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运用公式法(1)

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湘教版7年级数学下册(课件) 3.3 公式法(1)

湘教版7年级数学下册(课件) 3.3 公式法(1)

1.选择题：
1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A. 4X²+y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X²-y³ D. - X²+ y²
2) -4a²+1分解因式的结果应是 （ D ）
A. -(4a+1)(4a-1)
B. -( 2a –1)(2a –1)
C. -(2a +1)(2a+1)
把 x y2 x y2 因式分解．
解 x y2 x y2 x y x y x y x y
=2x·2y =4xy
例3 把 x4 y4 因式分解．
分析： 可以用平方差公式进行因式分解吗？
D. -(2a+1) (2a-1)
2. 把下列各式分解因式：
1）18-2b² 2) x4 –1
2.把下列多项式因式分解：
1 9y2 4x2
3y 2x3y 2x
2 1 25x2
1 5x15x
3 9 x2 16 y2
25


3 5
x

4
y

可以！因为
x4 y4
x2
2

y2
2
解
x4 y4
x2
2

y2
2
x2 y2 x2 y2
x2 y2 x yx y
注意：在例3中，在第一次用平方差公式因式分解后， 得到的一个因式 还可以再用平方差公式因式分解，在 因式分解中，必须进行到每一个因式都不能再分解为 止．

3 5
x

4
y

3.运用公式法(一)教学设计

3.运用公式法(一)教学设计

第二章分解因式3．运用公式法（一）学生知识状况分析学生的技能基础：学生在上几节课的基础上，已经基本了解整式乘法运算与因式分解之间的互逆关系，在七年级的整式的乘法运算的学习过程中，学生已经学习了平方差公式，这为今天的深入学习提供了必要的基础。

学生活动经验基础：通过前几节课的活动和探索，学生对类比思想、数学对象之间的对比、观察等活动形式有了一定的认识与基础，本节课采用的活动方法是学生较为熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验。

教学任务分析学生在学习了用提取公因式法进行因式分解的基础上，本节课又安排了用公式法进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。

教学目标：知识与技能：（1）使学生了解运用公式法分解因式的意义；（2）会用平方差公式进行因式分解；（3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式。

过程与方法：（1）发展学生的观察能力和逆向思维能力；（2）培养学生对平方差公式的运用能力。

情感与态度：在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法。

教学过程分析第一环节练一练活动内容：填空：（1）（x+3）（x–3） = ；（2）（4x+y）（4x–y）= ；（3）（1+2x）（1–2x）= ；（4）（3m+2n）（3m–2n）= 。

根据上面式子填空：（1）9m2–4n2= ；（2）16x2–y2= ；（3）x2–9= ；（4）1–4x2= 。

活动目的：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力。

注意事项：由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得出第一组式子与第二组式子之间的对应关系。

第二环节 想一想活动内容：观察上述第二组式子的左边有什么共同特征？把它们写成乘积形式以后又有什么共同特征？结论：a 2–b 2=（a+b ）（a –b ）活动目的：引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，通过自己的归纳能找到因式分解中平方差公式的特征。

八下 2.3.1运用公式法 教学设计(于海峰)

八下 2.3.1运用公式法 教学设计(于海峰)

第二章 分解因式2.3.1运用公式法（1）本节知识点：1. 会用平方差公式将多项式分解因式2.. 会用完全平方公式将多项式分解因式知识点1用平方差公式分解因式形如22b a -的多项式分解因式的方法，即))((22b a b a b a -+=-，我们把它叫做分解因式的平方差公式，可以叙述为：两个数的平方差，等于这两个数的和乘以这两个数的差。

笔记：（1）公式中的和既可以是单项式，也可以是多项式。

（2）常见的公式变式有：○1位置变化：))((22y x y x y x -+=-；○2符号变化：))((22y x y x y x ----=-○3系数变化：○4指数变化：○5增项变化： [例题1] 把下列各式分解因式（1）21625x - （2）22419b a -[针对性训练1] 把下列各式分解因式（1）222m b a - （2）448116y x +-[例题2] 把下列各式分解因式（1）22)()(9n m n m --+ （2）x x 823-[针对性训练2] 把下列各式分解因式（1）22)()(b n a m +-- （2）22)(c b a x ++-当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步分解因式。

知识点2 用完全平方公式分解因式乘法公式中形如222b ab a +±的多项式分解因式的方法，即222)(2b a b ab a +=+±，我们称它为分解因式的完全平方公式，即两数的平方和加上（或减去）它们积的2倍，等于这两个数和（或差）的平方。

[例题3] 将下列各式分解因式。

（1）49142++x x (2)9)(6)(2++-+n m n m[例题4] 将下列各式分解因式(1)22363ay axy ax ++(2)xy y x 4422+--[针对性训练3] 把下列各式分解因式（1）223612y xy x ++（2）422492416b b a a ++（3）229341n mn m ++（4）251036+-x x[针对性训练4]（1）222y x xy ---（2）2)(9)(124y x y x -+--。

《运用公式法》第一课时参考课件

《运用公式法》第一课时参考课件

(a+b)(a-b) 分解因式） a −b = _________ （分解因式）
2 2
平方差公式
（1）公式： a 公式： （2）语言： 语言：
2
− b = (a + b)(a − b)
2
两个数的平方差， 两个数的平方差，等于这两个数的和与这 两个数的差的积。这个公式就是平方差公式 两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。 说说平方差公式的特点 说说平方差公式的特点 平方差公式的
①左边 两个数的平方差；只有两项 两个数的平方差 只有两 平方差；
两数的和 ②右边 两数的和与差的积
)(□ □2－△2＝(□＋△)(□－△)
学以致用 例1、把下列各式分解因式： 把下列各式分解因式： （1） 25 － 16x2 ） 1 2－ b2 （2）9 a 4
2 先化为 2
□－△
原式= 解(1)原式 52－(4x)2 =(5+4x)(5-4x) 原式 =(5+4x)(52 1 b） （ （2）原式 = (3a) − 2 2
第二章 分解因式
应用公式法（ 2.3 应用公式法（一）
回顾思考
把下列各式分解因式： 把下列各式分解因式：
（1）3a3b2－12ab3 ）
关键确定公因式 关键确定公因式
（2） x(a + b) + y(a + b) ） （3）a ( m − 2) + b( 2 − m) ） （4）a(x － y)2 － b(y－ x)2 ） －
2
2
能否化为□－△
有公因式，哦 公因式，
解：原式＝2x(x2-4)
首先提取公因式 首先提取公因式 然后考虑用公式 然后考虑用公式 最终必是乘积式 最终必是乘积式

运用公式法——平方差公式(1)

运用公式法——平方差公式(1)
例把下列各式分解因式:
(1) 1-25b2; (2) x2y2-1/4 ; (3) 4/9m2-0.01n2.
讲解之前让学生思考,后教师再给出规范解题过程,其中把多项式写成两数平方差这一步骤予以重点阐述,使学生充分认识到经过简单的变形后,具备“平方差”形式的多项式可以运用平方差公式分解.
3.能力测试
(2)运用提公因式法分解因式的步骤是什么?
(3)你能将a2-b2分解因式吗?你是如何思考的?
2.合作探究
问题(1)平方差公式等式的左右两边在形式上有什么不同?从左到右的恒等变形叫什么?问题(ຫໍສະໝຸດ )这种因式分解是根据什么方法进行的?
问题(3)平方差公式的项、指数、符号有什么特点?
当学生思考并回答上述问题后,教师应适当指出:多项式的乘法公式的逆向(从右到左)的应用就是多项式因式分解公式,,如果被分解的多项式符合公式的条件,就可以直接写出因式分解的结果,这种分解因式的方法称为运用公式法.
运用公式法
教学内容
运用公式法
教学目标
1.理解平方差公式
2.会用平方差公式分解因式
3.培养学生逆向思维的意识.
教学重点
掌握公式的结构特征,将所给多项式进行因式分解.
教学难点
选择适当方法因式分解.
教学探究
平方差公式特点的辨析
教学方法
启发式
教学用具
小黑板
教学时数
一课时
教学过程
1.复习引入
(1)你能叙述多项式因式分解的定义吗?
(1)同类变式:
课本例3后练习第1、2、3题.
(2)思维迁移:
①两个连续奇数的平方差一定是( )
A . 16倍数; B . 8的倍数;
C . 12的倍数; D . 4的倍数.

2[1].3运用公式法(1)

2[1].3运用公式法(1)
计算：252－242＝？
你们能快速的给出答案吗？
温故知新
x 25 1） ( x 5)( x 5) _______
2
9x y 2） (3x y )(3x y ) ______
2
2
3）
2(m n) 12(m n) 1 _________ 4(m n) 1
1、整式乘法的平方差公式是什么？反过来叫 什么? 2、自学课本54页，完成完成目标1的1，2 两个小题
1、判断下列各式能否用平方差 公式分解因式： (1) x2+y2
(2)
2+y2 -x ( ( ) )
(3) -x2-y2 (4)
4+4y2 -x (
( )
Hale Waihona Puke )2、(口答)把下列各式分解因式：
2-4 (1)x
当堂检测
完成《能力培养》达标检测，1.2号同学全做， 3.4号同学做1，2，3题。5.6号同学做2.3题
1.具有两式（或）两数平方差形式的 多项式可运用平方差公式分解因式。 2.公式a²- b²= (a+b)(a-b)中的 a , b可以是数或字母，也可以是单项式或 多项式，应视具体情形灵活运用。 3.分解因式要彻底。要注意每一个因式 的形式要最简，直到不能再分解为止。
4 6 2 3 2 n =( n ) 9 3
阅读例1，完成习题2.4第一题 阅读例2，完成习题2.4第二题
因式分解的平方差公式：
两个因式的积 的形式
a² - b²
两个数(式)的平方差
= (a+b) (a-b)
与
这两数(式)的和
这两数(式)的差
的积。
公式中的a，b可以是单独的 数字、 字母， 也可以是 单项式 、 多项式 。

数学运用公式法一

教学
(反)
思
逸夫初级中学“三导三学五环节”导学案
年级：八年级科目：数学
课题
2.3运用公式法(一)
主备人
李驰
审核人
李驰
授课人
编号
04
授课
时间
班级
姓名
学习
目标
1、经历通过整式乘法的平方差的逆向得出公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维。
2、：平方差公式分解因式.
难点：观察平方差特点并利用平方差公式分解因式
预习展示
分解下列因式（平方差公式）：
（1）、1-4x2；（2）、m2-4；（3）、x2-4y2；
（4）、3x3-12x；（5）、 。
学
习
流
程
引领探究
1、a2-b2= (a+b)(a-b)中a，b都表示单项式吗？它们可以是多项式吗？
2、(1)9(m+n)2-(m-n)2;（2）4(m+n)2-(m-n)2
有效检测
把下列各式分解因式
（1）-(x+y)2+z2
（2）9（a+b）2-4（a-b）2
（3）m4-16m4
（4）x2－（a+b－c）2
（5）
梳理拓展
1、对于任意的自然数 ， 能被24整除吗?为什么?
2、如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个矩形，通过计算两个阴影部分的面积，可以得到一个矩形，通过计算两个阴影部分的面积，可以得到一个分解因式的公式，这个公式是怎样的？
学
习
流
程
学 案
导 案
导学预习
1、什么是因式分解？我们已经学过的因式分解的方法有什么？

公式法因式分解(1)


例4 如图，求圆环形绿地的面积.
解： π352 - π152 = π(35 -15 ) = (35 +15)(35-15)π 20 π = 50 · = 1000 π (m2)
2 2
答：圆环形绿地的面积是 1000 π m2
——说说本节课你的收获
问题：
记住平方差公式了吗？它有什么特 点？ 运用平方差公式要分几个步骤？ 在使用过程中我们该注意什么？
x2-25
第⑴、⑵两式从左到右是什么变形？ 第⑶、⑷两式从左到右是什么变形？
(a b)(a b) a b
2
2
两个数的和与这两个数的差的积，等于 这两个数的平方差。
a b (a b)(a b)
2 2
两个数的平方差，等于这两个数的和与
这两个数的差的积。
下列各式中，能用平方差公式分解因式的有:
——运用公ห้องสมุดไป่ตู้法
授 课 人：程辛贤
课前提问
1、什么叫因式分解？我们已学 过什么因式分解的方法？
2、因式分解与整式乘法有什么关 系？
在横线上填上适当的式子，使等号成立：
1、(x+5) (x-5) = _____ 2-b2 a 2、(a+b) (a-b) = _____ 3、x2-25 = （ _____ x+5） (x-5) (a-b) 4、a2-b2 = (a+b)_____
练习：用平方差公式分解因式：
(1) -0.01+9a2 (2) -36y2+25x2
例 3 分解因式
x4 - y4
解：原式= (x2)2 - (y2)2 = ( x2+ y2) ( x2-y2) = ( x2+ y2) (x+y)(x-y) 练习 :（1）81x4

第二章第3节运用公式法课件(1)

=(3.6+2× 0.8)(3.6-2× 0.8) =5.2× 2=10.4(cm2) 即剩余部分面积为10.4cm2.
能力提高：
1.已知248-1能被60-70之间的两个 数整除，则这两个数是 .
2、求证：257-512能被120整除.
课堂小结：
1．本节课我们经历了从整式乘法的平方差公 式得出分解因式的平方差公式的过程，并运用 平方差公式分解因式； 2．平方差公式a2-b2=（a+b）(a-b)中的字母 a,b不仅可以表示数，而且可以表示其他代数 式；
2 2 4
36a ( 6a )
2
2
0.49b ( ) 0.7b
2 2
牛刀小试
81a 9a （ ）
6 2
3
9 2 3 2 c c （ ） 4 16 2 2 2 64 x y 8 xy （ ） 100 p q 10 p q ） （
4 2 2
2
2
3(m n) (m n)3(m n) (m n) (4m 2n)(2m 4n) 4(2m n)(m 2n)
平方差公式里的a,b不仅可以是单项式， 还可以是多项式。
(2) 2x3-8x =2x(x2-4) =2x(x+2)(x-2)
当多项式的各项含有公因式时，通常先 提出这个公因式，然后在进一步分解因式。
3．当多项式的各项含有公因式时，通常先提 出这个公因式，然后在进一步分解因式。
练习2：把下列各式分解因式：
(1) a2-36
(2) 25m2-49n2
4 2 2 (3) x y 9
完成P56
1 2 b (4) 0.36a 25
2
知识技能

公式法(一)

3.3 公式法（一）马田中学年级数学备课组主备：林国芳序号41学习目标：使学生了解运用公式法分解因式的意义；掌握用平方差公式分解因式。

重点：掌握运用平方差公式分解因式.难点：将单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；教学过程一、创设问题情境,引入新课在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式。

如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法。

二、新课讲解1.请看乘法公式（a+b）（a－b）=a2－b2 （1）左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是a2－b2=___________________（2）左边是一个多项式，右边是整式的乘积。

大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？利用平方差公式进行的因式分解。

第（1）个等式可以看作是整式乘法中的__________公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的____________公式。

2.公式讲解如x2－16=（x）2－42=（x+4）（x－4）a2- b2= (a+b) (a-b)9 m 2－4n2=（3 m ）2－（2n）2=（3 m +2n）（3 m －2n）3.例题例1把下列各式分解因式：（1）25 x2－16y2（2）9a2－b2.例2把下列各式分解因式:（1）（x+y）2－（x－y）2; （2）2x3－8x.补充例题：判断下列分解因式是否正确.（1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2.（2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）（a2－1）.三、课堂练习p64页第1、2、3题反思归纳。

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填空
①25 x2 ＝ (__±_5_x_)2
②36a4 ＝ (_6_a_2__)2
③0.49 b2 ＝ (_0_._7_b_)2
④64x2y2 ＝ (_8_x_y__)2
⑤
1 4
b2
＝ (__12__b_)2
⑥
9 16
c2＝（ 34 c ）2
回顾 & 思考☞
口算
1）(x 5)(x 5) _x__2___2_ 5
2）(3x y)(3x y) _9__x_2__ y2
3) (1 3a)(1 3a) _1__－__9_a2
(a b)(a b) a2 b2 （整式乘法）
a2 b2 (a b)(a b) （分解因式）
探索 & 交流
(1) 下列多项式中，他们有什么共同特征?
能否化为
□2－△2
有公因式，哦
解：原式＝2x(x2-4) ＝2x(x2-22) ＝2x(x+2)(x-2)
首先提取公因式 然后考虑用 公式 最终必是连乘式
先化为 □2－△2
① 9(m＋ n)2 － (m － n)2
解：原式＝[3(m+n)]2－(m-n)2 ＝[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)] ＝(3m+3n+m-n) (3m+3n-m+n)
—平方差公式
回顾 & 思考☞
例1、把下列各式分解因式：
（1）3a3b2－12ab3 关键确定公因式
（2）x(a b) y(a b)
（3）a(m 2) b(2 m)
（4）a(x － y)2 － b(y－ x)2
一看系数 二看字母 三看指数
最大公约数 相同字母最低次幂
回顾 & 思考☞
分解到不能再分解为止
思维拓展
① x5 － x3 ② x6 － 4x4
能否化为 □2－△2
③ (x － 1) ＋b2 (1 －x)
④(a 2 ＋ b 2) 2－(b 2 ＋ c 2 )2
已知: x+ y =7, x-y =5,求 x 2- y2-2y+2x 的值.
2、如图，在一块边长
为 acm 的正方形的四
角，各剪去一个边长
为bcm的正方形，求
a
剩余部分的面积。如
果a=3.6，b=0.8呢?
b
a2−4b2
（2）9a2－
1 4
b2
先化为 □2－△2
（3） － 16x2 ＋81y2
解(1)原式= 52－(4x)2 =(5+4x)(5-4x)
（2）原式 (3a)2 （12 b）2
＝(3a

1 2
b)(3a

1 2
b)
例2 :把下列各式分解因式
① ②
9(m＋ n)2 2x3 － 8x
－
(m
－ n)2
＝(4m+2n) (2m+4n) ＝4 (2m+n) (m+2n)
在多项式x²+y², x²-y²,-x²+y², -x²-y²中, 能利用平方差公式分解的有( B )
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
1、判断正误 (1)x²+y²=(x+y)(x+y) ( ) (2)x²-y²=(x+y)(x-y) ( ) (3)-x²+y²=(-x+y)(-x-y)( ) (4)-x²-y²=-(x+y)(x-y) ( )
2、把ห้องสมุดไป่ตู้列各式分解因式：
(1)a2b2－m2 (2)(m－a)2－(n＋b)2 (3)x2－(a＋b－c)2
你有什么收获
①运用a2−b2= (a+b)(a−b)分解因式
②分解因式顺序
首先提取公因式 然后考虑用 公式 最终必是连乘式
下列分解因式是否正确？为什么？ 如果不正确，请给出正确的结果。
x4 16 y4 (x2 )2 (4 y2 )2 (x2 4 y2 )(x2 4 y2 )
① x2－25 ② 9x2－ y 2
□2－△2
议一议 说说平方差公式的特点
a2−b2= (a+b)(a−b)
①左边 两个数的平方差；只有两项
②右边 两数的和与差的积
相同项 相反项
形象地表示为
□2－△2＝ (□＋△)(□－△)
☆2－○2＝ (☆＋○)(☆－○)
学以致用
例1、把下列各式分解因式：
（1） 25 － 16x2