高中数学 必修二 习题：第3章 直线与方程3.2.2 Word版含解析

第三章 3.2 3.2.2

一、选择题

1．直线x2－y5＝1在x轴、y轴上的截距分别为( )

A．2,5 B．2，－5

C．－2，－5 D．－2,5

[答案] B

[解析] 将x2－y5＝1化成直线截距式的标准形式为x2＋y－5＝1，故直线x2－y5＝1在x轴、y轴上的截距分别为2、－5.

2．已知点M(1，－2)、N(m,2)，若线段MN的垂直平分线的方程是x2＋y＝1，则实数m的值是( )

A．－2 B．－7

C．3 D．1

[答案] C

[解析] 由中点坐标公式，得线段MN的中点是(1＋m2，0)．又点(1＋m2，0)在线段MN的垂直平分线上，所以1＋m4＋0＝1，所以m＝3，选C．

3．某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李，行李费用y(元)与行李质量x(kg)的关系如图所示，则旅客最多可免费携带行李的重量为( )

A．20 kg B．25 kg

C．30 kg D．80 kg

[答案] C

[解析] 由图知点A(60,6)、B(80,10)，由直线方程的两点式，得直线AB的方程是y－610－6＝x－6080－60，即y＝15x－6.依题意，令y＝0，得x＝30，即旅客最多可免费携带30千克行李．

4．如右图所示，直线l的截距式方程是xa＋yb＝1，则有( )

A．a>0，b>0 B．a>0，b<0

C．a<0，b>0 D．a<0，b<0

[答案] B

[解析] 很明显M(a,0)、N(0，b)，由图知M在x轴正半轴上，N在y轴负半轴上，则a>0，b<0.

5．已知△ABC三顶点A(1,2)、B(3,6)、C(5,2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为( )

A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0

C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0

[答案] A

[解析] 点M的坐标为(2,4)，点N的坐标为(3,2)，由两点式方程得y－24－2＝x－32－3，即2x＋y－8＝0.

6．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为( )

A．－32 B．－23

C．25 D．2

[答案] A

[解析] 直线方程为y－91－9＝x－3－1－3，

化为截距式为x－32＋y3＝1，则在x轴上的截距为－32.

二、填空题

7．已知点P(－1,2m－1)在经过M(2，－1)、N(－3,4)两点的直线上，则m＝________

[答案] 32

[解析] 解法一：MN的直线方程为：y＋14＋1＝x－2－3－2，即x＋y－1＝0，

代入P(－1,2m－1)得m＝32.

解法二：M、N、P三点共线，

∴4－2m－1－3＋1＝4－－1－3－2，解得m＝32.

8．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________.

[答案] 3x＋2y－6＝0

[解析] 设直线方程为xa＋yb＝1，则 b＝3a＋b＝5，

解得a＝2，b＝3，则直线方程为x2＋y3＝1，

即3x＋2y－6＝0.

三、解答题

9．已知点A(－1,2)、B(3,4)，线段AB的中点为M，求过点M且平行于直线x4－y2＝1的直线l的方程.

[解析] 由题意得M(1,3)，直线x4－y2＝1的方程化为斜截式为y＝12x－2，其斜率为12，

所以直线l的斜率为12.

所以直线l的方程是y－3＝12(x－1)，即x－2y＋5＝0.

10．求分别满足下列条件的直线l的方程：

(1)斜率是34，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；

(2)经过两点A(1,0)、B(m,1)；

(3)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．

[解析](1)设直线l的方程为y＝34x＋b.

令y＝0，得x＝－43b，

∴12|b·(－43b)|＝6，b＝±3.

∴直线l的方程为y＝43x±3.

(2)当m≠1时，直线l的方程是

y－01－0＝x－1m－1，即y＝1m－1(x－1)

当m＝1时，直线l的方程是x＝1.

(3)设l在x轴、y轴上的截距分别为a、b.

当a≠0，b≠0时，l的方程为xa＋yb＝1；

∵直线过P(4，－3)，∴4a－3b＝1.

又∵|a|＝|b|，

∴ 4a－3b＝1a＝±b，解得 a＝1b＝1，或 a＝7b＝－7.

当a＝b＝0时，直线过原点且过(4，－3)，

∴l的方程为y＝－34x.

综上所述，直线l的方程为x＋y＝1或x7＋y－7＝1或y＝－34x.

一、选择题

1．如果直线l过(－1，－1)、(2,5)两点，点(1 008，b)在直线l上，那么b的值为( )

A．2 014 B．2 015

C．2 016 D．2 017

[答案] D

[解析] 根据三点共线，得5－－12－－1＝b－51 008－2，得b＝2 017.

2．两直线xm－yn＝1与xn－ym＝1的图象可能是图中的哪一个(

)

[答案] B

[解析] 直线xm－yn＝1化为

y＝nmx－n，直线xn－ym＝1化为

y＝mnx－m，故两直线的斜率同号，故选B．

3．已知A、B两点分别在两条互相垂直的直线y＝2x和x＋ay＝0上，且线段AB的中点为P(0，10a)，则直线AB的方程为( )

A．y＝－34x＋5 B．y＝34x－5

C．y＝34x＋5 D．y＝－34x－5

[答案] C

[解析] 依题意，a＝2，P(0,5)．设A(x0,2x0)、B(－2y0，y0)，则由中点坐标公式，得 x0－2y0＝02x0＋y0＝10，解得 x0＝4y0＝2，所以A(4,8)、B(－4,2)．由直线的两点式方程，得直线AB的方程是y－82－8＝x－4－4－4，即y＝34x＋5，选C．

4．过P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有( )

A．1条 B．2条

C．3条 D．4条

[答案] B

[解析] 解法一：设直线方程为y＋3＝k(x－4)(k≠0)．

令y＝0得x＝3＋4kk，令x＝0得y＝－4k－3.

由题意，3＋4kk＝－4k－3，解得k＝－34或k＝－1.

因而所求直线有两条，∴应选B．

解法二：当直线过原点时显然符合条件，当直线不过原点时，设直线在坐标轴上截距为(a,0)，(0，a)，a≠0，则直线方程为xa＋ya＝1，把点P(4，－3)的坐标代入方程得a＝1.

∴所求直线有两条，∴应选B．

二、填空题

5．直线l过点P(－1,2)，分别与x、y轴交于A、B两点，若P为线段AB的中点，则直线l的方程为________.

[答案] 2x－y＋4＝0

[解析] 设A(x,0)、B(0，y)．

由P(－1,2)为AB的中点，

∴ x＋02＝－10＋y2＝2，∴ x＝－2y＝4.

由截距式得l的方程为

x－2＋y4＝1，即2x－y＋4＝0.

6．已知A(3,0)、B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________.

[答案] 3

[解析] 直线AB的方程为x3＋y4＝1，

∴y＝4－4x3，

∴xy＝x(4－43x)

＝4x－43x2＝－43(x2－3x)

＝－43[(x－32)2－94]

＝－43(x－32)2＋3，

∴当x＝32时，xy取最大值3.

三、解答题

7．△ABC的三个顶点分别为A(0,4)、B(－2,6)、C(－8,0).

(1)分别求边AC和AB所在直线的方程；

(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程；

(3)求AC边的中垂线所在直线的方程；

(4)求AC边上的高所在直线的方程；

(5)求经过两边AB和AC的中点的直线方程．

[解析] (1)由A(0,4)，C(－8,0)可得直线AC的截距式方程为x－8＋y4＝1，即x－2y＋8＝0.

由A(0,4)，B(－2,6)可得直线AB的两点式方程为y－46－4＝x－0－2－0，即x＋y－4＝0.

(2)设AC边的中点为D(x，y)，由中点坐标公式可得x＝－4，y＝2，所以直线BD的两点式方程为y－62－6＝x＋2－4＋2，即2x－y＋10＝0.

(3)由直线AC的斜率为kAC＝4－00＋8＝12，故AC边的中垂线的斜率为k＝－2.又AC的中点D(－4,2)，

所以AC边的中垂线方程为y－2＝－2(x＋4)，

即2x＋y＋6＝0.

(4)AC边上的高线的斜率为－2，且过点B(－2,6)，所以其点斜式方程为y－6＝－2(x＋2)，即2x＋y－2＝0.

(5)AB的中点M(－1,5)，AC的中点D(－4,2)，

∴直线DM方程为y－25－2＝x－－4－1－－4，

即x－y＋6＝0.

8．已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在此抛物线上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标.

[解析] 容易求得抛物线与x轴的交点分别为(－3,0)、(1,0)不妨设A(－3,0)、B(1,0)，由已知，设M(a，b)、N(0，n)，

根据平行四边形两条对角线互相平分的性质，可得两条对角线的中点重合．

按A、B、M、N两两连接的线段分别作为平行四边形的对角线进行分类，有以下三种情况：

①若以AB为对角线，可得a＋0＝－3＋1，解得a＝－2；