2612讲义_二次函数y=ax2的图象和性质-课件(PPT·精·选)

21
2.填空:
(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是（__0_，_0_）;
对称轴是__y_轴___;在_对__称__轴__的_右___ 侧,
y随着x的增大而增大;在对__称__轴__的__左_侧,
y随着x的增大而减小;当x= 0 时,函
倍 速
数y的值最小,最小值是
0 ;抛物线
课
时 学
y=2x2在x轴的
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
9
y x2
在对称轴的左 侧时,y随着x的 增大而减小.
在对称轴的右 侧时, y随着x的 增大而增大.
倍 速 课 时 学
当当抛顶xx==物点--21时时线是，，yyy它==41=的x2在最x低轴点的,开上口方向(除上当当顶,xx并==点21时时且外，，yy向==)41, 上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小,
学
增大而增大.
增大而减小.
练 最值 当x=0时,最小值为0. 当x=0时,最大值为0.
2020/10/18
18
应用新知
1.填空：
(1)抛物线y= x2的开口方向是 向上 ，顶点坐标是（0，0）,
对称轴是 y轴 .
(2)抛物线 y 2 x2 在x轴的 下 方(除顶点外),在对称轴的
3
倍 左侧, y随着x的 增大而增大 ；在对称轴的右侧, y随着x的
上 方(除顶点外).
练
2020/10/18
26.2 二次函数 的图象与性质
倍
第1课时
速
课
时
学
练
什么叫二次函数?
函数y=ax²+bx+c (a,b,c是 常数,a≠ 0) 叫做x的二次 函数.

当a<0时，抛物线的开口向 下，顶点是抛物线的最高点; |a|越大，抛物线的开口越小.
y y=2x2
8
6
4
2 O -4 -2 -2
-4
-6
y 1 x2 2
2 4x
y 1 x2 2
-8
y=-x2
y=-2x2
思考探究
基础巩固
1.函数y = 2x2的图象的开口__向__上___，对称轴是___y_轴___，
推进新课
2.描点
y
根据表中x，y的数值在坐标平面
9
中描出对应的点.
6
3.连线
3
用平滑曲线顺次连接各点，就得 -3 O 3 x
到y = x2的图象.
推进新课
知识点2.二次函数y = ax2的图象和性质 观察：二次函数y = x2的图象像什么？ y
9 6 3
抛物线y = x2
-3 O
3x
事实上，二次函数的图象都是抛物线， 它们的开口或者向上或
2
顶点都是原点(0，0)，顶-4 -2 O 点是抛物线的最低点；
2 4x
a值越大，抛物线的 开口越小．
归纳整理
一般地，当a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，对称 轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，
抛物线的开口越小.
y y=2x2
8
6
4 2 -4 -2 O
y 1 x2 2
2 4x
当x<0时，y随着x的增大而减小. 当x<0时，y随着x的增大而增大. 当x>0时，y随着x的增大而增大. 当x>0时，y随着x的增大而减小.
当x = 0时，最小值为0.
当x = 0时，最大值为0.

体验画图
x ┄ -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ┄
y ┄ 9 6.25
4 2.25
1 0.25 0 0.25 1 2.25 4 6.25
┄
9
(2)为了初步验证以上画图 的合理性，我们将上表中 x取值细化(取每两整数点 的中点)，尝试连接这所 有13个点：
y 10
y=x2
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-5 -4 -3-2 -1 o 1 2 3 4 5 x
体验画图
（3）为了更精确验证这个函数图象，可以运用计 算机辅助，取每两个整数点的三等分点，乃至100 等分点，并将这些点连接起来.
它类似于投篮和投掷铅球时，球在空中所经过 的路线，只是这条曲线叫做抛物线.
体验画图
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9 -10
y 1 x2
a<0
2
y 2x2 y x2
总结性质
1.形如二次函数 y=ax2 的图象都是顶点为 （__0_，__0）_的抛物线，反之，顶点在（0,0）
的抛物线的形式是__y__=__a_x_2_.
总结性质
2.填表：
y＝ax2
开口方向
a>0 向上
(1) y 3x2 ; (2) y 3x2 ;
(3) y 1 x2 ; 3
(4) y 1 x2. 3
基础练习
补充练习：
1.函数y=0，0) .
2.函数y=-3x2的图象的开口 向下 , 对称轴是 y 轴 ,顶点是 (0,0) .

例4 如图， 四个二次函数的图象分别对应 ① y=ax2 ；② y=bx2；
③ y=cx2；④ y=dx2，且①与③，②与④分别关于x 轴对称.
(1)比较a，b，c，d 的大小； (2)说明a 与c，b 与d 的数量关系.
解：(1)由抛物线的开口方向，知 a ＞ 0，b ＞ 0，c ＜ 0，d ＜ 0，
由抛物线的开口大小，知 |a| ＞ |b|，|c| ＞ |d|， 因此a ＞ b，c ＜ d. ∴ a ＞ b ＞ d ＞ c. (2)∵①与③，②与④分别关于x 轴对称，
∴①与③，②与④的开口大小相同，方向相反. ∴ a+c=0，b+d=0.
课堂练习
1、下列函数中，y总随x增大而减小的是( B )
归纳总结
位置开 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方
口方向
a的绝对值越大，开口越小
对称性 顶点最值
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0
增减性
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
1、如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象, 则k的取值范围是 k>1 .
复习引入
1.二次函数的一般形式是怎样的？ y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
2.下列函数中,哪些是二次函数？
①
②
③
④
⑤
3.一次函数的图象是一条 直线.
4.通常怎样画一个函数的图象？ 列表、描点、连线
那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们 来学习最简单的二次函数y=ax2的图像
不同点： a的值越大，开口越小.

第二十二章 二次函数
∴正方形的边长为
cm，
∴S与C之间的关系式为S =
；
（2）作图如右：
（3）当S = 1cm2时，C2 =16，即C =4cm.
（4）若S ≥ 4cm2，即 因此C ≥ 8cm.
≥4，解得C，≥或8c≤-8(舍去）.
巩固练习
第二十二章 二次函数
变式题2 已知二次函数y＝2x2.
(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上， 则
巩固练习
第二十二章 二次函数
变式题1
已知 0时，y随ห้องสมุดไป่ตู้增大而增大2，则k=
是二次函数，且当x＞ .
分析
是二次函数，即二次项的系数不
为0，x的指数等于2.又因当x＞0时，y随x增大而增大,即
说明二次项的系数大于0. 因此，
，解得k=2 .
巩固练习
对应训练
第二十二章 二次函数
《超越训练》 P33：例1+达标训练
问题1 画出二次函数y=x2的图象.
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表 表示几组对应值：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9
41
0
1
4
9…
知识探究
第二十二章 二次函数
2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y） 3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得 到y = x2 的图象．
系是什么？
y y=ax2
二次项系数互为 相反数，开口相反 ，大小相同，它们 关于x轴对称.
O
x
y=-ax2
知识探究
第二十二章 二次函数
知识点 3 二次函数y=ax2的性质

下
方（除顶点外），在对称轴的
左侧，y随着x的 增大而增大 ；在对称轴的右侧，y随着x的
增大而减小 ，当x=0时，函数y的值最大，最大值是 0 ，
当x 0时，y<0.
范例 例1、在同一平面直角坐标系中，画出 下列二次函数的图象：
(3) y x2
新授
比较几个二次函数的图象，你有
什么发现？
y
9
8
7
y 2 x2 3
（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是（0，0）, 对称轴是 y轴 ，在 对称轴的右 侧， y随着x的增大而增大；在对称轴的左 侧， y随着x的增大而减小，当x= 0 时， 函数y的值最小，最小值是 0 ,抛物 线y=2x2在x轴的 上 方（除顶点外）。
（2）抛物线
y
2 3
x2在x轴的
开口方向和图象的位置；
试一试：
1、函数y=2x2的图象的开口
，对称轴
是
，顶点是
；在对称轴的左
侧，y随x的增大而
，在对称轴的右侧，
y随x的增大而
；
2、函数y=-3x2的图象的开口
，对称轴
是
，顶点是
；在对称轴的左
侧，y随x的增大而
，在对称轴的右侧，
y随x的增大而
；
3、y=kx2与y=kx－2(k≠ 0)在同一坐标系中，可能是（ B）
y=-x2的顶点是图象的最高点. y随x的增大而减小。
结论：二次函数 y=ax2 的图象与性质
1. 对称轴都是y轴;
2. 当a>0时，开口向上； 当a<0时，开口向下．
3.图象的顶点都在原点. 当a>0时，顶点是图象的最低点, 当a<0时，顶点是图象的最高点.

看图说话
y=x2
y=-x2
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展； 当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小. 当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
5. 还可以怎样列式？这个算式表示什么意思？
6. 通过解决这个问题，你想说点什么？
2. 同一幅图，为什么观察到的信息不一样呢？
1. 一共有多少盆花？
问题：
一、复习整理，清晰思路
1. 从图中你知道了哪些信息？
2. 要解决的问题是什么？
4. 完整地说一说这幅图的意思。
6. 谁会列式？
5. 你想用什么方法解决这个问题？
当x=1时,y= -1 当x= 2时,y= -4
抛物线y= -x2在x轴的 下方(除顶点外),顶点 是它的最高点,开口 向下,并且向下无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最大,最大值是0.
看图说话
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:
做一做P40
7
y=x2
y=-x2
x
y
0
y
x
0
?
它们之间有何关系？
2. 要解决的问题是什么？
3. 哪些是指原来的水饺？
4. 你想怎样解答？ 说一说理由。
3. 原来一共有多少个水饺？
8
＋
5
13

2,-3). (1)求a的值，并写出这个二次函数的解析 式.
(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、 开口方向和图像的位置.
2.若抛物线y=ax2 （a ≠ 0），过点（-1，3）。
（1）则a的值是
；
（2）对称轴是
，开口
。
（3）顶点坐标是
，顶点是抛物线上的
。
抛物线在x轴的
方（除顶点外）。
驶向胜利 的彼岸
26.1.2二次函数y=ax2的图像
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
回顾知识:
一、正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是什么。
正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是一条经过原点 的直线。 二、一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象又是什么。
一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象也是一条直线。
三、反比例函数 y k（k ≠ 0）其图象又是什么。
y 2 x2 3
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时 所经过的路线，我们把它叫做抛物线。
对称这对轴对这对对这对条称对称与条称称条称抛，称轴抛抛，轴抛，y物轴。物轴物y。物轴y线。线轴就线线就关的就是关关是于交是它于于它y点它的轴y轴的y轴的 叫做抛物线的顶点。
1、观察右图， 并完成填空。
x
反比例函数 y k（k ≠ 0）其图象是双曲线。
x
二次函数y=ax²+ bx+c（a ≠ 0） 其图象又是什么呢？。
二次函数y=ax2的图像
画出下列函数的图象。
(1)y 1 x2 2
(2)y 2x2 (3)y 2 x2
3
y x2
y 1 x2 2
y x2
y 2x2
（2）因为 4 2(1)2 ，所以点B（-1 ，-4）

观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
二次函数 y=x2的图象 形如物体抛 射时所经过 的路线,我们 把它叫做抛 物线
当x=1时，y=1 当x=2时，y=4
做一做 在学中做—在做中学
(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？
(2)先想一想，然后作出它的图象．
(3)它与二次函数y=-x2的图象有什么关系？
x
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
你能根据表格中的数据作出
解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为 y= -2x2.
（2）因为 4 2(1)2，所以点B（-1 ，-4）
不在此抛物线上。
（3）由-6=-2x2 ,得x2=3, x 3
所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是
( 3,6)与( 3,6)
§26.1 二次函数y=ax2的 图象和性质
1、二次函数的一般形式是怎样的？
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
2.下列函数中,哪些是二次函数？
① y x2
② y x2 1 x
③ y x x2 ④ y x2 x 1
⑤ y 1 x2 2x 4
3
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
（2）抛物线
y
2 3

第6页
知识点1：二次函数y＝ax2的图象 1．函数y＝－2x2的图象的顶点坐标为( B ) A．(1，－2) B．(0，0) C．(0，－2) D．(2，－8)
第7页
2．在下列抛物线中，开口最小的是( D ) A．y＝－ x2 B．y＝－ x2 C．y＝x2 D．y＝ x2
第8页
3．下列各点中，在抛物线y＝－2x2的图象上的是( B ) A．(2，1) B．(1，－2) C．(－2，－1) D．(－1，2)
14．(罗山县月考)如图，抛物线的顶点为O，平行于x轴的直线与该为等腰三角形，我 们规定：当△AOB为直角三角形时，就称△AOB为 该抛物线的“完美三角形”．求抛物线y＝x2的 “完美三角形”斜边AB的长．
第 22 页
解：过点B作BN⊥x轴于N，由题意得△AOB为等腰直角三角形，∴∠AB O＝45°， ∵AB∥x轴，∴∠BON＝45°， ∴△BON是等腰直角三角形， 设点B坐标为(n，n)，∵点B在抛物线y＝x2上， ∴n2＝n，∴n＝1或n＝0(不合题意，舍去)， ∴点B坐标为(1，1)，∴点A坐标为(－1，1)， ∴AB＝2.
第 14 页
10．已知一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2，其中a≠0，b＜0，则下面 选项中，图象可能正确的是( C )
第 15 页
11．如图，正方形OABC的面积为18，OC与y轴 的正半轴的夹角为15°，
点B在抛物线y＝ax2(a＞0)的图象上，则a的值为
.
第 16 页
12．已知二次函数y＝ax2(a≠0)与一次函数y＝kx－2 的图象相交于A，B两 点，如图所示，其中A(－1，－1)． (1)求二次函数y＝ax2的解析式； (2)求△OAB的面积．
第9页
4．(封丘县期末)已知二次函数y＝(m－ )x2的图象开口向下，则m的取