高三数学一元二次不等式试题答案及解析

高三数学一元二次不等式试题答案及解析

1. 不等式≤x－2的解集是( )

A．(－∞，0]∪(2,4] B．[0,2)∪[4，＋∞)

C．[2,4) D．(－∞，2]∪(4，＋∞)

【答案】B

【解析】①当x－2>0，即x>2时，不等式可化为(x－2)2≥4，∴x≥4；②当x－2<0，即x<2时，不等式可化为(x－2)2≤4，∴0≤x<2.

2. 已知a∈[－1,1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为( )

A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞)

C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1,3)

【答案】C

【解析】把原不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则f(a)>0对于任意的a∈[－1,1]恒成立，易知只需f(－1)＝x2－5x＋6>0 ①，且f(1)＝x2－3x＋2>0 ②即可，联立①②解得x<1或x>3.故选C.

3. 若不等式ax2＋bx＋2>0的解集为－

【答案】(－2,3)

【解析】由题意，知－和是一元二次方程ax2＋bx＋2＝0的两根且a<0，

所以，解得.

则不等式2x2＋bx＋a<0即2x2－2x－12<0，其解集为{x|－2

4. [2014·皖南八校联考]不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )

A．[－1,4]

B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)

C．(－∞，－1]∪[4，＋∞)

D．[－2,5]

【答案】A

【解析】x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4，故选A.

5. 已知f(x)＝，则不等式x＋xf(x)≤2的解集是________．

【答案】(－∞，1]

【解析】(1)当x≥0时，

原不等式可化为x2＋x－2≤0，

解得－2≤x≤1，即0≤x≤1；

(2)当x<0时，原不等式可化为x2－x＋2≥0， 得≥0恒成立，即x<0．

综合(1)(2)知x≤1，

所以解集为(－∞，1]．

6. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由题设得，且，所以不等式可变为，解这得. 【考点】一元二次不等式的解法.

7.

若不等式对满足的所有都成立，则x的取值范围是( )

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】不等式化为：，令，则时，恒成立

所以只需即，

所以x的范围是，选D.

8. 不等式3x2－x－4≤0的解集是__________.

【答案】

【解析】由3x2－x－4≤0，得(3x－4)(x＋1)≤0，解得－1≤x≤.

9. 关于x的不等式x2－ax－20a2<0任意两个解的差不超过9，则a的最大值与最小值的和是________．

【解析】方程x2－ax－20a2＝0的两根是x1＝－4a，x2＝5a，则由关于x的不等式x2－ax－20a2<0任意两个解的差不超过9，得|x1－x2|＝|9a|≤9，即－1≤a≤1，且a≠0，故填0.

10. 关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a=( )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意知x1,x2是方程x2-2ax-8a2=0的两根,所以x1+x2=2a,x1x2=-8a2,则(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=4a2+32a2=36a2,又x2-x1=15,可得36a2=152,又a>0,则a=.故选A.

11. 不等式2x2-x-1>0的解集是( )

A．（-,1）

B．(1,+∞)

C．(-∞,1)∪(2,+∞)

D．（-∞,-）∪(1,+∞)

【答案】D

【解析】由2x2-x-1>0得

(2x+1)(x-1)>0,解得x>1或x<-,

∴2x2-x-1>0的解集为(-∞,- )∪(1,+∞).

故选D.

12. 关于的不等式的解集为

． 【答案】； 【解析】由得（x-6）（x+1），解得. 【考点】一元二次不等式的解法. 13. 若命题“”是真命题，则实数的取值范围是 。 【答案】． 【解析】当时，显然成立；当时，要使，必须，解得．综上所述，．

【考点】1．全称命题真假的判断；2．一元二次不等式恒成立参数取值范围问题．

14. 若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为 ．

【答案】．

【解析】根据正难则反原则，先考虑“关于的不等式在区间上恒成立”在区间上为减函数，原题的解为．

【考点】1．含参数的一元二次不等式的解法；2．含参数不等式中的参数取值范围问题；3．补集思想．

15. （本小题12分）已知全集U=R，非空集合＜，＜.

（1）当时，求；

（2）命题，命题，若q是p的必要条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）{x︱ }；（2） 或

【解析】（1）首先接触集合A，B，然后求出,最后计算即可；（2）若，则,可得，解之即可.

试题解析：（1）A={x︱ },当时，B={x︱ },所以={x︱ }。 ={x︱ }；

（2）由若q是p的必要条件，则，而，B={x︱ },所以，解得 或.

【考点】1.分式或一元二次不等式；2.集合的运算；3.命题真假的判断.

16. 若不等式的解集为，则实数 ． 【答案】 【解析】根据题意，由于不等式的解集为，那么说明x=1,x=m是二次方程的根，且有韦达定理可知， ，故可知a=-2,那么可知实数，故答案为。 【考点】一元二次不等式的解集 点评：主要是考查了一元二次不等式的解集的充要条件的运用，属于基础题。 17. 不等式的解集为（

）

A B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据已知条件可知，不等式,故结合根的大小和开口方向可知解集为，选D.

【考点】一元二次不等式

点评：一元二次不等式的求解，主要是看开口方向以及判别式，结合根的大小来的得到结论，属于基础题。

18. 若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（ ）

A． B． C．(1,+∞) D．

【答案】A

【解析】根据题意，由于关于的不等式在区间上有解，则可知，由于函数y=在定义域内是增函数，故可知有解的话只要a大于函数的最小值即可，即，故可知a的范围是，故选A.

【考点】不等式

点评：对于一元二次不等式的给定区间上有解问题，可以分离参数法得到，这是一种常用的转化角度，基础题。

19. 已知上恒成立，则实数a的取值范围是 .

【答案】[-1,0]

【解析】当时恒成立，；当时转化为的最小值为0；当时，转化为的最大值为

，综上可得

【考点】不等式恒成立与函数最值的转化

点评：在求解不等式恒成立中参数范围问题时，常首先转为出参数，而后求解函数的最值得到参数范围，本题亦可采用数形结合法，作出函数的图像与函数图像，使两图像满足时函数的图像在函数图像的上方，从而求出的范围，本题难度较大

20. 若函数定义域为R，则的取值范围是________．

【答案】[－1,0]

【解析】因为函数定义域为R，则，利用二次不等式的判别式可知，的取值范围是[－1,0]

21. (本小题满分12分)已知函数满足, 且对于任意,恒有成立.(1)求实数的值;

(2)解不等式.

【答案】(1), ． (2) ．

【解析】（1）由f（-1）=-2，代入函数解析式得到关于lga与lgb的等式记作①，化简后得到关于a与b的等式记作②，又因为f（x）≥2x恒成立，把f（x）的解析式代入后，令△≤0得到关于lga与lgb的不等式，把①代入后得到关于lgb的不等式，根据平方大于等于0，即可求出b的值，把b的值代入②即可求出a的值；

（2）由（1）求出的a与b的值代入f（x）的解析式中即可确定出f（x）的解析式，然后把f（x）的解析式代入到f（x）＜x+5中，得到关于x的一元二次不等式，求出一元二次不等式的解集即可．

解：(1)由知 ∴

又恒成立, 所以恒成立,

故． 将代入得:, 即即．故, 所以．

(2) 因为 所以 即

∴所以, ∴不等式的解集为．

22. ．已知，则的解集用区间表示为 【答案】 【解析】解：因为，则利用图像可知函数在给定区间上单调性，那么要是，则实数a满足 23. 当时，恒成立，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】,因为x=0时成立； 时，在上恒成立,因为函数在上单调递增， 因此.因为函数在上单调递减, 因此,因此，所求的 a 的取值范围是： 24. 已知，则不等式的解集是_________. 【答案】 【解析】不等式等价于：或，解得或，即。所以，不等式的解集是

25. ．若不等式的解集为，则实数的取值范围是 【答案】 【解析】设（1）时，不等式为取适合的值，满足解集为（-1,3）；（2）时，根据条件应有，即 所以，解得（3）时，根据条件应有 ，即所以，解得 综上： 26. 设关于x的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为 【答案】-10 【解析】记 当时，，此时有无数个整数解，不符合； 当时，的图象为抛物线。要使得有有限个整数解，则抛物线开口向下，即。因为0是不等式的其中一个解，所以代入可得，解得，则。因为，所以或

当时，不等式等价于即，解得。此时不等式的整数解为-4，-3，-2，-1,0

当时，不等式等价于，解得。此时不等式的整数解为-3，-2，-1,0，1,2,3

综上可得，全部不等式的整数解得和为-10

27. （本题满分12分）

已知函数为常数），且方程有两实根3和4

（1）求函数的解析式； （2）设，解关于的不等式：

【答案】解：（1）即方程有两根3和4，

所以 得

所以

（2）即整理的

1.时，不等式的解集

2.时，不等式的解集

3.时，不等式的解集

【解析】略

28. 关于的不等式在区间上有解，求的取值范围.

【答案】解：设则