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㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１１０㊀换元法在高中数学解题中的应用技巧换元法在高中数学解题中的应用技巧Һ梁茸茸㊀（甘肃省临夏中学，甘肃㊀临夏㊀７３１１００）㊀㊀ʌ摘要ɔ通过 换元 分析题目㊁梳理思路㊁简化运算㊁解决问题，是高中一种至关重要的解题技巧．文章参考２０１９年人教版高中数学教材核心知识点，从内涵㊁价值㊁方法㊁类型题等多个维度层层深入，探究换元法的具体应用，希望对一线教师的教学有一定启发，帮助学生在高中数学解题中全面掌握换元法．ʌ关键词ɔ高中数学；换元法；解题教学引㊀言换元法是一种数学解题方法，体现着重要的数学思想，在高中数学方程㊁不等式㊁函数等问题中有着十分广泛的应用．教师应使学生充分认识换元法在高中数学解题中的应用价值，掌握其应用技巧，以培养学生高中数学解题能力，使其数学思想㊁能力等实现良好的发展．这要求教师立足实际研究换元法在高中数学解题中的应用技巧，全面把握其基本方法与关联题型，为学生提供恰到好处的指导．一㊁换元法的内涵换元法也称 变量代换法 辅助元素法 ，是一种在数学解题过程中以新的变量取代原有变量的方法．展开来说，换元法是在数学解题过程中引入一个或多个新的变量代替题目中原有的某些复杂或干扰变量，从而将分散在题目中的已知条件准确联系起来，突出隐含条件，将题目变成学生更容易理解的形式，简化烦琐的运算过程．二㊁换元法在高中数学不同类型题中的应用掌握换元法在高中数学解题中的应用技巧，应准确理解其适用题型．这样，学生才能在面对换元法相关题目时，及时确定 换元 解题思路，节约思考时间．因此，教师还应引导学生归类典型题，探索换元法在高中数学不同类型题中的应用．比如，方程问题㊁函数问题㊁不等式问题㊁数列问题．（一）方程问题方程问题是高中数学最基础的一项知识，是学生解答高中数学函数㊁导数等其他问题的重要基础．以人教版高中数学教材为例（２０１９年版），其在高一必修第一册便编排了 一元二次方程 知识点，足见方程在整个高中数学学习过程中的重要性．而对于一些复杂的方程问题，只有通过换元才能顺利求解．例如，人教版高一必修第一册（２０１９年版）第二章 一元二次函数㊁方程和不等式 教学中，有下列题目：解方程：ｘ４＋２ｘ２＋１ｘ２＋ｘ２＋１ｘ－２＝０．方程最高次项为４次，使其具有较大难度，不能直接运用解一元二次方程的解题经验，由此可考虑应用换元法，将方程最高次 降次 ，具体思路和过程如下：观察方程未知数，可知ｘ４＋２ｘ２＋１ｘ２与ｘ２＋１ｘ为平方关系．因此可设ｘ２＋１ｘ为ｙ，则ｘ４＋２ｘ２＋１ｘ２可表示为ｙ２，原方程转化为ｙ２＋ｙ－２＝０，（ｙ＋２）（ｙ－１）＝０，ｙ值可取－２或１．当ｙ值取－２时，ｘ２＋１ｘ＝－２，ｘ２＋１＋２ｘ＝０，ｘ＝－１；当ｙ值取１时，ｘ２＋１ｘ＝１，ｘ２＋１－ｘ＝０，ｘ－１２æèçöø÷２＝－３４，无解．所以原方程解为ｘ＝－１．一方面，基于换元法在方程问题中的 降次 优势解题，将方程最高次项由４次转化为２次．另一方面，应用整体换元法，将方程中代数式ｘ２＋１ｘ视为一个整体，整体代入未知数ｙ．通过换元法在方程问题中的混合应用，非常见一元四次方程被转化为学生再熟悉不过的一元二次方程，解方程难度大大降低．此外，高中数学 圆锥曲线方程 解题中，也需要应用换元法解题技巧．例如，人教版高二选择性必修第一册（２０１９年版）第三章 椭圆 ，有下列题目：在椭圆ｘ２４＋ｙ２＝１上有一移动的点Ｐ，其坐标可表示为（ｘ，ｙ），求函数ｕ＝ｘ２＋２ｘｙ＋４ｙ２＋ｘ＋２ｙ的最大值．基于换元法，其解题思路与过程如下：设ｘ＝２ｃｏｓθ，ｙ＝ｓｉｎθ，θɪ［０，２π）．ｕ＝４ｃｏｓ２θ＋４ｓｉｎθｃｏｓθ＋４ｓｉｎ２θ＋２ｃｏｓθ＋２ｓｉｎθ＝２（ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）２＋２ｃｏｓθ＋２ｓｉｎθ＋２．㊀㊀㊀解题技巧与方法１１１㊀㊀再设ｇ＝ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ＝２ｓｉｎπ４＋θæèçöø÷，ｇɪ［－２，２］ｕ＝２ｇ２＋２ｇ＋２＝２ｇ＋１２æèçöø÷２＋３２，ｇ＝２时，ｕ最大，值为６＋２２．某种意义上，圆锥曲线方程问题可以视为高一方程问题的升级，其复杂性更高，难度有显著提升，因此要求学生掌握更加灵活的解题方法．例题解题思路为三角换元法在圆锥曲线方程问题中的运用，是先根据椭圆参数方程ｘ＝ａｃｏｓθ，ｙ＝ｂｓｉｎθ特点还原，然后依据三角函数ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＝１等知识点化简方程，求出最终解．（二）函数问题高中数学函数问题可概括为 基础函数问题 与三角函数问题 ，前者还可细分为 二次函数基础问题 指数函数基础问题 对数函数基础问题 等，后者由于在 三角形 背景下，因此被单独归类．换元法不仅可以用于解决 二次函数 等基础函数问题，还在三角函数问题的解答中有特殊功能．教师应使学生全面掌握函数问题中的换元技巧．而 换元法在基础函数解题的应用 中，主要题型有 函数解析式问题 与 最值问题 ，下面将结合具体例题一一论述．１．函数解析式问题一般情况下，高中数学函数解析式问题可以通过待定系数法求解，若题中已知条件无法满足待定系数法解题需要，换元法便派上了用场．例如：已知函数，ｆ２ｘ＋１æèçöø÷＝ｌｇｘ，求ｆ（ｘ）．这是一个典型的求对数函数解析式问题，题目所给条件十分有限，不能直接套用待定系数法．换元法解题思路与过程如下：令２ｘ＋１＝ｕ，则ｘ＝２ｕ－１，ｆ（ｕ）＝ｌｇ２ｕ－１．结合题意ｆ２ｘ＋１æèçöø÷＝ｌｇｘ，可知ｘ＞０，则ｕ＞１，则ｆ（ｕ）＝ｌｇ２ｕ－１成立．以未知数ｘ表示ｕ，则ｆ（ｘ）＝ｌｇ２ｘ－１ｘ＞１()．直接将已知函数关系式中２ｘ＋１视为一个整体，用未知数ｕ进行表示，求出换元后的函数解析式．之后再次换元，代入新的未知数替换ｕ，解得原函数ｆ（ｘ）解析式．通过变量的多次替换，轻松求出原复杂函数解析式．但是需要注意的是，由于在多次换元中， 新元 取值范围存在变化，所以在最终确定函数解析式时，要着重关注ｘ的取值范围．此外，教师还可以视此题目为典型，引导学生归纳函数解析式问题换元规律：形如ｙ＝ｆｇ（ｘ）[]的函数中，求解其解析式，可以先对ｇ（ｘ）换元，再求解原函数解析式．学生由此形成对函数解析式问题换元技巧的规律性掌握，可在自主求解函数解析式问题时，更加自信㊁巧妙地应用换元法．２．最值问题高中数学最值问题包括 最大值 最小值 问题，在二次函数㊁指数函数等函数中均有应用．而且，在某种意义上，圆锥曲线方程问题也属于函数问题，上述 三角换元解椭圆方程最大值 问题，本质上也是换元法在函数最值问题中的应用．因此在本部分，将不再对圆锥曲线方程最值问题展开赘述，以二次函数为重点讨论对象．例如：求函数ｆ（ｘ）＝２ｘ－ｘ－１的最小值．题目只有寥寥一句话，却能困扰很大一部分学生．这并非常见的一元二次函数，应该采取何种方法求最小值？解题思路与过程如下：应用换元法可以将函数关系式 根号 部分的变量视为一个整体，令ｘ－１＝ｕ，则ｘ＝ｕ２＋１，函数ｆ（ｕ）＝２ｕ２＋２－ｕ（ｕȡ０）．此时，函数ｆ（ｘ）＝２ｘ－ｘ－１的求解问题，被顺利转化为函数ｆ（ｕ）＝２ｕ２＋２－ｕ（ｕȡ０）的求解问题．通过顶点式表达ｆ（ｕ）函数关系式，ｆ（ｕ）＝２ｕ－１４æèçöø÷２＋１５８，函数开口向上，在顶点处取最小值，ｕ＝１４，ｆ（ｕ）＝１５８．通过整体换元，函数由一次函数被转化为易于求最值的二次函数形式，然后将二次函数表达式转化为 顶点式 ，可根据二次函数顶点坐标特征顺利求解．但是在换元过程中，同样要明确与 元 相对应的变量取值范围变化情况．３．三角函数问题三角函数是特殊的一种高中数学函数问题，因此换元法在其实际解题过程中的应用也具有一定特殊性，包括角换元㊁三角式㊁ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＝１换元等．例如：求三角函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘｃｏｓｘ的值域．这是一个典型的 三角式换元 问题，可以通过三角式换元将三角函数转化为二次函数，使 求值域 更加简单，思路与过程如下：设ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝ｔ，则ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＋２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ｔ２，１＋２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ｔ２，ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ｔ２－１２．根据三角函数诱导㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１１２㊀公式，ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝ｔ＝２ｓｉｎｘ＋π４æèçöø÷，则ｔ取值范围为ｔɪ［－２，２］，ｆ（ｘ）＝ｔ＋ｔ２－１２＝ｔ＋１()２－２２，其对称轴为ｔ＝－１，因此在区间ｔɪ［－２，２］内，其值域为ｆ－１()，ｆ２()[]．ｆ－１()＝－１，ｆ２()＝２２＋１２，求得原函数值域为－１，２２＋１２éëêêùûúú．通过将三角函数中某一个三角函数关系式换元，引发原函数其他变量的相应变化，将原函数由三角函数转化为二次函数，根据 换元 后函数变量取值范围变化情况确定二次函数定义域，求出其值域，该值域也是原函数待求值域．在换元法与三角函数问题的紧密融合中，高中数学三角函数解题难度也大大降低．（三）不等式问题不等式问题同样是人教版高一必修第一册（２０１９年版）第二章 一元二次函数㊁方程和不等式 部分教学内容，其典型题目包括求不等式某一变量取值范围㊁证明不等式等．例如：求证－１２ɤｘ１－ｘ２ɤ１２．这是典型的证明不等式问题，初读题目，除待证不等式外，题目并未给出其他已知条件，使很多学生毫无头绪．但是应用换元法，将式中ｘ设为ｃｏｓθ，结果将天差地别，解题过程与思路如下：令ｘ＝ｃｏｓθ，且θɪ０，π[]，则ｘ１－ｘ２＝ｃｏｓθｓｉｎθ＝１２ｓｉｎ２θ．θɪ０，π[]，－１ɤｓｉｎ２θɤ１，则－１２ɤ１２ｓｉｎ２θɤ１２，－１２ɤｘ１－ｘ２ɤ１２．具体来说，此题应用三角换元法，通过设原不等式变量ｘ为三角函数ｃｏｓθ，同时设定角θ取值范围，将不等式转化为与ｓｉｎθ相关的关系式．之后，可根据角θ在特殊取值范围下的值域确定ｓｉｎθ取值范围，从而反证不等式，降低不等式证明难度．但是在应用此技巧时，还要注意换元的等价性，不仅要保持题目各个变量之间的关系不变，还要使各变量取值范围在换元前后保持一致．（四）数列问题换元法在数列解题中的应用，主要包括在数列的递推通项公式或前ｎ项和公式过程中，构造等差数列或等比数列；在关于数列的不等式问题中，求解数列最值．例如，人教版高二选择性必修第二册（２０１９年版）第四章 数列 教学中，有下列题目：已知在数列｛ａｎ｝中，ａ１＝１，当ｎȡ２时，数列前ｎ项和Ｓｎ满足Ｓｎ２＝ａｎＳｎ－１２æèçöø÷，求Ｓｎ的表达式．结合题意，解决此问题，需要根据ａ１＝１以及ｎȡ２时数列前ｎ项和Ｓｎ所满足条件逆推前ｎ项和公式，而逆推数列前ｎ项和公式，需要构造新的数列，由此可应用换元法．解题思路如下：任意一个数列中，都有ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１，当ｎȡ２时，将其代入Ｓｎ２＝ａｎＳｎ－１２æèçöø÷，得到２ＳｎＳｎ－１＋Ｓｎ－Ｓｎ－１＝０．若题目成立，则Ｓｎʂ０，等式两边可同时除以ＳｎＳｎ－１，得到２＋１Ｓｎ－１－１Ｓｎ＝０，１Ｓｎ－１Ｓｎ－１＝２．应用换元法，可设Ｃｎ＝１Ｓｎ，则Ｃｎ－Ｃｎ－１＝２，Ｃｎ{}为首项为１㊁公差为２的等差数列，表达式为２ｎ－１．将Ｃｎ＝２ｎ－１代入Ｃｎ＝１Ｓｎ，则１Ｓｎ＝２ｎ－１，Ｓｎ＝１２ｎ－１．首先，根据题意以及数列特征消掉题目的ａｎ，使其只存在Ｓｎ与Ｓｎ－１两个变量，突出数列前ｎ项和与前ｎ－１项和的数学联系．其次，将Ｓｎ与Ｓｎ－１其中一个变量设为新的变量，通过还原构造新的数列，求出其表达式．最后，将新数列表达式代入之前所求得的数学关系式，求出数列｛ａｎ｝真正的前ｎ项和表达式．将换元法渗透在运算过程中，及时设元，减少无关运算，顺利逆推出数列问题答案．结㊀语综上所述，在高中数学解题中，换元法既可以保障解题效果，又可以使学生感悟数学思想，感悟换元法应用在高中数学解题中具有的极高现实意义．教师应使学生领会换元法在高中数学解题中的常见方法，同时区分适用于换元法的不同题型，使学生全面掌握换元法应用技巧．此外，教师还需让学生建立 勿忘换元 意识，使其 换元 有始有终．ʌ参考文献ɔ［１］李志明．巧妙换元㊀解决难题 换元法在高中数学解题中的应用［Ｊ］．数理化解题研究，２０２２（３６）：１４－１６．［２］刘延群．高中数学换元解题 六法 ［Ｊ］．中学数学，２０２２（９）：８１－８２，９５．［３］雷文发，张红霞．灵活换元㊀巧妙转换［Ｊ］．数学大世界（中旬），２０２１（６）：６８．。
换元法在高中数学解题中的应用换元法是一种广泛应用于高中数学解题中的方法。
它的核心思想是通过一定的变换将问题转化为更易于解决的形式，从而得到问题的解。
一、函数换元法1. 基本思想函数换元法是一种利用函数的运算性质，将复杂函数转化为较为简单的函数，从而帮助我们解决问题的方法。
例如，在求函数 $f(x)=\frac{1}{x-1}$ 的零点时，我们可以采用换元法将 $x-1$ 替换为 $t$，从而得到 $f(t)=\frac{1}{t}$，这样我们就可以较为容易地求得 $t=0$，进一步得到 $x=1$ 这一解。
2. 具体应用函数换元法在高中数学中广泛应用于函数的求导、求极限等方面。
例如，在求函数$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{6})$ 的导数时，我们可以采用函数换元法将$2x+\frac{\pi}{6}$ 替换为 $t$，这样就可以得到$\frac{d}{dx}f(x)=\frac{d}{dt}\sin t \times\frac{d}{dx}(2x+\frac{\pi}{6})=\cos(2x+\frac{\pi}{6})\times2=\sqrt{3}\cos(2x+\frac{\pi}{6})$。
这样问题就被转化为了求 $\sin t$ 的导数，从而便于计算。
二、微分方程的换元法微分方程是一种描述物理现象的重要工具，但由于其求解的困难度较大，我们需要采用适当的方法来简化问题。
其中，微分方程的换元法就是其中一个重要的方法。
例如，在求解微分方程 $y'+y=e^x$ 时，我们可以采用换元法将 $y=e^{-x}u$，得到$\frac{dy}{dx}=e^{-x}\frac{du}{dx}-e^{-x}u$，代入原方程后得到$\frac{du}{dx}=e^x$，进一步得到 $u=e^x+C$，从而得到原方程的通解为$y=e^{-x}(e^x+C)$。
微分方程的换元法在高中数学的物理问题中经常被应用。
换元法在高中数学解题中的应用1. 引言1.1 介绍换元法换元法是高中数学中常用的一种解题方法，通过对变量进行替换或者转化，可以简化问题的处理过程，使得原本复杂的数学题目变得更容易解决。
换元法在数学中的应用非常广泛，不仅可以用来解一元二次方程、化简代数式，还可以用来证明数学定理、解决几何问题以及处理微积分问题等。
在数学中，换元法是一种灵活的工具，能够帮助我们更加深入地理解数学概念，提高问题解决效率。
通过适当选择变量的替换，可以将原本复杂的问题简化为更容易处理的形式，从而更快地得出解答。
换元法在高中数学学习中起着举足轻重的作用，不仅可以帮助我们更好地掌握数学知识，还可以培养我们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
要想在高中数学学习中取得更好的成绩，掌握好换元法这一重要的解题工具是至关重要的。
通过不断练习和理解，我们可以更好地运用换元法解决各种数学问题，提高自己的数学解题能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
1.2 换元法在解高中数学问题中的重要性在高中数学中，换元法可以用于解一元二次方程。
通过适当的变量替换，可以将原问题转化为简单的一次方程问题，从而更容易地求解方程的解。
换元法还可以用于化简复杂的代数式，从而简化计算过程，提高计算效率。
换元法还可以用于证明数学定理。
通过巧妙地引入新的变量，可以简化证明过程，使得证明更加清晰和简洁。
换元法还可以用于解决几何问题和微积分问题，在解决这些问题时发挥着非常重要的作用。
换元法在高中数学解题中的灵活运用可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高解题效率和解题能力。
换元法是高中数学学习中不可或缺的重要工具，学生应该认真学习和掌握这一方法，以便更好地应对各种数学问题。
2. 正文2.1 利用换元法解一元二次方程利用换元法解一元二次方程是高中数学学习中非常常见的问题。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
当解一元二次方程时，有时候可以通过换元法来简化计算过程。
高中数学数列学习中换元法的运用【摘要】换元法在高中数学中是一种重要的数学技巧，通过引入适当的变量，将原问题转化为更易解决的形式。
在数列学习中，换元法的应用多方面且重要。
它可以帮助我们求解数列的和、推导通项公式、解决递推关系、辨析不同数列类型以及解决综合题等。
掌握换元法能够提升学生的数学解题效率，让他们更好地理解数列的性质和规律。
换元法在高中数学数列学习中具有重要意义，有助于学生深入理解数学知识，提高数学学习的效果和成绩。
通过掌握换元法，学生可以更加灵活地运用数学知识，解决各种数列问题，从而在数学学习中取得更好的成就。
【关键词】高中数学、数列、换元法、求和、通项公式、递推关系、辨析、综合题、重要性、理解性质、规律、提升效率1. 引言1.1 什么是换元法换元法是高中数学数列学习中的重要方法之一，是解决数列相关问题的重要工具。
换元法的基本思想是将原有的数学问题通过引入新的未知数或参数，转化为更简单直观的形式。
在数列学习中，换元法可以帮助我们更好地理解数列的性质和规律，解决复杂的数列问题。
通过引入新的变量，可以使得原本复杂的数列表达式变得更加简洁，从而更容易推导通项公式、求和、解决递推关系等问题。
换元法的意义在于简化数列问题的求解过程，使得学生可以更快更准确地解决数列相关的难题。
通过学习换元法，学生可以拓展数学思维，培养逻辑推理能力，提升数学解题效率。
掌握换元法不仅可以帮助学生在高考等考试中取得好成绩，还能为日后的数学学习打下坚实的基础。
了解和掌握换元法对于高中数学数列学习具有重要意义，是学生提高数学学习能力和水平的关键一步。
1.2 换元法的意义换元法在数列学习中扮演着重要的角色，它是一种常用的数学方法，能够帮助学生解决数列问题。
换元法的意义主要体现在以下几个方面：换元法可以帮助学生简化数列求和的过程。
在数列求和中，有时候数列的通项公式并不容易找到，或者数列本身比较复杂，这时候就可以通过换元法将问题转化为更简单的形式，从而更容易求解。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法是一种常用的数学解题方法，特别是在高中数学中，它广泛应用于函数的求导、不定积分、定积分等问题的解答中。
本文将从函数的定义、基本思想和具体应用三个方面
来介绍换元法在高中数学解题中的应用。
一、函数的定义
在解析几何中，我们知道函数可以看作是平面坐标系中一个个有序的点。
而在数学分
析中，函数被定义为一个集合关系，即对于给定的定义域上的每一个自变量，函数给出了
唯一的依赖变量。
换句话说，函数就是一个输入与输出之间的对应关系。
二、基本思想
换元法的基本思想是将原问题转化为一个新的问题，通过变量的代换，将原问题转化
为处理起来更加方便的形式。
具体而言，就是通过代换变量的方式使得原问题的求解变得
容易或者更加直观。
换元法的核心就在于合适的代换，这需要根据具体的问题来确定。
三、具体应用
1. 函数的求导
在高中数学中，函数的求导是一个常见的问题。
利用换元法可以简化求导的过程。
对
于多项式函数y = f(x) = x^n来说，可以通过变量变换x = t^k，将其转化为y = g(t) = t^m的形式。
然后再求导也就更加容易了。
2. 函数的不定积分
不定积分是求原函数的过程。
换元法可以使得不定积分的计算更加简单。
对于一个复
杂的函数，通过合适的变量代换，可以将其转化为一个更简单的形式，从而使得求不定积
分的过程更加容易。
换元法在高中数学解题中的应用【摘要】换元法是高中数学中常用的解题方法之一，本文通过分析换元法在代数、微积分和几何问题中的应用，探讨了其灵活运用对于解决复杂问题的重要性。
首先介绍了换元法的基本概念，然后讨论了其在不同领域中的具体应用，包括代数方程求解、微积分函数积分和几何图形变换等方面。
文章强调了掌握换元法对于提高数学解题能力的重要意义，指出通过灵活运用换元法可以更好地解决各种数学问题。
通过本文的学习，高中数学学生可以更好地掌握换元法这一重要的解题方法，提高数学解题能力，为今后的学习打下坚实的基础。
【关键词】换元法、高中数学、应用、基本概念、代数、微积分、几何、注意事项、灵活运用、提高数学解题能力、重要意义1. 引言1.1 换元法在高中数学解题中的应用在高中数学学习中，换元法是一个非常重要的解题方法，它可以帮助学生解决复杂的问题，提高数学解题能力。
换元法实际上是一种代数运算技巧，通过引入新的变量或者函数，将原问题转化为更易解决的形式。
在代数问题中，换元法常常用于简化方程、求解方程组，解决多项式的因式分解等问题。
在微积分问题中，换元法可以用来简化积分运算，求出复杂函数的原函数。
在几何问题中，换元法常常用于证明几何定理，求解几何问题。
在应用换元法时，需要注意选择合适的换元变量，使得问题更容易解决，避免引入不必要的复杂性。
掌握换元法对于高中数学学生来说是非常重要的，它可以帮助他们更好地理解数学知识，提高解题能力，培养逻辑思维能力，解决问题的能力。
换元法的灵活运用可以让数学变得更加有趣和具有挑战性，对学生的数学学习和考试都有着积极的促进作用。
2. 正文2.1 一、换元法的基本概念换元法是高中数学中常见的解题方法之一，它主要是通过引入新的变量或函数来简化原问题的解答过程。
换元法的基本概念包括以下几点：换元法的核心思想是将原问题中复杂的部分用一个新的变量或函数替代，从而转化为一个更简单的形式。
这个新的变量或函数通常会与原问题中的变量之间存在某种特定的函数关系，通过这种关系可以将原问题转化为一个更容易求解的形式。
换元法在高中数学解题中的应用换元法是高中数学中常见的一种解题方法，也是一种常用的积分方法。
它的原理是通过适当地变换自变量，将原方程或原式子简化成一个更易求解的形式。
换元法在高中数学中的应用非常广泛，下面就具体介绍一些常见的应用。
1. 函数的图像与变换：在研究函数的图像与变换时，我们常常需要用到换元法。
通过适当地变换自变量，可以将原函数的图像进行平移、伸缩等操作，进而得到新函数的图像。
对于函数y=sin(x)，我们可以通过变换自变量x来得到y=sin(2x)、y=sin(x-pi)等函数的图像。
这些变换可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。
2. 三角函数的积分：在高中数学的积分中，三角函数的积分是一个常见的难点。
通过换元法，可以将复杂的三角函数积分化简成简单的积分。
对于积分∫sin^2(x)dx，我们可以通过换元u=sin(x)来将其化简成∫u^2du，进而求解。
还有一些特殊的换元方法，如倍角、半角等，可以帮助我们解决一些特殊的三角函数积分。
3. 微分方程的求解：微分方程是高中数学中的重要内容，而换元法是求解微分方程的重要方法之一。
通过合适的换元，我们可以将微分方程化为变量可分离的形式，从而更容易求解。
对于微分方程y'=(1+y)/(1-x)，我们可以通过换元u=1+y来将其化简成u'/(u-1)=dx/(1-x)，然后再进行变量分离，最后求得u和y的解。
5. 曲线的弧长与曲线积分：在研究曲线的弧长和曲线积分时，我们常常需要使用换元法。
通过适当地变换自变量，可以将曲线的参数表示转化为更简单的形式，从而更容易进行计算。
对于曲线y=x^2在x=0到x=1上的弧长，我们可以通过变换t=x^2来将其化简成∫√(1+2t) dt，进而求解。
同样，在曲线积分中，也可以利用换元法将积分变量转化为更简单的形式。
换元法是高中数学中常用的一种方法，它可以帮助我们将复杂的数学问题化简成简单的问题，从而更容易求解。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法是解决函数积分问题的一种常用方法，它通过对被积函数中的自变量进行代换，使得原来复杂的积分问题简化为一个更容易求解的形式。
在高中数学中，换元法主要应用
在以下几个方面：
1. 解决含有平方根的积分问题：
在高中数学中，我们经常遇到含有平方根的函数积分问题，如∫√(x^2 + 1)dx。
由
于被积函数中含有平方根，直接对其进行积分是比较困难的。
此时，可以通过对被积函数
中的自变量进行代换来简化问题。
假设令x = tanθ，则dx = sec^2θdθ，被积函数可以转化为∫secθsecθdθ = ∫sec^2θdθ。
这是一个比较容易求解的积分问题。
将θ代
回x，即可得到最终结果。
4. 解决指数函数的积分问题：
指数函数是高中数学中另一个常见的函数类型，如∫e^xsinx dx。
对于这类问题，可以通过换元法将其转化为利用分部积分法求解的形式。
假设令u = e^x，即可将被积函数中的e^x和sinx转化为u和u的导数的形式，从而简化问题的求解。
对新的积分式进行求解，并将u代回x，即可得到最终结果。
换元法在高中数学解题中的应用不仅限于上述几个方面，还可以应用于其他类型的函
数积分问题。
通过合理选择适当的代换，可以大大简化问题的求解过程，提高解题的效率。
在高中数学学习中，掌握换元法的理论和应用方法，对于解决复杂的函数积分问题具有重
要的意义。
毕业论文文献综述信息与计算科学换元法在数学解题中的应用一、前言部分有些数学问题，由于条件与结论中的变量关系在形式上的隐蔽，它们之间实质性的逻辑联系不易从表面形式上发现，即使看出它们之间的联系，也由于表面形式的复杂而不易直接求解。
但当我们进行适当的变量代换，把问题的条件和结论作形式上的转换，这样就容易揭示出它们之间的内在联系，把问题化难为易，化繁为简。
掌握了换元思想，不但可以比较顺利地解决一些较难的题目，还可以用多种方法解答同一个个问题，提高我们的思维。
数学中这样的例子有很多，无论是对一些具体问题的解决，还是在经典的数学方法中，都无不渗透着这一思想。
解题中常用到的换元法，其实也就是这一思想的具体体现。
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这种方法叫做换元法。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
尤其是在积分中应用很是广泛。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
为了使复杂繁琐的数学问题得到解决，利用换元法应进行有效替换。
在具体问题中，针对替换的有效性，人们做了很多的探讨。
有很多文章探讨了数学问题中的换元技巧，例如积分中的换元技巧、三角换元、无理递推式换元技巧等等。
每一类问题又由于其具体形式的不同，换元的形式也多种多样。
分析各种换元形式的共同规律，可以捡起归纳为以下几类：定积分换元法、不定积分换元法、三角换元、二重积分换元法、含无理递推式的换元法和换元法在其他方面的应用。
当遇到题中含有几个变量或次数较高问题时，我们可以考虑用换元法，能否消去某些变量或降低变量次数，起到减元降次的作用。
换元法在数学解题中的应用摘要换元法通过引入新的变量，将题目移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准题目标准化，繁琐题目简单化，变得容易解决.因此换元法是数学解题中一种十分重要而且应用非常广泛的思想方法.本文研究了换元法在代数式、因式分解、方程、函数、证明和微积分方面的应用及解题技巧，并且给出了一些典型例子.用换元法解数学题有助于培养学生灵活解决数学问题的能力，把理论知识和实际应用结合起来，培养人的数学思维品格,提高解题效率.关键字：换元法;构造新元;标准化;应用Application of the Method of Exchange Element Method in SolvingMathematics ProblemAbstract:The method of substitution put the topic into the background in the new object to study by introducing a new variable, so that the non-standard topics of standardization, simplification complicated topic, become easier to solve. Therefore the method of substitution is a very important and widely used method of thinking in mathematical problem solving. This paper will give a simple analysis about the basic concepts of substitution method, theoretical basis, and the basic principles of using the method of substitution. And it also discussed about the using of the method of substitution in Algebraic expressions, factorization, equations, functions, pr oven and calculus and gives some typical examples. This paper’s content will help for training the problem-solving skills in the mathematics, just like how to transform the higher degree into the low degree, the fraction into the integral expression, the irrational formula into the rational expression, and the transcendental expression into the algebraic expression. And this paper’s skills help solve complex and complicated mathematical problems.Key words: method of substitution; structures; standardization; application目录1 引言 (1)2 文献综述 (1)2.1 国内外研究现状 (1)2.2 国内外研究现状评价 (2)2.3 提出问题 (2)3 预备知识 (2)3.1 换元法的基本概念 (3)3.2 换元法的理论依据 (3)3.3 换元法的两种基本类型 (3)4 换元法在数学解题中的应用 (3)4.1 换元法在代数方面的应用 (4)4.1.1换元法在计算中的应用................................ 错误!未定义书签。
4.1.2换元法在因式分解中的应用 (5)4.1.3换元法在解方程中的应用 (6)4.1.4换元法在函数中的应用 (10)4.1.5 换元法在证明中的应用 (14)4.2 换元法在微积分中的应用 (16)4.2.1 换元法在微分中的应用 (16)4.2.2 换元法在积分中的应用 (17)5 结论 (21)5.1 主要发现............................................ 错误!未定义书签。
5.2 启示 (21)5.3 局限性 (21)5.4 努力方向 (21)参考文献 (22)1引言在数学学习过程中，我们往往会遇到各种棘手的数学题，这些数学题形式多种多样，涉及到的知识面广泛，题型新颖. 它们或是非标准形式，或是超越式，或是高次式，或是无理式等.碰到这些数学题时我们该如何解决呢？这时，数学思想方法就能发挥用武之地了，数学思想是数学的精髓所在，是理论知识和实践应用之间的桥梁，它包括化归思想，数形结合思想，分类讨论思想，转换思想等.换元法作为数学思想方法的成员之一，具有杰出的沟通转化作用.换元法的实质是转换，目的是变更研究对象，把还没有解决的题目转化为已经解决的问题去研究.使用换元法须要一些换元技巧，使用得当能给人一种“柳暗花明”的感觉，通过换元，可以把生疏的题目转化为我们熟悉的题目，把繁琐题目转化为简单题目，从而达到解决问题的目的.使用换元法解题能培养人的数学思维品格，逻辑思维能力和灵活运用所学的基础知识解决数学问题的能力，把理论知识和实际运用结合起来.2 文献综述2.1国内外研究现状现查阅到的参考文献中，对换元法在数学中的解题技巧做出了探讨.刘志国在[1]中主要介绍了换元法的基本概念，理论依据，适用范围及应用规律等，并通过大量实例说明了应用换元法解题的一般思绪.陈颖在［2]中主要介绍了有关换元法的基本知识及换元法在代数，几何，三角三个方面的应用.牛继武等人在[3]中从因式分解的理论，方法和应用三个方面，并且对一般的因式，数域，公因式等的定义没有另行叙述而直接采用，对于有关的定理都尽量给出了证明.翟连林，汪祖亨在[4]介绍了各种数学解题方法的同时强调了定向思维，提出了在数学解题中如何巧妙运用参数进行灵活变换的策略.刘俊，付本路，姚玉平在[5]中把数学方法分为直接方法，一般方法，数学思想方法三类，且对每种方法的特点，应用，注意事项进行条理化的说明，实现了数学知识与解题方法的有机结合.朱成杰在［6]中力图对换元法及其在中学数学中的应用进行一个比较系换元法在各方面的应用，最后简要的介绍换元法的推广---辅助函数法.方昌武，汪祖亨在文献[7]中介绍了各种各样的解题方法，并通过丰富的例题总结出一套科学求解的思考方法，这些方法是进一步学习数学不可缺少的工具.杨象富，赵伟祥在[8]中比较全面，系统地介绍了初等数学里两类基本的换元法和其他常用代换法，让读者较好的掌握代换的技能技巧，提高解题能力，培养学习兴趣.王岳庭在[9]中列举了换元法在解方程，证明，不等式以及其他方面的应用，并用典型例题加以验证.周军高在[10]中浅谈了局部换元，整体换元，配偶换元等换元策略.王寿生，李云珠，张肇炽在[11]中舍弃了微积分教程中常规内容的复习提要和大量常见习题，突出解题方法和技巧这一主题，并以方法为中心系统的进行概括和总结，列举大量例题.现行的高等数学分析讲义中，对用换元法求微积分进行了表述，且范例较多,参见文献[12].马訾伟，闫晓红在[14]中对微积分的知识进行归纳，梳理了重难点，准确解答了微积分习题.李颖，郭颖在文献[15]中通过对现行高等数学课本中定积分换元法的表述做出分析，认为有些表述对替换函数的限定前提过于严格，并以例题加以说明.2.2国内外研究现状评价现所查阅的文献［1—15］中对换元法都有不同层次的研究，并且提供了大量换元的思想方法和换元法在解题中的应用，从换元法的定义到应用都比较注重发展学生的逻辑思维能力和灵活运用所学的基础知识解决数学问题的能力.但是由于这些文献中对换元法的研究比较片面，呈现换元法的地方相对分散，换元的种类又多种多样，使人难见其貌，不易掌握，并且对如何构造元和设元，进行等量代换，从而变更研究对象，将题目移至新对象的知识背景中去探讨，从而使非标准题目标准化等问题没有进行深入研究.因此往往在解题过程中因为对换元法的不熟悉或对辅助元的选取不恰当把题解错.这也使在应用换元法解题时容易碰到阻碍.2.3提出问题数学解题的方法多种多样，换元法在数学解题中的应用很普遍.以上文献对换元法在各方面的应用都列举了例子.本文探讨了换元法在数学解题中的应用，如换元法在函数、方程、微积分等方面的应用，并且运用典型的例子对换元技巧作出总结，且对查阅到的文献进行研究后总结了换元法在多方面的应用，除对换元法进行简单的阐述外，还对换元条件，换元技巧都作出了探讨.3 预备知识用换元法解数学题的前提是掌握必要的预备知识，如换元法的基本概念，理论依据，以及常用的换元类型等.这些知识便于我们在解决数学题时能熟练运用换元技巧，巧解数学题.3.1换元法的基本概念我们把表示未知数（未知量）或变数（变量）的字母称为元.通常我们在解决一个较为复杂繁琐的数学题目时，若是用新的未知量或变量替换原本的未知量或变量，求出新的未知量或变量后，再利用替换关系式求出原本的未知量或变量的方法，叫做辅助元素法，简称换元法.当中新的未知量或变量叫做辅助元素，简称辅助元.3.2换元法的理论依据因为换元法的实质是进行未知量或变量替换，这就决定了使用换元法的关键在于确定未知量或变量的替换关系式.替换关系式是一个等式，用替换关系式把原本的未知量或变量转换为新的未知量或变量的依据是“等量代换”，求出新的未知量或变量后，再运用替换关系式求出原本的未知量或变量的依据也是“等量代换”.是以，换元法的理论依据是“等量代换”.3.3换元法的两种基本类型换元法是常用的数学解题方法，其应用具有一定的解题模式，在基本的模式上进行变换就能解决较为复杂的数学问题了，使用换元法时需谨记万变不离其宗.1.设)(x F 是一个比较复杂繁琐的关系式，如果可以以)(x ϕ为中间变量把)(x F 表示为一个复合函数，则可设t x =)(ϕ，因此).()]([)( t G x G x F ==ϕ如若)(t G 比)(x F 容易解决，这里的换元就起了化繁为简的作用.2.设)(x F 是一个比较复杂的关系式，设)(t x ω=，因此).()]([)( t M x G x F ==ω只需)(t M 比较容易解决，照样能起到化难为易的作用.4换元法在数学解题中的应用换元法是数学解题中一种常见的解题方法，我们在解决数学问题时，往往会遇到一些复杂繁琐的数学或式子，这些式子没有规律不易解决，这时，我们就需要找一个中间变量进行代换，把它转换到熟知的背景中去解决，这种解决问题的方式叫做换元法，它的一般步骤是：构造新元 求解 代回 .换元法使用得当可把待研究的问题转化为已经研究过并已解决过的问题.使问题化难为易，化繁为简，化生为熟，给人呈现一种“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉.换元法在数、式、方程、不等式证明、函数、微积分等方面都有普遍的作用.4.1换元法在代数方面的应用换元法在代数方面的应用主要是指在计算、因式分解、解方程以及证明等的应用.换元法在把高次化为低次，把分式化为整式，把无理式化为有理式等方面常常碰到，在应用时要依照其原则，即有利于标准化，有利于计算的原则.换元要注意新未知量的取值范围，比定要使新未知量对应于原未知量的取值范围，不能缩小也不能扩大，不然用换元法算出的结果错误，换元法也就失去了意义.4.1.1换元法在计算中的应用在计算时，当式子中出现较大的数字或根号时，因为数字太大，计算中会出现各种各样的问题，因此很多学生会毫不犹豫地选择用机器代替大脑，用计算器进行计算.其实只要仔细观察这些数字的特点，然后用适当的元替换这些数字，便可以化繁为简，这时再来计算就简单多了.例1 求22)18791882()18851888(1879188218851888-⨯-+⨯⨯⨯的值.分析：此题中数字较大，运算也相当繁琐，而且含有根号，如果直接计算，计算量较大，因此可以考虑先化简在计算.观察可知前三项的平均数为1885，不妨设x =1885，于是解：设x =1885，则原式.93)93(9)3(18)3(81)183)(3(81)]6)(3[()]3([33)6)(3()3(22222222222--=--=+---=+---=+-+⋅-=⨯+--+=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x把1885=x 代入原式，则.35475619354757095655355322591885318852=-=--=-⨯-=评注：通过换元可以化繁为简，省去了大量的计算.当我们把原式化简到81)183)(3(22+---x x x x 时，我们可观察到式子中含有一个相同的量x x 32-，这时我们也可以设t x x =-32，然后进行二次换元，换元原理和以上相同.在以后的解题中，若遇到类似的问题，数字较大、含有根号，首先要考虑的便是换元法，根据数字的特点适当的换元，使问题简单化.4.1.2换元法在因式分解中的应用在因式分解中，通常代数式比较复杂繁琐，若代数式中有几个式子是重复出现的，应用换元思想可以把重复出现的式子定为辅助元，把代数式构造成常用的因式分解公式，如此再来分解因式就简单多了.常用的因式分解公式：).)((,)(33,)(2),)((22333322322222b ab a b a b a b a b ab b a a b a b ab a b a b a b a +±=±+=±+±±=+±-+=-在应用以上基本公式时，需要注意的是，公式中的某个字母在题目中不会简单地以这个字母的形式表现出来，它可能是一个多项式，也可能是一个很复杂的式子.这样就可以根据换元法的思想，尽可能地把公式的使用范围扩大，以便解题.因式分解中常常用到变量替换，一个比较复杂的多项式可以利用变量替换化成常用基本类型去分解，这正是换元法的意义所在.我将从以下例子进行说明例 2 分解因式).21)(44()21(22222a b a ab b a b a --+---++分析：该题中含有较为复杂的多项式，并且不能用基本公式进行分解，因此可以考虑变量替换，但是观察此题可发现，没有合适的变量进行替换，这就需要先将式子拆开，再来寻找合适的变量进行替换.解：原式])1)[(1(4])1[(22222b a a b b a ----+-=.)1(4)1(b 2)1(4)1()1(4)1(4)1(2)1(432234334224b a b a a b a a b a b b b a a +-+-+---=-+--+-+-=设y b x a ==-,1 代入上式得.)2()2(]4)(4)[(]2)(42)[(]2)(4)[(2)(4)(42422222222222222222222334443234xy y x x y y x y x xy y x x y y x y x xy y x x y y x y x xy y x x y y x y x y x xy y x y x y xy y x y x x --=--=+---=+--+-=+--+=+--+=+++-= 原式222222)1222(])1(2)1[(++---=----=ab b a b a b a b a 评注：此类型的题目如果能找到合适的变量进行替换的，可以直接用换元法.不能找到合适变量的需先将式子拆开，再寻找合适的变量.此类型题目中的变量通常是一个式子，解此种类型的题涉及了，拆项，换元，配方等步骤，难点是如何将换元后的式子进行配方，使其变成常用的基本公式，之后再求解.4.1.3换元法在解方程中的应用在解方程或方程组时，往往会遇到一些比较特殊的方程，如分式方程，高次方程，无理方程等.这就需要借助辅助元进行转化，把分式化为整式，高次化为低次，无理化为有理，先求出转化后的方程的解，再来求原方程的解.1.用换元法求解分式方程用换元法求解分式方程是用辅助元进行等量替换，将分式方程转化为整式方程，然后根据整式方程的求解步骤求解.例3 解方程.03266242222=-+++++xx x x x x 分析：注意到方程左边两个分式中所含的式子6222++x x x 与x x x ++2226互为倒数，若设6222++x x x =y ,则y x x x 12622=++，于是原方程可化为关于y 的一元二次方程来求解. 解：设,6222y x x x =++ 则.12622y x x x =++于是原方程可变为.0312=-+yy 去分母，得.01322=+-y y解得.21,121==y y 当,16x 2122=++=x x y 时，即去分母并整理得 .3,2.06212-===-+x x x x 当,216x 22122=++=x x y 时，即去分母整理得 .06232=-+x x.3191,319143--=+-=x x 解得检验：把3,221-==x x ，3191,319143--=+-=x x 分别代入方程当中检验，它们都是原方程的根. 评注：该类题中的方程含有倒数关系，因此可以用倒数换元法，将其换为形如0)()=++c x f b x af （的形式，若设其替换关系式为)(x f y =，则原方程可化为关于y 的一元二次方程后，求出y ,02=++b cy ay 还需要代回替换关系式，以便求出原方程的解.2.用换元法求解二元二次方程组在用换元法解二元二次方程组时，需要根据方程组的特征设两个辅助元，把二元二次方程转化为一元二次方程，然后根据韦达定理求出辅助元的解，之后把辅助元的解代入替换关系式，并可求出原方程的解.在构成方程组的方程里，有些含未知数的代数式呈对称性，抓住这一特点可使方程组简化，这种换元称对称换元[]5.对称方程组的解法和韦达定理有着密切的关系，中学课本里已经介绍过关于一元二次方程的韦达定理. 设一元二次方程组02=++q px x 的两个根是21,x x ，那么.2121⎩⎨⎧=⋅-=+q x x p x x 例4 解方程组.19182222⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++y x xy y x y x 分析：由于方程组中xy y x y x 2)(222-+=+，故可设其相同的整体,,n xy m y x ==+于是方程组可化为关于m,n 的简单二元二次方程组来求解.解：原方程组变为⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+++.192)(182)()(22xy y x xy xy y x y x设n xy m y x ==+,，则原方程变为 1822=-+n m m （1）.192=-n m （2） 由（2）得.192-=m n (3) 把（3）代入（1）得.0202=--m m解得.4,521-==m m把4,521-==m m 分别代入（3）得.3,621-==n n所以.34,652211⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==n m n m把这两组解分别代入替换关系式，得.34,65⎩⎨⎧-=-=+⎩⎨⎧==+xy y x xy y x解这两个方程组，得原方程组的解为.7272,7272,23,3244332211⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==y x y x y x y x 评注：此方程是对称方程组，需设两个辅助元来分别替换两个变量，把方程化繁为简，化难为易.根据韦达定理先求出辅助元的解，再来求原方程组的解.3.用换元法求解无理方程有关根式的许多问题，常常转化为有理式来解，根式的有理化有很很多方法，换元法就是其中一种重要的方法.他的思路是把一些较复杂的根式通过换元转化为有理式，在进行求解.值得一提的是，我们在解这种一元方程时，通过设两个辅助未知数，将一个难解的方程转化为一个比较容易解的方程组，从而使问题得解.这种貌似化简为繁的方法，实际上收到了变难为易的效果.这样的处理技巧充分体现了换元法具有灵活多变的特点.例5 解方程.1311522-=+-+-+x x x x x分析：本例若用两边平方的方法化去根号，将出现x 的四次方程，不易求解，由于)13(226)1()15(22-=-=+---+x x x x x x ,1,1522v x x u x x =+-=-+若设则原方程变为)13(2u ,1322-=--=+x v x v u 且有.解关于v u ,的二元二次方程组，得).(),(x g v x f u ==从而可求原方程的解.解：设,1,1522v x x u x x =+-=-+则有⎩⎨⎧-=--=+).13(21322x v u x v u因为，值不是原方程的根的使)013(013x x x =-≠-所以两式相除得.2=-v u解⎩⎨⎧=--=+213v u x v u 得 ).1(23),13(21-=+=x v x u 由)1(231),13(211522-=+--=-+x x x x x x ，均有 .051452=+-x x解得 5627,562721-=+=x x当.,0,0u 562711是原方程的根所以时，x v x >>+= 当.,0,0u 562722是原方程的增根所以时，x v x <>-= 因此原方程的根5627+=x 是 )g()()m(()()()(x x f x x m x g x f 和的次数低于的方程评注：对形如=±的次数），当)()()(x m x g x f 与-之比为常数时，若设,)(,)(v x g u x f ==则原方程可化为关于v u ,的二元二次方程组来求解，虽然分别利用求出v u ,来求x 值，其结果总是一致的，但切不可因此只求出u (或v ),否则将会由于忽略v (或u )为非负数的条件而导致解题不严密的错误.4.1.4换元法在函数中的应用函数是数学学习中一个重要的知识点，也是一个难点,这就意味着求函数的解析式，定义域，值域也成为一个难点.用换元法求解函数是一个行之有效的途径，通过换元使问题变得简单明了，显而易见.1.求函数解析式利用换元法解函数方程的基本思想是先进行变量替换，从而得到一个新的函数方程，把新得到的函数方程与原函数方程连列，构成一个未知函数的代数方程，用换元法求函数解析式，要将中间函数换元，逐渐分解，要特别注意换元后变量的取值范围，这将是函数解析式的取值范围.例6 已知)(,2)1(x f x x x f 求+=-的解析式.分析：这是一个复合函数，要想求)(x f ，需找出一个中间函数，以便设置中间变量，从外层到里层逐步分解，直到最后一层是一个基本初等函数为止.解：设1,)1(,12-≥+==-t t x t x 且则把x 用含t 的式子代换，有)1(342212)1(2)1()(222-≥++=++++=+++=t t t t t t t t t f把t 换成x ,则34)(2++=x x x f )1(-≥x所以)(x f 的解析式是34)(2++=x x x f )1(-≥x评注：对于这种))((x g f 的复合函数，往往需设t x g =)(，借助t 这个中间变量求出)(x f 的解析式. 2.求函数的定义域一个多元函数一般有好几个中间函数，因而可设好几个中间变量.只要分别求出中间函数的定义域与中间变量的允许值所对应的自变量的取值范围，其交集就是所求函数的定义域.例7 求函数)](log [log log 333x y =的定义域.分析：这个函数的形式形如叠罗汉一样，看起来眼花缭乱，令人无从下手，这是一个三元函数，有两个中间函数，因而可设两个中间变量.解：设u x =)(log log 33，则.log )](log [log log 3333u x y ==由对数函数的定义域，得,0>u 即.0)(log log 33>x （1） 再设.log )(log log ,log 3333v x v x ==则由对数函数的定义域，得0>v ，即.0log 3>x （2） 又由1log ,0)(log log 333>>x x 得.由（1）得3>x ，由（2）得1>x .).,3(),1(),3(+∞=+∞+∞故函数)](log [log log 333x y =的定义域是3>x .评注：对于对数函数来说，想要求他的定义域需要掌握对数函数的性质，抽丝剥茧一层一层来，谨记复合函数的定义域是中间函数的定义域之交集.3.求函数的值域用换元法求函数的值域是通过引入新变量（辅助式，辅助函数等）以完成把所有分散的已知条件联系起来，将已知条件和要求的达到的结论结合起来，把隐藏在条件中的性质显现出来，或把繁琐的表达式简化起来的目标，之后就可以利用各种各样基本的求函数值域方法来解决问题.某些函数可以利用代数或三角代换将其化为容易确定值域的另一函数，从而得原函数的值域，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型.形如均为常数，d c b a d cx b ax y ,,,(+++=且0≠a ），可以令)0(t ≥+=t d cx ，则有c d t x d cx -=+=22,t 所以 ,2t b cd t a y ±+-⋅=从而就把原函数化成了关于t 的二次函数，求出这个函数值域就是原函数值域，要注意t 的取值范围.（1）代数代换用换元法求函数值域，应根据已知函数的结构特征作适当的变量替换，并由已知函数的定义域确定出辅助元的取值范围，在对新函数作适当变形，以便利用一元二次方程的根的判别式，或二次函数的性质求出已知函数的值域例8 求函数x x y 313-+=的值域.分析：函数x x y 313-+=形如d cx b ax y +±+=（d c b a ,,,均为常数，且0≠a ）.因此，可以考虑用换元法. 解：设.31),0(312x t t x t -=≥-=则所以 .312t x -= 原函数可化为 .131322++-=+-⋅=t t t t y即 .45)21(2+--=t y 由其函数图像可知 当21=t 时，即41=x 时，y 取得最大值 45max =y .无最小值 所以函数x x y 313-+= 的值域为].45,(-∞ 评注：通过换元法引入新的辅助式将原函数转化为常见的一元二次函数，画出一元二次函数的图像便可求得原函数的值域，绘图像时须注意函数的定义域.（2）三角代换三角代换的实质是把平面)](,[x f x 上的问题映射到平面)](,[a f a 上来研究.因此我们需要掌握三角函数中的种种知识和技能，以便我们熟练灵活的进行三角代换. 例9 求函数21x x y -+=的值域.分析：函数21x x y -+=的定义域为]1,1[-，我们注意到)22(1sin 1ππ≤≤-≤≤-t t .因此，对于定义域为]1,1[-的函数，我们可以考虑用)22(sin ππ≤≤-=t t x 进行代换. 解：函数21x x y -+= 的定义域为]1,1[- 设).22(sin ππ≤≤-=t t x则原函数 21x x y -+=可化为 ).4sin(2cos sin π+=+=t t t y 因为.22ππ≤≤-t所以 .4344πππ≤+≤-t 由)4sin(2π+=t y 的图像可知 ).22(2)4sin(21πππ≤≤-≤+≤-t t 所以 .21≤≤-y 即原函数的值域为].2,1[-评注：利用三角代换求函数的值域，要设法将其变为()k mx A y ++=ϕsin),,,()cos(均为常数或k m A k mx A y ϕϕ++=的形式，然后借助正弦，余弦函数图像便可求出已知函数的值域.但应注意，换元前后自变量容许值的范围应呼应一致.4.1.5 换元法在证明中的应用对于不等量问题，使用合理的换元，可以创造条件使问题化繁为简.在证明某些不等式时，通过换元以后容易看出不等式中各个量之间的关系，从而容易产生联想，可以比较快的想到解题方法，或者把证明的过程简化.用换元法来证明不等式即是要按照式子的构造特性，选择恰当的变量代换，化繁为简，其本质便是转化.下面我将从用换元法证明不等式进行探究.例10 设,,,+∈R c b a 求证).()()(c b a b a c a c b abc -+⋅-+⋅-+≥分析；通过观察可发现，把c b a ,,中两两字母互换，不等式不变，由此可说明这是一个对称不等式，如若我们令c b a z b a c y a c b x -+=-+=-+=,,则原不等式可化为：.8)()()(xyz x z z y y x ≥+⋅+⋅+证明：令c b a z b a c y a c b x -+=-+=-+=,,则).()(2c b a b a c z y a -++-+=+= 即).(21z y a += 同理可得).(21),(21y x c z x b +=+= 时，有所以当因为0,,,<∈+xyz R c b a.8)()()(xyz x z z y y x ≥+⋅+⋅++∈>R z y x xyz ,,0时，有当（否则，z y x ,,中必有两个不为正值，不设矛盾这与则0,0c ,0,0>≤≤≤c y x ），因此 .02,02,02y >≥+>≥+>≥+xz x z yz z y xy x.8)()()(xyz x z z y y x ≥+⋅+⋅+综上，恒有.8)()()(xyz x z z y y x ≥+⋅+⋅+把z y x ,,代入上式得).()()(c b a b a c a c b abc -+⋅-+⋅-+≥评注：该题是对称不等式，通常考虑用换元来证明，通过把不等式的构造简化使不等式容易证明.利用代换法解决不等式问题，可以起到事半功倍的效果，大大的提高了解题的速率，降低了题目的难度，但如何选取合理的代换的方法，还有待与探讨和沉思，进一步研究的方向是寻求合理的代换方式.4.2换元法在微积分中的应用微分，积分是高等数学的一个重要组成部分，其计算也是一个难点，换元积分法是把原积分变量通过代换化为另一种积分变量，从而把被积函数化为积分公式表中的形式来进行积分.它是先通过)(u x ϕ=的关系，然后在利用⎰⎰=)()]([)(u d u f dx x f ϕϕ进行积分的.从右向左应用此式，实际上是利用微分形式的不变性来求积分的方法，属第一类换元法.从左向右应用此式，是以)(u x ϕ= 代入，作为对新变量u 的积分，属第二类换元法.4.2.1 换元法在微分中的应用微分的定义：若函数)(x f y =在0x 的改变量y ∆与自变量x 的改变量x ∆有下列关系).(0x x A y ∆+∆=∆ (1) 其中A 是与x ∆无关的常数，称函数)(x f 在0x 可微，x A ∆称为函数()x f 在0x 的微分，记为:x A dy ∆= 或.))((0x A x f d ∆=x A ∆也称为（1）式的线性主要部分.“线性”是因为x A ∆是x ∆的一次函数，“主要”是因为（1）式的右端x A ∆起主要作用，)(0x ∆比x ∆是高阶无穷小.例11 求)1ln(2x x y ++=的微分.分析：依据xnx 1)(='，我们可将21x x ++看作一个团体，再来求微分 解：设 t x x =++21 ， 则 .ln t y = 即而,,1)(ln dx t dt dt tt d dy '=== .1)11(111)11()2)1(211(2222212xdx dy dx xx x x dt t dy dx xx dx x x dt +=++⋅++==++=⋅++=- 评注：通过换元，将函数转化为常见的形式，再利用微分的运算法则和公式求出原。
