泛函分析试卷

一、（10分）设(,)d x y 为空间X 上的距离。

证明(,)(,)1(,)d x y d x y d x y =+ 也是X 上的距离。

1、 求证 为 空间。

（其中 为 空间, 为 空间）2、 S 是由一切序列 组成的集合, 在S 中定义距离为3、 , 求证S 是一个完备的距离空间。

4、 Hilbert 空间X 中的正交投影算子为线性有界算子。

5、 附加题开映射定理( ) 设 都是 空间, 若 是一个满射, 则 是开映射。

Hahn —Banach 延拓定理( ) 设 是 空间, 是 的线性子空间, 是定义在 上的有界线性泛函, 则在 上必有有界线性泛函 满足：()()()()()()()000012f x f x x X f f =∀∈=延拓条件；保范条件，其中00f 表示0f 在0X 上的范数。

闭图像定理( ) 设 都是 空间, 若 是 的闭线性算子, 并且 是闭的, 则 是连续的。

共鸣定理( ) 设 是 空间, 是 空间, 如果, 那么存在常数 , 使得()A M A W ≤∀∈。

五、（10分）在 上定义内积:（1）如果21(),6f x x x =-+求||||f ； （2）证明任一函数()g x a bx =+都正交于21()6f x x x =-+。

六、（10分）设 为Hilbert 空间 的闭子空间, 证明对每个 必存在唯一的 有0inf y Mx x x y ∈-=- 七、（15分）设 , 求证: 。

八、（15分）简答题1.试说明 与 中函数的差异；一、2.泛函分析也称无穷维分析, 为什么要研究无穷维分析, 试举例说明；3.Hilbert 空间是最接近有限维Euclid 空间的空间，请做简要说明。

二、在 上定义内积 ,若记 为 中奇函数全体, 为 中偶函数全体, 求证： 且。

三、设 为内积空间 中的一个稠密子集, 且 , 证明 。

在 中赋予距离 问 是完备空间吗？ 为什么？设 若 是从 的算子, 计算 若 是从 的算子再求 。

泛函分析试卷与答案【篇一：泛函分析习题参考答案】证明：显然为空间x上的距离，试证：~d(y,x)也是xd(y,x)?1?d(y,x)上的距离。

~~d(x,y)?0,并且d(x,y)?0d(x,y)0xy。

~~d(y,x)d(x,y)d(y,x)d(x,y)；1?d(y,x)1?d(x,y)t1?1?1?t1?t的单调增加性及再者，最后，由d(x,y)?d(x,z)?d(z,y)，可得~d(x,y)d(x,z)?d(z,y)d(x,z)d(z,y)d(x,y)1?d(x,y)1?d(x,z)?d(z,y)1?d(x,z)?d(z,y)1?d(x,z)?d(z,y)~~d(x,z)d(z,y)d(x,z)?d(z,y)。

1?d(x,z)1?d(z,y)、设二p?1，xn?(?1(n),?,?i(n),?)?lp，n?1,2,?，x?(?1,?,?i,?)?lp，则n??时，p??d(xn,x)i(n)??i??0的充要条件为(1)n??时，?i(n)??i，i?1,2,?；(2)0，i1存在n?0，使得i?n?1i(n)p对任何自然数n成立。

(n)(n)必要性证明：由d(x,x)?ni??i??0可知，?i??i，i?1,2,?。

i1p由x?(?1,?,?i,?)?l。

p可知，，存在n1?0，使得i?n1?1p?(n)ii?(p?i?1pi(p2，并且n?n1时，2p由此可得，i?n1?1i(n)ppppi(n)??ii????p对n?n1成立。

i?n1?1i?n1?1p对于n?1,2,?n1，存在n2?0，i?n2?1i(n)pp。

取n?max?n1,n2?，则i?n?1(n)pip对任何自然数n成立。

0，存在k?0，使得充分性证明：由条件可知，i?k?1时，k(n)pi(2ip对任何自然数n成立，并且i?k?1pi(p2。

由(n)i??i可知，存在n?0，使得n?n i?1(n)ipp，并且d(xn,x)pi?1(n)i??ipi?1k(n)i??i?pi?k?1pi(n)ipi(n)??ii?1kp(n)ppp?(i)?(i)p2?p。

泛函分析考试题型及答案
1. 单项选择题
(1) 泛函分析中，Banach空间的定义是：
A. 完备的赋范线性空间
B. 完备的有界线性空间
C. 完备的线性空间
D. 有界线性空间
答案：A
2. 填空题
(2) 在泛函分析中，如果线性算子T:X→Y是连续的，则称T为
________。

答案：有界线性算子
3. 计算题
(3) 设线性算子T:ℝ^n→ℝ^m，且T是连续的。

证明：如果T是单射的，则T是开映射。

答案：证明略。

4. 简答题
(4) 简述Hahn-Banach定理的内容。

答案：Hahn-Banach定理指出，如果p是实数域上的线性泛函，定义在向量空间X的一个子空间M上，并且存在常数c>0使得对于所有x∈M，有|p(x)|≤c‖x‖，那么存在X上的线性泛函P，使得对于所有x∈M，P(x)=p(x)，并且对于所有x∈X，有|P(x)|≤c‖x‖。

5. 论述题
(5) 论述闭图定理及其在泛函分析中的应用。

答案：闭图定理是泛函分析中的一个重要定理，它指出如果T:X→Y 是一个线性算子，并且T的图是X×Y中的闭集，则T是连续的。

这个
定理在研究线性算子的连续性时非常有用，因为它提供了一个判断线
性算子连续性的几何方法。

在泛函分析中，闭图定理可以用来证明一
些算子的连续性，或者在研究算子的紧性、有界性等性质时作为工具。

6. 证明题
(6) 证明：如果X和Y是Banach空间，T:X→Y是一个有界线性算子，那么T的值域是闭的当且仅当T*:Y*→X*是满射的。

答案：证明略。

泛函分析考试试卷选择题。

1、下列说法不正确的是（）A、n维欧式空间疋是可分空间B、全体有理数集为疋的可数稠密了集C、严是不可分空间D、若X为不可数集则离散度量空间X是可分的答案：D2、设T是度量空间（X,d）到度量空间（Y, d~）的映射，那么T在xocx连续的充要条件是（）A、：1 2 3 4 51 x n—x° (n-co)时,B、当Xn—Xo (mcc)时,C、当x0—>x n (n—)时,D、当x n—Xg(n—0)时，答案:D必有TxnfTxo (n—xx) 必有Tx()—>Tx n(n—>oo)必有Txn—>Tx°(n—>oo)必有Txn- T XQ(n—0)答案：原像是X中的开集2设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y屮的线性算了，则T为有界算子的充要条件是T是X上的____ 匚答案：连续算子。

3若T为复内积空间X上有界线性算子，那么T=0的充要条件是対一切xCX有 _________________________________________________________________________ 匚答案：（Tx, x）=04有界线性算子T的共馳算子尸也是有界线性算子，并且_『11。

答案：=5设仏｝是巴拿赫空间X上的一列泛函，如果仏｝在X的每点X处有界，那么｛仏｝ _______________________________________________________________________ o_答案：一致有界B 、(A*)*=A** D 、(aA)*=aA* 3、在度量空间屮有（）A 、 柯西点列一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列B 、 柯西点列一定收敛，而且每一个收敛点列是柯西点列C 、 柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列都是柯西点列D 、 柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列 答案:C4、 关于巴拿赫空间叙述不正确的是（）A 、 完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间B 、 L p [a, b] （p>l ）是巴拿赫空间C 、 空间卩是巴拿赫空间D 、 赋范线性空间的共轨空间不是巴拿赫空间 答案：D5、 下列对共純算子性质描述错误的是（）A 、(A+B)*=A*+B*; C^ 当 X=Y 时,(AB)*=B*A* 答案：B 二、填空题1、度量空间X 到Y 中的映射T 是X 上的连续映射的充要条件为Y 中的任意开集M 为三、判断题1、 自伴算子一定为正常算子，正常算子不一定是自伴算子。

泛函分析考试题型及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 泛函分析中，下列哪个概念不是线性空间的基本元素？A. 向量B. 线性组合C. 线性映射D. 拓扑结构答案：D2. 在希尔伯特空间中，以下哪个性质不是内积空间必须具备的？A. 正定性B. 线性C. 对称性D. 交换性答案：D3. 下列哪个定理不是泛函分析中的基本定理？A. 赫尔德不等式B. 闵可夫斯基不等式C. 贝叶斯定理D. 一致有界性原理答案：C4. 巴拿赫空间是指完备的赋范线性空间，以下哪个条件不是巴拿赫空间必须满足的？A. 线性B. 赋范C. 完备性D. 有限维答案：D5. 在泛函分析中，紧算子是指将有界集映射到相对紧集的线性算子，以下哪个性质不是紧算子必须具备的？A. 线性B. 有界性C. 紧性D. 单射性答案：D6. 下列哪个概念不是泛函分析中的拓扑概念？A. 开集B. 闭集C. 连续性D. 线性映射答案：D7. 泛函分析中，下列哪个概念与巴拿赫空间无关？A. 赋范线性空间B. 完备性C. 紧性D. 线性答案：C8. 在泛函分析中，下列哪个性质不是线性泛函必须具备的？A. 线性B. 有界性C. 单射性D. 连续性答案：C9. 下列哪个定理不是泛函分析中解决方程问题的基本定理？A. 赫尔德定理B. 拉克斯-米尔格拉姆定理C. 贝祖定理D. 弗雷德霍姆选择定理答案：C10. 在泛函分析中，下列哪个概念不是线性算子的基本性质？A. 线性B. 有界性C. 紧性D. 可逆性答案：D二、填空题（每题2分，共20分）1. 泛函分析中的线性空间必须满足向量加法和标量乘法的______性。

答案：封闭2. 希尔伯特空间中的内积必须满足正定性、线性、对称性和______性。

答案：共轭对称3. 巴拿赫空间是完备的______线性空间。

答案：赋范4. 紧算子将有界集映射到______集。

答案：相对紧5. 巴拿赫空间中的完备性是指空间中的每个柯西序列都收敛到空间内的某个元素，这种性质也称为______性。

泛函分析试题及答案### 泛函分析试题及答案#### 一、选择题（每题5分，共20分）1. 泛函分析中，下列哪个概念不是线性空间的概念？A. 线性组合B. 线性映射C. 线性泛函D. 非线性变换答案：D2. 在Banach空间中，以下哪个条件不是完备性的必要条件？A. 空间中的每个Cauchy序列都收敛于空间内B. 空间是完备的C. 空间中存在一个完备的度量D. 空间中的每个有界序列都有一个收敛的子序列答案：C3. 泛函分析中，Hilbert空间的完备性是相对于哪种范数？A. 欧几里得范数B. 赋范范数C. 内积诱导的范数D. 以上都是答案：C4. 下列哪个定理不是泛函分析中的基本定理？A. Hahn-Banach定理B. Riesz表示定理C. 闭图定理D. 微积分基本定理答案：D#### 二、填空题（每题5分，共20分）1. 线性泛函在定义域上的连续性等价于其在定义域的原点处的连续性，这是基于泛函分析中的________定理。

答案：Hahn-Banach2. 在Hilbert空间中，任意两个向量的内积满足平行四边形法则，即对于任意向量\( u \)和\( v \)，有\( \|u+v\|^2 + \|u-v\|^2 =2(\|u\|^2 + \|v\|^2) \)，这是基于________定理。

答案：平行四边形3. 线性算子的谱半径公式为\( r(T) = \lim_{n \to \infty}\|T^n\|^{1/n} \)，其中\( T \)是Banach空间上的有界线性算子，这是基于________定理。

答案：Gelfand公式4. 在泛函分析中，紧算子的定义是：如果对于空间中的每一个有界序列，其在算子下的像序列都有一个收敛的子序列，则称该算子为紧算子，这是基于________定理。

答案：Arzelà-Ascoli#### 三、简答题（每题15分，共30分）1. 简述Riesz表示定理的内容及其在泛函分析中的意义。

泛函分析期末考试试卷参考答案及评分标准一、填空题（每小题3分，共15分）1、 如果对于任意给定的正数ε，存在正数0δ>，使对X 中一切满足%23、 若该范数可由内积导出构成内积空间，且按照该范数成为一个Banach 空间，4、span M X =5二、计算题（20分）叙述1l 空间的定义，并求1l 上连续线性泛函全体所成的空间。

答：（1）1121(,,),,(1,2)i i i l x R i ξξξξ∞=⎧⎫==<∞∈=∞⎨⎬⎩⎭∑L L（2）对于任意12(,,,)n x ξξξ=L L ，12(,,)n y ηηη=L L ，定义运算1122(,)n n x y ξηξηξη+=+++L ，12(,)n ax a a a ξξξ=L1l 按上述加法与数乘运算成为线性空间（3）11i i x ξ∞==∑1l 按上述定义的范数构为Banach 空间 ………….6分 令(0,01,0),1,2n ne n ==L L L ，121(,,0,0,),nn n n i i i x x e ξξξξ===∑L L则121(,)n nx l ξξξ∀=∈L L 能被表示为lim n n x x →∞=，对任意给定()'1f l∈，令(),1,2n n f e n η==L 则11()(lim )lim ()lim ()nn n n i i i i n n n i i f x f x f x f e ξξη→∞→∞→∞======∑∑.又因为1i e =对于i ∀有1()i i i f e f e f η=≤=。

由此可得sup i if η≤即12(,)n l ηηη∞∈L L ………….7分反之，对12(,)n b l ηηη∞∀=∈L L ，作1l 上泛函()f x 如下：1121(),(,)ni i ni f x x l ξηξξξ==∀=∈∑L L ，显然f 是1l 上线性泛函，又因为 1111()sup .sup ,i i i i i i i iii i i f x x ξηξηηξη∞∞∞====≤≤=∑∑∑因此，1'(),f l ∈并且有sup .i if b η∞≤=综上1'().l l ∞= …………7分三、证明题（共65分）1、（14分）设[0,1]C 表示闭区间[0,1]上连续函数全体，对任何,[0,1]x y C ∈，令1(,)|()()|,d x y x t y t dt =-⎰证明(,)x d 成为度量空间。

泛函分析期末考试题库及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项不是泛函分析中的基本概念？A. 线性空间B. 线性算子C. 微分方程D. 范数答案：C2. 希尔伯特空间中的内积满足的性质不包括以下哪一项？A. 线性B. 对称性C. 正定性D. 可逆性答案：D3. 以下哪个是紧算子的性质？A. 有界B. 可逆C. 连续D. 可微答案：A4. 以下哪个定理是泛函分析中的基本定理？A. 泰勒定理B. 格林定理C. 里斯表示定理D. 牛顿-莱布尼茨定理答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 在泛函分析中，一个线性空间的基是一组线性______的向量。

答案：无关2. 一个线性算子是______的，如果它将一个有界集映射到一个有界集。

答案：有界3. 一个线性算子是______的，如果它将一个紧集映射到一个紧集。

答案：紧4. 一个线性算子是______的，如果它在某个线性空间上是连续的。

答案：连续三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述什么是线性空间，并给出其基本性质。

答案：线性空间是一个集合，其中的元素称为向量，满足加法和数乘两种运算，并且满足加法交换律、加法结合律、数乘分配律等性质。

2. 解释什么是紧算子，并给出一个例子。

答案：紧算子是一个线性算子，它将任意有界序列映射到一个收敛序列。

例如，考虑在L^2空间上的算子K，定义为K(f)(x) =∫f(t)sin(x-t)dt，它是一个紧算子。

3. 描述什么是希尔伯特空间，并说明其与欧几里得空间的关系。

答案：希尔伯特空间是一个完备的内积空间，它允许无限维向量的存在。

希尔伯特空间是欧几里得空间的推广，其中欧几里得空间是有限维的希尔伯特空间。

四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定线性算子A: L^2(0,1) → L^2(0,1)，定义为A(f)(x) =∫₀^x f(t)dt，证明A是一个紧算子。

答案：略2. 考虑在L^2(-1,1)上的算子B，定义为B(f)(x) = xf(x)，证明B是一个有界算子，并求出其范数。