(必考题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》检测题(含答案解析)(4)
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一、选择题
1．设1l、2l、3l是三条不同的直线，、、是三个不同的平面，则下列命题是真命题的是（ ）
A．若1//l，2//l，则12ll//
B．若1l，2l，则12ll
C．若12//ll，1l，2l，3l，则13//ll
D．若，1l，2l，则12ll//
2．已知正三棱柱111ABCABC，底面正三角形ABC的边长为2，侧棱1AA长为2，则点1B到平面1ABC的距离为（ ）
A．2217
B．22121 C．477 D．4721
3．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：3cm）为（ ）
A．43 B．2
C．4 D．6
4．如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD是正方形，且平面ABCD平面AEB，则（ ）
A．DEC可能为90
B．若AEB△是等边三角形，则DEC也是等边三角形
C．若AEB△是等边三角形，则异面直线DE和AB所成角的余弦值为24
D．若AEB△是直角三角形，则BE平面ADE
5．如图所示，A，B为正方体的两个顶点，M，N为其所在棱的中点，则异面直线AB与MN所成角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．在长方体1111ABCDABCD中，2AB，1AD，12AA，点E为11CD的中点，则二面角11BABE的余弦值为（
）
A．33 B．32 C．33 D．32
7．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一步自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD为矩形，//EFAB，若3ABEF，ADE和BCF△都是正三角形，且2ADEF，则异面直线AE与CF所成角的大小为（ ）
A．6
B．4 C．3 D．2
8．在正方体1111ABCDABCD中，M是棱1CC的中点．则下列说法正确的是（ ）
A．异面直线AM与BC所成角的余弦值为53
B．BDM为等腰直角三角形
C．直线BM与平面11BDDB所成角的正弦值等于105
D．直线1AC与平面BDM相交
9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．14
10．在三棱锥SABC中，SA底面ABC，且22ABAC，30C，2SA，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．20 B．12 C．8 D．4
11．已知长方体1111ABCDABCD的顶点A，B，C，D，在球O的表面上，顶点1A，1B，1C，1D，在过球心O的一个平面上，若6AB，8AD，14AA，则球O的表面积为（ ）
A．169 B．161 C．164 D．265
12．已知直线a、b都不在平面内，则下列命题错误的是（ ）
A．若//ab，//a，则//b B．若//ab，a，则b
C．若ab，//a，则b D．若ab，a，则//b 二、填空题
13．若一个底面边长为62，侧棱长为6的正六棱柱的所有定点都在一个球的面上，则此球的体积是___________．
14．已知正四棱锥的体积为18，侧棱与底面所成的角为45，则该正四棱锥外接球的表面积为___________.
15．在正三棱锥OABC中，已知45AOB，记为二面角AOBC的大小，cosmn，其中m，n为整数，则以||n，||m，||mn分别为长、宽、高的长方体的外接球直径为__________．
16．已知一个圆锥内接于球O（圆锥的底面圆周及顶点均在同一球面上），圆锥的高是底面半径的3倍，圆锥的侧面积为910，则球O的表面积为________．
17．在三棱柱111ABCABC中侧棱垂直底面且底面是ABC为等边三角形且12AAAB，E在棱1AA上，112AEAA，则异面直线1AC与BE所成角的余弦值___________.
18．如图，矩形ABCD中，2ABAD，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成1ADE△．若M为线段1AC的中点，则在ADE翻折过程中，下面四个选项中正确的是______（填写所有的正确选项）
（1）BM是定值
（2）点M在某个球面上运动
（3）存在某个位置，使1DEAC
（4）存在某个位置，使//MB平面1ADE
19．将半径为3，圆心角为23的扇形围成一个圆锥，则该圆锥内切球的体积为________．
20．在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，且ABCD为矩形，π2DPA，23AD，2AB，PAPD，则四棱锥PABCD的外接球的体积为________.
三、解答题
21．如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，1,2ABBC，45ABC，AEPC垂足为E．
（Ⅰ）求证：平面AEB平面PCD；
（Ⅱ）若二面角BAED的大小为150，求侧棱PA的长．
22．在如图所示的几何体中，四边形BCED为直角梯形，//DECB，BCEC，90AED.
（1）证明：平面ABC平面ACE.
（2）若P，Q分别是AE，CD的中点，证明：//PQ平面ABC.
23．在三棱锥ABCD中，E、F分别为AD、DC的中点，且BABD，平面ABD平面ADC.
（1）证明：//EF平面ABC；
（2）证明：BECD.
24．如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，,,ABADACCDPAAC，E是PC的中点．
证明：（Ⅰ）CDAE；
（Ⅱ）PD平面ABE．
25．如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为梯形，//ADBC，6BC，2PAADCD，E是BC上一点且23BEBC，PBAE.
（1）求证：AB平面PAE；
（2）求点C到平面PDE的距离.
26．如图，在矩形ABCD中，2ABAD，M为DC的中点，将ADM△沿AM折起使平面ADM平面ABCM.
（1）求证：BMAD；
（2）求直线DC与平面DAB所成角的正弦值.
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
利用已知条件判断1l与2l的位置关系，可判断AD选项的正误；利用线面垂直的性质定理可判断B选项的正误；利用线面平行的性质定理可判断C选项的正误.
【详解】
对于A选项，若1//l，2//l，则1l与2l平行、相交或异面，A选项错误；
对于B选项，若1l，2l，由线面垂直的性质定理可得12//ll，B选项错误；
对于C选项，12//ll，1l，2l，、不重合，则1l，1//l，
1l，3l，13//ll，C选项正确；
对于D选项，若，1l，2l，则1l与2l相交或平行，D选项错误.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．
2．A
解析：A
【分析】
根据题意，将点1B到平面1ABC的距离转化为点A到平面1ABC的距离，然后再利用等体积法11AABCAABCVV代入求解点A到平面1ABC的距离.
【详解】
已知正三棱柱111ABCABC，底面正三角形ABC的边长为2，侧棱1AA长为2，所以可得1122ABAC，1ABC为等腰三角形，所以1ABC的高为7，由对称性可知，111BABCAABCVV，所以点1B到平面1ABC的距离等于点A到平面1ABC的距离，所以11AABCAABCVV，又因为112772ABCS△，12332ABCS，所以111233ABCABCShS△△，即2322177h.
故选：A.
【点睛】
一般关于点到面的距离的计算，一是可以考虑通过空间向量的方法，写出点的坐标，计算平面的法向量，然后代入数量积的夹角公式计算即可，二是可以通过等体积法，通过换底换高代入利用体积相等计算.
3．B
解析：B
【分析】
根据三视图判断出几何体的结构，利用椎体体积公式计算出该几何体的体积.
【详解】
根据三视图可知，该几何体为如图所示四棱锥，
该棱锥满足底面是直角梯形，且侧棱ED平面ABCD，
所以其体积为11(12)22232V，
故选：B.
【点睛】
方法点睛：该题考查的是有关根据几何体三视图求几何体体积的问题，解题方法如下：
（1）首先根据题中所给的几何体的三视图还原几何体； （2）结合三视图，分析几何体的结构特征，利用体积公式求得结果.
4．C
解析：C
【分析】
对A，直角三角形的斜边大于直角边可判断；对B，由ECEBDC可判断；对C，可得CDE即异面直线DE和AB所成角，即可求出；对D，EAB（或EBA）为直角时，BE与平面ADE不垂直.
【详解】
对A，由题意，若90DEC，则DCEC，但ECBCCD，故A不正确；
对B，若AEB△是等边三角形，显然有ECEBDC，所以DEC不会是等边三角形，故B不正确；
对C，若AEB△是等边三角形，设边长为2，则22DEEC，
//ABCD，则CDE即异面直线DE和AB所成角，
易求12cos422CDE，故C正确；
对D，当AEB△是以AEB为直角的直角三角形时，BE平面ADE，当AEB△是以EAB（或EBA）为直角的直角三角形时，BE与平面ADE不垂直，故D不正确．
故选：C.
【点睛】
本题考查四棱锥的有关位置关系的判断，解题的关键是正确理解长度关系，正确理解位置关系的变化.
5．C
解析：C
【分析】
由MN与正方体的面对角线平行，可得异面直线所成的角，此角是正三角形的内角，由此可得．
【详解】
作如图所示的辅助线，由于M，N为其所在棱的中点，所以//MNPQ，又因为//ACPQ，所以//ACMN，所以CAB即为异面直线AB与MN所成的角（或补角），易得ABACBC，所以60CAB.
故选：C．
