平面与平面平行的判定、平面与平面平行的性质·评价练习1新课标人教A版

第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定A级基础巩固一、选择题1．下列图形中能正确表示语句“平面α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∥β”的是()解析：A中不能正确表达b⊂β；B中不能正确表达a∥β；C中也不能正确表达a∥β；D正确．答案：D2．能保证直线与平面平行的条件是()A．直线与平面内的一条直线平行B．直线与平面内的所有直线平行C．直线与平面内的无数条直线平行D．直线与平面内的所有直线不相交解析：A不正确，因为直线可能在平面内；B不正确；C不正确，直线也可能在平面内；D正确，因为直线与平面内所有直线不相交，依据直线和平面平行的定义可得直线与平面平行．答案：D3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B1B的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行解析：MC1⊂平面DD1C1C，而平面AA1B1B∥平面DD1C1C，故MC1∥平面AA1B1B.答案：B4．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面．有以下命题：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：把符号语言转换为文字语言或图形语言．可知①是面面平行的判定定理；②③中平面α，β还有可能相交，所以选B.答案：B5．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为() A．平行B．相交C．平行或相交D．可能重合解析：若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．答案：C二、填空题6．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC与平面DEF的位置关系是________．解析：因为AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，所以EF∥AC.又因为AC⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，所以AC∥平面DEF.答案：平行7．若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8，12，过AB的中点E且平行于BD，AC的截面四边形的周长为________．解析：设所求截面四边形为EFGH，且F，G，H分别是BC，CD，DA的中点，所以EF＝GH＝4，FG＝HE＝6.所以截面四边形EFGH的周长为2×(4＋6)＝20.答案：208．下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：以ABCD为下底面还原正方体，如图，则易判定四个命题都是正确的．答案：①②③④三、解答题9．如图所示，ABCD­A1B1C1D1是正四棱柱，E是棱BC的中点，求证：BD1∥平面C1DE.证明：如图所示，连接CD1，交DC1于点F，连接EF，则F是D1C的中点．又因为E是棱BC的中点，所以EF∥BD1.又因为BD1⊄平面C1DE，EF⊂平面C1DE，所以BD1∥平面C1DE.10.如图所示，在已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.证明：因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，所以MQ∥AD，NQ∥BP.因为BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，所以NQ∥平面PBC.又因为底面ABCD为平行四边形，所以BC∥AD，所以MQ∥BC.因为BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，所以MQ∥平面PBC.又因为MQ∩NQ＝Q，所以根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC.B级能力提升1．如图所示，在下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()①②③④A．①③B．①④C．②③D．②④答案：B2．已知a和b是异面直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，a∥β，b∥α，则平面α与β的位置关系是________．解析：在b上任取一点O，则直线a与点O确定一个平面γ，设γ⊂β＝l，则l⊂β，因为a∥β，所以a与l无公共点，所以a∥l，所以l∥α.又b∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β.答案：平行3.如图所示，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点．求证：GF∥平面ADE.证明：如图所示，取AE的中点H，连接HG，HD.又G是BE的中点，所以GH∥AB，且GH＝12AB.又F是CD的中点，所以DF＝12CD.由四边形ABCD是矩形，得AB∥CD，AB＝CD，所以GH∥DF，且GH＝DF，从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥DH.又DH⊂平面ADE，GF⊄平面ADE，所以GF∥平面ADE.。

人教版A版高中数学必修二2.2.2平面与平面平行的判定学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列条件中，能判断两个平面平行的是（）A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面D．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面【答案】C【解析】【分析】根据面面平行的判定定理或定义可得出结论.【详解】根据面面平行的定义可知，若两个平面没有公共点，则这两个平面平行，则一个平面内所有直线都与另一个平面没有公共点，则这两个平面平行.由面面平行的判定定理可知，一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.故选：C.【点睛】本题考查面面平行的判断，一般利用面面平行的定义或判定定理来判断，考查对面面平行的定义和判定定理的理解，属于基础题.2．下列说法正确的是（）A．若两条直线与同一条直线所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线分别平行于两个相交平面，则一定平行它们的交线D．若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行【答案】C【解析】【分析】利用逐一验证法，结合面面平行的判定以及线线平行的特点，可得结果.A 错，由两条直线与同一条直线所成的角相等，可知两条直线可能平行，可能相交，也可能异面；B 错，若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面可能平行或相交；C 正确，设,l m αβ⋂=//,m α//β，利用线面平行的性质定理，在平面α中存在直线a //m ，在平面β中存在直线b //m ，所以可知a //b ，根据线面平行的判定定理，可得b //α，然后根据线面平行的性质定理可知b //l ，所以m //l ；D 错，两个平面可能平行，也可能相交.故选：C【点睛】本题考查面面平行的判定，还考查线面平行的判定定理以及性质定理，重点在于对定理的熟练应用，属基础题.3．已知,αβ是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是（ ）A ．α内有无穷多条直线与β平行B ．直线a //,a α//βC ．直线,a b 满足b //,a a //,b α//βD ．异面直线,a b 满足,a b αβ⊂⊂，且a //,b β//α【答案】D【解析】【分析】采用逐一验证法，根据面面平行的判定定理，可得结果.【详解】A 错α内有无穷多条直线与β平行，B 错若直线a //,a α//β，则平面α与平面β可能平行，也可能相交，C 错若b //,a a //,b α//β，则平面α与平面β可能平行，也可能相交，D 正确当异面直线,a b 满足,a b αβ⊂⊂，且a //,b β//α时，可在α上取一点P ，过点P 在α内作直线'b //b ，由线面平行的判定定理，得'b //β，,a b 异面，所以',a b 相交，再由面面平行的判定定理，得α//β，故选：D.【点睛】本题考查面面平行的判定，属基础题.4．已知三条互不相同的直线l m n ，，和三个互不相同的平面αβγ，，，现给出下列三个命题：①若l 与m 为异面直线，l m αβ⊂⊂，，则αβ∥；②若αβ∥，l m αβ⊂⊂，，则l m P ；其中真命题的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】D【解析】【分析】通过线面平行的性质与判定，以及线面关系，对三个命题进行判断，得到答案.【详解】①中，两平面也可能相交，故①错误；本题考查线面平行的判定和性质，线面关系，属于简单题.5．设α，β表示两个不同平面，m 表示一条直线，下列命题正确的是（ ） A ．若//m α，//αβ，则//m β.B ．若//m α，//m β，则//αβ.C ．若m α⊂，//αβ，则//m β.D ．若m α⊂，//m β，则//αβ.【答案】C【解析】【分析】由//m β或m β⊂判断A ；由//αβ，或αβ、相交判断B ；根据线面平行与面面平行的定义判断C ；由//αβ或αβ、相交，判断D .【详解】若//m α，//αβ，则//m β或m β⊂，A 不正确； 若//m α，//m β，则//αβ，或αβ、相交，B 不正确；若m α⊂，//αβ，可得m 、β没有公共点，即//m β，C 正确；若m α⊂，//m β，则//αβ或αβ、相交，D 不正确,故选C.【点睛】本题主要考查空间平行关系的性质与判断，属于基础题. 空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.6．能够推出平面α∥平面β的是（ ）A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α【解析】试题分析：对于A ，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故A 不对；对于B ，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B 不对；对于C ，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C 不对；对于D ，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D 正确考点：空间线面平行的判定与性质7．设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则//αβ等价于（ ） A ．存在两条异面直线,a b ，,,//,//a b a b αββα⊂⊂.B ．存在一条直线a ，//,//a a αβ.C ．存在一条直线a ，,//β⊂a a a .D ．存在两条平行直线,a b ，,,//,//αββ⊂⊂a b a b a .【答案】A【解析】【分析】根据面面平行的判定定理，以及线面，面面位置关系，逐项判断，即可得出结果.【详解】对于A 选项，如图：,a b 为异面直线，且,,//,//a b a b αββα⊂⊂，在β内过b 上一点作//c a ，则β内有两相交直线平行于α，则有//αβ；故A 正确；对于B 选项，若//,//a a αβ，则a 可能平行于α与β的交线，因此α与β可能平行，也可能相交，故B 错；对于D 选项，若,,//,//αββ⊂⊂a b a b a ，则α与β可能平行，也可能相交，故D 错.故选：A【点睛】本题主要考查探求面面平行的充分条件，熟记面面平行的判定定理，以及线面，面面位置关系即可，属于常考题型.8．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于下列四个命题： ①m α⊂，n ⊂α，m βP ，n P P βαβ⇒ ②n m ∥，n m αα⊂⇒P ③αβ∥，m α⊂，n m n P β⊂⇒ ④m αP ，n m n α⊂⇒P 其中正确命题的个数有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】A【解析】①m α⊂，n α⊂，m P β，n βP ，则α与β可能相交，①错；②n m P ，n α⊂，则m 可能在平面α内，②错；③αβP ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 可能异面，③错；④m αP ，n α⊂，则m 与n 可能异面，④错，故所有命题均不正确，故选A ．【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面平行判定与性质，属于中档题. 空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价. 9．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都平行于γ②存在两条不同的直线l ，m ，使得l ⊂β，m ⊂β，使得l ∥α，m ∥α③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l ，m ，使得l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β.其中，可以判定α与β平行的条件有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B利用直线与平面、平面与平面的位置关系,对选项进行逐一判断,确定出正确选项即可.【详解】对于①:由平行于同一平面的两个平面平行可知①正确;对于②:由面面平行的判定定理知,若,l m 是同一平面内的两条相交直线时,可以判定α与β平行,反之不成立,故②不正确;对于③:若,αβ是两个相交平面时,如果平面α内不共线的三点在平面β的异侧时，此三点可以到平面β的距离等,此时不能判定α与β平行,故③不正确;对于④:在平面α内作''//,//l l m m ,因为,l m 是两条异面直线,所以必有'',l m 相交,又因为//,//l m ββ,所以''//,//l m ββ,由面面平行的判定定理知,α与β平行,故④正确;故选:B【点睛】本题考查面面平行的判定及线面平行的判定;熟练掌握面面平行的判定定理是求解本题的关键;重点考查学生的逻辑思维能力;属于中档题、常考题型.10．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是11A B 的中点，点P 是侧面11CDD C 上的动点，且1MP AB C P ，则线段MP 长度的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】 取CD 的中点N ，1CC 的中点R ，11B C 的中点H ，根据面面平行的判定定理，得到平MRN ∠是直角，进而即可求出结果.【详解】取CD 的中点N ，1CC 的中点R ，11B C 的中点H ，则1////MN B C HR ，//MH AC ， ∴平面//MNRH 平面1AB C ，∴MP ⊂平面MNRH ，线段MP 扫过的图形是MNR V∵2AB =，∴MN NR MR ===∴222MN NR MR =+，∴MRN ∠是直角，∴线段MP 长度的取值范围是. 故选B.【点睛】本题主要考查面面平行的判定，熟记面面平行的判定定理即可，属于常考题型.二、填空题11．给出下列命题：①任意三点确定一个平面；②三条平行直线最多可以确定三个个平面；③不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行；④一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行；其中说法正确的有_____（填序号）.【答案】②③【解析】【分析】对四个选项进行逐一分析即可.对①：根据公理可知，只有不在同一条直线上的三点才能确定一个平面，故错误；对②：三条平行线，可以确定平面的个数为1个或者3个，故正确；对③：垂直于同一个平面的两条直线平行，故正确；对④：一个平面中，只有相交的两条直线平行于另一个平面，两平面才平行，故错误. 综上所述，正确的有②③.故答案为：②③.【点睛】本题考查立体几何中的公理、线面平行的判定，属综合基础题.12．过平面外两点，可作______个平面与已知平面平行．【答案】0或1【解析】【分析】当这两点在平面的同一侧，且距离平面相等，这样就有一个平面与已知平面平行，当这两点在平面的异侧，不管两个点与平面的距离是多少，都没有平面与已知平面平行，结论不唯一，得到结果．【详解】两点与平面的位置不同，得到的结论是不同的，当这两点在平面的同一侧，且距离平面相等，这样就有一个平面与已知平面平行，当这两点在平面的异侧，不管两个点与平面的距离是多少，都没有平面与已知平面平行， 这样的平面可能有，可能没有，故答案为0或1．【点睛】本题考查平面的基本性质及推论，考查过两个点的平面与已知平面的关系，本题要考查学生的空间想象能力，是一个基础题．13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与面ABCD平行的面是____________．【答案】面A1B1C1D1【分析】根据正方体的性质，得到答案.【详解】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中根据正方体的性质，对面互相平行所以与面ABCD 平行的面是A 1B 1C 1D 1【点睛】本题考查正方体的基本性质，属于简单题.14．设直线,l m ，平面,αβ，下列条件能得出//αβ的是_____.l m αα⊂⊂①,，且//,//l m ββ；l m αβ⊂⊂②,且//l m ；③,l m αβ⊥⊥，且//l m ；//,//l m αβ④，且//l m .【答案】③【解析】【分析】利用空间直线和平面的位置关系对每一个命题分析判断得解.【详解】设直线,l m ，平面,αβ，①,l m αα⊂⊂，且//,//l m ββ；l 与m 不相交时不能得出//αβ.②,l m αβ⊂⊂且//;l m α与β可能相交.③,l m αβ⊥⊥，且//l m ；能得出//αβ.④//,//l m αβ，且//l m .可能得出α与β相交.故答案为：③.【点睛】本题主要考查空间直线和平面位置关系的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水15．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点（包括边界），且11//A F D AE 平面，则11FA FB ⋅u u u v u u u v的最小值为____．【答案】12【解析】【分析】 根据题意1111ABCD A B C D -，可知2211111111111()||||FA FB FB B A FB FB B A FB FB ⋅=+⋅=+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，即求21||FB u u u r 的最小值.在侧面11BCC B 内找到满足1//A F 平面1D AE 且21||FB u u u r最小的点即可.【详解】 由题得21111111()||FA FB FB B A FB FB ⋅=+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，取1BB 中点H ，11B C 中点G ，连结1A G ，1A H ，GH ，11//A H D E Q ，∴1//A H 平面1D AE ，1//GH AD Q ，//GH ∴平面1D AE ，∴平面1//GA H 平面1D AE ，1//A F 平面1D AE ，故F ⊂平面1GA H ，又F ⊂平面11BCC B ，则点F 在两平面交线直线GH 上，那么1FB 的最小值是1FB GH ⊥时，11=1B G B H =，则211||=2FB u u u r 为最小值. 【点睛】本题考查空间向量以及平面之间的位置关系，有一定的综合性.三、解答题16．如图，在四棱锥P ABCD -中，AD CD ⊥，//AB CD ，E ，F 分别为棱PC ，CD的中点，3AB =，6CD =，且AC =（1）证明：平面//PAD 平面BEF .（2）若四棱锥P ABCD -的高为3，求该四棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）9【解析】【分析】（1）根据3AB =,6CD =可知2CD AB =,由//AB DF 可证明//BF AD ,又根据中位线可证明//EF PD 即可由平面与平面平行的判定定理证明平面//PAD 平面BEF . （2）利用勾股定理,求得DC .底面为直角梯形,求得底面积后即可由四棱锥的体积公式求得解.【详解】（1）证明：因为F 为CD 的中点,且2CD AB =,所以DF AB =.因为//AB CD ,所以//AB DF ,所以四边形ABFD 为平行四边形,所以//BF AD .在PDC ∆中,因为E ,F 分别为PC ,CD 的中点,所以//EF PD ,因为EF BF F =I ,PD AD D ⋂=,所以平面//PAD 平面BEF .（2）因为AD CD ⊥,所以AC ==又AC =所以2AD =. 所以四边形ABCD 的面积为()123692⨯⨯+=, 故四棱锥P ABCD -的体积为13993⨯⨯=. 【点睛】本题考查了平面与平面平行的判定,四棱锥体积的求法,属于基础题.17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别是1AD ，1BD B C ，的中点. 求证：（1）MN ∥平面11CC D D ；（2）平面MNP P 平面11CC D D .【答案】证明见解析【解析】【分析】（1）连接1,AC CD ，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；（2）连接1BC ，1C D ，先由线面平行的判定定理，得到PN P 平面11CC D D ，再由（1）的结果，结合面面平行的判定定理，即可证明结论成立.【详解】（1）如图，连接1,AC CD .∵四边形ABCD 是正方形，N 是BD 的中点，∴N 是AC 的中点.又∵M 是1AD 的中点，∴1//MN CD .∵MN ⊄平面11CC D D ，1CD ⊂平面11CC D D ，∴//MN 平面11CC D D .（2）连接1BC ，1C D ，∵四边形11B BCC 是正方形，P 是1B C 的中点，∴P 是1BC 的中点.又∵N 是BD 中点，∴1PN C D P .∵PN ⊄平面111,CC D D C D ⊂平面11CC D D ，∴PN P 平面11CC D D .由（1）知MN ∥平面11CC D D ，且MN PN N ⋂=，∴平面//MNP 平面11CC D D .【点睛】本题主要考查证明线面平行与面面平行，熟记线面平行的判定定理以及面面平行的判定定理即可，属于常考题型.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 、P 分别是棱AB ，11A B 的中点，求证：（1）1AC ∥平面1B CD ；（2）平面1APC P 平面1B CD ．【答案】（1）见证明；（2）见证明【解析】【分析】（1）设1BC 与1B C 的交点为O ，连结OD ，证明1OD AC P ，再由线面平行的判定可得1AC ∥平面1B CD ；（2）由P 为线段11A B 的中点，点D 是AB 的中点，证得四边形1ADB P 为平行四边形，得到1AP DB P ，进一步得到AP ∥平面1B CD ．再由1AC ∥平面1B CD ，结合面面平行的判定可得平面1APC P 平面1B CD ．【详解】证明：（1）设1BC 与1B C 的交点为O ，连结OD ，∵四边形11BCC B 为平行四边形，∴O 为1B C 中点，又D 是AB 的中点，∴OD 是三角形1ABC 的中位线，则1OD AC P ，又∵1AC ⊄平面1B CD ，OD ⊂平面1B CD ，∴1AC ∥平面1B CD ；（2）∵P 为线段11A B 的中点，点D 是AB 的中点，∴1AD B P P 且1AD B P =，则四边形1ADB P 为平行四边形，∴1AP DB P ，又∵AP ⊄平面1B CD ，1DB ⊂平面1B CD ，∴AP ∥平面1B CD ．又1AC ∥平面1B CD ，1AC AP P =I ，且1AC ⊂平面1APC ，AP ⊂平面1APC ， ∴平面1APC P 平面1B CD ．【点睛】本题考查直线与平面，平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P ､Q 分别是平面11AA D D ､平面1111D C B A 的中心，证明:（1）1//D Q 平面1C DB ；（2）平面1//D PQ 平面1C DB .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】(1)证明1//D Q DB 即可.(2)根据(1)中的结论再证明11//D P C B 即可.【详解】（1）由1111ABCD A B C D -是正方体,可知,1//D Q DB ,∵1D Q ⊄平面1C DB ,DB ⊂平面1C DB ,∴1//D Q 平面1C DB .（2）由1111ABCD A B C D -是正方体,可知,11//D P C B ,∵1D P ⊄平面1C DB ,1C B ⊂年平面1C DB ,∴1//D P 平面1C DB ,由（1）知,1//D Q 平面1C DB ,又111D Q D P D =I , ∴平面1//D PQ 平面1C DB .【点睛】本题主要考查了线面平行与面面平行的证明,属于基础题.20．如图，矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面，2,1EP BP AD AE ====，,//,,AE EP AE BP G F ⊥分别是,BP BC 的中点．求证：平面//AFG 平面PCE ；【详解】因为G 是BP 的中点，2BP =，所以112PG BP ==． 又因为1AE =， //AE BP ，所以//AE PG ，且AE PG =，所以四边形AEPG 是平行四边形，所以//AG EP ．又因为AG ⊄平面,PCE EP ⊂平面PCE ，所以//AG 平面PCE ． 因为G F 、分别是BP BC 、的中点，所以//FG PC ．又因为PC ⊂平面,PCE FG ⊄平面PCE ，所以//FG 面PCE 又因为,AG FG G AG ⋂=⊂平面,AFG FG ⊂平面AFG ， 所以平面//AFG 平面PCE ．。

8.5.3 平面与平面平行第一课时平面与平面平行的判定基础达标一、选择题1.下列四个说法中正确的是()A.平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥βB.α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥βC.平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥βD.平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β『解析』由面面平行的判定定理知C正确.『答案』 C2.如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.不确定『解析』∵A1E∥BE1，A1E⊄平面BCF1E1，BE1⊂平面BCF1E1，∴A1E∥平面BCF1E1.同理，A1D1∥平面BCF1E1.又A1E∩A1D1＝A1，A1E，A1D1⊂平面EFD1A1，∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.『答案』 A3.六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有()A.1对B.2对C.3对D.4对『解析』由图知平面ABB1A1∥平面EDD1E1，平面BCC1B1∥平面FEE1F1，平面AFF1A1∥平面CDD1C1，平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，∴此六棱柱的面中互相平行的有4对.『答案』 D4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱A1D1上的动点，O为底面ABCD的中心，点E，F分别是A1B1，C1D1的中点，下列平面中与OM扫过的平面平行的是()A.平面ABB1A1B.平面BCC1B1C.平面BCFED.平面DCC1D1『解析』取AB，DC的中点分别为点E1和点F1，连接E1F1，则E1F1过点O，OM扫过的平面即为平面A1E1F1D1(如图)，故平面A1E1F1D1∥平面BCFE.『答案』 C5.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作()A.1个或2个B.0个或1个C.1个D.0个『解析』①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β使β∥α.②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面与平面α至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面.故满足条件的平面有0个或1个.『答案』 B二、填空题6.已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b，c⊂β，则α与β的关系是________________.『解析』b，c⊂β，a⊂α，a∥b∥c，若α∥β，满足要求；若α与β相交，交线为l，b∥c∥l，a∥l，满足要求，故『答案』为相交或平行.『答案』相交或平行7.已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________(填“平行”或“相交”).『解析』若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a，矛盾.故α∥β.『答案』平行8.已知在正三棱柱ABC－A1B1C1中，G是A1C1的中点，过点G的截面与侧面ABB1A1平行，若侧面ABB1A1是边长为4的正方形，则截面的周长为________. 『解析』如图，取B1C1的中点M，BC的中点N，AC的中点H，连接GM，MN，HN，GH，则GM∥HN∥AB，MN∥GH∥AA1，所以有GM∥平面ABB1A1，MN∥平面ABB1A1.又GM∩MN＝M，所以平面GMNH∥平面ABB1A1，即四边形GMNH为过点G且与侧面ABB1A1平行的截面.易得此截面的周长为4＋4＋2＋2＝12.『答案』12三、解答题9.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，EF∥AC，G是DE的中点.求证：平面ACG∥平面BEF.证明如图，连接BD交AC于点O，连接OG，易知O是BD的中点，故OG∥BE.又BE⊂平面BEF，OG⊄平面BEF，所以OG∥平面BEF.因为EF∥AC，AC⊄平面BEF，所以AC∥平面BEF.又AC∩OG＝O，AC⊂平面ACG，OG⊂平面ACG，故平面ACG∥平面BEF.10.如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在P A，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.证明∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP，而BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，∴NQ∥平面PBC. 又∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，∴MQ∥BC，而BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，∴MQ∥平面PBC.又MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ⊂平面MNQ，∴平面MNQ∥平面PBC.能力提升11.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH的边上及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.『解析』连接HN，FH，FN.∵HN∥DB，FH∥D1D，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，HN，HF⊂平面FHN，DB，DD1⊂平面B1BDD1，∴平面FHN∥平面B1BDD1. ∵点M在四边形EFGH的边上及其内部运动，∴M∈FH.『答案』M在线段FH上12.如图，在四棱锥C－ABED中，四边形ABED是正方形，点G，F分别是线段EC，BD的中点.(1)求证：GF∥平面ABC；(2)若点P为线段CD的中点，平面GFP与平面ABC有怎样的位置关系？并证明.(1)证明如图，连接AE，由F是线段BD的中点，四边形ABED为正方形得F 为AE的中点，∴GF为△AEC的中位线，∴GF∥AC.又∵AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，∴GF∥平面ABC.(2)解平面GFP∥平面ABC，证明如下：连接FP，GP.∵点F，P分别为BD，CD的中点，∴FP为△BCD的中位线，∴FP∥BC.又∵BC⊂平面ABC，FP⊄平面ABC，∴FP∥平面ABC，又GF∥平面ABC，FP∩GF＝F，FP⊂平面GFP，GF⊂平面GFP，∴平面GFP∥平面ABC.创新猜想13.(多选题)设a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是()A.存在一条直线a，a∥α，a∥βB.存在一条直线a，a⊂α，a∥βC.存在一个平面γ，满足α∥γ，β∥γD.存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α『解析』对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交.若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项C，平行于同一个平面的两个平面显然是平行的，故选项C的内容是α∥β的一个充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件.故选CD.『答案』CD14.(多选题)如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，点E，F，G，H分别为P A，PD，PC，PB的中点，则在原四棱锥中()A.平面EFGH∥平面ABCDB.BC∥平面P ADC.AB∥平面PCDD.平面P AD∥平面P AB『解析』把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，又EH⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD，又EF∩EH＝E，EF，EH⊂平面EFGH，所以平面EFGH∥平面ABCD，故选项A正确；平面P AD，平面PBC，平面P AB，平面PDC是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交，故选项D错误；∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD，同理BC∥平面P AD，故选项B，C正确.『答案』ABC。

2．2.3平面与平面平行的性质基础梳理►思考应用如果两个平面平行，那么在其中一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？有何作用？解析：由面面平行的定义可知：如果两个平面平行，其中一个平面内的任意直线与另一个平面平行，通过该结论，可利用面面平行推出线面平行，为证线面平行提供了一个方法．自测自评1．若α∥β，a⊂α，下列四个命题正确的是(B)①a与β内所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内任意直线都不垂直；④a与β无公共点．A．①②B．②④C．②③D．①③④2．已知α∥β，下面正确的是(D)A．若a⊂α，b⊂β则a∥bB．若a⊂α，b⊂β则a，b异面C．若a⊂α，b∥β则a∥bD．若a⊂α，b⊂β则a∥β，b∥α3.平面α∥平面β，若直线AB⊂α，直线CD⊂β，则直线AB和CD(C)A．平行B．是异面直线C．是不相交的两条直线D．不是异面直线4．右图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为平行四边形．解析：∵平面ABFE∥平面CDHG，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH的形状是平行四边形．基础达标1．已知直线a∥平面α，则a与平面α内的直线的位置关系为(C) A．相交B．平行C．异面或平行D．异面2．已知α，β是两个不同的平面，下列四个条件中能推出α∥β的是(C)①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.A．①③B．②④C．①④D．②③解析：对于①，垂直于同一直线的两个平面平行，故当a⊥α，a ⊥β，α∥β，故①正确；对于②，若γ⊥α，γ⊥β，α与β可能平行，也可能相交(此时α，β的交线与γ垂直)，故②不正确；对于③，若a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，则α与β可能平行，也可能相交(此时a，b均与交线平行)，故③不正确；对于④，存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.可将α内的直线平移到β内的直线c，则有相交直线b，c都与平面α平行，根据面面平行的判定定理，可得④正确．故选C .3．P 是△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α交线段PA ，PB ，PC 于A′，B ′，C ′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝(B )A ．2∶25B ．4∶25C ．2∶5D ．4∶5解析：易知平面ABC ∥平面A ′B ′C ′，∴AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′，AB ∥A ′B ′.∴△A ′B′C′∽△ABC.又∵PA′∶AA′＝2∶3，∴PA ′PA ＝A ′C ′AC ＝25. ∴S △A ′B ′C ′S △ABC ＝425. 4．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于点A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于点B ，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为(B)A．16 B．24或24 5C．14 D．20解析：当点P在α，β的同侧时，BD＝245，当点P在α，β两平面之间时，BD＝24.5．判断命题的真假(对的在括号内打“√”，错的打“×”)：(1)平行于同一直线的两直线平行．()(2)平行于同一直线的两平面平行．()(3)平行于同一平面的两直线平行．()(4)平行于同一平面的两平面平行．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√6．(1)过平面外一点作该平面的平行平面只有一个，对吗？(2)过平面外一点作该平面的平行直线只有一条，对吗？(3)过平面外一条直线作该平面的平行平面一定有一个，对吗？(4)两个平面不相交就一定平行，对吗？答案：(1)对(2)错(3)错(4)对巩固提升7．如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G是侧面对角线上的点，且BE＝CF＝AG.求证：平面EFG∥平面ABC.证明：作EP ⊥BB 1交于点P ，连接PF ，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1的侧面ABB 1A 1中，易知A 1B 1⊥BB 1，又EP ⊥BB 1，∴EP ∥A 1B 1∥AB.∴EP ∥平面ABC ，且BE A 1B ＝BP BB 1. 又∵BE ＝CF ，A 1B ＝CB 1，∴CF CB 1＝BP BB 1.∴PF ∥BC ，则PF ∥平面ABC. ∵EP ∩PF ＝P ，∴平面PEF ∥平面ABC.∵EF ⊂平面PEF ，∴EF ∥平面ABC.同理：GF ∥平面ABC.∵EF ∩GF ＝F ，∴平面EFG ∥平面ABC.8．如图，已知平面α∥平面β，线段PQ ，PF ，QC 分别交平面α于A ，B ，C 点，交平面β于D ，F ，E 点，PA ＝9，AD ＝12，DQ ＝16，△ABC 的面积是72，试求△DEF 的面积．解析：平面α∥平面β，∴AB ∥DF ，AC ∥DE ，∴∠CAB ＝∠EDF.在△PDF 中，AB ∥DF ，DF ＝PA ＋AD PA ·AB ＝73AB ， 同理DE ＝47AC. S △DEF ＝12·DF ·DE ·sin ∠EDF ＝43S △ABC ＝96. 9．如右下图所示，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 的中点，M ，N 分别是AE ，CD 1的中点．求证：MN ∥平面ADD 1A 1.证明：如下图所示，取CD的中点K，连接MK、NK.∵M、N、K分别为AE、CD1、CD的中点，∵MK∥AD，MK⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1∴MK∥平面ADD1A1，同理NK∥平面ADD1A.而MK与NK相交，∴平面MNK∥平面ADD1A1.∵MN⊂平面MNK，∴MN∥平面ADD1A1.1．面面平行的性质定理揭示了面面平行中蕴涵着线线平行，通过面面平行可得到线线平行，同时给出了证明线面平行的一种方法．2．线线平行、线面平行、面面平行之间的关系：线线平行线面平行面面平行．3．证明直线和平面平行的方法有：(1)依定义采用反证法；(2)线面平行的判定定理；(3)面面平行的性质．。

8.5.3 平面与平面平行第1课时 平面与平面平行的判定一、选择题1．平面α与平面β平行的充分条件可以是（ ）A ．α内有无穷多条直线都与β平行B ．直线//a α，//a β，且直线a 不在α内，也不在β内C ．直线a α⊂，直线b β⊂，且//a β，//b αD ．α内的任何一条直线都与β平行【答案】D【解析】A 选项，α内有无穷多条直线都与β平行，并不能保证平面α内有两条相交直线与平面β平行，这无穷多条直线可以是一组平行线，故A 错误；B 选项,直线//a α，//a β，且直线a 不在α内，也不在β内,直线a 可以是平行平面α与平面β的相交直线，故不能保证平面α与平面β平行，故B 错误；C 选项, 直线a α⊂，直线b β⊂，且//a β，//b α,当直线a b ∥，同样不能保证平面α与平面β平行，故C 错误；D 选项, α内的任何一条直线都与β平行,则α内至少有两条相交直线与平面β平行，故平面α与平面β平行;故选:D.2．已知直线l ，m ，平面α，β，下列命题正确的是( )A ．l ∥β，l ⊂α⇒α∥βB ．l ∥β，m ∥β，l ⊂α，m ⊂α⇒α∥βC ．l ∥m ，l ⊂α，m ⊂β⇒α∥βD ．l ∥β，m ∥β，l ⊂α，m ⊂α，l ∩m ＝M ⇒α∥β【答案】D【解析】如右图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AB ∥CD ，则直线AB ∥平面DC 1，直线AB ⊂平面AC ，但是平面AC 与平面DC 1不平行，所以选项A 错误；取BB 1的中点E ，CC 1的中点F ，则可证EF ∥平面AC ，B 1C 1∥平面AC.又EF ⊂平面BC 1，B 1C 1⊂平面BC 1，但是平面AC 与平面BC 1不平行，所以选项B 错误；直线AD ∥B 1C 1，AD ⊂平面AC ，B 1C 1⊂平面BC 1，但平面AC 与平面BC 1不平行，所以选项C 错误；很明显选项D 是两个平面平行的判定定理，所以选项D 正确．3．如图，设11,,,E F E F 分别是长方体1111ABCD A B C D -的棱1111,,,AB CD A B C D 的中点，则平面11EFD A 与平面11BCF E 的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交但不垂直C ．垂直D ．不确定【答案】A 【解析】∵1E 和1F 分别是11A B 和11D C 的中点，∴1111//A D E F .又∵11A D ⊄平面11BCF E ，11E F ⊂平面11BCF E ，∴11//A D 平面11BCF E .又∵1E 和E 分别是11A B 和AB 的中点，∴11//A E BE ，且11A E BE =，∴四边形11A EBE 是平行四边形，∴11//A E BE .又∵1A E ⊄平面11BCF E ，1BE ⊂平面11BCF E ，∴1//A E 平面11BCF E .∵1A E ⊂平面11EFD A ，11A D ⊂平面11EFD A ，1111A E A D A ⋂=，∴平面11//EFD A 平面11BCF E .故选A4．已知a 是平面α外的一条直线，过α作平面β使βα，这样的β（ ） A ．只有一个 B ．至少有一个C ．不存在D ．至多有一个【答案】D 【解析】∵a 是平面α外的一条直线，∴//a α或a 与α相交.当//a α时，平面β只有一个；当a 与α相交时，平面β不存在.故选D5．（多选题）设a 、b 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则//αβ的一个充分条件是（ ） A ．存在一条直线a ，//a α，//a βB ．存在一条直线a ，a α⊂，//a βC ．存在一个平面γ，满足//αγ，//βγD ．存在两条异面直线a ，b ，a α⊂，b β⊂，//a β，//b α【答案】CD【解析】对于选项A ，若存在一条直线a ，//a α，//a β，则//αβ或α与β相交.若//αβ，则存在一条直线a ，使得//a α，//a β，所以选项A 的内容是//αβ的一个必要条件而不是充分条件；对于选项B ，存在一条直线a ，a α⊂，//a β，则//αβ或α与β相交.若//αβ，则存在一条直线a ，a α⊂，//a β，所以，选项B 的内容是//αβ的一个必要条件而不是充分条件；对于选项C ，平行于同一个平面的两个平面显然是平行的，故选项C 的内容是//αβ的一个充分条件； 对于选项D ，可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面γ中，成为相交直线，由面面平行的判定定理可知//γα，//γβ，则//αβ，所以选项D 的内容是//αβ的一个充分条件.故选：CD.6．（多选题）如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD 为正方形,,,,E F G H 分别为,,,PA PD PC PB 的中点.在此几何体中,给出下列结论,其中正确的结论是( )A ．平面//EFGH 平面ABCDB ．直线//PA 平面BDGC ．直线//EF 平面PBCD ．直线//EF 平面BDG【答案】ABC 【解析】作出立体图形如图所示.连接E F G H 、、、四点构成平面EFGH .对于A ,因为,E F 分别是,PA PD 的中点,所以//EF AD .又EF ⊄平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,所以//EF 平面ABCD .同理,//EH 平面ABCD .又EF EH E =,EF ⊂平面EFGH ,EH ⊂平面EFGH ,所以平面//EFGH 平面ABCD ,故A 正确;对于B ,连接,,,AC BD DG BG ,设AC 的中点为M ,则M 也是BD 的中点,所以//MG PA ,又MG ⊂平面BDG ,PA ⊄平面BDG ,所以//PA 平面BDG ,故B 正确;对于C ,由A 中的分析知//EF AD ,//AD BC ,所以//EF BC ,因为EF ⊂/平面PBC ,BC ⊂平面PBC ,所以直线//EF 平面PBC ,故C 正确;对于D ,根据C 中的分析可知//EF BC 再结合图形可得, BCBD B =,则直线EF 与平面BDG 不平行,故D 错误.故选ABC二、填空题7．已知点S 是等边三角形ABC 所在平面外一点，点,,D E F 分别是,,SA SB SC 的中点，则平面DEF 与平面ABC 的位置关系是_______.【答案】平行【解析】∵,E F 分别是,SB SC 的中点，∴EF 是SBC 的中位线，∴//EF BC .又∵BC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以//EF 平面ABC .同理//DE 平面ABC .∵EF DE E ⋂=， 所以平面DEF 平面ABC .8．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，E F G H ，，，分别是1111AB AC A B A C ，，，的中点，则与平面BCHG 平行的平面为________.【答案】平面1A EF【解析】由题意，因为E F ，分别为AB AC ，的中点，所以EF BC ∥，因为EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ，可得EF 平面BCHG ，因为1AG EB =且1AG EB ∥，所以四边形1A EBG 是平行四边形，所以1A E GB ∥，又因为1A E ⊄ 平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG ，所以1A E ∥平面BCHG ，因为1A E EF E ⋂=，所以平面1A EF ∥平面BCHG .9．a ，b 表示直线，α，β表示平面，若______，则α∥β．（在横线上添加适当条件，使之成立）【答案】a ，b 是平面α内的两条相交直线，且直线a ，b 都平行于平面β【解析】由两个平面平行的判定定理可得，当直线a ，b 是平面α内的两条相交直线，且直线a ，b 都平行于平面β时，一定 推出α∥β．故答案为a ，b 是平面α内的两条相交直线，且直线a ，b 都平行于平面β.10．如图,正方体1111ABCD A B C D -中, AB =点E 为11A D 的中点,点F 在11C D 上,若//EF 平面1ACB ,则EF =________，当H 为DD 1的 时，平面1//EFD 平面1ACB 。