(人教A版)高考数学复习：3.1《任意角和弧度制及任意角的三角函数》ppt课件

3，m)，且
sinα＝
3 4
m(m≠0)，判断角 α 是第几象限角，并求 tanα的值．
解：依题意，点 P 到原点 O 的距离为
r＝ （－ 3）2＋m2＝ 3＋m2，
∴sin α＝
m， 3＋m2
又∵sin α＝ 43m，m≠0，
∴
m＝ 3＋m2
43m，
∴m2＝73，
∴m＝±
21 3.
∴点 P 在第二或第三象限．
考点二 扇形的弧长、面积公式
已知扇形的圆心角是 α ，半径为 R，弧长为 l. (1)若 α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长 l； (2)若扇形的周长为 20 cm，当扇形的圆心角 α 为多少弧度 时，这个扇形的面积最大？ [解] (1)α＝60°＝π3， l＝10×π3＝103π(cm)． (2)由已知得，l＋2R＝20， 所以 S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当 R＝5 时，S 取得最大值 25， 此时 l＝10(cm)，α＝2 rad.
α
(2)在本例(3)的条件下，判断 2 为第几象限角？ 解：∵π＋2kπ<α<32π＋2kπ(k∈Z)， ∴π2＋kπ<α2<34π＋kπ(k∈Z)． 当 k＝2n(n∈Z)时，π2＋2nπ<α2<34π＋2nπ， 当 k＝2n＋1(n∈Z)时，32π＋2nπ<α2<74π＋2nπ， ∴α2为第二或第四象限角．
[解] (1)∵在(0，π)内终边在直线 y＝ 3x 上的角是π3， ∴终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为
αα＝π3＋kπ，k∈Z.
(2)∵θห้องสมุดไป่ตู้67π＋2kπ(k∈Z)， ∴θ3＝27π＋2k3π(k∈Z)． 依题意 0≤27π＋2k3π<2π⇒－37≤k<178，k∈Z. ∴k＝0，1，2，即在[0，2π)内终边与θ3相同的角为27π，2201π， 34π 21 .
(3)由 α 是第三象限角，得 π＋2kπ<α<32π＋2kπ(k∈Z)， ∴2π＋4kπ<2α<3π＋4kπ(k∈Z)． ∴角 2α 的终边在第一、二象限及 y 轴的非负半轴．
[规律方法] 1.表示区间角的三个步骤： (1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界． (2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～ 360°范围内的角 α 和 β，写出最简区间．
为余弦线
为正切线
[做一做] 3
1．设角 α 终边上一点 P(－4，3)，则 sin α的值为___5_____．
2．若
4π＜α＜6π
且
α
与－23π
终边相同，则
16 α＝__3_π_____．
1．辨明四个易误点 (1)易混概念：第一象限角、锐角、小于 90°的角是概念不同 的三类角.第一类是象限角，第二、第三类是区间角． (2)利用 180°＝π rad 进行互化时,易出现度量单位的混用. (3)三角函数的定义中，当 P(x，y)是单位圆上的点时有 sin α
取 α＝π4 ，则 tan α＝1>0，而 cos 2α＝0，故 D 不正确．
(2)取终边上一点(a，2a)，a≠0，根据任意角的三角函数定
义，由 tanθ＝2，可得 cosθ＝±55，故 cos 2θ＝2cos2θ
－1＝－35. (3)因为 A 点纵坐标 yA＝45，且 A 点在第二象限，又因为圆 O 为单位圆，所以 A 点横坐标 xA＝－35，由三角函数的定
__负__数______，零角的弧度数是___零____．
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝___π____ rad，1°＝
π ___1_8_0_____
rad，1
rad＝____1_π8_0__°__．
(3)扇形的弧长公式：l＝__|_α_|·_r__，扇形的面积公式：S＝ ___12_lr___＝__12_|α_|_·r_2____．
[规律方法] 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略： (1)明确弧度制下弧长公式 l＝|α|r，扇形的面积公式是 S＝12lr
＝12|α|r2(其中 l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．
(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量 中的任意两个量． [提醒] 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的
第三章 三角函数、解三角形
知识点
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1.会用向量知识或三角函数线推导出两角差的余 两角和与 弦公式． 差的正弦、 2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正 余弦及正 弦、正切公式．
切公式 3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正 弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
简单的三 角恒等
变换
度量单位为弧度制．
心角．
2.已知扇形周长为 10，面积是 4，求扇形的圆
解：设圆心角是 θ，半径是 r .
则212rθ＋·r2r＝θ＝4 10⇒rθ＝＝18(舍去)或rθ＝＝4，21.
故扇形圆心角为12 rad.
考点三 三角函数的定义(高频考点) 任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内 容．在高考中以选择题、填空题的形式出现，高考对三角 函数定义的考查主要有以下三种命题角度： (1)已知角 α 终边上一点 P 的坐标求三角函数值； (2)已知角 α 的终边所在的直线方程求三角函数值； (3)判断三角函数值的符号．
(1)(2014·高考课标全国卷Ⅰ)若 tan α>0，则( C )
A．sin α>0
B．cos α>0
C．sin 2α>0
D．cos 2α>0
(2)已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重
合，终边在直线 y＝2x 上，则 cos 2θ＝( B )
A．－45
B．－35
C.35
D.45
图象与性质 的交点等)，理解正切函数在区间 －π2，π2
内的单调性．
函数y＝ Asin(ωx＋φ) 的图象及三 角函数模型 的简单应用
1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画 出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A， ω，φ对函数图象变化的影响． 2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要 函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际 问题.
(3)如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 的终边与单
位圆交于点 A，点 A 的纵坐标为45，则 cos α＝__－__35____．
[解析] (1)∵tan α＞0，∴α∈kπ，kπ＋π2 (k∈Z)是
第一、三象限角．
∴sin α，cos α都可正、可负，排除 A，B.
而 2α∈(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)， 结合正、余弦函数图象可知，C 正确．
故角 α 是第二象限角或第三象限角．
当 α 是第二象限角时，
m＝ 321，
21
tan
α＝－3
＝－ 3
37，
当 α 是第三象限角时，
m＝－ 321，
tan
－
α＝ －
21 3＝ 3
37.
交汇创新——三角函数定义下的创新
(2014·高考课标全国卷Ⅰ)如图, 圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA, 终边为射线 OP，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M.将 点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x)，则 y＝f(x)在 [0，π]的图象大致为( B )
(3)起始、终止边界对应角 α，β再加上 360°的整数倍，即
得区间角集合． 2．确定 kα，αk(k∈N*)的终边位置的方法
先用终边相同角的形式表示出角 α 的范围，再写出 kα 或αk的
范围，然后根据 k 的可能取值讨论确定 kα 或αk的终边所在 位置．
1.(1)在－720°～0°范围内找出所有与 45° 终边相同的角为_____－__6_7_5_°__或__－__3_1_5_°____________． (1)解析：所有与 45°有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k×360°(k∈Z)， 则令－720°<45°＋k×360°<0°， 得－765°<k×360°<－45°，解得－736650<k<－34650， 从而 k＝－2 或 k＝－1，代入得 β＝－675°或 β＝－315°.
cos2x＝1，
sin cos
x x
＝tan
x.
2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 π
2
±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
第三章 三角函数、解三角形
知识点
考纲下载
1.能画出y＝sin x,y＝cos x,y＝tan x的图象．
2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上
三角函数的 的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴
[做一做]
3．已知角 α 的余弦线是单位长度的有向线段，那么角 α 的
终边在( A )
A．x 轴上
B．y 轴上
C．直线 y＝x 上
D．直线 y＝－x 上
解析：|cos α|＝1，则角 α 的终边在 x 轴上．
4．已知 cos θ·tan θ＜0，那么角 θ 是( C )
A．第一或第二象限角
B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角
D．第一或第四象限角
考点一 考点二
象限角及终边相同的角 扇形的弧长、面积公式
考点三
三角函数的定义(高频考点)
考点一 象限角及终边相同的角
(1)写出终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合； (2)若角 θ 的终边与67π角的终边相同，求在[0，2π)内终边与 θ3角的终边相同的角； (3)已知角 α 为第三象限角，试确定 2α 的终边所在的象限．