(必考题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》检测(含答案解析)(4)

一、选择题

1．如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PAAB，E为AP的中点，则异面直线PC与DE所成的角的正弦值为（ ）．

A．25

B．55 C．155 D．105

2．如图，在RtABC△中，1AC，BCx，D是斜边AB的中点，将BCD△沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CBAD，则x的取值范围是（ ）

A．0,3 B．2,22 C．3,23 D．2,4

3．如图，在长方体1111ABCDABCD中，1ABAD，12AA，M为棱1DD上的一点．当1AMMC取得最小值时，1BM的长为（ ）

A．3 B．6 C．23 D．26

4．如图，在正四棱锥PABCD中，设直线PB与直线DC、平面ABCD所成的角分别为、，二面角PCDB的大小为，则（ ）

A．, B．,

C．, D．,

5．正方体1111ABCDABCD的棱长为2，E是1CC的中点，则点1C到平面EBD的距离为（ ）

A．34 B．63

C．52 D．223

6．已知点A，B，C在半径为5的球面上，且214ABAC，27BC，P为球面上的动点，则三棱锥PABC体积的最大值为（ ）

A．5673 B．5273 C．4973 D．1473

7．已知E，F是四面体的棱AB，CD的中点，过EF的平面与棱AD，BC分别相交于G，H，则（ ）

A．GH平分EF，BHAGHCGD B．EF平分GH，BHGDHCAG

C．EF平分GH，BHAGHCGD D．GH平分EF，BHGDHCAG

8．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形.其中3AB，2AD，PAD△是以A为直角的等腰直角三角形，若60PAB，则异面直线PC与AD所成角的余弦值是（ ）

A．2211 B．2211 C．277 D．21111

9．已知球O的半径为5，球面上有,,ABC三点，满足214,27ABACBC，则三棱锥OABC的体积为（ ） A．77 B．142 C．714 D．147

10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是AB，BC的中点，将ADE，EBF△，FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A，B，C三点重合于点A，若点G及四面体ADEF的四个顶点都在同一个球面上，则以FDE为底面的三棱锥G-DEF的高h的最大值为（ ）

A．263 B．463 C．4263 D．2263

11．某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的体积为（ ）

A．16 B．13 C．23 D．2

12．已知三棱锥DABC，记二面角CABD的平面角是，直线DA与平面ABC所成的角是1，直线DA与BC所成的角是2，则（ ）

A．1 B．1 C．2 D．2

二、填空题

13．已知某空心圆锥的母线长为5cm，高为4cm，记该圆锥内半径最大的球为球O，则球O与圆锥侧面的交线的长为________cm.

14．已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰三角形，则该几何体的外接球表面积为_________.

15．已知一个圆锥内接于球O（圆锥的底面圆周及顶点均在同一球面上），圆锥的高是底面半径的3倍，圆锥的侧面积为910，则球O的表面积为________．

16．已知长方体1234ABCDABCD，底面是边长为4的正方形，高为2，点O是底面ABCD的中心，点P在以O为球心，半径为1的球面上，设二面角111PABC的平面角为，则tan的取值范围是________.

17．如图，在正方体1111ABCDABCD中，E，F，G分别是棱11AB，1BB，11BC的中点，则下列结论中：

①FGBD； ②1BD面EFG；

③面//EFG面11ACCA； ④//EF面11CDDC．

正确结论的序号是________.

18．在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，P是11AB的中点，过点1A作与平面1PBC平行的截面，则此截面的面积是_______________．

19．祖恒是我国南北朝时代的伟大科学家，他总结了刘徽的有关工作，提出来体积计算的原理“幂势既同，则积不容异”，称为祖恒原理，意思是底面处于同一平面上的两个同高的几何体，若在等高处 的截面面积始终相等，则它们的体积相等，利用这个原理求半球O的体积时，需要构造一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_________________

20．在正方体1111ABCDABCD中，P为线段1AB上的任意一点，有下面三个命题：①//PB平面11CCDD；②1BDAC；③1BDPC．上述命题中正确命题的序号为__________（写出所有正确命题的序号）．

三、解答题

21．如图（1）在ABC中，ACBC，D､E､F分别是AB､AC､BC边的中点，现将ACD△沿CD翻折，使得平面ACD平面BCD.如图（2）

（1）求证：//AB平面DEF；

（2）求证：BDAC. 22．如图，该多面体由底面为正方形ABCD的直四棱柱被截面AEFG所截而成，其中正方形ABCD的边长为4，H是线段EF上（不含端点）的动点，36FCEB．

（1）证明：//GH平面ABCD；

（2）求H到平面AEC的距离．

23．如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点.

（1）证明：BC面PAC；

（2）若PA=AC=1，AB=2，求直线PB与平面PAC所成角的正切值.

24．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，∠ADP=90°，PD=AD，∠PDC=60°，E为PD中点.

（1）求证：PB//平面ACE：

（2）求四棱锥EABCD的体积.

25．如图，已知三棱锥PABC﹐PCAB，ABC是边长为23的正三角形，43PB﹐60PBC，点F为线段AP的中点．

（1）证明：PC平面ABC；

（2）求直线BF与平面PAC所成角的大小．

26．如图，在直角梯形ABED中，//BEAD，DEAD，BCAD，4AB，23BE.将矩形BEDC沿BC翻折，使得平面ABC平面BCDE.

（1）若BCBE，证明：平面ABD平面ACE；

（2）当三棱锥ABCE的体积最大时，求平面ADE与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.

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一、选择题

1．D

解析：D

【分析】

先取正方形的中心O，连接OE，由PC//OE知OED为异面直线PC与DE所成的角，再在OED中求OED的正弦即可.

【详解】

连AC，BD相交于点O，连OE、BE，

因为E为AP的中点，O为AC的中点，有PC//OE，可得OED为异面直线PC与DE所成的角，不妨设正方形中，2AB，则2PA，

由PA平面ABCD，可得,PAABPAAD，

则145BEDE，1122222ODBD，

因为BEDE，O为BD的中点，所以90EOD，210sin55ODOEDDE．

故选：D.

【点睛】

方法点睛：

求空间角的常用方法：

（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；

（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.

2．A

解析：A

【分析】

取BC中点E，连接DE，AE，若CBAD，则可证明出BC⊥平面ADE，则可得BCAE. 根据题目中各边长的关系可得出AE，AD关于x的表达式，然后在ADE中，利用三边关系求解即可.

【详解】

由题意得BCx，则212xADCDBD，如图所示，取BC中点E，

翻折前，在图1中，连接DE，CD，则1122DEAC，

翻折后，在图2中，若CBAD，则有：

∵BCDE，BCAD，ADDED，且,ADDE平面ADE，

∴BC⊥平面ADE，∴BCAE，

又BCAE，E为BC中点，∴1ABAC

∴2114AEx，212xAD，

在ADE中，由三边关系得：①221111224xx，②221111224xx，③0x；

由①②③可得03x．

故选：A.

【点睛】

本题考查折叠性问题，考查线面垂直的判定及性质在解题中的运用,解答本题的主要思路分析在于将异面直线间的垂直转化为线面垂直关系，即作出辅助线DE与AE，根据题目条件确定出BC⊥平面ADE，得到BCAE，从而通过几何条件求解.

3．A

解析：A

【分析】

本题首先可通过将侧面11CDDC绕1DD逆时针转90展开得出当1A、M、2C共线时1AMMC取得最小值，此时M为1DD的中点，然后根据11BA平面11ADDA得出111BAAM，最后根据221111MABBAM即可得出结果.

【详解】

如图，将侧面11CDDC绕1DD逆时针转90展开，与侧面11ADDA共面，

连接12AC，易知当1A、M、2C共线时，1AMMC取得最小值，

因为1ABAD，12AA，所以M为1DD的中点，12AM，

因为11BA平面11ADDA，1AM平面11ADDA，所以111BAAM，

则222211111(2)3MBAAMB，

故选：A.

【点睛】

关键点点睛：本题考查根据线面垂直判断线线垂直，能否根据题意得出当M为1DD的中点时1AMMC取得最小值是解决本题的关键，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题.

4．A

解析：A

【分析】

连接AC、BD交于O，连PO，取CD的中点E，连,OEPE，根据正棱锥的性质可知，PCE，PCO，PEO，再比较三个角的正弦值可得结果.

【详解】

连接AC、BD交于O，连PO，取CD的中点E，连,OEPE，如图：

因为//ABCD，所以PBA，又因为四棱锥PABCD为正四棱锥，所以PCE，

由正四棱锥的性质可知，PO平面ABCD，所以PCO，