概率统计中的概率分布与期望计算

概率与统计的计算方法统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科。

概率是统计学中重要的一部分，用于描述和预测事件发生的可能性。

在本文中，我们将介绍概率与统计的计算方法，包括概率论的基本原理、常用的概率分布、统计推断以及常见的计算工具。

一、概率论的基本原理概率论是研究随机事件的数学理论，它建立了描述随机现象的基本框架。

在概率论中，我们使用概率的数值表示事件发生的可能性。

概率的计算可以通过以下公式得到：P(A) = N(A) / N(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，N(A)表示事件A发生的次数，N(S)表示样本空间中的总次数。

概率的数值介于0和1之间，当概率为0时表示事件不可能发生，当概率为1时表示事件一定会发生。

二、常用的概率分布在统计学中，常用的概率分布包括离散型分布和连续型分布。

离散型分布用于描述取有限个或无限个离散值的随机变量的概率分布。

常见的离散型分布包括二项分布、泊松分布等。

连续型分布则用于描述取连续值的随机变量的概率分布，如正态分布、指数分布等。

概率分布函数描述了随机变量取某个值的概率密度。

对于离散型分布，概率分布函数可以用概率质量函数表示；而对于连续型分布，概率分布函数则用概率密度函数表示。

三、统计推断统计推断是基于概率统计理论进行参数估计和假设检验的方法。

参数估计用于根据样本数据估计总体的参数值，假设检验用于判断总体参数是否满足某个特定的假设。

在参数估计中，我们使用统计量来估计总体参数。

常见的统计量包括样本均值、样本方差等。

通过计算样本统计量，我们可以得到总体参数的近似值，并估计其可信区间。

在假设检验中，我们根据样本数据判断总体参数是否符合某个特定的假设。

常见的假设检验包括单样本均值检验、双样本均值检验等。

通过计算统计量的值，我们可以判断总体参数是否显著不同于假设值。

四、常见的计算工具在概率与统计的计算中，有许多常见的计算工具可以帮助我们进行计算和分析。

其中包括：1. Excel：Excel是一个强大的电子表格软件，可以进行各种统计计算、绘制图表等操作。

概率分布计算练习题求期望与方差一、题目描述在统计学中，概率分布是用来描述随机变量在不同取值上出现的概率。

期望与方差是概率分布的重要指标，用于描述随机变量的中心位置和离散程度。

下面通过一些具体的练习题，来计算概率分布的期望与方差。

二、练习题1已知某随机变量X的概率分布如下：```X | -2 | 1 | 3P(X) | 0.2 | 0.4| 0.4```计算随机变量X的期望与方差。

解答：期望的计算公式为E(X) = ΣX * P(X)，其中Σ表示求和符号。

根据给定的概率分布，我们可以计算出期望为：E(X) = (-2 * 0.2) + (1 * 0.4) + (3 * 0.4) = -0.4 + 0.4 + 1.2 = 1.2方差的计算公式为 Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2，其中E(X^2)表示随机变量X的平方的期望。

根据给定的概率分布，我们可以计算出E(X^2)为：E(X^2) = (-2^2 * 0.2) + (1^2 * 0.4) + (3^2 * 0.4) = 0.8 + 0.4 + 3.6 = 4.8将期望和E(X^2)带入方差的计算公式中，即可计算出方差为：Var(X) = 4.8 - 1.2^2 = 4.8 - 1.44 = 3.36因此，随机变量X的期望为1.2，方差为3.36。

三、练习题2已知某离散型随机变量Y的概率分布如下：```Y | -1 | 0 | 2 | 3P(Y) | 0.1| 0.2 | 0.4 | 0.3```计算随机变量Y的期望与方差。

解答：同样地，首先计算期望。

根据给定的概率分布，我们可以计算出期望为：E(Y) = (-1 * 0.1) + (0 * 0.2) + (2 * 0.4) + (3 * 0.3) = -0.1 + 0 + 0.8 + 0.9 = 1.6接下来计算方差。

根据方差的计算公式，需要先计算E(Y^2)。

根据给定的概率分布，我们可以计算出E(Y^2)为：E(Y^2) = (-1^2 * 0.1) + (0^2 * 0.2) + (2^2 * 0.4) + (3^2 * 0.3) = 0.1 + 0 + 1.6 + 2.7 = 4.4将期望和E(Y^2)带入方差的计算公式中，即可计算出方差为：Var(Y) = 4.4 - 1.6^2 = 4.4 - 2.56 = 1.84因此，随机变量Y的期望为1.6，方差为1.84。

学辅教育成功就是每天进步一点点！概率分布以及期望和方差上课时间 :上课教师：上课重点 :掌握两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布的概率分布及其期望和方差上课规划：解题技巧和方法一两点分布知识内容⑴两点分布如果随机变量X 的分布列为X1 0P p q其中 0 p 1 ， q 1 p ，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布．二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为 1，不合格记为 0 ，已知产品的合格率为 80% ，随机变量 X 为任意抽取一件产品得到的结果，则 X 的分布列满足二点分布．X100.8 0.2P两点分布又称 0 1 分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布．（2）典型分布的期望与方差：二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在 n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np ．典例分析学辅教育成功就是每天进步一点点！，针尖向上；1、在抛掷一枚图钉的随机试验中，令 X1，如果针尖向上的，针尖向下 .概率为 p ，试写出随机变量X 的概率分布．2、从装有 6 只白球和 4 只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的白，当取到白球时，球个数”，即X1，求随机变量 X 的概率分布． ，当取到红球时，3、若随机变量 X 的概率分布如下：X1P23 8C9C C试求出 C ，并写出 X 的分布列．3、抛掷一颗骰子两次，定义随机变量0,(当第一次向上一面的点 数不等于第二次向上一 面的点数 )1, (当第一次向上一面的点数等于第二次向上一面的点数 )试写出随机变量 的分布列．4、篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得 0 分，已知运动员甲投篮命中率的概率为 P ．⑴记投篮1次得分X，求方差D ( X )的最大值；⑵当⑴中 D ( X ) 取最大值时，甲投3次篮，求所得总分Y的分布列及Y的期望与方差．二超几何分布知识内容将离散型随机变量X 所有可能的取值x i与该取值对应的概率p i (i 1, 2,, n)列表表示：X x1x2P p1p2⋯⋯x ip i⋯⋯x np n一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取 n 件 ( n ≤ N ) ，这 n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为 m 时的概率为P( X m)C M m C n N m M≤ l ，l为 n 和M中较小的一个 ) ．C n N(0≤ m我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为 N ， M ，n的超几何分布．在超几何分布中，只要知道 N ， M 和n，就可以根据公式求出 X 取不同值时的概率P( X m)，从而列出 X 的分布列．超几何分布的期望和方差：若离散型随机变量 X 服从参数为N，M，n的超几何分布，则 E(X)nM，n(N n)( N M )M．ND(X)2(N 1)N典例分析例题：一盒子内装有 10 个乒乓球，其中 3 个旧的，7 个新的，从中任意取 4 个，则取到新球的个数的期望值是．练习 1. 某人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，能答对其中的 6 题，规定每次考试都从备选题中随机抽出 5 题进行测试，每题分数为20分，求他得分的期望值．练习 2. 以随机方式自 5 男 3 女的小群体中选出 5 人组成一个委员会，求该委员会中女性委员人数的概率分布、期望值与方差．练习 3. 在12个同类型的零件中有2 个次品，抽取 3 次进行检验，每次任取一个，并且取出不再放回，若以和分别表示取出次品和正品的个数．求，的期望值及方差．三二项分布知识内容若将事件 A 发生的次数设为X ，事件 A 不发生的概率为q 1 p ，那么在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生k 次的概率是P( X k)C kn pk q n k，其中k0 , 1, 2 , n, ．于是得到X的分布列X01⋯k⋯nP C 0n p0q n C1n p1q n 1⋯C n k p k q n k⋯C n n p n q0由于表中的第二行恰好是二项展开式(q p)n C0n p0 q n C1n p1q n 1C k n p k q n k C n n p n q0各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n，p 的二项分布，记作 X ~ B(n , p) ．二项分布的均值与方差：若离散型随机变量X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，则E ( X ) np ， D (x) npq (q1 p) ．二项分布：若离散型随机变量X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，则 E( X ) np ，D ( x) npq (q 1 p) ．典例分析二项分布的概率计算1例题：已知随机变量服从二项分布， ~ B(4 ， ) ，则 P(2)等于．练3习 1.甲乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为2，则甲以 3:1 的比分获胜的3概率为（ ）A ．8B ．64C ．4D ．8278199练习 2.某篮球运动员在三分线投球的命中率是1，他投球 10 次，恰好投2进 3 个球的概率．（用数值表示）练习 3. 某人参加一次考试， 4 道题中解对 3 道则为及格，已知他的解题正确率为 0.4 ，则他能及格的概率为 _________（保留到小数点后两位小数）接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现有 5 人接种了该疫苗，至少有 3 人出现发热反应的概率为．（精确到 0.01）例题 :从一批由 9 件正品， 3 件次品组成的产品中，有放回地抽取 5 次，每次抽一件，求恰好抽到两次次品的概率（结果保留2 位有效数字）．练习 1. 一台X型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为0.8000 ，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多有 2 台机床需要工人照看的概率是（）A．0.1536B．0.1808C．0.5632D．0.9728练习 2. 设在 4 次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若已知事件A至少发生一次的概率等于65，求事件A在一次试验中发生的概率．81例题：某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都学辅教育成功就是每天进步一点点！是1．若某人获得两个“支持，”则给予 10万元的创业资助；若只获得一个“支2持”，则给予 5 万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：⑴ 该公司的资助总额为零的概率；⑵该公司的资助总额超过15万元的概率．练习 1. 某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是 0.6 ，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润 200 元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250 元．⑴求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；⑵求3位位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．练习 2. 某万国家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为1，若中奖，则家具城返还顾客5现金 200 元．某顾客消费了 3400 元，得到3张奖券．⑴求家具城恰好返还该顾客现金 200元的概率；⑵求家具城至少返还该顾客现金 200元的概率．例题：设飞机 A 有两个发动机，飞机 B 有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机没有故障，就能够安全飞行，现设各个发动机发生故障的概率p 是t的函数p 1 e t ，其中t为发动机启动后所经历的时间，为正的常数，试讨论飞机 A 与飞机 B 哪一个安全？（这里不考虑其它故障）．练习 1. 假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1 P，且各发动机互不影响．如果至少50% 的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行．问对于多大的 P 而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？练习 2. 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有 6 个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是1 ．3⑴设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列；⑵设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列；⑶求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．二项分布的期望与方差例题 :已知X ~ B(10，0.8)，求E( X )与D(X )．练习 1. 已知X ~ B(n，p)，E ( X )8， D(X ) 1.6 ，则 n 与p的值分别为（）A．10和0.8B．20和0.4C．10和 0.2D．100和 0.8练习 2.已知随机变量 X 服从参数为6，0.4的二项分布，则它的期望E(X )，方差 D(X)．练习 3. 已知随机变量X服从二项分布，且E ( ) 2.4 ，D( ) 1.44 ，则二项分布的参数 n ，p的值分别为，．练习 4. 一盒子内装有10个乒乓球，其中3个旧的，7个新的，每次取一球，取后放回，取 4 次，则取到新球的个数的期望值是．例题：甲、乙、丙 3 人投篮，投进的概率分别是1，2，1．352⑴现 3 人各投篮 1 次，求 3 人都没有投进的概率；⑵用表示乙投篮 3 次的进球数，求随机变量的概率分布及数学期望．练习 1. 抛掷两个骰子，当至少有一个2点或3点出现时，就说这次试验成功．⑴ 求一次试验中成功的概率；⑵求在4次试验中成功次数X 的分布列及 X 的数学期望与方差．练习 2. 某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为 4% ．问：寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？四正态分布知识内容概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量 X ，则这条曲线称为 X 的概率密度曲线．曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a，b 之间的概率就是对应的曲边梯形的面积．2．正态分布⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．yx=μO x1( x)2正态变量概率密度曲线的函数表达式为f (x) e 22，x R ，其中，2π是参数，且0 ， ．式中的参数 和 分别为正态变量的数学期望和标准差． 期望为 、标准差为 的正态分布通常记作N ( ,2) ．正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．⑵标准正态分布： 我们把数学期望为0 ，标准差为 1的正态分布叫做标准正态分布．①正态变量在区间( ,)，(2 ,2 )，(3 ,3 )内，取值的概率分别是 68.3% ， 95.4% ， 99.7% ．②正态变量在 (，) 内的取值的概率为 1，在区间 ( 3 ，3 ) 之外的取值的概率是 0.3% ，故正态变量的取值几乎都在距 x三倍标准差之内，这就是正态分布的3 原则．若 ~N(， 2) ， f ( x) 为其概率密度函数，则称 F (x)P( ≤ x)xf (t )dt 为概率分布函数，特别的，，2x1t 2dt 为标准正态分布函数．2~ N (0 1 ) ，称 ( x)e2πP(x) (x) ．标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．典例分析（一）正态曲线（正态随机变量的概率密度曲线）1.下列函数是正态分布密度函数的是（）1 ( x r ) 22 πe A ． f ( x )B ． f ( x )e22π2 πx 221 ( x1) 21 x 2ee2C ． f ( x )4D ． f ( x )22π2π2.若正态分布密度函数 f ( x)1( x 1) 2e 2( x R ) ，下列判断正确的是（）2πA ．有最大值，也有最小值B ．有最大值，但没最小值C ．有最大值，但没最大值D ．无最大值和最小值3.对于标准正态分布 N 0 ，1 1 x 2的概率密度函数2 ，下列说法不正确f xe2 π的是（）A．f x为偶函数B．f x最大值为12πC．f x在x0 时是单调减函数，在x ≤ 0 时是单调增函数D．f x关于x 1对称4.设的概率密度函数为1( x 1) 2e2f ( x)2πA．P(1) P(1)C．f (x)的渐近线是x0，则下列结论错误的是（）B．P( 1≤ ≤1) P(11) D．1~ N(0 ，1)（二)求,的取值以及概率例题：设 X ~ N ( ，2 ) ，且总体密度曲线的函数表达式为：f (x)1x2 2 x 1e4，2πx R ．⑴求，；⑵求 P(| x 1|2) 及 P(1 2 x 1 2 2) 的值．练习 1.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为 f ( x)1( x 80)2，则下列命题中不正确的是（）200e102A．该市这次考试的数学平均成绩为80 分B．分数在 120 分以上的人数与分数在60 分以下的人数相同C．分数在 110 分以上的人数与分数在50 分以下的人数相同D．该市这次考试的数学标准差为10（三）正态分布的性质及概率计算例题 :设随机变量服从正态分布N (0 ，1) ，a0 ，则下列结论正确的个数是____ ．⑴ P(||a )P(||a)P(| | a)⑵ P(||a )2P(a)1⑶ P(||a )12P(a)⑷ P(||a )1P(||a)练习 1. 已知随机变量 X 服从正态分布 N (3 ，a 2 ) ，则 P( X 3)（）A ．1B ．1C ．1D ．15 432练习 2. 在某项测量中，测量结果 X 服从正态分布 N 1， 20 ，若X 在 0，1内取值的概率为 0.4 ，则 X 在 0 ，2 内取值的概率为．练习 3.已知随机变量 X 服从正态分布 N (2 ， 2) ， P( X ≤ 4) 0.84 ，则 P(X ≤ 0)A ． 0.16B ． 0.32C ． 0.68D ． 0.84练习4.已知X~N( 1，2 )，若 P( 3≤ X ≤-1) 0.4，则 P( 3≤ X ≤1) （）A ． 0.4B ． 0.8C ． 0.6D ．无法计算加强训练：1 设随机变量 服从正态分布 N (2 ，9) ，若 P( c 2)P( c 2) ，则 c_______．2 设 ~ N(0 1)，且 P(| | b) a(0 a 1 b 0) ，则 P(b) 的值是_______（用 a 表，，≥示）．3 正态变量 X ~ N (1， 2 ) ， c 为常数， c0 ，若 P(c X2c) P(2c X 3c ) 0.4，求P( X ≤ 0.5) 的值．4 某种零件的尺寸服从正态分布N (0 ，4) ，则不属于区间 ( 4 ，4) 这个尺寸范围的零件约占总数的．（四）正态分布的数学期望及方差例题:如果随机变量~ N( ， 2)，ED1，求 P( 1 1)的值．(五）正态分布的 3 原则例题 :灯泡厂生产的白炽灯寿命（单位： h ），已知 ~ N (1000 ，302 ) ，要使灯泡的平均寿命为1000h 的概率为 99.7% ，则灯泡的最低使用寿命应控制在_____ 小时以上．练习 1.一批电池（一节）用于手电筒的寿命服从均值为35.6 小时、标准差为4.4 小时的正态分布，随机从这批电池中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于 40小时的概率是多少？练习 2. 某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80 ，标准差为 10，理论上说在 80 分到 90 分的人数是 ______．杂题（拓展相关：概率密度，分布函数及其他）练习 3. 以F x表示标准正态总体在区间, x 内取值的概率，若随机变量服从正态分布N ,2，则概率P等于（）A．F F B．F1F1C．F 1D．2F练习 4.甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10 道题中，甲能答对其中的 6 题，乙能答对其中的 8 题．规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试，至少答对 2 题才算合格．⑴求甲答对试题数X的分布列、数学期望与方差；⑵ 求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．课后练习1、一个袋子里装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球，从中同时取出 2 个，则其中含红球个数的数学期望是_________．（用数字作答）2.、同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为，则的数学期望是（）A．20B．25C．30D．403、某服务部门有n个服务对象，每个服务对象是否需要服务是独立的，若每个服务对象一天中需要服务的可能性是p ，则该部门一天中平均需要服务的对象个数是（）A．np(1 p)B．np C．n D．p(1 p)4、同时抛掷4枚均匀硬币 80次，设 4 枚硬币正好出现 2枚正面向上， 2 枚反面向上的次数为，则的数学期望是（）A、20B．25C．30D．405、一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出 1个球，得到黑球的概率是2；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白5球的概率是7．9⑴若袋中共有 10 个球，从袋中任意摸出 3 个球，求得到白球的个数的数学期望；⑵求证：从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个黑球的概率不大于7 ．并10指出袋中哪种颜色的球个数最少．5.某厂生产电子元件，其产品的次品率为5% ，现从一批产品中的任意连续取出 2 件，求次品数的概率分布列及至少有一件次品的概率．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各 2 株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为5和4，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的 4 株65大树中：⑴至少有 1 株成活的概率；⑵两种大树各成活 1 株的概率．6.一个口袋中装有n 个红球（n≥5且n N *）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．⑴试用 n 表示一次摸奖中奖的概率p ；⑵若 n 5 ，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；⑶记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P ．当n取多少时， P 最大？7.袋子 A 和 B 中装有若干个均匀的红球和白球， 从 A 中摸出一个红球的概率是 1，从 B 中摸出一个红球的概率为p ．3⑴从 A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有 3 次摸到红球即停止．①求恰好摸 5 次停止的概率；②记 5 次之内（含 5 次）摸到红球的次数为，求随机变量 的分布．⑵若 A ，B 两个袋子中的球数之比为 1: 2 ，将 A ，B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是 2，求 p 的值．58、一个质地不均匀的硬币抛掷 5 次，正面向上恰为 1次的可能性不为 0 ，而且与正面向上恰为2 次的概率相同．令既约分数i为硬币在 5 次抛掷中有 3j次正面向上的概率，求ij ．9、某气象站天气预报的准确率为80% ，计算（结果保留到小数点后面第 2位）⑴5 次预报中恰有2次准确的概率；⑵ 5 次预报中至少有 2 次准确的概率；⑶5 次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；10 、某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层可以停靠．若该电梯在底层载有 5 位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为1，求至少有两位乘客在 20 层下的概率．311、10 个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取一球，求直到第n 次才取得 k(k ≤ n) 次红球的概率．12 、已知甲投篮的命中率是0.9，乙投篮的命中率是0.8，两人每次投篮都不受影响，求投篮 3 次甲胜乙的概率．（保留两位有效数字）13 、若甲、乙投篮的命中率都是p 0.5，求投篮n次甲胜乙的概率．（ n N，n ≥ 1 ）14、省工商局于某年 3 月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的 x 饮料的合格率为80%，现有甲，乙，丙3人聚会，选用 6 瓶x饮料，并限定每人喝 2 瓶，求：⑴甲喝 2 瓶合格的x饮料的概率；⑵甲，乙，丙 3 人中只有 1 人喝 2 瓶不合格的x饮料的概率（精确到0.01）．15、在一次考试中出了六道是非题，正确的记“√”号不，正确的记“×”号若．某考生随手记上六个符号，试求：⑴全部是正确的概率；⑵正确解答不少于 4 道的概率；⑶至少答对 2 道题的概率．17、某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛，校队的实力比系队强，当一个校队队员与系队队员比赛时，校队队员获胜的概率为0.6 ．现在校、系双方商量对抗赛的方式，提出了三种方案：⑴双方各出 3人；⑵双方各出 5 人；⑶双方各出 7 人．三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜利．问：对系队来说，哪一种方案最有利？18、某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60% ，参加过计算机培训的有75% ，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．⑴任选 1 名下岗人员，求该人参加过培训的概率；⑵任选 3 名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布和期望．19、设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为 0.6 ，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．记表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布及期望．20、某班级有n人，设一年365天中，恰有班上的m（m≤n）个人过生日的天数为 X ，求 X 的期望值以及至少有两人过生日的天数的期望值．21、购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金．假定在一年度内有 10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险。

概率统计公式概率统计是一种数学方法，是通过研究和分析数据，推导出事件发生的概率，并使用统计模型和公式进行预测和推断。

概率统计公式是概率统计的基础，它们用于计算和描述概率的各种特性。

在这里，我们将介绍一些常见的概率统计公式。

1.概率公式概率公式用于计算事件发生的概率。

其中最基本和常见的公式是：P(A)=n(A)/n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的次数，n(S)表示样本空间S中元素的个数。

2.条件概率公式条件概率公式用于计算在已知一些信息的情况下一些事件发生的概率。

其中最基本和常见的公式是：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

3.乘法定理乘法定理用于计算多个事件同时发生的概率。

其中最基本和常见的公式是：P(A∩B)=P(A)×P(B，A)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。

4.加法定理加法定理用于计算多个事件中至少有一个发生的概率。

其中最基本和常见的公式是：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)其中，P(A∪B)表示事件A和事件B至少有一个发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B分别发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

5.贝叶斯公式贝叶斯公式用于根据已知的信息，计算一些事件的概率。

其中最基本和常见的公式是：P(A，B)=P(B，A)×P(A)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

6.期望值公式期望值公式用于计算随机变量的平均值。

其中最基本和常见的公式是：E(X) = ∑(xi × P(xi))其中，E(X) 表示随机变量的期望值，xi 表示随机变量 X 的可能取值，P(xi) 表示随机变量取各个值的概率。

概率统计中的期望与方差计算练习题一、单变量概率分布的期望计算假设我们有一个离散随机变量 X，其概率分布函数为 P(X=x)，对应的取值为 X1, X2, ..., Xn。

如何计算该随机变量的期望值 E(X) 呢？我们可以使用以下公式计算期望值：E(X) = ∑(x * P(X=x))举个例子来说明，假设我们有一个骰子，其出现的点数分别为 1, 2, 3, 4, 5, 6，同时每个点数出现的概率相等，都为 1/6。

那么该随机变量的期望值可以计算如下：E(X) = 1/6 * 1 + 1/6 * 2 + 1/6 * 3 + 1/6 * 4 + 1/6 * 5 + 1/6 * 6= (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6= 3.5因此，该骰子的期望点数为 3.5。

二、单变量概率分布的方差计算如何计算概率分布为 P(X=x) 的离散随机变量 X 的方差呢？我们可以使用以下公式计算方差：Var(X) = E((X - E(X))^2) = E(X^2) - [E(X)]^2仍然以骰子为例，我们可以计算其方差：Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2首先计算 E(X^2)：E(X^2) = (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2) / 6= (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) / 6= 91 / 6然后计算 [E(X)]^2：[E(X)]^2 = (3.5)^2 = 12.25最后计算方差：Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2= 91 / 6 - 12.25≈ 2.9167三、多变量概率分布的期望与方差计算上述讨论的是单变量概率分布情况下的期望与方差计算。

对于多变量的概率分布，我们可以类似地进行计算。

假设我们有两个离散随机变量 X 和 Y，对应的概率分布函数为P(X=x, Y=y)。

如何计算 X 和 Y 的联合概率分布的期望与方差呢？1. 计算期望：对于期望的计算，我们可以分别对 X 和 Y 进行计算，然后将结果相加。

概率统计公式大全(复习重点)概率统计公式大全（复习重点）在学习概率统计的过程中，熟练掌握相关的公式是非常关键的。

本文将为大家详细介绍一些常用的概率统计公式，并对其进行简要的说明和应用举例，以便复习和巩固知识。

一、基本概率公式1. 事件的概率计算公式P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率；n(A)表示事件A中有利的结果数；n(S)表示样本空间S中的全部结果数。

例如：从一副扑克牌中随机抽取一张牌，求抽到红心牌的概率。

解：样本空间S中共有52张牌，红心牌有13张，所以 P(红心牌) = 13 / 52 = 1 / 4。

2. 条件概率计算公式P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。

例如：某班级男女生分别有30人和40人，从中随机选择一名学生，求选到女生并且是优等生的概率。

解：女生优等生有20人，所以 P(女生且是优等生) = 20 / （30+ 40）= 1 / 7。

二、常用离散型随机变量的数学期望与方差1. 随机变量的数学期望计算公式E(X) = ∑[x * P(X=x)]其中，E(X)表示随机变量X的数学期望；x表示随机变量X的取值；P(X=x)表示随机变量X取值为x的概率。

例如：随机变量X的可能取值为1、2、3，对应的概率分别是1/4、1/2、1/4，求X的数学期望。

解：E(X) = 1 * (1/4) + 2 * (1/2) + 3 * (1/4) = 5/2 = 2.5。

2. 随机变量的方差计算公式Var(X) = E((X - E(X))²)其中，Var(X)表示随机变量X的方差；E(X)表示随机变量X的数学期望。

例如：随机变量X的可能取值为1、2、3，对应的概率分别是1/4、1/2、1/4，求X的方差。

解：E(X) = 1 * (1/4) + 2 * (1/2) + 3 * (1/4) = 5/2 = 2.5。

概率与统计知识点一：常见的概率类型与概率计算公式； 类型一：古典概型；1、 古典概型的基本特点：（1） 基本事件数有限多个；（2） 每个基本事件之间互斥且等可能； 2、 概率计算公式：A 事件发生的概率()A P A =事件所包含的基本事件数总的基本事件数;类型二：几何概型；1、 几何概型的基本特点：（1） 基本事件数有无限多个；（2） 每个基本事件之间互斥且等可能； 2、 概率计算公式：A 事件发生的概率()A P A =构成事件的区域长度（或面积或体积或角度）总的区域长度（或面积或体积或角度）；注意：（1） 究竟是长度比还是面积比还是体积比，关键是看表达该概率问题需要几个变量，如果需要一个变量，则应该是长度比或者角度比；若需要两个变量则应该是面积比；当然如果是必须要三个变量则必为体积比；（2） 如果是用一个变量，到底是角度问题还是长度问题，关键是看谁是变化的主体，哪一个是等可能的； 例如：等腰ABC ∆中，角C=23π，则： （1） 若点M 是线段AB 上一点，求使得AM AC ≤的概率； （2） 若射线CA 绕着点C 向射线CB 旋转，且射线CA 与线段AB 始终相交且交点是M ，求使得AM AC ≤的概率；解析：第一问中明确M 为AB 上动点，即点M 是在AB 上均匀分布，所以这一问应该是长度之比，所求概率：13P =; 而第二问中真正变化的主体是射线的转动，所以角度的变化是均匀的，所以这一问应该是角度之比的问题，所以所求的概率：2755==1208P ︒； 知识点二：常见的概率计算性质； 类型一：事件间的关系与运算； A+B （和事件）：表示A 、B 两个事件至少有一个发生； A B ∙（积事件）：表示A 、B 两个事件同时发生；A （对立事件）：表示事件A 的对立事件；类型二：复杂事件的概率计算公式； 1、 和事件的概率：()=()()()P A B P A P B P A B ++-∙（1）特别的，若A 与B 为互斥事件，则：()=()()P A B P A P B ++（2）对立事件的概率公式：()1()P A P A =-2、 积事件的概率：（1）若事件12n A A A 、、、相互独立，则：1212()()()()n n P A A A P A P A P A ∙∙∙=∙∙∙（2）n 次独立重复的贝努利实验中，某事件A 在每一次实验中发生的概率都为p ，则在n 次试验中事件A 发生k 次的概率：()(1)k k k n kn n P A C p p -=- 类型三：条件概率；1、 条件概率的定义：我们把在事件A 发生的条件下事件B 发生的概率记为：(|)P B A ；且()(|)()P A B P B A P A ∙=2、 三个常见公式：（1） 乘法公式：()()(|)P A B P A P B A ∙=∙（2） 全概率公式：设123,,,,n A A A A 是一组互斥的事件且1nk k A ==Ω∑，则对于任何一个事件B 都有：11()()()(|)nnki i k k P B P AB P A P B A ===∙=∙∑∑（3） 贝叶斯公式：设123,,,,n A A A A 是一组互斥的事件且1nk k A ==Ω∑则对于任何一个事件B 都有：1()(|)(|)()(|)j j j niik P A P B A P A B P A P B A =∙=∙∑知识点三：求解一般概率问题的步骤；第一步：确定事件的性质：等可能事件、互斥事件、相互独立事件、n 次独立重复实验等； 第二步：确定事件的运算：和事件、积事件、条件概率等；第三步：运用相应公式，算出结果；知识点三：常见的统计学数字特征量及其计算； 特征量一：平均数（数学期望） 计算公式一：1231()n x x x x x n=++++；计算公式二：1()nx iik E x P x x ==∙=∑；计算公式三：（若随机变量x 是连续型随机变量，且函数()f x 是它的密度函数）()Ex xf x dx +∞-∞=⎰特征量二：中位数将所有的数从大到小排或者从小到大排，若共有奇数个数，则正中间的那个数叫做这一列数的中位数；若共有偶数个数，那么正中间那两个数的平均数叫做这一列数的中位数。

期望的计算方法及其性质期望是数学中一种重要的概念，表示事物发生的平均值。

在概率论、统计学、经济学、物理学等众多领域中都有着广泛的应用。

在计算期望时，需要根据不同的情况选择合适的方法，以达到正确计算的目的。

本文将对期望的计算方法及其性质进行探讨，希望能够为读者提供一些有价值的参考。

一、期望的定义在概率论中，期望是事件发生的平均值。

设X是一个随机变量，其分布函数为F(x)，则X的期望E(X)定义如下：E(X)=∫xf(x)dx其中f(x)是X的概率密度函数。

当X是离散型随机变量时，其期望可以表示为：E(X)=∑x p(x)x其中p(x)是X取到值为x的概率。

当X是连续型随机变量时，其期望可以表示为积分的形式。

二、期望的基本性质1. 线性性设X和Y是两个随机变量，a和b是常数，则有：E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)这种关系称为期望的线性性。

当a=b=1时，此式表述了期望的可加性。

这一性质十分重要，其意义在于，期望可以将事件的发生情况抽象成一个实数，使其具有线性的演算。

例如，在经济学中，我们可以将利润或收益看做一种随机变量，通过期望的线性性质，便可以对其进行计算和统计。

2. 单调性若X≤Y，则有：E(X)≤E(Y)这是期望的单调性质。

从定义上来看，当X≤Y时，X的取值总是小于等于Y的，因此X的期望值也应该小于等于Y的期望值。

这一性质告诉我们，期望可以衡量事件发生的趋势，可以用来进行决策和分析。

3. 平移性设Z=X+c，则有：E(Z)=E(X+c)=E(X)+c这是期望的平移性质。

从定义上来看，当Z=X+c时，Z的期望值应该等于X的期望值加上c。

这一性质告诉我们，期望可以平移，可以用来分析事物发生的变化趋势。

三、常见的计算方法1. 直接求期望直接求期望是一种最简单的计算方法。

对于离散型随机变量，我们可以直接按照期望的定义进行求解。

例如，设X是一个随机变量，其概率分布如下：X 1 2 3 4P(X) 0.1 0.2 0.3 0.4则X的期望可以表示为：E(X)=∑x p(x)x=0.1×1+0.2×2+0.3×3+0.4×4=2.8对于连续型随机变量，我们可以采用积分的方式进行求解。

常见分布的期望与方差的计算期望和方差是描述一个随机变量的两个最常用的统计量。

期望（也称为均值）表示随机变量的中心位置，方差则表示随机变量的离散程度。

在概率论和统计学中，有许多常见的概率分布，每个分布都有自己的期望和方差的计算方法。

在下面的文章中，我们将讨论一些常见的概率分布，包括离散分布和连续分布，以及它们的期望和方差的计算。

离散分布的期望和方差1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）伯努利分布是一种最简单的二元离散分布，它描述了一个只有两个可能取值的随机变量，例如抛一枚硬币正面向上的概率为p，反面向上的概率为1-p。

其期望计算公式为E(X) = p，方差计算公式为Var(X) = p(1-p)。

2. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布描述了一定次数的伯努利试验中成功的次数。

例如，投掷n次硬币，成功（正面朝上）的次数即为二项分布的取值。

其期望计算公式为E(X) = np，方差计算公式为Var(X) = np(1-p)。

3. 泊松分布（Poisson Distribution）连续分布的期望和方差1. 均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布是一种在指定区间上所有取值概率相等的连续分布，例如在0和1之间均匀分布的随机变量。

其期望计算公式为E(X) = (a + b) / 2，方差计算公式为Var(X) = (b - a)²/122. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是一种非常常见的连续分布，也称为高斯分布。

它被广泛应用于自然和社会科学中。

正态分布由两个参数完全描述，即均值μ和方差σ²。

期望和方差分别等于μ和σ²，即E(X) = μ，Var(X) = σ²。

3. 指数分布（Exponential Distribution）指数分布是描述等待时间（或间隔时间）的连续分布，例如两个事件之间的时间间隔。

求概率的期望值概率的期望值是数学中的一项重要概念，它用来衡量一个随机事件在多次进行试验中平均会出现的次数。

在概率论和统计学中，期望值通常被用来预测或估计一个随机事件的平均表现。

要计算一个随机事件的期望值，首先需要确定每个可能结果的概率，然后将每个结果与其对应的概率相乘，并将所有结果的乘积相加。

下面我们将通过一些例子来解释概率的期望值的计算方法。

假设有一个袋子，里面装有红色和蓝色两种颜色的球，红色球的数量比蓝色球多。

我们想要计算从袋子中随机抽取一球，抽取到红色球的期望值是多少。

首先，我们需要知道每个可能结果发生的概率。

假设袋中红色球的数量为10个，蓝色球的数量为5个。

那么红色球的概率为10/15，蓝色球的概率为5/15。

接下来，我们将每个结果与其对应的概率相乘，并将所有结果的乘积相加。

所以红色球的期望值为(10/15) * 1 + (5/15) * 0 = 2/3。

从上面的例子可以看出，概率的期望值是一个介于0和1之间的值。

如果一个事件的期望值接近0，那么这个事件在多次试验中出现的次数很少；如果一个事件的期望值接近1，那么这个事件在多次试验中出现的次数很多。

接下来，我们将通过一个更复杂的例子来解释概率的期望值的计算方法。

假设有一个服从正态分布的随机变量X，其均值为μ，方差为σ^2。

我们想要计算X的期望值。

正态分布的概率密度函数为f(x) = (1/(σ * √(2π))) * e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中e是自然对数的底。

我们需要计算的是∫(x * f(x))dx的积分，其中积分的范围是从负无穷到正无穷。

通过数学推导，我们可以将上述积分化简为μ，即X的期望值等于均值μ。

从上面的例子可以看出，对于服从正态分布的随机变量，其期望值等于均值。

总结起来，概率的期望值可以通过计算每个可能结果与其对应的概率的乘积，并将所有结果的乘积相加来得到。

对于服从正态分布的随机变量，其期望值等于均值。

概率的期望值在实际生活和科学研究中起着重要的作用。

概率与统计一、概率及随机变量的分布列、期望与方差(一)概率及其计算1.几个互斥事件和事件概率的加法公式①如果事件A 与事件B 互斥,则()P A B =()()P A P B +.推广：如果事件1A ,2A ,…,n A 两两互斥(彼此互斥),那么事件12n A A A +++发生的概率,等于这n 个事件分别发生的概率的和,即()12n P A A A +++=()()()12n P A P A P A ++.②若事件B 与事件A 互为对立事件,则()P A =()1P B -. 2.古典概型的概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数．(二)随机变量的分布列、期望与方差1. 常用的离散型随机变量的分布列(1)二项分布如果随机变量X 的可能取值为0,1,2,…,n ,且X 取值的概率()P X k ==C k k n kn p q-(其中0,1,2,,,1k n q p ==-),其随机变量分布列为X 0 1 …k…nP0C nnp q111C n np q-…C k k n knp q-…0C n n n p q则称X 服从二项分布,记为(),X B n p ~.(2)超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则事件{}X k =发生的概率为C C C k n kM N Mn N--()0,10,1,2,,2,,k m =,其中{}min ,m M n =,且n N …,M N …,n ,M ,*N ÎN .此时称随机变量X 的分布列为超几何分布列,称随机变量X 服从超几何分布.2.条件概率及相互独立事件同时发生的概率 I.条件概率条件概率一般地,设A ,B 为两个事件,且()0P A >,称()()()P ABP B A P A=为事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率.在古典概型中,若用()n A 表示事件A 中基本事件的个数,则()()()()()n AB P AB P B A n A P A ==. II .相互独立事件相互独立事件(1)若,A B 相互独立.则()P AB =()()P A P B .(3)若A 与B 相互独立,则A 与B ,A 与B ,A 与B 也都相互独立. III .独立重复试验与二项分布独立重复试验与二项分布在n 次独立重复试验中,事件A 发生k 次的概率为(每次试验中事件A 发生的概率为p)()C 1n kkknp p --,事件A 发生的次数是一个随机变量X ,其分布列为()01)2()C 1(n kk knP X k k n p p -===-¼，，，，,此时称随机变量X 服从二项分布. 学科*网3.离散型随机变量的数学期望（均值）与方差 (1)若离散型随机变量X 的概率分布列为的概率分布列为X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n则称EX =1122i i n n x p x p x p x p ++++¼+¼为随机变量X 的均值或数学期望. (2)若Y aX b =+,则EY =aEX b +,)(D aX b +=2a DX (3)若()X B n p ～，,则EX np =.()(1)D X np p -=. 4.正态分布(1)正态曲线的性质：正态曲线的性质：①曲线位于x 轴上方,与x 轴不相交；②曲线是单峰的,它关于直线x m =对称；③曲线在x m=处达到峰值12πs；④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当s 一定时,曲线的位置由m 确定,曲线随着m 的变化而沿x 轴平移,⑥当m 一定时,曲线的形状由s 确定,s 越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中；s 越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图乙所示.(3)服从正态分布的变量在三个特殊区间内取值的概率服从正态分布的变量在三个特殊区间内取值的概率 ①0().6826P X m s m s -<+=…；②2209().544P X m s m s -<+=…； ③3309().974P X m s m s -<+=…. 二、统计与统计案例 (一)抽样方法 1．简单随机抽样设一个总体含有N 个个体,从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本()n N …,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样,最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数表法．最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数表法． 2．系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本．的样本．(1)先将总体的N 个个体编号．(2)确定分段间隔k ,对编号进行分段,当Nn是整数时,取N k n =．如果遇到Nn不是整数的情况,可以先从总体中随机地剔除几个个体,使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除得总体中剩余的个体数能被样本容量整除(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号()l l k …．(4)按照一定的规则抽取样本,通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号()l k +,再加k 得到第3个个体编号()2l k +,依次进行下去,直到获取整个样本．直到获取整个样本．3．分层抽样在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样．分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成的,往往选用分层抽样．层抽样．注：注：不论哪种抽样方法不论哪种抽样方法,总体中的每一个个体入样的概率是相同的． （二）统计图表的含义 1．作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)．(2)决定组距和组数．(3)将数据分组．(4)列频率分布表．列频率分布表． (5)画频率分布直方图．画频率分布直方图． （三）样本的数字特征1．众数：在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．2．中位数：将一组数据按大小依次排列,把处在中间位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数叫做这组数据的中位数3．平均数：样本数据的算术平均数,即x =()121n x x x n+++．4．方差：()()()2222121n s x x x x x x n éù=-+-++-êúëû(n x 是样本数据,n 是样本容量,x 是样本平均数)．5.标准差：()()()222121ns x x x x x x n éù=-+-++-êúëû．（四）线性回归直线方程 1．两个变量的线性相关(1)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫回归直线．(2)从散点图上看,如果点分布在从左下角到右上角的区域内,那么两个变量的这种相关关系称为正相关；如果点分布在从左上角到右下角的区域内,那么两个变量的这种相关关系称为负相关． (3)相关系数相关系数r ＝ååå===----ni nj jini i i y y x x y y x x 11221)()())((,当0r >时,表示两个变量正相关；当0r <时,表示两个变量负相关．r 的绝对值越接近1,表示两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近0,表示两个变量的线性相关性越弱．通常当r 的绝对值大于0.75时,便认为两个变量具有很强的线性相关关系．当1r =时,两个变量在回归直线上两个变量在回归直线上 2．回归直线方程 (1)通过求21()ni i i Qy x a b ==--å的最小值而得出回归直线的方法,即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．该式取最小值时的a ,b 的值即分别为aˆ,b ˆ． (2)两个具有线性相关关系的变量的一组数据：11(,)x y ,22(,)x y ,…,()n n x y ,,其回归方程为a x b y ˆˆˆ+=,则1122211()()ˆ()ˆˆnn i i i i i i n ni ii i x x y y x y nx yb x x x nxa y bx ====ì---×ï==ïí--ïï=-ïîåååå．注：样本点的中心(),x y 一定在回归直线上． （3）相关系数22121ˆ()1()n i ii ni i y yR y y ==-å=--å．2R 越大,说明残差平方和越小,即模型的拟合效果越好；2R 越小,残差平方和越大,即模型的拟合效果越差．在线性回归模型中,2R表示解释变量对于预报变量变化的贡献率,2R 越接近于1,表示回归的效果越好． （六）独立性检验（1）变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这样的变量称为分类变量．像这样的变量称为分类变量．（2）像下表所示列出两个分类变量的频数表,称为列联表．假设有两个分类变量X和Y ,它们的可能取值分别为12(,)x x 和12(,)y y ,其样本频数列联表（称为22´列联表）为表）为y 1 y 2 总计总计x 1 a b a b + x 2 cdc d +总计a c +b d +a b c d +++构造一个随机变量()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ,其中n a b c d =+++为样本容量．确定临界值0k ,如果2K 的观测值0k k …,就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有关系”．。

概率分布（数学期望，平均值，方差，标准差）2018展开全文我们已经了解概率的基础，概率中通常将试验的结果称为随机变量。

随机变量将每一个可能出现的试验结果赋予了一个数值，包含离散型随机变量和连续型随机变量。

掷硬币就是一个典型的离散型随机变量，离散随机变量可以取无限个但可数的数值。

而连续变量相反，它在某一个区间内能取任意的数值。

时间就是一个典型的连续变量，1.25分钟、1.251分钟，1.2512分钟，它能无限分割。

既然随机变量可以取不同的值，统计学家就用概率分布描述随机变量取不同值的概率。

相对应的，有离散型概率分布和连续型概率分布。

对于离散型随机变量x，定义一个概率函数叫f(x)，它给出了随机变量取每一个值的概率。

拿出一个骰子，掷到6的概率是f(6) = 1/6，掷到1和6的概率则是f(1)+f(6) = 1/3。

数学期望（均值）理解一：在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。

是最基本的数学特征之一。

它反映随机变量平均取值的大小。

其公式如下：xk ：表示观察到随机变量X的样本的值。

pk : 表示xk发生的概率。

数学期望反映的是平均水平。

通过它，我们能够了解一个群体的平均水平（比如说，一个班平均成绩８０）。

但另外一个方面，它所包含的信息也是十分有限的，首先是个体信息被压缩了，其次如果单纯看期望的话，是看不出样本的数量。

（平均成绩为８０，在１人班和１００人班的含义是不一样的）通过这个问题想说明，在刻画群体特征的时候，多个数字特征配合才能达到效果。

（上面的例子：可以是期望 + 数量）理解二：在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和严格的定义如下：2.数学期望的含义这个很重要，我们一定要明白概念的含义，联系到实际的应用场景中表达的真正意义，数学期望的存在是为了表达什么？答：反映随机变量平均取值的大小3.数学期望（均值）和算术平均值（平均数）的关系（期望和平均数的关系）谈谈我对于这两个概念的理解（1）平均数是根据实际结果统计得到的随机变量样本计算出来的算术平均值，和实验本身有关，而数学期望是完全由随机变量的概率分布所确定的，和实验本身无关。

高考数学中的概率统计中的概率分布在高考数学中，概率统计是一道必考题。

而在这道题里，概率分布也是一道非常重要的题目。

那么，什么是概率分布呢？在这篇文章里，我们将会深入探讨概率分布的知识。

一、概率分布的定义概率分布是指一个随机变量在各个取值间的分布规律，也就是随机变量的取值与它的概率之间的对应关系。

如果一个随机变量X的所有取值为x1,x2,……,xn，那么X在取到xi这个值的概率为P(X=xi)，其中，P(xi)表示事件“X=xi”发生的概率，也就是概率分布。

二、离散概率分布在离散概率分布中，随机变量只能取到有限个或可数个不同的取值。

比如，扔一次骰子，它有可能落在1,2,3,4,5,6这6个数字上。

那么，每个数字出现的概率就是1/6。

这时，可以用离散概率分布来表示各数字出现的概率。

另一个例子是二项分布。

当我们进行一系列的试验，每次实验只有两种结果，成功或失败。

比如，投掷一枚不均匀的硬币，如果硬币正面朝上，称为“成功”，反面朝上则被称为“失败”。

设p表示出现成功的概率，q表示出现失败的概率，则在n次试验中，成功出现k次的概率为：其中，C(n,k)表示在n次试验中，成功出现k次的组合数，也就是从n次试验中选择k次成功的方案数。

这便是二项分布的概率分布。

三、连续概率分布另一种概率分布是连续概率分布。

在连续概率分布中，随机变量可以在一定的区间内取到任意值。

比如身高、体重等连续变量就是典型的例子。

在这种情况下，不能用数列的方式来表示各数出现的频率。

而需要使用概率密度函数。

概率密度函数是连续概率分布的核心概念。

在一个区间[a,b]内，概率密度函数$f(x)$的图像下垂线与$x$轴之间的面积就代表了$[a,b]$区间内$X$取到的概率。

概率密度函数有以下两个性质：1. $f(x)\ge 0$，即概率密度函数的值必须非负；2. 在所有可能的取值范围内，概率密度函数的面积为1，即$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1$。

概率与期望知识点总结概率的基本概念概率是指某一随机事件发生的可能性大小。

在数学上，概率可以通过概率分布函数或概率密度函数来描述。

对于离散型随机变量，可以用概率分布函数来描述其概率分布；对于连续型随机变量，可以用概率密度函数来描述其概率分布。

随机事件发生的概率有着一些基本的性质，例如概率值在0到1之间，所有可能事件的概率之和为1等。

除了基本性质之外，概率还有一些常见的规则，如加法规则、乘法规则以及全概率公式等，这些规则可以帮助我们计算复杂事件发生的概率。

概率的应用非常广泛，例如在赌博中用于确定输赢的概率，在医学实验中用于评价新药的疗效等。

在实际应用中，有时候我们需要估计概率值，这就需要利用统计学方法来进行推断，如最大似然估计、贝叶斯估计等。

概率的计算方法有很多种，常见的方法包括古典概率法、几何概率法、频率概率法以及古典概率法等。

期望的基本概念期望是描述随机变量平均值的一个概念。

对于离散型随机变量，期望可以用数学期望来表示；对于连续型随机变量，期望可以用积分形式的期望来表示。

期望具有线性性质，即对于常数a和b以及随机变量X和Y，有E(aX+bY) = aE(X) + bE(Y)。

这一性质在实际应用中非常有用，可以帮助我们简化期望的计算。

期望在实际应用中也有着非常重要的作用，例如在经济学中用于描述投资收益的平均值，在工程学中用于描述系统性能的平均值等。

期望还可以用来度量随机变量的变异程度，从而在决策中提供参考。

期望的计算方法有很多种，对于离散型随机变量，可以用加权平均值的方法进行计算；对于连续型随机变量，可以用积分的方法进行计算。

概率与期望的关系概率与期望是概率论与数理统计中两个重要的概念，它们之间有着密切的关系。

概率描述的是随机事件发生的可能性大小，而期望描述的是随机变量的平均值。

在实际应用中，通常需要根据概率来计算期望，或者根据期望来推断概率。

例如，对于离散型随机变量X，它的数学期望可以用期望算子E(X)来表示，而E(X)的计算公式为E(X) = Σx⋅P(X=x)，其中x表示X的取值，P(X=x)表示X取值为x的概率。

概率统计计算公式概率统计是数学中的一门学科，旨在研究随机现象的规律性和不确定性。

通过运用计算方法，我们可以得到概率统计中常用的计算公式，这些公式在实际问题的解决中起着重要的作用。

本文将介绍一些常见的概率统计计算公式，帮助读者更好地理解和应用。

一、离散型概率分布的计算公式1. 伯努利试验的概率计算公式伯努利试验是指只有两种可能结果的随机试验，如抛硬币的正反面，成功与失败等。

在伯努利试验中，事件A发生的概率记为P(A)，其计算公式为：P(A) = p，P(非A) = 1-p2. 二项分布的概率计算公式二项分布是伯努利试验的重复进行，每次试验结果相互独立，且成功的概率保持不变。

在n次独立试验中，成功次数为k的概率记为P(X=k)，其计算公式为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)3. 泊松分布的概率计算公式泊松分布用于描述单位时间或单位面积内某事件发生的次数，其概率密度函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!二、连续型概率分布的计算公式1. 均匀分布的概率密度函数计算公式均匀分布是指在一段连续区间上概率分布相等的情况。

在区间[a, b]上服从均匀分布的随机变量X的概率密度函数为：f(x) = 1 / (b-a)，a <= x <= b2. 正态分布的概率密度函数计算公式正态分布是概率统计中最常用的连续型概率分布之一，在许多自然现象和社会现象中都有广泛的应用。

正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))三、统计推断中的计算公式1. 样本均值的计算公式当我们从总体中抽取一部分称为样本进行统计分析时，样本均值的计算公式为：x = Σ(x) / n2. 样本标准差的计算公式样本标准差衡量了样本数据的离散程度，其计算公式为：s = √(Σ(x-x)^2 / (n-1))3. 方差的计算公式方差是样本标准差的平方，其计算公式为：σ^2 = Σ(x-x)^2 / (n-1)概率统计计算公式是实际问题分析和解决的基础，掌握这些公式能够帮助我们更准确地评估风险、预测趋势和做出决策。

随机变量的数学期望例题和知识点总结在概率论与数理统计中，随机变量的数学期望是一个非常重要的概念。

它反映了随机变量取值的平均水平，在实际问题中有着广泛的应用。

下面我们将通过一些具体的例题来深入理解随机变量的数学期望，并对相关知识点进行总结。

一、数学期望的定义对于离散型随机变量 X，其概率分布为 P(X ＝ xk) ＝ pk，k ＝ 1, 2, 3, ，则数学期望 E(X) 定义为：E(X) ＝∑（xk pk)。

对于连续型随机变量 X，其概率密度函数为 f(x)，则数学期望 E(X) 定义为：E(X) ＝∫xf(x)dx（积分区间为整个实数轴）。

二、离散型随机变量的数学期望例题例 1：抛掷一枚质地均匀的骰子，设随机变量 X 表示骰子的点数，求 X 的数学期望。

解：骰子的点数可能为 1、2、3、4、5、6，且每个点数出现的概率均为 1/6。

E(X) ＝ 1×（1/6) ＋ 2×（1/6) ＋ 3×（1/6) ＋ 4×（1/6) ＋ 5×（1/6) ＋6×（1/6) ＝ 35例 2：某射手射击目标，击中目标得 1 分，未击中目标得 0 分。

已知他击中目标的概率为 07，设随机变量 X 表示他射击一次的得分，求X 的数学期望。

解：P(X ＝ 1) ＝ 07，P(X ＝ 0) ＝ 03E(X) ＝ 1×07 ＋ 0×03 ＝ 07三、连续型随机变量的数学期望例题例 3：设随机变量 X 服从区间0, 2上的均匀分布，求 X 的数学期望。

解：因为 X 服从区间0, 2上的均匀分布，所以其概率密度函数为f(x) ＝ 1/2，0 ≤ x ≤ 2。

E(X) ＝∫x(1/2)dx（积分区间为 0 到 2）＝ 1例 4：已知随机变量 X 的概率密度函数为 f(x) ＝ 2x，0 ＜ x ＜ 1，求 X 的数学期望。

解：E(X) ＝∫x(2x)dx（积分区间为 0 到 1）＝ 2/3四、数学期望的性质1、设 C 为常数，则 E(C) ＝ C。

概率模型中的期望和方差计算概率模型是概率论的重要组成部分，用于描述和分析随机事件的发生概率和相关性。

在概率模型中，期望和方差是两个基本的统计量，它们能够帮助我们更好地理解和解释概率模型的特性和行为。

本文将介绍概率模型中期望和方差的计算方法，并通过实例进行说明。

一、期望的计算期望是随机变量的平均值，表示随机变量在大量试验中的长期平均表现。

对于离散型随机变量，期望的计算公式为：E(X) = ∑[x * P(X = x)]其中，X表示随机变量，x表示X的取值，P(X = x)表示X取值为x的概率。

我们需要将所有可能的取值x乘以相应的概率，并将它们相加得到期望。

举个例子，假设有一个骰子，它的每个面上的数字为1、2、3、4、5、6，每个面出现的概率相等。

我们可以计算这个骰子的期望。

E(X) = 1 * (1/6) + 2 * (1/6) + 3 * (1/6) + 4 * (1/6) + 5 * (1/6) + 6 * (1/6) = 3.5所以，这个骰子的期望为3.5。

对于连续型随机变量，期望的计算公式为：E(X) = ∫[x * f(x)]dx其中，f(x)表示X的概率密度函数。

我们需要将随机变量的取值x乘以相应的概率密度，并对所有可能的取值x进行积分得到期望。

举个例子，假设有一个服从均匀分布的随机变量X，其取值范围为[0, 1]。

我们可以计算这个随机变量的期望。

E(X) = ∫[x * 1]dx (0 ≤ x ≤ 1) = ∫[x]dx (0 ≤ x ≤ 1) = [x^2/2] (0 ≤ x ≤ 1) = 1/2所以，这个随机变量的期望为1/2。

二、方差的计算方差衡量了随机变量与其期望的偏离程度，是对随机变量离散程度的度量。

方差的计算公式为：Var(X) = E[(X - E(X))^2]其中，Var(X)表示X的方差，E(X)表示X的期望。

我们需要计算随机变量与其期望的差的平方的期望。

举个例子，假设有一个服从二项分布的随机变量X，其参数为n=10，p=0.3。

概率与数学期望概率与数学期望是数学中两个重要的概念，被广泛应用于统计学、金融学、工程学等各个领域。

本文将从概率的定义和计算方法，以及数学期望的概念和应用角度进行论述。

一、概率概率是描述事件发生可能性大小的数值，通常用0到1之间的数表示。

在概率论中，我们通过对样本空间和事件的定义来计算概率。

以掷骰子为例，假设我们有一个均匀的六面骰子，那么掷出1的概率就是1/6。

概率的计算可以通过频率和理论推导两种方法。

1.1 频率法频率法是通过实验重复进行，并统计事件发生的次数来计算概率。

以抛硬币为例，我们进行100次实验，发现正面朝上的次数是50次，那么正面朝上的概率就是50/100=0.5。

1.2 理论推导法理论推导法是通过已知的条件和概率公式，利用数学推导来计算概率。

概率的公式包括加法法则、乘法法则和全概率公式。

以两个骰子点数和为例，我们可以通过列举所有可能的结果来计算概率。

例如，点数和为7的概率是多少？我们可以得知可能的结果有36个，其中点数和为7的结果有6个，因此概率为6/36=1/6。

二、数学期望数学期望是一个随机变量的平均值，表示对该变量的预期结果。

数学期望可以帮助我们了解随机变量的整体特征，并进行决策和预测。

数学期望的计算可以通过离散型和连续型两种情况。

2.1 离散型数学期望对于离散型随机变量，数学期望的计算公式为E(X) = ΣxP(X=x)，其中x表示随机变量的可能取值，P(X=x)表示随机变量取值为x的概率。

以扑克牌为例，我们可以计算一手五张牌中点数的数学期望。

根据扑克牌的规则，点数2到10的概率为4/52，而J、Q、K的概率为4/52，A的概率为1/52。

因此，一手五张牌中点数的数学期望为(2+3+...+10)*4/52 + (11+12+13)*4/52 + 1*1/52 = 6.9231。

2.2 连续型数学期望对于连续型随机变量，数学期望的计算公式为E(X) = ∫xf(x)dx，其中f(x)表示随机变量的概率密度函数。

高中数学中的概率密度函数与期望计算概率密度函数和期望是高中数学中重要的概念，它们在统计学和概率论中有着广泛的应用。

本文将介绍概率密度函数和期望的基本概念和计算方法，以及它们在实际问题中的应用。

一、概率密度函数概率密度函数是描述连续型随机变量的概率分布的函数。

对于一个连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)满足以下两个条件：非负性和归一性。

非负性要求概率密度函数的值必须大于等于零，即对于任意的x，f(x)≥0。

归一性要求概率密度函数的积分等于1，即∫f(x)dx=1。

概率密度函数可以用来计算随机变量落在某个区间内的概率。

对于一个区间[a, b]，该区间内随机变量X的概率可以通过计算概率密度函数在该区间上的积分来得到，即P(a≤X≤b)=∫[a,b]f(x)dx。

二、期望期望是描述随机变量平均值的概念，它是对随机变量的所有可能取值的加权平均。

对于一个离散型随机变量X，其期望E(X)可以通过以下公式计算：E(X)=∑xP(X=x)。

对于一个连续型随机变量X，其期望E(X)可以通过以下公式计算：E(X)=∫xf(x)dx。

期望可以用来衡量随机变量的平均水平。

例如，对于一个投掷骰子的随机实验，骰子的期望就是1到6的加权平均值，即(1+2+3+4+5+6)/6=3.5。

三、概率密度函数与期望的计算概率密度函数和期望的计算需要根据具体的随机变量进行。

下面以一个常见的连续型随机变量——正态分布为例进行说明。

正态分布是一种常见的连续型概率分布，它的概率密度函数为f(x)=(1/(σ√(2π)))e^(-(x-μ)²/(2σ²))，其中μ为均值，σ为标准差。

在正态分布中，期望等于均值，即E(X)=μ。

这是因为正态分布是对称的，均值即为分布的中心位置。

通过概率密度函数和期望的计算，我们可以解决一些实际问题。

例如，假设某工厂生产的零件长度服从正态分布，均值为10厘米，标准差为0.5厘米。

我们可以利用概率密度函数计算出零件长度在某个区间内的概率，或者利用期望计算出零件的平均长度。