高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程练习(含解析)新人教A版必修2
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第23课时 直线的两点式方程
对应学生用书P63
知识点一 直线的两点式方程
1．经过点A(2，5)，B(－3，6)的直线在x轴上的截距为( )
A．2 B．－3 C．－27 D．27
答案 D
解析 由两点式得直线方程为y－65－6＝x＋32＋3，即x＋5y－27＝0．令y＝0，得x＝27．
2．已知点P(3，m)在过点M(2，－1)和N(－3，4)的直线上，则m的值是(
)
A．5 B．2 C．－2 D．－6
答案 C
解析 由两点式方程，得
直线MN的方程为y－－4－－＝x－2－3－2，化简，得x＋y－1＝0．
又点P(3，m)在此直线上，代入得3＋m－1＝0，解得m＝－2．
知识点二 直线的截距式方程
3．在x轴，y轴上的截距分别为2，－3的直线方程为(
)
A．x2－y3＝1 B．x2＋y3＝1
C．y3－x2＝1 D．x2＋y3＝0
答案 A
解析 根据截距式方程xa＋yb＝1，(其中a，b分别为x轴和y轴上的截距)得所求直线方程为x2＋y－3＝1，即x2－y3＝1，选A．
4．过点(5，2)，且在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍的直线方程是( )
A．x6＋y12＝1 B．x6＋y12＝1或y＝25x
C．x－y2＝1 D．x－y2＝1或y＝25x
答案 B
解析 当直线过原点时满足题意，所求方程为y＝25x；当直线不过原点时，可设其截距式为xa＋y2a＝1，由该直线过点(5，2)，解得a＝6，对应的方程为x6＋y12＝1．故选B．
知识点三 直线方程的应用
5．菱形的两条对角线AC、BD的长分别等于8和6，并且分别位于x轴和y轴上，求菱形各边所在的直线方程．
解
由题意可知A(－4，0)，C(4，0)，B(0，－3)，D(0，3)，由截距式方程可知直线AB的方程为x－4＋y－3＝1，即3x＋4y＋12＝0．
同理可得直线BC的方程为3x－4y－12＝0，
直线CD的方程为3x＋4y－12＝0，
直线AD的方程为3x－4y＋12＝0．
6．已知线段BC的中点为D3，32．若线段BC所在直线在两坐标轴上的截距之和是9，求BC所在直线的方程．
解 由已知得直线BC的斜率存在且不为0．设直线BC在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b．
则直线BC的截距式方程为xa＋yb＝1．
由题意得a＋b＝9， ①
又点D3，32在直线BC上，
∴3a＋32b＝1，∴6b＋3a＝2ab， ②
由①②联立得2a2－21a＋54＝0， 即(2a－9)(a－6)＝0，解得a＝92或a＝6．
∴ a＝92，b＝92或 a＝6，b＝3.
故直线BC的方程为2x9＋2y9＝1或x6＋y3＝1，
即2x＋2y－9＝0或x＋2y－6＝0．
对应学生用书P64
一、选择题
1．有关直线方程的两点式，有如下说法：
①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程；
②直线方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1也可写成y－y2y1－y2＝x－x2x1－x2；
③过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线可以表示成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)．
其中正确说法的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 D
解析 ①正确，从两点式方程的形式看，只要x1≠x2，y1≠y2，就可以用两点式来求解直线的方程．②正确，方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1与y－y2y1－y2＝x－x2x1－x2的形式有异，但实质相同，均表示过点(x1，y1)和(x2，y2)的直线．③显然正确．
2．若直线xa＋yb＝1过第一、二、三象限，则( )
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
答案 C
解析 因为直线过第一、二、三象限，所以结合图形可知a＜0，b＞0． 3．一条光线从A－12，0处射到点B(0，1)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝－2x＋1
C．y＝12x－12 D．y＝－12x－12
答案 B
解析 由光的反射定律可得，点A－12，0关于y轴的对称点M12，0在反射光线所在的直线上．再由点B(0，1)也在反射光线所在的直线上，用两点式可求得反射光线所在的直线的方程为y－01－0＝x－120－12，即y＝－2x＋1．
4．过点P(2，3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程是( )
A．x－y＋1＝0
B．x－y＋1＝0或3x－2y＝0
C．x＋y－5＝0
D．x＋y－5＝0或3x－2y＝0
答案 B
解析 若直线l过原点，则方程为y＝32x，即3x－2y＝0；若直线l不过原点，则设直线方程为xa－ya＝1，将(2，3)代入方程，得a＝－1，故直线l的方程为x－y＋1＝0．所以直线l的方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0．
5．若直线过点(1，1)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
答案 C
解析 设直线的方程为xa＋yb＝1，∵直线经过点(1，1)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，∴1a＋1b＝1，12|ab|＝2，解得 a＝2，b＝2或 a＝－22－2，b＝22－2或 a＝22－2，b＝－22－2.∴满足条件的直线有3条．
二、填空题
6．直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P，Q两点，线段PQ的中点是(1，－1)，则l的斜率是________． 答案 －23
解析 设P(m，1)，由线段PQ的中点是(1，－1)，得Q(2－m，－3)，∴2－m－(－3)－7＝0，∴m＝－2，∴P(－2，1)，∴直线l的斜率k＝1－－－2－1＝－23．
7．已知直线l经过点A(－4，－2)，且点A是直线l被两坐标轴截得的线段中点，则直线l的方程为________．
答案 x＋2y＋8＝0
解析 设直线l与两坐标轴的交点为(a，0)，(0，b)，由题意知a＋02＝－4，b＋02＝－2，∴a＝－8，b＝－4．
∴直线l的方程为x－8＋y－4＝1，即x＋2y＋8＝0．
8．已知A(1，－2)，B(5，6)，经过线段AB的中点M，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．
答案 2x－3y＝0或x＋y－5＝0
解析 点A(1，－2)，B(5，6)的中点M的坐标为(3，2)．当直线过原点时，方程为y＝23x，即2x－3y＝0；当直线不过原点时，设直线的方程为x＋y＝m，把中点M的坐标(3，2)代入直线的方程，得m＝5，故所求直线的方程是x＋y－5＝0．综上，所求的直线方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0．
三、解答题
9．已知△ABC中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)．求：
(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程；
(2)BC边的中线所在直线的方程并化为截距式方程．
解 (1)平行于BC边的中位线就是AB、AC中点的连线．因为线段AB，AC中点坐标为72，1，－12，－2，
所以这条直线的方程为y＋21＋2＝x＋1272＋12，整理得，6x－8y－13＝0，化为截距式方程为x136＋y－138＝1．
(2)因为BC边上的中点为(2，3)，
所以BC边上的中线所在直线的方程为y＋43＋4＝x－12－1， 即7x－y－11＝0，化为截距式方程为x117＋y－11＝1．
10．已知直线l：xm＋y4－m＝1．
(1)若直线l的斜率等于2，求实数m的值；
(2)若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程．
解 (1)直线l过点(m，0)，(0，4－m)，
则k＝4－m－m＝2，则m＝－4．
(2)由m＞0，4－m＞0，得0＜m＜4，
则S＝－2＝－－2＋42，
易知当m＝2时，S有最大值2，
此时直线l的方程为x＋y－2＝0．
