(课件)1.1任意角和弧度制

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1.1 任意角和弧度制

1.1 任意角和弧度制1、角的概念：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。

如图1-1中，射线的端点O 叫做角的顶点，OA 叫做角的始边，OB 叫做角的终边。

2、在图1-1中，以OA 为始边、OB 为终边的角，记作AOB ∠；以OB 为始边、OA 为终边的角，记作BOA ∠。

3、任意角⎪⎩⎪⎨⎧零角：不旋转负角：顺时针旋转正角：逆时针旋转4、各角和的旋转量等于各角旋转量的和。

5、与任意角α终边相同的角有无数个，这无数个角可以构成一个集合，这个集合可记为。

6、象限角：终边落在第几象限，这个角就是第几象限角。

象限间的角：终边落在坐标轴上的角，叫做象限间的角。

7、明确概念：（1）锐角是指︒<<︒900α的角。

所以，锐角都是第一象限角，而第一象限角不一定都是锐角。

例如︒390角是第一象限角，但它不是锐角。

（2）锐角肯定小于︒90，而小于︒90的角不一定都是锐角。

例如，︒-30角小于︒90，但它不是锐角。

（3）相等的角终边一定相同，而终边相同的角却不一定相等。

例如，︒30角与︒390角终边相同，但它们不相等。

（4）角α在︒︒360~0范围内是指︒<≤︒3600α。

8、（1）各象限角的集合第一象限角：},222|{Z k k x k x ∈+⋅<<⋅πππ第二象限角：},222|{Z k k x k x ∈+⋅<<+⋅ππππ第三象限角：},2322|{Z k k x k x ∈+⋅<<+⋅ππππ 第四象限角：},22232|{Z k k x k x ∈+⋅<<+⋅ππππ（2）终边落在轴上的角的集合终边落在x 轴的非负半轴上：},2|{Z k k x x ∈⋅=π图1-1终边落在x 轴的非正半轴上：},2|{Z k k x x ∈+⋅=ππ终边落在x 轴上：},|{Z k k x x ∈⋅=π 终边落在y 轴的非负半轴上：},22|{Z k k x x ∈+⋅=ππ 终边落在y 轴的非正半轴上：},22|{Z k k x x ∈-⋅=ππ终边落在y 轴上：},2|{Z k k x x ∈+⋅=ππ终边落在坐标轴上：},2|{Z k k x x ∈⋅=π9、角度制与弧度制（1）1弧度角的规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

任意角和弧度制PPT课件

轴线角
与x轴正方向形成的角称为轴线角，其大小为正负90°。
Part
02
弧度制的基本概念
弧度的定义
弧度的定义
弧度是度量角的一种方式，它是以长度来度量圆弧所对应的中心角的大小。在圆中，长度等于半径的圆弧所对应的中心角叫做1弧度的角。
弧度的符号
用rad表示弧度，例如，1弧度可以表示为1rad。
弧度与角度的换算
任意角和弧度制ppt 课件
• 任意角的概念 • 弧度制的基本概念 • 任意角的三角函数 • 弧度制下的三角函数 • 任意角和弧度制的实际应用
目录
Part
01
任意角的概念
定义与性质
定义
任意角是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的角。
性质
任意角具有方向性，其正方向由旋转方向确定；旋转量大于0°小于360°的角称为正角，旋转量大于360°的角称为负角。
正弦函数、余弦函数、正切函数都具有周期性，其周期为2π弧度。
奇偶性
正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
图像
正弦函数、余弦函数、正切函数的图像分别呈正弦波、余弦波和直线形状，且均在单位圆上表示。
弧度制下三角函数的应用
三角恒等式
利用三角函数的性质，可以推导出许多三角恒等式，如sin^2(x)
电磁学中的交流电
在电磁学中，交流电的相位角可以用任意角和弧度制来表示，帮助理解交流电的特性和规律。
振动和波动
在振动和波动的研究中，任意角和弧度制可以用来描述振动相位、波传播方向等。
在几何学中的应用
平面几何和立体几何
任意角和弧度制可以用来描述平面几何和立体几何中的角度和旋转，例如旋转矩阵、极坐标等。

任意角的概念和弧度制(第一课时)

1. 若α角终边与β角终边关于x轴对称 2. 若α角终边与β角终边关于y轴对称 3. 若α角终边与β角终边关于原点对称 4. 若α角终边与β角终边关于直线y=x对称 5. 若α角终边与β角终边关于直线y=-x对称
1.1.1 任意角的概念和弧度制
引例
你的手表慢了５分钟，你是怎样将它校准的？校准后分针旋转了多少度？你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？校准后分针旋转了多少度？
新课讲解
角的定义:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
角的分类正角:按逆时针方向旋转形成的角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:射线没有任何旋转形成的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S-{β| β = α +k×360°,k∈Z}
例1、写出下列角的集合
1. 终边落在x轴正半轴 2. 终边落在x轴负半轴负半轴 6. 终边落在y轴 7. 终边落在坐标轴上
思考：终边落在：（1）一条射线上；（2）一条直线上；（3）两条相互垂直的直线上，分别应如何表示？
① -120° ② 640° ③ -2046°24`
练习：若α=k*360 °-1575 °,k∈Z，试判断α所在象限。
例4、角α的终边在如下阴影部分，写出角α的取值集合。
y y=x
O
x
(1)
y y=x
y=-x
O
x
(2)
例5、已知角为第二象限角，问2 , ,
23
分别是第几象限的角？
例6、根据下列条件，找出两角关系：
思考:如果把角放在直角坐标系中,那么怎样放比较方便、合理？
使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，是坐标轴上的角。

任意角和弧度制课件PPT

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．( ) (2)终边相同的角有无数个，它们相差 360°的整数倍．( ) (3)终边相同的角的表示不唯一．( ) 【解析】由终边相同角的定义可知(1)(2)(3)正确．【答案】 (1)√ (2)√ (3)√
下列说法： ①第一象限角一定不是负角； ②第二象限角大于第一象限角； ③第二象限角是钝角； ④小于 180°的角是钝角、直角或锐角．其中错误的序号为________(把错误的序号都写上)．【解析】由象限角定义可知①②③④都不正确．【答案】 ①②③④
教材整理 3 终边相同的角
阅读教材 P3“探究”以下至 P4“例 1”以上内容，完成下列问题． 1．前提：α 表示任意角． 2．表示：所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S＝ {β|β＝__α_＋__k_·__3_6_0_°__，__k_∈__Z___}，即任一与角 α 终边相同的角，都可以表示成角 α 与整数个_周__角__的和．
即{β|(2m＋1)×180°＋60°≤β<(2m＋1)×180°＋105°，m∈Z}．
集合 A 可以化为
{β|2m×180°＋60°≤β<2m＋180°＋105°，m∈Z}．故 A∪B 可化为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．
表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角 α 和 β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中 β－α<360°；
的关系可知，选 D． (2) 与－ 850 ° 12′ 终边相同的角可表示为 α ＝－ 850° 12 ′＋ k·360 °

高中数学人教A版必修4课件：1.1.2弧度制

(2)将下列各弧度角化为角度：①－51π2 rad；②139π.
思路点拨：
解：(1)①∵1°＝1π80 rad， ∴112°30′＝1π80×112.5 rad＝58π rad. ②－315°＝－315×1π80＝－74π. (2)①∵1 rad＝1π80°， ∴－51π2 rad＝－51π2×1π80°＝－75°. ②139π＝139π×1π80°＝1 140°.
(2) 的面积．
思路点拨：(1) 设出圆心角为θ → 建方程组 → 解方程组得解 (2) 化度为弧度 → 求弧长 → 求扇形面积
解：(1)设扇形圆心角的弧度数为 θ(0＜θ＜2π)，弧长为 l，半径为 r，
依题意有
l＋2r＝10，
①
12lr＝4.
进行角度制与弧度制的互化的策略以及注意点 (1)原则：牢记 180°＝π rad，充分利用 1°＝1π80 rad 和 1 rad ＝1π80°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为 α，角度数为 n，则 α rad＝α·1π80°；n°＝n·1π80.
(3)注意点 ①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad” 可以省略不写． ②用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π 的形式，如无特别要求，不必把π写成小数． ③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
3.解析弧度制下弧长公式、扇形的面积公式在弧度制下，弧长公式和扇形的面积公式分别为： l＝|α|R，S＝12lR＝12|α|R2(其中 α 为圆心角的弧度数，R 为扇形的半径)．要把握好上述公式，需注意以下三个方面： (1)由上述公式可知，由 α、l、R、S 中的两个量可以求出另外的两个量，即“知二求二”．
【即时演练】
－247π 是第________象限的角．解析：∵－247π＝－6π－34π，而－34π 是第三象限的角， ∴－247π 是第三象限的角．答案：三

高中数学必修4《第一章三角函数》精品课件：1.1.1任意角

S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.
S={ －315°，-135°，45°，225°， 405°，585°}
课堂小结
Office组件之word2007
1.角的概念推广正角、负角、零角、象限角
2.终边相同的角
3.终边在x轴、y轴上的角的表示
4.终边在各个象限上的角的表示
Office组件之word2007
思考2：终边在x轴上的角的集合表示
终边在x轴上：S={α|α=k·180°，k∈Z}；
新课教学
Office组件之word2007
思考3：终边在y轴非正半轴、非负半轴
上的角分别如何表示？
y轴非负半轴:α= 90°＋k·360°，k∈Z ； y轴非正半轴:α= 270°＋k·360°，k∈Z .
思考4：终边在y轴上的角的集合表示
y
x o
知识探究（三）：终边相同的角 Office组件之word2007
思考1：－32°，328°，－392°是第几象限的角？这些角有什么内在联系？
y
328° o
－392° x
－32°
新课教学
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思考2：与－32°角终边相同的角有多少个？这些角与－32°角在数量上相差多少？
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1.1.1 任意角
知识探究（一）：角的概念的推广
Office组件之word2007
复习：角的定义角是由平面内一条射线绕其端点从
一个位置旋转到另一个位置所组成的图形（如图）.
B
始边
终边
A O
顶点
新课教学
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思考1：你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋

1.1任意角和弧度制

称这个常数为该角的弧度数.
l R
能否用弧长来定义角的大小呢?
二) 1弧度角的定义
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角。单位符号是 rad,读作弧度弧度把角度单位与长度单位统一起来.
三）弧度数
l R
1、在单位圆中，当圆心角为周角时，它所对的弧长为2π，所以周角的弧度数为2π，周角是 2πrad 的角. 2、任意一个00~3600的角的弧度数必然适合不等式 0≤x<2π. 3、任一正角的弧度数都是一个正实数；任一负角的弧度数都是一个负实数；零角的弧度数是0. 弧度制下的角与实数之间的关系是怎样的呢?
B.第二象限角一定是钝角
C.第四象限角一定是负角 D.若β＝α＋ｋ· 360°（ｋ∈Z），则α
与β终边相同
例2.写出终边在直线y=x上的角的集合S, 并把S中适合不等式-360 º ≤β＜ 720 º 的元素β写出来. 解 S={β∣β= 45°+ k· 360°,k∈Z} ∪ {β∣β= 225°+k· 360°,k∈Z}=
因此 360 2 rad
因为 360 2 rad
1度角等于多少弧度？
1

180
rad 0.01745rad
度 57.30

1弧度角等于多少度？
1rad
180

例1 用弧度制表示下列各角。
(1)800
0
(2)-15030′

4 80 解： 80 180 9
0

小结 1.用度为单位来度量角的单位制叫做角度制，用弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制. 2.度与弧度的换算关系，由180°＝ rad进行转化，以后我们一般用弧度为单位度量角.

课件5：1.1.2 弧度制

A.1
B.4
C.1或4
D.2或4
解析：设扇形半径为r，中心角的弧度数为α，
2 + = 6
=1
=2
则由题意得൝ 1 2 = 2 ，∴ቊ
或ቊ
.
=4 =1
2
11
4.把－ π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，则使|θ|最小的θ值是
4
3
－
π
____．
4
11
3
解析：∵－ π＝－2π＋(－ π)
间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数
(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都
有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
7.弧度制下关于扇形的公式如下：
l
l=αr
(1)由公式 α = 立即可得弧长公式______.

根据角度制下扇形的弧长公式和面积公式

2
l= ，S=
，
180
360
将°转换为弧度，得

α= ，
180
(2)于是，
1
S= 2 α2
________.
(3)将l=αr代入上式，即得
1
S= 2 lr
________.
典型例题
例1
(1)把112°30′化成弧度；
7
(2)把－化成角度．
12
解：(1)112°30′=112.5° =
(2)
7
7
－ =－
12
12
小结
×
225
2
°=
225
2
×
5
= .
180 8
180
( )°=－105°.

任意角专题课件

第三象限角和第四象限角;
y
②轴线角：角旳终边在坐标轴上，不属于任何一种象限.
B 30 O º Ax -120º
C
2、角旳分类
练习1、下列说法中正确旳是（ D） A.第一象限角是锐角 B.不大于90º旳角是第一象限角 C.不大于90º旳角是锐角 D.锐角一定是第一象限角
练习2、下列各命题: ①相等旳角终边一定相同； √ ②终边相同旳角一定相等； ③始边和终边重叠旳角是零角； ④第二象限旳角一定不小于第一象限旳角； ⑤不不小于180º旳正角必是第一或第二象限角.
能够发觉它与x轴旳夹角为 45°，在0°~ 360°范围内，
终边在直线上旳角有两个：45°，225°.
所以终边在直线 y=x 上旳角旳集合
y
S { | 450 k 3600 , k Z } { | 2250 k 3600 , k Z }
{ | 450 2k 1800 , k Z } { | 450 (2k+1) 1800 , k Z }
第三象限
{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°， k∈Z}
第四象限
{α|k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z}
例3.已知角是第一象限的角，试问 2 、、各是第几象限的角？
23
解：由角是第一象限的角可知：
k 360 k 360 90 ，k Z
又 k 180 k 180 45 ，k Z .
o
x
故S中适合不等式－360°≤ ＜720°旳元素是：
45 2180 315, 45 1180 225, 45 1180 135, 45 2180 405, 45 0180 45, 45 3180 585.

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终边在y轴负半轴上角的集合｛β︱β= 2700+k·360°,k∈Z｝或｛β︱β= -900+k·360°,k∈Z｝
终边在y轴上角的集合为｛β︱β= 900+k·360°,k∈Z｝∪ ｛β︱β= 2700+k·360°,k∈Z｝
1.与-496°终边相同的角
是 -496°+k·360°(k∈Z); 它们中最小正角是__2_2_4_°
看谁答得快
(三)角的位置:
1.象限角
y
B1
o
x
B2
在直角坐标系内,角的顶点与
原点重合,始边与x轴的非负半轴
重合,那么角的终边在第几象限，
我们就说这个角是第几象限角.
2.非象限角（界限角、轴线角）
终边落在x轴和y轴上的角
当角的终边不落在象限内,这样的角
还是象限角吗? 否
y
y
o
x
o
x
1 .在直角坐标系中，作出下列各角
它是第三象限的角;
2.下列命题中正确的是( D) A.终边在y轴上的角是直角 B.第二象限角一定是钝角 C.第四象限角一定是负角
D.若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Z），则α
与β终边相同
例2.写出终边在直线y=x上的角的集合S, 并把S中适合不等式-360 º ≤β＜ 720 º 的元素β写出来.
C 第一、三象限角 D 第一、四象限角
6、若α是第四象限角，则180º－α是（ C）
A 第一象限角
B 第二象限角
C 第三象限角
D 第四象限角
7、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直，那么α与β之间的关系是（） D
A. β=α+90o B β=α±90o C β=k·360o+90o+α,k∈Z D β=k·360o±90o+α, k∈Z
⑵ ∵640º=360º+280º， ∴280º的角与640º的角终边相同，它是第四象限角．
⑶ ∵－950º12’=－3×360º+129º48’， ∴129º48’的角与－950º12’的角终边相同，它是第二象限角．
例2终边在y轴正半轴上角的集合｛β︱β= 900 +k·360°,k∈Z｝
（1）第一象限角构成的集合
| k 360o 90o k 360o, k Z
（2）第二象限角构成的集合
| 90o k 360o 180o k 360o,k Z
（3）第三象限角构成的集合
|180o k 360o 270o k 360o,k Z
所以 =k·120º+20º， k∈Z.
3
当k=0时，得角为20º，当k=1时，得角为140º，
当k=2时，得角为260º.
390°= 30°+＿1·＿36＿0°
-330°= 30°+(＿-1＿)·3＿60° 750°= 30°+＿2·＿36＿0° 归纳: 与30°终边相同的角的集合｛β︱β= 30°＋ k·360°,k∈Z｝
写出与－60°终边相同的角的集合｛β︱β= －60 °＋ k·360°,k∈Z｝写出与0°终边相同的角的集合｛β︱β= 0 °＋ k·360°,k∈Z｝
（1） 30° （2）120 °
（3）-60 ° （4） 225°
指出它们是第几象限角 30° 是第一象限角 120 °是第二象限角 -60 °是第四象限角 225° 是第三象限角
2. 在同一直角坐标系内作出 30° 、 390°、 -330°、 750°,观察它们终边的关系
4、终边与坐标轴重合的角的集合是（ C ） A {β|β=k·360º(k∈Z) } B {β|β=k·180º(k∈Z) } C {β|β=k·90º(k∈Z) } D {β|β=k·180º+90º(k∈Z) }
5 、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是
( C) A 第一象限角
B 第一、二象限角
α=0º. 角的概念推广后，它包括任意大小的正角、负角和零角
注意
⑴在不引起混淆的情况下，“角 ” 或“∠ ”可以简化成“ ”；
⑵零角的终边与始边重合，如果是零角 = 0°；
⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．
1.从中午12点到下午3点，时针走过的角度是＿-9＿00
2.钟表经过4小时，时针与分针各转了__-1_2_0_º_、_-_1_4_4_0_º_
B={角},C={小于90º的角},
则下列关系式正确的是( D )
A. A=B=C C. A∩C=B
B. B∪C=A D. B∪C=C
·若α是锐角,则k·180º+α, (k∈Z) 所在的象限是( C )
A.第一象限
B.第一、二象限
C.第一、三象限 D.第一、四象限
探讨 1、用集合的形式表示下列各角
3.在跳水运动中， “转体720º”、 “转体1080º”等动作名称的含义
(一)角的概念:
平面内一条射线绕着端点从一个位置
旋转到另一个位置所形成的图形
终边
B
“旋转”形成角
顶点
o
A
始边
(二)角的分类:
正角：按逆时针方向旋转所形成的角. 负角：按顺时针方向旋转所形成的角.
如α=-150º. 零角：没有作任何旋转的角.记作
象限角轴线角
终边相同角
1.掌握终边相同的角的表示方法及判定 2.注意： 00到900的角； 00～3600的角；第一象限角；锐角；小于900的角的区别
课后作业
1. 阅读教材P.2-P.5； 2. 教材P.5练习第1-5题； 3. 教材P.9习题1.1第1、2、3题.
模仿一下吧
写出与-45º角终边相同的角的集合S, 并把S中适合不等式-720º≤β＜360º 的元素β写出来.
1.1 任意角
教学目标:
1.通过实例,使学生理解角的概念推广的必要性
2.理解任意角的概念，根据角的终边旋转方向,能判定正角、负角和零角
3.学会建立直角坐标系来讨论任意角, 能够根据终边判断象限角,掌握终边相同角的表示方法
教学重点: 1.任意角的概念，象限角的概念 2.掌握终边相同的角的表示方法
（4）第四象限角构成的集合
| 270o k 360o 360o k 360o, k Z
探讨 2、若是第二象限角
则2是第几象限角？
是第几象限角？
2
是第几象限角？
3
3、已知α,β角的终边相同，那么α－β的终边
在（ A） A x轴的非负半轴上 B y轴的非负半轴上 C x轴的非正半轴上 D y轴的非正半轴上
(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．
例1. 在0º到360º范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.
(1) －120º；(2) 640º；(3) －950º12′.
解：⑴∵－120º=－360º+240º， ∴240º的角与－120º的角终边相同，它是第三象限角．
8、若90º<β<α<135º，则α－β的范围是 __(_0_º,_4_5_º)___，α+β的范围是___(_1_8_0_º,_2_7_0_º;)
9、若β的终边与60º角的终边相同，那么在 [0º,360º]范围内，终边与角的终边相同的角
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为______________;
解：β=k·360º+60º，k∈Z.
解 S={β∣β= -45º+ k·360°,k∈Z}.
S中适合-720º ≤β＜ 360º的元素是:
-405º -45º 315º
能力提升
·角α的终边经过P(-3,0),则角α( D)
A.是第三象限角
B.是第二象限角 C.既是第二象限角又是第三象限角
D.不属于任何象限
·已知A={第一象限的角},
(四)角的关系:
终边相同的角的表示方法一般地,所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 S=｛β︱β=α+k·360°,k∈Z｝即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和.
注意以下四点：
(1) k Z
(2) 是任意角；
(3) k 3600与之间是“+”号，如k 3600-30°，应看成 k 3600 +(-30°)
及判定教学难点:
把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来
1.初中所学角是如何定义的？具有公共顶点的两条射线组成的图形
2.初中学习过哪些角？锐角、直角、钝角、平角、和周角
3.初中学习的角的范围？
0º<α≤360º
观察一组图片 1.钟表的指针旋转
2.自行车的车轮周而复始地转动一根辐条
解 S={β∣β= 45°+ k·360°,k∈Z} ∪
{β∣β= 225°+k·360°,k∈Z}=
S={β∣β= 45°+ k·180°,k∈Z} S中适合-360 °≤β＜ 720 °的元素是: 45 º- 2×180°=- 315 º,
角的概念
角的大小
角的位置
角的关系
正角负角零角