任意角和弧度制ppt课件

弧AB的长 OB旋转的方向 ∠AOB的弧度数 ∠AOB的度数
∏r
逆时针方向
∏
2∏r
逆时针
2∏
r
逆时针
1
2r
顺时针
-2
∏r
顺时针
-∏
0
未作旋转
0
∏r
逆时针
∏
2∏r
逆时针
2∏
1800 3600 57.30 -114.60 -1800 00 1800 3600
2、角度与弧度之间的换算
把角度换算成弧度 把弧度换算成角度
弧 度
0
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
3
2
2
角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数 集R之间建立起一一对应的关系:每一个角都 有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对 应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角 (即弧度数等于这个实数的角)与它对应
正角 零角 负角
任意角的集合
正实数 0
负实数
实数集R
3、例题讲解
题型二 用弧度制表示角的集合 例2 (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，
其中0≤α≤2π. (2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α终边相同，求β.
【解】 (1)∵－1 480°＝－1 148800π＝－749π＝－10π＋169π， 又 0≤196π≤2π， ∴－1 480°＝169π－2×5π＝169π＋2×(－5)π.
360 2 rad. 180 rad. 1 rad 0.01745rad.
180
1rad (180) 57.30 5718'
角度与弧度之间 的换算

②任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个 正数 ；负角的弧度数是一个 负数 ；零角 的弧度数是 零 . ③角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数
l 的绝对值是|α|＝ r .
明目标、知重点
2.角度制与弧度制的换算 (1)
角度化弧度 360°＝ 2π rad 180°＝ π rad π 1°＝180 rad≈0.017 45 rad
§1.1 任意角和弧度制
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点
1.了解角的概念. 2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义. 3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合 符号表示这些角.
明目标、知重点
填要点·记疑点
明目标、知重点
反思与感悟 当角的集合的表达式分两种或两种以上 情形时，能合并的尽量合并，注意把最后角的集合化 成最简的形式.
明目标、知重点
跟踪训练3 求终边在直线y＝－x上的角的集合S. 解 由于直线y＝－x是第二、四象限的角平分线，在0°～ 360°间所对应的两个角分别是135°和315°， 从而S＝{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋315°， k∈Z} ＝ {α|α ＝ 2k·180° ＋ 135° ， k∈Z}∪{α|α ＝ (2k ＋ 1)·180° ＋135°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}.
明目标、知重点
1234
4.写出终边落在坐标轴上的角的集合S. 解 终边落在x轴上的角的集合： S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}； 终边落在y轴上的角的集合： S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}； ∴终边落在坐标轴上的角的集合： S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}＝{β|β ＝2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝n·90°，n∈Z}.

四、课堂小结：
1.弧度制定义
2.角度与弧度的互化
3.特殊角ห้องสมุดไป่ตู้弧度数
度 0° 30 °45 ° 60 °90 ° 120 °135°150°
弧 度
0
6
4
3
2 3 5
2 3 46
思考与作业：
用弧度制表示 （1）终边落在45°角的终边上的所有角的集合
（2）第Ⅱ象限角的集合
谢 谢 指 导!
3
3
4、角度制与弧度制的比较
引进弧度制后，我们应将它与角度制进行比 较，同学们应明确：①弧度制是以“弧度 ”为单位度量角的制度，角度制是以“度 ”为单位度量角的制度；②1弧度是等于半 径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大 小，而 是圆的 所对的圆心角（或该弧）的 大小；③不论是以“弧度”还是以“度” 为单位的角的大小都是一个与半径大小无
(弧长计算公式)
提问：为什么可以用弧长与其半径的比值 来度量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆
的半径大小有关呢？
B
B` L
l
n°
O
r
A` R
A
结论：当半径不同时，同样的圆心角 所对的弧长与半径之比是常数
5、弧度与角度的换算
若L=2 π r，则∠AOB=
L r
=
2π弧度
此角为周角 即为360°
360°= 2π 弧度
在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制， 另外一种度量制---弧度制.
一、知识回顾
1、角度制的定义
•规定周角的1/360为1度的角，这种用度做单位 来度量角的制度叫角度制。
60°
90°
2、弧长公式:
l n r
180

3．任意角的三角函数 (1)定义：设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x， y)，那么 sin α＝ y ，cos α＝ x ，tan α＝yx(x≠0)． (2) 几 何 表 示 ： 三 角 函 数 线 可 以 看 作 是 三 角 函 数 的 几 何 表 示．正弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线 的起点都是(1,0)．如图中有向线段 MP，OM，AT 分别叫做角 α 的 正弦线， 余弦线 和 正切线．
＝ －42＋32＝5，故 cos α＝xr＝－54＝－45，选 D.
3．若角 θ 同时满足 sin θ＜0 且 tan θ＜0，则角 θ 的终边
一定落在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选 D 由 sin θ＜0，可知 θ 的终边可能位于第三 或第四象限，也可能与 y 轴的非正半轴重合．由 tan θ＜0， 可知 θ 的终边可能位于第二象限或第四象限，故 θ 的终边只 能位于第四象限．
(1)若 α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长 l； (2)若扇形的周长为 20 cm，当扇形的圆心角 α 为 多少弧度时，这个扇形的面积最大？ [自主解答] (1)∵α＝60°＝π3，R＝10 cm， ∴l＝Rα＝10×π3＝103π cm.
(2)∵扇形的周长为 20 cm，∴2R＋l＝20，
(3)因为点 P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，
所以
sin
θcos
θ＜0,2cos
θ＜0，即sin cos
θ＞0， θ＜0，
所以 θ 为第二象限角．
[答案] (1)－8 (2)(2－sin 2,1－cos 2) (3)二
三角函数定义问题的常见类型及解题策略 (1)利用定义求三角函数值．在利用三角函数的定义求角 α 的三角函数值时，若角 α 终边上点的坐标是以参数的形 式给出的，则要根据问题的实际及解题的需要对参数进 行分类讨论．任意角的三角函数值仅与角 α 的终边位置 有关，而与角 α 终边上点 P 的位置无关．

144 6
l
,

120 5
r
96
6 180
(
) ( )

5

课堂小结
本节课你学会了哪些主要内容？
知识点:(1)弧度制的概念.
(2)弧度与角度的相互转化.
(3)掌握特殊角的度数与弧度数的对应关系.
(4)扇形的弧长与面积的计算.
方法归纳：由特殊到一般、数学运算.
易错点：弧度与角度混用.
（2）1弧度的角：____________________________；
（3）记法：弧度的单位符号是rad，读作弧度
注：弧度单位可省略，角度单位不能省略.
半径为1的圆
（4）单位圆：____________；
∠AOB 即为1弧度的角
概念生成
（5）弧度的计算：在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，
第五章
三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.1.2 弧度制
学习目标
学习
目标
一
理解弧度制
二
理解1弧度的角及弧度的定义
三
掌握角度与弧度的换算公式，能进行角度
与弧度的换算，熟记特殊角的度数对应的
弧度数.
复习回顾
请说说角的概念是怎样扩大的？
角的概念
(0°～360°)
放在坐标系中
看终边的位置
0°～360°
的角不够用
心角对对弧的长度。
n R 60


( mm )
简析： 角度制下： 60 n 60, l
180
180
3
弧度制下： 60

3
, l R

大小无关的定值．
栏目 导引
2．弧度数的计算与互化 (1)弧度数的计算
第五章 三角函数
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预习教材 P172－P175，并思考以下问题： 1．1 弧度的角是如何定义的？ 2．如何进行弧度与角度的换算？ 3．以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？

计算：
tan 1.5 ． （1） sin ；（2） 4
2 解：（1）∵ 45 ∴ sin sin 45 4 2 4
（2）∵
57.30 1.5 85.95 85 57

tan 1 . 5 tan 85 57 14.12 ∴
角的集合与实数集之间的一一对应关系：
例1 把
67 30化成弧度．


1 解：∵ 67 30 67 2

1 3 rad 67 rad ∴ 67 30 180 2 8
例2
4 把 rad 化成度． 5
4 4 rad 180 144 解： 5 5
角度制与弧度制互化时要抓住 180 弧度这个关键．
写出满足下列条件的角的集合. （） 1 锐角 （2） 0 到入
我们在平面几何中研究角的度量，当时 是用度做单位来度量角， 1 的角是如何定义 的？
规定周角的
1 。 360 为1 的角。
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制。
弧度制
弧度制定义
（3）下列角的终边相同的是（
）．
A． k 与 2k ，k Ζ 4 4 2 B． 2k 与 ，k Ζ 3 3
k 与 k ，k Ζ C． 2 2
D．
2k 1与 3k，k Ζ
小结
（ 2）“角化弧”时，将 n 乘以 180 180 将 乘以 ；
角 度 弧 度
0

30 45 60 90 120 135 150180 270 360
0
6 4
3
2
2 3 5 3 4 6

半径为r的圆的圆心与原点重合,角α的始 边与x轴的非负半轴重合,交圆于点A,终边与圆 交于点B.请在下表格中填空.
y B
αA ox
探思考究：弧如果度一个制半的径为性r的质圆的圆心角α所对的弧长是L,
那么α的弧度数是多少?
AB的长
OB旋转的 ∠AOB的弧 ∠AOB的度
方向
度数
数
πr
逆时针方向
180
关键
1 rad
180
57.30 5718
方法总结：
度化为弧度：180
rad
度数
弧度化为度：弧度数（180）
正角的弧度数是正数 负角的弧度数是负数 零角的弧度数是零
正角
零角
在弧度制下，角
的集合与实数集R
之间建立了一一 对应关系．
负角 任意角的集合
正实 数
0
负实 数
实数集R
6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
注：今后在用度制
C B
AOC的弧度数就是
表 弧示度角二的字时或r候ad，可以略去不写rl。=
2r r
= 2rad
l=r
1rad
Or
A
弧度制实质上是用弧长与其
半径的比值来反映弧所对圆
心角的大小．
3. 弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单 位制，角度制是以“度”为单位来度量角的 单位制；1弧度≠1º；
（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 心角的大小，而1度是圆周 1 的所对的圆心
360
角的大小；
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实 数表示，而角度制是六十进制；
（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与 半径无关的定值。

正数 零角 负角
任意角的集合
正实数 0
负实数
实数集R
小结： 1、弧度与角度的换算； 2、弧度的意义；
初中 角的度量
角度制
高中 弧度制
r
r
第一象限角
| k 360 k 360 90, k Z
第二象限角 | k 360 90 k 360 180, k Z 第三象限角 | k 360 180 k 360 270, k Z 第四象限角 | k 360 270 k 360 360,k Z
终边落在坐标轴上的情形
5
解：4 rad 4 180 1445 Nhomakorabea5
注意：1、弧度与角度的换算，可以利用科学计算器进行，。
2、一般地，“弧度”与“rad“通常略去不写，而只写这个角所对应的弧度数.
3、角度制与弧度制互化时要抓住 180 弧度这个关键．
须记住的一些特殊角的度数与弧度数的对应表：
度 0o 30o
45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o 270o 360o
任 正角：按逆时针方向旋转形成的角 意 负角：按顺时针方向旋转形成的角 角 零角：一条射线没有作任何旋转形
成的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内， 可构成一个集合
S={ β| β=α+k360° ,k∈ Z}
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成 角α与整数个周角的和。
用集合表示各象限角的集合。
0 弧
度
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
3
2
2
例4 计算：
（1） sin ；（2）tan1.5 ． 4
解：（1）∵ 45 ∴ sin sin 45 2