换元法及其应用

换元法的常见形式在数学解题过程中，根据已知条件的特征，引入新的变量，对题目进行转化，形成一个用新变量表达的问题，通过解决新问题，来达到解决原问题的目的，这种解题方法叫做换元法。

换元法的形式很多，但它们有一个共同特点，改变问题的结构形成新问题，为解决问题提供可能性，它是数学中转化和化归思想的一个重要体现。

下面举例说明换元法的常见形式的应用。

一、三角换元例1 已知224a b +=，229x y +=，求ax by +的最大值。

解 由224a b +=，可设2cos ,2sin a b αα==；由229x y +=，可设3cos ,3sin x y ββ==.于是6cos cos 6sin sin 6cos()6ax by αβαβαβ+=+=-≤又当2()k k Z αβπ-=∈时，上式中等号成立。

即ax by +的最大值是6.一般地，题目中若有条件222(0)a b r r +=≥，常设cos ,sin a r b r αα==进行三角换元，将问题改变成一个三角函数有关的问题，再利用三角函数知识、方法进行解答，此方法称为三角换元。

事实上，对于任意两个实数,x y ，在坐标平面上总有惟一的对应点A(,)x y 与之对应，设此点到原点的距离为r ，射线Ox 逆时针方向旋转到射线OA 时，所转过的最小正角为θ，则cos ,sin x r y θθ==。

例2 实数,x y 满足224545x xy y -+=，设22S x y =+，求S 的最大值和最小值。

解 设cos ,sin x r y θθ==，则2245cos sin 5r r θθ-=，2545cos sin r θθ=- 所以22251045cos sin 85sin 2S x y r θθθ=+===-- 所以当sin 21θ=时，max 103S =；当sin 21θ=-时，min 1013S =. 二、增量换元若题目的已知中有形如a b >的条件，则可考虑设,0a b t t =+>，将问题进行转化。

初中数学什么是换元法换元法是一种在初中数学中常用的解题方法，特别适用于一些复杂的方程或不等式的求解过程。

通过引入一个新的未知数或进行一定的代换，可以将原问题转化为更简单的形式，从而更容易求解。

下面我将为您详细介绍换元法的定义、原理以及应用方法。

一、换元法的定义换元法是指通过引入一个新的未知数或进行一定的代换，将原问题转化为更简单的形式，从而更容易求解的解题方法。

通过将问题中的变量进行替换，可以改变问题的形式，使其更易于处理。

换元法在解方程、求不等式的最值、证明等问题中都有广泛的应用。

二、换元法的原理换元法的原理是通过引入一个新的未知数或进行一定的代换，将原问题转化为更简单的形式。

新的未知数或代换的选择通常是根据问题的特点和需要来确定的。

通过合理的选择，可以使问题的形式更简单，从而更容易求解。

三、换元法的应用方法换元法的应用方法可以根据具体问题的不同而有所变化。

下面我将分别介绍在解方程、求不等式的最值以及证明中的换元法应用方法。

1. 解方程：a. 对于一元一次方程，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。

例如，对于方程2x + 3 = 7，可以引入新的未知数y = 2x + 3，转化为y = 7，进而求得x的值。

b. 对于一元二次方程，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。

例如，对于方程x^2 + 3x + 2 = 0，可以引入新的未知数y = x + 1，转化为y^2 + 2 = 0，进而求得x的值。

2. 求不等式的最值：a. 对于一元一次不等式，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。

例如，对于不等式2x + 3 > 5，可以引入新的未知数y = 2x + 3，转化为y > 5，进而求得x的取值范围。

b. 对于一元二次不等式，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。

例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，可以引入新的未知数y = x - 2，转化为y^2 - 1 > 0，进而求得x的取值范围。

使用换元法解决函数积分问题函数积分是微积分中常见的计算方法，通过对给定函数求积分，可以得到对应的定积分值或不定积分表达式。

在某些情况下，为了简化积分的计算或变换积分的形式，可以采用换元法（也称为代换法或替换法）来解决函数积分问题。

本文将介绍换元法的基本原理，并通过具体的例子来展示该方法的应用。

一、换元法的基本原理换元法是一种基于链式法则的积分变换方法，其基本思想是通过引入新的变量来替代原积分变量，以便简化或改变积分的形式。

该方法的核心是选择合适的换元变量和建立原变量与换元变量之间的函数关系。

具体步骤如下：1. 选取换元变量：根据积分被积函数的形式，通常选择一个与原变量之间存在某种函数关系的新变量，以便简化剩余的积分计算。

2. 建立函数关系：通过选择换元变量后，建立该变量与原变量之间的函数关系。

这可以是通过直接赋值或利用已知的函数性质得到。

3. 计算偏导数：根据函数关系，计算出所选换元变量的一阶或高阶导数，并将其用于后续的换元计算。

4. 替换变量：将换元变量代入原积分，实现变量的替换。

在此过程中，注意用新变量替代原变量，并根据链式法则调整积分表达式。

5. 计算积分：将新表达式的积分进行计算，并进一步简化或改变积分形式，以求得最终的积分结果。

二、使用换元法解决函数积分问题的例子为了更好地理解换元法的应用，以下将以不同类型的函数积分问题为例进行说明。

例1. 解决∫(3x + 5)^2 dx。

解答：首先，我们选取换元变量 u = 3x + 5，并建立函数关系 u = 3x + 5。

然后，计算变量 u 的导数 du/dx = 3，并根据链式法则有 dx = du/3。

将 u = 3x + 5 代入原积分中∫(3x + 5)^2 dx，得到∫u^2 (du/3)。

我们可以发现，该积分形式比原积分更简单。

进一步计算积分，得到(1/3) ∫u^2 du，这是一个较易积分的形式。

通过求解，我们得到积分结果为 (u^3/9) + C，其中 C 为常数。

换元法在高中数学解题中的应用换元法是一种广泛应用于高中数学解题中的方法。

它的核心思想是通过一定的变换将问题转化为更易于解决的形式，从而得到问题的解。

一、函数换元法1. 基本思想函数换元法是一种利用函数的运算性质，将复杂函数转化为较为简单的函数，从而帮助我们解决问题的方法。

例如，在求函数 $f(x)=\frac{1}{x-1}$ 的零点时，我们可以采用换元法将 $x-1$ 替换为 $t$，从而得到 $f(t)=\frac{1}{t}$，这样我们就可以较为容易地求得 $t=0$，进一步得到 $x=1$ 这一解。

2. 具体应用函数换元法在高中数学中广泛应用于函数的求导、求极限等方面。

例如，在求函数$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{6})$ 的导数时，我们可以采用函数换元法将$2x+\frac{\pi}{6}$ 替换为 $t$，这样就可以得到$\frac{d}{dx}f(x)=\frac{d}{dt}\sin t \times\frac{d}{dx}(2x+\frac{\pi}{6})=\cos(2x+\frac{\pi}{6})\times2=\sqrt{3}\cos(2x+\frac{\pi}{6})$。

这样问题就被转化为了求 $\sin t$ 的导数，从而便于计算。

二、微分方程的换元法微分方程是一种描述物理现象的重要工具，但由于其求解的困难度较大，我们需要采用适当的方法来简化问题。

其中，微分方程的换元法就是其中一个重要的方法。

例如，在求解微分方程 $y'+y=e^x$ 时，我们可以采用换元法将 $y=e^{-x}u$，得到$\frac{dy}{dx}=e^{-x}\frac{du}{dx}-e^{-x}u$，代入原方程后得到$\frac{du}{dx}=e^x$，进一步得到 $u=e^x+C$，从而得到原方程的通解为$y=e^{-x}(e^x+C)$。

微分方程的换元法在高中数学的物理问题中经常被应用。

换元法在高中数学解题中的应用换元法是高中数学中的一个重要概念，它在解决数学问题中起着非常关键的作用。

换元法是指在数学问题中，通过引入新的变量或函数来简化原问题的解决过程，使得原本繁杂的问题变得更加清晰和易于处理。

换元法常常应用于代数、微积分、几何等各个领域中，下面我们就来详细了解一下换元法在高中数学解题中的应用。

在高中数学中，换元法在代数问题中的应用是非常常见的。

在代数问题中，我们经常会遇到各种复杂的多项式函数或者复杂的方程。

而有时候，我们可以通过引入新的变量或者函数，来简化原来的问题，使得解决过程变得更加直观和简单。

在解决一个关于二次函数的问题时，我们可能会遇到形如y=ax^2+bx+c的多项式函数。

而有时候，我们可以通过令新的变量u=x^2，来将原来的二次函数化简为一个关于u的一次函数，从而更加方便地进行求解和分析。

这就是换元法在代数问题中的应用之一。

在高中数学的微积分部分，换元法也是非常重要的。

在解决一些复杂的定积分或不定积分问题时，通过引入新的变量或者函数，常常可以将原问题化简为一个更加易于处理的形式。

在计算定积分∫sin^2(x)cos(x)dx时，我们可以通过令u=sin(x)，来将原来的积分化简为∫u^2du，从而更加简单地求解出原来的定积分。

这就是换元法在微积分问题中的一个经典应用。

在几何问题中，换元法也是非常常见的。

比如在解决一个关于平面几何的问题时，有时候我们可以引入新的坐标系或者新的参数，来使原来的问题更加易于分析和解决。

在学习换元法时，我们需要掌握一些基本的技巧和方法。

我们需要灵活地运用代数、微积分等数学知识，来选择合适的新变量或者新函数，使得原问题化简为更加易于处理的形式。

我们需要熟练掌握各种换元的方法，如代数换元法、三角换元法等，以便灵活地应用于具体的问题中。

在运用换元法解题时，我们需要不断地进行实践和思考，从而逐渐提高我们的解题能力和数学思维能力。

换元求解的技巧换元求解是一种常用于解决复杂微积分问题的技巧。

它通过引入新的自变量来简化原始方程，并将其转化为更易求解的形式。

在本文中，我将介绍一些常见的换元求解技巧及其应用。

一、代数换元法1. 简单代数换元法简单代数换元法是将问题中的某个自变量用一个新的变量表示，从而简化方程的形式。

例1：已知函数 f(x) = 2x + 3，求 f(a + b)。

解：令u = a + b，那么a + b = u，代入方程中得f(u) = 2u + 3。

2. 三角代数换元法三角代数换元法是将三角函数中的角度用一个新的角度表示，从而简化方程的形式。

例2：已知函数 f(x) = sin(2x) + cos(2x)，求 f(π/6)。

解：令u = 2x，那么2x = u，代入函数中得f(u) = sin(u) + cos(u)。

由于要求 f(π/6)，所以把 u = 2x = π/3 代入函数中得到 f(π/6) = sin(π/3) + cos(π/3)。

二、三角换元法三角换元法是将一个复杂的三角函数用一个较简单的三角函数表示，从而简化方程的形式。

例3：求解积分∫(x^2)/(1+x^4) dx。

解：引入换元变量 u = x^2，那么 du = 2x dx，从而可将原式转化为∫(1/2)/(1+u^2) du。

然后我们再用一个三角换元法 u = tanθ，那么 du = sec^2θ dθ，从而原式变为∫(1/2) sec^2θ dθ。

三、指数换元法指数换元法是将一个复杂的指数函数用一个较简单的指数函数表示，从而简化方程的形式。

例4：求解积分∫x^2 e^x dx。

解：首先，我们可以使用分部积分法将上述积分转化为∫x d(x^2 e^x)。

然后，我们引入一个指数换元法u = x^2 e^x，得到 du = (2x + x^2) e^x dx。

通过代入变量，我们可以将原始积分简化为∫1/2 du。

四、分子分母同时换元法当需要对一个复杂的有理函数进行积分或求导时，分子分母同时换元法是非常有用的一种技巧。

定积分的二种换元法及其应用
一、换元法：
1、等价换元法：即将原有的积分值与另一种积分值进行相互转换，使得两者
之间的价值相同。

例如：将100点A积分换成50点B积分，即100A=50B。

2、定量换元法：即在固定的量上进行转换，使得不同的积分之间能够保持一
定的价值关系。

例如：将1A=2B, 则100A=200B。

二、应用：
1、企业顾客奖励方面应用广泛。

企业通常会采用不同形式的奖励来酬谢忠诚
的顾客。

通过采用不同形式的奖励来衡量顾客对企业所作出的贡献大小是很有必要的。

而通过采用换元法可以使得不同形式的奖励能够保持一定的价值关系；
2、在旅行回馈方面也有应用。

旅行回馈是旅行者在出差或旅行中所获得回馈
物品或服务所对应的数字化标准化代币体系。

通过采用不同形式的回馈来衡量旅行者对旅行所作出贡状大小也是很有必要性的。

考虑到不同形式回馈之间存在差异性；此时可以选择采用换元法来使得不吓当前式回馈能够保护一定价值关系。

换元法在高中数学解题中的应用1. 引言1.1 介绍换元法换元法是高中数学中常用的一种解题方法，通过对变量进行替换或者转化，可以简化问题的处理过程，使得原本复杂的数学题目变得更容易解决。

换元法在数学中的应用非常广泛，不仅可以用来解一元二次方程、化简代数式，还可以用来证明数学定理、解决几何问题以及处理微积分问题等。

在数学中，换元法是一种灵活的工具，能够帮助我们更加深入地理解数学概念，提高问题解决效率。

通过适当选择变量的替换，可以将原本复杂的问题简化为更容易处理的形式，从而更快地得出解答。

换元法在高中数学学习中起着举足轻重的作用，不仅可以帮助我们更好地掌握数学知识，还可以培养我们的逻辑思维能力和解决问题的能力。

要想在高中数学学习中取得更好的成绩，掌握好换元法这一重要的解题工具是至关重要的。

通过不断练习和理解，我们可以更好地运用换元法解决各种数学问题，提高自己的数学解题能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。

1.2 换元法在解高中数学问题中的重要性在高中数学中，换元法可以用于解一元二次方程。

通过适当的变量替换，可以将原问题转化为简单的一次方程问题，从而更容易地求解方程的解。

换元法还可以用于化简复杂的代数式，从而简化计算过程，提高计算效率。

换元法还可以用于证明数学定理。

通过巧妙地引入新的变量，可以简化证明过程，使得证明更加清晰和简洁。

换元法还可以用于解决几何问题和微积分问题，在解决这些问题时发挥着非常重要的作用。

换元法在高中数学解题中的灵活运用可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高解题效率和解题能力。

换元法是高中数学学习中不可或缺的重要工具，学生应该认真学习和掌握这一方法，以便更好地应对各种数学问题。

2. 正文2.1 利用换元法解一元二次方程利用换元法解一元二次方程是高中数学学习中非常常见的问题。

一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。

当解一元二次方程时，有时候可以通过换元法来简化计算过程。

初等数学中的换元法及其应用罗 伟(数学与信息科学学院2006级1班)指导老师 刘妮副教授1.换元法及其相关的定义1.1换元法的一些基本概念换元法(substitution method;substitution;changing yuan)这种引辅助未知元素解题的方法我们称为换元法。

解数学问题时，如果直接解决原问题有困难，或原问题不易下手，或由原问题的条件难以直接得出结论时，往往需要引入一个或若干个“新元”代换问题中原来的“元”，使以“新元”为基础的问题求解比较容易，解决以后将结果恢复为原来的元，即可得原问题的结果。

这种解决问题的方法称为换元法。

又称变量代换法或辅助元素法。

1.2换元的实质换元的实质就是转化，它是用一种变数形式去取代另一种变数形式，使问题得到简化的一种解题方法。

换元法的基本思想是通过变量代换，使原问题化繁为简、化难为易，使问题发生有利的转化，从而达到解题目的[1]。

常见的换元法有两种：(1)设()x F 是一个比较复杂的表达式 ,如果()x F 可以表示为一个以()t ψ为中间变量的复函数 ,则可以设()u t =ψ，于是()()()()u G t G x F =ψ=。

如果()u G 比()x F 容易解决 ,这里的换元就起了化繁为简的作用。

这是第一种换元法。

(2)设()x F 是一个比较复杂的表达式 ,为了解题的需要 ,设()t x Φ=,于是()()()()t t F x F Γ=Φ=。

只要()t Γ比较容易解决 ,同样也能起到化难为简的作用。

这是第二种换元法。

1.3 换元法的关键利用换元法解数学题的关键在于适当地选择“新元”，引进适当的代换，找到较容易的解题思路，能使问题简化。

1.4换元法的基本思想即把未知问题转化为已知问题，把复杂问题转化为简单问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题。

1.5换元法的一般步骤①设元（或构造元） ②求解 ③回代 ④检验 转化 等量代换 等价原则2.常见的换元法的类型2.1 从结构上分类 2.1.1整体换元法例2.1 已知()43+=x x f ,求()[]x f f 和()[]{}x f f f 。

换元法在高中数学解题中的应用
换元法是一种常用的数学解题方法，特别是在高中数学中，它广泛应用于函数的求导、不定积分、定积分等问题的解答中。

本文将从函数的定义、基本思想和具体应用三个方面
来介绍换元法在高中数学解题中的应用。

一、函数的定义
在解析几何中，我们知道函数可以看作是平面坐标系中一个个有序的点。

而在数学分
析中，函数被定义为一个集合关系，即对于给定的定义域上的每一个自变量，函数给出了
唯一的依赖变量。

换句话说，函数就是一个输入与输出之间的对应关系。

二、基本思想
换元法的基本思想是将原问题转化为一个新的问题，通过变量的代换，将原问题转化
为处理起来更加方便的形式。

具体而言，就是通过代换变量的方式使得原问题的求解变得
容易或者更加直观。

换元法的核心就在于合适的代换，这需要根据具体的问题来确定。

三、具体应用
1. 函数的求导
在高中数学中，函数的求导是一个常见的问题。

利用换元法可以简化求导的过程。

对
于多项式函数y = f(x) = x^n来说，可以通过变量变换x = t^k，将其转化为y = g(t) = t^m的形式。

然后再求导也就更加容易了。

2. 函数的不定积分
不定积分是求原函数的过程。

换元法可以使得不定积分的计算更加简单。

对于一个复
杂的函数，通过合适的变量代换，可以将其转化为一个更简单的形式，从而使得求不定积
分的过程更加容易。

换元法在高中数学解题中的应用
换元法是一种常用的解题方法，用于简化和解决复杂问题。

它适用于高中数学的各个领域，如函数、微积分、概率论等。

本文将介绍换元法在高中数学解题中的应用。

在函数部分，换元法常用于函数的分析、求极值、求导等问题。

在分析函数的增减性时，我们可以利用换元法将原函数转化为更容易处理的函数形式。

以函数f(x) = x^3 -
3x^2 + 2x为例，我们可以令y = x - 1，将原函数转化为f(y) = (y + 1)^3 - 3(y + 1)^2 + 2(y + 1)。

通过计算这个新函数的一阶导数和二阶导数，我们可以分析出原函数的单调性和极值情况。

除了上述应用，换元法还可以应用于等比数列、导数的应用、泰勒展开等各个数学领域。

在等比数列的求和问题中，我们可以利用换元法将等比数列转化为等差数列的形式，从而利用求和公式来计算求和值。

在导数的应用中，我们可以利用换元法将复杂的函数求导问题转化为简单的函数求导问题，从而提高计算的效率。

在泰勒展开中，我们可以利用换元法将原函数转化为简化形式，从而利用泰勒展开公式来计算函数的近似值。

换元法是一种重要的解题方法，在高中数学的各个领域中都有广泛的应用。

通过合理选择合适的换元变量，我们可以将复杂的问题简化为易于处理的形式，从而更加高效地解决问题。

换元法的应用也需要根据具体问题来决定，不能一概而论。

我们需要在实际解题过程中灵活运用换元法，并结合其他数学方法进行分析和求解。

换元法在高中数学解题中的应用换元法是高中数学中常见的一种解题方法，也是一种常用的积分方法。

它的原理是通过适当地变换自变量，将原方程或原式子简化成一个更易求解的形式。

换元法在高中数学中的应用非常广泛，下面就具体介绍一些常见的应用。

1. 函数的图像与变换：在研究函数的图像与变换时，我们常常需要用到换元法。

通过适当地变换自变量，可以将原函数的图像进行平移、伸缩等操作，进而得到新函数的图像。

对于函数y=sin(x)，我们可以通过变换自变量x来得到y=sin(2x)、y=sin(x-pi)等函数的图像。

这些变换可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。

2. 三角函数的积分：在高中数学的积分中，三角函数的积分是一个常见的难点。

通过换元法，可以将复杂的三角函数积分化简成简单的积分。

对于积分∫sin^2(x)dx，我们可以通过换元u=sin(x)来将其化简成∫u^2du，进而求解。

还有一些特殊的换元方法，如倍角、半角等，可以帮助我们解决一些特殊的三角函数积分。

3. 微分方程的求解：微分方程是高中数学中的重要内容，而换元法是求解微分方程的重要方法之一。

通过合适的换元，我们可以将微分方程化为变量可分离的形式，从而更容易求解。

对于微分方程y'=(1+y)/(1-x)，我们可以通过换元u=1+y来将其化简成u'/(u-1)=dx/(1-x)，然后再进行变量分离，最后求得u和y的解。

5. 曲线的弧长与曲线积分：在研究曲线的弧长和曲线积分时，我们常常需要使用换元法。

通过适当地变换自变量，可以将曲线的参数表示转化为更简单的形式，从而更容易进行计算。

对于曲线y=x^2在x=0到x=1上的弧长，我们可以通过变换t=x^2来将其化简成∫√(1+2t) dt，进而求解。

同样，在曲线积分中，也可以利用换元法将积分变量转化为更简单的形式。

换元法是高中数学中常用的一种方法，它可以帮助我们将复杂的数学问题化简成简单的问题，从而更容易求解。

换元法在解方程中的应用
换元法是求解方程的一种方法，其源于中国古代的“换位法”。

换元法可以让简单的多项式
方程变得更容易求解，它可以帮助学生们节省时间，效率更高，而且大大减轻了解决数学问题
的难度。

换元法是一种将原有方程中多个变量替换成其它变量的方法，从而简化这些方程的计算过程。

使用换元法解多项式方程的过程如下：首先，需要解决的多项式方程用一个新的变量替换原来
的变量，这个新变量通常与原来变量有着方程形式的对应关系，然后，解这个新方程中变量的
值即可求解出原多项式方程中变量的值。

举个例子，已知方程 x2 = 4，使用换元法简化它，则可以将原变量 x 替换成新变量 y，即新
方程为 y2 = 4。

此时，已知 y 的取值，即可解出原变量 x 的取值，例如 y = 2 时，x = 2，反之，y = -2 时，x = -2。

此外，换元法可以用于解决更复杂的方程，比如 3x2 + 5x - 12 = 0。

首先，可以将 3x2 +
5x 替换成 y，从而得到 y - 12 = 0，显然，y = 12 。

根据替换的规则，可知 3x2 + 5x = 12，因此 3x2 + 5x - 12 = 0，即原多项式方程得到简化，然后解出 x = 2 或 -2。

总之，换元法是求解方程的一个很有用的方法，它可以让学生们更方便快捷地求解多项式方程，而不用花费大量的精力。

因此，数学老师要多给学生们介绍使用换元法来解决多项式方程，以
便让学生们充分利用这种有效的方法，简化数学问题的解决过程。

定积分是微积分中的重要概念，通过定积分我们可以求解曲线与坐标轴之间的面积、体积以及质心等问题。

在求解定积分时，换元法是一种常用且有效的方法。

换元法分为第一类换元法和第二类换元法，它们在不同类型的积分计算中发挥着重要作用。

下面我们将分别介绍这两种换元法的原理和应用。

一、第一类换元法1.1 换元法简介第一类换元法，又称代换法或变量代换法，是对定积分中被积函数中的变量进行替换，将原来的积分变为更容易求解的积分。

其基本思想是通过引入适当的新变量，将被积函数中的复杂部分转化为简单的形式，从而便于积分计算。

1.2 换元法的步骤（1）寻找合适的变量替换：根据被积函数的形式和特点，选择适当的新变量代替原来的变量。

（2）计算新变量的微分：对新变量进行微分，求出新变量的微分表达式。

（3）将被积函数用新变量表示：将原来的积分中的被积函数用新变量表示出来，得到新的积分形式。

（4）进行积分计算：对新的积分形式进行计算，得出最终结果。

1.3 换元法的应用第一类换元法常用于代换型积分，如含有根式、三角函数等形式的积分。

通过合适的变量替换，可以将原积分化为简单的形式，从而便于求解。

二、第二类换元法2.1 换元法简介第二类换元法，又称参数代换法或极坐标代换法，是通过引入参数来替换被积函数中的自变量，从而实现对原积分的简化。

这种换元法常用于解决平面曲线和曲面的面积、弧长以及质心等问题。

2.2 换元法的步骤（1）引入参数：选择适当的参数替换自变量，通常选择直角坐标系下的参数形式或极坐标系下的参数形式。

（2）表达被积函数：将原来的被积函数用参数表示出来，并求出新的被积函数。

（3）进行积分计算：对新的被积函数进行积分计算，得出最终结果。

2.3 换元法的应用第二类换元法常用于参数型积分，如平面曲线、曲面以及柱面体的面积、弧长和质心的计算。

通过引入参数替换自变量，可以将原积分化为简单的形式，从而便于求解。

三、第一类换元法和第二类换元法的比较3.1 适用范围（1）第一类换元法适用于一般的代换型积分，如含有根式、三角函数等形式的积分；（2）第二类换元法适用于参数型积分，如平面曲线、曲面以及柱面体的面积、弧长和质心的计算。

换元法在中学数学解题中的应用及推广(总16页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除目录1. 引言错误!未指定书签。

一、换元法研究的背景................................ 错误!未指定书签。

二、换元法研究的意义................................ 错误!未指定书签。

三、换元法研究的方法................................ 错误!未指定书签。

2. 换元法的发展脉络错误!未指定书签。

3. 换元法的概念错误!未指定书签。

4. 换元法在中学解题中的应用错误!未指定书签。

一、换元法在方程中的应用............................ 错误!未指定书签。

二、换元法在方程组中的应用.......................... 错误!未指定书签。

三、换元法在不等式中的应用.......................... 错误!未指定书签。

四、换元法在数列中的应用............................ 错误!未指定书签。

五、换元法在复数中的应用............................ 错误!未指定书签。

六、换元法在函数和三角函数中的应用.................. 错误!未指定书签。

5. 换元法在中学解题中的常见错误错误!未指定书签。

一、“元”与“新元”选择不合理；.................... 错误!未指定书签。

二、将复合函数与原函数混淆；........................ 错误!未指定书签。

三、换元后没有确定新元的取值范围或者错误的确定新元的范围；错误!未指定书签。

6. 结论错误!未指定书签。

参考文献 (17)致谢 (18)换元法在中学数学解题中的应用及推广王秀芳（闽江学院数学系；福建福州 350108）1. 引言近年来，随着数学思想越来越受到重视，关于换元法研究也取得了新的进展. 本文研究换元法在中学解题中的应用及其推广.首先给出了换元法的概念整理了换元法的发展脉络，然后着重讲换元法在中学解题中的具体应用以及在应用的过程中常见的错误分析，最后阐述换元法在生活中的推广.一、换元法研究的背景数学课程标准中谈及数学的学习要使学生能够熟练把握当代生活所必要的数学的常识与技能，思想与活动的经历.对数学问题的理解认识与思考，学会须要的数学思维方式是数学解题必不可少的.对生活也是有需要的.中学中常用的数学解决问题的方法有很多，例如:待定系数法，数学的不完全归纳法，类比的方法，配方法，换元法等，每一种方法都是必不可少的，其中换元法更是起着举足轻重的地位，采用换元法能够化繁为简使得看似不能解决的问题变得可以操作.二、换元法研究的意义学会换元法的使用是素质教育的一项内容.我们都知道素质教学是针对全体的学生，并且是促进学生全方面成长的一种教育，而不是传统教育下的死记硬背、复制、模仿，不是为了应试教育而学习数学，数学不是只存在数学课堂.推行和实施素质教育是要在愉快教育的教学环境下突破过于强调分数，应试教育的围墙学习数学，做到学懂会用、学以致用，更重要的是将数学课堂学习到的数学方法迁移到其他学科，社会生活和解决实际问题当中去.换元法是培养学生能力的需求.换元法不仅是一种方法更渗透的是一种数学思想.在心理学知识的理论内，思想活动是存在于元认知领域.它对整个认知活动起着计划、监督控制、适当的调整的作用.让人们能够意识到在学习活动中我们缺乏什么然后就去提高什么，对学生能力的培养起着指导引领的作用. 三、换元法研究的方法文献研究法：查找国内外有文献，通过对不同专家学者文献的分析比较不同国家、不同领域对换元法的不同观点，作为本文的理论基础.2. 换元法的发展脉络1944年美国国籍，匈牙利的伟大教育家乔治·波利亚《怎样解题》.被翻译成16中文字，销售量爆表.着名的瓦尔登是一位伟大的数学家，他曾经在瑞士的苏黎世大学主办的会议中说到：“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该读一读这本引人入胜的数.”读后发现波利亚关于怎样解题深入的研究想法非常棒，特别是书中提及的解题思想对于广大的中学生都是非常有实用价值的.1969年，日本着名数学家米山国藏的《数学的精神、思想与方法》.以启发性的实例为主要依据，系统地阐述了换元法在解题，探究“元”的数学思考.1975年，希拉里·普特南(H.Hilary Putnam，1926~)，美国逻辑学家、科学哲学家发表的《数学、物质与方法》美国教育部、美国数学会和全美数学教师联合会等组织举办的美国数学邀请赛，美国中学生数学竞赛.加拿大、瑞士、前苏联各国举办的数学奥林匹克竞赛.奥林匹克数学竞赛，把中学生的数学竞赛命名为"数学奥林匹克"的是前苏联，采用这一名称的原因是数学竞赛与体育竞技有着许多相似之处，两者都崇尚奥林匹克运动精神.竞赛的成果使人们意外地发现，数学竞赛的强国往往也是体育竞技的强国，这给了人们一定的启示.1994年，厦门海沧实验中学校长、党总支书记肖学平.从事数学教学与研究工作，荣获“苏步青数学教育奖”，从事教育科学研究，出版了《中学数学的基本思想和方法》等四部专着，发表了30余篇论文.被评为福建省优秀校长，使学校实现了跨越式发展，快速成为省一级达标学校.联系我国中学数学教育给出许多优秀的例子.汪祖亨在1996年编写的《数学常用解题方法与技巧》不仅总结出一系列的换元方法，并探讨了结合中学数学教学如何进行应用.解恩泽、徐本顺主编的《数学思想方法》，欧阳维诚、肖果能及张矗合写的《初等数学思想方法选讲》中，则对换元法这一思想方法进行了较为系统的归纳阐述，为中学数学教学校本教研提供了很好的课例研究.李明振在2000年发表的《数学方法与解题研究》，也是把换元法与数学教育紧密结合在一起的论着.有关换元法解题的专题文章(如用换元法证明不等式，求函数的值域，因式分解等等)也相继发表在“中学生数学”、“数学通报”、“高中数学教与学”等各种数学杂志、报纸、期刊上.随着全国仞、高中数学竞赛的开展，换元思想方法的应用越来越多，一些竞赛试题也被纳入了中学生课外辅导的材料.3. 换元法的概念表示未知数、变数的字母统称为“元”.广义地说，表示研究对象(如常数、代数式、函数、命题、集合、向量等)的文字符号都可以称为“元”.解数学问题，碰到直接解原问题很困难不易下手的，或者由原问题的条件难以直接得出结论的时候，往往需要引入一个或几个“新元”代换问题中原来的“元”，使得以“新元”为基础的问题的求解比原来的问题容易，解决“新元”问题以后将结果倒回去恢复原来的“元”，便可得原有问题的结果.这种解决问题的方法称为换元法，又称辅助元素法、变量代换法.换元法的基本思想是通过变量代换，化繁为简，化难为易，使问题发生有利的转化，从而更为简单快速的解决原来的问题.故换元的实质就是转化与化归.在中学数学教学活动过程中，教师要有意识的培养学生解决问题的时候灵活的使用换元法.要针对不同的题型，不同的问题来确定原题中的“元”，然后适当的选择最有效的“新元”，两者之间建立联系.由于“元”的存在形式有很多，故在“新元”的选择上是灵活多变和相对复杂的.但是在转换的这个过程中，有三个特点是很明显与确定的.第一，“新元”的存在使得新问题会比原要解决的疑问来的容易，是我们经常在用的并且能够借助旧的知识解决新的实际问题的.第二，“新元”得到的新问题是在旧问题的基础上一般化或者是特殊化得来的，而不是凭空产生于原有问题没有关联的.第三，为了找到这样的“新元”，我们要对原有的问题进行转换，当然也可以对条件换元或者是对结论换元（这主要是应用在逻辑命题的相关知识上）.4. 换元法在中学解答问题中的应用一、换元法在方程中的应用例题1.（第一届国际数学竞赛题第2题）x取何值时满足以下方程：（1）；（2）；（3）；解：（1）将看成“元”，用“新元”y代替它，即则原方程转化为：需要引起重视的是换元后的得到新方程的变化范围是：，又∵，，解得这个不等式的解为：故，当时，方程成立（2）将看成“元”，用“新元”y代替它，即则原方程转化为：，得到的关于“新元”的方程是无解的，故原来方程也是无解.（3）将看成“元”，用“新元”y代替它，即则原方程转化为：当时，新元方程可以化为，即；当时，新元方程可以化为，即；当时，新元方程化为，明显无解综上所述，转换后的新元方程的解为或.又∵，，即原方程的解为：这是代数转化为代数的例题，下面给的例题2是将三角形式的方程转化为代数形式的方程.例题2.（第四届的国际数学竞赛题第4题）解下列方程：分析：这是一个二次三角形式的方程，直接解决是无法解决的，但是通过“换元法”就可以将无从下手的三角方程转化为代数方程.解：将看成“元”，用“新元”y代替，则则有：====故，原有的方程转化为：，即∴，，所以，将新元方程得到的结果带回原方程；（1），，即有；（2），，即有；（3），，即有；综上所述，以上三种数都是原方程的解.二、换元法在解方程组当中的应用换元法在方程组中的作用主要是用来简便计算量的.因为有些方程组如果用常规方法做也是可以行得通的，但是计算量就有点太大了，特别是在复杂一点的分式方程组或者是高次方程组中利用换元法就是特别明智的选择.换元的目的就是将复杂的分式方程组化成简单的整式方程组，也是能够把高次的方程组化成为低次的.例题3.解方程组：解：设则原来方程组可以转化为：即有，代回求解x和y的值，即有：解得，即为原方程的解.三、换元法在解不等式中的用法例题5. （第二届国际数学竞赛第2题）存在哪些值使得下面的不等式成立？解：将看做“元”，用“新元”y替换，则；既有；故，原不等式可以转化为：易得；既；故；解得：故，；即原不等式解得：例题6.如果，且满足，请证明：.分析：例题4是代数之间的换元，这一题由于，即符合了三角函数值域取值的范围，故可以尝试做三角代换.证明：令，其中有则有：故，原命题得证.四、换元法在数列方面的应用例题7.已知数列由循环公式构成，其中求的通项公式是什么？解：将看成“元”，用为“新元”替换，既有；则有由此可得：既有：根据前面几组的数据可以猜测含有“新元”数列为：接下来用数学归纳的方法去证明，之后还要还原成原数列（证明略）.例题8.已知在数列中，，求数列的通项公式.解：将看成“元”，用“新元”替换，设；则有的前n项和为：由故，既有，，且；所以；故，当，五、换元法在复数中的应用复数及其运算不仅具有三角函数的式样、代数的形式而且还有几何意义，因此运用复数能够处理很多看似复杂的数学难题与偏题.灵活转化为恰当有效的复数，把一些实数看成某些复数的虚数部分或者是实数部分，然后就可以用复数的相关知识与运算去解决问题.例题9.已知a，b，c均为大于0的数，求函数的最小取值为多少？解：可以设∴又；根据性质∴+；所以，当同向时，即有，；例题10.设复数满足，其中A是不等于零的复数，请证明：（1）（2）分析：如果这一题按照常规方法设：转化为实数上的问题，那么会因为出现的字母太多运算复杂书写不变等种种原因最终放弃.但是如果学生很好的掌握了换元的方法，用整体代换的方法，设则：已知条件便转化为：要证明的结论也相应的转化为：（1），那么此时的计算量就小多了（往下步骤省略）；六、换元法在三角函数和函数中的应用利用换元的方法可以将复杂的三角函数的问题转换成二次函数的问题.接着利用熟悉的二次函数的相关性质和方法处理，最后记得将所得的结果代回到原有问题中.这类方法在高中考试中被经常用到.例题11.已知函数，求的值.解：方法一：将“元”x用“新元”替换，则有：；我们不难发现，即使是换元之后，如果不对函数进行处理，那么效果也是不好的.方法二：设，则有，再设；（那么现在经过两次换元，我们只要去构造函数，将式子中的看成一个整体进行构造零因子.）例题12.已知，求的解析式；分析：本题中是已经知到复合函数的解析式，然后反过来让我们求原函数的解析式，应该将看成一个整体，用一个“新元”替代.解：设；则有，且；故，函数的解析式为总结:上述例题有两个点非常容易错.第一，忘记回代即答案的最终形式是含有t的式子.第二，漏了自变量的变化范围，变换后自变量的取值范围变成例题13.（2009年全国高考文科卷）已知是三角形的三个内角A、B、C，且满足条件：，求分析：隐含条件“三角形的内角和为”，且条件给的答案“”，故可以利用进行换元.解：设故，解得：.例题14.设的值的最大与最小分别是多少？解：设∴（1）当时，有此时（2）当有此时（3）当时，综上所述（再描述回答一遍即可，这里省略）分析：本例题将三角函数求值域问题.运用换元的方法转化为二次函数在闭区间上求值域，这一题不仅要顾及到换元后的取值变化的问题.还结合了之前学习的二次函数的性质，运用分类的讨论方法能够进一步处理问题.换元的方法有多种多样但不是独立的，它们之间互相联系，在解题过程中学生应该有选择性使用.遇到问题比较复杂的，这时要求学生要认真的分析，能够根据特点进行合理的变换和换元，使原有的复杂、困难的问题化为容易解决的问题.学生要知道换元法是一种解决问题策略，需要在充分观察题设与结论的联系后才可以有目的的选用，明确选择哪一类换元不是随意的.因此，在运用换元策略去解题时千万不能生搬硬套.要在仔细观察、具体分析之后寻找突破口,灵活合理地选择换元“元”与“新元”.5. 换元法在中学解题中的常见错误虽然换元法能够简化计算，化高次方程为低次方程，但是如果早使用的时候如注意等价转化与换元，那么就容易出现一些不容易发觉的错误，常常表现在如下方面.一、“元”与“新元”选择不合理；例题1 设，求错解：等式两边同时平方可得：错误分析：换元之后定义域范围扩大，混淆两个变换式子的自变量，错误的增加关系条件.正解：二、将复合函数与原函数混淆；例题2 知，求的解析式；分析：本题中是已经知到复合函数的解析式，然后反过来让我们求原函数的解析式，应该将看成一个整体，用一个“新元”替代.解：设；则有，且；故，函数的解析式为总结:上述例题有两个点非常容易错.第一，忘记回代即答案的最终形式是含有t的式子.第二，漏了自变量的取值范围，变换后自变量的范围变成还有就是已知复合函数的定义域求原函数的定义域或者是已知原函数的定义域求复合函数的定义域等类型的题目都是很容易出错的.三、换元后没有确定新元的取值范围或者错误的确定新元的范围；例题3 已知：错解：当将分析：本例题换“新元”时错误的确定了“新元”t的取值范围.正解：故解得：解得：因此，在使用换元法这种数学思想思考解决问题的时候不是生搬硬套，要注意概念的理解，细节的处理，从本质上把握换元法的每个步骤.做到灵活快捷的选用最优的换元对象和新元，最大程度上简化计算量，化繁为简，体现数学思维的高度.换元法的富有创造性的运用不仅实用而且更直观.换元不仅仅存在数学学科知识间的运用，也贯穿在数学与其他学科的知识、数学与生活之间.下面简要阐述数学在其他学科还有生活中的推广.6. 结论数学方法是数学思想的外在表现，数学思想是数学方法的本质内容.本文通过对换元法在中学数学中的应用与相关推广的研究.我认识到：数学思维的形成与发展是一个复杂、漫长的的思维认知及内化的过程.在形成过程中，参与的思维的成分并不是只有换元思想一种而应该是多样的.也可以认为：数学思维的形成实质上是综合素质在培养与运用的过程中螺旋上升的过程.往往解决问题钥匙是来自各方面思维经验的正向迁移.通过对换元法的阶段研究.针对换元的多变技巧和多样的方法进行梳理、对比、归纳以及分类.抓住换元法的基本解题类型与容易产生错误的知识点、面.从而帮助学生养成良好的数学思维以及意识，有效的掌握使用换元法解决问题的知识与技能，培养学生良好的分析与应变解题能力.同时，在收集资料的过程中我发现：目前教师都比较重视讲授表面层次上的换元技巧，注意是强调技巧，而不重视甚至忽略了渗透数学思想才是素质教育的根本.这种本末倒置的传统教学还没有完全转换.只停留在技巧方面的教学不利于学生从本质上把握换元法，会导致知识的建构体系不完善，很难作为知识的“生长点”.当然，也不能够单纯的强调数学思维，否则容易忽略表层的内容，从而导致换元法的解题过程流于形式，不能够很好的服务于生活.因此在未来的教学中应该在教授知识技能的同时要善于引导学生主动思考、学会思考，将数学学科学习的思想方法应用在其他学科与生活中去，体现数学是门基础的、是服务人类学习与人类生活密切相关的科学.限于我还是一名大学本科学生，对课题的理论知识构建相对薄弱，缺乏实际丰富的教学引导经验.导致对本次研究内容较为片.还有有许多的问题需要继续深入的研究与探讨.总的来说，从本次课题研究可以知道，换元法应用涉及的知识与技能、思想与活动经验的面很广，相对的处理技巧也是多样的，我明白进一步去研究换元法的任务是很有难度的.我对本次课题的部分研究还只是提出了一些常见的解题技巧与思考，缺少对解题理论的深入探索、发现与探讨.故在今后的学习教学中，会更加注重要在换元的思想理论的层面上，力求找到一、二个突破口，使这得本次研究显得更加全面.目前，本人对换元法的应用理论研究还处于尝试发现的阶段，真心期待未来会有更多的数学教育教学的工作者可以一起深入研究与实践.灵活、有效地选用换元法创造性的解决实际问题，为全面提高数学课程的教育教学质量提供一份力量.确保学生们能够在数学思维的熏陶、陶冶中学习数学知识与技能、研究数学的思想、体验数学活动、收获数学经验.不断引导学生，提高学生对数学思维的认知，能够自主自觉的进行调节与监控.如此一来，数学的教育教学就有希望从理论的层面上让每个学生都能获得良好的数学教育，不同的学生在数学上得到不同的发展.参考文献[1]卢春松. 浅析换元法在初中数学解题中的应用[J]. 数理化学习(初版),2014,10:72+74.[2]陈正学. 换元法在初中数学解题中的运用[J]. 雅安教育学院学报,2001,02:92-93.[3]马文杰. 高一函数教学中学生数学解题错误的实证研究[D].华东师范大学,2014.[4]孙静. 新课标下初高中数学教学的衔接研究[D].山东师范大学,2011.[5]刘道明. 换元法在初中数学解题中的探究[J]. 数理化解题研究(初中版),2013,12:17.[6]陶能文. 初中方程教学研究[D].东北师范大学,2010.[7]王成营. 数学符号意义及其获得能力培养的研究[D].华中师范大学,2012.[8]郝娟. 新课程背景下初高中数学教学衔接问题的研究与实践[D].陕西师范大学,2010.[9]于萍. 新课标下初高中数学衔接问题研究[D].曲阜师范大学,2013.[10]赖宁. 关于《数学课程标准》中一元二次方程的内容研究[D].西南大学,2008.[11]孙巍. 在数学教学中渗透数学思想方法的探索与实践[D].上海师范大学,2007.[12]丁承伦,孙玉兰. 换元法在解方程中的应用[J]. 林区教学,2005,02:56-57.[13]刘玲. 初、高中数学教学衔接探索[D].南京师范大学,2014.[14]刘华. 高中生三角函数学习的主要困难及原因分析[D].苏州大学,2009.[15]吴海鹰. 初中数学思想方法教学研究[D].内蒙古师范大学,2011.[16]臧丽娜. 新课改中数学思想方法在课标及教材中的体现[D].华东师范大学,2010.[17]吴艳丽. 初中数学化归思想方法的教学策略研究[D].天津师范大学,2009.[18]郑洁. 初中数学教学大纲的比较与访谈研究[D].天津师范大学,2008.[19]黄一品. 例谈初中数学解题中的换元法[J]. 数理化解题研究(初中版),2014,07:9-10.[20]陈仁标. 例谈换元法在解题中的应用与技巧[J]. 数理化解题研究(初中版),2014,08:28-29.致谢感谢闽江学院这四年来对我的培养，感谢我的每个任课老师.特别要感谢我的论文指导老师对本论文从选题、构思、资料收集到定稿每个环节给予的耐心的指引与帮助.对此，我发自内心的由衷的感谢.我的指导老师敏锐的学术思维，广博的专业知识，严谨的指导方式，精益求精的细节指导以及无比耐心的人格魅力将永远激励着我.这些影响不仅直接影响着我关于对论文的把握，而且会在未来的教学工作中留下深刻的印象.在此，向帮助我的老师致以崇高的敬意！感谢父母二十多年的辛勤培育，让我快乐的接受学习，并让我获取了一定的知识与做人的道理，让我有勇气走向社会，有一定的能力服务社会，贡献自己！感谢四年来的同班同学在学习、生活、工作以及情感上的陪伴.因为有你们的存在让我的大学生活变得多姿多彩！最后，我要向在百忙之中抽时间对本文进行审阅、评议和参加本人论文答辩的各位老师再次表示由衷的感谢！19。

换元法在高中数学解题中的应用
换元法是高中数学中非常重要的一种解题方法。

它通常用于解决函数积分、微分等问题。

以下是换元法在高中数学解题中的应用：
1. 函数积分
换元法通常用于解决函数的积分问题。

对于某些函数，通过将自变量通过合适的变换转化为其他形式，可使函数变得更容易积分。

例如，对于函数$f(x)=\frac{1}{(1+x^2)^2}$，它是一个复合函数的形式。

我们可以通过将$x=\tan t$来换元，于是$f(x)$可写成$\frac{1}{2}\int\frac{\cos
t}{(\cos^2t+\sin^2t)^2}dt$的形式。

这个积分可以通过代换$\sin t=z$的方法求解。

2. 微分方程
换元法对于微分方程的解题也非常有用。

通过对自变量或因变量的变换，可以使微分方程的形式更加简单明了，方便求解。

例如，对于一个一阶常微分方程$y'+xy=x$，我们可以通过将
$x=ue^{-\frac{1}{2}x^2}$、$y=v(u)e^{\frac{1}{2}x^2}$的方法进行换元。

这样可以将方程转化为$v'+v=1$的形式，从而更容易求解。

三角函数的积分在高中数学中也经常出现，我们可以通过换元法使三角函数的形式更简单。

反三角函数积分中经常需要使用换元法来进行求解。

通过对自变量进行换元，可以将反三角函数积分转化为简单的有理函数积分。

总之，换元法是高中数学中非常重要的一种解题方法，它可以使原问题变得更加简单明了，方便求解。

不定积分换元法公式不定积分换元法是求解不定积分中常用的一种方法，它通过引入一个新的变量替换原积分中的变量，从而将原积分转化为新的不定积分，进而更容易求解。

不定积分换元法公式主要包括两种形式：第一类换元法和第二类换元法。

接下来，我将详细介绍这两种形式的公式及其应用。

一、第一类换元法：第一类换元法是通过引入一个新的变量来替换原不定积分中的变量，一般选择不定积分的变量作为新变量的导数。

设新变量为u = g(x)，则原不定积分可表示为∫f(x)dx = ∫h(u)du，其中h(u)为f(x)与g(x)之间的关系。

此时，需要求出u关于x的导数du/dx，并应用链式法则来完成变量替换和求导。

公式如下：∫f(x)dx = ∫h(u)du = ∫h(g(x))g'(x)dx二、第二类换元法：第二类换元法是通过引入一个新的变量来替换原不定积分中的一部分表达式，一般选择积分中的一部分表达式作为新变量的导数。

设新变量为u = g(x)，则将表达式f(x)dx进行替换，可得∫f(x)dx =∫g'(x)h(u)du，其中g'(x)为新变量u关于x的导数，h(u)为f(x)dx与g'(x)之间的关系。

此时，需要求出u关于x的导数du/dx，并应用链式法则来完成变量替换和求导。

公式如下：∫f(x)dx = ∫g'(x)h(u)du通过以上两种换元法，可以将原不定积分转化为新的不定积分，然后利用新的不定积分公式及基本积分公式进行求解。

下面举例说明这两种换元法的应用。

（1）第一类换元法的应用：求解∫(2x + 1)²dx。

设u = 2x + 1，则du/dx = 2将du/dx代入原式，并将原积分中的x用u表示∫(2x + 1)²dx = ∫u² * (1/2)du = (1/2) * ∫u²du = (1/2) * u³/3 + C = (1/6)(2x + 1)³ + C。