运用公式法

运用公式法篇一：运用公式法运用公式法平方差公式22(a+b)(a-b)=a-b公式中的字母可以表示任何数、单项式或多项式。

因此，计算时公式中的字母以可以表示任何数、单项式或多项式，只要符合公式特点，就可以运用平方差公式平方差公式多项式必须是两个数（或式）的平方差，能2够指明二项式中，哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于222公式中的b。

并且把给出的多项式经过简单变形，写成a-b的形式，以便于分解，当公式中的字母表示多项式时，分解过程中需要加中括号，但结果中不能含有中括号，在添、去括号时都应注意是否需要变号。

有些题表面看不符合平方差公式的特点，但仔细观察，它们符合平方差公式的特点，可以应用公式计算。

再次鼓励与提倡解决问题策略的多样化，满足不同学生发展的需求，丰富学生的学习经验，提高思维水平，培养创新意识。

通过介绍同一问题的不同解决方法，让学生感受到分解因式中的一些技巧。

篇二：运用公式法数学微格教学教案科目：数学课题：分解因式——运用公式法执教：袁媛训练技能：设计理念：一、教学内容：北师大版初二下册第二章p54-58页内容。

二、教学目标：1、回固因式分解的概念和复习提公因式法；2、复习平方差公式与完全平方公式，并灵活运用到分解因式中；3、结合提公因式法进行分解因式；4、掌握分解因式与整式乘法的关系。

三、教学重点：本章内容是分解因式，分成了三小节。

前两节分别讲的是因式分解的概念和提公因式法进行分解因式。

本节要讲的是用公式法进行因式分解。

其重点是熟记乘法公式中的平方差公式与完全平方公式，并结合前两节知识进行因式分解。

四、教学难点：难点是用公式法结合前一节内容进行因式分解。

教学过程：训练技能执教者教学目标袁媛教学课题教学时间分解因式——运用公式法20XX-9-261、复习巩固因式分解定义和提公因式法；2、复习平方差公式与完全平方公式，并灵活运用到分解因式中；3、结合提公因式法进行分解因式；4、掌握分解因式与整式乘法的关系。

运用公式法教学反思运用公式法教学反思一：运用公式法分解因式的反思逆向思维是一种启发智力的方式，它有悖于人们通常的习惯，而正是这一特点，使得许多靠正向思维不能或是难于解决的问题迎刃而解．一些正向思维虽能解决的问题，在它的参与下，过程可以大大简化，效率可以成倍提高．正思与反思就象分析的一对翅膀，不可或缺．传统的课堂教学结果表明：许多学生之所以处于低层次的学习水平，有一个重要因素，即逆向思维能力薄弱，定性于顺向学习公式、定理等并加以死板套用，缺乏创造能力、观察能力、分析能力和开拓精神．因此，培养学生的逆向思维能力，不仅对提高解题能力有益，更重要的是改善学生学习数学的思维方式，有助于形成良好的思维习惯，激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维习性，提高学习效果、学习兴趣，及思维能力和整体素质．存在的一些不足：1、本节课中，对学生学习过程中所体现出来的态度和情感关注不够，以至于不能很好地激发学生的好奇心和求知欲。

2、在小组讨论之前，没有留给学生充分的独立思考的时间，让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。

这是我们教学过程中都应该注意的一个问题。

运用公式法教学反思二：运用公式法分解因式的反思1、在备课的时候，我发现课本上出现判别式的时候没有提到这个判别式的表示符号，因此在授课过程中我还是告知给学生，并要求学生记住；判别式中只提到说当大于等于零时，方程有根，没有详细分情况讨论，在这里我在备课的时候也特别注意到了，在授课时也特别提醒学生；2、在教学过程中，要求学生先自主的用配方法求解一元二次方程，学生在开平方根的时候没有注意到应该要分情况讨论，即是否所有的数都能开平方运算呢？出现这个问题的主要原因是学生对于开平方的运算不够熟练，以及对于数学中应该分类讨论的思想也不够成熟。

因此在后面教师的讲解环节特别对学生强调，当遇到开平方运算的时候要考虑平方根里面的数值的特点，以及出现字母的运算或者没有固定情况的解答题中要分类讨论，这不是一朝一夕可以改变的情况，会在后面的授课以及复习课中再加强这方面的锻炼。

《运用公式法》教学教案第一章：引言1.1 教学目标让学生理解公式法的基本概念和应用领域。

引导学生掌握公式法的原理和步骤。

培养学生运用公式法解决实际问题的能力。

1.2 教学内容公式法的定义和特点公式法的应用领域公式法的基本原理和步骤1.3 教学方法采用案例导入的方式，引导学生了解公式法的应用领域。

通过讲解和示例，让学生掌握公式法的基本原理和步骤。

提供实际问题，让学生运用公式法解决，并进行小组讨论和分享。

1.4 教学评估课堂参与度评估：学生参与小组讨论和分享的积极性。

练习题评估：学生完成练习题的正确率和理解程度。

第二章：公式法的基本原理2.1 教学目标让学生理解公式法的基本原理。

引导学生掌握公式的推导和应用。

2.2 教学内容公式法的基本原理公式的推导和应用示例2.3 教学方法通过讲解和示例，让学生掌握公式法的基本原理。

提供练习题，让学生巩固公式的推导和应用。

2.4 教学评估练习题评估：学生完成练习题的正确率和理解程度。

学生提问和解答评估：学生对公式法的基本原理的理解和应用能力。

第三章：公式法的步骤3.1 教学目标让学生掌握公式法的步骤。

引导学生运用公式法解决实际问题。

3.2 教学内容公式法的步骤实际问题解决示例3.3 教学方法通过讲解和示例，让学生掌握公式法的步骤。

提供实际问题，让学生运用公式法解决，并进行小组讨论和分享。

3.4 教学评估练习题评估：学生完成练习题的正确率和理解程度。

学生提问和解答评估：学生对公式法的步骤的理解和应用能力。

第四章：公式法的应用领域让学生了解公式法在不同领域的应用。

引导学生运用公式法解决实际问题。

4.2 教学内容公式法在不同领域的应用示例实际问题解决示例4.3 教学方法通过讲解和示例，让学生了解公式法在不同领域的应用。

提供实际问题，让学生运用公式法解决，并进行小组讨论和分享。

4.4 教学评估练习题评估：学生完成练习题的正确率和理解程度。

学生提问和解答评估：学生对公式法在不同领域的应用的理解和应用能力。

2.3 运用公式法一、学习目标：1、能说出平方差公式的特点。

2、能较熟练地应用平方差公式分解因式。

3、初步会用提公因式法与公式法分解因式，并能说出提公因式在这类因式分解中的作用。

4、知道因式分解的要求：把多项式的每一个因式都分解到不能再分解。

二、情感目标：1、通过因式分解变形的探究过程，培养学生树立数学的转化思想以及“整体”思想。

2、通过学生探究的过程，使学生养成认真观察，细致分析的学习态度。

◎课前准备学前感知（我准备我成功）重点：运用平方差公式分解因式.难点：灵活运用平方差公式分解因式.◎学习准备：1.（a+b）（a-b）=_____________2.（2x+y）（2x-y）=____________3.分解因式：7x²-21x.阅读感知阅读课本第54页例1上面的内容，回答下面的问题：1.观察式子a²-b²，x²-25，9x²-y²（1）他们有没有相同的因式？他们能不能进行分解因式？（2）他们有什么共同特征？（3）你能按照（2）中的特征再举出几个例子吗？2.乘法公式：（a+b）（a-b）=_______________，①左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是a²-b²=_______________，②即变为左边是一个多项式，右边是整式的乘积。

这样运用平方差公式就将a²-b²分解因式了。

合作探究探究1：运用平方差公式分解因式：（1）9-4x²（2）9a²-25b²思考：a，b在上面的两个小题中分别是什么？并写出分解的过程。

探究2：运用公式法分解因式：（1）64（m+n）²-（m-n）²（2）3x³-12x1.比较探究1与探究2中的第（1）小题，你发现他们有什么异同？然后把第（1）小题分解因式。

2.（2）题中是否能直接利用平方差公式进行分解因式？找出它们的各项的公因式并提出，看看你现在是否能将它分解因式？3.当一个题中即要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，应该先做什么？总结：1.如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式来分解因式，分解成两个整式的和与差的积。

重点、难点
考点及考试要求
教学内容
学习 过程 预 习 导 （3） （1+2x） （1–2x）= 学 学 习 研 讨 1、分解因式：7x2-21x 2、填空： （1） （x+3） （x–3） =
学习内容
； （2） （4x+y） （4x–y）= ； （4） （3m+2n） （3m–2n）=
； ．
活动一 阅读课本 54 页上面部分内容并回答问题： 1、 观察式子 a2-b2,x2-25,9x2-y2 (1) 他们有没有相同的因式？他们能不能分解因式？ (2) 小组讨论，它们有什么共同特征？ (3) 你能按照（2）的特征再举几个例子吗？ 2、结合预习导学 2，完成下列填空 （1）9m2–4n2= （3）x2–9= ； （2）16x2–y2= ； （4）1–4x2= ． ；
（4）(m－a)2－(n＋b)2 （5）–16x4＋81y4 （6）3x3y–12xy
2、 如图， 在一块边长为 a 的正方形纸片的四角， 各 形．用 a 与 b 表示剩余部分的面积，并求当
剪去一个边长为 b 的正方 a=3.6，b=0.8 时的面积．
a b
延 伸 拓 展 总结 反思 作业 1.解： （1）a2－81=（a+9） （a－9）; 2 （2）36－x =（6+x） （6－x）; 2 （3）1－16b =1－（4b）2=（1+4b） （1－4b）; 2 2 （4）m －9n =（m +3n） （m－3n）; 2 2 （5）0.25q －121p =（0.5q+11p） （0.5q－11p）; 2 （6）169x －4y2=（13x+2y） （13x－2y）; 2 2 2 2 （7）9a p －b q =（3ap+bq） （3ap－bq）; （8） 已知 a、b 为正整数，且 a2-b2=45，求符合要求的 a、b 的值。

一、）请你任意写出一个．．三项式，使它们的公因式是－）用简便方法计算，并写出运算过程：二、2+b2－2ab－1ma－mb+2a－2b3－aax2+ay2－2axy－ab2三、好好想一想n是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是）一条水渠，其横断面为梯形，根据图时的面积.图2—3—1，在半径为r的圆形土地周围有一条宽为a的路，这条路的面积用作业导航了解平方差公式、完全平方公式的特点，掌握运用公式法分解因式的方法，会利用分解因式进行简便计算与化简.一、选择题1.－(2a－b)(2a+b)是下列哪一个多项式的分解结果( )A.4a2－b2B.4a2+b2C.－4a2－b2D.－4a2+b22.多项式(3a+2b)2－(a－b)2分解因式的结果是( )A.(4a+b)(2a+b)B.(4a+b)(2a+3b)C.(2a+3b)2D.(2a+b)23.下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是( )A.x2+xy+y2B.x2－2x－1C.－x2－2x－1D.x2+4y24.多项式4a2+ma+25是完全平方式，那么m的值是( )A.10B.20C.－20D.±205.在一个边长为12.75 cm的正方形纸板内，割去一个边长为7.25 cm的正方形，剩下部分的面积等于( )A.100 cm2B.105 cm2C.108 cm2D.110 cm2二、填空题6.多项式a2－2ab+b2，a2－b2，a2b－ab2的公因式是________.7.－x2+2xy－y2的一个因式是x－y，则另一个因式是________.8.若x2－4xy+4y2=0，则x∶y的值为________.9.若x2+2(a+4)x+25是完全平方式，则a的值是________.10.已知a+b=1，ab=－12，则a2+b2的值为________.三、解答题11.分解因式(1)3x4－12x2(2)9(x－y)2－4(x+y)2(3)1－6mn+9m2n2(4)a2－14ab+49b2(5)9(a +b )2+12(a +b )+4 (6)(a －b )2+4ab12.(1)已知x －y =1，xy =2，求x 3y －2x 2y 2+xy 3的值. (2)已知a (a －1)－(a 2－b )=1，求21(a 2+b 2)－ab 的值. 13.利用简便方法计算: (1)2001×1999(2)8002－2×800×799+799214.如图1，在一块边长为a 厘米的正方形纸板的四角，各剪去一个边长为b (b ＜2a)厘米的正方形，利用因式分解计算当a =13.2，b =3.4时剩余部分的面积.图115.对于任意整数，(n +11)2－n 2能被11整除吗？为什么？参考答案一、1.D 2.B 3.C 4.D 5.D二、6.a－b7.y－x8.2 9.1或－9 10.25三、11.(1)3x2(x+2)(x－2) (2)(5x－y)(x－5y) (3)(3mn－1)2(4)(a－7b)2(5)(3a+3b+2)2(6)(a+b)2112.(1)2 (2)213.(1)3999999 (2)114.128平方厘米15.略2.3 运用公式法同步练习1．填空：（1）多项式各项的公因式是___________；（2）多项式各项的公因式是_________；（3）如果是一个完全平方式，那么k的值是__________；（4）（）．2．把下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．3．利用分解因式计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．4．先分解因式，再求值：（1），其中；（2），其中．5．对于任意自然数是否能被24整除？为什么？参考答案1．（1） ；（2）；（3）9；（4） ．2．（1） ；（2） ；（3） ；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．3．（1）27.6；（2）125；（3）10100；（4）0.0395；（5）9801；（6）7；（7）6.32；（8）5000．4．（1） ，当 时，原式＝9216；（2） ，当时，原式＝100．5．，能被24整除．2.3 运用公式法 同步练习一、选择题1，下列各式中不能用平方差公式分解的是（ ）A.-a 2+b 2B.-x 2-y 2C.49x 2y 2-z 2D.16m 4-25n 2 2.下列各式中能用完全平方公式分解的是（ ）①x 2-4x+4; ②6x 2+3x+1; ③ 4x 2-4x+1; ④ x 2+4xy+2y 2 ; ⑤9x 2-20xy+16y 2A.①②B.①③C.②③D.①⑤3.在多项式:①16x 5-x;②（x-1）2-4（x-1）+4; ③(x+1)4-4x(x+1)2+4x 2;④-4x 2-1+4x 中，分解因式的结果中含有相同因式的是（ ）A.①②B.③④C.①④D.②③ 4.分解因式3x 2-3x 4的结果是（ ）A.3(x+y 2)(x-y 2)B.3(x+y 2)(x+y)(x-y)C.3(x-y 2)2D.3(x-y )2(x+y) 25.若k-12xy+9x 2是一个完全平方式，那么k 应为（ ）A.2B.4C.2y 2D.4y 26.若x 2+2(m-3)x+16, 是一个完全平方式，那么m 应为（ ）A.-5B.3C.7D.7或-1 7.若n 为正整数，（n+11）2-n 2 的值总可以被k 整除，则k 等于（ ） A.11 B.22 C.11或22 D.11的倍数. 二、填空题8.（ ）2+20pq+25q 2= （ ）29.分解因式x 2-4y 2= ___________ ; 10.分解因式ma 2+2ma+m= _______ ;11.分解因式2x 3y+8x 2y 2+8xy 3 __________ .12.运用平方差公式可以可到：两个偶数的平方差一定能被 _____ 整除。

运用公式法因式分解一、学习指导1、代数中常用的乘法公式有：平方差公式：(a+b)(a －b)＝a 2－b 2完全平方公式：(a±b)2＝a 2±2ab+b 22、因式分解的公式：将上述乘法公式反过来得到的关于因式公解的公式来分解因式的方法，主要有以下三个公式：平方差公式：a 2－b 2＝(a+b)(a －b)完全平方公式：a 2±2ab+b 2＝(a±b)23、应用公式来分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，也就是要从它们的项数系数，符号等方面掌握它们的特征。

明确公式中字母可以表示任何数，单项式或多项式。

③同时对相似的公式要避免发生混淆，只有牢记公式，才能灵活运用公式。

④运用公式法进行因式分解有一定的局限性，只有符合其公式特点的多项式才能用公式法来分解。

二、例题分析：例1：分解因式：（1）4a 2－9b 2 (2)－25a 2y 4+16b 16解：（1）4a 2－9b 2＝(2a)2－(3b)2＝(2a+3b)(2a －3b)解：（2）－25a 2y 4+16b 16＝16b 16－25a 2y 4＝(4b 8)2－(5ay 2)2＝(4b 8+5ay 2)(4b 8－5ay 2)注：要先将原式写成公式左边的形式，写成(4b 8)2－(5ay 2)2例2:分解因式：（1）36b 4x 8－9c 6y 10 （2）(x+2y)2－(x －2y)2（3）81x 8－y 8 （4）(3a+2b)2－(2a+3b)2分析：（1）题二项式有公因式9应该先提取公因式，再对剩余因式进行分解，符合平方差公式。

（2）题的两项式符合平方差公式，x+2y 和x －2y 分别为公式中的a 和b 。

（3）题也是两项式，9x 4和y 4是公式中的a 和b 。

（4）题也是两项式，3a+2b 和2a+3b 是平方差公式中的a 和b 。

解：（1）36b 4x 8－9c 6y 10＝9(4b 4x 8－c 6y 10)＝9[(2b 2x 4)2－(c 3y 5)2]＝9(2b 2x 4+c 3y 5)(2b 2x 4－c 3y 5)注：解题的第二步写成公式的左边形式一定不要丢。

课本P56 知识技能
1、 2、 3。
14
课外探究
计算：
1 2 3 4 5 6 2003 2004 1 2 3 4 56 2003 2004
2 2 2 2 2 2 2
2
15
10
学以致用
心动不如行动
在日常生活中，如取款、上网等都需要 密码，有一种用“因式分解”法产生的 密码，方便记忆。
x y (x ) ( y ) 2 2 2 2 ( x y )( x y ) 2 2 ( x y )( x y)( x y)
4 4
2 2 2 2
11
合作拓展
温故知新 1.填空： 这种从左到右是 2 (1) x 3x 3 x 9 . 什么变形？ (2) 4 x y 4 x y 16x 2 y 2 . (3) 1 2x1 2x 1 4 x 2 . (4) 3m 2n3m 2n 9m2 4n 2 . 2.根据上面式子填空： (1) 9m2 4n 2 3m 2n3m 2n . 这种从左到右又 (2) 16x 2 y 2 4 x y 4 x y . 是什么变形？ (3) x 2 9 x 3x 3 . (4) 1 4 x 2 1 2 x 1 2 x . 通过以上两题你想到了什么？
和乘以这两个数的差。 平方差公式还有别的表示方法吗？
3
牛刀小试
1.下列各式能利用平方差公式分解因式吗？ (1) (3) (5) (7)
25 x (能) 2 2 16x y (能)
2
(2)
(4)
4m 9n
2
2
16 x y (不能)
2
2 2
2 2

4( x 2 2 x 1) 7 4( x 1) 2 7
任何一个正奇 你发现了什么规 数都可以表示 律？能用因式分 解来说明你发现 成两个相邻自 的规律吗？ 然数的平方差。 对于正奇数 2n+1(n为自然 2 2 数)，有 n 1 n
1 3 5 7 …
1 12 02
3 22 12
5 32 22
7 42 32
…

ห้องสมุดไป่ตู้

n 1 n n 1 n 2n 1
1.把下列各式分解因式
(1)(a 2 b 2 ) 2 4 a 2 b 2
（1）x -12xy+36y (1)18a2-50 4 2 2 4 (2)16a +24a b +9b (2)-3ax2+3ay4 2 2 (3)-2xy-x -y (3)(a+b)2-4a2 2 (4)4-12(x-y)+9(x-y) (4)-25x2y2+100 2+2a2x+a3; (5) ax 2 2 (5)4(a-b) -9(2a+3b) 2+6xy－3y2. (6) － 3 x 2 2 2 (6)(x +3x) -(x+1)
已知3a+b=10000，3a-b=0.0001， 求 b2-9a2 的值.
3.下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（ ） A、x4+6x2y2+9y4 B、x2n-2xnyn+y2n C、x6-4x3y3+4y6 D、x4+x2y2+y4
4.如果100x2+kxy+y2可以分解为（10x-y)2,那么k的值是（ A、20 B、-20 C、10 D、-10 5.如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ A 、6 B、±6 C、3 D、±3 ） ）

八 年 级 数 学 备 课 组
=2x(x2-22)
=2x(x+2)(x-2)
1、x2+y2=(x+y)(x-y)
（
）
2、x2-y2=(x+y)(x-y)
3、-x2+y2=(-x+y)(-x-y)
（
（
）
）
八 年 级 数 学 备 课 组
4、-x2-y2=-(x+y)(x-y)
5、-x2+y2=-(x+y)(x-y) 6、-x2+y2=(y+x)(y-x)
八 年 级 数 学 备 课 组
八 年 级 数 学 备 课 组
（1）观察多项式x2 –25，9 x2- y2 ，它们 有什么共同特征？ （2）尝试将它们分别写成两个因式的乘 积，与同伴交流.
八 年 级 数 学 备 课 组
事实上，把乘法公式 (a+b)(a-b) =a2 –b2 反过来，就得到
八 年 级 数 学 备 课 组
a2-b2=(a+b)(a-b)
例1 把下列各式分解因式：
b
八 年 级 数 学 备 课 组
a
（1）已知, x+ y =7, x-y =5,
求代数式 x 2- y2-2y+2x 的值.那么 ax+ay+x2-y2呢？
（2）如果4x2-9y2=31，并且x,y都是 自然数，求x,y的值.
八 年 级 数 学 备 课 组
今天你学到了什么？
1、利用平方差公式进行因式分解 2、当多项式的各项有公因式时,通常先提 出这个公因式,然后进行因式分解
（
（ （
）
） ）
运用适当的方法分解因式:

课题：《运用公式法》⑴授课教师：揭东县炮台镇竞智初级中学吴晓霞教材：北师大版数学八年级下册教材的地位和作用：分解因式是后续学习分式的化简与运算、解一元二次方程等的重要基础。

《运用公式法（1）》这节课在本章中起着承前启后的作用。

它通过探究分解因式与整式乘法的关系来寻求因式分解的原理，这一思想贯穿后继学习的其他分解因式方法。

而且公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，公式的发现与验证过程可培养学生的逆向思维和严密的逻辑推理能力。

本节课主要是让学生经历观察、类比、归纳、总结、反思的过程，感受整式乘法与分解因式之间的互逆关系，发展学生有条理的思考与语言表达能力。

学情分析：在本节课的学习中，学生要经历探索平方差公式的过程，学生已有的整式乘法等知识使他们有了进一步学习的基础。

因此，在教学过程中，教师要给学生提供丰富有趣的问题情境，并给他们留有充分探索与交流的时间和空间，引导学生在活动中运用类比思想进行思考，并自觉用语言说明变形过程。

发展学生分析问题的能力和推理能力，并体会类比的数学思想和事物之间相互转化的辨证思想。

目标分析1．知识目标：⑴．使学生进一步了解分解因式的意义，了解乘法公式和分解因式的区别与联系。

⑵．使学生掌握平方差公式的特点，并能熟练地运用公式将多项式进行因式分解。

2．能力目标：⑴．通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力、求简意识和应用意识。

⑵．培养学生动手操作、分工合作的能力，发展学生的语言表达能力及逻辑推理能力。

3．情感目标：⑴．培养学生积极主动参与的意识，使学生形成良好的学习习惯。

⑵．让学生体验数学活动充满着探索性和创造性，并在合作学习中获得成功的喜悦。

⑶．培养学生逆向思考问题的习惯，体会事物之间互相转化的辨证思想，初步接受对立统一的观点。

教学重点、难点教学重点：公式的发现和推导过程；理解用公式分解因式的意义。

教学难点：掌握平方差公式的结构特征；对公式结构特点的辨析、理解和实际综合应用。

蔡庆超
1
运用公式法分解因式
2
运用公式法分解因式
• 平方差公式:
• 两个数的和与两个数的差的积等于这两 个的平方差：
(a+b)(a-b)=a2-b2 反过来，就得到：
a2-b2=(a+b)(a-b)
3
平方差公式：
什么样的多项式能用平方 差公式分解因式呢？
整式乘法
两个数的平方 差，等于这两 个数的和与这 两个数的差的 积
6
例题讲解
• 例１ 把下列各式分解因式：
•
（１) 25
—16x2
(2)
9a2—
1 2 b 4
• 解:（１）25 -16x2=52 -(4x)2=(5+4x)(5-4x) • (2)9a2-
1 2 1 2 1 1 2 b =(3a) -( b) =(3a+ b)(3a- b) 2 2 4 2
•
确定多项式中的a和b是利用平方差公式分 解因式的关键．
7
练习：把下列各式分解因式:
（1）16a² -1
解：1）16a² -1=(4a)² -1
=(4a+1)(4a-1)
( 2 ) 4x² - m² n²
解：2） 4x² - m² n²
=(2x)² - (mn)²
=（2x+mn)(2x-mn)
8
(m n) 9 2 2 (m n) 3 (m n 3)(m n 3)
2
9(m n) 2 (m n)
2
2
注意：将分解进行到底！
10
合作学习：
如何把下式因式分解？
a a b
4
提示：
2 2
哪种方法好？

CHAPTER 03
使用公式法求解一元二次方 程
求解方程的步骤
1. 写出方程的标准形式
首先，我们要确保方程是一元二次方程的标准形式，即 $ax^2+bx+c=0$。
2. 计算判别式
判别式$\Delta=b^2-4ac$，它可以帮助我们确定方程的 根的类型。
3. 代入求根公式
如果判别式$\Delta\geq0$，则方程有实数根，可以代入 求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$求解；如果 $\Delta<0$，则方程有复数根。
实例解析二：利用公式法解决实际问题
01
02
03
04
05
问题描述：一个自由落 体运动，物体从高度 $h$ 处自由落下，求物 体落地所需时间 $t$。
• 分析：自由落体运动 的位移公式为 $s = \frac{1} 通过公式变换，可得 一元二次方程 $\frac{1}{2}gt^2 - h = 0$。
二次方程的理解和掌握。
学习其他求解一元二次方程的方 法，如因式分解法、配方法等，
提高解题的灵活性和多样性。
在学习的过程中，注重理论与实 践相结合，多做练习和实际应用 ，提高数学素养和解决问题的能
力。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
通用性
公式法可以用于求解所有形式的 一元二次方程，不像配方法或因 式分解法那样依赖于方程的特定
形式。
精确性
只要计算准确，公式法可以给出精 确解，而不会产生近似误差。
系统性
公式法是一种系统性的解题方法， 无需过多的思考和试探，只需按照 公式步骤进行计算即可。
公式法的缺点
计算复杂性

运用公式法(共10篇)运用公式法（一）: 求初中因式分解公式越多越好2楼的，拿这些简单的公式糊弄谁呢一．运用公式法在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如：1.a^+2ab+b^=(a+b)^2.a^-b^=(a+b)(a-b)3.x^-3x+2=(x-1)(x-2)4.(a1+a2+.+an)^2=(a1^2+a2^2+a3^2+.+an^2)+(2a1*a2*a3*.an)+(2a2*a3*a4*. an)+(2a3*a4*a5.an)+.+2an-1*an5.a^n-b^n=(a-b)[(a^(n-1)+a^(n-2)*b+...+a*b^(n-2)+b^(n-1)],n是整数6.a^n+b^n=(a+b)[(a^(n-1)-a^(n-2)*b+...+(-1)^(n-2)*a*b^(n-2)+(-1)^(n-1)*b^(n-1)],n是奇数二．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时,整理、化简常将几个同类项合并为一项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时,需要恢复那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符合相反的项,前者称为拆项,后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=〔(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=〔(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)〔b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．三．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体,并用一个新的字母替代这个整体来运算,从而使运算过程简明清晰．分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开,是关于x的四次多项式,分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体,并用字母y来替代,于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y,则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)运用公式法（二）: 运用公式法（1-1/2 ）（1-1/3 ）（1-1/4 ） (1)1/n ）(n+1)/2n1-1/n =(1+1/n)(1-1/n)【运用公式法】运用公式法（三）: 如何应用公式法来分解因式【运用公式法】1.熟悉公式,主要是：平方差、立方差、立方和、和平方、差平方、和立方、差立方等.2.灵活掌握,配合拆项、添项、去项,创造条件,向公式靠拢.3.与提取公因式、分组等分解因式方法相配合.4.多做多想、积累经验.运用公式法（四）: 在运用中,怎样来区别分解因式“提公因式法” 和运用公式法“平方差公式” …我总是搞混乱了,提公因式法：一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.具体方法：当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式,多项式的次数取最低的.运用公式法：就是利用解方程的方法进行因式分解.平方差公式：（a+b）=a+2ab+b或者（a-b）=a-2ab+b运用公式法（五）: 解方程（1）2（x-3）2=8（直接开平方法）（2）4x2-6x-3=0（运用公式法）（3）（2x-3）2=5（2x-3）（运用分解因式法）（4）（x+8）（x+1）=-12（运用适当的方法）（1）（x-3）2=4x-3=2或x-3=-2，解得，x1=1或x2=5；（2）a=4，b=-6，c=-3，b2-4ac=（-6）2-4×4×（-3）=84，x=6±842×4=3±214，x1＝3+214，x2＝3−214；（3）移项得，（2x-3）2-5（2x-3）=0，因式分解得，（2x-3）（2x-3-5）=0，x1＝32，x2=4；（4）化简得，x2+9x+20=0，（x+4）（x+5）=0，解得，x1=-4，x2=-5．运用公式法（六）: 举出一个既能用提公因式法，又能运用公式法进行因式分解的多项式：______．xy（x-y）2=x3y-2x2y2+xy3．故既能用提公因式法，又能运用公式法进行因式分解的多项式为x3y-2x2y2+xy3．运用公式法（七）: 运用公式法的题目问题49(a-b)的平方-16(a+b)的平方(2x+y)的平方-(x+2y)的平方(x的平方+y的平方)的平方-x的平方Y的平方3ax的平方-3ay的四次方P的四次方-149(a-b)" -16(a+b)"=[7(a-b)+4(a+b)][7(a-b)-4(a+b)]=(11a-3b)(3a-11b)(2x+y)" - (x+2y)"=(2x+y-x-2y)(2x+y+x+2y)=(x-y)(3x+3y)=3(x-y)(x+y)(x"+y")" -x"y"=(x"+y"+xy)(x"+y"-xy)3ax"-3ay""=3a(x"-y"")=3a(x-y")(x+y")P""-1=(P"-1)(P"+1)=(P-1)(P+1)(P"+1)运用公式法（八）: 问一道初二题,是关于运用公式法的李明今天买了一些圆珠笔和铅笔,妈妈问他买了多少笔,他说:“我买了x支圆珠笔,y支铅笔,刚好符合‘4x^2-9y^2=19’”,你知道李明买了多少支圆珠笔多少支铅笔吗运用平方差公式,得4x^2-9y^2=19(2x+3y)(2x-3y)=19×1可知2x+3y>2x-3y,所以必有2x+3y=192x-3y=1以上两式相加,得4x=20x=5,将x=5代入2x-3y=1得y=3答：李明买了5支圆珠笔,3支铅笔.运用公式法（九）: 9X +10X-4=0运用公式法9X +10X-4=0a=9 b=10 c=-4代入求根公式得x=[-10±√(100+144)]/18=(-10±2√61)/18 x1=(-5+√61)/9 x2=(-5-√61)/9运用公式法（十）: a-a^5运用公式法分解因式 a(1-a)(1+a)(1+a^2)运用公式法分解因式剩余法公式运用。

(a – b)2 =
x + 2xy + y = 的式子称为完
2
2
④
(x+y)2 + 6(x+y) + 9
⑤ 4xy2 – 4x2y – y3
⑥
- a + 2a2 – a3
3．阅读课本 P57 页回答：形如 全平方式
2、把下列各式分解因式 4．下列多项式哪些是完全平方式？若是写成 a +2ab + b 的形式。
2 2
二、小组学习：(依靠集体智慧解决疑难问题)
1、若 x2 + kx + 25 是完全平方式,则 k = 你认为呢？ 2 若 x2 – 2(m + 3)x + 25 是完全平方式,则 k = 。小明说：k = 10，小英说：k = -10
三、展示反馈 (认真做吧，你一定行！)
1、把下列各式分解因式 ① 9 - 12t + 4t2 ② x2y2 – 2xy + 1 ③ - 2xy – x2 –y2
1 ○
2 2
1 ○
m4 – 1
2 ○
5x2 – 20
3 ○
Hale Waihona Puke 12xy2 – 12x2y – 3y3
x2 + 6x + 9
2 ○
x2 + x +
1 4
3 ○
9a2b2 – 3ab + 1 教 学 反 思
5、自学例 3，并仿照例 3 分解因式
1 ○ x2 – 12xy + 36y2 2 ○ 16a4 + 24a2b2 +9b4 3 ○ 4 – 12(x-y) + 9(x-y)2

3、运用公式法（二）主备人：刘志领复备人：曹久森杨洁云学习目标：知识技能了解运用公式法分解因式的意义；数学思考、解决问题会用完全平方公式进行因式分解；情感态度、价值观清楚优先提取公因式，然后考虑用公式，培养学生解决问题的能力学习重点：用完全平方公式进行因式分解学习难点综合应用提公因式法和公式法分解因式学习过程一预习交流请同学们预习作业教材P57~P58的内容：1. 完全平方公式字母表示: .2、形如22a ab b2-+的式子称为2++或22a ab b3. 结构特征：项数、次数、系数、符号4填空：（1）（a+b ）（a-b ） = ；（2）（a +b ）2= ；（3）（a –b ）2= ；根据上面式子填空：（1）a 2–b 2= ；（2）a 2–2ab +b 2= ；（3）a 2+2ab +b 2= ；结论：形如a 2+2ab +b 2 与a 2–2ab +b 2的式子称为完全平方式．a 2–2ab+b 2=（a –b ）2 a 2+2ab+b 2=（a+b ）2完全平方公式特点：首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号看前方。

二 合作探究例1把下列各式因式分解：（1）x 2–4x +4 （2）9a 2+6ab +b2（3）m 2–9132+m （4）()()1682++++n m n m三 巩固拓展、展示拔高1将下列各式因式分解：（1）3ax 2+6axy +3ay 2 （2）–x 2–4y 2+4xy注：优先提取公因式，然后考虑用公式2 分解因式（1） （2）（3） （4）点拨：把 分解因式时：1、如果常数项q 是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数P 的符号相同2、如果常数项q 是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数P 的符号相同3、对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数P232++x x672+-x x 2142--x x 1522-+x x q px x ++2四 达标测评1将下列各式因式分解（1） （2） （3）借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法口诀：首尾拆，交叉乘，凑中间2若把代数式223xx --化为2()x m k -+的形式，其中m,k 为常数，求m+k 的值3已知2246130xy x y +-++=，求x,y 的值4当x 为何值时，多项式221xx ++取得最小值，其最小值为多少？教后反思8624++x x 2223y xy x +-234283xx x --。