高中数学 3.3《幂函数》教案 苏教版必修1

高中数学教案《幂函数》章节一：幂函数的定义与性质教学目标：1. 理解幂函数的定义；2. 掌握幂函数的性质；3. 能够运用幂函数的性质解决问题。

教学内容：1. 幂函数的定义：一般形式为f(x) = x^a，其中a为实数，a≠0；2. 幂函数的性质：a) 当a>0时，函数在x>0时单调递增，在x<0时单调递减；b) 当a<0时，函数在x>0时单调递减，在x<0时单调递增；c) 当a=1时，函数为常值函数f(x)=x；d) 当a=0时，函数为常值函数f(x)=1；e) 当a为负偶数时，函数在x>0时单调递增，在x<0时单调递减；f) 当a为负奇数时，函数在x>0时单调递减，在x<0时单调递增。

教学活动：1. 引入幂函数的概念，引导学生理解幂函数的一般形式；2. 通过示例，引导学生掌握幂函数的性质；3. 进行练习，巩固学生对幂函数性质的理解。

章节二：幂函数的图像与性质教学目标：1. 能够绘制幂函数的图像；2. 理解幂函数图像的性质；3. 能够运用幂函数图像解决问题。

教学内容：1. 幂函数的图像：一般形式为一条曲线，当a>0时，图像在x轴正半轴上单调递增，在x轴负半轴上单调递减；当a<0时，图像在x轴正半轴上单调递减，在x轴负半轴上单调递增；2. 幂函数图像的性质：a) 当a>0时，图像在x轴正半轴上无界，在x轴负半轴上有界；b) 当a<0时，图像在x轴正半轴上有界，在x轴负半轴上无界；c) 当a=1时，图像为一条直线，穿过原点；d) 当a=0时，图像为一条水平线，位于y轴上；e) 当a为负偶数时，图像在x轴正半轴上单调递增，在x轴负半轴上单调递减，且过原点；f) 当a为负奇数时，图像在x轴正半轴上单调递减，在x轴负半轴上单调递增，且过原点。

教学活动：1. 通过示例，引导学生绘制幂函数的图像；2. 分析幂函数图像的性质，引导学生理解幂函数图像的特点；3. 进行练习，巩固学生对幂函数图像性质的理解。

2023高中数学幂函数教学教案（7篇）高中数学必修1《幂函数》教案篇一1、教学目标学问目标：（1）把握幂函数的形式特征，把握详细幂函数的图象和性质。

（2）能应用幂函数的图象和性质解决有关简洁问题。

力量目标：培育学生发觉问题，分析问题，解决问题的力量。

情感目标：（1）加深学生对讨论函数性质的根本方法和流程的阅历。

（2）渗透辨证唯物主义观点和方法论，培育学生运用详细问题详细分析的方法分析问题、解决问题的力量。

2、教学重点：从详细函数归纳熟悉幂函数的一些性质并简洁应用。

教学难点：引导学生概括出幂函数的性质。

3、教学方法和教学手段：探究发觉法和多媒体教学4、教学过程：问题情境问题1写出以下y关于x的函数解析式：①正方形边长x、面积y②正方体棱长x、体积y③正方形面积x、边长y④某人骑车x秒内匀速前进了1m，骑车速度为y⑤一物体位移y与位移时间x，速度1m/s问题2是否为指数函数？上述函数解析式有什么共同特征？（教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，）板书课题并归纳幂函数的定义。

（二）新课讲解幂函数的定义：一般地，我们把形如的函数称为幂函数（powerfunction），其中是自变量，是常数。

为了加深对定义的理解，请同学们判别以下函数中有几个幂函数？①y=②y=2x2我们了解了幂函数的概念以后我们一起来讨论幂函数的性质。

问题3幂函数具有哪些性质？用什么方法讨论这些性质的呢？我们请同学们回忆一下在前面学习指数函数、对数函数我们一起讨论了哪些性质呢？（学生争论，教师引导）（引发学生作图讨论函数性质的兴趣。

函数单调性的推断，既可以使用定义，也可以通过图象解决，直观，易理解。

）在初中我们已经学习了幂函数的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。

依据你的学习经受，你能在同一坐标系内画出函数的图象吗？（学生作图，教师巡察。

将学生作图用实物投影仪演示，指出优点和错误之处。

教师利用几何画板演示，通过超级链接几何画板演示。

2.4幂函数教学目标：1．使学生理解幂函数的概念，能够通过图象研究幂函数的性质；2．在作幂函数的图象及研究幂函数的性质过程中，培养学生的观察能力，概括总结的能力；3．通过对幂函数的研究，培养学生分析问题的能力．教学重点：常见幂函数的概念、图象和性质；教学难点：幂函数的单调性及其应用．教学方法：采用师生互动的方式，由学生自我探索、自我分析，合作学习，充分发挥学生的积极性与主动性，教师利用实物投影仪及计算机辅助教学．教学过程：一、问题情境情境：我们以前学过这样的函数：y＝x，y＝x2，y＝x-1，试作出它们的图象，并观察其性质．问题：这些函数有什么共同特征？它们是指数函数吗？二、数学建构1．幂函数的定义：一般的我们把形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是变量，指数α是常数．2．幂函数y＝x α图象的分布与α的关系：对任意的α∈ R，y＝xα在第I象限中必有图象；若y＝xα为偶函数，则y＝xα在第II象限中必有图象；若y＝xα为奇函数，则y＝xα在第III象限中必有图象；对任意的α∈R，y＝xα的图象都不会出现在第VI象限X=1y=1y=XIIIIII中．3．幂函数的性质(仅限于在第一象限内的图象)：（1）定点：α＞0时，图象过(0，0)和(1，1)两个定点；α≤0时，图象过只过定点(1，1)．（2）单调性：α＞0时，在区间[0，＋∞)上是单调递增；α＜0时，在区间(0，＋∞)上是单调递减．三、数学运用例1写出下列函数的定义域，并判断它们的奇偶性（1）y＝12x；（2）y＝2x-；（3）y＝22x x-+；（4）y＝1122x x-+．例2比较下列各题中两个值的大小．（1）1.50.5与1.70.5（2）3.14-1与π-1（3）(－1.25)3与(－1.26)3（4）314与221例3幂函数y＝x m；y＝x n；y＝x-1与y＝x在第一象限内图象的排列顺序如图所示，试判断实数m，n与常数－1，0，1的大小关系．练习：（1）下列函数：①y＝0.2x；②y＝x0.2；③y＝x-3；④y＝3·x-2．其中是幂函数的有（写出所有幂函数的序号）．（2）函数122(2)y x x-=-的定义域是．（3）已知函数21()(1)a af x a x+-=-，当a＝时，f(x)为正比例函数；当a＝时，f(x)为反比例函数；当a＝时，f(x)为二次函数；当a＝时，f(x)为幂函数．（4）若a＝231()2，b＝231()5，c＝131()2，则a，b，c三个数按从小到大的顺序排列为．四、要点归纳与方法小结1．幂函数的概念、图象和性质；2．幂值的大小比较方法．x yOy＝xy＝x my＝x-1y＝x n五、作业课本P73-1，4，5．。

高中数学“幂函数”教学设计作者：***来源：《江苏教育·中学教学版》2024年第05期【关键词】高中数学；方法引领；教学设计；幂函数【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2024）19-0043-04【作者简介】杨玲玲，江苏省句容市第三中学（江苏句容，212400）教师，一级教师。

一、教学内容分析本节课的内容选自苏教版普通高中数学教材必修一第6章第1节，是第5章《函数》内容的延续和深化，也是函数思想方法应用的具体化。

学生在初中时已经接触过y = x，y = x2，y = x-1等函数，对这些函数有一定的认知基础和研究经验。

教学时，教师可以引导学生梳理已有经验，帮助学生学会从数和形两个角度来研究幂函数的性质。

这样的研究方式对后续内容的学习起着引领、指导和组织的作用，能够帮助学生建立研究函数模型的方法范式，从而实现数学知识和方法的自然延拓。

二、教学目标设置1.了解幂函数的概念，会画出y = x，y = x2，y = x3，y = x-1，y = x[12]等幂函数的图象；2.了解几个常见的幂函数的性质，会利用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数幂值的大小；3.经历探究幂函数图象与性质的过程，明确研究一类函数模型的基本方法，进一步体会数形结合、特殊与一般等数学思想，培养直观想象、数学抽象、逻辑推理等数学学科核心素养。

三、学情分析1.学生已有的认知基础本节课的授课对象是江苏省四星级普通高中高一学生，在知识结构上，他们在初中时已经研究了一次函数、二次函数、反比例函数等初等函数，在高中又学习了函数的概念及简单性质，已经积累了研究函数的初步知识基础。

在经验方法上，他们经历了对y = x，y = x2，y = x-1等函数的初步学习，已经拥有了研究函数的基本经验，并具备一定的观察、分析、抽象、概括能力。

2.达成目标所需的认知基础在探究幂函数性质的过程中，需要学生对数形结合思想有较深刻的认识和理解，有较强的直观想象、逻辑推理能力和良好的独立思考、合作交流等学习习惯。

3.3幂函数（1）教案【教学目标】【知识与技能】1.理解幂函数的概念.2.通过具体实例研究幂函数的图象和性质，并初步进行应用.【过程与方法】通过对幂函数的学习，使学生进一步熟练掌握研究函数的一般思想方法.【情感、态度价值观】1.进一步渗透数形结合、分类讨论的思想方法.2.体会幂函数的变化规律及蕴含其中的性质.3.通过引导学生主动参与作图、分析图象，培养学生的探索精神，并在研究函数变化的过程中渗透辩证唯物主义的观点.【重点难点】重点：通过六个具体的幂函数认识概念，研究性质，体会图象的变化规律．难点：画六个幂函数的图象并由图象概括幂函数的一般性质.【突破方式】教师引导学生动手作图、媒体演示多个幂函数图象，深化学生对图象的直观认识；观察幂函数图象，归纳幂函数的性质，加强学生对幂函数性质的理解和记忆.【教学策略】【教学顺序】复习引入，归纳定义，研究图象，归纳性质，应用性质.【教学方法与手段】1．采用师生互动的方式，在教师的引导下，学生通过思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质，体验自主探索、合作交流的学习方式，充分发挥学生的积极性与主动性.2．利用投影仪及计算机辅助教学.超级链接到课件3.3幂函数（1）（个人独立制作）【教学过程】创设情境前面我们学习了函数定义，研究了函数的一般性质，并且研究了指数函数和对数函数.函数这个大家庭有很多成员，如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等.它们在数学中的都承担着各自的任务，每个成员又都有它们各自鲜活的个性.今天，我们利用研究指数函数、对数函数的研究方法，再来认识一位新成员.请大家看如下问题.（板书：.,,,,,12132 -=====x y x y x y x y x y ）抽取这几个解析式结构上的共同特征：我们能够发现它们的右端都是幂的形式，并且底数是自变量x ，幂指数是常数. 也就是说，它们可以写成a x y =的形式，这种形式的函数就是幂函数.（板书课题：幂函数） 探究新知幂函数的定义（形式定义）一般地，形如)(R x y ∈=αα的函数称为幂函数，其中α是常数.自变量x 是幂的底数，换句话说，幂的底数是单变量x ，幂指数是个常数，幂的系数是1，符合上述形式的函数，就是幂函数.请同学们举出一个具体的幂函数.从引例和同学们刚才举的例子中，我们可以发现，幂指数α可以是正数、负数，也可以是0.幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 课堂练习1．指出下列函数中的幂函数..,,,,5xy x y x y x x y xy 51222===+==探究新知按照从特殊到一般的原则，我们先来研究几个具有代表意义的幂函数..,,,,,212132--======x y x y x y x y x y x y请同学们用描点法在平面直角坐标系中画出上述函数的图象.我们在前面的课程中已经研究过了函数y x =与2y x =的性质，它们的图象已经呈现在坐标纸中了，在这里，我们只画出余下四个函数的图象.（时间关系，分四组）根据手里作出的图象，以小组为单位对照函数图象，讨论以下四个问题： 1.描点法画函数图象的步骤；（列表、描点、连线） 2.互相检查函数图象的画法，图象是否一致； 3.讨论在画图象过程中出现的问题；4.探究幂函数图象的变化规律，归纳幂函数的性质.通过刚才观察同学们作图，其中几个同学的图象特别规范，请看. 变化趋势. 首先可以很明显的看到，上述六个幂函数的图象都过同一个定点（1，1）.值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {}0|≠y y（0，+∞） 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 偶函数 单调性 递增（-∞，0）减 递增[0，+∞）增 （-∞，0）减 （-∞，0）增 （0，+∞）增（0，+∞）减（0，+∞）减定点（1，1）从这些函数的图象我们可以看到，幂函数随着幂指数的取值不同，它们的性质和图象也存在着差异，请同学们根据这个表格，寻找这6个幂函数的共性？定义域不同，但有公共区间（0，+∞）.为了更好地观察函数图象特征，总结幂函数的性质，我们把6个幂函数的图象画在同一平面直角坐标系中.（这是幂函数……的图象……）总结性质虽然这6个幂函数图象所分布的象限不同，但是我们还是不难发现它们共同的特征.这6个幂函数在（0，+∞）都有定义，图象都过点（1，1）.注意到这6个幂函数在第一象限内的单调性的差异，我们来观察当0>α时的函数图象，（演示几何画板，隐藏0<α时图象）很明显，它们的图象除了过点（1，1）外，还过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．再来观察当0<α时的函数图象，（演示几何画板，显示0<α时图象，隐藏0>α时图象）幂函数在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当自变量x 取值从右边趋于0时，图象在y 轴右方无限地靠近y 轴，但不与y 轴相交，当自变量x 取值趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地靠近x 轴，但不与x 轴相交．演示画板，改变幂指数的值，观察函数图象的变化趋势，不难发现，所有幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；当幂指数0>α时，幂函数都过原点，在),0[+∞上是增函数；当幂指数0<α时，在),0(+∞上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于0时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴．0>α 0<α在（0,+∞）有定义，图象过点（1,1）；在),0[+∞上是增函数 在),0(+∞上是减函数图象过原点在第一象限内，当x 从右边趋向于0时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴．下面我们应用幂函数的性质来解决问题. 例题解析例1 比较下列两个代数式值的大小：.2,)2)(4(;,)1)(3(;)3(,)2)(2(;4.2,3.2)1(323225.15.123234343----++a a a分析：观察所给的两个代数式，都是幂的形式.又因为幂指数相同，而底数不同，所以想到要利用幂函数的性质解决此类问题.（1）解：考察幂函数43x y =，因为43x y =在（0，+∞）上单调递增，而且2.3<2.4,所以43434.23.2<.以下各题同理可解：.2)2)(4(;)1)(3(;)3()2)(2(323225.15.12323----≤+>+>a a a例2 讨论函数32x y =的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性． 解：要使3232x x y ==有意义，x 可以取任意实数，故函数定义域为R ．∵f （－x ）＝3232)(x x =-＝f （x ）， ∴函数32x 是偶函数； x1 2 3 4 … y x = 01 1.59 2.08 2.52 …幂函数32x y =在［0，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减．思考与讨论幂函数)(R x y ∈=αα，当,5,,3,1 =α（正奇数）时，函数有哪些性质？（演示画板）定义域为R ，值域为R ，是奇函数，在（-∞，+∞）上是增函数. 当,6,,4,2 =α（正偶数）时，这类幂函数的性质和特点，留做同学们课下讨论. 课堂练习2．幂函数43x y =的单调递增区间是________.答案：[)+∞,0 3．2121211.1,9.0,2.1===-c b a 的大小关系是________.答案a >b >c归纳小结本节课我们学习了幂函数的定义，通过作出6个具有代表意义的幂函数的图象，归纳总结幂函数的共同性质，这也是我们研究函数的一般思想方法.布置作业作出函数23x y =的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明.通过本节课的学习，相信幂函数已经在大家的头脑中留下十分深刻的印象.最后，让我们在悠扬的音乐声中给大家展示一个数学公式，这是作为基本初等函数的幂函数在高等数学中的应用，用含有阶乘的幂指数是正整数的幂函数形式来表示xe ——泰勒公式.)(!!3!2132R x n x x x x e nx∈++++++=《幂函数》教案说明教材：普通高中课程标准试验教科书 数学1（必修）B 版 人民教育出版社 章节：3.3幂函数 一、教学目标定位幂函数具有函数的一般性质，而又有别于前面学习过的指数、对数函数，对于幂函数的性质的研究，有助于加深对函数性质的认识和理解，为后面的学习奠定了基础.《课程标准》指出，像函数这样的核心概念需要多次接触、反复体会、螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活应用.正是基于这样的要求，为了达到“通过对幂函数的研究，加深学生对函数概念的理解”的目的.我制定了如下教学目标：在知识与技能方面，理解幂函数的概念.通过具体实例研究幂函数的图象和性质，并初步进行应用.在过程与方法方面，通过对幂函数的学习，进一步渗透数形结合、分类讨论的思想，使学生熟练掌握研究函数性质的一般方法.在情感、态度价值观方面，通过引导学生主动参与作图、分析图象，培养学生的探索精神，并在研究函数变化的过程中渗透辩证唯物主义的观点.二、学情分析本节课授课的对象是高一年级的学生，他们对函数的概念及性质已经有了较为深刻的认识，基本上掌握了研究函数性质的一般方法.这节课是学生在学习了指数函数、对数函数的基础上，研究的第三种函数.学生能够类比研究指数函数和对数函数的过程，体会由特殊到一般的思想.学生学习幂函数知识，既可以体验类比研究的过程，又能通过对幂函数的学习重温研究函数的一般思想方法，从而掌握研究函数的一般方法，为以后研究其他函数，如三角函数奠定扎实的基础.三、教学诊断分析虽然学生刚刚学习过指数函数与对数函数，对于存在于函数解析式中的常数参数进行分类讨论的情况已经了解和接受，但还仅仅限于模仿和套用阶段。

3.3 幂函数1.了解幂函数的概念．2.掌握y ＝x 、y ＝x 2、y ＝x 3、y ＝x －1、y ＝x －2、y＝x 12的图象和性质．3．会运用幂函数的图象和性质解决问题．[学生用书P58]1．幂函数的概念函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2．幂函数的图象与性质 (1)五种常见幂函数的图象(2)五类幂函数的性质 幂函数 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 12y ＝x －1 定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪ (0，＋∞) 值 域 R [0，＋∞) R [0，＋∞){y |y ∈R 且y ≠0}奇偶性奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x ∈[0，＋∞)，增x ∈(－∞，0]，减增 增 x ∈(0，＋∞)，减x ∈(－∞，0)，减公共点 都经过点(1，1)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x 0(x ≠0)是幂函数．( )(2)幂函数的图象必过点(0，0)和(1，1)．( ) (3)幂函数的图象都不过第二、四象限．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×2．下列函数中不是幂函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝x 3 C ．y ＝2x D ．y ＝x －1答案：C3．若y ＝mx α＋(2n －4)是幂函数，则m ＋n ＝________． 答案：34．若幂函数f (x )＝x α的图象经过点(3，9)，那么函数f (x )的单调增区间是________． 答案：[0，＋∞)幂函数的概念[学生用书P58](1)下列函数为幂函数的序号是________． ①y ＝－x 2；②y ＝2x ； ③y ＝x π；④y ＝(x －1)3； ⑤y ＝1x 2；⑥y ＝x 2＋1x.(2)若幂函数f (x )的图象经过点(2，22)，则f (9)＝________．【解析】 (1)①y ＝－x 2的系数是－1而不是1，故不是幂函数；②y ＝2x 是指数函数；④y ＝(x －1)3的底数是x －1而不是x ，故不是幂函数；⑥y ＝x 2＋1x 是两个幂函数和的形式，也不是幂函数．很明显③⑤是幂函数．(2)设f (x )＝x α，则2α＝22，所以α＝32，所以f (x )＝x 32.所以f (9)＝932＝33＝27.【答案】 (1)③⑤ (2)27幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．1.已知函数f (x )＝(m 2＋2m －2)·xm 2－m －1是幂函数，则m ＝( )A ．1B ．－3C ．1或－3D ．1或3解析：选C.由题意知，若f (x )为幂函数， 则m 2＋2m －2＝1.即m 2＋2m －3＝0，解得m ＝1或m ＝－3.幂函数的图象[学生用书P59]已知幂函数y ＝x m －2(m ∈N )的图象与x ，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，求m的值，并画出它的图象．【解】 因为图象与x ，y 轴都无交点， 所以m －2≤0，即m ≤2. 又m ∈N ，所以m ＝0，1，2.因为幂函数图象关于y 轴对称，所以m ＝0，或m ＝2. 当m ＝0时，函数为y ＝x －2，图象如图1； 当m ＝2时，函数为y ＝x 0＝1(x ≠0)，图象如图2.(1)幂函数y ＝x α的图象恒过定点(1，1)，且不过第四象限．(2)解决幂函数图象问题，需把握两个原则：①幂指数α的正负决定函数图象在第一象限的升降；②依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，在第一象限内，直线x ＝1的右侧，图象由上到下，相应的指数由大变小．2.已知当n 取±2，±12四个值时，幂函数y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示，则相应的曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为________．解析：抓住幂函数图象的特征，在第一象限内当0＜α＜1时，图象平缓上升；当α＞1时，图象陡峭上升；当α＜0时，图象下降，且在(1，＋∞)上，指数大的图象在上方．由题图，知C 1的指数n ＞1，C 2的指数0＜n ＜1，即C 1的指数n 取2，C 2的指数n 取12.再取x ＝2，由2－12＞2－2知C 3的指数n 取－12，C 4的指数n 取－2.答案：2，12，－12，－2幂值的大小比较问题[学生用书P59]比较下列各组数的大小： (1)1.332，1.432，(－2)13；(2)1.712，0.712，0.72.【解】 (1)考察幂函数y ＝x 32，因为32>0，所以y ＝x 32在区间[0，＋∞)上是单调增函数，由于0<1.3<1.4，所以0<1.332<1.432， 又因为(－2)13<0，所以1.432>1.332>(－2)13.(2)考察幂函数y ＝x 12.因为12>0，所以y ＝x 12在区间[0，＋∞)上是单调增函数．由于0.7<1.7，所以0.712<1.712，再考察指数函数y ＝0.7x ，因为0<0.7<1，所以y ＝0.7x 是R 上的单调减函数．由于0<12<2，所以0.712>0.72，综上1.712>0.712>0.72.当两个值的底数是同一个正数时，用指数函数模型比较两个值的大小；当两个值的指数是同一个实数时，用幂函数模型比较两个值的大小，特别地，当底数是负数时，先利用幂函数的性质，将底数是负数的幂化为底数是正数的幂，再利用指数函数模型或幂函数模型比较两个值的大小．3.比较下列各组数的大小：(1)2.112，2.212，0.213；(2)3.535，0.535，0.545.解：(1)考察幂函数y ＝x 12，因为12>0，所以y ＝x 12在区间[0，＋∞)上是单调增函数，由于1<2.1<2.2，所以1<2.112<2.212，又因为0.213<1，所以2.212>2.112>0.213.(2)考察幂函数y ＝x 35.因为35>0，所以y ＝x 35在区间[0，＋∞)上是单调增函数，由于0.5<3.5，所以0.535<3.535，再考察指数函数y ＝0.5x ，因为0<0.5<1，所以y ＝0.5x 是R 上的单调减函数，由于0<35<45，所以0.535>0.545，综上3.535>0.535>0.545.1．指数函数与幂函数的区别 函数名称 解析式 解析式特征指数函数 y ＝a x (a ＞0， 且a ≠1) 底数是常数，自变量在指数位置上 幂函数y ＝x α(α∈R )指数是常数，自变量在底数位置上2.幂函数的性质归纳(1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)． (2)α＞0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α＞1时，幂函数的图象下凸； 当0＜α＜1时，幂函数的图象上凸．(3)α＜0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x 从右趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为________．[解析] 当α＝1，3时，函数y ＝x α的定义域为R ，且为奇函数，当α＝－1时，y ＝1x 的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }．当α＝12时，y ＝x 12＝x 的定义域是{x |x ≥0}． [答案] 1，3(1)y ＝x－1易忽视定义域的限制，其定义域应为{x |x ≠0}．(2)在幂函数的有关问题中，要理解幂函数的概念，掌握好五种幂函数的图象和性质，当α为正奇数时幂函数f (x )＝x α的定义域为R 且为奇函数，解决此类问题，要特别注意α的取值范围．1．下列所给出的函数中，是幂函数的是( ) A ．y ＝－x 3 B ．y ＝x －3 C ．y ＝2x 3 D ．y ＝x 3－1答案：B2．下列函数中值域为(－∞，＋∞)的函数是( )A ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xB ．y ＝x 2C ．y ＝1x 2D ．y ＝x 3答案：D 3．函数y ＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是________．解析：因为函数y ＝x －3＝1x 3在(－∞，0)上单调递减，所以当x ＝－2时，y min ＝(－2)－3＝1（－2）3＝－18. 答案：－184．当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第________象限．解析：因为y ＝x－1图象在第一、三象限，y ＝x 与y ＝x 3图象都经过第一、三象限，y ＝x 12图象仅经过第一象限，故α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，图象不可能经过第二、四象限． 答案：二、四[学生用书P116(单独成册)])[A 基础达标]1．在下列函数中，定义域和值域不同的是( ) A ．y ＝x 13B ．y ＝x 12C ．y ＝x 53D ．y ＝x 23解析：选D.A 、C 的定义域和值域都是R ；B 的定义域和值域都是[0，＋∞)；D 的定义域是R ，值域是[0，＋∞)．故选D.2．已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，则k ＋α＝( ) A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选A.因为幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，所以k ＝1，f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12α＝2，即α＝－12，所以k ＋α＝12.3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －1 C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13解析：选A.所给选项都是幂函数，其中y ＝x－2和y ＝x 2是偶函数，y ＝x－1和y ＝x 13不是偶函数，故排除选项B 、D ，又y ＝x 2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y ＝x －2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故选A.4．已知m ＝(a 2＋3)－1(a ≠0)，n ＝3－1，则( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．m 与n 的大小不确定解析：选B.设f (x )＝x －1，已知a ≠0， 则a 2＋3>3>0，f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 则f (a 2＋3)<f (3)， 即(a 2＋3)－1<3－1， 故m <n .5．函数y ＝x |x |的图象大致是( )解析：选A.由题可得，y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≥0，－x 2， x <0，从而可知A 为正确选项，另外，易知函数y ＝x |x |为奇函数．6.如图，曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x m 和y ＝x n 在第一象限内的图象，则m ，n 与0的大小关系是________．解析：由图象可知，两函数在第一象限内递减， 故m ＜0，n ＜0. 取x ＝2，则有2m ＞2n ， 故n ＜m ＜0. 答案：n ＜m ＜07．当x ∈(1，＋∞)时，幂函数y ＝x α的图象在直线y ＝x 的下方，则α的取值范围是________．解析：幂函数y ＝x 12，y ＝x －1，y ＝x 0在区间(1，＋∞)上时图象在直线y ＝x 的下方，一般地，当α<0，α＝0，0<α<1时f (x )＝x α在(1，＋∞)上的图象都在直线y ＝x 下方，故α的取值范围是(－∞，1)．答案：(－∞，1)8．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________． 解析：因为0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α， 所以y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数，故α<0. 答案：α＜0 9．已知函数f (x )＝x －m ＋3(m ∈N *)是偶函数，且f (3)<f (5)，求m 的值，并确定f (x )的函数解析式．解：由f (3)<f (5)，得3－m ＋3<5－m ＋3，所以⎝⎛⎭⎫35－m ＋3<1＝⎝⎛⎭⎫350.因为y ＝⎝⎛⎭⎫35x是减函数， 所以－m ＋3>0. 解得m <3. 又因为m ∈N *， 所以m ＝1或2； 当m ＝2时，f (x )＝x －m ＋3＝x 为奇函数，所以m ＝2舍去． 当m ＝1时，f (x )＝x －m ＋3＝x 2为偶函数，所以m ＝1， 此时f (x )＝x 2.10．已知f (x )＝x ，g (x )＝x 13，设F (x )＝f (x )＋g (x )，试判断F (x )的奇偶性与单调性． 解：因为f (x )，g (x )的定义域均为R ， 所以F (x )＝f (x )＋g (x )＝x ＋x 13的定义域为R .又F (－x )＝－x ＋(－x )13＝－(x ＋x 13)＝－F (x )， 所以F (x )是奇函数．因为f (x )与g (x )在R 上均为增函数， 所以F (x )在R 上也为增函数．[B 能力提升]1．如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．－1＜n ＜0＜m ＜1B ．n ＜－1，0＜m ＜1C ．－1＜n ＜0，m ＞1D ．n ＜－1，m ＞1解析：选B.在(0，1)内取x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0＜m ＜1，n ＜－1.2.给出下列四个函数：①y ＝x 13；②y ＝x －13；③y ＝x －1；④y ＝x 23，其中定义域和值域相同的是________．(写出所有满足条件的函数的序号) 解析：函数y ＝x 13的定义域和值域都为R ；函数y ＝x －13与y ＝x－1的定义域和值域都为(－∞，0)∪(0，＋∞)；函数y ＝x 23的定义域为R ，值域为[0，＋∞)．答案：①②③ 3.已知幂函数y ＝x m2＋2m －3(m ∈Z )在(0，＋∞)上是减函数，求幂函数的解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性．解：由幂函数的性质可知m 2＋2m －3＜0⇒(m －1)(m ＋3)＜0⇒－3＜m ＜1， 又因为m ∈Z ， 所以m ＝－2，－1，0.当m ＝0或m ＝－2时，y ＝x －3， 定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． 因为－3＜0， 所以y ＝x－3在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，又因为f (－x )＝(－x )－3＝－x －3＝－f (x )， 所以y ＝x－3是奇函数．当m ＝－1时，y ＝x －4，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． 因为f (－x )＝(－x )－4＝1（－x ）4＝1x 4＝x －4＝f (x )， 所以函数y ＝x－4是偶函数．因为－4＜0， 所以y ＝x－4在(0，＋∞)上是减函数．又因为y ＝x －4是偶函数，所以y ＝x－4在(－∞，0)上是增函数．4．(选做题)已知函数f (x )＝2x －x m ，且f (4)＝－72.(1)求m 的值；(2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明； (3)试在(－∞，0)上解不等式f (x )<f (2x ＋1)． 解：(1)因为f (4)＝－72，所以24－4m ＝－72，m ＝1.(2)f (x )＝2x －x 在(0，＋∞)上是减函数．证明如下：任取x 1、x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，则x 1－x 2<0， 所以f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫2x 2－x 2－⎝⎛⎭⎫2x 1－x 1 ＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫2x 2－2x 1＝(x 1－x 2)＋2x 1x 2(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2x 1x 2＋1. 因为x 1－x 2<0，x 1x 2>0，所以f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)． 所以f (x )＝2x －x 在(0，＋∞)上是减函数．(3)因为f (x )的定义域关于原点对称，f (－x )＝2－x＋x ＝－⎝⎛⎭⎫2x －x ＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数．所以f (x )在(－∞，0)上是减函数．所以f (x )<f (2x ＋1)的解满足⎩⎪⎨⎪⎧x <0，2x ＋1<0，x >2x ＋1.解得x <－1.所以f (x )<f (2x ＋1)的解集为{x |x <－1}．。

《幂函数》教学设计一、设计构思1、设计理念注重发展学生的创新意识。

学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，倡导学生积极主动探索、动手实践与相互合作交流的数学学习方式。

这种方式有助于发挥学生学习主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。

我们应积极创设条件，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。

注重提升学生数学思维水平。

课堂教学是促动学生数学思维水平发展的主阵地。

问题解决是培养学生思维水平的主要途径。

所设计的问题应有利于学生主动地实行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等教学活动。

内容的表现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。

伴随新的问题发现和问题解决后成功感的满足，由此刺激学生非认知深层系统的良性运行，使其产生“乐学”的余味，学生学习的积极性与主动性在教学中便自发生成。

本节主要安排应用类比法实行探讨，加深学生对类比法的体会与应用。

注重学生多层次的发展。

在问题解决的探究过程中应表达“以人为本”，充分表达“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学”，“不同的人在数学上得到不同的发展”的教学理念。

有意义的数学学习必须建立在学生的主观愿望和知识经验基础之上，而学生的基础知识和学习水平是多层次的，所以设计的问题也应有层次性，使各层次学生都得到发展。

注重信息技术与数学课程的整合。

高中数学课程应尽量使用科学型计算器，各种数学教育技术平台，增强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生使用计算机、计算器等实行探索和发现。

另外，在数学教学中，强调数学本质的同时，也让学生通过适度的形式化，较好的理解和使用数学概念、性质。

2、教材分析幂函数是江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学（必修1）第二章第四节的内容。

该教学内容在人教版试验修订本（必修）中已被删去。

标准将该内容重新提出，正是考虑到幂函数在实际生活的应用。

故在教学过程及后继学习过程中，应能够让学生体会其实际应用。

《标准》将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来理解幂函数的性质。

幂函数一．三维目标： 1．知识技能（1）理解幂函数的概念；（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用. 2．过程与方法类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质.3．情感、态度、价值观（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法； （2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性. 二．重点、难点重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质 难点：从幂函数的图象中概括其性质 5．学法与教具（1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质 ; （2）教学用具：多媒体 三．教学过程： 引入新知阅读教材P 90的具体实例（1）~（5），思考下列问题. （1）它们的对应法则分别是什么？（2）以上问题中的函数有什么共同特征？让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论 答：1、（1）乘以1 （2）求平方 （3）求立方（4）求算术平方根 （5）求－1次方2、上述的问题涉及到的函数，都是形如：y x α=，其中x 是自变量，α是常数.探究新知1．幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数. 如11234,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.2．研究函数的图像（1）y x = （2）12y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x =一．提问：如何画出以上五个函数图像引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.3．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x=）； （2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.特别地，当x ＞1，x ＞1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）当∠α＜1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.在第一家限内，当x 向原点靠近时，图象在y 轴的右方无限逼近y 轴正半轴，当x 慢慢地变大时，图象在x 轴上方并无限逼近x 轴的正半轴. 例题：1．证明幂函数()[0,]f x =+∞上是增函数证：任取121,[0,),x x x ∈+∞且＜2x 则12()()f x f x -=因12x x -＜0所以12()()f x f x <，即()[0,]f x =+∞上是增函数.思考：我们知道，若12()()0,1()f x y f x f x =><若得12()()f x f x <，你能否用这种作比的方法来证明()[0,]f x =+∞上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？2．利用函数的性质 ，判断下列两个值的大小 （1）11662,3 （2）3322(1),(0)x xx +> （3）22244(4),4a --+分析：利用幂函数的单调性来比较大小.5．课堂练习画出23y x =的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单调性. 6．归纳小结：提问方式（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？ （2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？。

3.3 幂函数一、学习目标1、通过对幂函数的研究，理解、掌握幂函数的图象与性质，并掌握研究幂函数的一般方法；2、渗透分类讨论、数形结合的数学思想及类比、联想的学习方法，提高归纳与概括的能力；3、培养积极思考，通过自主探索获取新知的学习习惯和科学严谨的学习态度，体会从特殊到一般的思维过程.二、学习重、难点相对于指数函数与对数函数来说，幂函数的情况比较复杂，因此对幂函数图象共性的归纳是本节课的难点.三、学习过程（1）创设情境，建构概念1.定义的给出本节课教学任务较重，难度较大，但是所授班级为理科实验班，学生的数学素养较好，因此采取了由指数函数直接引入幂函数定义的方法.指出对于关系式：a b=N,当底数a为常数，b作为自变量，N为b的函数时，就构成了指数函数；当指数b为常数，底数a为自变量，N为a的函数时，构成的函数就称为幂函数.由此得到幂函数的定义：形如的函数称为幂函数.（目前我们只研究指数为有理数的情况）2.概念的辨析在给出了幂函数的定义后，请学生举出已学过的幂函数的例子，目的在于对幂函数进行辨析，通过这个环节使学生感知到幂函数并不是完全陌生的，学习幂函数是为了对幂函数进行更一般的研究.同时针对学生的例子中出现的指数为无理数的情况，指出现阶段只研究指数为有理数的情况. （二）联想类比，自主探究1 自主探究在这个环节中引导学生自由选择不同的幂函数，利用图形计算器画图，探究它们的图象与性质.并将自己的探究结果记录在表格中，在研究过程中，学生会选择幂指数不同的多个幂函数进行研究，分别记录它们的图象与性质，并在探究过程中对幂指数的作用进行了初步的探索.解析式补充写出根式形式图象（草图）定义域值域单调性奇偶性渐近线2 图象展示在这一环节中教师请学生将他们研究的不同幂函数的图象分别画到黑板上，在学生的相互补充、教师的及时纠错和引导下，最终得到了十种不同形态的图象.由教师补充了学生遗漏的y=x的图象，最后黑板上一共展示了十一种不同形态的幂函数的图象.（三）深入探究，归纳性质1.对图象的进一步探究在得到了十一种不同形态的图象后，教师指出，幂函数的情况比指数函数和对数函数的情况复杂得多，继而提出问题：我们该如何去把握幂函数的图象呢？学生提出根据幂指数的不同范围分α>1，0<α<1，-1<α<0，α<-1四类进行讨论.在这个环节中针对学生出现的几个问题，教师进行适当引导，并且在这个过程中有效地突破了本节课的教学难点：（1）学生回答当α>1时，幂函数的图象具有相同的共性.此时教师引导学生观察图象，说明α>1时的几个幂函数的图象形态并不相同.进一步引导学生发现实际上它们在第一象限图象的形态是一样的.从而提出实际上由于函数的奇偶性，我们只需考虑幂函数在第一象限内的图象规律即可，这样就大大简化了讨论的过程，这也是本节课的教学难点.（2）在共同讨论-1<α<0和α<-1幂函数的图象时，发现它们在第一象限图象从形态上来看没有差异，指出对幂函数图象的讨论只需分α>1，0<α<1，α<0，α=1，α=0这几种情况即可.2.对幂函数在第一象限图象的归纳（1）图象必过(1,1)点.（2）α>1时，过(0,0)点，且y随x的增大，函数图象向y轴方向延伸，图象是下凸的.在第一象限是增函数.（3）0<α<1时，随x的增大，函数图象向x轴方向延伸，函数图象是上凸的.在第一象限是增函数.（4）α<0时，随x的增大，函数图象与x轴、y轴无限接近，但永不相交.在第一象限是减函数.（5）α=1和α=0的情况.（略）（四）练习与巩固例1.画出的草图.例2.寻找一个幂函数使其图象类似于y=x2的图象.四、课堂小结今天这节课我们研究了幂函数的性质，同学们通过对一些特殊的幂函数的研究，又一次体验了研究一类函数的一般方法.掌握了幂函数在第一象限图象的特征，在研究过程中我们应当认识到，重要的不是去记忆某个具体幂函数的图象与性质，而应当注意掌握研究幂函数的一般方法和过程.六、布置作业巩固幂函数的相关知识点，做课后练习题。