(典型题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试卷(答案解析)
- 格式：doc
- 大小：3.87 MB
- 文档页数：34
一、选择题
1．已知平面,，直线l，记l与,所成的角分别为1，2，若，则（ ）
A．12sinsin1 B．12sinsin1 C．122
D．122
2．已知正三棱柱111ABCABC，底面正三角形ABC的边长为2，侧棱1AA长为2，则点1B到平面1ABC的距离为（ ）
A．2217 B．22121 C．477 D．4721
3．现有一个三棱锥形状的工艺品PABC，点P在底面ABC的投影为Q，满足12QABQACQBCPABPACPBCSSSSSS△△△△△△，22222213QAQBQCABBCCA，93ABCS，若要将此工艺品放入一个球形容器（不计此球形容器的厚度）中，则该球形容器的表面积的最小值为（ ）
A．42
B．44 C．48 D．49
4．如图，四棱柱ABCDABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱AA底面ABCD，32AB， 6AA，以D为圆心，DC为半径在侧面BCCB上画弧，当半径的端点完整地划过CE时，半径扫过的轨迹形成的曲面面积为（ ）
A．964 B．934 C．962 D．932
5．在三棱柱111ABCABC中，90BAC，1BCAC，且12ACBC，则直线11BC与平面1ABC所成的角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．在长方体1111ABCDABCD中，12,3ABBCAA，E是BC的中点，则直线1ED与直线BD所成角的余弦值是（ ）
A．728 B．728 C．3714 D．3714
7．已知点A，B，C在半径为5的球面上，且214ABAC，27BC，P为球面上的动点，则三棱锥PABC体积的最大值为（ ）
A．5673 B．5273 C．4973 D．1473
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．16
9．如图正三棱柱111ABCABC的所有棱长均相等，O是1AA中点，P是ABC所在平面内的一个动点且满足//OP平面11ABC，则直线OP与平面ABC所成角正弦值的最大值为（ ）
A．22 B．255 C．32 D．277
10．下图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（ ）
A．64 B．48 C．32 D．16
11．如图，在矩形ABCD中，1AB，3BC，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥ABCD正视图和俯视图如图，则三棱锥ABCD中AC长为（ ）
A．32 B．3 C．102 D．2
12．某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的体积为（ ）
A．16 B．13 C．23 D．2
二、填空题 13．圆锥底面半径为1，母线长为4，轴截面为PAB，如图，从A点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到A点，则最短绳长为_________．
14．如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAD△为等边三角形，四边形ABCD为矩形，24ABAD，则四棱锥PABCD的外接球的表面积为________．
15．已知某空心圆锥的母线长为5cm，高为4cm，记该圆锥内半径最大的球为球O，则球O与圆锥侧面的交线的长为________cm.
16．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的体积为____________.
17．如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABBC，2PAAB，22AC，M是BC的中点，则过点M的平面截三棱锥PABC的外接球所得截面的面积最小值为___
18．在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，P是11AB的中点，过点1A作与平面1PBC平行的截面，则此截面的面积是_______________．
19．在三棱锥PABC中，P在底面ABC的射影为ABC的重心，点M为棱PA的中点，记二面角PBCM的平面角为，则tan的最大值为___________.
20．如图，已知正四面体DABC，P为线段AB上的动点（端点除外），则二面角DPCB的平面角的余弦值的取值范围是___________．
三、解答题
21．如图，在四棱锥PABCD中，PAB△是等边三角形，CB平面,//PABADBC且22PBBCADF，为PC中点．
（1）求证：//DF平面PAB；
（2）求直线AB与平面PDC所成角的正弦值．
22．正四棱台两底面边长分别为3和9，若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45，求棱台的侧面积．
23．如图所示，已知在三棱锥ABPC中，,APPCACBC，M为AB的中点，D为PB的中点，且PMB△为正三角形．
（Ⅰ）求证：//DM平面APC；
（Ⅱ）求证：平面ABC平面APC；
（Ⅲ）若4,20BCAB，求三棱锥DBCM的体积．
24．如图，四棱锥PABCD，底面ABCD为矩形，PD面ABCD，E、F分别为PA、BC的中点．
（1）求证：//EF面PCD； （2）若2AB，1ADPD，求三棱锥PBEF的体积．
25．如图所示，在长方体1111ABCDABCD中，11,2ADAAAB，点E是AB的中点.
（1）证明：1//BD平面1ADE；
（2）证明：11DEAD；
（3）求二面角1DECD的正切值.
26．如图，在平面四边形AABC中，90CABCAA，M在直线AC上，AAAC，ABAMMC，AAC绕AC旋转．
（1）若AAC所在平面与ABC所在平面垂直，求证：AC平面AAB．
（2）若二面角AACB大小为60，求直线AB与平面ABM所成角的正弦值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
如图，作出1和2，再由线面角推得12sinsin2，利用三角函数的单调性判断选项. 【详解】
设直线l为直线AB，m，ADm，BCm，连结BD，AC，1ABD，2BAC，
12sinsin2ADACABAB，12,2都是锐角，
122，即122
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是作图，并利用线段ADAC≤，传递不等式，12sinsin2ADACABAB.
2．A
解析：A
【分析】
根据题意，将点1B到平面1ABC的距离转化为点A到平面1ABC的距离，然后再利用等体积法11AABCAABCVV代入求解点A到平面1ABC的距离.
【详解】
已知正三棱柱111ABCABC，底面正三角形ABC的边长为2，侧棱1AA长为2，所以可得1122ABAC，1ABC为等腰三角形，所以1ABC的高为7，由对称性可知，111BABCAABCVV，所以点1B到平面1ABC的距离等于点A到平面1ABC的距离，所以11AABCAABCVV，又因为112772ABCS△，12332ABCS，所以111233ABCABCShS△△，即2322177h.
故选：A.
【点睛】
一般关于点到面的距离的计算，一是可以考虑通过空间向量的方法，写出点的坐标，计算平面的法向量，然后代入数量积的夹角公式计算即可，二是可以通过等体积法，通过换底换高代入利用体积相等计算.
3．D
解析：D
【分析】
作QMAB，连接PM，易证ABPM，由112122QABPABABQMSSABPM△△,得到2PMQM，再根据12QABQACQBCPABPACPBCSSSSSS△△△△△△，由对称性得到ABBCAC，然后根据22222213QAQBQCABBCCA，93ABCS，求得6,23ABAQ，在AOQ△中，由222AOOQAQ求解半径即可.
【详解】
如图所示：
作QMAB与M，连接PM，
因为PQ平面ABC，
所以PQAB，又QMPQQ，
所以AB平面PQM，
所以ABPM，
所以112122QABPABABQMSSABPM△△,
2PMQM,
因为12QABQACQBCPABPACPBCSSSSSS△△△△△△，
由对称性得ABBCAC,
又因为22222213QAQBQCABBCCA，93ABCS，
所以21sin60932ABCSAB，
解得6,23ABAQ，
所以3,23,3QMPMPQ，
设外接球的半径为r，
在AOQ△中，222AOOQAQ，即222323rr，
解得72r，
所以外接球的表面积为2449Sr，
即该球形容器的表面积的最小值为49.
故选：D
【点睛】 关键点点睛：本题关键是由12QABQACQBCPABPACPBCSSSSSS△△△△△△得到三棱锥是正棱锥，从而找到外接球球心的位置而得解..
4．A
解析：A
【分析】
先确定曲面面积占以点D为顶点， DC为母线在平面 BCCB所形成的圆锥的侧面积的18，利用圆锥的侧面积Srl即可得出结论.
【详解】
由题意 6,32CECCAABCAB，所以22361832BECECB，所以 45BCE， 45ECC，
所以曲面面积占以点D为顶点， DC为母线在平面 BCCB所形成的圆锥的侧面积的18，所以圆锥的侧面积 636186SrlCCDC，
所以曲面面积为19618684.
故选：A.
【点睛】
方法点睛：本题考查曲面面积，考查圆锥的侧面积，确定曲面面积占以点D为顶点， DC为母线在平面 BCCB所形成的圆锥的侧面积的18是关键，考查系数的空间想象力.
5．A
解析：A
【分析】
证明CBA就是BC与平面1ABC所成的角，求出此角后，利用11//BCBC可得结论，
【详解】
∵90BAC，12ACBC，∴30CBA，
∵1BCAC，ABAC，1BCABB，1,BCAB平面1ABC，
∴AC平面1ABC，
∴CBA就是BC与平面1ABC所成的角，即BC与平面1ABC所成的角是30，
∵棱柱中11//BCBC，∴11BC与平面1ABC所成的角的大小为30，
故选：A．
