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数学物理方法第十三章

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复变函数

复变函数
什么是数学物理方法?
在人类社会的进步过程中，需要解决许多物理与工程技 术问题，借助数学的方法得到它们的通用的、解析的答 案 – 数学物理方法。
理论力学 哈密顿方程
电动力学 麦克斯韦方程
量子力学 薛定谔方程
1
我们为什么要学习数学物理方法?
与本学院的历史和特色有关： 80年代从物理系分出 – 信息物理系（声学专业、无线电物 理专业、电子线路专业） 90年代改名为 – 电子科学与工程系 2010年扩建为 – 电子科学与工程学院（声学 半导体物理 学） 电子工程系(吴培亨院士）、微电子与光电子学系（郑有炓院 士）、信息电子学系、通信工程系。国家重点学科：无线电 物理学、微电子与固体电子学。 (1) 培养对问题的分析能力与解决能力；(2) 强势学科偏重物理 ，需学习本课程以打好基础；(3) 对今后的考研有一定帮助。
几何意义：z1、z2 为矢量。z = z1+z2 遵守平行四边形法则 这样
z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2
(两边之和不小于第三边) (一边不小于两边之差)
2. 减法 z z1 z2 ( x1 +iy1 )-(x2 +iy2 )=(x1 -x2 )+i(y1 y2 )
• Z(x,y)
o 1 x 2. 复数的几何意义： 一个复数可用平面上的点表示 全体复数与平面上的点一一对应构成一个平面 - 复平面 原点与复数点构成一个向量 - 复向量
18
3. 复数的三种表示方法： （1）直角坐标表示
y
1
z xi y
(2) 极坐标表示
z
1
• Z(x,y)
x
o
z cos i sin

数学物理方法习题解答_Tex

数学物理方法习题解答_Tex

(3) cos 5ϕ． 解：由乘幂的公式
(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ).
及二项式定理
(a + b)n = an + nan−1 b + n(n − 1) n−2 2 n! a b + ··· + an−k bk + · · · . 2! (n − k )!k !
4
√ √ 3
a2
a2
2 2
a2 + b2 + a + i
a2 + b2 − a
(2)
i． i = 1 cos π π + 2nπ + i sin + 2nπ 2 2 π 2 + nπ + i sin 6 3 √ 3 i = ei( 6 + 3 nπ) .
π 2
解：因
,
所以
√ 3 i= √ 3 1 cos π 2 + nπ 6 3 ,
z = cos 3π 3π + i sin . 2 2
指数式：
z = ei 2 .
3π
3. 计算下列数值（a、b和ϕ为实常数）． √ (1) a + ib. √ (2) 3 i. (3) cos 5ϕ. (1)
√ a + ib．
解：先化a + ib为三角式
a + ib = cos ϕ = √ xiangap@ a2 + b2 (cos ϕ + i sin ϕ), sin ϕ = √ b . a2 + b2 供教学参考
指数式：
z = i = ei 2 .
π
(1) −i． 解：−i本身即为代数式． 三角式：

数学物理方法2课件：第十三章-柱函数-渐近表示式

数学物理方法2课件：第十三章-柱函数-渐近表示式

ν
Jν ( x) + Jν′ ( x) = − Jν +1 ( x)
π
2
由此可以推出： 2 由前面的讨论，可以知道：当ν =1/ 2时，有： J1/2 ( x) = 这样可以得到： 2 这样，再由前面得到的递推关系，有： A0 = A1/2 = 所以最后得到 所以最后得到： 2 ⎛ νπ π ⎞ Jν ( x) ≈ sin ⎜ x − − ⎟ πx 2 4⎠ ⎝ 2 A1/2 = 2 2 2 π⎞ ⎛ sin x = cos ⎜ x − ⎟ πx πx 2⎠ ⎝ , θ1/2 = − Aν =A0 , θν = θ 0 −
d 2 y 1 dy d ⎛ ν2 ⎞ + + ⎜1 − 2 ⎟ y = 0 2 dx x dx ⎝ x ⎠
⎛ 1 − 4ν 2 ⎞ x → ∞ g ′′( x) + g ( x) = 0 = g ′′( x) + ⎜1 + g ( x ) 0 ⎟ x2 ⎠ ⎝
y ( x) ∼ 1 cos ( x + θν ) x
其中 θν 为相角，是待定的常数，但与 ν 有关。
Jν ( x) ∼
1 cos ( x + θν ) x
x 其中Aν 及θν 是两个待定的常数。将上式两边再对x求导，可以得到 x A ≈ − ν sin ( x + θν ) x 另一方面，由递推关系 Jν′ ( x) ≈ − Aν sin ( x + θν ) − 1 Aν cos ( x + θν ) 2x x
3. 贝塞尔函数的渐近表示式 主要是讨论当变量 x→ ∞ 时，柱函数的的渐近行为。先看一下贝塞尔 函数的渐近行为。令
y ( x) = g ( x) / x y ′ = g ′ / x1/ 2 − g / ( 2 x 3/2 ) y ′′ = g ′′ / x1/ 2 − g ′ / x 3/ 2 + 3 g / ( 4 x 5/2 )

数学物理方法总结

数学物理方法总结
n =1
∞
为了求得 Tn (t ) ，将上解代入泛定方程得
14
Tn (t ) + n Tn (t ) = 0
' 2
解得 Tn (t ) = An e
∞ n =1 =1
− n 2t
− n 2t
∞
所以 u ( x, t ) = ∑ An e 代入初始条件可得
sin nx
n
∑A
n =1
sin nx = sin x + 2 sin 3 x
1 = [arctg ( x + at ) − arctg ( x − at )] 2a
用拉普拉斯变换法求解方程
6
y '' (t ) − 2 y ' (t ) + y (t ) = t 2 e t y (0) = 0, y ' (0) = 0
解：设
(t ≥ 0)
L[ y (t )]
'
=
10
解：设分离变数形式的解为
u ( x, t ) = X ( x )T (t )
X '' + λX = 0 代入泛定方程和边界条件，可得 X (0) = 0, X (π ) = 0 T ' + λT = 0
X (x ) 的方程和条件构成本征值问题，如果
λ < 0或 λ = 0
X ( x ) = 0 ，只能得无意义的解 ，故排除。
2
12
线性叠加得满足泛定方程和边界条件的解，原定解问题的形式解为
u n ( x, t ) = ∑ Ae
n =1
∞
− n 2t
sin nx
将形式解代入初始条件得 比较系数后得

数学物理方法第13章

数学物理方法第13章

第13章 第13.1节一、基本概念(1)偏微分方程 含有未知多元函数及其偏导数的方程，如F(x,y,...u,x u ∂∂,y u ∂∂,22x u ∂∂,22yu∂∂,...)=0其中u(x,y,...) 是未知多元函 数x u ∂∂,yu∂∂...为u 的偏导数. 有时为了书写方便，通常记 x uu x ∂∂=,yuu y ∂∂=,....22x u u xx ∂∂=,... (2)方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方 程的阶．(3)方程的次数 偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微 分方程的次数(4)线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程，高于一次 以上的方程称为非线性方程．(5)准线性方程 一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最 高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程．(6)自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的 项称为自由项．二阶线性非齐次偏微分方程u xy =2y −x 的通解为 u(x,y)=xy 2-y x 221+F(x)+G(y)其中 F(x), G(y)是两个独立的任意函数．因为方程为二阶的，所以是两个任意的函数．若给函数F(x),G(y)指定为特殊的F(x)=2x 4−5, G(y)=2sin y ，则得到的解u(x,y)=xy 2-21x 2y+2x 4−5+2siny 称为方程的特解．n 阶常微分方程的通解含有n 个任意常数，而n 阶偏微分方 程的通解含有n 个任意函数．第13.2节一、二阶线性偏微分方程的分类两个自变量(x, y)的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为),(),(),(),(),(),()(,22222y x G u y x F xu y x E x u y x D y u y x C y x u y x B x u y A =+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂ （13.2.1） 其中 A, B, C, D, E, F , G 为(x,y)的已知函数．定义A(dy)2−Bdydx+C(dx)2=0 (13.2.3) 为方程13.2.1的特征方程 它所对应的积分曲线族称为特征曲线族 在具体求解方程(13.2.3)时，需要分三种情 况讨论判别式∆=B 2−4AC 1.双曲型偏微分方程当判别式∆=B 2−4AC>0 时，从方程(13.2.3)可以求得两个实函数解φ(x,y)=C 1及ψ(x,y)=C 2也就是说，偏微分方程(13.2.1)有两条实的特征线．于是，令ξ=φ(x, y), η=ψ(x,y)作变换并代入原方程原偏微分方程(13.2.1)变为：),(),(),(),(1112ηξηξηξηξηξηξG u F u E u D u+++=∂∂∂ (13.2.4)此方程称为双曲线偏微分方程的第一种标准形式 或者进一步作变换 α=ξ+, β=ξ−η偏微分方程(13.2.4)变为：),(),(),(),(11112222βαβαβαβαβαβαG u F u E u D uu +++=∂∂-∂∂ 此方程称为双曲型偏微分方程的第二种标准形式 U tt =a 2u xx +f(x,t) 波动方程即为双曲型偏微分方程例题13.2.1原方程为02222=∂∂+∂∂yuy x u (Y<0)在y<0的区域中，其判别式∆=B2−4AC=0-4y>0,所以方程为双曲型。

2023年大学_《高等数学》第四册(数学物理方法)课后习题答案下载

2023年大学_《高等数学》第四册(数学物理方法)课后习题答案下载

2023年《高等数学》第四册(数学物理方法)课后习题答案下载《高等数学》第四册内容简介第一篇复变函数论第一章复数与复变函数第一节复数1.1.1. 复数域1.1.2. 复平面1.1.3. 复数的模与幅角1.1.4. 复数的乘幂与方根第二节复变函数的基本概念1.2.1. 区域与约当曲线1.2.2. 复变函数的概念1.2.3. 复变函数的极限与连续性第三节复球面与无穷远点1.3.1. 复球面1.3.2. 闭平面上的几个概念习题第二章解析函数第一节解析函数的概念及哥西一黎曼条件 2.1.1. 导数的定义2.1.2. 哥西一黎曼条件2.1.3. 解析函数的定义第二节解析函数与调和函数的关系2.2.1. 共轭调和函数的求法2.2.2. 共轭调和函数的几何意义第三节初等解析函数2.3.1. 初等单值函数2.3.2. 初等多值函数习题第三章哥西定理哥西积分第一节复变积分的概念及其简单性质3.1.1. 复变积分的定义及其计算方法3.1.2. 复变积分的简单性质第二节哥西积分定理及其推广3.2.1. 哥西积分定理3.2.2. 不定积分3.2.3. 哥西积分定理推广到复围线的情形第三节哥西积分公式及其推广3.3.1. 哥西积分公式3.3.2. 解析函数的无限次可微性3.3.3. 模的最大值原理哥西不等式刘维尔定理摩勒纳定理第四节解析函数在平面场中的应用3.4.1. 什么叫平面场3.4.2. 复位势3.4.3. 举例习题第四章解析函数的幂级数表示第一节函数项级数的基本性质4.1.1. 数项级数4.1.2. 一致收敛的函数项级数第二节幂级数与解析函数4.2.1. 幂级数的敛散性4.2.2. 解析函数的幂级数表示第三节罗朗级数4.3.1. 双边幂级数的收敛圆环4.3.2. 解析函数的罗朗展式4.3.3. 罗朗展式举例第四节单值函数的孤立奇点4.4.1. 孤立奇点的`三种类型4.4.2. 可去奇点……习题第五章残数及其应用第六章保角变换第二篇数学物理方程第七章一维波动方程的付氏解第八章热传导方程的付氏解第九章拉普拉斯方程的圆的狄利克雷问题的付氏解第十章波动方程的达朗贝尔解第十一章数学物理方程的解的积分方式第十二章定解问题的适定性第十三章付里叶变换第十四章拉普拉斯变换第三篇特殊函数第十五章勒让德多项式球函数第十六章贝塞耳函数柱函数第十七章厄密多项式和拉盖尔多项式附录《高等数学》第四册目录本书内容为数学物理方法，包括复变函数论、数学物理方程、积分变换和特殊函数等部分，可供综合大学和师范学院物理类专业作为教材。

电子课件 [数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军][电子教案(PPT版本)]chapter13


(l 2m) a1
将它们代入解的表达式中，得到勒让德方程解的形式
y(x)
a0[1
l(l 1) 2!
x2
l(l
2)(l 1)(l 4!
3)
x4
]
a1[ x
(l
1)(l 3!
2)
x3
(l
1)(l
3)(l 5!
2)(l
4)
x5
=pl (x) ql (x)
] (13.1.7)
其中 pl (x) ， ql (x) 分别是偶次项和奇次项组成的级数，当 l 不是整数 时， pl (x) ， ql (x) 都是无穷级数，容易求得其收敛半径均为 1，而且
关于线性二阶常微分方程在常点邻域上的级数解，有 下面的定理．
定理 13.1.1 若方程（13.1.1）的系数 p(z) 和 q(z) 为点 z0 的
邻域 z z0 R 中的解析函数，则方程在这圆中存在唯一的
解析解w(z) 满足初始条件w (z0 ) C0 ，w(z0 ) C1 ，其中 C0 、
(即要求在有界解的情况下)求解，则勒让德方程的解 只有第一类勒让德函数即勒让德多项式 Pn (x) ．因为第
二类勒让德函数 Qn (x) 在闭区间[1,1] 上是无界的．
13.1.3 奇点邻域的级数解法：贝塞尔方程的求解
前一章分离变量法中，我们引出了贝塞尔方程，本节
我们来讨论这个方程的幂级数解法．按惯例，仍以 x
C1 是任意给定的复常数．
15．1．2 常点邻域上的幂级数解法 勒让德方程的求解
（注明：推导解的过程仅供了解求解的方法，读者可直接参考其结论）
由分离变量法得到了勒让德方程，下面讨论在 x0 0 邻域上求解 l 阶勒让德方程

高等数学第四册第三版数学物理方法答案(完整版)

高等数学 第四册（第三版） 数学物理方法 答案（完整版）第一章 复数与复变函数（1）1.计算)(1)2;i i i i i -=-=-()122(12)(34)(2)5102122.;345(34)(34)591655i i i i i i i i i i i i +-++--+++=+=-=---+-+5551(3).;(1)(2)(3)(13)(3)102i i i i i i i ===------4222(4).(1)[(1)](2)4;i i i -=-=-=-1122())]a bi =+=112224sin )]()(cossin );22i a b i θθθθ=+=++3.设1z=2;z i =试用三角形式表示12z z 及12z z 。

解：121cossin;(cos sin );44266z i z i ππππ=+=+121155[cos()sin()](cos sin );2464621212z z i i ππππππ=+++=+ 122[cos()sin()]2(cos sin );46461212z i i z ππππππ=-+-=+11.设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1231;z z z ===试证明123,,z z z 是一个内接于单位圆z =1的正三角形的顶点。

证明：1230;zz ++=z 123231;312;;z z z z z z z z z ∴=--=--=--122331;z z z z z z ∴-=-=-123,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。

1231z z z ===123,,z z z ∴为以z 为圆心，1为半径的圆上的三点。

即123z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。

.17.证明：三角形内角和等于π。

证明：有复数的性质得：3213213arg;arg ;arg ;z z z z z z αβγ---=== 21z z z z -•-arg(1)2;k αβγπ∴++=-+0;k ∴=;αβγπ∴++=第一章 复数与复变函数（2）7.试解方程()4400z a a +=>。

数学物理方法第十三章

第十三章积分变化法
在第六章，我们曾用拉普拉斯变换方法求解常微分方程。经过变换，常微分方程变成了代数方程，解出代数方程，再进行反演就得到了原来常微分方程的解。
积分变换在数学物理方程（也包括积分方程、差分方程等）中亦具有广泛的用途。经过变换以后，方程变得简单了，例如偏微分方程变成了常微分方程，解出常微分方程，再进行反演，就得到了原来偏微分方程的解。利用积分变换，有时还能得到有限形式的解，而这往往是用分离变数法不能得到的。
为求解这个非齐次常微分方程，用 遍乘方程各项，得
对 积分一次，计及零初始值，
进行逆傅里叶变换，
交换积分次序
引用例2的积分公式计算 内的积分，最后结果是
（13.1.3）
例4限定源扩散。半导体扩散工艺的硼、磷扩散是慢扩散，杂质扩散深度远远小于硅片厚度。研究杂质穿过硅片的一面向里扩散问题时，完全可以不管另一面的存在，把硅片看作无限厚，虽然实际上还不到一毫米厚。这就是说，把硅片的内部当作半无界空间。在限定源扩散中，是只让硅片表层已有的杂质向硅片内部扩散，但不让新的杂质穿过硅片表面进入硅片。这里，所求解的是半无界空间 中的定解问题
解作傅里叶变换，问题变换为非齐次常微分方程的初始值问题
这个问题的解是
然后对 进行逆傅里叶变换。
引用§5.3例1结果，并应用延迟定理，
再引用（5.3.5）以及关系式 ，
本问题的 中的 ，所以上面这个积分其实不必在无界空间进行，只需在条件 下积分。换句话说，对 的积分只需在球体 中进行，此球的球心的径矢为 ，而半径为 。这样
这个常微分方程的通解是
考虑到 不应为无限大，积分常数 定为零。又，利用边界条件定出积Fra bibliotek常数 。于是， 。
进行反演。由附录二的公式18，得

山东大学物理学院 数学物理方法 2022-2023期末试题及解析

《数学物理方法》课程考试大纲2022-2023山东大学物理学院 数学物理方法期末试题一、 填空题(每题3分，共27分)1. 已知zz =cos (aa +iibb )，z 的代数表达式为________________2. 指出多值函数�(zz −aa )(zz −bb )的支点和阶数___________3. 已知级数∑aa nn xx nn ∞nn=0的收敛半径为A ，试问级数∑aa nn √1+bb nn nnxx nn ∞nn=0（|bb |<1）的收敛半径为_____________4.ssss nn 2zz zz 3的极点为_____，且为______ 阶极点5. 利用柯西公式计算∮zz 2−zz+1zz 2(zz−1)ddzz |zz |=2_______________6. 连带勒让德多项式的正交代数表达式为_______________7. 计算留数1(zz 2+1)2_________________________8. 从t=a 持续作用到t=b 的作用力ff (tt )，可以看作许多前后相继的瞬时力的总和，其数学表达形式为__________9. ∫3δδ(xx −ππ)[ee 2xx +cccccc xx ]ddxx 10−10=_________________ 二、 简算题(每题5分，共15分)1. 将函数ff (zz )=1zz 2−3zz+2，在区域0<|zz −1|<1上展开为洛朗级数 2. �cos mmxx(xx 2+aa 2)2d xx ∞−∞，m>03. 已知解析函数ff =uu +iiνν，而uu =xx 3−3xxyy 2，试求ff三、 (8分)用级数法解微分方程yy ′′+xxyy ′+yy =0四、 (10分)在圆域ρρ<ρρ0上求解泊松方程的边值问题�ΔΔuu =aa +bb (xx 2−yy 2)uu ρρ=pp 0=cc五、 (15分)设有一均匀球体，在球面上的温度为cos 2θθ，试在稳定状态下求球内的温度分布（已知，PP 0(xx )=1，PP 1(xx )=xx , PP 2(xx )=12(3xx 2−1)）六、 (10分)利用拉普拉斯变换解RC 电路方程：�RRRR +1CC �RR dd tt tt=EE 0sin ωωttRR (0)=0七、 (15分)计算：⎩⎨⎧ðð2uu ððtt 2−aa 2ðð2uuððxx2=AA cos ππxx ll sin ωωttuu |xx=0=0, uu |xx=ll =0uu |tt=0=φφ(xx ), uu tt |tt=0=ψψ(xx )2022-2023 数学物理方法期末试题 参考答案一、 填空题(每题3分，共27分)1.【正解】 12(ee bb +ee −bb )cos aa +i2(ee −bb −ee bb )sin aa 【解析】cos (aa +i bb )=ee ss (aa+ss bb )+ee −ss (aa+ss bb )2=12(ee −bb ee ss aa+ee bb ee −ss aa )=12[e −bb(cos aa +isin aa )+e bb (cos aa −isin aa )]=12[(e bb+e −bb )cos aa +i(e −bb −e bb )sin aa ]=12(ee bb +ee −bb)cos aa +i 2(ee −bb−ee bb )sin aa 2.【正解】支点：z=a 、b 、∞；皆为一阶支点【解析】注意到函数为12次，且当z=a 、b 时函数置零，z=∞为熟知的支点，阶数皆为2−1=1 3.【正解】A【解析】由根值判别法，幂级数的收敛区间为ll ii ll nn→∞�aa nn ⋅(1+bb nn )nn⋅xxxx (−1,1)而|bb |<1⇒ll ii ll nn→∞√1+bb nn nn=1故收敛半径保持不变，仍为A 4.【正解】zz =0；一阶 【解析】ll ii llzz→0ssss nn 2zz zz 3→∞，且ll ii ll zz→0zz ⋅ssss nn 2zz zz 3=1故zz =0为一阶极点5.【正解】2πi注意到原函数的极点为zz =0和zz =1，且分别为2阶与一阶极点，故上述积分即为II =2ππii �Re cc�ff (zz ),0]+Re cc [ff (zz ),1]��而Re cc [ff (zz ),0]=ll ii ll zz→0dd �zz 2−zz +1zz −1�ddzz=0Re cc [ff (zz ),1]=ll ii ll zz→1zz 2−zz +1zz 2=1因此II =2ππii6.【正解】�PP ll mm (xx )⋅PP kk mm (xx )ddxx =01−1(ll ≠kk ) 7. 【正解】Re cc [ff (zz ),ii ]=ll ii ll zz→ss dd �1(zz +ii )2�ddzz=−2[2ii ]−3Re cc [ff (zz ),−ii ]=ll ii ll zz→−ss dd �1(zz −ii )2�ddzz=−2[−2ii ]−38.【正解】∫ff (ττ)1−1δδ(tt −ττ)ddττ 9.【正解】ee 2ππ−1【解析】由δδ函数的挑选性，上述积分即为 (ee 2xx +cccccc xx )|xx=ππ=ee 2ππ−1 二、 简算题(每题5分，共15分)1.【解析】在区域0<|zz −1|<1内ff (zz )=1zz 2−3zz +2=−12⋅11−zz 2−1zz −1=−12⋅11−zz 2−1zz ⋅11−1zzff (zz )=−�12kk+1zz kk ∞kk=0−�zz −(kk+1)∞kk=0 =−�zz kk−1kk=−∞−�12kk+1zz kk∞kk=02.【解析】由约旦引理，从上半平面的半圆弧补全围道，上半平面有一个二阶极点zz 0=iiaa ，该点的留数为RReeccff (zz 0) =limzz→zz 0d d zz e immzz(zz +aa i)2=lim zz→zz 0[i ll e immzz (zz +aa i)2−2e ss nn zz (zz +aa i)3] =−llaa +14aa 3ie −mmaaII =ππi ⋅(−llaa +14aa 3ie −mmaa )=llaa +14aa3ππe −mmaa 3.【解析】根据C-R 条件,有∂uu ∂xx =3xx 2−3yy 2=∂νν∂yy−∂uu ∂yy =6xxyy =∂νν∂xxddνν=−(−6xxyy )d xx +3(xx 2−yy 2)d yy =d(3xx 2yy −yy 3) 有νν=3xx 2yy −yy 3+CC ,代入得ff (zz )=xx 3−3xxyy 2+i(3xx 2yy −yy 3+CC ) =(xx +i yy )3+i CC =zz 3+i CC 0三、(8分)【解析】设 yy =�aa nn xx nn ∞nn=0 是方程的解,其中 aa 0,aa 1 是任意常数,则yy ′=�nnaa nn xx nn−1∞nn=1yy ′′=�nn (nn −1)aa nn xx nn−2∞nn=2=�(nn +2)(nn +1)aa nn+2xx nn ∞nn=0方程 yy ′′+xxyy ′+yy =0,得�[(nn +2)(nn +1)aa nn+2+nnaa nn +aa nn ]xx nn ∞nn=0=0故必有(nn +2)(nn +1)aa nn+2+(nn +1)aa nn =0即aa nn+2=−aa nnnn +2(nn =0,1,2,⋯ ) 可见,当 nn =2(kk −1) 时aa 2kk=(−12kk )aa 2kk−2=(−12kk )(−12kk −2)⋯(−12)aa 0=aa 0(−1)kkkk !2kk当nn =2kk −1时aa 2kk+1=(−12kk +1)aa 2kk−1=(−12kk +1)(−12kk −1)⋯(−13)aa 1=aa 1(−1)kk (2kk +1)!�aa 2nn xx 2nn ∞nn=0与�aa 2nn+1xx 2nn+1∞nn=0的收敛域均为(−∞,+∞) 故yy =�aa κκxx κκ∞κκ=0=�aa 2κκxx 2κκ∞κκ=0+�aa 2κκ+1xx 2κκ+1∞κκ=0=�aa 0(−1)nn nn !2nn xx 2nn∞nn=0+�aa 1(−1)nn (2nn +1)!xx 2nn+1∞ss=0即yy =aa 0e −xx 22+aa 1�(−1)nn (2nn +1)!xx 2nn+1∞nn=0,xx ∈(−∞,+∞)四、 (10分)【解析】 首先找到满足方程的特解vv =aa 4(xx 2+yy 2)+bb 12(xx 4−yy 4)=aa 4ρρ2+bb 12(xx 2+yy 2)(xx 2−yy 2) =aa 4ρρ2+bb 12ρρ4cos 2φφ 令uu =vv +ww =aa 4ρρ2+bb 12ρρ4cos 2φφ+ww对于齐次方程，且满足球心为有限值的泊松方程通解为ww (ρρ,φφ)=�ρρnn (AA mm cos ll φφ+BB nn sin llφφ)∞mm=0代入边界条件，有 �ρρ0nn (AA mmcos ll φφ+BB nn sin llφφ)∞mm=0=cc −aa 4ρρ02−bb 12ρρ04cos 2φφ比较系数解得uu =vv +ww =cc +aa 4(ρρ2−ρρ02)+bb 12ρρ2(ρρ2−ρρ02)cos 2φφ 五、(15分)【解析】对于满足球心处为有限值的拉普拉斯方程通解为uu (rr ,θθ)=�AA ll rr l P ll (cos θθ)∞ll=0代入边界条件有�AA ll rr 0l P ll (cos θθ)∞ll=0=cos 2θθ=xx 2由于P 2(xx ) =12(3xx 2−1) ,有xx 2=13[1+2P 2(xx )]=13P 0(xx )+23P 2(xx )即�AA ll rr 0lP ll (cos θθ)∞ll=0=cos 2θθ=xx 2=13P 0(xx )+23P 2(xx )对比系数可得uu (rr ,θθ)=13+23⋅1rr 02⋅rr 2P 2(cos θθ)六、(10分)【解析】对方程进行拉普拉斯变换，有jj ‾RR +jj ‾ppCC =EE 0ωωpp 2+ωω2 解得jj ‾=ωωEE 0(RR +1ppCC )(pp 2+ωω2)再进行反演RR (tt )=EE 0ωωRR (−RRCC e llRRRRωω2RR 2CC 2+1+RRCC cos ωωtt +ωωRR 2CC 2sin ωωtt ωω2RR 2CC 2+1) =EE 0RR 2+1/CC 2ωω2(RR sin ωωtt +1CCωωcos ωωtt )−EE 0/CCωωRR 2+1/CC 2ωω2e −tt /RRRR七、(15分)【解析】应用冲量定理法，先求解vv uu −aa 2vv xxxx =0ννxx ∣x=0=0,vv x ∣x=l =0vv ∣tt=ττ+0=0,vv t ∣t=ττ+0=AA cos ππxxllsin ωωττ根据通解的一般形式并代入边界条件，可得vv (xx ,tt ;ττ)=AAllππaasin ωωττsin ππaa (tt −ττ)ll cos ππxx ll uu (xx ,tt )=�vv (xx ,tt ;ττ)tt=AAll ππaa cos ππxx ll �sin ωωττsin ππaa (tt −ττ)ll d ττtt 0=AAll ππaa 1ωω2−ππ2aa 2/ll 2(ωωsin ππaa ll tt −ππaa ll sin ωωtt )cos ππxx ll。

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于是，
同理，
这样，完成反演
这就是达朗贝尔公式（7.4.7）。
例3求解无限长传输线上的电报方程
解像§7.3末尾那样，作函数变换
定解问题转化为
其中
对泛定方程施行拉普拉斯变换，初始条件通过导数定理（6.2.12）而考虑到。变换的结果是
这个非齐次常微分方程的通解是
考虑到 不应为无限大，积分常数 定为零； 也不应为无限大，积分常数 也定为零。为了保证积分收敛，第一个积分的下限取为 ，第二个积分的下限则取为 。这样，
9.求解一维半无界空间的输运问题 ， ， 。
10.在一维半无界空间中求解 ， ， 。
11.在一维半无界空间中求解 ， ， 。
12.例7研究三维无界空间中的受迫振动是从初始 状况推算以后 的状况。试重新求解例7，从初始状况 反推以前 的状况。
13.试用降维法由泊松公式（13.1.4）推出一维波动的达朗贝尔公式（7.4.7）。
这个常微分方程的通解是
考虑到 不应为无限大，积分常数 定为零。又，利用边界条件定出积分常数 。于是， 。
进行反演。由附录二的公式18，得
本例即§13.1例5，可对照。
例2求解无界弦的振动
解对泛定方程施行拉普拉斯变换，初始条件通过二阶导数定理（6.2.12）而考虑到。变换的结果是
这个非齐次常微分方程的通解是
考虑到 不应为无限大，积分常数 定为零； 也不应为无限大，积分常数 也定为零。为了保证积分收敛，第一个积分的下限取为 ，第二个积分的下限则取为 。这样，
第二个 跟第一个 相比较， 代替了 ，并且多了一个因子 。因此，先对第一个 进行反演，得到原函数之后，把 改为 并对 求导就得第二个 的原函数。
运用延迟定理于 ，
为求解这个非齐次常微分方程，用 遍乘方程各项，得
对 积分一次，计及零初始值，
进行逆傅里叶变换，
交换积分次序
引用例2的积分公式计算 内的积分，最后结果是
（13.1.3）
例4限定源扩散。半导体扩散工艺的硼、磷扩散是慢扩散，杂质扩散深度远远小于硅片厚度。研究杂质穿过硅片的一面向里扩散问题时，完全可以不管另一面的存在，把硅片看作无限厚，虽然实际上还不到一毫米厚。这就是说，把硅片的内部当作半无界空间。在限定源扩散中，是只让硅片表层已有的杂质向硅片内部扩散，但不让新的杂质穿过硅片表面进入硅片。这里，所求解的是半无界空间 中的定解问题
12121ikatikatikatikateekikaeekktu????????再进行逆傅里叶变换12312312221112211114444ikatikatikatikatikrikatikatikrrikatikatikrrurtkeekeeedkdkdkaikareeedkdkdkdvreeedkdkdkaaik?????????????????????????????????????????????????????????????????3123123221111114444ikatikatikrrikatikatikrrdvreeedkdkdkdvreeedkdkdkdvatikaik??????????????????????????????????????????????????????????????????????????引用53例1结果1231231111
这里是第一类齐次边界条件。读者已经熟悉，这种边界条件意味着奇延拓，即求解无界空间中的定解问题
引用（13.1.2）式，得到答案
在右边第一个积分中令 ， ；在右边第二个积分中令 ， 。于是，
由于被积函数是偶函数，所以
通常把 叫做误差函数，记作 ，它的数值有表格可查，参看附录三。这样
，
所求的解
。
叫做余误差函数（error function complement），记作 。这样
三维无界空间中的波动，只要知道它的初始状况，用泊松公式可以推算它在以后任一时刻的状况。具体地说，为求时刻 在点 的 ，应以点 为球心，以 为半径作球面 ，然后拿初始扰动 和 按（13.1.4）在球面 上积分。这是可以理解的，既然波动以速度 传播，只有跟点 相距 的那些点（即 上的点）的初始扰动恰好在时刻 传到点 。
第十三章积分变化法
在第六章，我们曾用拉普拉斯变换方法求解常微分方程。经过变换，常微分方程变成了代数方程，解出代数方程，再进行反演就得到了原来常微分方程的解。
积分变换在数学物理方程（也包括积分方程、差分方程等）中亦具有广泛的用途。经过变换以后，方程变得简单了，例如偏微分方程变成了常微分方程，解出常微分方程，再进行反演，就得到了原来偏微分方程的解。利用积分变换，有时还能得到有限形式的解，而这往往是用分离变数法不能得到的。
其中 是每单位面积硅片表层原有的杂质总量。
解没有杂质穿过硅片表面即 是第二类齐次边界条件。读者已经熟悉，这种边界条件意味着偶延拓，即求解无界空间中的定解问题
这个初始条件其实也就是 。这样，问题成为
引用（13.1.2）式，得到答案
称为高斯函数，它的数值有表格可查，参看附录三。
图13-1描画了杂质浓度 在硅片中的分布情况。曲线1对应于某个较早时刻，曲线2、3依次对应于越来越迟的时刻。杂质浓度趋于均匀的趋势很明显。每根曲线下的面积都等于 ，这反映了杂质总量不变。每根曲线在跟纵轴相交处的切线都是水平的，即硅片表面的浓度梯度为零，这反映了没有新的杂质进入硅片。
3.求解一维无界空间中的有源输运问题 ， 。[本题即§13.1例3，可对照。]
4.求解一维半无界空间的输运问题 ， ，边界条件是 。[本题为§13.1习题10的一部分，可对照。]
5.求解无界弦的受迫振动 ， ， 。
（13.1.1）
这正是达朗贝尔公式（7.4.7）。
例2求解无限长细杆的热传导问题
解作傅里叶变换，定解问题变换为
这个常微分方程的初始值问题的解是
再进行傅里叶变换，
交换积分次序
引用积分公式 。
置 ， 以利用此积分公式，即得
。（13.1.2）
例3求解无限长细杆的有源热传导问题
解作傅里叶变换，问题变换成非齐次常微分方程与初始条件
5.应用泊松分布公式计算下述定解问题的解。 ，初始速度为零，初始位移在球 以内为 ，在球外为零。
6.二维波动，初始速度为零，初始位移在圆 以内为1，在圆外为零。试求 。
7.求解三维无界空间中的输运问题 ， 。
8.例6研究三维无界空间中的自由振动是从初始 状况推算以后 的状况。试重新求解例6，从初始状况反推以前 的状况。
例5恒定表面浓度扩散。在恒定表面浓度扩散中，包围硅片的气体中含有大量杂质原子，它们源源不断穿过硅片表面并向硅片内部扩散。由于气体中杂质原子供应充分，硅片表面杂质浓度得以保持某个常数 。这里，所求解的是半无界空间 中的定解问题
解首先应把非齐次边界条件化为齐次的。为此，令
，
就把 的定解问题转化为 的定解问题
解作傅里叶变换，问题变换为非齐次常微分方程的初始值问题
这个问题的解是
然后对 进行逆傅里叶变换。
引用§5.3例1结果，并应用延迟定理，
再引用（5.3.5）以及关系式 ，
本问题的 中的 ，所句话说，对 的积分只需在球体 中进行，此球的球心的径矢为 ，而半径为 。这样
对于二维问题，球面 上的积分应代之以 平面的圆 上的积分。 上的面积元
即
又球面 的上下两半都投影于同一圆，所以
于是，泊松公式在二维问题中成为
（13.1.7）
注意二维波动有所谓后效。把图13-3当作二维的图来看，只要 ， 跟 总有重叠部分，积分值一般不等于零，故在 点总有扰动。只有当 时， 才趋于零[ 出现在（13.1.7）的分母中]。把二维波动看作是某种三维波动的横剖面就不难理解这种后效。
习题
1.求解无限长传输线上的电振荡传播问题。 的情况跟 的情况有什么不同？
2.研究半无限长细杆导热问题。杆端 温度保持为零，初始温度分布为 。
3.半无界杆，杆端 有谐变热流 进入，求长时间以后的杆上温度分布 。
4.应用泊松分布公式计算下述定解问题的解。 ，初始速度为零，初始位移在某个单位球内为1，在球外为零。
§13.2拉普拉斯变换法
拉普拉斯变换方法适于求解初值问题，不管方程及边界条件是否为齐次的。
例1求解硅片的恒定表面浓度扩散问题。把硅片的厚度当作无限大，这是半无界空间的定解问题
解对泛定方程和边界条件施行拉普拉斯变换，至于初始条件则通过导数定理（6.2.12）而考虑到。变换的结果是
式中 是 的函数， 则作为参数而进入 ，即
例1求解无限长弦的自由振动
解应用傅里叶变换，即用 遍乘方程及定解条件各项。并对空间变数 积分（时间变数 视作参数）。原来的定解问题变换成
其中 、 分别是 、 的傅里叶变换。原来的定解问题变成了常微分方程及初值条件，其通解是
代入初始条件可定出
这样
最后，对 作逆傅里叶变换。应用延迟定理与积分定理，结果是
第二个 跟第一个 相比较， 代替了 ，并且多了一个因子 。因此，先对第一个 进行反演，得到原函数之后，把 改为 并对 求导就得第二个 的原函数。
由附录二的公式30，
于是，
同理，
这样，完成反演
习题
1.求解一维无界空间中的扩散问题即 ， 。
2.求解硅片的限定源扩散问题。把硅片的厚度当作无限大，这是半无界空间的定解问题 ， ， 。[本题即§13.1例4，可对照。]
（13.1.5）
值得注意的是 的宗量 换成了 。这是可以理解的，既然扰动以速度 传播，从点 出发的扰动，如果在时刻 对点 产生影响，必然是在时刻 出发的。为了强调这种时间差异，通常把 记作 。于是（13.1.5）又可写成
（13.1.6）
这叫作推迟势。
例8柱面波降维法。求解二维无界空间中的波动问题
解当然可以像例6那样用傅里叶变换法求解。不过，我们知道，所谓二维空间即 平面的波动其实还是三维空间中的波动，只是这波动跟坐标 无关而已。这样说来，二维无界空间中的波动问题的解也由泊松公式（13.1.4）给出。但既然问题跟坐标 无关，当然不希望泊松公式中出现 。三维波动的泊松公式，消除了坐标 ,就成为二维波动的公式，这叫作降维法。