北师大版高中数学必修二第一章《立体几何初步》检测题(含答案解析)(2)
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一、选择题
1．若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为（ ）
A．2：1 B．4：1 C．8：1 D．8：3
2．正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心的棱锥）的三视图如图所示，俯视图是正三角形，O是其中心，则正视图（等腰三角形）的腰长等于（ ）
A．5
B．2 C．3 D．2
3．《九章算术》与《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》卷五商功篇中介绍了羡除（此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体）体积的求法.在如图所示的羡除中，平面ABDA是铅垂面，下宽3mAA，上宽4mBD，深3m，平面BDEC是水平面，末端宽5mCE，无深，长6m（直线CE到BD的距离），则该羡除的体积为（ ）
A．324m B．330m C．336m D．342m
4．已知m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题中错误的是（ ）
A．若mn，m，n，则
B．若m，//，则//m C．若mn，m，n//，则
D．若l，//m，//m，则//ml
5．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：3cm）为（ ）
A．43 B．2
C．4 D．6
6．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：3cm）是（
）
A．24 B．30 C．47 D．67
7．如图正三棱柱111ABCABC的所有棱长均相等，O是1AA中点，P是ABC所在平面内的一个动点且满足//OP平面11ABC，则直线OP与平面ABC所成角正弦值的最大值为（ ）
A．22 B．255 C．32 D．277
8．三棱锥PABC中，6AB，8AC，90BAC，若52PAPBPC，则点B到平面PAC的距离为（ ）
A．32 B．304141 C．153417 D．6
9．如图，正方体1111ABCDABCD中，P为线段1AB上的动点，则下列结论错误的是（ ）
A．1DCPC
B．异面直线AD与PC不可能垂直
C．1DPC不可能是直角或者钝角
D．1APD的取值范围是,62
10．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径意思是：球的体积V乘16，除以9，再开立方，即为球的直径d，由此我们可以推测当时球的表面积S计算公式为（ ）
A．2278Sd B．2272Sd C．292Sd D．21114Sd
11．空间四边形PABC的各边及对角线长度都相等，D、E、F外别是AB、BC、CA的中点，下列四个结论中不成立的是（ ）
A．//BC平面PDF B． DF平面PAE
C．平面PDE平面ABC D．平面PAE平面ABC 12．在正方体1111ABCDABCD中，M和N分别为11AB，和1BB的中点．，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（ ）
A．25 B．1010 C．35 D．32
二、填空题
13．张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家､文学家､数学家､地理学家，他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五，已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A，B，若线段AB的最小值为31，利用张衡的结论可得该正方体的内切球的表面积为___________.
14．若一个底面边长为62，侧棱长为6的正六棱柱的所有定点都在一个球的面上，则此球的体积是___________．
15．如图，在正方体1111ABCDABCD中，E，F，G分别是棱11AB，1BB，11BC的中点，则下列结论中：
①FGBD； ②1BD面EFG；
③面//EFG面11ACCA； ④//EF面11CDDC．
正确结论的序号是________.
16．一个三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长棱的长度为_______.
17．如图，矩形ABCD中，2ABAD，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成1ADE△．若M为线段1AC的中点，则在ADE翻折过程中，下面四个选项中正确的是______（填写所有的正确选项）
（1）BM是定值
（2）点M在某个球面上运动
（3）存在某个位置，使1DEAC
（4）存在某个位置，使//MB平面1ADE
18．在三棱锥PABC中，P在底面ABC的射影为ABC的重心，点M为棱PA的中点，记二面角PBCM的平面角为，则tan的最大值为___________.
19．如图，在三棱锥VABC中，22AB，VAVB，1VC，且AVBV，ACBC，则二面角VABC的余弦值是_____．
20．已知扇形的面积为56，圆心角为63，则由该扇形围成的圆锥的外接球的表面积为_________．
三、解答题
21．如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，点G、E分别在线段AO和BC上，2BEEC，2AGGO，2CACBCDBD，2ABAD.
（1）求证：//GE平面ACD；
（2）求证：平面ABD平面BCD.
22．如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，60BCD，已知2PBPD，6PA，E为PA的中点.
（1）求证：PCBD；
（2）求二面角BPCE的余弦值；
（3）求三棱锥PBCE的体积.
23．在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，平面PAB平面,ABCDPAB为等腰直角三角形，,2PAPBAB．
（1）求证：平面PBC平面PAC；
（2）设E为CD的中点，求点E到平面PBC的距离．
24．在三棱柱111ABCABC中，侧面11BCCB为矩形，AC平面11BCCB，D，E分别是棱1AA，1BB的中点.
（1）求证：//AE平面11BCD；
（2）求证：1CC平面ABC；
（3）若12ACBCAA，求直线AB与平面11BCD所成角的正弦值.
25．如图，在三棱锥PABC中，1,2,135ABACBAC，1cos,3BAPAPBC．
（1）若23BMMC，求证：PMBC；
（2）当3AP，且N为BC中点时，求AN与平面PBC所成角的正弦值．
26．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，∠ADP=90°，PD=AD，∠PDC=60°，E为PD中点.
（1）求证：PB//平面ACE：
（2）求四棱锥EABCD的体积.
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
根据三角形相似得出圆锥的底面半径和高的关系，根据体积公式和基本不等式得出答案．
【详解】
设圆锥的高为h，底面半径为r，
则当球面与圆锥的侧面以及底面都相切时，轴截面如图，
由~AOEACF可得：22(1)11hrh，即22hrhh，
圆锥的体积22148[(2)4]33(2)323hVrhhhh．
当且仅当22h，即4h时取等号．
该圆锥体积的最小值为83．
内切球体积为43．
该圆锥体积与其内切球体积比2:1．
故选：A．
【点睛】
方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
2．B
解析：B
【分析】
可得原几何体如图所示正三棱锥ABCD，取BD中点E，连接,AECE，设底面边长为2x，表示出2522AExAOOE，1333xOECE，即可求出x，进而求出腰长.
【详解】
根据三视图可得原几何体如图所示正三棱锥ABCD，
取BD中点E，连接,AECE，则底面中心O在CE上，连接AO，可得AO平面ABC，
由三视图可知5ABACAD，45AEC，
设底面边长为2x，则DEx，则25AEx，
则在等腰直角三角形AOE中，2522AExAOOE，
O是底面中心，则1333xOECE，
则25323xx，解得3x，
则1AO，底面边长为23，
则正视图（等腰三角形）的腰长为22312.
故选：B.
【点睛】
本题考查根据三视图计算原几何体的相关量，解题的关键是根据正三棱锥中的关系求出底面边长.
3．C
解析：C
【分析】
在BD，CF上分别取点B，C，使得3mBBCC，连接AB，AC，BC，把几何体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，然后由棱柱、棱锥体积公式计算．
【详解】
如图，在BD，CF上分别取点B，C，使得3mBBCC，连接AB，AC，BC，则三棱柱ABCABC是斜三棱柱，该羡除的体积VV三棱柱ABCABCV四棱锥ABDEC311123636336m232.
故选：C．
【点睛】
思路点睛：本题考查求空间几何体的体积，解题思路是观察几何体的结构特征，合理分割，将不规则几何体体积的计算转化为锥体、柱体体积的计算．考查了空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力．
