溶质运移模型的有限元数值解

第32卷第1期吉首大学学报(自然科学版)Vol.32No .12011年1月Journ al of Ji shou Universit y (Nat ural Science Edit ion)J an.2011文章编号:1007-2985(2011)01-0026-04对溶质运移模型的并行化处理*邓永辉(湖南财政经济学院,湖南长沙410205)摘要:在了解和广泛收集前人研究资料的基础上,将并行算法引入到求解首采区卤水动态二维模型中关于溶质运移的问题中.把溶质运移方程按时间分裂法分成5个子方程,针对这5个子方程讨论了全域精细积分和子域精细积分的并行算法,给出了对流和扩散方程的子域精细积分并行算法.子域精细积分考虑了精细积分法高精度的特点,又避免了全域积分的大矩阵运算,其精度优于单点精细积分法.关键词:对流扩散方程;并行算法;偏微分方程中图分类号:O29文献标志码:A溶质运移模型的数值求解法主要包括有限元和有限差分法2种.由于有限差分法计算简单,物理意义直观,在溶质运移问题求解中得到普遍应用.但是,当对流项占优,即Peclet 数较高时,则出现数值波动和弥散.采用高阶的时间导数和空间导数离散逼近,并用极短的时间和空间步长求解,上游加权法可同时消除大部分的数值弥散,但求解效率却大大降低.总之,对差分法的改进,或消除了数值波动,或减少了数值弥散,仍然未能从根本上消除数值困难.与有限差分法相比,有限单元法比较灵活[1],求解精度高,因而成为早期求解溶质运移问题应用最广泛的数值法.1溶质运移数学模型通过几种简单模型的推导和分析,再结合首采区能引起浓度变化的各种因素,如对流、扩散、排泄、补给等等,可以导出最终目标模型如下:M(C t+V 1C x+V 2C y )=M (C x(D 11C x)+y (D 22C y))+Q(C q -C)+M f c.(1)(1)式只表明了浓度随时间变化的规律,要求出微分方程的解还需要一些定解条件,求出在特定条件下浓度的值,再计算区内边界条件如下:C(x,y,t)|t=0=C 0(x ,y),C(x,y,t)|1=C 1(x,y),M D n Cn |n=q c 2(x,y),12=,12=.其中:C 为浓度(mL -3);V 1,V 2为渗透速度(LT -1);D 11,D 22为弥散系数(L 2T -1);C q 为汇源项的浓度(mL -3);n 为外法线方向;f 为固液转化系数(T -1),若忽略固液转化作用,则f =0;C 0(x,y)为初始浓度分布函数(mL -3);C 1(x,y)为第1类边界1上的浓度分布函数(mL -3);q c 2(x,y)为第2类边界2上弥散通量分布函数(mT -1L -1);为渗流区;M 为含水层厚度(L);Q 为汇源补给项(LT -1);自由孔隙度率,即给水度,也就是从单位体积含水层中在重力作用下能够释放给出的水量所占该含水层体积的份数.*收稿日期基金项目国家科技攻关项目(B 6ZB )作者简介邓永辉(),女,湖南常德人,湖南财政经济学院讲师,硕士,主要从事应用数学领域研究:2010-11-24:2001A 0-09-1:1979-.2并行前的预处理多维的对流扩散方程,尤其当它为非线性和非定常的时候很难直接求解,而且在差分格式的选择上还有很大的局限性,即使得出结果,解的精度也不高.为了剔除这些不利因素,Yanenko 提出了一种利用时间分裂的概念[2],分步求解多维问题的方法.所谓时间分裂,笔者是这样理解的,即在某一固定的时间段内,一个物理或是化学过程中的若干反应所引起的效力,并不是同时完成的,而是存在主次先后之分.换句话说,在某一固定的时间段里,可以将一个物理或化学过程的每个子反应看成是互步相交的集合,而它们的并形成了这个时间段内完整的物理或化学过程的演变.因此,任意多维的问题都可以分解成若干个一维的偏微分方程,依次求解.对于方程(1),不步考虑排泄补给项和溶质的化学转换等,方程化为(C t +V 1C x +V 2C y)=(C x (D 11C x)+y(D 22C y))+S.(2)根据分步解法,方程(2)可以分裂成5个方程:C t=R r =1Q r (z -z r )(y -y r )(x -x r ),(3)C t =-V 1C x ,(4)C t =-V 2C x ,(5)C t =D 112C x 2,(6)Ct=D 112C y 2.(7)其中:()为Dirac 函数;Q r 为第r 个源头的源强;x r ,y r 和z r 为这个源的坐标.方程(3)为R 个源头对浓局度部变化C t 的贡献,(4)和(5)式为对流项对浓度局部变化Ct 的贡献,而(6)和(7)式为水平方向的扩散项对浓度局部变化C t的贡献.在对对流扩散方程采用时间分裂法,将多维的问题转换为5个一维的方程求解时,很大程度上增强了已知算法的可操作性.下面来研究一维扩散方程和一维对流扩散方程的并行化处理.3并行处理偏微分方程的精细时程积分法先在空间坐标上按差分法离散[3],而得到对时间的常微分方程组,然后采用全域精细积分法计算此方程组,可得到方程组的高精度解.这相当于给出了偏微分方程的半解析解.精细积分中指数矩阵T 的计算量很大,而T 的求解主要是矩阵乘法的运算.全域精细积分中,需要对矩阵运算进行并行化.文中使用的T ransputer 系统是分布式存储的多处理器系统,采用分块的矩阵乘法.变量较多时,全域精细积分的指数矩阵的存储量和计算量都很庞大.子域精细积分不需形成总体的指数矩阵,各子域的求解是相对独立的,计算量较大的指数矩阵求解可在各处理器中分别计算,它具有良好的并行计算的性质.3.1一维扩散方程的并行算法(1)全域精细积分的并行算法.考虑一维扩散方程C t =D 2Cx 2,当两端边界条件为0,用差分法在x 坐标方向离散后,可得到k +1=exp(H t)=exp(H t)k=Tk,(8)其中是常数矩阵,0是初值文献[]中给出了指数矩阵T 的精细计算方法T =x ()=[x ()]=[x (T)]=[I +T ],其中可选用=N 若是一不大的时间区段,则当N 并不很大时,=也将是一个非常小的时间27第1期邓永辉:对溶质运移模型的并行化处理H .4:e p H t e p H t/m m e p H m a m m 2.t t/m段.T 的计算相当于做N 次循环:T a =2T a +T a T a .(9)最后做T =I +T a ,这样可得到高精度的指数矩阵T =exp(Ht).Transputer 系统是分布式存储的并行多处理器系统,各处理器的数据由相互间的通讯得到.Fortr an 语言中数组的数据是按列存放的.为了通讯的方便和高效率,(9)式中矩阵的计算按列分块T a =(T a1,T a 2,,T an ).n 是处理器的数目.处理器i 中的矩阵计算为T ai =2T a i +T aT ai .由于相乘和相加是相同的T a 矩阵,因此计算时先将T a 阵分别送到各个处理器,各处理器计算T a i ;然后进行通讯得到新的完整的T a 矩阵;再将T a 阵送给各处理器,依次循环后,加上单位阵I 得最终的矩阵T.(8)式的时间步计算中,将T 阵按行分块T =(T 1,T 2,,T n ),k +1则分为n 段k +1=((k +11)(k +12)(k +1n)),k +1i=T ik,i =1,2,,n.由通讯收集得到k +1,再送给各处理器进行下一时间段的计算.(2)子域精细积分的并行算法.当未知数增多时,全域精细积分法指数矩阵的存储量和计算量都将迅速增加,这会影响到其解题的规模和效率.当时间步长t 很小时,指数矩阵T 是近似窄带宽的.因此,文献[5]提出了子域精细积分的方法,这可以使存储量和计算量大幅度下降.考虑子域的非齐次微分方程组,其向前精细积分格式为v n +1j=Tv n j +(T -I )H -1f njj =1,2,,J.(10)蛙跳格式为T(2t)=exp(2Ht),v n -1j=Tv n j +(T -I )H -1f n j j =1,2,,J.(11)格式(10)是一阶时间精度,格式(11)则是二阶时间精度,而两者的计算量几乎是一样的.当各子域划分相同时,只需计算1组T 和H -1阵.T 阵的并行算法与全域精细积分的相同,H -1阵的计算采用分块的Gauss Jordon 算法.将H 按列分块送到各处理器:H =(H 1,H 2,,H n).设有m 个内点.从H 阵的第1列到最后的第m 列依次计算.计算第j 列时,j 列所在的第I 个处理器从第j列选主元.第I 个处理器将选出的主元行号k 及第j 列向量a 送到每个处理器.各处理器交换H 阵中的第j,k 2行:tmp =H ijt ,H ijt =H ik l ,H ik l =tmpl =1,,m;i =1,,n.选出的主元行号存储于一维数组M 中.然后进行消去运算.设H 阵的第j 列在H i 阵中为第p 列,则第I 个处理器中的算法为:H Ijp =1/a j ,H It p =-a l /a j l =1,,j -1,j +1,,m;H I jl =H I jl /a jl =1,,p -1,p +1,,m I ;H Iq l =H Iq l -H Ijl a qq =1,,j -1,j +1,,m,l =1,,p -1,p +1,,m I .其他处理器中的算法为:H I jl =H I jl /a jl =1,,m i ,i =1,,n;H Iq l =H Iq l -H Ijl a qq =1,,j -1,j +1,,m,l =1,,m i ,i =1,,n.H 阵是按列存在各处理器中,交换的通讯量很大,可将各处理器中的H i 送到主控程序[4],由主控程序进行最后的列交换,得到逆阵H -1.再将T 和H -1阵送回各处理器.向量按照子域划分情况送到各处理器,按(10)或(11)式计算各子域的v n +1j .将v n +1j 中与其他子域重合部分的分量送出,同时接收其他处理器计算的这几个分量,并取平均值作为计算结果.3.2对流扩散方程的并行算法考虑更一般的一维对流扩散方程=D x x,()为改进差分法的数值精度和稳定性,文献[]给出了对流扩散方程的单点精细积分算法由方程()的28吉首大学学报(自然科学版)第32卷ut2u2-v u 124.122个通解u =常数和u =x -v t ,得到在空间坐标上离散的微分方程[5].u 0j =c 1u j-1-c 2u j +c 3u j+1.(13)(13)式的单点蛙跳格式为u n +1j =[u n -1j -(c 3u n j+1+c 1u n j -1)/c 2]exp(-2c 2t)+(c 3u n j+1+c 1u nj -1)/c 2.(14)此格式具有二阶时间精度,并且是无条件稳定的.为提高精度,可以采用多内点的子域精细积分算法.利用蛙跳格式(14),考虑3个内点的子域,其非齐次微分方程组是u 0j -1u 0j u 0j +1=-c 2c 30c 1-c 2c 30c 1-c 2u j -1u jj j+1+c 2u j-2c 3u j+2j =1,2,,J.(15)u j-2和u j +2作为常数,在t 时间段内是不变的,可以从相邻子域中得到这2点的值.采用与(10),(11)式相同的格式计算方程(15).当在空间坐标作等距离的离散,并且各子域内点相同时,T j 和H -1j 是相同的,则只需计算1组[6];算法与前相同.使用不同划分的子域时,先将向量x 按划分的子域分段地送到各处理器,各处理器计算各系数,并组装得到H j 矩阵;然后计算H -1j和T j .这一步计算量较大,且不需通讯,是大粒度的.4结语精细积分法有很高的计算精度,不论是全域积分还是子域积分都有很好的并行性,在并行机系统上可充分发挥其效能.其中子域积分法有更大的优点,它克服了全域积分矩阵过大的弱点,又可以提高计算的精度.在并行计算中能方便地将各子域放到各处理器中,算例表明此算法是高效率的.增加内点数加大了指数矩阵和每个时间步的计算量,但能够提高精度,所以应适当地选择子域的大小.参考文献:[1]王文科.地下水有限分析数值模拟的理论与方法[M].西安:陕西科学技术出版社,1996:102-126.[2]ROACH E P putational Fluid Dynam ics [M].H ermosa,Albuquer que,New Mcxico,1976:446.[3]孙纳正.地下水污染数学模型和数值方法[M].北京:北京地质出版社,1989.[4]钟万勰.子域精细积分及偏微分方程数值解[J].计算结构力学及其应用,1995,12(3):253-260.[5]罗焕炎,陈雨孙.地下水运动的数值模拟[M].北京:中国建筑工业出版社,2001.[6]DURBIN F.Numer ical Inver sion of Laplace Tr ansfor m:An Efficient Improvement to Dur bner and Aba re s Method [J].Comp.J,1973,17:371-376.Parallel Algorithms for a Solute Transport ModelDENG Yong hui(H unan Univer sity of Finance and Economics,Changsha 410205,China)Abstr act:This paper pr esents the parallel algorithms of precise integration methods.The subdomain par allel algorithms of pr ecise integration of convection diffusion equations are given.T he method take advan tage of the high precision of precise integration methods,and they also avoid a large amount of matr ices calculation of whole domain methods.The precision of the methods is better than that of the single point integration.Key words:convection diffusion equations;parallel algorithm;partial differential equations(责任编辑向阳洁)29第1期邓永辉:对溶质运移模型的并行化处理。

第24卷第3期2008年5月水资源保护W ATER RES OURCES PROTECTI ON V ol.24N o.3May 2008 基金项目:国家自然科学基金(50679025);教育部新世纪优秀人才支持计划(NCET Ο04Ο0492);高等学校学科创新引智计划(B08048)作者简介:马建良(1982—),男,山东乐陵人,硕士研究生,研究方向为地下水数值模拟。

E 2mail :maliang @ 一维变密度溶质运移实验及参数推求马建良1,陈　喜1,程勤波2,宋　轩2,鲍振鑫2(1.河海大学水文水资源与水利工程科学国家重点实验室,江苏南京　210098;2.河海大学水文水资源学院,江苏南京　210098)摘要:通过室内土柱注水实验,观测沙质土壤中氯离子浓度的变化过程。

以变密度水流连续性方程、溶质运移方程和达西方程为基础,运用有限单元法和差分法对这3个方程进行联立求解,建立了一维变密度水流和溶质运移数值模型。

利用实验数据反求变密度渗透系数、弥散系数等水动力参数。

关键词:变密度水流;一维对流—弥散方程;土柱实验;海水入侵中图分类号:O351.2 文献标识码:A 文章编号:1004Ο6933(2008)03Ο0008Ο04Identification of hydrodynamic parameters based on one 2dimensional variable density and solute transport numerical modelMA Jian 2liang 1,CHEN Xi 1,CHENG Q ing 2bo 1,SONG Xuan 2,BAO Zhen 2xin 2(1.State K ey Laboratory o f Hydrology 2Water Resources and Hydraulic Engineering ,Hohai Univer sity ,Nanjing 210098,China ;2.College o f Hydrology and Water Resources ,Hohai Univer sity ,Nanjing 210098,China )Abstract :The concentration of chloride ions in sandy s oil was observed through water 2filling s oil column tests in the laboratory.A one 2dimensional numerical m odel for groundwater f1ow of variable density and s olute transport was developed on the basis of equations of variable density groundwater flow and s olute transport as well as Darcy ’s Law.The equations were s olved using the finite element and finite difference methods.The hydrodynamic parameters for variable density flow ,such as infiltration coefficients and dispersion coefficients ,were calibrated against the observed data.K ey w ords :variable density groundwater f1ow ;one 2dimensional convection 2diffusion equation ;s oil column experiment ;seawater intrusion 20世纪70年代以来我国沿海地区陆续出现海水入侵。

地下水溶质运移数值模型(资料性附录)水是溶质运移的载体，地下水溶质运移数值模拟宜在地下水流场模拟基础上，因此地下水溶质运移数值模型包括水流模型和溶质运移模型两部分。

DJ 地下水水流模型非均质、各向异性、空间三维结构、非稳定地下水流系统:1)控制方程σ∂h ∂hy 3(“∂h}∂(∂h ∖S,—=—K v —+—K Y —+—K ——+/∂t 3xI ∂x)为('∂y JAzI ~∂z)式中：SS 一一给水度［I/］；h --- 水位［1］；Kχf Ky,Kz ——分别为X,y,Z 方向上的渗透系数［EΓ∣］;T 一一时间［T ］；Qs 一一源汇项m注：方括号［］中的符号为量纲，以下同。

2)初始条件h(x y y 9z y t)=Zz 0(x,y,z)(x,y,z)∈Ω,/=O 式中：4*，y ，z)——已知水位分布：Q ——模型模拟区。

3)边界条件：第一类边界： 〃(x,y,z√)∣「=Λ(x,y,z√)(x,y,z)∈Γ1,r≥O式中：r '一一类边界； h(x,y,z,t)一一类边界上的己知水位函数。

第二类边界：式中：「2 --- 二类边界;∂nq(x,y,Z) (x,y,z)∈Γ2κ——三维空间上的渗透系数张量;nn——边界r2的外法线方向；q(x,y t z)——二类边界上已知流量函数。

第三类边界：r(k(h-z)-+ah)=q(x,y,z)加r3式中：0一一系数；「3一—二类边界；k一一三维空间上的渗透系数张量；n——边界G的外法线方向;q(x,y f z)——三类边界上已知流量函数。

D.2地下水水质模型1)控制方程R啜喘［吗(他C)Fe—/〜元式中：R——迟滞系数，无量纲Pb SC~Θ~∂Cph——介质密度IM1-3］；θ——介质孔隙度，无量纲；C——组分的浓度［M1，］；亍一一介质骨架吸附的溶质浓度［M1，］；t——时间［T］；X,y,Z一—空间位置坐标［1］；Dij——水动力弥散系数张量［1?T」］；Vi——地下水渗流速度张量［EΓ∣］;q s——源和汇［T∣］;CJ一一源或汇水流中组分的浓度［M1"；4一一溶解相一级反应速率［T」］；4一一吸附相一级反应速率［Tj］。

变异Henry问题检验网格Peclet数在数值计算中的重要性马倩;李海龙【摘要】有限元法是求解地下水流和溶质运移对流-弥散方程的常用数值方法,它可以精确高效地处理以弥散为主的问题,但求解以对流为主的问题易引起显著的数值振荡.通过Galerkin有限元法对变异Henry问题进行模拟求解,得到了用不同的剖分网格及水动力弥散系数时,在特选节点处的浓度穿透曲线,分析并找到了浓度振荡的原因及合适的消除方法,即若出现浓度数值解在某值附近振荡,可以通过加密网格或增加水动力弥散系数将其消除.模拟结果及其分析表明:即使是研究区域相同,不同的边界条件、不同的水动力弥散系数对网格精度的要求不同;换言之,同一网格对不同模型参数的有效性也不同.网格Peclet数能够有效地判定给定的网格剖分是否会引起浓度振荡,对有限元法数值计算的网格剖分具有指导意义.【期刊名称】《水文地质工程地质》【年(卷),期】2014(041)003【总页数】5页(P1-5)【关键词】浓度振荡;有限元法;变异Henry问题;Peclet数;网格剖分【作者】马倩;李海龙【作者单位】生物地质与环境地质国家重点实验室/中国地质大学(北京)水资源与环境学院,北京 100083;地下水循环与环境演化教育部重点实验室/中国地质大学(北京),北京 100083;生物地质与环境地质国家重点实验室/中国地质大学(北京)水资源与环境学院,北京 100083;地下水循环与环境演化教育部重点实验室/中国地质大学(北京),北京 100083【正文语种】中文【中图分类】P641.2有限元法作为求解地下水流和溶质运移对流-弥散方程的常用数值方法，在水流模拟中有很多优点。

它有固定的网格，通常满足质量守恒定律;可以精确、高效地处理以弥散为主的问题;便于编写程序并得以实现等［1］。

但是，对于许多野外常见的以对流为主的问题，求解易引起显著的数值振荡。

为此，许多学者进行了大量的计算实践和理论分析指出［2］:对于以对流占优的溶质运移问题，有限差分法和有限元法计算时皆不可避免地出现数值振荡。

中国海洋大学硕士学位论文二维地下水溶质运移耦合方程组的差分方法姓名：***申请学位级别：硕士专业：计算数学指导教师：***201206二维地下水溶质运移耦合方程组的差分方法摘要本文分析二维地下水溶质运移数学模型的控制方程，在此基础上，建立了求解控制方程的交替方向隐式差分格式。

古典显格式由于稳定性，在时间上限制很大；隐式差分格式和中心差分法需要求解多个未知量，导致计算时占用内存大，求解困难；本文采用的交替方向差分法，每层分两步计算，每步只需求解一个三对角方程组，在计算规模上相当于一维的计算量，并且它与隐式格式有相同的稳定性。

其次控制方程含有非线性系数，为了高精度地模拟模型，本文对非线性系数用三次样条插值逼近，提高了计算精度。

通过数值算例比较证明本文方法可以对地下水溶质运移进行有效的模拟，对解决此类非线性问题有参考价值。

最后分析了线性的溶质运移方程的稳定性。

文章由三部分组成：第一部分为前言。

介绍了地下水模型和求解地下水问题的数值方法的背景和发展状况，以及本文的主要研究内容。

第二部分为地下水溶质运移模型分析。

在这一部分里，介绍了地下水基本假设和根据均衡单元体的质量守恒建立地下水运动的连续方程和溶质运移方程。

再根据二维潜水问题的Ｄｕｐｕｉｔ假设，最终形成二维问题的模型。

还对方程中涉及到的参数做了详细的分析。

第三部分为二维地下水模型的有限差分方法。

给出方程的交替方向差分格式和二维时的三次样条插值计算。

对于方程非线性系数我们介绍了两种方法进行逼近，通过数值算例证明两层平均的三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值逼近更有效。

最后分析了线性的溶质运移方程的稳定性。

关键词：地下水连续方程；溶质运移方程；交替方向差分方法；样条插值；稳定性；二维地下水溶质运移耦合方程组的差分方法ＡＤＩｄｉ如ｒｅｎｃｅｍｅｔｈｏｄｆｏｒＣＩｌｍｅｎＳｌｏｎａＩｇｒｏｕｎｄｗａｔｅｒｃｏｕｐｌｅｄｓｙｓｔｅｍｏｆｔｗｏａｎｄｓｏｌｕｔｅｔｒａｎｓｐｏｒｔＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｉｓｐａｐｅｒａｎａｌｙｚｅｓｔｈｅｃｏｎｔｒｏｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｏｆｔｗｏ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｇｒｏｕｎｄｗａｔｅｒｓｏｌｕｔｅｔｒａｎｓｐｏｒｔ．Ｏｎｔｈｉｓｂａｓｉｓ，ｗｅｅｓｔａｂｌｉｓｈａｌｔｅｒｎａｔｉｎｇｄｉｒｅｃｔｉｏｎｉｍｐｌｉｃｉｔｄｉｆｆｅｒ—ｅｎｃｅｓｃｈｅｍｅｏｆｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｃｌａｓｓｉｃａｌｅｘｐｌｉｃｉｔｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｓｃｈｅｍｅｄｕｅｓｔｏｔｈｅｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅｔｉｍｅｌｉｍｉｔ；Ｔｈｅｉｍｐｌｉｃｉｔｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｓｃｈｅｍｅｏｒｃｅｎｔｒａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｍｅｔｈｏｄｒｅ—ｑｕｉｒｅｓｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｑｕｉｔｅａｌｏｔｏｆｕｎｋｎｏｗｎｖａｒｉａｂｌｅｓ，ａｎｄｔｈｅｎｌｅａｄｓｔｏｓｏｌｖｉｎｇｄｉｆｆｉｃｕｌｔｌｙ；Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ：ｔｈｅａｌｔｅｒｎａｔｉｎｇｄｉｒｅｃｔｉｏｎｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｍｅｔｈｏｄｉｓｕｓｅｄ．Ｅａｃｈｌａｖｅｒｉｓｄｉｖｉｄｅｄｉｎｔｏｔｗｏｓｔｅｐｓａｓｗｅｌｌａ８ｅｖｅｒｙｓｔｅｐｓｉｍｐｌｙｎｅｅｄｓｔｏｓｏｌｖｅｓａｔｒｉｄｉａｇｏｎａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｉｎｔｈｅｓｃａｌｅｏｆｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ，ｉｔｉｓｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｔｏｏｎｅ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ．Ａｎｄｈａｓｔｈｅｓａｍｅｓｔａｂｉｌｉｔｙｗｉｔｈｔｈｅｉｍｐｌｉｃｉｔｓｃｈｅｍｅ．Ｓｅｃｏｎｄｌｙ，ｔｈｅｃｏｎｔｒｏｌｅｑｕａｔｉｏｎｃｏｎｔａｉｎｓｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ，ｔｈｅｃｕｂｉｃｓｐｌｉｎｅｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎｉｓｕｓｅｄｔｏａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｉｔｉｎｏｒｄｅｒｔｏｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎａｃｃｕｒａｃｙ．Ｔｈｅｎｕｍｅｒ—ｉｃａｌｅｘａｍｐｌｅｓｈａｓｐｒｏｖｅｄｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄｃａｎｂｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｔｏｓｉｍｕｌａｔｅｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｓｏｌｕｔｅｔｒａｎｓｐｏｒｔｉｎｇｒｏｕｎｄｗａｔｅｒ．Ｔｈｉｓａｒｔｉｃｌｅｈａｓｒｅｆｅｒｅｎｃｅｖａｌｕｅｔｏｓｏｌｖｅｓｕｃｈｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｓｓｕｅ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｗｅａｎａｌｙｚｅｔｈｅｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅｌｉｎｅａｒｓｏｌｕｔｅｔｒａｎｓｐｏｒｔｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｔｈｅａｒｔｉｃｌｅｃｏｎｓｉｓｔｓｏｆｔｈｒｅｅｐａｒｔｓ：Ｔｈｅｆｉｒｓｔｐａｒｔｉｓｔｈｅ－ｐｒｅｆａｃｅ．Ｉｔｄｅｓｃｒｉｂｅｓｔｈｅｂａｃｋｇｒｏｕｎｄａｎｄｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆｎｕｍｅｒｉｃａｌｍｏｄｅｌｉｎｇｒｏｕｎｄｗａｔｅｒ．Ｉｎａｄｄｉｔｉｏｎ，ｔｈｉｓｓｅｃｔｉｏｎｇｉｖｅｓｔｈｅｍａｉｎｃｏｎｔｅｎｔｓｏｆｔｈｉｓａｒｔｉｃｌｅ．Ｔｈｅｓｅｃｏｎｄｐａｒｔｉｓｔｈｅｓｏｌｕｔｅｔｒａｎｓｐｏｒｔｍｏｄｅｌｉｎｇｒｏｕｎｄｗａｔｅｒ．Ｉｎｔｈｉｓｓｅｃ—ｔｉｏｎ，ｉｔｐｒｅｓｅｎｔｓｔｈｅｂａｓｉｃａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｓｏｆｇｒｏｕｎｄｗａｔｅｒ．Ａｎｄｗｅｅｓｔａｂｌｉｓｈｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｇｒｏｕｎｄｗａｔｅｒｆｌｏｗａｎｄｔｈｅｓｏｌｕｔｅｔｒａｎｓｐｏｒｔａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｍａｓｓｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍｕｎｉｔｃｅｌｌ．ＯｎｔｈｅｂａｓｉｓｏｆＤｕｐｕｉｔａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ，ｗｅｕｌｔｉｍａｔｅｌｙｆｏｒｍａｔｔｗｏ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｍｏｄｅｌ．Ｆｉｎａｌｌｙｗｅｍａｋｅａｄｅｔａｉｌｅｄａｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅｐａｒａｍｅｔｅｒｓｉｎｖｏｌｖｅｄｉｎｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｔｈｅｔｈｉｒｄｐａｒｔｉｓｔｈｅｆｉｎｉｔｅｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｍｅｔｈｏｄｏｆｔｗｏ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｇｒｏｕｎｄ—ｗａｔｅｒｍｏｄｅｌ．ＩｔｇｉｖｅｓｂｏｔｈｔｈｅａｌｔｅｒｎａｔｉｎｇｄｉｒｅｃｔｉｏｎｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｆｏｒｍａｔｏｆｔｈｅⅨｏｆｔｗｏ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ．Ｗｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｅｑｕａｔｉｏｎｓａｎｄｔｈｅｃｕｂｉｃｓｐｌｉｎｅｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎｔｗｏｍｅｔｈｏｄｓｔｏａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔａｎｄｎｕｍｅｒｉｃａｌｅｘａｍｐｌｅｓｐｒｏｖｅｔｈａｔｔｈｅｓｅｃｏｎｄｍｅｔｈｏｄｉｓｍｏｒｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｉｓｐａｐｅｒａｎ—ａｌｙｚｅｓｔｈｅｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅｌｉｎｅａｒｓｏｌｕｔｅｔｒａｎｓｐｏｒｔｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｇｒｏｕｎｄｗａｔｅｒｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙｅｑｕａｔｉｏｎ；ｓｏｌｕｔｅｔｒａｎｓｐｏｒｔｅｑｕａ－ｔｉｏｎ；ａｌｔｅｒｎａｔｉｎｇｄｉｒｅｃｔｉｏｎｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｍｅｔｈｏｄ；ｓｐｌｉｎｅｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ；ｓｔａ－ｂｉｌｉｔｙ；Ｘ第１章前言１．１背景介绍地下水是全球水资源的重要组成部分，在社会经济发展中发挥着重要的作用。

非饱和带溶质运移问题的SUPG有限元解法
高俊合;朱学愚;赵维炳
【期刊名称】《河海大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】1998(000)001
【摘要】ＳＵＰＧ有限元法应用于土体的非饱和溶质运移问题，导出了其数值表达式，编制了计算程序。

以一维入渗问题为例进行了数值计算，与其他方法及野外试验结果进行了对比，表明该方法是正确的、稳定的，可用于非饱和带溶质运移问题的实际计算。

【总页数】5页(P54-58)
【作者】高俊合;朱学愚;赵维炳
【作者单位】河海大学岩土工程研究所;南京大学地球科学系
【正文语种】中文
【中图分类】P641.2
【相关文献】
1.非饱和流动问题的SUPG有限元数值解法 [J], 朱学愚;谢春红;钱孝星
2.超音速粘性流动的SUPG有限元数值解法 [J], 徐国群;张国富
3.饱和水流溶质运移问题数值解法综述 [J], 成建梅;胡进武
4.N-S方程SUPG有限元解法 [J], 熊杰;俞守勤
5.非饱和土壤中溶质运移对流占优问题的通量校正运移解法 [J], 徐绍辉;张佳宝;刘建立
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二维地下水溶质运移耦合方程组的差分方法的开题报告一、研究背景地下水对于很多领域的人来说是一个至关重要的资源，其中包括农业、工业和城市居民供水等。

越来越多的人开始关注和研究地下水的管理和保护。

地下水流和溶质运移是地下水研究中的两个重要方面。

为了更好地理解这些过程，建立数学模型是必不可少的。

二维地下水溶质运移耦合方程组是研究地下水流和地下水溶质运移相互作用的数学模型，对于解决地下水污染和地下水资源管理等问题至关重要。

目前，该方程组的差分方法是最常用的解决方法，因为它是一种简单而有效的数值求解技术。

因此，本研究旨在对二维地下水溶质运移耦合方程组的差分方法进行深入研究和探讨，以更好地理解这个模型和提高数值计算的精度和速度。

二、研究内容本研究将主要涉及以下几个方面：1. 理论分析：通过对二维地下水溶质运移耦合方程组的理论分析，深入了解该模型的特点和解决方法，为后面的数值计算提供基础。

2. 差分方法探究：对现有的差分方法进行分析和比较，选取最优的差分方法用于数值计算。

同时，也将尝试开发一种新的差分方法，以提高计算精度和效率。

3. 数值计算的实现：通过编写程序实现差分方法，对数值结果进行验证和影响分析，以对差分方法的优缺点和适用范围进行评估。

4. 应用案例分析：选取一些典型应用案例进行分析，以验证差分方法的适用性和精度。

同时，也将探讨如何在实际应用中进行该模型的参数确定。

三、研究意义本研究的意义主要有以下几个方面：1. 通过数学建模和数值方法开发，可以更好地理解和研究地下水溶质运移的过程，为地下水污染控制和地下水资源管理提供基础数据和技术支持。

2. 探究差分方法，可以提高数值计算精度和效率，为地下水模型的研究和应用提供更加准确的数据和预测。

3. 应用案例分析，可以对模型参数的确定和模型应用的可行性进行评估，为实际应用提供指导和支持。

四、研究方法本研究将应用理论分析和数值计算相结合的方法来完成研究任务。

主要研究方法包括：1. 理论分析：通过文献调研，研究二维地下水溶质运移耦合方程组的数学模型，探讨不同差分方法的数学原理和优缺点。

地下水溶质运移数值法和解析法预测结果对比分析--以沾化电厂为例刘志涛;周群道;杨建华【摘要】At present, numerical method and analytical method are the methods most commonly used for solving groundwater problems. Although numerical method has been widely used for its wide applicability and higher simu-lation, the analytical method has been one of the first choice for its simple and easy to use. Taking Zhanhua power plant as an example, the pollution caused by long term and short term leakage of pollutants have been predicated in this paper. The application suitability of the analytical method in the study area has been discussed based on ana-lyzing the differences between the predictions results gained by using two methods. It will provide reference for the application of this method.%数值法和解析法是当前解决地下水流和溶质运移问题最常用的两种方法，虽然数值法以其广泛的适用性和较高的仿真性等优点取得了越来越普遍的应用，但解析法也以其简单易用等特点一直成为首选方法之一。

多重网格--特征有限元方法计算地下水溶质运移问题
魏保军;孙会霞
【期刊名称】《工程数学学报》
【年(卷),期】2004(021)004
【摘要】本文用多重网格特征有限元方法求解溶质运移问题,有效的克服了通常数值方法中数值弥散、计算速度慢、计算量大等缺点.
【总页数】6页(P561-566)
【作者】魏保军;孙会霞
【作者单位】郑州大学系统科学与数学系,郑州,450052;郑州大学系统科学与数学系,郑州,450052
【正文语种】中文
【中图分类】O242.21
【相关文献】
1.混合拉普拉斯变换有限单元法计算二维地下水溶质运移问题 [J], 任理
2.几乎不可压缩线性弹性问题的多重网格Uzawa型混合有限元方法 [J], 葛志昊;葛媛媛
3.利用熵格式计算地下水溶质运移方程 [J], 陈荣三; 王凡芮; 邹敏
4.计算地下水中溶质运移的时间分裂Eulerian—Lagrangian有限差分法 [J], 张效先;张志刚;李法虎
5.地下水水质污染问题数学模型的混合元—特征有限元方法 [J], 杨守志;杨晓忠因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

水流及溶质运移数值模型的构建英文回答：Water flow and solute transport numerical models are essential tools for studying and predicting the movement of water and dissolved substances in various natural and engineered systems. These models help us understand how water and solutes move through soil, groundwater, rivers, and other water bodies, and can be used to make informed decisions regarding water resource management, environmental remediation, and agricultural practices.To construct a numerical model for water flow and solute transport, several key components need to be considered. First, the physical properties of the system, such as soil type, hydraulic conductivity, and porosity, need to be characterized. This information is crucial for accurately representing the flow of water through the system.Next, the governing equations that describe the flow of water and solute transport need to be formulated. For water flow, the commonly used equation is the Richards equation, which is a partial differential equation that describes the movement of water in unsaturated porous media. This equation takes into account factors such as gravity, capillary forces, and the hydraulic conductivity of the soil.For solute transport, the advection-dispersion equation is typically used. This equation considers the advection of solutes with the water flow, as well as the dispersion caused by molecular diffusion and mechanical dispersion. Additional terms can be included to account for other processes such as sorption, degradation, and reactions.Once the governing equations are established, they need to be discretized in both space and time to solve them numerically. This involves dividing the system into a grid or mesh and approximating the equations at discrete points. Various numerical methods, such as finite difference,finite element, or finite volume methods, can be used forthis purpose.Boundary and initial conditions also need to be specified to solve the numerical model. These conditions define the starting state of the system and how itinteracts with its surroundings. For example, in a groundwater flow model, the initial condition could be the water table elevation, and the boundary conditions could be specified as no flow or a specified head at certain boundaries.After solving the numerical model, the results can be analyzed to gain insights into the behavior of water flow and solute transport in the system. This can include evaluating the distribution of water and solute concentrations, tracking the movement of contaminants, and assessing the effectiveness of different management strategies.In conclusion, constructing a numerical model for water flow and solute transport involves characterizing the physical properties of the system, formulating thegoverning equations, discretizing them, specifying boundary and initial conditions, solving the model numerically, and analyzing the results. These models are powerful tools for studying and managing water resources, and theirapplication can lead to more sustainable and efficientwater management practices.中文回答：水流和溶质运移数值模型是研究和预测水和溶质在各种自然和工程系统中运动的重要工具。

专利名称：模拟地下水溶质运移的新型有限体积多尺度有限元方法
专利类型：发明专利
发明人：谢一凡,谢镇泽,吴吉春,鲁春辉,叶逾,徐腾,常勇,谢春红
申请号：CN202010667836.2
申请日：20200713
公开号：CN111914447A
公开日：
20201110
专利内容由知识产权出版社提供
摘要：本发明公开了一种模拟地下水溶质运移的新型有限体积多尺度有限元方法，步骤为：设定粗、细网格单元的尺度，将研究区域剖分粗网格单元，获得多尺度网格；以多尺度网格的粗网格单元上的每一未知节点为基点，连接其周围粗网格单元的中心，获得有限体积网格；求解基于弥散系数的退化椭圆方程以构造多尺度基函数，基于Fick定律构造弥散速度矩阵；在每一有限体积网格上对溶质运移方程进行积分，通过弥散速度矩阵表示弥散项和对流项，获得有限体单元浓度方程；应用QR分解法获得粗尺度浓度值，通过弥散速度矩阵获得细尺度弥散速度值。

本发明能够高效模拟多种不同条件下的溶质运移问题，并能有效处理对流占优情况。

申请人：河海大学,南京大学
地址：210098 江苏省南京市鼓楼区西康路1号
国籍：CN
代理机构：江苏圣典律师事务所
代理人：贺翔
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溶质运移模型的有限元数值解邓永辉;邓永红【摘要】In the paper, the hybrid laplace transform finite element method was used for solving solute transport problems of dynamic two-dimensional model of brine water in the first exploitation area, which can limitedly eliminate numerical diffusion and overdo phenomena from the solving convection dominated underwater solute transport problems, whose advantages were one step and local solving. And the method was used for convective diffusion equation which have first derivative to test the numerical effectiveness and the capability to solve solute transport model.%将混合拉普拉斯变换有限单元法引入到求解首采区卤水动态二维模型的溶质运移问题中,能够有限地消除在求解对流占优的地下水溶质运移问题时产生的数值扩散和过量的现象,具有一步到位、局部求解的优点,最后将该方法应用到具有空间一阶导数项的对流弥散方程,以检验该方法的数值有效性和求解溶质运移模型的能力.【期刊名称】《海南大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(029)001【总页数】5页(P25-28,32)【关键词】对流扩散方程;拉普拉斯变换;混合法【作者】邓永辉;邓永红【作者单位】湖南财政经济学院,湖南,长沙,410205;湖南财政经济学院,湖南,长沙,410205【正文语种】中文【中图分类】O35察尔汗盐湖首采区含水介质为石盐层，高浓度卤水溶液(矿化度300～450 g·L－1)在这种易溶岩介质中的溶质运移涉及到一个突出的问题是卤水与介质间的物相转化即固液转化问题［1－2］.而对于在开采过程中卤水与易溶介质之间的固液转化问题，由于涉及到矿床地质、水文地质、物理化学、地球化学、多孔介质水动力弥散理论及水盐体系相图原理等多方面的知识，目前国内外尚无可借鉴的经验和理论依据.1.1 对流扩散方程在建立目标模型之前先了解一下一维单向的流场的对流扩散方程［1］.对于一维的对流扩散模型，可以用质量守衡方程求出微分方程解等方法来确定.周期一个长为Δx圆柱形内物质迁移表示为其中，Dl为扩散系数(l表示扩散方向)，U为真实渗透速度，C为液体浓度.1.2 二维对流扩散方程从二维流的渗流场中割离出一个微分单元体，该单元的宽度为Δx，长度为Δy，厚度为M.水沿x轴方向从左面流入单元体;沿y轴方向从前流入.经时段Δt后分别经Δx，Δy 从对面流出.考察渗流引起的浓度变化:a)顺x轴方向由渗流引起物质迁移即渗流扩散模型，可用质量守衡方程求出微分方程解等方法来确定.在长为Δx的单元体内物质迁移可表示为其中，为扩散通量，其方向与浓度梯度方向相反，即负号的含义;M为含水层厚度(L);μ为自由孔隙度率，即给水度，也就是从单位体积含水层中在重力作用下能够释放给出的水量所占该含水层体积的份数.b)顺y轴方向由渗流引起物质迁移即渗流扩散模型，可用质量守衡方程求出微分方程解等方法来确定.在长为Δy的单元体内物质迁移可表示为c)输入输出可以包括弥(扩)散和对流引起的现象.式(3)和(4)被截面积和Δt去除后，使后二项系数为零，即除以ΔxΔyΔt分别可得到以下方程1.3 汇源补给项和固液转化项计算区含水层垂直向交换量包括大气降水补给量、晶间卤水蒸发量、渠系采卤(回渗)量和下伏含水层的越流补给量.汇源补给量引起的浓度变化=CQ－C.溶质运移方程中固液转化是人们长期探索的问题之一，笔者对此不作太多的研究，假设固液转化系数f是常数，也就是说假设由于固液转化带来的浓度变化MμfC为常量.一般来讲，研究固液转化的方法主要是非平衡化学法，假定地下水系统中有几种不同的物理﹑化学和生物化学作用过程，用平衡化学法判断这些作用是否平衡，用反应动力学描述固液转化速率.但在目前，非化学平衡法还处于探索阶段，尤其对高浓度卤水的计算，还没有一种较为成熟的方法.1.4 最终数学模型通过上述几种简单的模型的推导和分析，再结合首采区能引起浓度变化的各种因素，如对流、扩散、排泄、补给等等，可以导出最终目标模型其中，V1，V2为渗透速度(L·s－1);D11，D22为弥散系数(L2·s－1).式(10) 只表明浓度随时间的变化的规律，要求出微分方程的解还需要一些定解条件，求出在特定条件下浓度的值，在计算区内边界条件如下将HLTFEM求解思路引入到察尔汗盐湖采卤方案中溶质运移的计算，尽管HLTFEM严格受限于稳定流场线性溶质传输，但是在察尔汗盐湖首采区流速和传输参数可以是空间变量的函数，求解区域可以是不规则的，允许边界条件是时间变量的一般函数，这就使得这种新的没有时间步长、定点求解的计算方法仍适于溶质运移问题的模拟.在求解溶质运移方程时，由于该问题的复杂性，因此，文中忽略固液转化作用，暂不考虑汇源项，则溶质运移方程可写为［3］设基本函数其中，(xj，yj)是第j个结点的坐标.将区域Ω剖分成三角形网，三角形的顶点取为结点.设任一三角形单元(△)的3个顶点的结点号码为 i，j，k，坐标分别为(xi，yi)，(xj，yj)和(xk，yk)，规定和这3 个结点相联系的基函数在单元(△)中的值为［6］首先，形成［A］和F在该单元中的部分，其次所有单元叠加形成整体的［A］和F，并结合边界条件，式(17)就建立起所需要的方程组［A］C+F=0，由式(24)知，系数矩阵是高度稀疏非对称复值矩阵.为了节省计算机内存，使用压缩存贮的技巧，将方程非零系数按最大带宽存入二维数组中，然后根据各计算结点的相邻结点编号和相邻结点的个数，采用高斯消去法求解此二维数组，即可获得象空间的浓度分布. 根据离散的有限元方程组的解，对拉氏变换后结点的浓度Cj进行反演.若以L－1表示拉氏反演，则式(18)可化成其中，Cj(t)是在结点j处时间域的浓度.本文采用Honig和Hirdes提出的基于Fourier级数展开的拉氏反演新算法进行数值反演［7］，其反演公式为基于Fourier级数展开的拉氏变换反演算法，如Grump算法，最大的缺点就是离散误差和截断误差依赖于自由参数，即通过选择合适的稀有参数使离散误差变得任意小，但同时截断误差又变得无穷大，反之亦然.Honig-Hirdes新算法［7］通过同步使用减少离散误差的方法和加速Fourier级数收敛的方法以及近似计算最优自由参数的方法克服了Grump等算法之不足.但Stehfest算法由于仅仅使用拉氏变换参数S的实部［4］，所以与使用复数的Honig-Hirdes算法相比，在拉氏变换与Galerkin有限元结合时，会丧失很多优点，因为基于一个实数S的变换后的浓度剖面，不再是一个光滑的震荡函数而与时间域中的浓度剖面的特性相似.【相关文献】［1］孙纳正.地下水污染——数学模型和数值方法［M］.北京:北京地质出版社，1989.［2］ROACHE P putational fluid dynamics［M］.Hermosa:Albuquereque，1976:446 －447.［3］王文科.地下水有限分析数值模拟的理论与方法［M］.西安:陕西科学技术出版社，1996:102－126.［4］蒋晓蓉.油藏数值模拟基础［M］.成都:成都理工大学出版社，1998.［5］罗焕炎，陈雨孙.地下水运动的数值模拟［M］.北京:中国建筑工业出版社，2001.［6］DURBIN F.Numerical inversion of Laplace transform:an efficient improvement to Durbner and Abare’s method［J］.Comp.J.，1993，17:371 －376.。