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第二类换元积分法公式大全第二类换元积分法是求解不定积分中常用的一种方法，也被称为反三角函数法。
该方法适用于被积函数含有形如$f'(x)/f(x)$的因式，换元后将该因式化为常数，从而简化积分运算。
以下是第二类换元积分法中常用的公式：1. $\int f'(x)f(ax+b)dx=\dfrac{1}{2a}f^2(ax+b)+C$2. $\int \dfrac{1}{x^2-a^2}dx=\dfrac{1}{2a}\ln\left|\dfrac{x-a}{x+a}\right|+C$3. $\int \dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\sin^{-1}\dfrac{x}{a}+C$4. $\int\dfrac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|+C$5. $\int \dfrac{1}{ax^2+bx+c}dx=\dfrac{1}{\sqrt{4ac-b^2}}\tan^{-1}\left(\dfrac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}\right)+C$6. $\int \dfrac{1}{x^2+a^2}dx=\dfrac{1}{a}\tan^{-1}\dfrac{x}{a}+C$以上公式中，$f(x)$是反函数$f^{-1}(x)$的导数。
对于一般情况，我们可以通过合理的换元使得原函数变为上述公式中的一种形式，从而便于求解不定积分。
例如： $\int \dfrac{1}{2x+1}\ln(2x+1)dx$。
这里$f(x)=\ln(x)$的导数为$f'(x)=\dfrac{1}{x}$，而被积函数中含有$(2x+1)$的因式，因此我们可以尝试使用第一类换元积分法：$u=2x+1$，则$du=2dx$，积分变为：$$\begin{aligned}\int \dfrac{1}{2x+1}\ln(2x+1)dx&=\int \dfrac{1}{u}\ln u\cdot\dfrac{du}{2}\\&=\dfrac{1}{2}\int \ln u\cdot\dfrac{du}{u}\\&=\dfrac{1}{2}\ln^2(2x+1)+C\end{aligned}$$由此可知，使用第二类换元积分法可以更加灵活地求解各种类型的不定积分，为我们的微积分研究提供了便利。
§4。
2 换元积分法（第二类)Ⅰ授课题目（章节)：§4。
2 换元积分法 （第二类换元积分法） Ⅱ教学目的与要求:1。
了解第二类换元法的基本思想2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法 Ⅲ教学重点与难点：重点：第二换元法中的三角代换及根式代换 难点：积分后的结果进行反代换 Ⅳ讲授内容：第一类换元积分法的思想是：在求积分()g x dx ⎰时,如果函数g (x ）可以化为[()]()f x x ϕϕ'的形式,那么()()[()]()[()]()()u x g x dx f x x dx f x d x f u du ϕϕϕϕϕ='==⎰⎰⎰⎰()F u C =+[()]F x C ϕ=+所以第一换元积分法体现了“凑”的思想。
把被积函数凑出形如[()]()f x x ϕϕ'函数来。
对于某些函数第一换元积分法无能为力,例如⎰-dx x a 22.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法。
第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换)(t x ψ=将无理函数()f x 的积分()f x dx ⎰化为有理式[()]()f t t ψψ'的积分[()]()f t t dt ψψ'⎰。
即()[()]()f x dx f t t dt ψψ'=⎰⎰若上面的等式右端的被积函数[()]()f t t ψψ'有原函数()t Φ，则[()]()()f t t dt t C ψψ'=Φ+⎰，然后再把()t Φ中的t 还原成1()x ψ-，所以需要一开始的变量代换)(t x ψ=有反函数。
定理2 设)(t x ψ=是单调、可导的函数，且0)(≠ψ't ，又设)()]([t t f ψ'ψ有原函数()t Φ,则⎰⎰+ψΦ=+Φ=ψ'ψ=-C x C t dt t t f dx x f )]([)()()]([)(1分析 要证明1()[()]f x dx x C ψ-=Φ+⎰，只要证明1[()]x ψ-Φ的导数为()f x ，1[()]d d dt x dx dt dx ψ-ΦΦ=⋅ ， ?dt dx=证明 )(t x ψ= 单调、可导,∴()x t ψ=存在反函数)(1x t -=ψ，且)(11t dtdx dx dt ψ'== 11[()][()]()()()d d dt x f t t f x dx dt dx t ψψψψ-Φ'Φ=⋅==' )]([1x -ψΦ∴是)(x f 是一个原函数⎰+ψΦ=-C x dx x f )]([)(1.第二换元法,常用于如下基本类型 类型1：被积函数中含有22x a -(0>a ）,可令t a x sin =（并约定(,)22t ππ∈-)则t a x a cos 22=-，tdx a dx cos =，可将原积分化作三角有理函数的积分.例1 求⎰-dx x a 22)0(>a解 令t a x sin = ，(,)22t ππ∈-,则t a x a cos 22=-tdt a dx cos = 22cos cos a x dx a ta tdt ∴-=⎰⎰22211(cos 2)sin 22224a a a t dt t t C =+=++⎰22222sin cos arcsin 2222a a a x x t t t C a x C a =++=+-+. 借助下面的辅助三角形把sin t ，cos t 用x 表示.例2 求⎰-dx xx 224解 令t x sin 2=,(,)22t ππ∈-,则t x cos 242=-，tdt dx cos 2=2224sin 1cos22cos =42cos 24t t tdt dt t x-∴=⋅-⎰⎰ =(22cos2)2sin 2t dt t t C -=-+⎰222sin cos 2arcsin 422x xt t t C x C =-+=--+类型2:被积函数中含有)0(22>+a x a 可令 t a x tan = 并约定(,)22t ππ∈-，则t a x a sec 22=+；tdt a dx 2sec =；可将原积分化为三角有理函数的积分。
§ 4.2 换元积分法(第二类)I 授课题目(章节)：§ 4.2 换元积分法(第二类换元积分法)n 教学目的与要求：1.了解第二类换元法的基本思想2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法川教学重点与难点：重点：第二换元法中的三角代换及根式代换难点：积分后的结果进行反代换IV 讲授内容：第一类换元积分法的思想是：在求积分g(x)dx时如果函数g(x)可以化为f[ (x)] (x)的形式那么g(x)dx f[ (x)] (x)dx f[ (x)]d (x)u (x) f(u)duF(u) C F[ (x)] C所以第一换元积分法体现了“凑”的思想•把被积函数凑出形如f[ (x)] (x)函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如a2x2 dx.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法。
第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换x (t)将无理函数f (x)的积分f (x)dx化为有理式f[ (t)] (t)的积分f[ (t)] (t)dt。
即f(x)dx f[ (t)] (t)dt若上面的等式右端的被积函数f[ (t)] (t)有原函数(t)，则f[ (t)] (t)dt (t) C ,然后再把(t)中的t还原成1 (x)，所以需要一开始的变量代换x (t)有反函数。
定理2设x (t)是单调、可导的函数，且(t) 0,又设f[ (t)] (t)有原函数(t)，则1f(x)dx f[ (t)] (t)dt (t) C [ (x)] C分析要证明f(x)dx [ 1(x)] C，只要证明[1(x)]的导数为f(x),d 「1,、■, d dt dt[(x)] , ?dx dt dx dx可将原积分化作三角有理函数的积分x2例2求 . 2 dx4 x,)，则 ' 4 x2 24sin 2t2costdt =2cost2cost，dx 2costdt(2 2cos2t)dt 2t si n2t C2 2证明x (t)单调、可导，x (t)存在反函数t-(x)，且字dx1dxdt1It)Q —dx-J -JI A[1(x)]頁匸f[ (t)]⑴飞f(x)1 (x)］是f (x)是一个原函数f (x)dx [-(x)]第二换元法，常用于如下基本类型类型1 ：被积函数中含有..a2x2( a 0) ,可令x asint (并约定例1求a2x2dx (a 0)解令x asint acost dx acostdt.a2x2dx a costa costdt a2 (21-cos2t)dt2at22 a sin 2t42at22a sin tcost2a2x x —C arcs in a2 a 2把sin t，cost用x表示.借助下面的辅助三角形2t 2sin tcost解令x 2sint，4—^dt2C 2arcsi n ——44x2 C2 2类型2 :被积函数中含有,a2x2(a 0)可令x ata nt 并约定t ( ,)，则2 2asect ；dx 2a sec tdt ；可将原积分化为三角有理函数的积分dx(a 0)解令x atant，t ( , )，^V .”.：x a2 22asect, dx a sec tdtsectdt In sect tant C例4求解令xdxx 2 \ 42ta ntdxx2.4 x21 cost ,,2 dt4 sin t-^^dsi nt sint.4 x2 21 sect4 2dtant1 1 cC1dt414 sin t,)，则2 22sec t24tan t 2sectdx(x2 9)2（分母是二次质因式的平方23sec tdt2dx 2 sec tdt1萼dtsin2tcos t4 x2Cdx 3sec21 工 127cos2 tdt(x29) 2481sec1 t 1 t—(1 cos2t)dt ——cos 2tdt —54 54 54 54t 1 t 1—sin 2t —一sin t cost C54 2 54 54 54解令x 3tant,贝U x2 9 9sec21, dx12 54cos2td2t3x（第二换兀积分法分）(x 2x 5)1x 1 arcta n —2 2解(x 2x 5)2 2 2[2 (x 1)]，令x 1 2ta ntt (i ，2)则dx 2 2(x 2x 5)笄壬水1 (12 sec t 16cOs2t)dt1sin t cost C161 x 1 arcta n — 16 21 x 1 8 x 22x 类型3 被积分函数中含有(a 0)，当 x a 时，可令x asect ，并约定I 2 2t （0,—），贝U x a ata nt , 将原积分化为三角有理函数的积分。
