高三数学一元二次不等式试题答案及解析

高三数学一元二次不等式试题答案及解析

1. 函数的零点个数是 ． 【答案】． 【解析】当时，令，即，∴（舍）或， 当时，，显然在上单调递增，又∵，，

故在上存在唯一零点，即在存在唯一零点，∴共有个零点．

【考点】根的存在性及根的个数判断．

2. 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m

(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)>0的解集；

(2)若a>0，且0

【答案】（1）当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1或x>2}；当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－1

（2）f(x)

【解析】解：(1)由题意知，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)(x－n)，

当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)>0，

即a(x＋1)(x－2)>0.

当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1或x>2}；当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－1

(2)f(x)－m＝F(x)＋x－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，

∵a>0，且0

∴x－m<0,1－an＋ax>0.

∴f(x)－m<0，即f(x)

3. 在R上定义运算“*”：x*y＝x(1－y)．若不等式(x－y)*(x＋y)<1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是( )

A．(－，) B．(－，)

C．(－1,1) D．(0,2)

【答案】A

【解析】由题意知，(x－y)*(x＋y)＝(x－y)·[1－(x＋y)]<1对一切实数x恒成立，∴－x2＋x＋y2－y－1<0对于x∈R恒成立，∴Δ＝12－4×(－1)×(y2－y－1)<0，∴4y2－4y－3<0，解得－

4. 已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(1，t)，记函数f(x)＝ax2＋(a－b)x－c.

(1)求证：函数y＝f(x)必有两个不同的零点；

(2)若函数y＝f(x)的两个零点分别为m，n，求|m－n|的取值范围；

(3)是否存在这样的实数a，b，c及t使得函数y＝f(x)在[－2,1]上的值域为[－6,12]？若存在，求出t的值及函数y＝f(x)的解析式；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）见解析 （2）(，＋∞) （3）f(x)＝－2x2－8x＋4.

【解析】解：(1)证明：由题意知a＋b＋c＝0，且－>1，a<0且>1，

∴ac>0， ∴对于函数f(x)＝ax2＋(a－b)x－c有Δ＝(a－b)2＋4ac>0，

∴函数y＝f(x)必有两个不同零点． (2)|m－n|2＝(m＋n)2－4mn＝＝＝()2＋8＋4，

由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(1，t)可知，

方程ax2＋bx＋c＝0的两个解分别为1和t(t>1)，

由根与系数的关系知＝t，

∴|m－n|2＝t2＋8t＋4，t∈(1，＋∞)．

∴|m－n|>，∴|m－n|的取值范围为(，＋∞)．

(3)假设存在满足题意的实数a，b，c及t，

∵f(x)＝ax2＋(a－b)x－c＝a[x2＋(1－)x－]

＝a[x2＋(1＋)x－]

＝a[x2＋(2＋t)x－t](t>1)，

∴f(x)的对称轴为x＝－1－<－.

∴f(x)在[－2,1]上的最小值为f(1)＝3a＝－6，则a＝－2.

要使函数y＝f(x)在[－2,1]上的值域为[－6,12]，

只要f(x)max＝12即可．

①若－1－≤－2，即t≥2，f(x)max＝f(－2)＝12，则有6t＝12，

∴t＝2.

此时，a＝－2，b＝6，c＝－4，t＝2，∴f(x)＝－2x2－8x＋4.

②若－1－>－2，∴1

∴t＝2或t＝－10，舍去．

综上所述，当a＝－2，b＝6，c＝－4，t＝2时，函数y＝f(x)在[－2,1]上的值域为[－6,12]，此时函数的解析式为f(x)＝－2x2－8x＋4.

5. 若不等式的解集是R，则m的范围是( )

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。

（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；

（2）时，只需，所以，，选A.

6. 不等式的解集为 . 【答案】. 【解析】由题意可知不等式的解集为.

【考点】一元二次不等式的解法

7. 不等式3x2－x－4≤0的解集是__________.

【答案】

【解析】由3x2－x－4≤0，得(3x－4)(x＋1)≤0，解得－1≤x≤.

8. 已知不等式x2－2x＋k2－3>0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围是________．

【答案】k>2或k<－2

【解析】由Δ＝4－4(k2－3)<0，知k>2或k<－2.

9. 已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集是B，不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＋b＝________．

【答案】－3

【解析】由题意：A＝{x|－1

10. 关于x的不等式x2－ax－20a2<0任意两个解的差不超过9，则a的最大值与最小值的和是________．

【解析】方程x2－ax－20a2＝0的两根是x1＝－4a，x2＝5a，则由关于x的不等式x2－ax－20a2<0任意两个解的差不超过9，得|x1－x2|＝|9a|≤9，即－1≤a≤1，且a≠0，故填0.

11. 若“存在实数x,使不等式(m+1)x2-(m+1)x+1≤0成立”是假命题,则实数m的取值范围

.

【答案】[-1,3)

【解析】原命题等价于:

对任意x∈R,不等式(m+1)x2-(m+1)x+1>0成立为真命题.

显然m+1=0,即m=-1时成立,

当m+1≠0时,

解得-1

∴-1≤m<3.

12. “00的解集是实数集R”的( )

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当a＝0时，1>0，显然成立；当a≠0时，故ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R等价于0≤a<1.因此，“00的解集是实数集R”的充分而不必要条件．

13. 不等式x2＋x－2<0的解集为________．

【答案】{x|－2

【解析】由x2＋x－2<0得－2

14. 已知集合则集合＝____________．

【答案】

【解析】本题两个集合都是不等式的解集，集合是一元二次不等式的解集，集合是绝对值不等式的解集，不等式，解为，不等式或，即或，故．

【考点】解一元二次不等式和绝对值不等式．

15. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为 （ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由已知得且2，4为一元二次方程两根，由韦达定理得①，②．①除以②，得由②得注意到不等式

或．故选D．

【考点】一元二次不等式的解法．

16. 已知命题P：函数f(x)=lg(x2－4x+a2)的定义域为R，命题Q： ，不等式a2－5a-3≥恒成立，若命题“P或Q”为真命题，且“P且Q”为假命题，求实数a的范围。

【答案】

【解析】根据若命题“P或Q”为真命题，且“P且Q”为假命题知道P和Q一真一假，分两种情况进行讨论：P真Q假和P假Q真，再根据二次函数的恒成立问题的解法和不等式的恒成立问题的解法解题，要把每种情况都讨论清楚，不要遗漏知识点.

试题解析：若命题“P或Q”为真命题，且“P且Q”为假命题，则有P和Q一真一假, .2分

先求出P,Q都为真时a的取值：

当P为真时，即对任意的，都有恒成立,

则，解得, 4分

当Q为真时，在区间上的最大值是3,

则有恒成立，解得, 6分

由上知当P,Q一真一假时有：

P真Q假 P假Q真, 10分

解得. ...12分

【考点】二次函数的图形和性质的应用，二次函数的恒成立问题.

17. 由命题“存在，使”是假命题，求得的取值范围是，则实数的值是__________． 【答案】1 【解析】∵“存在，使”是假命题，∴“任意，使”是真命题，∴，解得，故的值是1． 【考点】一元二次不等式的解法． 18. 已知不等式，若对任意且，该不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】． 【解析】由题意可知：不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，

即：a≥-2()2，对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，

令 t=，则1≤t≤3，∴a≥t-2t2在[1，3]上恒成立，

∵y=-2t2+t=-2(t-)2+

∴ymax=-1，

∴a≥-1。

【考点】主要主要考查函数恒成立问题，分离参数法的应用，二次函数在闭区间上的值域。

点评：中档题，本题综合性较强。一般的，函数恒成立问题，往往要转化成求函数的最值问题。分离参数法是处理此类问题的常用方法。

19. 若不等式对于一切恒成立，则的取值范围是___________

【答案】