初三数学之《旋转》全章复习与巩固(提高)

新人教版九年级上册初中数学重难点有效突破知识点梳理及重点题型巩固练习《旋转》全章复习与巩固--巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ).2. 时钟钟面上的分针从12时开始绕中心旋转120°，则下列说法正确的是( ).A.此时分针指向的数字为3B.此时分针指向的数字为6C.此时分针指向的数字为4D.分针转动3，但时针却未改变3．如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（）.A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C4．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=，∠C=120°，则点B′的坐标为（）.A．（3，）B．（3，）C．（，）D．（，）第3题第4题第5题5．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（）.A．30，2 B．60，2 C．60， D．60，6.（2015•乌鲁木齐）如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点．现将此三角板绕点O顺时针旋转120°后点P的对应点的坐标是（）A．（，1）B．（1，﹣）C．（2，﹣2）D．（2，﹣2）7．下列图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们的共性是都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（）.A．30° B．45° C．60° D．90°8．在平面直角坐标系中，将点A1(6，1)向左平移4个单位到达点A2的位置，再向上平移3个单位到达点A3的位置，△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转900，则旋转后A3的坐标为( ).A.(-2，1)B.(1，1)C.(-1，1)D.(5，1)二. 填空题9. （2015•扬州）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC．若点F是DE的中点，连接AF，则AF=．10.如图，正方形ABCD的边长为4cm，正方形AEFG的边长为1cm．如果正方形AEFG绕点A旋转，那么C、F两点之间的最小距离为_________ cm．11．绕一定点旋转180°后与原来图形重合的图形是中心对称图形，正六边形就是这样的图形．小明发现将正六边形绕着它的中心旋转一个小于180°的角，也可以使它与原来的正六边形重合，请你写出小明发现的一个旋转角的度数：_____________________.12.如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4cm，以斜边BC上距离B点cm的H为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是＿＿＿cm2．13．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连接AE、DE，△ADE的面积为3，则BC的长为_________．14. 如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，如果AP=3，那么线段PP′的长等于________．15．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），进行如下操作：将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2，如此重复操作下去，得到线段OP3，OP4，…，则：（1）点P5的坐标为__________；（2）落在x轴正半轴上的点P n坐标是_________，其中n满足的条件是________．16．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是__________.三综合题17. 如图，已知，点P是正方ABCD内一点，且AP∶BP∶CP=1∶2∶3．求证：∠APB＝135°．18.如图，已知点D是△ABC的BC边的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且DE⊥DF．求证： BE + CF＞EF19.（2015•黄冈中学自主招生）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是．（结果可以不化简）20.如图14―1，14―2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F.⑴如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是；③请证明你的上述两猜想.⑵如图14―2，当点E 在AB 边上的任意位置时，请你在AD 边上找到一点N ，使得NE=BF ，进而猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系.【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】C. 2．【答案】C.【解析】分针每5分钟转动30.3．【答案】A.【解析】 因为以M 或O 或N 为旋转中心两个图形能够完全重合. 4．【答案】D. 【解析】因为是菱形，所以可得为等腰直角三角形.5．【答案】C.【解析】△BDC 为正三角形，所以△FDC 为直角三角形，∠DCF=30°，DF=1，FC=,即求得.6．【答案】B. 【解析】根据题意画出△AOB 绕着O 点顺时针旋转120°得到的△COD，连接OP ，OQ ，过Q 作QM⊥y 轴，∴∠POQ=120°， ∵AP=OP，∴∠BAO=∠POA=30°， ∴∠MOQ=30°，在Rt△OMQ 中，OQ=OP=2， ∴M Q=1，OM=，则P 的对应点Q 的坐标为（1，﹣），故选B 7．【答案】D. 8.【答案】C.【解析】232,1),A (2,4),A （即旋转90°后3A 坐标为（-1,1）.二、填空题9.【答案】5.【解析】作FG ⊥AC ，根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90°， ∵点F 是DE 的中点， ∴FG ∥CD∴GF=CD=AC=3 EG=EC=BC=2 ∵AC=6，EC=BC=4 ∴AE=2 ∴AG=4根据勾股定理，AF=5．10.【答案】【解析】当点F 在正方形ABCD 的对角线AC 上时，CF=AC ﹣AF ，当点F 不在正方形的对角线上时由三角形的三边关系可知AC ﹣AF ＜CF ＜AC+AF ，∴当点F 在正方形ABCD 的对角线AC 上时，C 、F 两点之间的距离最小，∴CF=AC﹣AF=4﹣=．故答案为：11．【答案】60°或120°.【解析】正六边形的中心角是60°.12．【答案】1.【解析】证明△FHC 和△FHG 是等腰直角三角形，且腰长为，即得.13．【答案】5.【解析】做DF ⊥BC,EG ⊥AD,交AD 的延长线于点G ,则AD=BF,可证得△DEG ≌△DCF,即EG=FC,又因为3ADEs△，所以EG=3，即BC=BF+FC=AD+EG=5.14．【答案】【解析】由旋转可知△APP ′是等腰直角三角形，所以PP ′=15．【答案】(1),（2）落在x 轴正半轴上的点P n 坐标是，其中n 满足的条件是n=8k （k=0，1，2，…）16．【答案】(-1，).【解析】首先求得12,P P 的坐标，即可求得3P 坐标.三.解答题17.【解析】证明：将△APB绕点B沿顺时针方向旋转90°至△CP′B位置(如图)，则有△APB≌△CP′B．∴BP′= BP，CP′＝AP，∠PBP′＝90°，∠APB=∠CP′B．设CP′= AP= k，则BP′= BP=2k，CP= 3k，在Rt△BP′P中，BP′= BP= 2k，∴∠BP′P=45°．=(3k)2= CP2，∴∠C P′P=90°，∴∠CP′B=∠CP′P+∠BP′P=90°+45°=135°，即∠APB=135°.18.【解析】证明：将△BDE绕点D沿顺时针方向旋转180°至△CDG位置，则有△BDE≌△CDG．∴BE=CG，ED=DG．∵DE⊥DF，即 DF⊥EG．∴EF=FG，在△FCG中CG+CF＞FG，即BE+CF＞EF．19.【解析】解：（1）如图2，∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C∴△A′BA是等边三角形，∴A′A=AB=BA′=2，在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；故答案是：6．（2）如图3，∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．则A'B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B，∴PA+PB+PC=P′A′+P'B+PC．∵当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A+P'B+PC）最短，即线段A'C最短，∴A'C=PA+PB+PC，∴A'C长度即为所求．过A'作A'D⊥CB延长线于D．∵∠A'BA=60°（由旋转可知），∴∠1=30°．∵A'B=4，∴A'D=2，BD=2，∴CD=4+2．在Rt△A'DC中A'C====2+2；∴AP+BP+CP的最小值是：2+2（或不化简为）．故答案是：2+2（或不化简为）．20.【解析】⑴①DE=EF；②NE=BF.③证明：∵四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，∴DN=EB∵BF平分∠CBM，AN=AE，∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF∴△DNE≌△EBF∴ DE=EF，NE=BF⑵在DA边上截取DN=EB（或截取AN=AE），连结NE，点N就使得NE=BF成立（图略）此时， DE=EF.。

.后《旋转》全章复习与巩固--巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是().2.时钟钟面上的分针从12时开始绕中心旋转120°，则下列说法正确的是().A.此时分针指向的数字为3B.此时分针指向的数字为6C.此时分针指向的数字为4D.分针转动3，但时针却未改变3．如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（）.A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C4．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=，∠C=120°，则点B′的坐标为（）.A．（3，）B．（3，）C．（，）D．（，）第3题第4题第5题5．如图，在△R t ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（）A．30，2B．60，2C．60，D．60，6.（2015乌鲁木齐）如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点．现将此三角板绕点O顺时针旋转120°点P的对应点的坐标是（）A．（，1）B．（1，﹣）C．（2，﹣2）D．（2，﹣2）7．下列图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们的共性是都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（）.A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．在平面直角坐标系中，将点 A 1(6，1)向左平移 4 个单位到达点 A 2 的位置，再向上平移 3 个单位到 达点 A 3 的位置， △A 1A 2A 3 绕点 A 2 逆时针方向旋转 900，则旋转后 A 3 的坐标为( ).A.(-2，1)B.(1，1)C.(-1，1)D.(5，1)二. 填空题9. （2015 扬州）如图，已知 △Rt ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4△，将 ABC 绕直角顶点 C 顺时 针旋转 90°△得到 DEC ．若点 F 是 DE 的中点，连接 AF ，则 AF=．10.如图，正方形 ABCD 的边长为 4cm ，正方形 AEFG 的边长为 1cm ．如果正方形 AEFG 绕点 A 旋转，那么 C 、F 两点之间的最小距离为 _________ cm ．11．绕一定点旋转 180°后与原来图形重合的图形是中心对称图形，正六边形就是这样的图形．小明 发现将正六边形绕着它的中心旋转一个小于 180°的角，也可以使它与原来的正六边形重合，请你写 出小明发现的一个旋转角的度数：_____________________.12.如图所示，在 △R t ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝4cm ，以斜边 BC 上距离 B 点cm 的 H 为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转 △90°至 DEF ，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是＿＿＿cm 2．13．如图，直角梯形 A BCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2，将腰 CD 以 D 为中心逆时针旋转 90°至 ED ，连 接 AE 、△D E ， ADE 的面积为 3，则 BC 的长为_________．14. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，P 为△ABC 内一点，将△ABP 绕点 A 逆时针旋转后与 △ACP ′重合，如果 AP=3，那么线段 PP ′的长等于________．15．如图，在直角坐标系中，已知点P 0 的坐标为（1，0），进行如下操作：将线段 OP 0 按逆时针方向 旋转 45°，再将其长度伸长为 OP 0 的 2 倍，得到线段 OP 1；又将线段 OP 1 按逆时针方向旋转 45°，长 度伸长为 OP 1 的 2 倍，得到线段 OP 2，如此重复操作下去，得到线段 OP 3，OP 4，…，则：（1）点 P 5 的坐标为__________；（2）落在 x 轴正半轴上的点 P n 坐标是_________，其中 n 满足的条件是________．16．在平面直角坐标系中，已知点 P 0 的坐标为(1，0)，将点 P 0 绕着原点 O 按逆时针方向旋转 60°得点 P 1，延长 OP 1 到点 P 2，使 OP 2=2OP 1，再将点 P 2 绕着原点 O 按逆时针方向旋转 60°得点 P 3，则点 P 3 的坐标 是__________.三 综合题17. 如图，已知，点 P 是正方 ABCD 内一点，且 AP ∶BP ∶CP=1∶2∶3．求证：∠APB ＝135°．18.如图，已知点 D 是△ABC 的 BC 边的中点，E 、F 分别是 AB 、AC 上的点，且 DE ⊥DF ．求证： BE + CF ＞EF得19.（2015•黄冈中学自主招生）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1△，在ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°△到A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰△Rt ABC．边AB=4，P△为ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是．（结果可以不化简）20.如图14―1，14―2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F.⑴如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是；③请证明你的上述两猜想.⑵如图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系.A 2 ，【答案与解析】一、选择题 1．【答案】C.2．【答案】C.【解析】分针每 5 分钟转动 30.3．【答案】A.【解析】 因为以 M 或 O 或 N 为旋转中心两个图形能够完全重合. 4．【答案】D.【解析】因为是菱形，所以可得为等腰直角三角形.5．【答案】C.【解析】△BDC 为正三角形，所以△FDC 为直角三角形，∠DCF=30°，DF=1，FC=,即求得.6．【答案】B.【解析】根据题意画出△AOB 绕着 O 点顺时针旋转 120°得到的△COD，连接 OP ，OQ ，过 Q 作 QM⊥y轴，∴∠POQ=120°， ∵AP=OP，∴∠BAO=∠POA=30°， ∴∠MOQ=30°，在 Rt△OMQ 中，OQ=OP=2， ∴MQ=1，OM= ，则 P 的对应点 Q 的坐标为（1，﹣ ），故选 B7．【答案】D. 8.【答案】C.【解析】 （2,1),A 3 (2,4), 即旋转 90°后 A 3坐标为（-1,1）.二、填空题9.【答案】5.【解析】作 FG ⊥AC ，根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90° ∵点 F 是 DE 的中点， ∴FG ∥CD∴GF= CD= AC=3EG= EC= BC=2∵AC=6，EC=BC=4 ∴AE=2 ∴AG=4根据勾股定理，AF=5．1212310.【答案】32；【解析】当点F在正方形ABCD的对角线AC上时，CF=AC﹣AF，当点F不在正方形的对角线上时由三角形的三边关系可知AC﹣AF＜CF＜AC+AF，∴当点F在正方形ABCD的对角线AC上时，C、F两点之间的距离最小，∴CF=AC﹣AF=4﹣=32cm．故答案为：32.11．【答案】60°或120°.【解析】正六边形的中心角是60°.12．【答案】1.【解析】证明△FHC和△FHG是等腰直角三角形，且腰长为13．【答案】5.【解析】做DF⊥BC,EG⊥AD,交AD的延长线于点G,则AD=BF,，即得.可证得△DEG≌△DCF,即EG=FC,又因为s△ADE3，所以EG=3，即BC=BF+FC=AD+EG=5.14．【答案】32.【解析】由旋转可知△APP′是等腰直角三角形，所以PP′=32.15．【答案】(1),（2）落在x轴正半轴上的点Pn坐标是，其中n满足的条件是n=8k（k=0，，，…）16．【答案】(-1，).【解析】首先求得P,P的坐标，即可求得P坐标.三.解答题17.【解析】证明：将△APB绕点B沿顺时针方向旋转90°至△CP′B位置(如图)，则有△APB≌△CP′B．∴BP′=BP，CP′＝AP，∠PBP′＝90°，∠APB=∠CP′B．设CP′=AP=k，则BP′=BP=2k，CP=3k，在△R t BP′P中，BP′=BP=2k，∴∠BP′P=45°．=(3k)2=CP2，∴∠CP′P=90°，∴∠CP′B=∠CP′P+∠BP′P=90°+45°=135°，即∠APB=135°.18.【解析】证明：将△BDE绕点D沿顺时针方向旋转180°至△CDG位置，则有△BDE≌△CDG．∴BE=CG，ED=DG．∵DE⊥DF，即DF⊥EG．∴EF=FG，在△FCG中CG+CF＞FG，即BE+CF＞EF．19.【解析】解：（1）如图2，∵△ABP逆时针旋转60°△得到A′BC，∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C∴△A′BA是等边三角形，∴A′A=AB=BA′=2，在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；故答案是：6．（2）如图3，∵△Rt ABC是等腰三角形，∴AB=BC．以B为中心，将△APB逆时针旋转60°△得到A'P'B．则A'B=AB=BC=4，P A=P′A′，PB=P′B，∴P A+PB+PC=P′A′+P'B+PC．∵当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A+P'B+PC）最短，即线段A'C最短，∴A'C=P A+PB+PC，∴A'C长度即为所求．过A'作A'D⊥CB延长线于D．∵∠A'BA=60°（由旋转可知），∴∠1=30°．∵A'B=4，∴A'D=2，BD=2，∴CD=4+2．在△Rt A'DC中A'C====2+2；∴AP+BP+CP的最小值是：2+2故答案是：2+2（或不化简为（或不化简为）．）．20.【解析】⑴①DE=EF；②NE=BF.③证明：∵四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，∴DN=EB∵BF平分∠CBM，AN=AE，∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF∴△DNE≌△EBF∴DE=EF，NE=BF⑵在DA边上截取DN=EB（或截取AN=AE），连结NE，点N就使得NE=BF成立（图略）此时，DE=EF.。

新启航，新学习，新收获！第三单元旋转一、旋转1、定义把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

2、性质（ 1）对应点到旋转中心的距离相等。

（ 2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

二、中心对称1、定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

2、性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。

（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。

3、判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。

4、中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。

考点五、坐标系中对称点的特征（ 3 分）1、关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（ -x ，-y ）2、关于 x 轴对称的点的特征两个点关于x 轴对称时，它们的坐标中，x 相等， y 的符号相反，即点P（ x， y）关于 x 轴的对称点为 P’（ x， -y ）两个点关于y 轴对称时，它们的坐标中，y 相等， x 的符号相反，即点P（x， y）关于 y 轴的对称点为 P’（ -x， y）单元测试1．下列正确描述旋转特征的说法是（）A．旋转后得到的图形与原图形形状与大小都发生变化．B．旋转后得到的图形与原图形形状不变，大小发生变化．C．旋转后得到的图形与原图形形状发生变化，大小不变．D．旋转后得到的图形与原图形形状与大小都没有变化．2．下列描述中心对称的特征的语句中，其中正确的是（）A．成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段不一定经过对称中心B．成中心对称的两个图形中，对称中心不一定平分连接对称点的线段C．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，但不一定被对称中心平分D．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分3．4．下列图形中即是轴对称图形，又是旋转对称图形的是（）A．（ l ）（ 2）B．（ l ）（ 2）（ 3）C．（ 2）（ 3）（ 4）D．（ 1）（ 2）（ 3（ 4）5．下列图形中，是中心对称的图形有（）①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形。

专题23.9 《旋转》全章复习与巩固（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，将AOB 绕着点O 顺时针旋转，得到COD △（点C 落在AOB 外），若30AOB ∠=︒，10BOC ∠=︒，则最小旋转角度是（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°3．如图，在正方形网格中，△ABC 绕某点旋转一定的角度得到A B C '''，则旋转中心是点（ ）A ．OB ．PC ．QD ．M4．如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 、BD 交于点 O ，将△BOC 绕着点 C 旋转 180°得到B O C ''，若AC ＝2，5AB '=，则菱形 ABCD 的边长是（ ）A ．3B ．4CD 5．如图，在钝角ABC 中，35BAC ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转70︒得到ADE ，点B ，C 的对应点分别为D ，E ，连接BE ．则下列结论一定正确的是（ ）A ．ABC AED ∠=∠B ．AC DE = C ．AD BE AC += D ．AE 平分BED ∠6．如图，矩形ABCD 的顶点1,0A ，()0,2D ，()5,2B ，将矩形以原点为旋转中心，顺时针旋转75°之后点C 的坐标为（ ）A ．()4,2-B ．(-C ．()2-D ．(-7．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，AB BC ==ABC 绕点A 逆时针转60°得到AB C ''△，则BC '的长是（ ）A 1B ．2C ．D ．8．如图，菱形ABCD 对角线交点与坐标原点O 重合，点()2,5A -，则点C 的坐标为（ ）A ．()5,2-B ．()2,5-C ．()2,5D ．()2,5--9．已知点()2,4P a a --关于原点对称的点在第三象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．在如图所示的单位正方形网格中，ABC 经过平移后得到111A B C △，已知在AC 上一点()2.4,2P 平移后的对应点为1P ，点1P 绕点O 逆时针旋转180°，得到对应点2P ，则2P 点的坐标为（ ）A ．()1.6,1--B ．()1, 1.6--C ．()1.6,1D ．()1, 1.6-二、填空题11．若点P （a －1，5）与点Q （5，1－b ）关于原点成中心对称，则a ＋b ＝___． 12．如图，在ABC 中，△C ＝90°，点D 、E 分别在AC 、BC 上，△CDE ＝45°，ECD 绕点D 顺时针旋转x 度（45<x <180）到11E C D △，则1BEE ∠等于______度．（用含x 的代数式表示）13．如图，AB =BC =CD ，AB △BC ，△BCD =30°，则△BAD =________°．14．如图，ABC 中，AB =2AC =，30BAC ∠=︒．将ABC 绕点A 逆时针旋转60°，得到ADE ，连接BE ，则BE =______．15．如图，BD 为ABCD 的对角线，点P 为ABD △内一点，连接PA 、PB 、PC 、PD ，若ABP △和BCP 的面积分别为3和13，则BDP △的面积为_________．16．如图，在直角坐标平面内，△ABC 的顶点()1,0A -，点B 与点A 关于原点对称，AB ＝BC ，△CAB ＝30°，将△ABC 绕点C 旋转，使点A 落在x 轴上的点D 处，点B 落在点E 处，那么BE 所在直线的解析式为______．17．如图，在矩形ABCD 中，AB =6BC =，点E 是直线BC 上的一个动点，连接DE ，将线段DE 绕着点D 顺时针旋转120︒得到线段DG ，连接AG ，则线段AG 的最小值为_________．18．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为()1,0，(，将OAB 绕原点O 顺时针旋转60°再将其各边都扩大为原来的2倍，使得12OA OA =，12OB OB =，得到11OA B ．将11OA B 绕原点顺时针旋转60°再将其各边都扩大为原来的2倍，使得212OA OA =，212OB OB =，得到22OA B △，…，如此继续下去，得到20222022OA B △，则点2022A 的坐标是______．三、解答题19．已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （－5，0）、B （－2，3）、C （－1，0）．(1)画出△ABC 关于坐标原点O 成中心对称的△A ′B ′C ′；(2)将△ABC 绕坐标原点O 顺时针旋转90°，画出对应的△A ′′B ′′C ′′；(3)若以A ′、B ′、C ′、D ′为顶点的四边形为平行四边形，则在第四象限中的点D ′坐标为 ．20．如图，点D 在等边三角形ABC 的边BC 上，将△ABD 绕点A 旋转，使得旋转后点B 的对应点为点C ．小明是这样做的：如图，过点C 画BA 的平行线l ，在l 上取CE BD =，连接AE ，则△ACE 即为旋转后的图形．你能说明小明这样做的道理吗？21．已知：如图，在△ABC中，△BAC=120°，以BC为边向形外作等边三角形BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，且A、C、E三点共线，若AB=3，AC=2，求△BAD的度数与AD的长．22．如图，ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE(1) 求证：BD＝CE(2) 延长ED交BC于点F，△ 求△CED的度数；△ 求证：F为BC的中点23．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别相交于A（6，0）、B（0，2）两点．(1) 直接写出直线AB 的关系式为 ．(2) 点C 为y 轴上的一点，当BC ＝AC 时，求△ABC 的周长；(3) 点D 为x 轴上的一点，将线段DB 绕着点D 旋转90°得到DE ，若点E 恰好落在直线AB 上，求满足条件的其中一个点E 的坐标，并直接写出满足条件的其余点E 的坐标，24．【性质探究】（1）如图1，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AB ＝AC ，点D 在斜边BC 上，将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得到△ACE ．△直线BD 与CE 的位置关系为______；△若点F 为BE 的中点，连接AF ，请探究线段AF 与CD 的数量关系，并给予证明．【拓展应用】（2）如图2，已知点E是正方形ABCD的边BC上任意一点，以AE为边作正方形AEFG，连接BG，点H为BG的中点，连接AH．若AB＝4，BE＝3，求AH的长．参考答案1．D【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．解：A，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B. 不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C. 不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D.是中心对称图形，故选：D【点拨】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．2．C【分析】直接利用已知得出△AOC的度数，再利用旋转的性质得出对应边之间夹角，得出答案即可．解：△△AOB= 30°，△BOC = 10°，△△AOC=△AOB+△COB = 30°+ 10°= 40°△将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，△最小旋转角为△AOC = 40°．故选：C．【点拨】此题主要考查了旋转的性质，正确得出△AOC的度数是解题关键．3．B【分析】根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可得对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．解：如图，连接BB'，AA'，可得其垂直平分线相交于点P，∴旋转中心是点P．故选：B ．【点拨】本题考查了旋转的性质，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题的关键．4．D【分析】根据菱形的性质、旋转的性质，得到1OA OC O C '===、OB OC ⊥、O B O C '''⊥、BC B C '=，根据5AB '=，利用勾股定理计算O B ''，再次利用勾股定理计算B C '即可．解：△四边形ABCD 是菱形，且△BOC 绕着点C 旋转180°得到B O C ''，2AC =，△1OA OC O C '===，OB OC ⊥，BC B C '=，△O B O C '''⊥，213O A AC O C ''=+=+=，△5AB '=，△4O B ''==，△B C '==△BC B C '== ABCD故选：D ．【点拨】本题考查了菱形的性质、旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的基本性质并灵活运用勾股定理是解题的关键．5．D【分析】根据旋转可知△CAB △△EAD ，△CAE =70°，结合△BAC =35°，可知△BAE =35°，则可证得△CAB △△EAB ，即可作答．解：根据旋转的性质可知△CAB △△EAD ，△CAE =70°，△△BAE =△CAE -△CAB =70°-35°=35°，AC =AE ，AB =AD ，BC =DE ，△ABC =△ADE ，故A 、B 错误，△△CAB =△EAB ，△AC =AE ，AB =AB ，△△CAB △△EAB ，△△EAB △△EAD△△BEA =△DEA ，△AE 平分△BED ，故D 正确，△AD +BE =AB +BE ＞AE =AC ，故C 错误，故选：D ．【点拨】本题考查了旋转的性质和全等三角形的判定与性质，求出△BAE =35°是解答本题的关键．6．D【分析】过点B 作BG △x 轴于G ，过点C 作CH △y 轴于H ，根据矩形的性质得到点C 的坐标，求出△COE =45°，OC C 作CE △x 轴于E ，过点C 1作C 1F △x 轴于F ，由旋转得△COC 1=75°，求出△C 1OF =30°，利用勾股定理求出OF ，即可得到答案．解：过点B 作BG △x 轴于G ，过点C 作CH △y 轴于H ，△四边形ABCD 是矩形，△AD =BC ，AB =CD ，AD ∥BC ，△CDA =△DAB =90°，△△HCD =△ADO =△BAG ，△△CHD =△BGA =90°，△△CHD △△AGB （AAS ），△1,0A ，()0,2D ，()5,2B ，△CH =AG =5-1=4，DH =BG =2，△OH =2+2=4，△C （4，4），△OE =CE =4，△△COE =45°，OC如图，过点C 作CE △x 轴于E ，过点C 1作C 1F △x 轴于F ，由旋转得△COC 1=75°，△△C 1OF =30°，△C 1F =12OC 1=12OC ，△OF =△点C 1的坐标为(-，故选：D ．【点拨】此题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．7．A【分析】设AC 与BC '的交点为点O ，连接CC '，先利用勾股定理、旋转的性质可得2,60AC AC CAC ''==∠=︒，再根据等边三角形的判定与性质可得AC CC ''=，然后根据垂直平分线的判定与性质可得12,2OA AC OA BC '==⊥，最后利用勾股定理分别可得2,OB OC '==解：如图，设AC 与BC '的交点为点O ，连接CC '，90,ABC AB BC ∠=︒==2AC ∴，由旋转的性质得：2,60AC AC CAC ''==∠=︒，ACC '∴是等边三角形，AC CC ''∴=，BC '∴是线段AC 的垂直平分线，11,2OA AC OA BC '∴==⊥，在Rt AOB 中，1OB ==，在Rt AOC '△中，OC '，则1BC OB OC ''=+=故选：A ．【点拨】本题考查了勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造等边三角形是解题关键．8．B【分析】根据菱形的中心对称性，A 、C 坐标关于原点对称，利用横反纵也反的口诀求解即可． 解：△菱形是中心对称图形，且对称中心为原点，△A 、C 坐标关于原点对称，△C 的坐标为()2,5-，故选C ． 【点拨】本题考查了菱形的中心对称性质，原点对称，熟练掌握菱形的性质，关于原点对称点的坐标特点是解题的关键．9．D【分析】根据点P(a−2,4−a)关于原点对称的点在第三象限，可得点P在第一象限，因此就可列出不等式，解不等式可得a的取值范围．解：△点P(a−2,4−a)关于原点对称的点在第三象限，△点P在第一象限，△20 40aa-⎧⎨-⎩＞＞，△24＜＜a，则a的取值范围在数轴上表示正确的是：故选：D．【点拨】本题主要考查不等式组的解法，根据不等式组的解集，在数轴上表示即可，关键在于点P的坐标所在的象限．10．C【分析】根据平移的性质得出，△ABC的平移方向以及平移距离，即可得出P1坐标，进而利用中心对称图形的性质得出P2点的坐标．解：△A点坐标为：（2，4），A1（﹣2，1），△点P（2.4，2）平移后的对应点P1为：（﹣1.6，﹣1），△点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，△P2点的坐标为：（1.6，1）．故选：C．【点拨】此题主要考查了旋转的性质以及平移的性质，根据已知得出平移距离是解题关键．11．2【分析】根据关于原点对称的性质得到a-1+5=0，5+1-b=0，求出a、b，问题得解．解：△点P （a －1，5）与点Q （5，1－b ）关于原点成中心对称，△a -1+5=0，5+1-b =0，△a =-4，b =6，△a +b =2．故答案为：2【点拨】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟知“两个点关于原点对称，则这两个点的横纵坐标都互为相反数”是解题关键．12．452x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 【分析】根据旋转的性质可得1DE DE =，1EDE x ∠=，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出1E ED ∠和△CED 即可解决问题．解：如图，由旋转的性质可得：1DE DE =，1EDE x ∠=， △11809022x x E ED ︒-∠==︒-， △△C ＝90°，△CDE ＝45°，△△CED ＝45°， △1118018090454522x x BEE E ED CED ⎛⎫⎛⎫∠=︒-∠-∠=︒-︒--︒=+︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为：452x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，灵活运用各性质进行推理计算是解题的关键．13．15【分析】把CD 绕着点C 逆时针旋转60°到达CE 的位置，连接CE ，DE ，BE ，可得△CDE 是等边三角形，从而得到DE =CD =CE ，△DEC =60°，再由△BCD =30°，可得BC △DE ，然后根据AB =BC =CD ，可得BC =CE ，AB =DE ，从而得到()1180752BEC BCE ∠=︒-∠=︒，进而得到△BED =15°，再证得四边形ABED 是平行四边形，即可求解．解：如图，把CD 绕着点C 逆时针旋转60°到达CE 的位置，连接CE ，DE ，BE ，△△DCE =60°，CD =CE ，△△CDE 是等边三角形，△DE =CD =CE ，△DEC =60°，△△BCD =30°，△△BCE =30°，△△BCD =△BCE ，△BC △DE ，△AB =BC =CD ，△BC =CE ，AB =DE ， △()1180752BEC BCE ∠=︒-∠=︒， △△BED =△BEC -△DEC =15°，△AB △BC ，△AB △DE ，△四边形ABED 是平行四边形，△△BAD =△BED =15°．故答案为：15【点拨】本题主要考查了图形的旋转，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握图形的旋转，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．14．3【分析】根据旋转的性质得出△CAE =60°，AC =AE =2，求出△BAE =90°，根据勾股定理求出即可．解：△将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE ，AB =2AC = ，△60,CAE AC =AE =2，△△BAC =30°，△△BAE =30°+60°=90°，在Rt △BAE 中， 由勾股定理得：2222523,BEAB AE 故答案为：3．【点拨】本题考查了旋转的性质和勾股定理，能求出AE 的长度和求出△BAE 的度数是解此题的关键．15．10 【分析】由平行四边形和三角形的面积公式及平行四边形的性质可以得到BDP BCP ABP S S S =-,把已知ABP △和BCP 的面积分别为3和13代入计算即可得到答案． 解：由平行四边形和三角形的面积公式易得12ADP BCP ABCD SS S +=， 由平行四边形的性质可得12ABD ABCD SS =， △12ADP ABP BDP ABCD SS S S ++=， △BCP ABP BDP SS S =+， △13310BDP BCP ABP S S S =-=-=,故答案为10．【点拨】本题考查平行四边形的应用,熟练掌握平行四边形和三角形的面积公式及平行四边形的中心对称性是解题关键．16．y =【分析】如图，过点C 作CF △x 轴于点F ，根据关于原点对称的点的坐标特征可得点B 坐标，根据等腰三角形的性质可得AB ＝BC =2，利用外角性质可得△CBF =60°，利用含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可得CF 、BF 的长，利用旋转的性质可得AB ＝CE ＝2，AC =CD ，△ECD =△ACB =30°，根据等腰三角形的性质可得△CDA =△CAD=30°，可得CE //AD ，可得点E 坐标，利用待定系数法即可得答案．解：如图，过点C 作CF △x 轴于点F ，△△ABC 的顶点()1,0A -，点B 与点A 关于原点对称，△()10B ,， △AB ＝BC =2．△△CAB ＝30°，△△ACB =△CAB =30°，△△CBF =△CAB +△ACB =60°，△BCF =30°，△BF =12BC =1，CF=△(C ．△将△ABC 绕点C 旋转，使点A 落在x 轴上的点D 处，点B 落在点E 处，△AB ＝CE ＝2，AC =CD ，△CDA =△CAD=30°，△ECD =△ACB =30°，△CE //AD ，△(E ．设直线BE 的解析式为()0y kx b k =+≠，△04k b k b +=⎧⎪⎨+⎪⎩解得：k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩△BE所在直线的解析式为：y ．故答案为：y =【点拨】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，旋转的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，30°角所对的直角边等于斜边的一半；图形旋转前后的对应边相等、对应角相等；熟练掌握相关性质及定理是解题关键．17【分析】将线段DC 绕点D 顺时针旋转120︒得到线段DC '，作直线GC '交AD 于K ，过点A 作AH GC '⊥于点H ．当点E 在直线BC 上运动时，G 在直线GC '上运动，即点G 的运动轨迹是直线GC '．当点G 运动到H 时，AG 最小，最小值即为AH 的长度，利用旋转的性质，根据“边角边”的判定方法可证明DCE DC G '≌△△，进而利用全等三角形的性质以及旋转性质可求出AG 的最小值．解：如图所示，将线段DC 绕点D 顺时针旋转120︒得到线段DC '，作直线GC '交AD 于K ，过点A 作AH GC '⊥于点H ．120,,,EDC EDC GDC CD C D DE DG '''∠=︒-∠=∠==DCE DC G '∴≌△△（SAS ）90,GC D C KC D ''∴∠=∠=︒=∠如图所示，当点E 在直线BC 上运动时，G 在直线GC '上运动，即点G 的运动轨迹是直线GC '．∴当点G 运动到H 时，AG 最小，最小值即为AH 的长度．120,90,CDC CDA '∠=︒∠=︒30,KDC '∴∠=︒1,602C K DK C KD AKH ''∴=∠=︒=∠C D CD AB '===2,4C K DK '∴==6AD BC ==2AK AD DK ∴=-=在Rt AKH 中，60AKH ∠=︒11,2KH AK AH ∴===则线段AG【点拨】本题主要考查了矩形中的旋转变换，能够掌握旋转的性质以及正确作出辅助线找到点G 的轨迹是解决本题的关键．18．（22022，0）【分析】根据图形可知：首先△OAB 绕原点O 顺时针方向旋转60°，旋转6次后，正好旋转一周，规律是6次一循环，其次根据将其各边都扩大为原来的2倍，依此类推，得到OAn ＝2n ，进而得出答案．解：如图，1,0，(，△点A，B的坐标分别为()△OAB=90°，△OA=1，AB△△OBA=30°，△△AOB＝60°，△每一次旋转角是60°，△旋转6次后，正好旋转一周，点A6在x轴的正半轴上，△2022÷6＝337，△点A2022在x轴的正半轴上；△每次旋转后OA1＝2OA，OB1＝2OB，OA2＝2OA1，OB2＝2OB1，…△OA1＝2＝2，OA2＝2OA1＝2×2＝22，OA3＝2OA2＝2×22＝23，…依此类推，OAn＝2n，当n＝2022时，OA2022＝22022，△点A2022在x轴的正半轴上，△点A2022的坐标是（22022，0）．故答案为：（22022，0）．【点拨】本题主要考查了旋转的性质、含30°锐角的直角三角形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、规律型、点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．19．(1)见分析(2)见分析(3)（6，－2）【分析】（1）根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答；（2）根据网格结构找出点A、B、C绕坐标原点O顺时针旋转90°的点A″、B″、C″的坐标，然后顺次连接即可；（3）根据平行四边形的对边平行且相等解答．(1)如图所示，△A′B′C′就是求作的图形；(2)如图所示，△A′′B′′C′′就是求作的三角形；(3)如图所示，点D′坐标为（6，－2）；【点拨】本题考查了利用旋转变换作图，平行四边形的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．20．能，见分析【分析】直接利用等边三角形的性质结合全等三角形的判定方法进而得出答案．解：能．理由：△△ABC 为等边三角形，△60B BAC ∠=∠=，AC AB =．△//CE AB ，△60ACE BAC ∠=∠=，在△ABD 和△ACE 中，AB AC B ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()ABD ACE SAS ∆≅∆△AD AE =，BAD CAE ∠=∠，△60DAE BAC ∠=∠=，△△ACE 即为旋转后的图形．【点拨】本题主要考查了旋转变换以及全等三角形的判定，正确应用等边三角形的性质是解题关键．21．△BAD =60°，AD 的长为5．【分析】由旋转的性质可得出△ADE =60°、DA =DE ，进而可得出△ADE 为等边三角形以及△DAE =60°，由点A 、C 、E 在一条直线上可得出△BAD =△BAC -△DAE =60°；由点A 、C 、E 在一条直线上可得出AE =AC +CE ，根据旋转的性质可得出CE =AB ，结合AB =3、AC =2可得出AE 的长度，再根据等边三角形的性质即可得出AD 的长度．解：△△ABD 绕着点D 按顺时针方向旋转60°后得到△ECD ，△△ADE =60°，DA =DE ，△△ADE 为等边三角形，△△DAE =60°．△点A 、C 、E 在一条直线上，△△BAD =△BAC -△DAE =120°-60°=60°．△点A 、C 、E 在一条直线上，△AE =AC +CE ．△△ABD 绕着点D 按顺时针方向旋转60°后得到△ECD ，△CE =AB ，△AE =AC +AB =2+3=5．△△ADE 为等边三角形，△AD =AE =5．【点拨】本题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质结合旋转角度为60°找出△ADE 为等边三角形是解题的关键．22．(1)见详解(2)△△DEC =30°；△见详解【分析】（1）由等边三角形的性质和旋转的性质可得△BAD =△CAE ，AB =AC ，AD =AE ，再利用SAS 可证△BAD △△CAE ，可得BD =CE ；（2）△根据AD △BD ，得出△ADB =90°，根据△BAD △△CAE ，得出△ADB =△AEC =90°，根据△AED =60°，利用图中角度计算即可；△过点C 作CG △BP ，交EF 的延长线于点G ，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得CG =BD ，△BDG =△G ，△BFD =△GFC ，可证△BFD △△CFG ，可得结论；(1)证明：△线段AD 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AE ，△AD =AE ，△DAE =60°，△△ADE 是等边三角形，在等边△ABC 和等边△ADE 中，△ AB =AC ，AD =AE ，△BAD +△DAC =△CAE +△DAC =60°，△△BAD =△CAE ，在△BAD 和△CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △△BAD △△CAE （SAS ），△BD =CE ；(2)解：△△AD △BD ，△△ADB =90°，△△BAD △△CAE△△ADB =△AEC =90°，△△AED =60°，△△DEC =△AEC -△AED =90°-60°=30°，△如图，过点C 作CG △BP 交DF 的延长线于点G ，△△G =△BDF ，由（1）可知，BD =CE ，△CEA =△BDA ，△AD △BP ，△△BDA =90°，△△CEA =90°，△△AED =60°，△△BDG =180°-△ADB -△ADE =30°，△△CED =△G =△BDG =30°，△CE =CG ，△BD =CG ，在△BDF 和△CGF 中，BDF G BFD CFG BD CG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△BDF △△CGF （AAS ），△BF =FC ，即F 为BC 的中点．【点拨】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．23．(1)123y x =-+(2)20(3)点E 的坐标为(6,4)-或(3,1)【分析】（1）用待定系数法即可得直线AB 解析式，（2）由(6,0)A 、(0,2)B ，得AB =，设(0,)C m ，由BC AC =，可得22(2)36m m -=+，解得8m =-，即可得10BC =，10AC =，从而可得ABC ∆的周长为20AB BC AC ++=；（3）当D 在B 左侧时，过E 作EH x ⊥轴于H ，设OD n =，根据将线段DB 绕着点D 旋转90︒得到DE ，可得()EDH DBO AAS ∆≅∆，从而可得(2,)E n n --，把(2,)E n n --代入123y x =-+即可得(6,4)E -，当D 在B 右侧时，同理可得(3,1)E '，即可得答案．(1)解：设直线AB 解析式为y kx b =+，把(6,0)A 、(0,2)B 代入得：602k b b +=⎧⎨=⎩， 解得132k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AB 解析式为123y x =-+， 故答案为：123y x =-+； (2)解：(6,0)A 、(0,2)B ，AB ∴=设(0,)C m ，则22(2)BC m =-，2236AC m =+，BC AC =，22(2)36m m ∴-=+，解得8m =-，22(82)100BC ∴=--=，2236(8)100AC =+-=，10BC ∴=，10AC =，ABC ∴∆的周长为101020AB BC AC ++=+=；(3)解：当D 在B 左侧时，过E 作EH x ⊥轴于H ，如图：设OD n =，将线段DB 绕着点D 旋转90︒得到DE ，90EDB ∴∠=︒，ED BD =，90EDH BDO DBO ∴∠=︒-∠=∠，90EHD DOB ∠=︒=∠，EDH DBO ∴∆∆≌（AAS ），2HD OB ∴==，HE OD n ==，2OH n ∴=+，(2,)E n n ∴--，把(2,)E n n --代入123y x =-+得： 1(2)23n n =---+， 解得4n =，(6,4)E ∴-，当D 在B 右侧时，同理可得(3,1)E '，综上所述，E 的坐标为(6,4)-或(3,1)．【点拨】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形周长，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．24．（1）△BD BC ⊥；△12AF CD =，证明见分析；（2 【分析】（1）△先证明△BAD =△CAE ，△ABC =△ACB =45°， 再证明△BAD △△CAE ，利用全等三角形的性质可得结论；△ 延长BA 至点G ，使AG ＝AB ，连接GE ，证明△ADC △△AEG ，可得CD ＝GE ．延长F A 至点Q ，使AQ ＝AF ，连接GQ ，证明△ABF △△AGQ ，可得△BF A ＝△GQA ，BF ＝GQ ，证明四边形EFQG 是平行四边形，可得QF ＝GE ．从而可得结论；（2）如图，连接DE ､DG ，证明△BAE △△DAG ，△DAG 可以由△BAE 绕点A 逆时针旋转90°得到．可得CE ＝1，CD ＝4．17,DE 延长AB 至N ，使AN =AB ，连接NG ，延长HA 至Q ，使AQ =AH ，连接NQ ，同理：由（1）中△可知12AH DE =，从而可得答案． 解：（1）△△将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得到△ACE ，△△DAE ＝△BAC ＝90°，AE ＝AD ，AC ＝AB△△BAD =△CAE ，△ABC =△ACB =45°，在△BAD 和△CAE 中，BA CABADCAE AD AE ，△△BAD △△CAE ，△△ABC =△ACE =45°，△△BCE =45°+45°=90°， 即BD CE ⊥ △12AF CD =，理由如下： 延长BA 至点G ，使AG ＝AB ，连接GE ，△将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得到△ACE ，△△DAE ＝△BAC ＝90°，AE ＝AD ，AC ＝AB ＝AG ，又△DAC =90°－△CAE =△GAE ，△△ADC △△AEG ，△CD ＝GE ．延长F A 至点Q ，使AQ ＝AF ，连接GQ ，△AG ＝AB ，△BAF ＝△GAQ ，△△ABF △△AGQ ，△△BF A ＝△GQA ，BF ＝GQ ，△BE GQ ∥，即EF GQ ∥．△点F 为BE 的中点，△EF ＝BF ＝GQ ，△四边形EFQG 是平行四边形，△QF ＝GE ．△12AF QF =，CD ＝GE ， △12AF CD =． （2）如图，连接DE ､DG ，△四边形ABCD 和四边形AEFG 为正方形，△AB ＝AD=BC=CD ，AE ＝AG ，△BAD ＝△EAG ＝90°，又△BAE ＝90°－△EAD ＝△DAG ，△△BAE △△DAG ，△△DAG 可以由△BAE 绕点A 逆时针旋转90°得到．△AB ＝4，BE ＝3，△CE ＝1，CD ＝4． 221417,DE延长AB 至N ，使AN =AB ，连接NG ，延长HA 至Q ，使AQ =AH ，连接NQ ，同理：由（1）中△可知12AH DE =，△12AH DE ==． 【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，作出合适的辅助线，构建全等三角形与平行四边形是解本题的关键．。

中考数学复习《旋转知识点梳理+过关练习》）专题复习讲义一．知识点回顾1.定义:在平面内,将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度,图形的这种变化称为旋转,这个定点称为旋转中心,转动的角度称为旋转角.2.性质:(1)旋转不改变图形的形状与大小,旋转前、后的图形全等.(2)一个图形和它经过旋转所得到的图形中,对应点到旋转中心的距离⑧,任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于⑨;对应线段相等,对应角相等.二．规律总结：(1)确定旋转中心的方法:旋转中心是对应点所连线段的垂直平分线的交点.(2)旋转作图的方法步骤:①连点:将原图中的一个关键点与旋转中心连接;②转角:将①中所连接的线段绕旋转中心按指定的方向旋转一个角度,得到这个关键点的对应点;③连接:重复①②,将原图中所有关键点的对应点找出来,再按原图中的顺序,依次连接成图.三．过关练习1.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()2.如图,在平面直角坐标系中,已知菱形OABC的顶点A(1,2),B(3,3).作菱形OABC 关于y轴的对称图形OA'B'C',再作图形OA'B'C'关于点O的中心对称图形OA″B″C″,则点C的对应点C″的坐标是()A.(2,-1)B.(1,-2)C.(-2,1)D.(-2,-1)3.把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合,则这个旋转角度至少为()A.30°B.90°C.120°D.180°4.如图,点E是正方形ABCD的边DC上一点,把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置.若四边形AECF的面积为20,DE=2,则AE的长为()A.4B.2√5C.6D.2√65.在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,√ 3 ),以原点为中心,将点A顺时针旋转30°得到点A',则点A'的坐标为()A.(√3,1)B.(√3,-1)C.(2,1)D.(0,2)6.如图,在平面直角坐标系中,点B在第一象限,点A在x轴的正半轴上,∠AOB=∠B=30°,OA=2,将△AOB绕点O逆时针旋转90°,点B的对应点B'的坐标是()A.(-1,2+√3)B.(-√3,3)C.(-√3,2+√3)D.(-3,√3)7. 如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A. B. C.1﹣ D.1﹣8.如图,P为等边三角形ABC内的一点,且点P到三个顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,则△ABC的面积为 ()A.9+254√3 B.9+252√3 C.18+25√3 D.18+252√39.如图,直线a,b垂直相交于点O,曲线C关于点O成中心对称,点A的对称点是点A',AB⊥a于点B,A'D⊥b于点 D.若OB=3,AB=2,则阴影部分的面积之和为.10.在如图所示的方格纸(1格长为1个单位长度)中,△ABC的顶点都在格点上,将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C',使各顶点仍在格点上,则其旋转角的度数是.11.如图,Rt△OCB的斜边在y轴上,OC=√3,含30°角的顶点与原点重合,直角顶点C在第二象限,将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC'B',则B点的对应点B'的坐标是.x+4与x轴、y轴分别交于A,B两点,△AOB绕点A顺时针旋12. 如图,直线y=-43转90°后得到△AO′B′,则点B的对应点B′的坐标为 .13.如图,将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C,其中点A'与A是对应点,点B'与B是对应点,点B'落在边AC上,连接A'B,若∠ACB=45°,AC=3,BC=2,则A'B 的长为.14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为________．15. 如图，王虎使一长为4 cm，宽为3 cm的长方形木板，在桌面上做无滑动地翻滚（顺时针方向）,木板上点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为_______.16. 如图，在8×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在小正方形的顶点上．（1）在图1中画△ABD（点D在小正方形的顶点上），使△ABD的周长等于△ABC的周长，且以A、B、C、D为顶点的四边形是轴对称图形．（2）在图2中画△ABE（点E在小正方形的顶点上），使△ABE的周长等于△ABC的周长，且以A、B、C、E为顶点的四边形是中心对称图形，并直接写出该四边形的面积．17. 如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=5，PB=12，PC=13，若将△PAC 绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，求点P与点P′之间的距离及∠APB的度数．18.如图,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°.(1)如图1,连接BE,CD,BE的延长线交AC于点F,交CD于点P,求证:BP⊥CD;(2)如图2,把△ADE绕点A顺时针旋转,当点D落在AB上时,连接BE,CD,CD的延长线交BE于点P,若BC=6√ 2 ,AD=3,求△PDE的面积.19. 如图,△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形,且有一个公共顶点C,连接AF和BE.(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论.(2)将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度,得到图b,(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由.(3)若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度,请你画出一个变换后的图形(草图即可),(1)中的结论还成立吗?(作出判断不必说明理由)(4)根据以上证明、说理、画图,归纳你的发现.20. 如图①,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=60°,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE,连接EC,则:(1)①∠ACE的度数是________;②线段AC,CD,CE之间的数量关系是________.(2)如图②,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接EC,请判断线段AC,CD,CE之间的数量关系,并说明理由;(3)如图②,AC与DE交于点F,在(2)条件下,若AC=8,求AF的最小值.。

人教版九年级数学上册《旋转》知识点及复习题一、旋转1、定义把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转；其中O叫做旋转中心；转动的角叫做旋转角。

2、性质（1）对应点到旋转中心的距离相等。

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

二、中心对称1、定义把一个图形绕着某一个点旋转180°；如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合；那么这个图形叫做中心对称图形；这个点就是它的对称中心。

2、性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。

（2）关于中心对称的两个图形；对称点连线都经过对称中心；并且被对称中心平分。

（3）关于中心对称的两个图形；对应线段平行（或在同一直线上）且相等。

3、判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点；并且被这一点平分；那么这两个图形关于这一点对称。

4、中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转180°；如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合；那么这个图形叫做中心对称图形；这个店就是它的对称中心。

考点五、坐标系中对称点的特征（3分）1、关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时；它们的坐标的符号相反；即点P（x；y）关于原点的对称点为P’（-x；-y）2、关于x轴对称的点的特征两个点关于x轴对称时；它们的坐标中；x相等；y的符号相反；即点P（x；y）关于x轴的对称点为P’（x；-y）3、关于y轴对称的点的特征两个点关于y轴对称时；它们的坐标中；y相等；x的符号相反；即点P（x；y）关于y轴的对称点为P’（-x；y）单元测试1．下列正确描述旋转特征的说法是（）A．旋转后得到的图形与原图形形状与大小都发生变化．B．旋转后得到的图形与原图形形状不变；大小发生变化．C．旋转后得到的图形与原图形形状发生变化；大小不变．D．旋转后得到的图形与原图形形状与大小都没有变化．2．下列描述中心对称的特征的语句中；其中正确的是（）A．成中心对称的两个图形中；连接对称点的线段不一定经过对称中心B．成中心对称的两个图形中；对称中心不一定平分连接对称点的线段C．成中心对称的两个图形中；对称点的连线一定经过对称中心；但不一定被对称中心平分D．成中心对称的两个图形中；对称点的连线一定经过对称中心；且被对称中心平分3．4．下列图形中即是轴对称图形；又是旋转对称图形的是（）A．（l）（2）B．（l）（2）（3）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3（4）5．下列图形中；是中心对称的图形有（）①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形。