【人教A版】高中数学必修二：第3章《直线与方程》导学案设计(含答案) 第三章 3.2.3

第1页 共11页 3.2.3 直线的一般式方程

[学习目标] 1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax＋By＋C＝0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化.

知识点 直线的一般式方程

1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式.

2.对于直线Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，其斜率为－AB，在y轴上的截距为－CB；当B＝0时，在x轴上的截距为－CA；当AB≠0时，在两轴上的截距分别为－CA，－CB.

3.直线一般式方程的结构特征

(1)方程是关于x，y的二元一次方程.

(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列.

(3)x的系数一般不为分数和负数.

(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.

思考 (1)当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0表示什么？

(2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗？

答 (1)当C＝0时，方程对任意的x，y都成立，故方程表示整个坐标平面；

当C≠0时，方程无解，方程不表示任何图象.

故方程Ax＋By＋C＝0，不一定代表直线，只有当A，B不同时为零时，即A2＋B2≠0时才代表直线.

(2)不是.当一般式方程中的B＝0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当C＝0时，直线过原点，不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为一般式.

题型一 直线的一般形式与其他形式的转化

例1 (1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( )

A.3x＋4y＋7＝0 B.4x＋3y＋7＝0

第2页 共11页 C.4x＋3y－42＝0 D.3x＋4y－42＝0

(2)直线3x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于( )

A.3 B.－5 C.95 D.－33

答案 (1)B (2)D

解析 (1)将一般式化为斜截式，斜率为－43的有：B、C两项.

又y＝－43x＋14过点(0,14)即直线过第一象限，

所以只有B项正确.

(2)令y＝0则x＝－33.

反思与感悟 1.一般式化为斜截式的步骤：

①移项得By＝－Ax－C；

②当B≠0时，得斜截式：y＝－ABx－CB.

2.一般式化为截距式的步骤：

方法一：

①把常数项移到方程右边，得Ax＋By＝－C；

②当C≠0时，方程两边同除以－C，得Ax－C＋By－C＝1；

③化为截距式：x－CA＋y－CB＝1.

方法二：

①令x＝0求直线在y轴上的截距b；

②令y＝0求直线在x轴上的截距a；

③代入截距式方程xa＋yb＝1.

由于直线方程的斜截式和截距式是惟一的，而两点式和点斜式不惟一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式.

跟踪训练1 一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程.

解 设所求直线方程为xa＋yb＝1，

∵点A(－2,2)在直线上，∴－2a＋2b＝1.①

又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1，

∴12|a|·|b|＝1.②

第3页 共11页 由①②可得 a－b＝1，ab＝2，或 a－b＝－1，ab＝－2.

解得 a＝2，b＝1，或 a＝－1，b＝－2.第二个方程组无解.

故所求直线方程为x2＋y1＝1或x－1＋y－2＝1，

即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0.

题型二 直线方程的应用

例2 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：

(1)过点(－1,3)，且与l平行；

(2)过点(－1,3)，且与l垂直.

解 方法一 l的方程可化为y＝－34x＋3，

∴l的斜率为－34.

(1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－34.

又∵l′过点(－1,3)，

由点斜式知方程为y－3＝－34(x＋1)，

即3x＋4y－9＝0.

(2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为43，又l′过点(－1,3)，

由点斜式可得方程为y－3＝43(x＋1)，

即4x－3y＋13＝0.

方法二 (1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－1,3)代入上式得m＝－9.

∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.

(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.

将(－1,3)代入上式得n＝13.

∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.

反思与感悟 一般地，直线Ax＋By＋C＝0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.这是经常采用的解题技巧.

跟踪训练2 a为何值时，直线(a－1)x－2y＋4＝0与x－ay－1＝0.

(1)平行；(2)垂直.

第4页 共11页 解 当a＝0或1时，两直线既不平行，也不垂直；

当a≠0且a≠1时，直线(a－1)x－2y＋4＝0的斜率为k1＝－1＋a2，b1＝2；

直线x－ay－1＝0的斜率为k2＝1a，b2＝－1a.

(1)当两直线平行时，由k1＝k2，b1≠b2，

得1a＝－1＋a2，a≠－12，

解得a＝－1或a＝2.

所以当a＝－1或2时，两直线平行.

(2)当两直线垂直时，由k1·k2＝－1，

即1a·－1＋a2＝－1，解得a＝13.

所以当a＝13时，两直线垂直.

题型三 由含参一般式方程求参数的值或取值范围

例3 (1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足______.

(2)当实数m为何值时，直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1.

①倾斜角为45°；②在x轴上的截距为1.

(1)答案 m≠－3

解析 若方程不能表示直线，则m2＋5m＋6＝0且m2＋3m＝0.

解方程组 m2＋5m＋6＝0，m2＋3m＝0，得m＝－3，

所以m≠－3时，方程表示一条直线.

(2)解 ①因为已知直线的倾斜角为45°，

所以此直线的斜率是1，

所以－2m2＋m－3m2－m＝1，

所以 m2－m≠0，2m2＋m－3＝－m2－m，

解得 m≠0且m≠1，m＝－1或m＝1.所以m＝－1.

②因为已知直线在x轴上的截距为1，

令y＝0得x＝4m－12m2＋m－3，

所以4m－12m2＋m－3＝1，

第5页 共11页 所以 2m2＋m－3≠0，4m－1＝2m2＋m－3，

解得 m≠1且m≠－32，m＝－12或m＝2.

所以m＝－12或m＝2.

反思与感悟 已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤

跟踪训练3 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.

(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；

(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围.

(1)证明 直线方程变形为y－35＝ax－15，

它表示经过点A15，35，斜率为a的直线.

∵点A15，35在第一象限，

∴直线l必过第一象限.

(2)解 如图所示，直线OA的斜率k＝35－015－0＝3.

∵直线不过第二象限，

∴直线的斜率a≥3.

∴a的取值范围为[3，＋∞).

一般式求斜率考虑不全致误

例4 设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y－(2m－6)＝0，若此直线的斜率为1，

第6页 共11页 试确定实数m的值.

分析 由直线方程的一般式，可转化为斜截式，利用斜率为1，建立方程求解，但要注意分母不为0.

解 由题意，得 －m2－2m－32m2＋m－1＝1，①2m2＋m－1≠0. ②

由①，得m＝－1或m＝43.

当m＝－1时，②式不成立，不符合题意，故应舍去；

当m＝43时，②式成立，符合题意.

故m＝43.

解后反思 本题易出现的错误是在由一般式转化为斜截式后，直接得到①式，而忽略了②式.因为本例中斜率已存在且为1，故①式应有意义，所以分母应不为0.

1.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为( )

A.A≠0 B.B≠0

C.A·B≠0 D.A2＋B2≠0

答案 D

解析 方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A、B不能同时为0，即A2＋B2≠0.

2.已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过( )

A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限

C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限

答案 C

解析 由ax＋by＝c，得y＝－abx＋cb，

∵ab<0，∴直线的斜率k＝－ab>0，

直线在y轴上的截距cb<0.

由此可知直线通过第一、三、四象限.

3.过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )

A.x－2y－1＝0 B.x－2y＋1＝0

C.2x＋y－2＝0 D.x＋2y－1＝0

第7页 共11页 答案 A

解析 由题意，得所求直线斜率为12，且过点(1,0).故所求直线方程为y＝12(x－1)，即x－2y－1＝0.

4.若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m等于( )

A.－1 B.1 C.12 D.－12

答案 B

解析 由两直线垂直，得12×－2m＝－1，解得m＝1.

5.已知两条直线y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，则a＝________.

答案 －3或1

解析 两条直线y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，所以a3＝1a＋2≠－21，解得a＝－3或a＝1.

1.根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法

(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k1＝k2且b1≠b2；若都不存在，则还要判定不重合.

(2)可直接采用如下方法：

一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0，或A1C2－A2C1≠0.

这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性.

2.根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法

(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k1k2＝－1.

(2)一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.

第二种方法可避免讨论，减小失误.

一、选择题

1.直线x＋y－3＝0的倾斜角的大小是( )

A.45° B.135° C.1 D.－1

答案 B

解析 直线x＋y－3＝0，即y＝－x＋3，它的斜率等于－1，故它的倾斜角为135°，故选B.