沪科版-数学-九年级上册-23.2相似三角形的判定 判定三角形相似的方法

年级：九年级 学科：数学 主备人：牛方元 审核：仲军 王宝宝濉溪县杨柳中心校数学教学案系列----------沪科版 第二十三章123.2.2 相似三角形的判定定理（2）学习目标1、掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法2、会用三角形的判定定理1解决一些简单的实际问题。

学习重点：三角形相似的判定定理1——“两角对应相等，两个三角形相似” 学习难点：会运用三角形相似的条件“两角对应相等”解决实际问题。

一.知识链接(1) 两个三角形全等有哪些判定方法？ (2) 我们学习过判定三角形相似的方法？(3) 相似三角形与全等三角形有怎样的关系？ 二、探索新知认真阅读课本71--72页内容，解决以下问题1、 完成71页探究内容，同桌交流，并思考所得的两个三角形相似吗？2、 用语言归纳你所得的结论：如果一个三角形的 与另一个三角形的相等，那么这两个三角形 。

3、根据下列内容，完成你对这个结论的证明：已知：如图△ABC 和△A`B`C`中 ,∠A ＝∠A` ，∠B ＝∠B` 。

求证：△ABC ∽△A`B`C`证明:在△ABC 的边AB 、AC(或它们的延长线) 上分别截取AD= ,AE= ,连结 . ∠A=∠A`, 这样,△ADE ≌ . 则∠B`= ∵∠B ＝∠B` ∴ ∠B = ∴DE ∥ ∴△ADE ∽△ABC ∴△A`B`C`∽△ABC 三、效果检测：1、逐一解决自学指导中的问题。

2、下列说法是否正确，并说明理由．（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形； （2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形． 基础过关：3、 已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．4：如图：已知矩形ABCD 中，Q 是CD 上一点，PQ ⊥AQ 交BC 于P ， 求证：ADQ ∆∽QCP ∆四、分层提高例 已知：如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一点， DF ⊥AE 于F ，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF 的长五、总结归纳1、谈谈本节课你有哪些收获．2、相似三角形的判定方法： （1）平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似; （2）两角对应相等的两三角形相似。

D ABCE相似三角形是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形的判定和相似三角形的性质；重点是根据已知条件灵活运用不同的判定定理对三角形相似进行判定，并结合相似三角形的性质进行相关的证明，难点是相似三角形的性质与判定的互相结合，以及相似三角形与分类讨论及函数思想的互相结合．1、 相似三角形的定义如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．如图，DE 是ABC ∆的中位线，那么在ADE ∆与ABC ∆中，A A ∠=∠， ADEB ∠=∠，AEDC ∠=∠；12AD DE AE AB BC AC ===． 由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作ADE ∆∽ABC ∆，其中点A 与点A 、点D 与点B 、点E 与点C 分别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”．用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“∆”后相应的位置上．相似三角形内容分析知识结构模块一：相似三角形的判定知识精讲2 / 16ABC A 1B 1C 1根据相似三角形的定义，可以得出：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 2、 相似三角形的预备定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． 如图，已知直线l 与ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线分别交于点D 和点E ，则ADE ∆∽ABC ∆．3、 相似三角形判定定理1如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果1A A ∠=∠、1B B ∠=∠，那么ABC ∆∽111A B C ∆．常见模型如下：A BCDEABCDEABCDEABCA 1B 1C 1ABCA 1B 1C 14、 相似三角形判定定理2如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，1A A ∠=∠，1111AB ACA B AC =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．5、 相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果111111AB BC CAA B B C C A ==，那么ABC ∆∽111A B C ∆．6、 直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．如图，在Rt ABC ∆和111Rt A B C ∆中，如果190C C ∠=∠=︒，1111AB BCA B B C =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．ABCA 1B 1C 14 / 16AB CABCDEABCP【例1】 如图，已知点P 是ABC ∆中边AC 上一点，联结BP ，要使ABP ∆∽ACB ∆，那么应添加的一个条件为____________，或____________，或____________．【例2】 下列命题正确的是（ ） A ．有一个角是40°的两个等腰三角形相似 B ．有一个角是106°的两个等腰三角形相似 C ．面积相等的两个直角三角形相似 D ．两边之比为3 : 5的两个直角三角形相似【例3】 下列4⨯4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与ABC ∆相似的三角形所在的网格图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【例4】 如图，ABC ∆中，AE 交BC 于点D ，C E ∠=∠，:3:5AD DE =，AE = 8， BD = 4，则DC 的长等于（ ）A ．415B ．125C ．174D ．154例题解析ABCDPA BCDE FP【例5】 在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似；乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A ．两人多对B ．两人都不对C ．甲对乙不对D ．甲不对，乙对【例6】 如图，ABC ∆中，AB = AC = 5，BC = 6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN =______．【例7】 如图，在平行四边形ABCD 中，F 是BC 上的一点，直线DF 与AB的延长线相交于点E ，BP // DF ，且与AD 相交于点P ，则图中有______对相似的三角形．【例8】 如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，90ABC ∠=︒，AB = 8，AD = 3，BC = 4，点P 为AB 边上一动点，若PAD ∆与PBC ∆是相似三角形，则满足条件的点P 的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个图1图211 1 1111 AB CNM6 / 16A BCDEFAB CDE FGABCDEF 【例9】 如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，BC = 3，AC = 4，AB 的垂直平分线DE 交BC的延长线于点E ，则CE 的长为（ ）A ．32B ．76C ．256D ．2【例10】如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F为线段DE 上一点，且AEF B ∠=∠．（1）求证：ADF ∆∽DEC ∆；（2）若AB = 8，AD =63，AF =43，求AE 的长．【例11】如图，梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = DC ，对角线AC 、BD 相交于点F ，点E 是边BC 延长线上一点，且CDE ABD ∠=∠．（1）求证：四边形ACED 是平行四边形；（2）联结AE ，交BD 于点G ，求证：DG DFGB DB=．【例12】如图，在ABC ∆中，AB = AC ，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，DF ⊥AC ，DF 与CE 相交于点F ，AF 的延长线与BD 相交于点G ．（1）求证：2AD DG BD =；（2）联结CG ，求证：ECB DCG ∠=∠．【例13】 在ABC ∆中，AB = 40，AC = 24，BC = 32，点D 是射线BC 上的一点（不与端点重合），联结AD ，如果ACD ∆与ABC ∆相似，求BD 的值．ABCDEAB C DE FG H QAB CDNM【例14】正方形ABCD 的边长为1，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，且始终保持AM ⊥MN ，求当BM 为多少时，四边形ABCN 的面积最大，最大面积为多少？【例15】 如图，将边长为6 cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，则EBG ∆的周长为______cm ．【例16】如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC = 4 cm ，BC = 2 cm ，D 为BC的中点，若动点E 以1 cm /s 的速度从A 点出发，沿着A B A →→的方向运动，设点E 的运动时间为t 秒，联结DE ，当t 为何值时，BDE ∆是直角三角形？【例17】如图，ABC ∆中，4AB = 5AC ，AD 为ABC ∆的角平分线，点E 在BC 的延长线上，EF ⊥AD 于点F ，点G 在AF 上，FG = FD ，联结EG 交AC 于点H ，若点H 是AC 的中点，求AGFD的值．A BCDE A BCDEF G H8 / 161、 相似三角形性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 2、 相似三角形性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比． 3、 相似三角形性质定理3相似三角形的面积的比等于相似比的平方．【例18】如果两个相似三角形的面积之比是9 : 25，其中小三角形一边上的中线长是12cm ，那么大三角形对应边上的中线长是______cm ．【例19】在ABC ∆中，DE // BC ，且D 在AB 边上，E 在AC 边上，若:1:4ADE BCED S S ∆=，则:ADE ABC C C ∆∆=______，:AD DB =______．【例20】如图，梯形ABCD 中，AD // BC ，90B ACD ∠=∠=︒，AB = 2，DC = 3，则ABC∆与DCA ∆的面积比为（ ）A ．2 : 3B ．2 : 5C ．4 : 9D ．2:3【例21】【例22】如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x ，那么x 的值为（ ）A ．只有1个B ．可以有2个C ．可以有3个D ．有无数个模块二：相似三角形的性质知识精讲例题解析ABCDABCD E ABCDE【例23】如图，D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，23AD AE DE AB AC BC ===，且ABC ∆与ADE ∆的周长之差为15 cm ，求ABC ∆与ADE ∆的周长．【例24】如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且DE // AC ，若:1:4BDE CDE S S ∆∆=，则:BDE ACD S S ∆∆=______．【例25】如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，将ABC ∆沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN // AB ，MC = 6，23NC =，那么四边形MABN 的面积是______．【例26】如图，在平行四边形ABCD 中，AB = 6，AD = 9，BAD ∠的平分线交BC 于E ，交DC 的延长线与F ，BG AE ⊥于G ，则EFC ∆的周长为______．【例27】如图，在ABC ∆中，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，过点E 作ED // BC 交AB于点D ．（1）求证：AE BC BD AC =；（2）如果3ADE S ∆=，2BDE S ∆=，DE = 6，求BC 的长．AB CDEABCDNMABC DEFG10 / 16ABCD PQ【例28】如图，直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，AB = 10，BC = 6，在线段AB 上取一点D ，作DF AB ⊥交AC 于点F ，现将ADF ∆沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应点记为1A ，AD 的中点E 的对应点记为1E ，若11E FA ∆∽1E BF ∆， 则AD =______．【例29】如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 5，BC = 3，点D 、E 分别在BC 、AC上，且BD = CE ，设点C 关于DE 的对称点为F ，若DF // AB ，则BD 的长为______．【例30】如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC = 8，BC = 6，CD AB ⊥于点D ．点P从点D 出发，沿线段CD 向点C 运动，点O 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P 运动到点C 时，两点都停止．设运动时间为t 秒．（1）求线段CD 的长；（2）设CPQ ∆的面积为S ，求S 与t 之间的关系式，并确定运动过程中是否存在某一时刻t ，使得:9:100CPQ ABC S S ∆∆=？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）当t 为何值时，CPQ ∆为等腰三角形？ABCD E F A 1E 1 AB CDEA BCABCDE FGABCDE【习题1】 如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中ABC ∆相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【难度】★ 【答案】 【解析】【习题2】 如图，D 是ABC ∆的边AC 上一点，CBD ∠的平分线交AC 于点E ，AE = AB ，则长度为线段AD 、AC 长度比例中项的线段是______．【习题3】 如图，在ABC ∆中，D 、F 是AB 的三等分点，DE // FG // BC ，分别交AC 于E 、G ．记ADE ∆、四边形DFGE 、四边形FBCG 的面积分别为1S 、2S 、3S ，则123::S S S =______．【习题4】 如图，D 是ABC ∆的边BC 上一点，已知AB = 4，AD = 2，DAC B ∠=∠，若ABD ∆的面积为a ，则ACD ∆的面积为______．随堂检测ABCD12 / 16AB CPN MQA BCDEG Hx y xy xy xy O O O O 3 45 3 45 3 45 3 45 AB C D E FMG H【习题5】 如图，矩形ABCD 中，AB = 3，BC = 4，动点P 从A 点出发，按A B C →→的方向在AB 和BC 上移动，记P A = x ，点D 到直线P A 的距离为y ，则y 关于x 的函数图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【习题6】 如图，已知点D 是等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的一点，BC = 3BD ，CE ⊥AD ，则AE CE =______．【习题7】 在同一时刻，两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB = 2 m ，它的影子BC = 1.6 m ，木竿PQ 的影子有一部分落在了墙上，PM = 1.2 m ，MN = 0.8 m ，则木竿PQ 的长度为______m ．【习题8】 如图，点E 是矩形ABCD 的边BC 上一点，EF ⊥AE ，EF 分别交AC 、CD 于点M 、F ，BG ⊥AC ，垂足为点G ，BG 交AE 于点H ．（1）求证：ABE ∆∽ECF ∆；（2）找出与ABH ∆相似的三角形，并证明；（3）若E 是BC 的中点，BC = 2AB ，AB = 2，求EM 的长．【习题9】 如图，在矩形ABCD 中，AB = 2，BC = 3，点E 、F 、G 、H分别在矩形ABCD 的各边上，EF // AC // HG ，EH // BD // FG ，求四边形EFGH 的周长．A B CDPx yA BC DEABCDEFmH【习题10】 如图，在ABC ∆中，AB = AC ，AD ⊥AB 于点D ，BC = 10 cm ，AD = 8 cm ．点P 从点B 出发，在线段BC 上以每秒3 cm 的速度向点C 匀速运动，与此同时，垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发，以每秒2 cm 的速度沿DA 方向匀速平移，分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、H ，当点P 到达点C 时，点P 与直线m 同时停止运动，设运动时间为t 秒（t > 0）．（1）当t = 2时，连接DE 、DF ，求证：四边形AEDF 为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的PEF ∆的面积存在最大值，当PEF ∆的面积最大时，求线段BP 的长；（3）是否存在某一时刻t ，使PEF ∆为直角三角形？若存在，请求出此时刻t 的值；若不存在，请说明理由．14 / 16AB C DE A BCDEABCDE AB C D O【作业1】 如图，在ABC ∆中，DE // BC ，12AD DB =，则下列结论正确的是（ ） A ．12AE AC =B ．12DE BC = C ．13ADE ABC ∆=∆的周长的周长D ．13ADE ABC ∆=∆的面积的面积【作业2】 如图，在ABC ∆中，点D 和点E 分别在边AB 、AC 上，下列条件不能判定ABC∆∽AED ∆的是（ ）A ．AEDB ∠=∠B ．ADEC ∠=∠ C ．AD AC AE AB=D ．AD AE AB AC=【作业3】 一副三角尺按如图所示的方式叠放，则AOB ∆与DOC ∆的面积之比为____________．【作业4】 如图，点D 、E 分别在ABC ∆两边AB 、AC 上，且AD = 31，DB = 29，AE = 30，EC = 32．若50A ∠=︒，则关系式“○1ADE B ∠>∠；○2AED C ∠=∠；○3ADE C ∠>∠；○4AED B ∠=∠”中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【作业5】 在ABC ∆中，P 是AB 上的动点（P 异于A 、B ），过点P 的一条直线截ABC ∆，使截得的三角形与ABC ∆相似，我们不妨称这种直线为过点P 的相似线．如图，36A ∠=︒，AB = AC ，当点P 在AC 的垂直平分线上时，过点P 的ABC ∆的相 似线最多有______条．课后作业AB CPAB O xyAB CDE FGOAB CDEFA B CDE F NM【作业6】 如图，四边形ABCD 、CEFG 都是正方形，点G 在线段CD 上，连接BG 、DE ，DE 和FG 相交于点O ，设AB = a ，CG = b （a > b ），下列结论：○1BCG ∆≌DCE ∆；○2BG DE ⊥；○3DG GO GC CE=；○4()22EFO DGO a b S b S ∆∆-=，其中正确的个数是（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个【作业7】 已知，在菱形ABCD 中，CF ⊥AB ，垂直为E ；CE 与BD 相交于点F ．（1）求证：AB CFBE EF=；（2）求证：22DF DB BC =．【作业8】 如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD 交BD 与点E ，点F 、M 分别是AB ，BC 的中点，BN 平分ABE ∠交AM 于点N ，AB = AC = BD ，连接MF ，NF ． （1）判断BMN ∆的形状，并证明你的结论；（2）判断MFN ∆与BDC ∆之间的关系，并说明理由．【作业9】 如图，AOB ∆为等腰三角形，顶点A 的坐标为（2，5）底边OB 在x 轴上，将AOB ∆绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得''A O B ∆，点A 的对应点'A 在x 轴上，求点'O 的坐标．16 / 16ABCD EF GP Q【作业10】 已知：正方形ABCD 的边长为4，点E 为BC 边的中点，点P 为AB 边上一动点，沿PE 翻折得到BPE ∆，直线PF 交CD 边于点Q ，交直线AD 于点G ． （1）如图，当BP = 1.5时，求CQ 的长；（2）如图，当点G 在射线AD 上时，设BP = x ，DG = y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）延长EF 交直线AD 于点H ，若CQE ∆与FHG ∆相似，求BP 的长．。

沪科版九上数学《相似三角形》知识点总结 姓名：_______1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。

3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。

4. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线） 相交，所截成的三角形与原三角形相似。

由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或5.相似三角形的判定定理：三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下： 6.直角三角形相似：(1)(2)应成比例，那么这两个直角三角形相似。

7.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。

(2)相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

(4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

8. 相似三角形的传递性(3)BB如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C29.相似三角形的几种基本图形：①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。

这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A”型和“ 8 ”型。

若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC②如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。

（有“反A共角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）③满足1、AC2=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．④当AD AEAC AB或AD·AB=AC·AE时，都可判定△ADE∽△ACB．⑤）”“三垂直型”）⑥如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。