电势梯度

Ui ( p)
p
ri
q3
r3 qi
注意：（1）电势是标量，迭加的结果是求代数和； （2）要求各个点电荷的零电势点必须相同；
§4、电势及其梯度
第一章 静电场 恒定电流场
4、电势的计算 两种方法：
1）由电势的定义出发，用场强的线积分求电势，即由
电势定义式 Up
零点Edl计算P点电势。
p
2）根据点电荷的电势公式和电势迭加原理求电势分布。
A ab q0
b Edl
a
意义：把单位正电荷从a点沿任意路径移到b点时电
场力所作的功。
§4、电势及其梯度
第一章 静电场 恒定电流场
注意几点：
1)电势是标量，只有正负之分。
2)电势和电势能一样都是相对的量，为了让它有确 定的值，必须选择一个零点作为参考点。但电势差 的值具有绝对的意义，与零点的选择无关。
dn
算符 gradxiyjzk
§4、电势及其梯度
第一章 静电场 恒定电流场
电势梯度U 是一个矢量，
它的方向是沿电场线的切向 并指向电势升高的方向。
UdU
P2
nˆ
U
dn
P3
P1 dl
2
E1
如果过P1沿 dl方向的电势增加率为
为。
dU dl
，dl与nˆ 的夹角
有： dUdUcos
dl dn
(dn dcl o)s
点电荷q0所受电场力为： Fq0E
点从电r 荷到的rv场d中lv,移电动场点做电的荷功q
0
：
dA Fdlq0Edl
q0Edclos q
drdcl o,sE
q
q
4 0r 2

p
v r
q
p v E
q 4πε 0 r
2
dr =
4πε 0 rp
Up =
q 4πε 0 rp
正点电荷周围的场电势为正 离电荷越远，电势越低。 离电荷越远，电势越低。 负点电荷周围的场电势为负 离电荷越远，电势越高。 离电荷越远，电势越高。
例二、求均匀带电球面的电场中的电势分布。 例二、求均匀带电球面的电场中的电势分布。 设球面半径为R，总带电量为Q 设球面半径为 ，总带电量为
V
V + ∆V
v dV v E=− en dl n
v dV 大小 E = dln
v dl
低
v en v dln
v E
电 势
高 电 势
方向 由高电势处指向低电势处
− 2. U 沿 l 方向的微商等于 En cosθ ∂U Q El = − = − E n cos θ ∂l ∂U ∂U ∂U ∴ Ez = − ; ∴ Ex = − ; ∴ Ey = − ∂z ∂y ∂x v ˆ ˆ ˆ + E y ˆ + E z k = −{∂U i + ∂U ˆ + ∂U k ) = −∇U ˆ ∴ E = E xi j j ∂x ∂y ∂z
Q dA MN
v v = E ⋅ d l = Edl cos θ = 0
∴θ = π / 2
M
（2）电场线的方向指向电势降落的方向。 ）电场线的方向指向电势降落的方向。
因沿电场线方向移动正电荷场力做正功，电势能减少。 因沿电场线方向移动正电荷场力做正功，
两个相邻等势面的电势差相等， （3）规定两个相邻等势面的电势差相等，所以等势面 ）规定两个相邻等势面的电势差相等
在实际问题中， 在实际问题中，也常常 选地球的电势为零电势。 选地球的电势为零电势。 电势差与电势的零点选 取无关。 取无关。

E
ds
等势面——规定、性质、梯度
gradU

U n
n
三、 q、E、U 三者关系网
1、 q E
E

1
4 0

dq r3
r

sE
ds
1
0
vdv
2、 q U
U

1
4 0

dq r

U LE dl
3 E U

U LE dl
势面2，电场力做功
dA qE dl
qEdl cos
en
1
2
P1
en P2
P3
qEdn
V V+dV
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电场力做功等于电势能的减少量 dA q dU
E dU dn
场强也与等势面垂直，但指向电势降低的方向。
E Een 写成矢量形式
E
第一章 真空中静电场小结
一、理论体系：
出发点
：叠 库加 仑原 定理 律

高斯定理 环路定理
电场为有源场 电场是有势场
二、内容：
1、一个定律 ： 2、两个定理 ：
F
q1q2
4 0
r r3

E
ds

1
dv
s
0 v

l E dl 0
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则 dn dl cos
dU dU cos
dl dn
2
P1
en P2
P3
U U+dU
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定义电势梯度

求场强的第3种方法： 求场强的第 种方法：利用场强与电势梯度的关系 种方法
书上例3.6） 带电q、 例3. （书上例 ）求均匀带电细圆环 ( 带电 、 半径R)轴线上任一点的场强 轴线上任一点的场强。 半径 轴线上任一点的场强。 由电势叠加原理容易求出 解： 由电势叠加原理容易求出 轴线上的电势分布为： 轴线上的电势分布为： 1 q ϕ= 4πε 0 ( R 2 + x 2 ) 1 2 qx ∂ϕ 由 E = −∇ ϕ 知 E x = − = ∂x 4πε 0 ( R 2 + x 2 )3 / 2 ∂ϕ ∂ϕ E =− =0
电势梯度(electric potential gradient) §3-4 电势梯度 E El θ × × ϕ dl ϕ+dϕ l
由 ϕ a − ϕ b = ∫ E ⋅ dl
⇒ ϕ − ( ϕ + dϕ ) = − dϕ = E ⋅ d l
⇒ Edl cos θ = E l ⋅ d l = − d ϕ
∴ϕ O = ∫
Q
则其在O处的电势 解：任取电荷元dq,则其在 处的电势 任取电荷元 则其在 为 dq
dϕ = 4 πε 0 R
dq 4πε 0 R
=
1
4πε 0 R Q
∫ dq =
Q 4 πε 0 R qQ 4 πε 0 R
电场力的功为
A = qϕ ∞O = q( ϕ ∞ − ϕ O ) = −
习题集p120.6)一“无限大”带负电荷的平面， 例7. (习题集 习题集 一 无限大”带负电荷的平面， 若设平面所在处为电势零点，取X轴⊥带电平面， 若设平面所在处为电势零点， 轴 带电平面， 原点在带电平面处，则其周围空间各点电势U 随 原点在带电平面处，则其周围空间各点电势 距离平面的位置坐标x 变化的关系曲线为( 距离平面的位置坐标 变化的关系曲线为 ) U U (A) X

V E n
V E en n
V
V+dV
E与 V 的关系
V E 大小: n 方向：沿V 减小方向
V 大小:
V n
dln
e n
Q
q
dl
P
方向：沿V增大方向
E
V E e n gradV V n
E V
V V lim n n 0 n
U E
两方向微商的关系：
V V cos l n
P n l
Q R
U U
V V V V V lim lim lim cos cos l l 0 l n0 n / cos n0 n n
V Q 4 0 R 2 x 2
小
计算电势的方法
1、点电荷场的电势及叠加原理
结
计算场强的方法
1、点电荷场的场强及叠加原理
V
i
4 0 ri （分立）
qi
E
i
V
dq 4 0 r
Q
（连续）
E
2、可有
r dq （连续） Q 4 r 3 0
qi r 4 0 ri3 （分立）
§1.6 电场强度和电势梯度的关系 1.6.1 等势面
空间电势相等的点连接起来所形成的面称为等势面. 为了 描述空间电势的分布，规定任意两相邻等势面间的电势差相等. (等势面的疏密反映了场的强弱)
点 电 荷 的 等 势 面
V12 V23
V El
dl2 dl1
E2 E1
两平行带电平板的电场线和等势面
三.同一问题中能否选取不同的电势零点 例：均匀外电场 E0 中置入一点电荷 q 求空间任意一点的电势 .p 解：把坐标原点选取在点电荷所

q E= 2 4πε 0 r
1
cosθ dl = dr
q o
r
c
θ
r E
a b rb 1 qq qq0 1 1 0 − ∴W = ∫ dW = ∫ 2 dr = a ra 4πε 4πε 0 ra rb 0 r
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电势和电势差
结论：在点电荷的电场中， 结论：在点电荷的电场中，电场力对试验电荷所 做的功， 做的功 ， 只与试验电荷所带电量以及起点和终点 位置有关，而与所经历的路径无关． 位置有关，而与所经历的路径无关． 问题：任何带电体系产生的电场的结果如何？ 问题：任何带电体系产生的电场的结果如何？ r r r Q E = E1 + E 2 + L r r r r r r r ∴W = ∫ F ⋅ dl = q0 ∫ E ⋅ dl = q0 ∫ ( E1 + E2 + L) ⋅ dl r r r r = q0 ∫ E1 ⋅ dl + q0 ∫ E2 ⋅ dl + L
ρR 2 r Up = − ln < 0 2εo R
P r o o
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定义法求电势
R
r ρ r r r < R E= 2ε o
r≥R
r
.
p
ρR 2 r Up = − ln 2εo R < 0
R
r ρR 2 ˆ = λ r E= r ˆ 2πεor 2εor
r<R
r= 0处， U= Umax= ρ R 2 处 2εo ε
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电势梯度概念 等势面 定义:电势相等的曲面 定义:
U1
+q

R) R)
4 0 R

球壳外电势分布与点电荷时相同； 球壳内电势分布为常量，与壳面等势。
第一章 静电场 恒定电流场
4.3电势叠加原理
点电荷组有
U P

E
dl

P
P E1 dl
P E2

dl



P Ek dl
r R：U

E

dl
p
rp
Edr

Q
4 0rp
r R：U

Edr
rp
R

rp E内dr R E外dr
Q
4 0R
第一章 静电场 恒定电流场
均匀带电球壳产生的电场中电势的分布
U

1

4
0

1
Q r
Q
, (r , (r
r
x


X
du dq
4 0r

edl
P
4 0 r
Z
uP
du
edl 2Re 40r 40r

4 0
q R2 x 2
第一章 静电场 恒定电流场
求电势
用电势定义求
U P
p0
E

dl
P
用电势叠加原理求 U P dU
4 0 r rp 2 4 0 rp
点电荷q产生的电场
中电势的分布公式：
U 1 q
4 0 r
第一章 静电场 恒定电流场
例12 求均匀带电球壳产生的电场中电势的分布,

（下一页）
5. 基本的电势分布 (1) 点电荷的电势
q Vp 4 0 r
(2) 均匀带电球面的电势
Vin
u (r )
Q 4 0 R
Q Vout(r) 4 0r
0
R
r
（下一页）
§8 - 8 等势面 和电势梯度
一、 等势面 (1)等势面定义 ：由电场中电势相等的点组成的曲面

c
即:等势面与电力线处处正交.
d
E
②电力线指向电势降低的方向; ★沿电力线移动 q d V W W q ( V V ) A E d l 0 ; c c d c d cd
c
V d
（下一页）
③等势面较密集的地方场强大，较稀疏的地方 场强小（证明待后）。
●
F
q
如果电偶极子放在非均匀电场中，所受合力不为零。则电 偶极子不仅要转动，而且还会作平动。 （下一页）
二、电偶极子在电场中的电势能和平衡位置

q ●
r0
●
F

电势分别为V 和V- 。 + E
Wp = qV+－qV-
r 如图 电偶极子 0 pq 在匀强电场 E 中。 设 q 和 q 所在处的
等势面类比于地形图中的等高线.
(2)等势面的获得:
①利用电势的解析表达式:
V ( x , y , z ) V , i 1 , 2 , 3 ... i
②利用实际测量的方法.
规定:场中任意两相邻等势面间的电势差相等
+
(3)等势面的例子
正点电荷电场 中的等势面 （下一页）
电偶极子的等势面
+
（下一页）

2 2
2
2
P 2 2 4 x y 4 0 ( x 2 y 2 ) 2
P(0,y) y E -q
-L/2
讨论：
1. 在X轴上，y=0，则
Ex P 20 x 3 P 40 y
Ey 0
3
2. 在Y轴上，x=0，则
Ex
+q
O
L/2
P(x,0)
Ey 0
E
x
与用叠加原理得到的结果一致。
1 1
E
en

P2
P1
P3
V
V+dV
例1 试由电偶极子的电势分布求其的电场强度。 解： 在直角坐标系中先写出电势的表达式，
1 q 1 q q r r V 40 r 40 r 40 r r
L cos P cos 2 2 40 r 4 0 r Px 40 ( x 2 y 2 ) 3 / 2 q
P3
V
则 dn dl cos
V+dV
定义电势梯度
dV grad V en dn
单位:V/m
其量值为该点电势增加率的最大值。 方向与等势面垂直，并指向电势升高的方向。 电势梯度与电场强度的关系 2
en
电荷q从等势面1移动到等 势面2，电场力做功
1
en P1

dA qE dl qE dl cos qE den
例2 将半径为R2 的圆盘在盘心处挖去半径为R1的小孔,并 使盘均匀带电.试通过用电势梯度求电场强度的方法,计算这 个中空带电圆盘轴线上任一点P处的电场强度.
解：设圆盘上的电荷 面密度为 轴线上任一点p 到中空圆盘的 距离为x，在圆 盘上取半径为r 宽为dr的圆环 ，环上所带电 z 荷为

dn P2
P3
e ˆr
P1
d
E dl Edlcos ( d ) d E cos E l l E x ， E y ， Ez y x z
E En n l max E e ˆn grad n
c
a A
C
0
等势面的疏密反映了场的强弱
设电场中任意两个相邻等势面之 间的电势差为一定的值
Δ
E P n Q
Δ Δ E Δn 或 E Δn
Δn 0
Δ E lim Δn 0 Δn
等势面密的地方场强大
1. 2. 两个基本定理
真空中静电场小结 两个物理量 E
[例] 求均匀带电圆盘 (R， ) 轴线上的场强。
2 0

R x x
2
2

O x P
x ˆ d ˆ i i 1 E 2 2 2 0 dx R x
Some hammerhead sharks can detect electric fields as weak as 50 picovolts per meter!

M p E
讨论： 当 p // E 时， W Wmin pE，M 0；稳定平衡态 当 p // E 时，W Wmax pE， M 0；非稳定平衡态
使电偶极子转向电场强度的方向。 (2) 非匀强电场
电偶极子不会平动 正、负电荷所受的对偶极子中心的力矩之和：
F F F qE qE 0
电偶极子会平动
M p E
一般而言，同时又会有转动，由于 l 很小，在计算力矩 时，可近似认为正、负电荷所在处的电场相同。 故电偶极子在非匀强电场中既有平动又有转动。