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公式法之完全平方公式完全平方公式是解一元二次方程的重要工具，它的形式可以表示为：\[a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\]其中，\(a\)和\(b\)都是实数。
完全平方公式的应用很广泛，特别是在解二次方程和因式分解中起着重要的作用。
下面我们将详细介绍完全平方公式的推导和应用。
一、完全平方公式的推导：假设我们要解方程\(x^2+6x+9=0\)。
这个方程左边的三个项\(x^2\)、\(6x\)和\(9\)构成了一个完全平方，可以写成\[(x+3)^2=0\]。
通过观察可以发现，\(x+3\)是一个完全平方的形式。
现在我们来验证一下。
将\((x+3)\)展开进行乘法运算，得到的结果为\[x^2+3x+3x+9=x^2+6x+9\]。
可以看出，它们的确是相等的。
由此我们可以得到，当一个二次方程 \(x^2 + bx + c = 0\) 可以写成 \((x + \frac{b}{2})^2 = 0\) 的形式时，就可以应用完全平方公式来求解它。
进一步来推导完全平方公式的一般形式。
我们假设一个一元二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0\)，其中 \(a\neq 0\)。
首先，我们将方程两边同时除以 \(a\)，得到：\[x^2 +\frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\]。
然后，我们观察到 \(\frac{b}{a}x\) 这一项和 \(\frac{c}{a}\) 是关于 \(x\) 的一个完全平方，即：\[(x + \frac{b}{2a})^2 -\frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} = 0\]。
整理一下，得到：\[(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 -4ac}{4a^2}\]。
再将等式两边同时开方，我们可以得到：\[x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]。
完全平方的12个公式完全平方是一种数学计算的方法，它可以帮助我们快速解决一些数学问题和计算。
它可以帮助我们快速计算一个数的平方。
完全平方有12种计算公式，它们分别是：1.平方根：平方根是所有完全平方计算的基础，它用来计算一个数的平方根，表达式为：√a = x。
2.除法法则：除法法则是一种简单的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a÷b = x，其中a和b都是完全平方数。
3.乘法法则：乘法法则是一种基本的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a×b = x，其中a和b都是完全平方数。
4.加法法则：加法法则是一种有用的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a+b = x，其中a和b都是完全平方数。
5.减法法则：减法法则是一种常用的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a-b = x，其中a和b都是完全平方数。
6.指数规律：指数规律是一种常用的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a^2 = x，其中a是完全平方数。
7.分数规律：分数规律是一种比较复杂的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a/b = x，其中a和b都是完全平方数。
8.积分规律：积分规律是一种复杂的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a×b = x，其中a和b都是完全平方数。
9.多项式规律：多项式规律是一种常用的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：ax^2+bx+c=0，其中a,b,c都是完全平方数。
10.四平方和定理：四平方和定理是一种复杂的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a+b+c+d = x，其中a,b,c,d都是完全平方数。
11.指数公式：指数公式是一种复杂的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a^2+b^2+c^2 = x，其中a,b,c都是完全平方数。
运用公式法--完全平方公式一、教学目标1．使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法；2．理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力．二、重点和难点重点：运用完全平方式分解因式．难点：灵活运用完全平方公式分解因式．三、教学过程1．问：什么叫把一个多项式因式分解？我们已经学习了哪些因式分解的方法？2．把下列各式分解因式：(1)ax4-ax2； (2)16m4-n4．和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到a2+2ab+b2=(a+b)2； a2-2ab+b2=(a-b)2．问：下列各多项式是否为完全平方式？为什么？(1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2；(3)25x4-10x2+1； (4) 16a+1．例1 把25x4+10x2+1分解因式．例3 把-x2-4y2+4xy分解因式．例4把(x+y)2-6(x+y)+9分解因式．例5 把m2+10m(a+b)+25(a+b)2分解因式．例6 把下列各式分解因式：(1)3ax2+ 6axy+ 3ay2 ；(2)81m4-72m2n2+16n4．四、课堂练习1．填空：(1)x2-10x+( )2=( )2； (2)9x2+( )+4y2=( )2；2．下列各多项式是不是完全平方式？如果是，可以分解成什么式子？如果不是，请把多项式改变为完全平方式．(1)x2-2x+4； (2)9x2+4x+1； (3)a2- 4ab+4b2；3．把下列各式分解因式：(1)a2-24a+144； (2)4a2b2+4ab+1；4.把下列各式分解因式：(1)(x+y)2-10(x+y)+25；(2)-2xy-x2-y2；(3)ax2+2a2x+a3；(4)-a2c2-c4+2ac3；(5)(a+b)2-16(a+b)+64；(6)(x2+2x)2+2(x2+2x)+1；(7)(m2-6)2-6(m2-6)+9；(8)a4-8a2b2+16b4．五、小结六、作业(一)把下列各式分解因式：1．(1)a2+8a+16； (2)1-4t+4t2；2．(1)25m2-80m+64； (2)4a2+36a+81；(3)4p2-20pq+25q2； (4)16-8xy+x2y2；(5)a2b2-4ab+4； (6)25a4-40a2b2+16b4．3．(1)m2n-2mn+1； (2)7am+1-14am+7am-1；(二)把下列各式分解因式：(1)(x+y)2+6(x+y)+9；(2)a2-2a(b+c)+(b+c)2；(3)4-12(x-y)+9(x-y)2；(4)(m+n)2+4m(m+n)+4m2；(5)2xy-x2-y2； (6)4xy2-4x2y-y3；(7)3-6x+3x2；(8)-a+2a2-a3；(9)-4m2(a+b)2-12mn(a+b)-9n2；(10)(x+y)2-4(x+y)(p-q)+4(p-q)2．整式的乘除---因式分解教学案(运用公式法-完全平方公式) 2008.9.25。
公式法教学设计（二）
――完全平方公式
教学设计思想：
利用完全平方公式进行多项式的因式分解是在学生已经学习了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基础上进行的，因此在教学设计中，重点放在判断一个多项式是否为完全平方式上，采取启发式的教学方法，引导学生积极思考问题，从中培养学生的思维品质.
教学目标
知识与技能：
1．会用完全平方公式对多项式进行因式分解，提高分解因式的灵活性
2．提高全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力．
过程与方法：
3．经历用公式法分解因式的探索过程，进一步体会这两个公式在因式分解和整式乘法中的不同方向，加深对整式乘法和因式分解这两个相反变形的认识，体会从正逆两方面认识和研究事物的方法
情感态度价值观：
4．通过学习进一步理解数学知识间有着密切的联系。
教学重点和难点
重点：运用完全平方式分解因式.
难点：灵活运用完全平方公式分解因式.
关键：把握住因式分解的基本思路，观察多项式的特征，灵活地运用“换元”和“划归思想”
教学用具
多媒体或小黑板
课时安排
1课时
教学过程设计
一、复习
1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法?
答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法.
2.把下列各式分解因式：
(1)ax4－ax2(2)16m4－n4.
解(1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)
(2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2
=(4m2+n2)(4m2－n2)
=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n).
问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?
答：有完全平方公式.
请写出完全平方公式.
完全平方公式是：
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2.
这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.
二、新课
和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到
a2+2ab+b2=(a+b)2；a2－2ab+b2=(a－b)2.
这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式.
问：具备什么特征的多项式是完全平方式?
答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式.
问：下列多项式是否为完全平方式?为什么?
(1)x2+6x+9；(2)x2+xy+y2；
(3)25x4－10x2+1；(4)16a2+1.
答：(1)式是完全平方式.因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以x2+6x+9=(x+3)2.
(2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy.
(3)是完全平方式.25x4=(5x2)2，1=12，10x2=2·5x2·1，所以
25x4－10x2+1=(5x－1)2.
(4)不是完全平方式.因为缺第三部分.
请同学们用箭头表示完全平方公式中的a ，b 与多项式9x2+6xy+y2中的对应项，其中a=?b=?2ab=?
答：完全平方公式为：
a 2+2ab+
b 2=(a+b)2.
9x 2+6xy+y 2=(3x)2+2·(3y)·y+y 2=(3x+y)2.
a 2+2ab+
b 2=(a+b)2
其中a=3x ，b=y ，2ab=2·(3x)·y.
例1 把下列各式分解因式； （1）t 2＋22t ＋121； （2）m 2＋mn n 412-
（1）分析：这个多项式是由三部分组成，第一项“t 2”是t 的平方，第三项“121”是11的平方，第二项“22t ”是t 与11的积的2倍.所以多项式t 2＋22t ＋121是完全平方式，可以运用完全平方公式分解因式.
（2）问：请同学分析这个多项式的特点，是否可以用完全平方公式分解因式?有几种解法?
解：（1）t 2＋22t ＋121
=t 2＋2×11t ＋112
=（t ＋11）2；
（2）m 2＋mn n 412-
=m 2－2·m ·2
n 21n 2
1⎪⎭⎫ ⎝⎛+ =（m －21
n ）2
例2 把下列各式分解因式：
（1）ax 2＋2a 2x ＋a 3;
（2）（x ＋y ）2－4（x ＋y ）＋4;
（3）9m 2－6m ＋1－4n 2
解：（1）ax2＋2a2x＋a3
=a（x2＋2ax＋a2）
=a（x＋a）2；
（2）（x＋y）2－4（x＋y）＋4
=（x＋y）2－2·（x＋y）·2＋22
=（x＋y－2）2
（3）9m2－6m＋1－4n2
=（3m）2－2·3m·1＋1－（2n）2
=（3m－1）2－（2n）2
=（3m＋2n－1）（3m－2n－1）
注：例4让有学生自己完成，并找部分学生上台讲解，出现问题，老师及时给予纠正
三、课堂练习(投影)
1.填空：
(1)x2－10x+（）2=（）2；
(2)9x2+（）+4y2=（）2；
(3)1－（）+m2/9=（）2.
2.下列各多项式是不是完全平方式?如果是，可以分解成什么式子？如果不是，请把多
项式改变为完全平方式.
(1)x2－2x+4；(2)9x2+4x+1；(3)a2－4ab+4b2；
(4)9m2+12m+4；(5)1－a+a2/4.
3.把下列各式分解因式：
(1)a2－24a+144；(2)4a2b2+4ab+1；
(3)19x2+2xy+9y2；(4)14a2－ab+b2.
答案：
1.(1)25，(x－5) 2；(2)12xy，(3x+2y) 2；(3)2m/3，（1－m3）
2.
2.(1)不是完全平方式，如果把第二项的“－2x”改为“－4x”，原式就变为x2－4x+4，它是完全平方式；或把第三项的“4”改为1，原式就变为x2－2x+1，它是完全平方式.
(2)不是完全平方式，如果把第二项“4x”改为“6x”，原式变为9x2+6x+1，它是完全平方式.
(3)是完全平方式，a2-4ab+4b2=(a－2b)2.
(4)是完全平方式，9m 2+12m+4=(3m+2) 2.
(5)是完全平方式，1－a+a 2/4=（1－a2）2.
3.(1)(a －12) 2；(2)(2ab+1) 2；
(3)(13x+3y) 2；(4)（12a －b ）2.
四、小结
运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是：
1.首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，再运用完全平方公式把它进行因式分解.有时需要先把多项式经过适当变形，得到一个完全平方式，然后再把它因式分解.
2.在选用完全平方公式时，关键是看多项式中的第二项的符号，如果是正号，则用公式a 2+2ab+b 2=(a+b) 2；如果是负号，则用公式a 2－2ab+b 2=(a －b) 2.
五、作业
把下列各式分解因式：
1.(1)a 2+8a+16；(2)1－4t+4t 2；
(3)m 2－14m+49； (4)y 2+y+1/4.
2.(1)25m 2－80m+64； (2)4a 2+36a+81；
(3)4p 2－20pq+25q 2； (4)16－8xy+x2y 2；
(5)a2b 2－4ab+4； (6)25a 4－40a2b 2+16b 4.
3.(1)m 2n －2mn+1； (2)7am+1－14am+7am －1；
4.(1)41 x 2－4x ； (2)a 5+a 4+41
a 3.
答案：
1.(1)(a+4)2；(2)(1－2t)2；
(3)(m －7) 2；(4)（y+12）2.
2.(1)(5m －8) 2； (2)(2a+9) 2；
(3)(2p －5q) 2；(4)(4－xy) 2；
(5)(ab －2) 2； (6)(5a2－4b2) 2.
3.(1)(mn －1) 2； (2)7am －1(a －1) 2.
4.(1) 41
x(x+4)(x －4)； (2)14a 3 (2a+1) 2.
六、板书设计。
