Re c j tL h t h t e ω =结论：在处理频带信号激励带通系统时，可以由等价的低通分析代替，即由激励单位冲激响应为的低通系统，求得其输出响应，再乘以求其实部，即为带通系统的响应。