概率分布的期望与方差

概率论是数学中的一门重要学科，用于研究随机现象的规律及其概率性质。

其中，随机变量是概率论的一个核心概念，描述了在某个随机实验中可能的取值及其相应的概率分布。

而随机变量的期望与方差则是对随机变量的两个基本性质进行度量的重要指标。

首先，我们来谈谈随机变量的期望。

随机变量的期望是指随机变量所有可能取值的平均值，也可以理解为随机变量的中心位置。

对于离散型随机变量，其期望的计算方法为每个取值与其概率乘积的和。

例如，设X为一个服从二项分布的随机变量，取值为0和1，概率分别为p和1-p，则X的期望为E(X)=0p+1(1-p)=1-p。

而对于连续型随机变量，其期望的计算方法为对变量的概率密度函数进行积分求和。

例如，设X为一个服从均匀分布的随机变量，取值范围为[a,b]，则X的概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，X的期望为E(X)=∫[a,b]xf(x)dx=(b^2-a^2)/(2(b-a))=(a+b)/2。

期望具有良好的加性和线性性质。

加性指的是对于两个随机变量X和Y，E(X+Y)=E(X)+E(Y)。

线性性是指对于一个随机变量X和常数a，E(aX)=aE(X)。

这些性质使得期望成为了许多概率论推导及应用的基本工具。

接下来，我们讨论随机变量的方差。

方差是对随机变量的离散程度进行度量的指标。

方差越大，表示随机变量取值的波动程度越大，反之亦然。

方差的计算方法为每个取值与其概率乘积与随机变量期望差的平方的和。

对于离散型随机变量，其方差的计算公式为Var(X)=Σ(x-E(X))^2P(x)，其中Σ表示对所有可能取值求和。

对于连续型随机变量，方差的计算方法为Var(X)=∫(x-E(X))^2f(x)dx。

方差也具有一些重要的性质。

首先，方差非负，即Var(X)≥0。

其次，根据加和线性性质，方差的计算可以简化为Var(aX+b)=a^2Var(X)，其中a和b为常数。

这个性质为方差的应用提供了便利。

最后，方差的平方根被定义为随机变量的标准差，它也是一个重要的度量指标。

多元统计分析-概率,期望,⽅差,正态分布概率,期望，⽅差
只有⼀个变量时
F(x<=a) = ∫-∞a f(x)dx
当区间取负⽆穷到正⽆穷时积分为1
推⼴到多元之后:
同理，当区间取满整个空间时，积分为1
f被称为概率密度函数
边缘分布函数
当多元函数的n-m个变量取负⽆穷到正⽆穷之后
概率函数变为有m个⾃变量的函数(⼀共有n个⾃变量)
此时的概率密度函数被称为这m个⾃变量的边缘密度函数
若n个⾃变量相互独⽴，则每个⾃变量边缘密度函数的乘积为联合分布的概率密度
均值与⽅差：
均值⼀元时相同，只不过是在每⼀位上求均值并最终将他们组合成⼀个向量
均值组合成的向量最为均值
同理，均值有如下特征
这⾥的A，B为矩阵，X为向量
由均值得出⽅差
D(X) = E(X-E(X))*(X - E(X))
D(x) = E(XX') - E(X)*E(X')
可以看到，协差阵是平⽅的期望，所以协差阵肯定是半正定的
这个正好是当X=Y时的协差阵　
协差阵，相关系数阵，标准离差阵
当判断两个多元向量关系的时候，可先求出协差阵
协差阵的每个元素/这两个单独拿出来算的⽅差即可得到相关系数阵
正态分布:
密度函数：
u:均值向量，∑协⽅差矩阵
由于协差阵半正定当∑ = 0时特殊情况特殊考虑
n元正态分布的每⼀维都服从正态分布
若X服从N(u , Σ)
现在做变换 X‘ = AX + d
那么X’服从 N(Au + d, AΣA')。

概率与统计知识点一：常见的概率类型与概率计算公式； 类型一：古典概型；1、 古典概型的基本特点：（1） 基本事件数有限多个；（2） 每个基本事件之间互斥且等可能； 2、 概率计算公式：A 事件发生的概率()A P A =事件所包含的基本事件数总的基本事件数;类型二：几何概型；1、 几何概型的基本特点：（1） 基本事件数有无限多个；（2） 每个基本事件之间互斥且等可能； 2、 概率计算公式：A 事件发生的概率()A P A =构成事件的区域长度（或面积或体积或角度）总的区域长度（或面积或体积或角度）；注意：（1） 究竟是长度比还是面积比还是体积比，关键是看表达该概率问题需要几个变量，如果需要一个变量，则应该是长度比或者角度比；若需要两个变量则应该是面积比；当然如果是必须要三个变量则必为体积比；（2） 如果是用一个变量，到底是角度问题还是长度问题，关键是看谁是变化的主体，哪一个是等可能的； 例如：等腰ABC ∆中，角C=23π，则： （1） 若点M 是线段AB 上一点，求使得AM AC ≤的概率； （2） 若射线CA 绕着点C 向射线CB 旋转，且射线CA 与线段AB 始终相交且交点是M ，求使得AM AC ≤的概率；解析：第一问中明确M 为AB 上动点，即点M 是在AB 上均匀分布，所以这一问应该是长度之比，所求概率：13P =; 而第二问中真正变化的主体是射线的转动，所以角度的变化是均匀的，所以这一问应该是角度之比的问题，所以所求的概率：2755==1208P ︒； 知识点二：常见的概率计算性质； 类型一：事件间的关系与运算； A+B （和事件）：表示A 、B 两个事件至少有一个发生； A B ∙（积事件）：表示A 、B 两个事件同时发生；A （对立事件）：表示事件A 的对立事件；类型二：复杂事件的概率计算公式； 1、 和事件的概率：()=()()()P A B P A P B P A B ++-∙（1）特别的，若A 与B 为互斥事件，则：()=()()P A B P A P B ++（2）对立事件的概率公式：()1()P A P A =-2、 积事件的概率：（1）若事件12n A A A 、、、相互独立，则：1212()()()()n n P A A A P A P A P A ∙∙∙=∙∙∙（2）n 次独立重复的贝努利实验中，某事件A 在每一次实验中发生的概率都为p ，则在n 次试验中事件A 发生k 次的概率：()(1)k k k n kn n P A C p p -=- 类型三：条件概率；1、 条件概率的定义：我们把在事件A 发生的条件下事件B 发生的概率记为：(|)P B A ；且()(|)()P A B P B A P A ∙=2、 三个常见公式：（1） 乘法公式：()()(|)P A B P A P B A ∙=∙（2） 全概率公式：设123,,,,n A A A A 是一组互斥的事件且1nk k A ==Ω∑，则对于任何一个事件B 都有：11()()()(|)nnki i k k P B P AB P A P B A ===∙=∙∑∑（3） 贝叶斯公式：设123,,,,n A A A A 是一组互斥的事件且1nk k A ==Ω∑则对于任何一个事件B 都有：1()(|)(|)()(|)j j j niik P A P B A P A B P A P B A =∙=∙∑知识点三：求解一般概率问题的步骤；第一步：确定事件的性质：等可能事件、互斥事件、相互独立事件、n 次独立重复实验等； 第二步：确定事件的运算：和事件、积事件、条件概率等；第三步：运用相应公式，算出结果；知识点三：常见的统计学数字特征量及其计算； 特征量一：平均数（数学期望） 计算公式一：1231()n x x x x x n=++++；计算公式二：1()nx iik E x P x x ==∙=∑；计算公式三：（若随机变量x 是连续型随机变量，且函数()f x 是它的密度函数）()Ex xf x dx +∞-∞=⎰特征量二：中位数将所有的数从大到小排或者从小到大排，若共有奇数个数，则正中间的那个数叫做这一列数的中位数；若共有偶数个数，那么正中间那两个数的平均数叫做这一列数的中位数。

概率论分布列期望方差习题及答案The following text is amended on 12 November 2020.圆梦教育 离散型随机变量的分布列、期望、方差专题姓名：__________班级：__________学号：__________1．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为,,，假设各盘比赛结果相互独立。

（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.2．已知某种从太空带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为13，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的． (1) 第一小组做了三次实验，求实验成功的平均次数；(2) 第二小组连续进行实验，求实验首次成功时所需的实验次数的期望； (3)两个小组分别进行2次试验，求至少有2次实验成功的概率．3．一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p ，出现“×”的概率为q .若第k 次出现“○”，则a k =1；出现“×”，则a k =1-.令S n =a 1+a 2+…+a n ()n N *∈.(1)当12p q ==时，求S 6≠2的概率；(2)当p =31，q =32时，求S 8=2且S i ≥0(i =1,2,3,4)的概率.4．在一个有奖问答的电视节目中，参赛选手顺序回答123A A A 、、三个问题，答对各个问题所获奖金（单位：元）对应如下表：当一个问题回答正确后，选手可选择继续回答下一个问题，也可选择放弃．若选择放弃，选手将获得答对问题的累计奖金，答题结束；若有任何一个问题回答错误，则全部奖金归零，答题结束．设一名选手能正确回答123A A A 、、的概率分别为421534、、，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率均为12，且各个问题回答正确与否互不影响．（Ⅰ）按照答题规则，求该选手1A 回答正确但所得奖金为零的概率；（Ⅱ）设该选手所获奖金总数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．5．某装置由两套系统M,N 组成，只要有一套系统工作正常，该装置就可以正常工作。

二项分布的期望和方差二项分布是一种重要的离散概率分布，它描述的是$n$个相互独立的试验中，成功事件发生$k$次的概率分布。

在实际应用中，二项分布经常用于描述一些概率事件的发生情况，如掷硬币的正反面、挑选配对项的成功率等等。

在这篇文章中，我们将主要讨论二项分布的期望和方差。

一、二项分布的期望我们知道，二项分布的概率质量函数为：$$P(X=k)={n\\choose k}p^k(1-p)^{n-k}$$其中，$k$表示成功事件发生的次数，$p$表示单次试验中成功的概率，$(1-p)$表示单次试验中失败的概率，$n$表示总的试验次数。

二项分布的期望是指在进行$n$次相互独立的试验中，成功事件发生的次数$k$的平均值，即：$$E(X)=\\sum_{k=0}^{n}k\\cdot P(X=k)$$通过二项分布的概率质量函数，可得：$$E(X)=\\sum_{k=0}^{n}k\\cdot {n\\choose k}p^k(1-p)^{n-k}$$$$=\\sum_{k=0}^{n}k\\cdot\\frac{n!}{k!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}$$$$=\\sum_{k=0}^{n}\\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}$$$$=np\\sum_{k=1}^{n}\\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k-1}(1-p)^{n-k}$$我们可以发现，上述式子中的求和式与二项分布的概率质量函数非常相似，只是指数$k$的范围有所变化。

因此，我们可以将上述式子看成是在二项分布的概率质量函数中去掉$k=0$的项后，对余下的$k$项分别乘以$k$，最后相加起来，即：$$E(X)=np\\sum_{k=0}^{n-1}{n-1\\choose k}p^k(1-p)^{n-1-k}$$$$=np\\cdot1$$由此可见，二项分布的期望为$np$，这意味着在进行$n$次相互独立的试验中，成功事件发生的次数$k$的平均值为$n$乘以单次成功的概率$p$。

二项分布的期望和方差的详细证明在概率论中，二项分布是一种非常重要的离散概率分布。

它描述了在 n 次独立重复的伯努利试验中，成功的次数 X 的概率分布。

在深入研究二项分布时，了解其期望和方差是至关重要的。

接下来，我们将详细证明二项分布的期望和方差。

首先，让我们明确二项分布的定义。

如果一个随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，记作 X ～ B(n, p)，其中 n 表示试验的次数，p 表示每次试验成功的概率。

那么，二项分布的概率质量函数为：P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) ，其中 k ＝ 0, 1, 2,， n ，C(n, k) 表示从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数。

接下来，我们开始证明二项分布的期望。

期望（Expected Value），通常用 E(X) 表示，它反映了随机变量取值的平均水平。

我们有：E(X) ＝∑k ＝ 0 to n k P(X ＝ k)＝∑k ＝ 0 to n k C(n, k) p^k （1 p)＾（n k)为了计算这个和式，我们可以使用一些技巧。

首先，我们对 k C(n, k) 进行变形：k C(n, k) ＝ n C(n 1, k 1)将其代入期望的表达式中：E(X) ＝∑k ＝ 0 to n n C(n 1, k 1) p^k （1 p)＾（n k)令 j ＝ k 1 ，则 k ＝ j ＋ 1 ，当 k ＝ 0 时，j ＝－1 ；当 k ＝ n 时，j ＝ n 1 。

则上式可以改写为：E(X) ＝n ∑j ＝－1 to n 1 C(n 1, j) p^（j ＋ 1) （1 p)＾（（n 1) j)因为当 j ＝－1 时，C(n 1, －1) ＝ 0 ，所以可以将求和的下限改为0 。

E(X) ＝n p ∑j ＝ 0 to n 1 C(n 1, j) p^j （1 p)＾（（n 1) j)而∑j ＝ 0 to n 1 C(n 1, j) p^j （1 p)＾（（n 1) j) 恰好是二项分布B(n 1, p) 的所有概率之和，其值为 1 。

分布列、期望、方差知识总结一、知识结构二、知识点1.随机试验的特点:①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．2.分类随机变量（如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。

）离散型随机变量在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．连续型随机变量对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.连续型随机变量的结果不可以一一列出.3.离散型随机变量的分布列一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2, ,x i , ,x nX取每一个值xi(i=1,2,）的概率P(ξ=x i）＝P i，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列性质：①pi≥0, i =1，2，…；②p1 + p2 +…+p n= 1．③一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。

4.求离散型随机变量分布列的解题步骤例题：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次的得分的分布列.解：用随机变量X表示“每次罚球得的分值”，依题可知，X可能的取值为：1,0且P（X=1）=0.7，P（X=0）=0.3因此所求分布列为：引出二点分布如果随机变量X的分布列为：其中0<p<1，q=1-p，则称离散型随机变量X服从参数p的二点分布二点分布的应用：如抽取彩票是否中奖问题、新生婴儿的性别问题等.超几何分布一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n ≤N)件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，则它取值为k 时的概率为()(0,1,2,,)k n k M N MnNC C P X k k m C --===，其中{}min,m M n =,且*,,,,n N M N n M N N ∈≤≤ 则称随机变量X 的分布列为超几何分布列,且称随机变量X 服从参数N 、M 、n 的超几何分布注意：（1）超几何分布的模型是不放回抽样；（2）超几何分布中的参数是N 、M 、n ，其意义分别是总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量解题步骤：例题、在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率解：设摸出红球的个数为X,则X 服从超几何分布,其中30,10,5N M n === X 可能的取值为0，1，2，3，4, 5. 由题目可知，至少摸到3个红球的概率为(3)(3)(4)(5)P X P X P X P X ==+=+=≥324150102010201020555303030C C C C C C C C C =++ ≈0.191答：中奖概率为0.191.nNn MN MCC C -0nNn MN MCC C 11--nNm n MN m MCC C --条件概率1.定义：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率2.事件的交（积）:由事件A 和事件B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A 与事件B 的交（或积作D=A ∩B 或D=AB3.条件概率计算公式:P(B|A)相当于把A 看作新的基本事件空间,求Ａ∩Ｂ发生的概率:解题步骤：例题、10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二取到次品的概率.解：设 A = {第一个取到次品}， B = {第二个取到次品}，所以，P(B|A) = P(AB) / P(A)= 2/9 答：第二个又取到次品的概率为2/9..0)(,)()()|(>=A P A P AB P A B P .1)|(0)()|()(0)A (P ≤≤⋅=>A B P A P A B P AB P （乘法公式）；，则若.151)(21023==⇒C C AB P .103)(=A P相互独立事件2.相互独立事件同时发生的概率公式两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

常见分布函数的期望和方差
六种常见分布的期望和方差：
1、0-1分布
已知随机变量X，其中P{X=1} = p，P{X=0} = 1-p，其中0 < p < 1，则成X 服从参数为p的0-1分布。

其中期望为E（X）= p，方差D（X）= p（1-p）。

2、二项分布
n次独立的伯努利实验（伯努利实验是指每次实验有两种结果，每种结果概率恒定，比如抛硬币）。

其中期望E（X）= np，方差D（X）= np（1-p）。

3、泊松分布
其概率函数为P{X=k}=λ^k/(k!e^λ) k=0，1，2…...k代表的是变量的值。

其中期望和方差均为λ。

4、均匀分布
若连续型随机变量X具有概率密度，则称X在（a，b）上服从均匀分布。

其中期望E（X）= （a+b）/ 2 ，方差D（X）= （b-a）^2 / 12。

5、正态分布
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为N(μ，σ2)。

当μ= 0,σ= 1时的正态分布是标准正态分布。

其中期望是u，方差是σ的平方。

6、指数分布
若随机变量x服从参数为λ的指数分布，则记为X~E（λ）。

其中期望是E(X)=1/λ，方差是D(X)=1/λ。

二项分布的期望和方差的详细证明在概率论中，二项分布是离散概率分布的一种，描述了n次独立重复的伯努利实验中成功次数的概率分布。

二项分布的期望和方差是对其分布特征的两个重要描述。

下面将详细证明二项分布的期望和方差。

首先，二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)其中，n表示独立实验的次数，k表示成功的次数，p表示每次实验成功的概率，(1-p)表示每次实验失败的概率，C(n,k)表示组合数，定义为n!/(k!(n-k)!)。

【证明期望】E(X)=∑[k=0,n]k*P(X=k)考虑到k*P(X=k)可以表示为k次成功的概率乘以成功次数k，再乘以失败次数(n-k)的概率。

其中，成功的次数k可以从0到n。

将二项分布的概率质量函数带入计算：E(X)=∑[k=0,n]k*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)我们可以通过二项式定理将其转化为：E(X)=∑[k=0,n]n!/(k!(n-k)!)*k*p^k*(1-p)^(n-k)进一步，我们可以通过对k进行分离：E(X)=∑[k=0,n]n!/[k!(n-k-1)!]*p^k*(1-p)^(n-k)我们可以进行一下变换，将k的范围从0到n重新放置为1到n+1：E(X)=∑[k=1,n+1]n!/[k-1!(n-k)!]*p^(k-1)*(1-p)^(n-k+1)通过上述变换，我们可以将k-1放到组合数中，并进行简化：E(X)=∑[k=1,n+1]n!/[k-1!(n-k+1)!]*p^(k-1)*(1-p)^(n-k+1)再通过代换，令j=k-1,有：E(X)=∑[j=0,n]n!/[(j)!(n-j+1)!]*p^j*(1-p)^(n-j+1)可以发现上述与二项分布的概率质量函数非常相似，只是未包含第一项的值。

而∑[j=0,n]n!/[(j)!(n-j+1)!]*p^j*(1-p)^(n-j+1)就是二项分布中k从0到n的概率总和，即为1、所以，我们可以将其表示为：E(X)=n*p得证。

二项分布的期望和方差的详细证明在概率论与数理统计中，二项分布是一种非常重要的离散概率分布。

它描述了在 n 次独立重复的伯努利试验中，成功的次数的概率分布。

理解二项分布的期望和方差对于深入掌握概率统计的知识具有重要意义。

接下来，我们将详细证明二项分布的期望和方差。

首先，让我们回顾一下二项分布的定义。

如果进行 n 次独立的伯努利试验，每次试验成功的概率为 p，失败的概率为 1 p，那么随机变量X 表示 n 次试验中成功的次数，就服从参数为 n 和 p 的二项分布，记为 X ～ B(n, p)。

我们先来证明二项分布的期望。

期望（Expected Value）也称为均值，它反映了随机变量取值的平均水平。

设随机变量 X 服从二项分布 B(n, p)，则 X 的概率质量函数为：P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) ，其中 k ＝ 0, 1, 2,， n ，C(n, k) 表示从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数。

期望 E(X) 的定义为：E(X) ＝Σ k P(X ＝ k) ，即对所有可能的取值k 乘以其对应的概率 P(X ＝ k) ，然后求和。

则 E(X) ＝Σ k C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) ，（k 从 0 到 n ）我们对这个求和式进行变形：E(X) ＝Σ k n! ／ k! （n k)！ p^k （1 p)＾（n k)＝Σ n （n 1)！／（k 1)！（n k)！ p^k （1 p)＾（n k)＝n p Σ （n 1)！／（k 1)！（n k)！ p^（k 1) （1 p)＾（n k)令 j ＝ k 1 ，则 k ＝ j ＋ 1 ，当 k 从 0 到 n 时，j 从－1 到 n 1 。

但由于概率在 j ＝－1 时为 0 ，所以我们只需要对 j 从 0 到 n 1 求和。

E(X) ＝n p Σ （n 1)！／ j! （n 1 j)！ p^j （1 p)＾（n 1 j) ，（j 从 0 到 n 1 ）而这个求和式正好是二项分布 B(n 1, p) 的所有概率之和，根据概率的性质，其和为 1 。

概率分布（数学期望，平均值，方差，标准差）2018展开全文我们已经了解概率的基础，概率中通常将试验的结果称为随机变量。

随机变量将每一个可能出现的试验结果赋予了一个数值，包含离散型随机变量和连续型随机变量。

掷硬币就是一个典型的离散型随机变量，离散随机变量可以取无限个但可数的数值。

而连续变量相反，它在某一个区间内能取任意的数值。

时间就是一个典型的连续变量，1.25分钟、1.251分钟，1.2512分钟，它能无限分割。

既然随机变量可以取不同的值，统计学家就用概率分布描述随机变量取不同值的概率。

相对应的，有离散型概率分布和连续型概率分布。

对于离散型随机变量x，定义一个概率函数叫f(x)，它给出了随机变量取每一个值的概率。

拿出一个骰子，掷到6的概率是f(6) = 1/6，掷到1和6的概率则是f(1)+f(6) = 1/3。

数学期望（均值）理解一：在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。

是最基本的数学特征之一。

它反映随机变量平均取值的大小。

其公式如下：xk ：表示观察到随机变量X的样本的值。

pk : 表示xk发生的概率。

数学期望反映的是平均水平。

通过它，我们能够了解一个群体的平均水平（比如说，一个班平均成绩８０）。

但另外一个方面，它所包含的信息也是十分有限的，首先是个体信息被压缩了，其次如果单纯看期望的话，是看不出样本的数量。

（平均成绩为８０，在１人班和１００人班的含义是不一样的）通过这个问题想说明，在刻画群体特征的时候，多个数字特征配合才能达到效果。

（上面的例子：可以是期望 + 数量）理解二：在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和严格的定义如下：2.数学期望的含义这个很重要，我们一定要明白概念的含义，联系到实际的应用场景中表达的真正意义，数学期望的存在是为了表达什么？答：反映随机变量平均取值的大小3.数学期望（均值）和算术平均值（平均数）的关系（期望和平均数的关系）谈谈我对于这两个概念的理解（1）平均数是根据实际结果统计得到的随机变量样本计算出来的算术平均值，和实验本身有关，而数学期望是完全由随机变量的概率分布所确定的，和实验本身无关。

几何概率的期望与方差在概率论中，几何概率是一种描述某事件在重复试验中首次发生所需要的试验次数的概率模型。

几何概率的期望与方差是对几何分布进行统计描述的两个重要指标。

几何分布是离散型概率分布的一种，描述的是在一系列重复且独立的伯努利试验中，首次成功所需要的试验次数。

换句话说，几何分布关注的是发生某事件所需要的试验次数。

在几何分布中，概率质量函数为P(X = k) = (1-p)^(k-1) * p，其中X表示事件首次成功所需要的试验次数，p表示每次试验中事件成功的概率，k表示试验次数。

几何分布的随机变量X是非负整数，取值范围是1, 2, 3, ...。

首先，我们来计算几何概率的期望。

期望是对随机变量的平均值进行描述的指标，也可以理解为试验次数的平均值。

对于几何分布而言，其期望可以通过公式E(X) = 1/p进行计算。

换句话说，几何概率的期望就是事件首次发生所需要的平均试验次数。

接下来，我们来计算几何概率的方差。

方差是对随机变量的离散程度进行描述的指标，也可以理解为试验次数的变化程度。

对于几何分布而言，其方差可以通过公式Var(X) = (1-p)/p^2进行计算。

几何概率的期望与方差的计算公式给出了两个重要的指标，可以帮助我们理解几何分布的特征。

期望指示了事件首次成功所需要的平均试验次数，而方差则展示了试验次数的变化程度。

下面通过一个实例来具体说明几何概率的期望与方差的计算。

假设在一次投掷硬币的试验中，事件A表示首次出现正面的试验次数。

设硬币正面出现的概率为p = 0.5。

那么根据几何分布的概率质量函数P(X = k) = (1-p)^(k-1) * p，我们可以计算出试验次数与概率的对应关系：P(X = 1) = (1-0.5)^(1-1) * 0.5^1 = 0.5P(X = 2) = (1-0.5)^(2-1) * 0.5^2 = 0.25P(X = 3) = (1-0.5)^(3-1) * 0.5^3 = 0.125...我们可以继续计算更多试验次数的概率。

正态分布期望方差公式在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）为试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。

正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的高斯分布，记为N(μ，σ^2)。

其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。

因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

我们通常所说的标准正态分布是μ= 0,σ = 1的正态分布。

随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。

其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。

当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

在统计描述中，方差用来计算每一个变量（观察值）与总体均数之间的差异。

为避免出现离均差总和为零，离均差平方和受样本含量的影响，统计学采用平均离均差平方和来描述变量的变异程度。

由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。

只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。

为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。

将一般正态分布转化成标准正态分布。

对于连续型随机变量X，若其定义域为（a，b），概率密度函数为f（x），连续型随机变量X方差计算公式：D（X）=（x-μ）^2 f（x）dx方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。

（标准差、方差越大，离散程度越大）若X的取值比较集中，则方差D（X）较小，若X的取值比较分散，则方差D（X）较大。

因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量取值分散程度的一个尺度。

数学期望和方差公式
数学期望和方差公式为：EX=npDX=np（1-p）、EX=1/PDX=p^2/q、DX=E（X）^2-（EX）^2。

对于2项分布（例子：在n次试验中有K次成功，每次成功概率为P，它的分布列求数学期望和方差）有EX=npDX=np（1-p）。

n为试验次数p为成功的概率，对于几何分布（每次试验成功概率为P，一直试验到成功为止）有EX=1/PDX=p^2/q。

还有任何分布列都通用的，DX=E（X）^2-（EX）^2。

关于数学期望的历史故事：
在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，一共进行五局，赢家可以获得100法郎的奖励。

当比赛进行到第四局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？用概率论的知识，不难得知，甲获胜的可能性大，乙获胜的可能性小。

因为甲输掉后两局的可能性只有(1/2)×(1/2）=1/4，也就是说甲赢得后两局或后两局中任意赢一局的概率为1－(1/4)=3/4，甲有75%的期望获得100法郎；而乙期望赢得100法郎就得在后两局均击败甲，乙连续赢得后两局的概率为(1/2)*(1/2)=1/4，即乙有25%的期望获得100法郎奖金。

可见，虽然不能再进行比赛，但依据上述可能性推断，甲乙双方最终胜利的客观期望分别为75%和25%，因此甲应分得奖金的100*75%=75(法郎)，乙应分得奖金的的100×
25%=25(法郎)。

这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。

知识归纳1．随机变量(1)如果随机试验的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 随试验结果的不同而变化，那么变量X 叫做随机变量．(2)如果随机变量所有可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型 随机变量．2．离散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量X 所有可能取的不同值为x 1、x 2、…、x i 、…、x n ，X 取每个值x i (i ＝1,2，…n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表X 的分布列也可简记为： P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1、2、…、n . (2)离散型随机变量的分布列的性质：①p i ≥0，i ＝1,2，…n ； ②p 1＋p 2＋p 3＋…p n ＝1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。

（3）E (X )＝x 1p 1+x 2p 2+…+x n p n 为随机变量 X 的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平（4）D (X )＝∑i ＝1n[x i －E (X )]2p i ＝(x 1-E ξ)2p 1+(x 2-E ξ)2p 2+…+(x n -E ξ)2p n为随机变量X 的方差．它反映了随机变量取值相对于均值的平均波动大小． 方差D (X )的算术平方根D (X )叫做随机变量X 的标准差，记作σ(X )．高三第一轮复习离散型随机变量及其概率分布（5）设a，b 是常数，随机变量X，Y 满足Y＝aX＋b，则E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(Y)＝D(aX＋b)＝a2D(X)3．二点分布如果随机变量X的分布列为E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)4．超几何分布设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率P(X＝m)＝k n kM N MnNC CC--(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，称这种离散型随机变量的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N、M、n的超几何分布．5．条件概率设A、B为两个事件，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，公式：P(B|A)＝P(A∩B) P(A).任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．6．事件的独立性如果事件A的发生与否不影响事件B发生的概率，则P(B|A)＝P(B)，这时称事件A与B相互独立．如果事件A与B相互独立，则P(A∩B)＝P(A)P(B)，对于n个事件A1、A2、…、A n，如果其中任何一个事件发生的概率不受其它事件是否发生的影响，则称这n个事件A1、A2、…、A n相互独立．如果事件A与B相互独立，那么事件A与B，A与B，A与B也都相互独立7．独立重复试验与二项分布(1)一般地，在相同条件下重复做n次试验，各次试验的结果相互独立，称为n次独立重复试验．(2)二项分布一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率都为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从参数为n、p的二项分布，记作X～B(n，p)．E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)解决概率问题的步骤第一步，确定事件的性质：古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验，然后把所给问题归结为某一种．第二步，判断事件的运算(和事件、积事件)，确定事件至少有一个发生还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式．第三步，运用公式求概率古典概型P(A)＝m n；互斥事件P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；条件概率P(B|A)＝P(AB) P(A)；独立事件P(AB)＝P(A)P(B)；n次独立重复试验：P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k. 基础训练：1．下列四个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一个是( )A BC D2．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13i，i ＝1,2,3，则a 的值为( )A ．1 B.913 C.1113 D.27133．袋中有大小相同的 5 个球，分别标有 1,2,3,4,5 五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量 x ，则 x 所有可能取值的个数是（ ）A.5B.9C.10D.25 4．某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下ξ 6 7 8 9 10P 0.1 0.2 0.25 x 0.15此射手“射击一次命中环数≥8”的概率为_____.5．某篮运动员在三分线投球的命中率是12，他投球5次，恰好投进 3 个球的概率____ (用数值作答)6．已知随机变量ξ的分布列是：则 D (ξ)＝( )ξ 1 2 3P0.4 0.2 0.4A ．0.6B ．0.8C ．1D ．1.27．已知随机变量ξ～B (n ，p )，且 E (ξ)＝2.4，D (ξ)＝1.44，则n ,p 的值为( )A ．n ＝4，p ＝0.6B ．n ＝6，p ＝0.4C ．n ＝8，p ＝0.3D ．n ＝24，p ＝0.18．已知 X 的分布列如下表，设 Y ＝2X ＋1，则 Y 的数学期望A.61B.32C.1 D 369．(2011 年上海)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布律如下表．请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案 E (ξ)＝_____.10.已知离散型随机变量 X 的分布列如下表．若 E (X )＝0，D (X )＝1，则 a ＝___，b ＝____.典型例题例1：从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中，等可能地取出一个．(1)记性质 r ：集合中的所有元素之和为 10，求所取出的非空子集满足性质 r 的概率；(2)记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学 期望 E (ξ)变式1．某次选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45，35，25，且各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手被淘汰的概率；(2)该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分 布列与数学期望(注：本小题结果可用分数表示)．（超几何分布）例2：从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加辩论比赛． (1)求参加辩论比赛的 4 人中有 2 名女生的概率；(2)设ξ为参加辩论比赛的女生人数，求ξ的分布列及数学期望．变式2．(2011 年广东广州调研)某商店储存的 50 个灯泡中，甲厂生产的灯泡占 60%，乙厂生产的灯泡占 40%，甲厂生产的灯泡的一等品率是 90%，乙厂生产的灯泡的一等品率是 80%.(1)若从这 50 个灯泡中随机抽取出一个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等)，则它是甲厂生产的一等品的概率是多少？(2)若从这 50 个灯泡中随机抽取出两个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等)，这两个灯泡中是甲厂生产的一等品的个数记为ξ.求E(ξ)的值．（二项分布）例3：已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为—，某植物研究所分2个小组分别独立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次实验是失败的．(1)第一小组做了 3 次实验，记该小组实验成功的次数为X，求X 的概率分布列及数学期望；(2)第二小组进行实验，到成功了 4 次为止，求在第 4 次成功之前共有 3 次失败的概率．变式3．某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料． (1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； (2)求中奖人数ξ的分布列及数学期望 E (ξ)．例4：一个袋中装有 6 个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为 1,2,3,4,5,6.(1)若从袋中每次随机抽取 1 个球，有放回的抽取 2 次，求取出的两个球编号之和为 6 的概率；(2)若从袋中每次随机抽取 2 个球，有放回的抽取 3 次，求恰有 2 次抽到 6 号球的概率；(3)若一次从袋中随机抽取 3 个球，记球的最大编号为 X ，求随机变量 X 的分布列．例5：某商店试销某种商品20 天，获得如下数据：试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品 3 件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于 2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货，将频率视为概率． (1)求当天商品不进货的概率；(2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求 X 的分布列和数学期望及方差．变式5．(2011 年广东惠州调研)某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零件有 A 、B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若A项技术指标达标的概率为—，B 项技术指标达标的概率为98.按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．(1)一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率；(2)任意依次抽取该种零件 4 个，设ξ表示其中合格品的个数，求ξ分布列及E (ξ)，D (ξ)．例 6：(2011 届广东韶关摸底)A 、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 x 1和x2.根据市场分析，x1和x2的分布列分别为：(1)在A、B 两个项目上各投资 100 万元，y1和y2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差Dy1、Dy2；(2)将x(0≤x≤100)万元投资A 项目，100－x 万元投资B 项目，f(x)表示投资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和. 求f(x)的最小值，并指出x 为何值时，f(x)取到最小值[注：D(ax＋b)＝a2Dx]．变式6．(2011 年广东揭阳模拟)某单位甲乙两个科室人数及男女工作人员分布情况见下表．现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两个科室中共抽取 3 名工作人员进行一项关于“低碳生活”的调查.(1)求从甲、乙两科室各抽取的人数；(2)求从甲科室抽取的工作人员中至少有 1 名女性的概率；(3)记ξ表示抽取的 3 名工作人员中男性的人数，求ξ的分布列及数学期望．参考答案基础训练：1．下列四个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一个是( C )A BC D2．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13i，i ＝1,2,3，则a 的值为( D )A ．1 B.913 C.1113 D.27133．袋中有大小相同的 5 个球，分别标有 1,2,3,4,5 五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量 x ，则 x 所有可能取值的个数是（ B ）A.5B.9C.10D.25 4．某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下ξ 6 7 8 9 10P 0.1 0.2 0.25 x 0.15此射手“射击一次命中环数≥8”的概率为__0.7___.5．某篮运动员在三分线投球的命中率是12，他投球5次，恰好投进 3 个球的概率____ (用数值作答)解析：C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝516.6．已知随机变量ξ的分布列是：则 D (ξ)＝( B )ξ 1 2 3P0.4 0.2 0.4A ．0.6B ．0.8C ．1D ．1.27．已知随机变量ξ～B (n ，p )，且 E (ξ)＝2.4，D (ξ)＝1.44，则n ,p 的值为( )A ．n ＝4，p ＝0.6B ．n ＝6，p ＝0.4C ．n ＝8，p ＝0.3D ．n ＝24，p ＝0.18．已知 X 的分布列如下表，设 Y ＝2X ＋1，则 Y 的数学期望A.61B.32C.1 D 369．(2011 年上海)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率 分布律如下表．请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处无法 完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的 数值相同．据此，小牛给出了正确答案 E (ξ)＝__2___.10.已知离散型随机变量 X 的分布列如下表．若 E (X )＝0，D (X )＝1，则 a ＝___，b ＝____.解析：由题知a ＋b ＋c ＝12，－a ＋c ＋6＝0,12×a ＋12×c ＋22×112＝1，解得a ＝512，b ＝14. 典型例题例1：从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中，等可能地取出一个．(1)记性质 r ：集合中的所有元素之和为 10，求所取出的非空子集满足性质 r 的概率；(2)记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学 期望 E (ξ)解析：(1)记“所取出的非空子集满足性质r ”为事件A ，基本事件总数n ＝C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55＝31.事件A 包含的基本事件是{1,4,5}，{2,3,5}，{1,2,3,4}．事件A 包含的基本事件数m ＝3，所以p (A )＝m n ＝331. (2)依题意，ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5.又p (ξ＝1)＝C 1531＝531，p (ξ＝2)＝C 2531＝1031，p (ξ＝3)＝C 3531＝1031，p (ξ＝4)＝C 4531＝531，p (ξ＝5)＝C 5531＝131.故ξ的分布列为：从而E (ξ)＝1×31＋2×31＋3×31＋4×31＋5×31＝31. 变式1．某次选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45，35，25，且各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手被淘汰的概率；(2)该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望(注：本小题结果可用分数表示)．解：方法一：(1)记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝45，P (A 2)＝35，P (A 3)＝25，∴该选手被淘汰的概率p ＝P (A 1＋A 1A 2＋A 1A 2A 3)＝P (A 1)＋P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＝15＋45×25＋45×35×35＝101125.(2)ξ的可能值为1,2,3，P (ξ＝1)＝P (A 1)＝15；P (ξ＝2)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝45×25＝825； P (ξ＝3)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝45×35＝1225.∴ξ的分布列为∴E(ξ)＝1×5＋2×25＋3×25＝25（超几何分布）例2：从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加辩论比赛．(1)求参加辩论比赛的 4 人中有 2 名女生的概率；(2)设ξ为参加辩论比赛的女生人数，求ξ的分布列及数学期望．解析：(1)P＝C25·C24C49＝1021.(2)ξ可能取值为0,1,2,3,4，P(ξ＝0)＝C45C49＝5126，P(ξ＝1)＝C35·C14C49＝2063，P(ξ＝2)＝C25·C24C49＝1021，P(ξ＝3)＝C15·C34C49＝1063，P(ξ＝4)＝C44C49＝1126.所求的分布列为：∴E(ξ)＝0×126＋1×63＋2×21＋3×63＋4×126＝63.变式2．(2011 年广东广州调研)某商店储存的 50 个灯泡中，甲厂生产的灯泡占 60%，乙厂生产的灯泡占 40%，甲厂生产的灯泡的一等品率是 90%，乙厂生产的灯泡的一等品率是 80%.(1)若从这 50 个灯泡中随机抽取出一个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等)，则它是甲厂生产的一等品的概率是多少？(2)若从这 50 个灯泡中随机抽取出两个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等)，这两个灯泡中是甲厂生产的一等品的个数记为ξ.求E(ξ)的值．解：(1)方法一：设事件A 表示“甲厂生产的灯泡”，事件B表示“灯泡为一等品”，依题意有 P (A )＝0.6，P (B |A )＝0.9，根据条件概率计算公式得P (AB )＝P (A )·P (B |A )＝0.6×0.9＝0.54.方法二：该商店储存的 50 个灯泡中是甲厂生产的灯泡有 50×60%＝30(个)，乙厂生产的灯泡有 50×40%＝20(个)，其中是甲厂生产的一等品有 30×90%＝27(个)， 乙厂生产的一等品有 20×80%＝16(个)， 故从这 50 个灯泡中随机抽取出一个灯泡，它是甲厂生产的一等品的概率是P ＝5027＝0.54.(2)ξ的取值为0,1,2，P (ξ＝0)＝C 223C 250＝2531 225，P (ξ＝1)＝C 127C 123C 250＝6211 225，P (ξ＝2)＝C 227C 250＝3511 225.∴ξ的分布列为：∴E (ξ)＝0×1 225＋1×1 225＋2×1 225＝1 225＝1.08. （二项分布）例3：已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的 概率都为—，某植物研究所分2个小组分别独立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次实验是失败的． (1)第一小组做了 3 次实验，记该小组实验成功的次数为 X ， 求 X 的概率分布列及数学期望；(2)第二小组进行实验，到成功了 4 次为止，求在第 4 次成功 之前共有 3 次失败的概率．解析：(1)由题意，随机变量X 可能取值为0,1,2,3，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13，即P (X ＝0)＝C 03·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝827，P (X ＝1)＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132＝49，P (X ＝2)＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝⎛⎭⎪⎫1－131＝29，P (X ＝3)＝C 33·⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127.∴X 的概率分布列为：∴X 的数学期望E (X )＝0×27＋1×9＋2×9＋3×27＝1. (2)第二小组第7次实验成功，前面6次实验中有3次失败，每次试验又是相互独立的，因此所求概率为P ＝C 36·⎝ ⎛⎭⎪⎫133·⎝⎛⎭⎪⎫1－133·13＝1602 187.变式3．某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料． (1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；(2)求中奖人数ξ的分布列及数学期望 E (ξ)．解：(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A 、B 、C ，那么P (A )＝P (B )＝P (C )＝16.P (A ·B ·C )＝P (A )P (B )P (C )＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫562＝25216. (2)ξ的可能值为0,1,2,3，P (ξ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫16k ⎝ ⎛⎭⎪⎫563－k(k ＝0,1,2,3)． 所以中奖人数ξ的分布列为：E (ξ)＝0×216＋1×72＋2×72＋3×216＝2.例4：一个袋中装有 6 个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为 1,2,3,4,5,6.(1)若从袋中每次随机抽取 1 个球，有放回的抽取 2 次，求取出的两个球编号之和为 6 的概率；(2)若从袋中每次随机抽取 2 个球，有放回的抽取 3 次，求恰有 2 次抽到 6 号球的概率；(3)若一次从袋中随机抽取 3 个球，记球的最大编号为 X ，求随机变量 X 的分布列．正解：(1)设先后两次从袋中取出球的编号为m ，n ，则两次取 球的编号的一切可能结果(m ，n )有6×6＝36 种，其中和为6 的结果有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，共5种， 则所求概率为356.(2)每次从袋中随机抽取2个球，抽到编号为6的球的概率p ＝C 15C 26＝13.所以，3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为 C 23p 2(1－p )＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29.(3)随机变量X 所有可能的取值为3,4,5,6.P (X ＝3)＝C 33C 36＝120，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 24C 36＝620＝310，P (X ＝6)＝C 25C 36＝1020＝12.所以，随机变量X 的分布列为：例5试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品 3 件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于 2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货，将频率视为概率． (1)求当天商品不进货的概率；(2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求 X 的分布列和数学期望及方差．解析：(1)P (“当天商品不进货”)＝P (“当天商品销售量为0件”)＋P (“当天商品销售量为1件”)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X 的可能取值为2,3.P (X ＝2)＝P (“当天商品销售量为1件”)＝520＝14，P (X ＝3)＝P (“当天商品销售量为0件”)＋P (“当天商品销售量为2件”)＋P (“当天商品销售量为3件”) ＝120＋920＋520＝34. 故X 的分布列为：X 的数学期望为EX ＝2×4＋3×4＝4， 方差DX ＝14×⎝⎛⎭⎪⎫2－1142＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1142＝316.变式5．(2011 年广东惠州调研)某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零件有 A 、B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若A项技术指标达标的概率为—，B 项技术指标达标的概率为98.按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．(1)一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率；(2)任意依次抽取该种零件 4 个，设ξ表示其中合格品的个数，求ξ分布列及E (ξ)，D (ξ)．解：(1)设M ：一个零件经过检测至少一项技术指标达标，则M －：A ，B 都不达标；故P (M )＝1－P (M －)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－89＝3536. (2)依题意知ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23，P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝181，P (ξ＝1)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫231⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝881，P (ξ＝2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝2481＝827，P (ξ＝3)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝3281， P (ξ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681. ξ的分布列为：E (ξ)＝4·3＝3，D (ξ)＝4·3·⎝⎛⎭⎪⎫1－3＝9. 例 6：(2011 届广东韶关摸底)A 、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 x 1和x 2.根据市场分析，x 1和x 2的分布列分别为：(1)在 A 、B 两个项目上各投资 100 万元，y 1 和 y 2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润，求方差 Dy 1、Dy 2；(2)将 x (0≤x ≤100)万元投资 A 项目，100－x 万元投资 B 项目，f (x )表示投资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和. 求f (x )的最小值，并指出 x 为何值时，f (x )取到最小值[注：D (ax ＋b )＝a 2Dx ]．解析：(1)由题设可知y 1 和 y 2 的分布列分别为：(2)f (x )＝D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 100y 1＋D ⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x 100y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1002Dy 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x 1002Dy 2 ＝41002[x 2＋3(100－x )2]＝41002(4x 2－600x ＋3×1002)， 当x ＝6002×4＝75时，f (x )＝3为最小值． 变式6．(2011 年广东揭阳模拟)某单位甲乙两个科室人数及男女工作人员分布情况见下表．现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两个科室中共抽取 3 名工作人员进行一项关于“低碳生活”的调查.(1)求从甲、乙两科室各抽取的人数；(2)求从甲科室抽取的工作人员中至少有 1 名女性的概率； (3)记ξ表示抽取的 3 名工作人员中男性的人数，求ξ的分布列 及数学期望．解：(1)从甲组应抽取的人数为315×10＝2，从乙组中应抽取的人数为315×5＝1. (2)从甲组抽取的工作人员中至少有1名女性的概率P ＝1－C 26C 210＝23⎝⎛⎭⎪⎫或P ＝C 14C 16＋C 24C 210＝23. (3)ξ的可能取值为0,1,2,3，0.30.5 0.2 P 12 8 2 y 2 0.20.8 P 10 5 y 1 E (y 1)＝5×0.8＋10×0.2＝6， D (y 1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4.E (y 2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，P(ξ＝0)＝C24C210·C12C15＝475，P(ξ＝1)＝C14C16C210·C12C15＋C24C210·C13C15＝2275，P(ξ＝2)＝C26C210·C12C15＋C16C14C210·C13C15＝3475，P(ξ＝3)＝C26C210·C13C15＝15，∴ξ的分布列为：E(ξ)＝0×75＋1×75＋2×75＋3×5＝5.。