广东省东莞市2021届新高考第一次质量检测数学试题含解析

2021-2022学年广东省东莞市七校高三（上）联考数学试卷（12月份）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1．（5分）已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |0＜x ≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2，3}B ．{0，1，2，3}C ．{1，2}D ．{1，2，3}2．（5分）已知z ＝1﹣i ，则z(z +2i)=（ ） A ．2+iB ．2﹣iC ．﹣2iD ．2i3．（5分）二项式(2x −√x)5展开式中，x 3的系数等于（ ） A ．10B ．﹣10C ．80D ．﹣804．（5分）6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有（ ） A ．30种B ．144种C ．5种D ．4种5．（5分）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为（ ） A ．5√5π6B ．8√2π3 C ．20√5π3D ．64√2π36．（5分）若tan α＝3，则1+cos2αsin2α=（ ）A ．−12B ．13C ．±13D ．27．（5分）已知双曲线C 的离心率为√3，F 1，F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，|PF 1|＝3|PF 2|，若△PF 1F 2的面积为4√2，则双曲线C 的实轴长为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．68．（5分）已知函数f （x ）={lnxx，x ＞01−x 2，x ≤0，若函数g （x ）＝f （x ）﹣k 有三个零点，则（ ）A ．1＜k ≤eB ．−1e＜k ＜0 C ．0＜k ＜1eD ．1e＜k ＜1二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9．（5分）如图所示，在5×5的方格中，点O ，A ，B ，C 均为小正方形的顶点，则下列结论正确的是（ ）A ．OB →=OA →+OC →B ．|OA →|=|OC →|=12|OB →| C ．AC →=OB →−2OC →D ．OA →⋅OB →=OC →⋅OB →10．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．函数f （x ）的图象关于点(−π12，0)对称B ．函数f （x ）的图象关于x =π2直线对称 C ．函数f （x ）在区间[−π3，π6]上单调递增D ．y ＝1与图象y =f(x)(−π12≤x ≤23π12)的所有交点的横坐标之和为8π311．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 9＝S 17，则下列说法正确的是（ ） A ．a 8＝0B ．a 9＝0C ．a 1＝S 16D ．S 8＞S 1012．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段BC 1上的动点，下列说法正确的是（ ）A ．对任意点P ，DP ∥平面AB 1D 1B ．三棱锥P ﹣A 1DD 1的体积为16C ．线段DP 长度的最小值为√62D ．存在点P ，使得DP 与平面ADD 1A 1所成角的大小为π3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 13．（5分）若随机变量X ～B （n ，13），且E （X ）∈N *，写出一个符合条件的n ＝ ．14．（5分）已知函数g （x ）＝f （x ）+2，若f （x ）是奇函数，且g （1）＝3，则g （﹣1）＝ ．15．（5分）函数f(x)=1+12x +cosx 在(0，π2)上的单调递增区间是 ．16．（5分）取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段；再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；……；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为 ．（参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771）四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =n 2+3n ，n ∈N *． （1）求{a n }的通项公式；（2）求数列{1a 2n−1⋅a 2n+1}的前n 项和T n ．18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若asinBcosC +csinBcosA =12b ，且a ≥b ．（1）求角B 的值；（2）若A =π6，且△ABC 的面积为4√3，求BC 边上的中线AM 的长．19．（12分）某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投中的概率为34，三步篮投中的概率为45，测试时罚球位上投篮投中得2分，三步篮投中得1分，不中得0分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮1次，三步上篮2次． （Ⅰ）求“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”的概率； （Ⅱ）求该同学的总得分X 的分布列和数学期望．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且AD ＝CD =√2，BC ＝2√2，P A ＝1． （1）求证：AB ⊥PC ；（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M ﹣AC ﹣D 的大小为45°，如果存在，求BM 与平面MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．21．（12分）设椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)，椭圆的右焦点恰好是直线x +y −√3=0与x 轴的交点，椭圆的离心率为√32． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，过定点N （﹣1，0）的直线与椭圆E 交于C ，D 两点（与点A ，B 不重合），证明：直线AC ，BD 的交点的横坐标为定值． 22．（12分）已知f （x ）＝lnx +ax （a ∈R ）． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当a ＝1时，若f （x ）≤k （x +1）+b 在（0，+∞）上恒成立，证明：2k+b−2k−1的最小值为﹣e +1．2021-2022学年广东省东莞市七校高三（上）联考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1．（5分）已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |0＜x ≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2，3}B ．{0，1，2，3}C ．{1，2}D ．{1，2，3}【解答】解：∵集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |0＜x ≤2}， ∴A ∩B ＝{1，2}． 故选：C ．2．（5分）已知z ＝1﹣i ，则z(z +2i)=（ ） A ．2+iB ．2﹣iC ．﹣2iD ．2i【解答】解：∵z ＝1﹣i ，∴z(z +2i)=（1+i ）（1﹣i +2i ）＝（1+i ）2＝2i ． 故选：D ．3．（5分）二项式(2x −√x)5展开式中，x 3的系数等于（ ） A ．10B ．﹣10C ．80D ．﹣80【解答】解：由于二项式(2x −√x)5展开式的通项公式为T r +1＝C 5r •（2x ）5﹣r(−√x)r =（﹣1）r •25﹣r C 5r x 5−r2，令5−r2=3，解得r ＝4，∴展开式中x 3的系数是（﹣1）4•25﹣4C 54＝10．故选：A ．4．（5分）6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有（ ） A ．30种B ．144种C ．5种D ．4种【解答】解：这是不相邻问题，采用插空法，先排其余的3名同学，有A 33种排法，出现4个空，将甲、乙、丙插空，所以共有A 33A 43＝144种排法， 故选：B ．5．（5分）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为（ ） A ．5√5π6B ．8√2π3C ．20√5π3D ．64√2π3【解答】解：圆柱的轴截面是边长为2的正方形，其外接圆的半径为√2， 则圆柱的外接球的半径为√2，可得该圆柱的外接球的体积为V =43π×(√2)3=8√2π3． 故选：B ．6．（5分）若tan α＝3，则1+cos2αsin2α=（ ）A ．−12B ．13C ．±13D ．2【解答】解：∵tan α＝3，则1+cos2αsin2α=2cos 2α2sinαcosα=cosαsinα=1tanα=13，故选：B ．7．（5分）已知双曲线C 的离心率为√3，F 1，F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，|PF 1|＝3|PF 2|，若△PF 1F 2的面积为4√2，则双曲线C 的实轴长为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．6【解答】解：由题意知，点P 在右支上，则|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝3|PF 2|， ∴|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，又e =ca =√3，∴|F 1F 2|=2c =2√3a ，则在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2=9a 2+a 2−12a 22⋅3a⋅a =−13， ∴sin ∠F 1PF 2=2√23，故S △PF 1F 2=12⋅a ⋅3a ⋅2√23=4√2，解得a ＝2， ∴实轴长为2a ＝4， 故选：C ．8．（5分）已知函数f （x ）={lnxx，x ＞01−x 2，x ≤0，若函数g （x ）＝f （x ）﹣k 有三个零点，则（ ）A ．1＜k ≤eB ．−1e＜k ＜0 C ．0＜k ＜1eD ．1e＜k ＜1【解答】解：当x ＞0时，f （x ）=lnx x ，∴f '（x ）=1−lnx x 2， 令f '（x ）＝0，得x ＝e ，∴当x ∈（0，e ）时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增； 当x ∈（e ，+∞）时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减， 又f （e ）=lne e =1e ，当x ≤0时，f （x ）＝1﹣x 2单调递增，画出函数f （x ）的图像，如图所示，∵函数g （x ）＝f （x ）﹣k 有三个零点，即方程f （x ）﹣k ＝0有三个不等实根， ∴函数y ＝f （x ）与y ＝k 有三个交点， 由图像可知，0＜k ＜1e， 故选：C ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9．（5分）如图所示，在5×5的方格中，点O ，A ，B ，C 均为小正方形的顶点，则下列结论正确的是（ ）A ．OB →=OA →+OC →B ．|OA →|=|OC →|=12|OB →| C ．AC →=OB →−2OC →D ．OA →⋅OB →=OC →⋅OB →【解答】解：由图知，四边形OABC 为菱形，选项A ，由平行四边形加法法则知，OB →=OA →+OC →，即A 正确；选项B ，|OA →|＝|OC →|=√17，|OB →|=√34，所以不满足|OA →|＝|OC →|=12|OB →|，即B 错误；选项C ，AC →=OC →−OA →=OC →−（OB →+BA →）=OC →−（OB →−OC →）=−OB →+2OC →，即C 错误；选项D ，因为四边形OABC 为菱形，所以∠AOB ＝∠COB ，且|OA →|＝|OC →|，由平面向量数量积的运算法则知，OA →•OB →=OC →•OB →成立，即D 正确． 故选：AD ．10．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．函数f （x ）的图象关于点(−π12，0)对称B ．函数f （x ）的图象关于x =π2直线对称 C ．函数f （x ）在区间[−π3，π6]上单调递增D ．y ＝1与图象y =f(x)(−π12≤x ≤23π12)的所有交点的横坐标之和为8π3【解答】解：根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象， 可得A ＝2，14×2πω=2π3−5π12，∴ω＝2．结合五点法作图，可得2×5π12+φ＝π，∴φ=π6，故f （x ）＝2sin （2x +π6）．令x =−π12，求得f （x ）＝0，可得函数f （x ）的图象关于点(−π12，0)对称，故A 正确； 令x =π2，求得f （x ）＝﹣1，不是最值，故函数f （x ）的图象关不于x =π2直线对称，故B 错误；在区间[−π3，π6]上，2x +π6∈[−π2，π2]，函数f （x ）单调递增，故C 正确；当x∈[−π12，23π12]，2x+π6∈[0，4π]，直线y＝1与图象y=f(x)(−π12≤x≤23π12)的4个交点关于直线2x+π6=3π2对称．设这4个交点的横坐标分别为a、b、c、d，a＜b＜c＜d，则（2a+π6）+（2d+π6）＝2×3π2，（2b+π6）+（2c+π6）＝2×3π2，故所有交点的横坐标之和为a+b+c+d=8π3，故D正确，故选：ACD．11．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a9＝S17，则下列说法正确的是（）A．a8＝0B．a9＝0C．a1＝S16D．S8＞S10【解答】解：由{a n}是等比数列，得S17=172（a1+a17）＝17a9，又a9＝S17，得a9＝17a9，解得a9＝0，所以选项B正确；由于a8＝a9﹣d，且d≠0，所以a8≠0，选项A错误；由a9＝a1+8d＝0，得a1＝﹣8d，则S16＝16a1+16×152d＝16×（﹣8d）+15×8d＝﹣8d＝a1，所以选项C正确；若该数列a1＜0，d＞0，则当n≤8时，a n＜0，当n＝9时，a n＝0，当n≥10时，a n＞0，此时S8＜S10＝S8+a9+a10，选项D错误；故选：BC．12．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段BC1上的动点，下列说法正确的是（）A．对任意点P，DP∥平面AB1D1B ．三棱锥P ﹣A 1DD 1的体积为16C ．线段DP 长度的最小值为√62D ．存在点P ，使得DP 与平面ADD 1A 1所成角的大小为π3【解答】解：连接DB ，由BB 1∥DD 1，且BB 1＝DD 1， 得四边形DD 1B 1B 为平行四边形，∴DB ∥D 1B 1，由DB ⊄平面AB 1D 1，D 1B 1⊂平面AB 1D 1， 得BD ∥平面AB 1D 1，同理DC 1∥平面AB 1D 1，又BD ∩DC 1＝D ，可得平面DBC 1∥平面AB 1D 1， ∴对任意点P ，DP ∥平面AB 1D 1，故A 正确； V P−A 1DD 1=V C 1−A 1DD 1=13×12×1×1×1=16，故B 正确； 当P 为BC 1中点时，DP ⊥BC 1，此时线段DP 长度的最小值为12+(√22)2=√62，故C正确；当P 在线段BC 1上运动时，DP 长度的最小值为√62，最大值为√2， 则PC 长度的范围为[√22，1]，而P 到平面ADD 1A 1的距离为定值1， 则DP 与平面ADD 1A 1所成角的正切值∈[√22，1]． 最大值小于√3，则不存在点P ，使得DP 与平面ADD 1A 1所成角的大小为π3，故D 错误． 故选：ABC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 13．（5分）若随机变量X ～B （n ，13），且E （X ）∈N *，写出一个符合条件的n ＝ 3 ．【解答】解：令n ＝3时，则随机变量X ～B （3，13），E （X ）=3×13=1∈N ∗， 故n ＝3，符合题意． 故答案为：3．14．（5分）已知函数g （x ）＝f （x ）+2，若f （x ）是奇函数，且g （1）＝3，则g （﹣1）＝ 1 ．【解答】解：函数g （x ）＝f （x ）+2，若f （x ）是奇函数，则g （﹣x ）+g （x ）＝f （﹣x ）+2+f （x ）+2＝[f （﹣x ）+f （x ）]+4＝0+4＝4， 所以g （﹣1）＝4﹣g （1）＝4﹣3＝1． 故答案为：1．15．（5分）函数f(x)=1+12x +cosx 在(0，π2)上的单调递增区间是 (0，π6) ． 【解答】解：函数f(x)=1+12x +cosx ，可得f ′（x ）=12−sin x ，令12−sin x ＞0，因为x ∈(0，π2)，所以，解得x ∈(0，π6)， 故答案为：(0，π6)．16．（5分）取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段；再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；……；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为 8 ．（参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771） 【解答】解：第一次操作去掉的线段长度为13，第二次操作去掉的线段长度之和为23•13，第三次操作去掉的线段长度之和为23•23•13，……第n 次操作去掉的线段长度之和为(23)n−1•13，由题意知，(23)n−1•13≥160，则(23)n ≥130， 则nlg 23≥−lg 30＝﹣1﹣lg 3，所以n （lg 2﹣lg 3）≥﹣1﹣lg 3，即n ≤1+lg3lg3−lg2， 又lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771， 可得n ≤8，故n 的最大值为8． 故答案为：8．四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =n 2+3n ，n ∈N *． （1）求{a n }的通项公式； （2）求数列{1a2n−1⋅a 2n+1}的前n 项和T n ．【解答】解：（1）当n ＝1时，2S 1＝4，∴a 1＝2，当n ≥2时，2S n−1=(n −1)2+3(n −1)，又2S n =n 2+3n ， 两式相减得2a n ＝2n +2，所以a n ＝n +1， 故{a n }的通项公式为a n =n +1(n ∈N ∗)． （2）由（1）知1a 2n−1a 2n+1=12n(2n+2)=14×1n(n+1)=14(1n−1n+1)，∴T n =14[(11−12)+(12−13)+⋅⋅⋅+(1n−1n+1)]=14(1−1n+1)=n 4n+4． 18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若asinBcosC +csinBcosA =12b ，且a ≥b ．（1）求角B 的值；（2）若A =π6，且△ABC 的面积为4√3，求BC 边上的中线AM 的长． 【解答】解：（1）因为a sin B cos C +c sin B cos A =12b ， 由正弦定理得sin A sin B cos C +sin C sin B cos A =12sin B ，因为sin B ≠0，整理得sin A cos C +sin C cos A =12，即sin （A +C ）=12，得sin B =12，又a ≥b ，所以0＜B ＜π2，可得B =π6．（2）由（1）知B =π6，若A =π6，可得C =2π3， 则S △ABC =12ab sin C =12a 2sin2π3=4√3，所以a ＝4，a ＝﹣4（舍），又在△AMC 中，AM 2＝AC 2+MC 2﹣2AC •MC cos 2π3，所以AM 2＝AC 2+（12AC ）2﹣2AC •12AC cos2π3=42+22﹣2×4×2×（−12）＝28，所以AM ＝2√7．19．（12分）某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投中的概率为34，三步篮投中的概率为45，测试时罚球位上投篮投中得2分，三步篮投中得1分，不中得0分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮1次，三步上篮2次． （Ⅰ）求“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”的概率； （Ⅱ）求该同学的总得分X 的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设该同学“罚球位上定位投中”为事件A ，“三步篮投中”为事件B ， “该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”为事件C ， 则P （A ）=34P （B ）=45所以P （C ）=34⋅C 21⋅45⋅15=625；（Ⅱ）X 的可能取值为0，1，2，3，4，所以P（X＝0）=(1−34)⋅C20⋅(45)0⋅(15)2=1100，P（X＝1）=(1−34)⋅C21⋅45⋅15=8100，P（X＝2）=34⋅C20⋅(45)0⋅(15)2+14⋅C22⋅(45)2=19100，P（X＝3）=34⋅C21⋅45⋅15=24100，P（X＝4）=34⋅C22⋅(45)2=48100，所以X的分布列为：X01234P11008100191002410048100故E（X）＝0×1100+1×8100+2×19100+3×24100+4×48100=3.1，则该同学得分的数学期望是3.1分．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD ＝CD=√2，BC＝2√2，P A＝1．（1）求证：AB⊥PC；（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：由已知得四边形ABCD是直角梯形，由AD=CD=√2，BC=2√2，可得AB＝AC＝2，故△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC，∵P A⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴P A⊥AB，又P A∩AC＝A，∴AB⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC，∴AB⊥PC．（2）解：取BC的中点E，连接AE，则AE⊥BC，建立如图所示的空间直角坐标系，A （0，0，0），C(√2，√2，0)，D(0，√2，0)，P （0，0，1）， B(√2，−√2，0)，PD →=(0，√2，−1)，AC →=(√2，√2，0)， 设PM →=tPD →(0≤t ≤1)， 则点M 为(0，√2t ，1−t)， 所以AM →=(0，√2t ，1−t)，设平面MAC 的法向量是n →=(x ，y ，z)， {AC →⋅n →=√2x +√2y =0AM →⋅n →=√2ty +(1−t)z =0， 令x ＝1，n →=(1，−1，√2t1−t )，又m →=(0，0，1)是平面ACD 的一个法向量，∴|cos〈m →，n →〉|=|m →⋅n →||m →||n →|=|√2t 1−t |√2+(√2t 1−t)=cos45°=√22，解得t =12，即点M 是线段PD 的中点．此时平面MAC 的一个法向量可取n →=(1，−1，√2)，BM →=(−√2，2√2，12)， 设BM 与平面MAC 所成的角为θ， 则sinθ=|cos〈n →，BM →〉|=|n →⋅BM →||n →|⋅|BM →|=2√69， ∴BM 与平面MAC 所成角的正弦值为2√69．21．（12分）设椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，椭圆的右焦点恰好是直线x +y −√3=0与x 轴的交点，椭圆的离心率为√32． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，过定点N （﹣1，0）的直线与椭圆E 交于C ，D 两点（与点A ，B 不重合），证明：直线AC ，BD 的交点的横坐标为定值． 【解答】解：（1）∵直线x +y −√3=0与x 轴的交点为(√3，0)，∴c =√3． 又∵e =ca =√32，∴a ＝2， ∴b 2＝a 2﹣c 2＝1． ∴椭圆E 的标准方程为x 24+y 2=1．（2）证明：由（1）可得A （﹣2，0），B （2，0）．由题知过点N （﹣1，0）的斜率不为0，故设直线的方程为x ＝my ﹣1， 设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）．联立{x =my −1x 24+y 2=1，整理，得（4+m 2）y 2﹣2my ﹣3＝0，Δ＝4m 2+12（4+m 2）＞0，∴y 1+y 2=2m 4+m 2，y 1y 2=−34+m 2． 设直线AC 的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，直线BD 的方程为y =y2x 2−2(x −2)， 联立两条直线方程，解得x =2⋅y 1(x 2−2)+y 2(x 1+2)y 2(x 1+2)−y 1(x 2−2)①， 将x 1＝my 1﹣1，x 2＝my 2﹣1代入①，得x =2⋅2my 1y 2+(y 1+y 2)−4y 1(y 1+y 2)+2y 1②， 将y 1+y 2=m 4+m 2，y 1y 2=−34+m 2代入②，得x ＝2.−4(m4+m 2+y 1)2(m 4+m 2+y 1)=−4，∴直线AC ，BD 的交点的横坐标为定值﹣4． 22．（12分）已知f （x ）＝lnx +ax （a ∈R ）． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当a ＝1时，若f （x ）≤k （x +1）+b 在（0，+∞）上恒成立，证明：2k+b−2k−1的最小值为﹣e +1．【解答】解：（1）因为f ′（x ）=1x +a （x ＞0）， 当a ≥0时，f ′（x ）＞0，所以f （x ）在（0，+∞）上单调递增，当a ＜0时，若x ∈（0，−1a）时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 若x ∈（−1a，+∞）时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 综上，当a ≥0时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，当a ＜0时，f （x ）在（0，−1a ）上单调递增，f （x ）在（−1a ，+∞）上单调递减． （2）证明：因为lnx +x ≤k （x +1）+b 在（0，+∞）上恒成立， 所以b ≥lnx +x ﹣k （x +1）在（0，+∞）上恒成立， 设g （x ）＝lnx +x ﹣k （x +1）， 所以g ′（x ）=1x +1﹣k （x ＞0），当k ≤1时，g ′（x ）＞0，g （x ）在（0，+∞）上单调递增， 此时b ≥g （x ）不恒成立， 当k ＞1时，若x ∈（0，1k−1）时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，若x ∈（1k−1，+∞）时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减，所以g （x ）max ＝g （1k−1）＝ln1k−1+1k−1−k （1k−1+1）＝﹣ln （k ﹣1）﹣k ﹣1，所以b ≥﹣ln （k ﹣1）﹣k ﹣1， 又因为2k+b−2k−1=2+bk−1≥2+−ln(k−1)−k−1k−1=1−ln(k−1)+2k−1， 令t ＝k ﹣1＞0， h （t ）＝1−lnt+2t， 所以h ′（t ）=lnt+1t 2， 当t ∈（0，1e）时，h ′（t ）＜0，h （t ）单调递减， 当t ∈（1e ，+∞）时，h ′（t ）＞0，h （t ）单调递增，所以h （t ）min ＝h （1e）＝﹣e +1，所以2k+b−2k−1的最小值为﹣e +1．。

广东省东莞市2021届新高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数()ln f x x x h =-++，在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，()f b ，()f c 为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（ ）A ．11,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．11,3e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．11,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ D ．()3,e -+∞【答案】D【解析】【分析】利用导数求得()f x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得h 的取值范围.【详解】 ()f x 的定义域为()0,∞+，()'111x f x x x-=-+=， 所以()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在()1,e 上递增，()f x 在1x =处取得极小值也即是最小值，()1ln111f h h =-++=+，1111ln 1f h h e e e e ⎛⎫=-++=++ ⎪⎝⎭，()ln 1f e e e h e h =-++=-+，()1f f e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 所以()f x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()1f e e h =-+. 要使在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，()f b ，()f c 为边长的三角形， 则需()()()f a f b f c +>恒成立，且()10f >，也即()()()max min f a f b f c +>⎡⎤⎣⎦，也即当1a b ==、c e =时，()()21e f f >成立，即()211h e h +>-+，且()10f >，解得3h e >-.所以h 的取值范围是()3,e -+∞.故选：D【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题.2．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为V ，点M ，N 分别在棱1BB ，1CC 上，满足1AM MN ND ++最小，则四面体1AMND 的体积为( )A ．112VB ．18V C ．16V D ．19V 【答案】D【解析】【分析】由题意画出图形，将1,MN ND 所在的面延它们的交线展开到与AM 所在的面共面，可得当11111,33BM BB C C N C ==时1AM MN ND ++最小，设正方体1AC 的棱长为3a ，得327V a =，进一步求出四面体1AMND 的体积即可．【详解】解：如图，∵点M ，N 分别在棱11,BB CC 上，要1AM MN ND ++最小，将1,MN ND 所在的面延它们的交线展开到与AM 所在的面共面，1,,AM MN ND 三线共线时，1AM MN ND ++最小，∴11111,33BM BB C C N C == 设正方体1AC 的棱长为3a ，则327a V =，∴327V a =．取13BG BC =，连接NG ，则1AGND 共面， 在1AND ∆中，设N 到1AD 的距离为1h ，12212212222211111112(3)(3)32,(3)10,(32)(2)22,cos ,21022255319sin ,25511sin =22=319192D NA AD a a a D N a a a AN a a a D NA a a D NA S D N AN D NA AD a a h h ∆=+==+==+=∴∠==⋅⋅∴∠=∴=⋅⋅⋅∠=⋅⋅∴，设M 到平面1AGND 的距离为2h ，22111111[(2)322]3231922219222M AGN A MGNa a V V h a a a a a a h a --∴=∴⋅⋅⋅⋅+⋅-⋅⋅-⋅⋅∴=⋅⋅= 123131933919AMND a V V a ∴=⨯⨯==. 故选D ．【点睛】本题考查多面体体积的求法，考查了多面体表面上的最短距离问题，考查计算能力，是中档题． 3．设函数1()ln 1x f x x x+=-，则函数的图像可能为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】【分析】根据函数为偶函数排除,A C ，再计算11()22ln 30f =>排除D 得到答案. 【详解】1()ln1x f x x x+=-定义域为：(1,1)- 11()ln ln ()11x x f x x x f x x x-+-=-==+-，函数为偶函数，排除,A C 11()22ln 30f => ，排除D 故选B【点睛】本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧.4．在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有( )A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种【答案】C【解析】【分析】根据题意，分别计算“从6名男干部中选出2名男干部”和“从5名女干部中选出1名女干部”的取法数，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，从6名男干部中选出2名男干部，有2615C =种取法，从5名女干部中选出1名女干部，有155C =种取法， 则有15575⨯=种不同的选法；故选：C ．【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理问题，属于基础题．5．已知,x y 满足001x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩………，则32y x --的取值范围为（ ） A ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(1,2]C ．(,0][2,)-∞+∞UD ．(,1)[2,)-∞⋃+∞ 【答案】C【解析】【分析】 设32y k x -=-，则k 的几何意义为点(,)x y 到点(2,3)的斜率，利用数形结合即可得到结论. 【详解】解：设32y k x -=-，则k 的几何意义为点(,)P x y 到点(2,3)D 的斜率， 作出不等式组对应的平面区域如图：由图可知当过点D 的直线平行于x 轴时，此时302y k x -==-成立； 32y k x -=-取所有负值都成立； 当过点A 时，32y k x -=-取正值中的最小值，1(1,1)0x A x y =⎧⇒⎨-=⎩，此时3132212y k x --===--； 故32y x --的取值范围为(,0][2,)-∞+∞U ； 故选：C.【点睛】本题考查简单线性规划的非线性目标函数函数问题，解题时作出可行域，利用目标函数的几何意义求解是解题关键．对于直线斜率要注意斜率不存在的直线是否存在．6．已知函数2ln(2),1,()1,1,x x f x x x -⎧=⎨-+>⎩…若()0f x ax a -+…恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[0,1] C ．[1,)+∞ D ．[0,2]【答案】D【解析】【分析】由()0f x ax a -+…恒成立，等价于|()|y f x =的图像在(1)y a x =-的图像的上方，然后作出两个函数的图像，利用数形结合的方法求解答案.【详解】 因为2ln(2),1,()1,1,x x f x x x -⎧=⎨->⎩…由()(1)f x a x -…恒成立，分别作出|()|y f x =及(1)y a x =-的图象，由图知，当0a <时，不符合题意，只须考虑0a …的情形，当(1)y a x =-与()(1)y f x x =…图象相切于(1,0)时，由导数几何意义，此时21(1)|2x a x '==-=，故02a 剟. 故选：D【点睛】此题考查的是函数中恒成立问题，利用了数形结合的思想，属于难题.7．已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，下列命题：①若//αβ，//αγ，则//βγ；②若//a α，//a β，则//αβ；③若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥；④若a α⊥，b α⊥，则//a b .其中正确命题序号为( )A ．②③B ．②③④C ．①④D ．①②③【答案】C【解析】【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可.【详解】根据面面平行的性质以及判定定理可得，若//αβ，//αγ，则//βγ，故①正确；若//a α，//a β，平面,αβ可能相交，故②错误；若αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能平行，故③错误；由线面垂直的性质可得，④正确；故选：C【点睛】本题主要考查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.8．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（ ） A ．25 B ．2 C ．72 D ．3 【答案】B【解析】【分析】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，与y 轴交于点N ，由2FA AS =和抛物线的定义可求得TS ，利用抛物线的性质1122AF BF p+=可构造方程求得BF ，进而求得结果. 【详解】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，AM 与y 轴交于点N ，由抛物线解析式知：(),0F p ，准线方程为x p =-.2FA AS =Q ，13SA SF ∴=，133p AN OF ∴==，43AM p ∴=， 由抛物线定义知：43AF AM p ==，1223AS AF p ∴==，2SF p ∴=， 2TS SF p ∴==.由抛物线性质11212AF BF p p +==得：3114p BF p+=，解得：4BF p =， 422FB p TS p∴==. 故选：B .【点睛】本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式. 9．如图，点E 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（ ）A ．在点F 的运动过程中，存在EF//BC 1B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值【答案】C【解析】【分析】采用逐一验证法，根据线线、线面之间的关系以及四面体的体积公式，可得结果.【详解】A 错误由EF ⊂平面AEC ，1BC //1AD而1AD 与平面AEC 相交，故可知1BC 与平面AEC 相交，所以不存在EF//BC 1B 错误，如图，作11B M BD ⊥由11,,AC BD AC BB BD BB B ⊥⊥⋂=又1,BD BB ⊂平面11BB D D ，所以AC ⊥平面11BB D D又1B M ⊂平面11BB D D ，所以1B M AC ⊥由OE //1BD ，所以1B M OE ⊥AC OE O =I ，,AC OE ⊂平面AEC所以1B M ⊥平面AEC ，又AE ⊂平面AEC所以1B M AE ⊥，所以存在C 正确四面体EMAC 的体积为13M AEC AEC V S h -∆=⋅⋅ 其中h 为点M 到平面AEC 的距离，由OE //1BD ，OE ⊂平面AEC ，1BD ⊄平面AEC所以1BD //平面AEC ，则点M 到平面AEC 的距离即点B 到平面AEC 的距离，所以h 为定值，故四面体EMAC 的体积为定值D 错误由AC //11A C ，11A C ⊂平面11A C B ，AC ⊄平面11A C B所以AC //平面11A C B ，则点F 到平面11A C B 的距离1h 即为点A 到平面11A C B 的距离，所以1h 为定值所以四面体FA 1C 1B 的体积1111113F A C B A C B V S h -∆=⋅⋅为定值 故选：C【点睛】本题考查线面、线线之间的关系，考验分析能力以及逻辑推理能力，熟练线面垂直与平行的判定定理以及性质定理，中档题.10．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l α⊄,l β⊄则 （ ）A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l 【答案】D【解析】【分析】【详解】试题分析：由m ⊥平面α，直线l 满足l m ⊥，且l α⊄，所以//l α，又n ⊥平面β，,l n l β⊥⊄，所以l β//，由直线,m n 为异面直线，且m ⊥平面,n α⊥平面β，则α与β相交，否则，若//αβ则推出//m n ，与,m n 异面矛盾，所以,αβ相交，且交线平行于l ，故选D ．考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．11．已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r 的最大值是（ ） A ．2 B ．1 C ．3 D ．2 【答案】D【解析】【分析】如图所示建立直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，则(1)cos PA PB PC θ⋅+=-u u u r u u u r u u u r，计算得到答案.【详解】 如图所示建立直角坐标系，则()1,0A ，13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ，13,22C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，设()cos ,sin P θθ，则(1cos ,sin )(12cos ,2si (n ))PA PB PC θθθθ=--⋅--⋅+-u u u r u u u r u u u r222(1cos )(12cos )2sin 2cos cos 12sin 1cos 2θθθθθθθ=---+=--+=-≤.当θπ=-，即()1,0P -时等号成立.故选：D .【点睛】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.12．已知定义在R 上的函数()2x f x x =⋅，3(log 5)a f =，31(log )2b f =-，(ln 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >> 【答案】D【解析】 【分析】先判断函数在0x >时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到3(log 2)b f =，比较33log 5,log 2,ln3三个数的大小，然后根据函数在0x >时的单调性，比较出三个数,,a b c 的大小. 【详解】当0x >时，'()22()2ln 220xx x x f x x x f x x =⋅=⋅⇒=+⋅⋅>，函数()f x 在0x >时，是增函数.因为()22()xx f x x x f x --=-⋅=-⋅=-，所以函数()f x 是奇函数，所以有33311(log )(log )(log 2)22b f f f =-=-=，因为33log 5lo ln31g 20>>>>，函数()f x 在0x >时，是增函数，所以c a b >>，故本题选D. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年广东省珠海市高考数学第一次质量监测试卷（一模）一、单选题（共8小题）.1．设集合A＝{x|＜2}，集合B＝{y|y＝（）x，x∈R}，则A∩B＝（）A．（﹣1，3）B．（0，3）C．[0，3）D．[﹣1，3）2．设i是虚数单位，复数z1＝i2021，复数z2＝，则z1+z2在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知α＝2ln3，β＝，γ＝ln，则α，β，γ的大小关系是（）A．α＜β＜γB．β＜α＜γC．γ＜β＜αD．β＜γ＜α4．如图，为一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A．+2B．+4C．+2D．+45．已知α，β是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，下列条件中，可以得到l⊥α的是（）A．l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂αB．l⊥m，m∥αC．α⊥β，l∥βD．l∥m，m⊥α6．变量x，y满足约束条件，若目标函数z＝x+2y的最大值为12，则实数a＝（）A．12B．﹣12C．4D．﹣47．下列四个叙述中，错误的是（）A．“p∨q为真”是“p∧q为真”的必要不充分条件B．命题p：“∀x∈R且x≠0，x+的值域是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）”，则￢p：“∃x0∈R 且x0≠0，使得x0+∈（﹣2，2）”C．已知a，b∈R且ab＞0，原命题“若a＞b，则＜”的逆命题是“若＜，则a ＞b”D．已知函数f（x）＝x2，函数g（x）＝（）x﹣m，若对任意x1∈[﹣1，3]，存在x2∈[0，1]，使得f（x1）≥g（x2）成立，则m的范围是[1，+∞）8．已知从1开始的连续奇数首尾相接蛇形排列形成如图三角形数表，第i行第j列的数记为a i，j，如a3，1＝7，a4，3＝15，则a i，j＝2021时，log2（i+19）＝（）A．54B．18C．9D．6二、多选题（共4小题）.9．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为3的等边三角形，侧棱与底面垂直，其外接球的表面积为16π，下列说法正确的是（）A．三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积是B．三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积是18C．直线AB1与直线A1C1成角的余弦值是D．点A到平面A1BC的距离是10．△ABC中，D为AC上一点且满足＝，若P为BD上一点，且满足＝λ+μ，λ，μ为正实数，则下列结论正确的是（）A．λμ的最小值为16B．λμ的最大值为C．+的最大值为16D．+的最小值为411．已知由样本数据（x1，y1）（i＝1，2，3，…，8）组成的一个样本，得到回归直线方程为＝2x﹣0.4且＝2，去除两个歧义点（﹣2，7）和（2，﹣7）后，得到新的回归直线的斜率为3．则下列说法正确的是（）A．相关变量x，y具有正相关关系B．去除歧义点后的回归直线方程为＝3x﹣3.2C．去除歧义点后，随x值增加相关变量y值增加速度变小D．去除歧义点后，样本（4，8.9）的残差为0.1（附：＝y1﹣）12．已知函数f（x）＝3|sin x|+4|cos x|，则（）A．﹣π是函数f（x）的一个周期B．直线x＝（k∈Z）为函数f（x）的对称轴方程C．函数f（x）的最大值是5D．f（x）＝4 在[0，π]有三个解三、填空题（共4小题）.13．二项式（x﹣）8展开式中的常数项是（用数字作答）．14．若方程x2+y2+λxy+2kx+4y+5k+λ＝0表示圆，则k的取值范围为．15．△ABC中，内角A，B，C对的边长分别为a，b，c，且满足2cos B cos C（tan B+tan C）＝cos B tan B+cos C tan C，则cos A的最小值是．16．若以函数y＝f（x）的图像上任意一点P（x1，y1）为切点作切线，y＝f（x）图像上总存在异于P点的点Q（x2，y2），使得以Q为切点的直线l1与12平行，则称函数f（x）为“美函数”，下面四个函数中是“美函数”的是．①y＝x3﹣2x；②y＝3x+；③y＝cos x；④y＝（x﹣2）2+lnx．四、解答题：本题共6小题，共70分。

广东省湛江市2021届新高考第一次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（ ） A ．760B ．16C ．1360D ．14【答案】C 【解析】 【分析】分情况讨论，由间接法得到“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开的事件个数，不考虑限制因素，总数有66A 种，进而得到结果. 【详解】当“数”位于第一位时，礼和乐相邻有4种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有33A 种情况，由间接法得到满足条件的情况有51235423A C A A -当“数”在第二位时，礼和乐相邻有3种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有33A 种，由间接法得到满足条件的情况有51235323A C A A -共有：5123512353235423A C A A A C A A -+-种情况，不考虑限制因素，总数有66A 种，故满足条件的事件的概率为：5123512353235423661360A C A A A C A A A -+-= 故答案为：C. 【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． 2．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用22()4⨯⨯+=⨯+=勾股股勾朱实黄实弦实-，化简，得222+=勾股弦.设勾股形中勾股比为1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）A ．134B ．866C ．300D ．500【答案】A 【解析】分析：设三角形的直角边分别为13. 解析：设三角形的直角边分别为132，故而大正方形的面积为4，小正方形的面积为)231423=-∴42323--=.∴落在黄色图形内的图钉数大约为2310001342⨯≈.故选：A.点睛：应用几何概型求概率的方法建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量． (1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型．3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任意一点，若圆()()22001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）． A ．(]1,2 B ．(]1,4C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx ay 2a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离d ，根据圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，可得d 1≥，解得即可．【详解】由题意，双曲线2222x y C :1(a 0,b 0)a b-=>>的一条渐近线方程为b y x a =，即bx ay 0-=，∵()00P x ,y 是直线bx ay 4a 0-+=上任意一点， 则直线bx ay 4a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离224a d ca b ==+， ∵圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则d 1≥， ∴41a c ≥，即4ce a=≤，又1e > 故e 的取值范围为(]1,4， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C 的右支没有公共点得出d 1≥是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:307:30-之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上7.008:00-之间.用A 表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为x ，小张离开家的时间为y ，(,)x y 看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A 的概率()P A 等于（ ）A ．58B ．25C ．35D ．78【答案】D 【解析】 【分析】这是几何概型，画出图形，利用面积比即可求解. 【详解】解：事件A 发生，需满足x y ≤，即事件A 应位于五边形BCDEF 内，作图如下：()1111722218P A -⨯⨯== 故选：D 【点睛】考查几何概型，是基础题.5．我们熟悉的卡通形象“哆啦A 梦”的长宽比为2:1.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（ ） A ．400米 B ．480米 C ．520米 D ．600米【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实际高度. 【详解】设第一展望台到塔底的高度为x 米，塔的实际高度为y 米，几何关系如下图所示：由题意可得1002xx +=，解得()10021x =；且满足2100yx =+ 故解得塔高()100220021480y x =+=≈米，即塔高约为480米.故选：B 【点睛】本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题.6．已知(1)n x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，2012(1)n n n x a a x a x a x λ+=++++L ，若12242n a a a ++⋅⋅⋅=，则012(1)n n a a a a -+-⋅⋅⋅+-的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．8l D ．－81【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质，可求得n ，再通过赋值求得0a 以及结果即可. 【详解】因为(1)nx λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，故可得5n =，令0x =，故可得01a =， 又因为125242a a a +++=L ，令1x =，则()501251243a a a a λ+=++++=L ， 解得2λ=令1x =-，则()()5501251211a a a a -=-+-+-=-L . 故选：B. 【点睛】本题考查二项式系数的性质，以及通过赋值法求系数之和，属综合基础题.7．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ） A ．48 B ．60 C ．72 D ．120【答案】A 【解析】 【分析】对数字2分类讨论，结合数字135，，中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论 【详解】数字2出现在第2位时，数字135，，中相邻的数字出现在第34，位或者45，位，共有22232212C A A =个数字2出现在第4位时，同理也有12个数字2出现在第3位时，数字135，，中相邻的数字出现在第12，位或者45，位，共有1222232224C C A A =个故满足条件的不同的五位数的个数是48个 故选A 【点睛】本题主要考查了排列，组合及简单计数问题，解题的关键是对数字2分类讨论，属于基础题。

2022年广东省东莞市高考数学一模试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1．设集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |0≤x ≤3}B ．{x |﹣1≤x ≤4}C ．{x |﹣1≤x ≤3}D ．{x |0≤x ≤1}2．（x +1）2+（x +1）3+（x +1）4的展开式中x 2项的系数是（ ） A ．9B ．10C ．11D ．123．已知函数f （x ）＝sin x ，g （x ）＝e x +e ﹣x ，则下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）g （x ）是偶函数 B ．|f （x ）|g （x ）是奇函数C ．f （x ）|g （x ）|是奇函数D ．|f （x ）g （x ）|是奇函数4．若α∈(0，π2)，2tanα=1cos 2α，则tan α＝（ ） A ．12B ．1C ．2−√3D ．√35．甲乙两人在数独APP 上进行“对战赛”，每局两人同时解一道题，先解出题的人赢得一局，假设无平局，且每局甲乙两人赢的概率相同，先赢3局者获胜，则甲获胜且比赛恰进行了4局的概率是（ ） A ．310B ．38C ．116D ．3166．“中国天眼”（如图1）是世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜，其形状可近似地看成一个球冠（球冠是球面被平面所截的一部分，如图2所示，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的线段叫做球冠的高．若球面的半径是R ，球冠的高度是h ，则球冠的面积S ＝2πRh ）．已知天眼的球冠的底的半径约为250米，天眼的反射面总面积（球冠面积）约为25万平方米，则天眼的球冠高度约为（ ）（参考数值：√4π−1≈0.52）A ．52米B ．104米C ．130米D ．156米7．已知直线l 过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，且与该抛物线交于M ，N 两点．若线段MN 的长为16，MN 的中点到y 轴距离为6，则△MON （O 为坐标原点）的面积是（ ） A ．8√3B ．8√2C ．6√2D ．68．已知O 为坐标原点，点P 为函数y ＝cos x 图象上一动点，当点P 的横坐标分别为π12，π8，π6时，对应的点分别为P 1，P 2，P 3，则下列选项正确的是（ ）A ．|OP 1|＞|OP 2|＞|OP 3|B ．|OP 1|＞|OP 3|＞|OP 2|C ．|OP 2|＞|OP 3|＞|OP 1|D ．|OP 3|＞|OP 2|＞|OP 1|二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．（多选）9．已知复数z 1，z 2，z 3，z 1是z 1的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A ．若z 1+z 2＝0，则|z 1|＝|z 2| B ．若z 2=z 1，则|z 1|＝|z 2| C ．若z 3＝z 1z 2，则|z 3|＝|z 1||z 2|D ．若|z 1+1|＝|z 2+1|，则|z 1|＝|z 2|（多选）10．已知函数f （x ）＝a sin x +b cos x ，若f(0)=√3且对任意x ∈R 都有f(x)≤f(π3)，则下列结论正确的是（ ） A ．f(x)=2√3cos(x +π3) B ．f(x)=2√3sin(x +π6)C ．f （x ）的图象向左平移π6个单位后，图象关于原点对称D ．f （x ）的图象向右平移2π3个单位后，图象关于y 轴对称（多选）11．气象意义上从春季进入夏季的标志为“当且仅当连续5天每天日平均温度不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天日平均温度的记录数据（数据均为正整数，单位℃）且满足以下条件：甲地：5个数据的中位数是24，众数是22； 乙地：5个数据的中位数是27，平均数是24；丙地：5个数据有1个是30，平均数是24，方差是9.6． 根据以上数据，下列统计结论正确的是（ ） A ．甲地进入了夏季B ．乙地进入了夏季C ．不能确定丙地进入了夏季D ．恰有2地确定进入了夏季（多选）12．已知函数f(x)={，则下列结论正确的是（ ） A ．f （n ）＝41﹣n ，n ∈N *B ．∃x ∈(0，+∞)，f(x)＞1xC ．关于x 的方程f （x ）＝41﹣n （n ∈N *）的所有根之和为n 2+n3D ．关于x 的方程f （x ）＝41﹣n （n ∈N *）的所有根之积小于（n !）2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上． 13．已知F 为双曲线C ：x 29−y 216=1的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为 ．14．已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为15π，则该圆锥的体积为 ． 15．桌面上有一张边长为2的正三角形的卡纸，设三个顶点分别为A ，B ，C ，将卡纸绕顶点C 顺时针旋转5π6，得到A 、B 的旋转点分别为A 1、B 1，则AA →1⋅BB →1= ．16．龙曲线是由一条单位线段开始，按下面的规则画成的图形：将前一代的每一条折线段都作为这一代的等腰直角三角形的斜边，依次画出所有直角三角形的两段，使得所画的相邻两线段永远垂直（即所画的直角三角形在前一代曲线的左右两边交替出现）．例如第一代龙曲线（图1）是以A 1A 2为斜边画出等腰直角三角形的直角边A 1A 3，A 3A 2所得的折线图，图2、图3依次为第二代、第三代龙曲线（虚线即为前一代龙曲线）．A 1，A 2，A 3为第一代龙曲线的顶点，设第n 代龙曲线的顶点数为a n ，由图可知a 1＝3，a 2＝5，a 3＝9，则a4＝；数列{2na n a n+1}的前n项和S n＝．四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．17．（10分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2＝b cos C+c cos B．（1）求a；（2）若A=π3，△ABC的面积为√34，求△ABC的周长．18．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5＝17，S4＝2a2+22．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）在任意相邻两项a k和a k+1（k＝1，2，3，…）之间插入2k个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列{b n}，求数列{b n}的前200项的和T200．19．（12分）如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，点O，E分别是BD，BC中点，点F是SE上的一点．（1）证明：OF⊥BC；（2）若四棱锥S﹣ABCD的所有棱长为2√2，求直线OF与平面SDE所成角的正弦值的最大值．20．（12分）已知某次比赛的乒乓球团体赛采用五场三胜制，第一场为双打，后面的四场为单打．团体赛在比赛之前抽签确定主客队．主队三名选手的一单、二单、三单分别为选手A 、B 、C ，客队三名选手的一单、二单、三单分别为选手X 、Y 、Z ．比赛规则如下：第一场为双打（YZ 对阵BC ）、第二场为单打（X 对阵A ）、第三场为单打（Z 对阵C ）、第四场为单打（Y 对阵A ）、第五场为单打（X 对阵B ）．已知双打比赛中YZ 获胜的概率是14，单打比赛中X 、Y 、Z 分别对阵A 、B 、C 时，X 、Y 、Z 获胜的概率如表：选手 选手 A B CX 23 12 13 Y 13 12 23 Z142312（1）求主、客队分出胜负时恰进行了3场比赛的概率；（2）客队输掉双打比赛后，能否通过临时调整选手Y 为三单、选手Z 为二单使得客队团体赛获胜的概率增大？请说明理由．21．（12分）已知点A 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左顶点，点F （1，0）为右焦点，直线l：x＝4与x轴的交点为N，且|AF|＝|FN|，点M为椭圆上异于点A的任意一点，直线AM交l于点P．（1）求椭圆C的标准方程；（2）证明：∠MFN＝2∠PFN．22．（12分）已知a＞0且a≠1，函数f(x)=log a x+12ax2．（1）若a＝e，求函数f（x）在x＝1处的切线方程；（2）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．2022年广东省东莞市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1．设集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |0≤x ≤3}B ．{x |﹣1≤x ≤4}C ．{x |﹣1≤x ≤3}D ．{x |0≤x ≤1}解：由已知可得集合B ＝{x |﹣1≤x ≤3}， 则A ∩B ＝{x |0≤x ≤3}， 故选：A ．2．（x +1）2+（x +1）3+（x +1）4的展开式中x 2项的系数是（ ） A ．9B ．10C ．11D ．12解：（x +1）2+（x +1）3+（x +1）4的展开式中x 2项的系数为C 20+C 31+C 42=1+3+6＝10．故选：B ．3．已知函数f （x ）＝sin x ，g （x ）＝e x +e ﹣x ，则下列结论正确的是（ ）A ．f （x ）g （x ）是偶函数B ．|f （x ）|g （x ）是奇函数C ．f （x ）|g （x ）|是奇函数D ．|f （x ）g （x ）|是奇函数解：函数f （x ）＝sin x 为奇函数，g （x ）＝e x +e ﹣x ，g （﹣x ）＝e ﹣x +e x ＝g （x ），则g （x ）为偶函数，所以f （x ）g （x ）为奇函数，故A 错误；|f （x ）|为偶函数，则|f （x ）|g （x ）是偶函数，故B 错误； f （x ）|g （x ）|是奇函数，故C 正确； |f （x ）g （x ）|是偶函数，故D 错误． 故选：C ．4．若α∈(0，π2)，2tanα=1cos 2α，则tan α＝（ ） A ．12B ．1C ．2−√3D ．√3解：由于2tanα=1cos 2α=sin 2α+cos 2αcos 2α=tan 2α+1， 由于α∈(0，π2) 整理得tan α＝1．5．甲乙两人在数独APP 上进行“对战赛”，每局两人同时解一道题，先解出题的人赢得一局，假设无平局，且每局甲乙两人赢的概率相同，先赢3局者获胜，则甲获胜且比赛恰进行了4局的概率是（ ） A ．310B ．38C ．116D ．316解：甲乙两人各自解题是相互独立事件，又知每局中甲乙两人赢的概率相同， 即甲赢的概率为12，甲输的概率为12．其概率是C 32(12)2×(12)1×12=316，故选：D ．6．“中国天眼”（如图1）是世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜，其形状可近似地看成一个球冠（球冠是球面被平面所截的一部分，如图2所示，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的线段叫做球冠的高．若球面的半径是R ，球冠的高度是h ，则球冠的面积S ＝2πRh ）．已知天眼的球冠的底的半径约为250米，天眼的反射面总面积（球冠面积）约为25万平方米，则天眼的球冠高度约为（ ）（参考数值：√4π−1≈0.52）A ．52米B ．104米C ．130米D ．156米解：如图，O ′B ＝250，球面半径为R ，球冠的高是h ， 则球冠面积S ＝2πRh ．在Rt △OO ′B 中，有（R ﹣h ）2+2502＝R 2， 整理得2Rh ＝h 2+2502，则2πRh ＝πh 2+π•2502，∴πh 2+π•2502＝250000，得h 2=250000−π×2502π=53750π≈17118， ∴h ≈130米，7．已知直线l 过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，且与该抛物线交于M ，N 两点．若线段MN 的长为16，MN 的中点到y 轴距离为6，则△MON （O 为坐标原点）的面积是（ ） A ．8√3B ．8√2C ．6√2D ．6解：设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 由抛物线的定义可知|MN |＝x 1+x 2+p ＝16， 又∵MN 的中点到y 轴距离为6，∴x 1+x 22=6，∴x 1+x 2＝12，∴12+p ＝16，∴p ＝4，∴抛物线C 的方程为y 2＝8x ，焦点坐标为（2，0）， 设直线l 的方程为x ＝my +2，联立方程{x =my +2y 2=8x ，消去x 得y 2﹣8my ﹣16＝0，∴y 1+y 2＝8m ，y 1y 2＝﹣16，∴x 1+x 2=m(y 1+y 2)+4=8m 2+4=12， ∴m 2＝1，∴S △MON =12|OF|⋅|y 1−y 2|=12×2×√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√64m 2+64=8√2， 故选：B ．8．已知O 为坐标原点，点P 为函数y ＝cos x 图象上一动点，当点P 的横坐标分别为π12，π8，π6时，对应的点分别为P 1，P 2，P 3，则下列选项正确的是（ ）A ．|OP 1|＞|OP 2|＞|OP 3|B ．|OP 1|＞|OP 3|＞|OP 2|C ．|OP 2|＞|OP 3|＞|OP 1|D ．|OP 3|＞|OP 2|＞|OP 1|解：由于余弦函数的图象在[0，π2]上单调递减； 由于π12＜π8＜π6，且满足cos π6=√32，cos π8=√cos π4+12=√√22+12=√√24+12，cos π12=√2+√64，所以|OP 1|=(√2+√64)2+(π12)2， |OP 2|=(π8)2+(√24+12)，|OP 3|=(π6)2+(√32)2，利用平方法，整理得：|OP 3|＞|OP 2|＞|OP 1|； 故选：D ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．（多选）9．已知复数z 1，z 2，z 3，z 1是z 1的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A ．若z 1+z 2＝0，则|z 1|＝|z 2| B ．若z 2=z 1，则|z 1|＝|z 2| C ．若z 3＝z 1z 2，则|z 3|＝|z 1||z 2|D ．若|z 1+1|＝|z 2+1|，则|z 1|＝|z 2|解：选项A ：若z 1+z 2＝0，则z 1＝﹣z 2，所以|z 1|＝|﹣z 2|＝|z 2|，故A 正确， 选项B ：设z 1＝x +yi （x ，y ∈R ），则z 1=x ﹣yi ，则|z1|=|z 1|=|z 2|，故B 正确，选项C ：设z 1＝x +yi ，z 2＝a ﹣bi （x ，y ，a ，b ∈R ），则z 1z 2＝（x +yi ）（a ﹣bi ）＝（ax +by ）+（ay ﹣bx ）i ，则|z 1z 2|=√(ax +by)2+(ay −bx)2=√(x 2+y 2)(a 2+b 2)，|z 1||z 2|=√x 2+y 2⋅√a 2+b 2，所以|z 3|＝|z 1z 2|，故C 正确，选项D ：设z 1＝2+4i ，z 2＝4，则|z 1+1|＝|3+4i |＝5＝|z 2+1|＝|5|＝5，但是|z 1|=√22+42=2√5≠|z 2|＝4，故D 错误， 故选：ABC ．（多选）10．已知函数f （x ）＝a sin x +b cos x ，若f(0)=√3且对任意x ∈R 都有f(x)≤f(π3)，则下列结论正确的是（ ） A ．f(x)=2√3cos(x +π3) B ．f(x)=2√3sin(x +π6)C ．f （x ）的图象向左平移π6个单位后，图象关于原点对称D ．f （x ）的图象向右平移2π3个单位后，图象关于y 轴对称解：由于函数满足f （0）=√3，故f （0）＝b =√3， 由于f （π3）=√32a +√32=√a 2+3，解得a ＝3；所以f （x ）＝3sin x +√3cosx =2√3sin(x +π6)， 故A 错误，B 正确；对于C ：当函数f （x ）的图象向左平移π6个单位，得到g （x ）＝2√3sin(x +π3)的图象，故C 错误；对于D ：当函数f （x ）的图象向右平移2π3个单位，得到g （x ）＝2√3sin(x −π2)=−2√3cosx的图象，故函数的图象关于y 轴对称，故D 正确． 故选：BD ．（多选）11．气象意义上从春季进入夏季的标志为“当且仅当连续5天每天日平均温度不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天日平均温度的记录数据（数据均为正整数，单位℃）且满足以下条件：甲地：5个数据的中位数是24，众数是22； 乙地：5个数据的中位数是27，平均数是24；丙地：5个数据有1个是30，平均数是24，方差是9.6． 根据以上数据，下列统计结论正确的是（ ） A ．甲地进入了夏季B ．乙地进入了夏季C ．不能确定丙地进入了夏季D ．恰有2地确定进入了夏季解：甲地：5个数据由小到大排，则22，22，24，a ，b ，其中24＜a ＜b ，满足进入夏季的标志；乙地：将5个数据由小到大排，则a ，b ，27，c ，d ，其中a ≤b ≤27≤c ≤d ， 则27+c +d ≥81，而a +b +27+c +d ＝120，故a +b ≤39，其中必有一个小于22，故不满足一定进入夏季的标志； 丙地：设5个数据为a ，b ，c ，d ，30，且a ，b ，c ，d ∈Z ，由方差公式可知：（a ﹣24）2+（b ﹣24）2+（c ﹣24）2+（d ﹣24）2+（30﹣24）2＝9.6×5＝48，则（a ﹣24）2+（b ﹣24）2+（c ﹣24）2+（d ﹣24）2＝12＝9+1+1+1， 不妨设|a ﹣24|＝3，|b ﹣24|＝|c ﹣24|＝|d ﹣24|＝1，则b ，c ，d 均大于22，但a 不确定是否大于22，故不能确定丙地进入夏天． 故选：AC ．（多选）12．已知函数f(x)={，则下列结论正确的是（ ） A ．f （n ）＝41﹣n ，n ∈N *B ．∃x ∈(0，+∞)，f(x)＞1xC ．关于x 的方程f （x ）＝41﹣n （n ∈N *）的所有根之和为n 2+n 3D ．关于x 的方程f （x ）＝41﹣n （n ∈N *）的所有根之积小于（n !）2 解：f(1)=1，f(n)=14f(n −1)=142f(n −2)=⋯=14n−1f(1)=14n−1，A 正确； 当x ∈（0，1]时，f(x)≤1，1x ≥1，f(x)≤1x ， 当x ∈（1，+∞）时，f(x)=14f(x −1)=⋯=14n f(x −n)＜14n ＜1x ，（n ＝[x ]，[x ]表示不超过 x 的整数），所以B 错；f （x ）＝40的根为x 1，x 2，x 1+x 2=2×23，d 1=x 1x 2=13，f （x ）＝4−1的根为x 3，x 4，x 3+x 4=2×(23+1)，d 2=x 3x 4=(x 1+1)(x 2+1)=d 1+73， ……………… f （x ）＝41﹣n 的根为x 2n −1，x 2n ，x 2n−1+x 2n =2×(23+n −1)，d n =d n−1+2n −53，所有根的和为：2[2n3+12n(n −1)]=n 2+13n ，C 正确；由d n =d n−1+2n −53，累加可得d n =d 1+[73+133+⋯+(2n −53)]=n 2−23n ＜n 2， 所以所有根之积小于12×22×32×⋯×n 2＝（n !）2，D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上． 13．已知F 为双曲线C ：x 29−y 216=1的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为 4 ．解：双曲线C ：x 29−y 216=1，可知a ＝3，b ＝4，c =√9+16=5，则可设F （5，0），设双曲线的一条渐近线方程为y =43x ，即4x ﹣3y ＝0， 则F 到渐近线的距离为d =20√3+4=4，故答案为：4．14．已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为15π，则该圆锥的体积为 12π ． 解：圆锥的轴截面如图，由题意知AO ＝3，则π×AO ×SA ＝15π， 所以SA ＝5，由勾股定理得SO ＝4，所以V =13π×OA 2×SO =12π． 故答案为：12π．15．桌面上有一张边长为2的正三角形的卡纸，设三个顶点分别为A ，B ，C ，将卡纸绕顶点C 顺时针旋转5π6，得到A 、B 的旋转点分别为A 1、B 1，则AA →1⋅BB →1= 2√3+4 ．解：三个顶点分别为A ，B ，C ，将卡纸绕顶点C 顺时针旋转5π6，可知B 1C ⊥CA ，以C 为坐标原点，B 1C 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，由正三角形的边长为2，则可得A 1（﹣1，√3），B 1（﹣2，0），A （0，﹣2），B （√3，﹣1），则AA 1→=（﹣1，2+√3），BB 1→=（−√3−2，1），所以AA 1→•BB 1→=−1×（−√3−2）+（2+√3）×1＝2√3+4．16．龙曲线是由一条单位线段开始，按下面的规则画成的图形：将前一代的每一条折线段都作为这一代的等腰直角三角形的斜边，依次画出所有直角三角形的两段，使得所画的相邻两线段永远垂直（即所画的直角三角形在前一代曲线的左右两边交替出现）．例如第一代龙曲线（图1）是以A1A2为斜边画出等腰直角三角形的直角边A1A3，A3A2所得的折线图，图2、图3依次为第二代、第三代龙曲线（虚线即为前一代龙曲线）．A1，A2，A3为第一代龙曲线的顶点，设第n代龙曲线的顶点数为a n，由图可知a1＝3，a2＝5，a3＝9，则a4＝17；数列{2na n a n+1}的前n项和S n＝13−12n+1+1．解：观察规律得a4＝17．由a2﹣a1＝2＝21，a3﹣a2＝4＝22，a4﹣a3＝8＝23，可以发现，a n﹣a n﹣1＝2n﹣1，利用累加法得a n﹣a1＝21+22+．．．．．．+2n﹣1=2(1−2n−1)1−2，所以a n=2(1−2n−1)1−2+a1=2(1−2n−1)1−2+3＝2n+1．设{b n}={2na n a n+1}，则b n=2n(2n+1)(2n+1+1)=12n+1−12n+1+1，S n＝b1+b2+．．．．．．+b n=121+1−122+1+1 22+1−123+1+．．．．．．+12n+1−12n+1+1=121+1−12n+1+1=13−12n+1+1．四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．17．（10分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a 2＝b cos C +c cos B ． （1）求a ；（2）若A =π3，△ABC 的面积为√34，求△ABC 的周长． 解：（1）∵a 2＝b cos C +c cos B ，∴由正弦定理可得，a sin A ＝sin B cos C +sin C cos B ＝sin （B +C ）＝sin A ， ∵A ∈（0，π）， ∴sin A ≠0， ∴a ＝1．（2）∵△ABC 的面积为√34， ∴12bcsinA =√34，解得bc ＝1， 由余弦定理可得，a 2＝b 2+c 2﹣2bc •cos A ＝（b +c ）2﹣3bc ＝（b +c ）2﹣3， ∴b +c ＝2，∴△ABC 的周长为a +b +c ＝1+2＝3．18．（12分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＝17，S 4＝2a 2+22． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）在任意相邻两项a k 和a k +1（k ＝1，2，3，…）之间插入2k 个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列{b n }，求数列{b n }的前200项的和T 200． （1）解：设等差数列{a n }的公差为d ，由题得{a 5=17S 4=2a 2+22，即{a 1+4d =174a 1+4×32d =2(a 1+d)+22， 整理得{a 1+4d =17a 1+2d =11，解得 {a 1=5d =3． 所以a n ＝3n +2．（2）解：由题意可知{b n }的各项为a 1，1，1，a 2，1，1，1，1，a 3，1，1，1，1，1，1，1，1，⋯a k ，1，1，12k ⋯，a k+1，⋯，即5，1，1，8，1，1，1，1，11，1，1，1，1，1，1，1，1，⋯3k +2，1，1，12x⋯，3k+5，⋯，因为2+22+23+24+25+26+7＝133＜200，且2+22+23+24+25+26+27+7＝261＞200，所以a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7会出现在数列{b n}的前200项中，所以a7前面（包括a7）共有126+7＝133项，所以a7后面（不包括a7）还有67个1，所以T200=(5+8+11+14+17+20+23)+(2+22+23+24+25+26)+67=7(5+23)2+2(1−26)1−2+67=291．19．（12分）如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，点O，E分别是BD，BC中点，点F是SE 上的一点．（1）证明：OF⊥BC；（2）若四棱锥S﹣ABCD的所有棱长为2√2，求直线OF与平面SDE所成角的正弦值的最大值．（1）证明：连接SO，OE，所以SO⊥平面ABCD，因为BC⊂平面ABCD，所以SO⊥BC，又O，E分别为BD，BC中点，且ABCD为正方形，所以OE⊥BC，又SO∩OE＝O，所以BC ⊥平面SOE ， 因为OF ⊂平面SOE ， 所以OF ⊥BC ；（2）解：易知OB ，OC ，OS 两两相互垂直，如图，以点O 为坐标原点，OB ，OC ，OS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，因为四棱锥S ﹣ABCD 的所有棱长为2√2， 所以BD ＝4，SO ＝2，所以O （0，0，0），S （0，0，2），D （﹣2，0，0），E （1，1，0）， 设SF →=λSE →(0＜λ＜1)，得F （λ，λ，2﹣2λ），则SD →=(−2，0，−2)，DE →=(3，1，0)，OF →=(λ，λ，2−2λ)， 设平面SDE 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅SD →=−2x −2z =0n →⋅DE →=3x +y =0，解得{=−x y =−3x ，取x ＝1，得n →=（1，﹣3，﹣1）， 设直线OF 与平面SDE 所成角为θ， 则sinθ=|cos〈n ，OF →〉|=|n →⋅OF →||n →|⋅|OF →|=√11⋅√λ2+λ2+|2−2λ|2=√11⋅√6λ−8λ+4＜λ＜1)，当λ=−−82×6=23时，6λ2﹣8λ+4取得最小值43，此时sin θ取得最大值√3311． 20．（12分）已知某次比赛的乒乓球团体赛采用五场三胜制，第一场为双打，后面的四场为单打．团体赛在比赛之前抽签确定主客队．主队三名选手的一单、二单、三单分别为选手A 、B 、C ，客队三名选手的一单、二单、三单分别为选手X 、Y 、Z ．比赛规则如下：第一场为双打（YZ 对阵BC ）、第二场为单打（X 对阵A ）、第三场为单打（Z 对阵C ）、第四场为单打（Y 对阵A ）、第五场为单打（X 对阵B ）．已知双打比赛中YZ 获胜的概率是14，单打比赛中X 、Y 、Z 分别对阵A 、B 、C 时，X 、Y 、Z 获胜的概率如表：选手 选手 A B CX 23 12 13 Y 13 12 23 Z142312（1）求主、客队分出胜负时恰进行了3场比赛的概率；（2）客队输掉双打比赛后，能否通过临时调整选手Y 为三单、选手Z 为二单使得客队团体赛获胜的概率增大？请说明理由．解：（1）设“主、客队分出胜负时恰进行了3场比赛”为事件A ， 则事件A 包含“主队3场全胜”和“客队3场全胜”两类事件， “主队3场全胜”的概率为（1−14）×（1−23）×（1−12）=18， “客队3场全胜”的概率为14×23×12=112，所以P （A ）=18+112=524． （2）能，理由如下：设“剩余四场比赛未调整Y ，Z 出场顺序，客队获胜”为事件M ，第二场单打（X 对阵A ），第三场单打（Z 对阵C ），第四场单打（Y 对阵A ），第五场单打（X 对阵B ）的胜负情况分别为：胜胜胜，胜负胜胜，胜胜负胜，负胜胜胜，则P （M ）=23×12×13+23×12×13×12+23×12×23×12+13×12×13×12=1136， 设“剩余四场比赛调整Y ，Z 出场顺序，客队获胜”为事件N ，第二场单打（X 对阵A ），第三场单打（Y 对阵C ），第四场单打（Z 对阵A ），第五场单打（X 对阵B ）的胜负情况分别为：胜胜胜，胜负胜胜，胜胜负胜，负胜胜胜，则P （N ）=23×23×14+23×23×14×12+23×23×34×12+13×23×14×12=1336， 因为P （M ）＜P （N ），所以客队调整选手Y 为三单，选手Z 为二单获胜的概率更大．21．（12分）已知点A 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左顶点，点F （1，0）为右焦点，直线l ：x ＝4与x 轴的交点为N ，且|AF |＝|FN |，点M 为椭圆上异于点A 的任意一点，直线AM 交l 于点P ．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）证明：∠MFN ＝2∠PFN ． 解：（1）因为F （1，0）为右焦点， 则c ＝1，因为x ＝4与x 轴的交点为N ，且|AF |＝|FN |， 因为|FN |＝4﹣1＝3， 则|AF |＝3，因为|AF |＝a +c ＝a +1＝3， 所以a ＝2，又因为b 2＝a 2﹣c 2＝3， 所以x 24+y 23=1．（2）证明：若证∠MFN ＝2∠PFN ， 即证∠MFP ＝∠NFP ， 即证cos ∠MFP ＝cos ∠NFP ， 设M （x 1，y 1），则直线AM 的方程为y ﹣0=y 1−0x 1+2（x +2），则y =y1x 1+2（x +2），将x ＝4代入直线AM 的方程可得y P =y 1x 1+2（4+2）=6y1x 1+2，则P （4，6y 1x 1+2），F （1，0），M （x 1，y 1），N （4，0），则FM →=（x 1﹣1，y 1），FP →=（3，6y 1x 1+2），FN →=（3，0），则cos ∠MFP =FM →⋅FP→|FM →|⋅|FP →|=3x 1−3+6y 12x 1+2√(x1−1)2+y 1√9+(6y 1x 1+2)2，cos ∠NFP =FN →⋅FP→|FN →|⋅|FP →|=3⋅√9+(1x 1+2)，若证∠MFP ＝∠NFP ， 即证cos ∠MFP ＝cos ∠NFP ，即证3x 1−3+6y 12x 1+2√(x 1−1)2+y 12√9+(6y1x 1+2)=3√9+(6y1x 1+2)，即证：3x 1−3+6y 12x 1+2√(x 1−1)2+y 12=3，所以x 124+y 123=1，则y 12＝3−34x 12，即证3x 1−3+18−92x 12x 1+2√x 12−2x 1+1+3−34x 12=3，所以3x 1−3+18−92x 12x 1+2√x 12−2x 1+1+3−4x 12=3x 1−3+92(4−x 12)x 1+2√4x 12−2x 1+4=1−3+92(2−x 112√11=−32x 112√(x 1−4)2，因为x 1﹣4＜0， 所以原式=32(4−x 1)12(4−x 1)=3，所以cos ∠MFP ＝cos ∠NFP ， 所以∠MFP ＝∠NFP ， 所以∠MFN ＝2∠PFN ．22．（12分）已知a ＞0且a ≠1，函数f(x)=log a x +12ax 2． （1）若a ＝e ，求函数f （x ）在x ＝1处的切线方程； （2）若函数f （x ）有两个零点，求实数a 的取值范围． 解：（1）当a ＝e ，f （x ）＝lnx +12ex 2，则f ′（x ）=1x +ex ，故f ′（1）＝1+e ，x ＝1时，f （1）＝ln 1+12e =12e ，故切点为（1，12e ），所以f （x ）在x ＝1处的切线方程为y −12e ＝（1+e ）（x ﹣1），即y ＝（1+e ）x −12e ﹣1； （2）函数f （x ）有两个零点等价于方程log a x +12ax 2＝0在x ∈（0，+∞）上有两个解， 等价于方程lnx x 2=−12alna 在x ∈（0，+∞）上有两个根，等价于函数y =lnx x 2与y =−12alna 的图象在x ∈（0，+∞）上有两个交点， 设g （x ）=lnx x 2，则g ′（x ）=1−2lnx x 3， 当g ′（x ）=1−2lnx x 3＞0时，0＜x ＜√e ，当g ′（x ）=1−2lnxx 3＜0时，x ＞√e ， 所以g （x ）=lnxx 2在（0，√e ）上单调递增，在（√e ，+∞）上单调递减，由g （1）＝0，g （√e ）=12e ，当x ＞1时，g （x ）＞0，当x →+∞时，g （x ）→0．作图如下，由图得0＜−12alna ＜12e ，即−1e ＜alna ＜0，设h （x ）＝xlnx （x ＞0），则h ′（x ）＝1+lnx ， 当h ′（x ）＝1+lnx ＞0时，x ＞1e，当h ′（x ）＝1+lnx ＜0时，0＜x ＜1e， 所以h （x ）＝xlnx 在（0，1e）上单调递减，在（1e，+∞）上单调递增，因为0＜x ＜1时lnx ＜0，且h （1）＝0，所以当0＜x ＜1时，−1e ≤h （x ）＜0，当x ＞1时，h （x ）＞0， 又因为h （x ）min ＝h （1e）=−1e，所以−1e＜xlnx ＜0的解集为（0，1e），综上所述：实数a 的取值范围为（0，1e）．。

广东省东莞市2021届新高考数学一月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集()(){}130U x Z x x =∈+-≤，集合{}0,1,2A =，则U C A ＝( ) A ．{}1,3- B ．{}1,0-C ．{}0,3D ．{}1,0,3-【答案】A 【解析】 【分析】先求得全集包含的元素，由此求得集合A 的补集. 【详解】由()()130x x +-≤解得13x -≤≤，故{}1,0,1,2,3U =-，所以{}1,3U C A =-，故选A. 【点睛】本小题主要考查补集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 2．已知复数21iz i =-，则z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．i -C ．1D ．i【答案】A 【解析】 【分析】分子分母同乘分母的共轭复数即可. 【详解】2i 2i(i 1)22i 1i i 1(i 1)(i+1)2z +-+====----，故z 的虚部为1-. 故选：A. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题. 3．已知无穷等比数列{}n a 的公比为2，且13211112lim()3n n a a a →∞-++⋅⋅⋅+=，则242111lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=（ ）A ．13B ．23 C ．1D ．43【答案】A 【解析】因为无穷等比数列{}n a 的公比为2，则无穷等比数列1{}n a 的公比为12。

由13211112lim()3n n a a a →∞-++⋅⋅⋅+=有，1121314a =-，解得12a =，所以24a =， 242111114lim()1314n n a a a →∞++⋅⋅⋅+==-，故选A 。

【点睛】本题主要考查无穷等比数列求和公式的应用。

4．若集合{}2|0,|121x A x B x x x +⎧⎫=≤=-<<⎨⎬-⎩⎭，则A B I =（ ） A ．[2,2)- B ．(]1,1-C ．()11-，D ．()12-， 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合A ，然后与集合B 取交集即可． 【详解】 由题意，{}2|0|211x A x x x x +⎧⎫=≤=-≤<⎨⎬-⎩⎭，{|12}B x x =-<<，则{|11}A B x x =-<<I ，故答案为C. 【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题． 5．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】讨论当1a >时，2210ax x ++>是否恒成立；讨论当2210ax x ++>恒成立时，1a >是否成立，即可选解：当1a >时，440a ∆=-<，由221y ax x =++开口向上，则2210ax x ++>恒成立； 当2210ax x ++>恒成立时，若0a =，则210x +> 不恒成立，不符合题意， 若0a ≠ 时，要使得2210ax x ++>恒成立，则0440a a >⎧⎨∆=-<⎩ ，即1a > .所以“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的充要条件. 故选:C. 【点睛】本题考查了命题的关系，考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若p q ⇒，则推出p 是q 的充分条件；若q p ⇒，则推出p 是q 的必要条件.6．已知,x y 满足001x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩………，则32y x --的取值范围为（ ）A ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(1,2]C ．(,0][2,)-∞+∞UD ．(,1)[2,)-∞⋃+∞【答案】C 【解析】 【分析】 设32y k x -=-，则k 的几何意义为点(,)x y 到点(2,3)的斜率，利用数形结合即可得到结论. 【详解】 解：设32y k x -=-，则k 的几何意义为点(,)P x y 到点(2,3)D 的斜率， 作出不等式组对应的平面区域如图：由图可知当过点D 的直线平行于x 轴时，此时30y k -==成立；32y k x -=-取所有负值都成立； 当过点A 时，32y k x -=-取正值中的最小值，1(1,1)0x A x y =⎧⇒⎨-=⎩，此时3132212y k x --===--； 故32y x --的取值范围为(,0][2,)-∞+∞U ； 故选：C. 【点睛】本题考查简单线性规划的非线性目标函数函数问题，解题时作出可行域，利用目标函数的几何意义求解是解题关键．对于直线斜率要注意斜率不存在的直线是否存在．7．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π.正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数. 【详解】设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，()()()12,0,0,0,2,2,2,1,2AC G ，()()()()()()10,2,0,1,0,2,0,0,0,2,2,2,0,0,1,2,2,0C E D B F B .①，()()112,2,2,1,1,0,2200AC EG AC EG =-=⋅=-++=u u u u r u u u r u u u u r u u u r，所以1AC EG ⊥，故①正确.②，()()2,1,2,1,0,2GC ED =--=--u u u r u u u r ，不存在实数λ使GC ED λ=u u u r u u u r，故//GC ED 不成立，故②错误. ③，()()()112,2,1,0,1,2,2,0,2B F BG BC =---=-=-u u u u r u u u r u u u u r ，1110,20B F BG B F BC ⋅=⋅=≠u u u u r u u u r u u u u r u u u u r，故1B F ⊥平面1BGC 不成立，故③错误.④，()()11,0,1,0,0,2EF BB =--=u u u r u u u r ，设EF 和1BB 成角为θ，则11cos 2EF BB EF BB θ⋅===⋅u u u r u u u ru u ur u u u r ，由于0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以4πθ=，故④正确.故选：C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题. 8．函数22()2cos (sin cos )2f x x x x =++-的一个单调递增区间是（ ）A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．59,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x 表达式，再根据三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调区间，由此确定正确选项. 【详解】因为22()2cos (sin cos )2f x x x x =++-1cos 21sin 22224x x x π⎛⎫=+++-=+ ⎪⎝⎭，由()f x 单调递增，则222242k x k πππππ-≤+≤+（k ∈Z ），解得388k x k ππππ-≤≤+（k ∈Z ），当1k =时，D 选项正确.C 选项是递减区间，A ，B 选项中有部分增区间部分减区间. 故选：D 【点睛】本小题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想，应用意识.9．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值，则函数()y xf x =-'A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先确定导函数的符号，然后结合题意确定函数在区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞和0,1x x ==处函数的特征即可确定函数图像. 【详解】Q 函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在1x =处取得极大值，∴当1x >时，()0f x '<；当1x =时，()0f x '=；当1x <时，()0f x '>.0x ∴<时，()0y xf x '=->，01x <<时，()0y xf x '=-<，当0x =或1x =时，()0y xf x '=-=；当1x >时，()0xf x '->. 故选：B 【点睛】根据函数取得极大值，判断导函数在极值点附近左侧为正，右侧为负，由正负情况讨论图像可能成立的选项，是判断图像问题常见方法，有一定难度.10． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 A 32 B 322 C ．1252 D ．1272【答案】D 【解析】所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈， 又1a f =，则7781a a q f === 故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1nn a q a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈）， 数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.11．()()()()()*121311x x x nx n N +++⋅⋅⋅+∈的展开式中x 的一次项系数为（ ）A ．3n C B ．21n C +C ．1n n C -D ．3112n C + 【答案】B 【解析】 【分析】根据多项式乘法法则得出x 的一次项系数，然后由等差数列的前n 项和公式和组合数公式得出结论． 【详解】由题意展开式中x 的一次项系数为21(1)122n n n n C +++++==L ． 故选：B ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数．同时本题考查了组合数公式．12．若实数x 、y 满足21y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．6B ．5C ．2D ．32【答案】D 【解析】 【分析】根据约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案作出不等式组21y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示：联立1y x x y =⎧⎨+=⎩，得12x y ==，可得点11,22A ⎛⎫⎪⎝⎭，由2z x y =+得12y x z =-+，平移直线12y x z =-+， 当该直线经过可行域的顶点A 时，该直线在y 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即min 1132222z =+⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省广州市2021届新高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}{}2|1,|31xA x xB x ==<„，则()R A B U ð=（ ） A ．{|0}x x < B ．{|01}x x 剟 C ．{|10}x x -<„ D ．{|1}x x -…【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合A ，B ，再求集合B 的补集，然后求()R A B U ð 【详解】{|11},{|0}A x x B x x =-=<剟，所以 (){|1}R A B x x =-U …ð.故选：D 【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.2．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=【答案】D 【解析】 【分析】由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，由()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，可得最小正周期T π=，从而求得ω，得到函数的解析式，又因为当3x π=时，226x ππ-=，由此即可得到本题答案. 【详解】由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭， 因为()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π， 所以函数()y f x =的最小正周期T π=，则22Tπω==， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，当3x π=时，226x ππ-=， 所以3x π=是函数()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一条对称轴， 故选：D 【点睛】本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.3．如图是计算11111++++246810值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．5k ≥B ．5k <C ．5k >D ．6k ≤ 【答案】B 【解析】 【分析】根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6，进而可得判断框内的不等式． 【详解】因为该程序图是计算11111246810++++值的一个程序框圈 所以共循环了5次所以输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6， 即判断框内的不等式应为6k ≥或5k > 所以选C 【点睛】本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题．4．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >），以点P （,0b ）为圆心，a 为半径作圆P ，圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若90MPN ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A BC D 【答案】A 【解析】 【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于,M N 两点，且90MPN ∠=︒，列出方程，求解离心率． 【详解】不妨设双曲线C 的一条渐近线0bx ay -=与圆P 交于,M N ，因为90MPN ∠=︒，所以圆心P 到0bx ay -=222b c ==，即2222c a -=，因为1ce a=>，所以解得e = 故选A ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．对于离心率求解问题，关键是建立关于,a c 的齐次方程，主要有两个思考方向，一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题目中的几何关系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程.5．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（ ） A ．甲7件，乙3件 B ．甲9件，乙2件C ．甲4件，乙5件D ．甲2件，乙6件【答案】D 【解析】 【分析】由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决. 【详解】设购买甲、乙两种商品的件数应分别x ，y 利润为z 元，由题意*4750,,,x y x y N +≤⎧⎨∈⎩ 1.8z x y =+， 画出可行域如图所示，显然当5599y x z =-+经过(2,6)A 时，z 最大. 故选：D. 【点睛】本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断x ，y 是否是整数，是否是非负数，并准确的画出可行域，本题是一道基础题. 6．“是函数()()1f x ax x =-在区间内单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】()()21f x ax x ax x =-=-，令20,ax x -=解得1210,x x a==当0a ≤，()f x 的图像如下图当0a >，()f x 的图像如下图由上两图可知，是充要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法. 7．集合{}2|30A x x x =-≤，(){}|lg 2B x y x ==-，则A B ⋂=( )A ．{}|02x x ≤<B ．{}|13x x ≤<C ．{}|23x x <≤D ．{}|02x x <≤【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合A ，再根据对数的真数大于零化简集合B ，求交集运算即可. 【详解】由230x x -≤可得03x ≤≤，所以{|03}A x x =≤≤，由20x ->可得2x <,所以{|2}B x x =<,所以{|02}A B x x ⋂=≤<，故选A ．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，涉及一元二次不等式解法及对数的概念，属于中档题.8．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】{}n a Q 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，充分性：1n n S S +>Q ，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >，0d ≠Q ，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意；若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意. 所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇒“{}n a 为递增数列”；必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列. 所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇐/“{}n a 为递增数列”.因此，“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题．9．已知函数2log (1),1()3,1x x x f x x -->⎧=⎨≤⎩，则[](2)f f -=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】结合分段函数的解析式,先求出(2)f -,进而可求出[](2)f f -. 【详解】由题意可得2(2)39f -==，则[]2(9)log (913(2))f f f =-==-.故选:C. 【点睛】本题考查了求函数的值,考查了分段函数的性质,考查运算求解能力,属于基础题. 10．已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】试题分析：抛物线24x y =焦点在y 轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0,1)，准线方程为1y =-，因为点A 的纵坐标为4，所以点A 到抛物线准线的距离为415+=，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A 与抛物线焦点的距离为5.考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算.11．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1F ，2F ，其中焦点2F 与抛物线22y px =的焦点重合，且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点2F ，则椭圆的离心率为（ ） A．2B1 C．3- D1【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得易知2p c =，且222222222444p a b p b p a a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解方程可得22223412a p b p ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再利用222c e a =即可求解. 【详解】易知2p c =，且22222222222223441442a p p a b p b p a a b b p ⎧⎧=⎪⎪-=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩故有2223c e a==-1e ==故选：B 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、抛物线的几何性质，考查了学生的计算能力，属于中档题12．已知F 是双曲线22:4||C kx y k +=（k 为常数）的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为（ ） A ．2k B ．4k C ．4 D ．2【答案】D 【解析】 【分析】分析可得k 0<,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可. 【详解】当0k ≥时,等式224||kx y k +=不是双曲线的方程；当k 0<时,224||4kx y k k +==-,可化为22144y x k -=-,可得虚半轴长2b =,所以点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为2. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前 试卷类型：A2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时．请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的．答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}|21A x x =-<<，{}|02B x x =<<，则集合A ∩B=（ ）A ．{}|11x x -<<B ．{}|21x x -<<C ．{}|22x x -<<D ．{}|01x x << 1．D ．【解析】A ∩B =2．若复数11z i =+，23z i =-，则12z z ⋅=（ ）A ．42i +B ．2i +C ．22i +D ．3i + 2．A ．【解析】12(1)(3)1311(31)42z z i i i i ⋅=+⋅-=⨯+⨯+-=+3．若函数()33xxf x -=+与()33xxg x -=-的定义域均为R ，则 ( ) A ．()()f x g x 与均为偶函数 B ．()f x 为偶函数，()g x 为奇函数 C ．()()f x g x 与均为奇函数 D ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数 3．B ．【解析】()33(),()33()xx x x f x f x g x g x ---=+=-=-=-．4．已知数列{}n a 为等比数列，n S 是是它的前n 项和,若2312a a a ⋅=，且4a 与27a 的等差中项为54，则5S = ( )A ．35B ．33C ．3lD ．294．C ．【解析】设{n a }的公比为q ，则由等比数列的性质知，231412a a a a a ⋅=⋅=，即42a =。

2021年广东省高考数学模拟试卷（一）（一模）（东莞一模）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.若复数z满足，则A. B. C. 5 D.3.已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则A. B. 2e C. D.4.函数的最大值为A. 4B. 5C. 6D. 75.已知数列的前n项和，则数列的前10项和等于A. 1023B. 55C. 45D. 356.已知a，b是两个正数，4是与的等比中项，则下列说法正确的是A. ab的最小值是1B. ab的最大值是1C. 的最小值是D. 的最大值是7.《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式用该术可求得圆率的近似值.现用该术求得的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为9，则该圆锥体积的近似值为A. B. C. D. 38.若的展开式中的系数为3，则A. 1B.C.D. 29.已知曲线C：且，则下列结论正确的是A. 若曲线C为椭圆或双曲线，则其焦点坐标为B. 若曲线C是椭圆，则C. 若且，则曲线C是双曲线D. 直线与曲线C恒有两个交点10.已知是定义在R上的奇函数，的图象关于对称，当时，，则下列判断正确的是A. 的值域为B. 的周期为2C. 是偶函数D.11.已知函数，则下列说法正确的是A. 若函数的最小值为，则B. 若，则使得成立C. 若，都有成立，则D. 若函数在上存在最大值，则正实数的取值范围是12.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的儿何问题.结合上述观点，对于函数，下列结论正确的是A. 无解B. 的解为C. 的最小值为D. 的最大值为13.已知，，且，则______ .14.某圆形广场外围有12盏灯，如图所示，为了节能每天晚上12时关掉其中4盏灯，则恰好每间隔2盏灯关掉1盏的概率是______ .15.斜率为的直线过抛物线C：的焦点，且与C交于A，B两点，若，则______ ，为坐标原点的面积为______ .16.在四面体ABCD中，，二面角为，则四面体ABCD的外接球的表面积为______ .17.记为数列的前n项和，已知，____.求数列的通项公式；若，设数列的前n项和为，证明：，从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对题目进行求解.条件①：，；条件②：，；条件③：，18.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知求角B的大小；若，，点D满足，求的面积.19.如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，证明：平面ABCD；线段AB上是否存在一点M，使得MC与平面PCD所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.20.已知椭圆C：的离心率为，过椭圆C右焦点并垂直于x轴的直线PM交椭圆C于P，点P位于x轴上方两点，且为坐标原点的面积为求椭圆C的标准方程；若直线l交椭圆C于A，异于点两点，且直线PA与PB的斜率之积为，求点P到直线l距离的最大值.21.已知函数讨论函数的零点个数；设，是函数的两个零点，证明：22.在新冠肺炎疫情肆虐之初，作为重要防控物资之一的口罩是医务人员和人民群众抗击疫情的武器与保障，为了打赢疫情防控阻击战，我国企业依靠自身强大的科研能力，果断转产自行研制新型全自动高速口罩生产机，“争分夺秒、保质保量”成为口罩生产线上的重要标语.在试产初期，某新型全自动高速口罩生产流水线有四道工序，前三道工序完成成品口罩的生产且互不影响，第四道是检测工序，包括红外线自动检测与人工抽检.已知批次I的成品口罩生产中，前三道工序的次品率分别为，①求批次I成品口罩的次品率②第四道工序中红外线自动检测为次品的口罩会被自动淘汰，合格的口罩进入流水线并由工人进行抽查检验.已知批次I的成品口罩红外线自动检测显示合格率为，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个口罩恰为合格品的概率百分号前保留两位小数已知某批次成品口罩的次品率为，设100个成品口罩中恰有1个不合格品的概率为，记的最大值点为，改进生产线后批次J的口罩的次品率某医院获得批次I，J的口罩捐赠并分发给该院医务人员使用.经统计，正常佩戴使用这两个批次的口罩期间，该院医务人员核酸检测情况如下面条形图所示，求，并判断是否有的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关？附：，k答案和解析【答案】1. A2. D3. C4. B5. C6. B7. A8. C9. AB10. CD11. CD12. BC13. 714.15.16.17. 解：若选条件①：，①；当时，②，①-②得：，所以常数，故数列是以为首项，2为公差的等差数列；所以首项符合通项，所以选条件②：，①；②，①-②得：常数，故数列是以为首项，2为公差的等差数列；所以首项符合通项，所以选条件③：，所以常数，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．所以，整理得，故，证明：由于，所以，则18. 解：，，即，，，即，由余弦定理得，由B为三角形内角得；由，，整理得，解得，，，，在BC上，且为靠近B的三等分点，，19. 证明：平面平面ABCD，平面平面，，平面PAB，平面PAB，，在直角梯形ABCD中，，，，，，即，又，AD、平面ABCD，平面解：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，设，，则，设平面PCD的法向量为，则，即，令，则，，，与平面PCD所成角的正弦值为，，，化简得，解得，故线段AB上存在点M满足题意，且20. 解：由题意可得，所以由题意可得且，解得，，所以椭圆的方程为：；由可得，设，，设直线l的方程为：，联立可得且整理可得：，，且，，，整理可得：，整理可得，整理可得，即，或，若，则直线方程为：，直线恒过，与P点重合，若，则直线方程为：，所以直线恒过定点所以P到直线l的距离的最大值为的值为所以点P到直线l距离的最大值21. 解：令，即，画图可知，当时，直线与的图象有且只有一个交点，即一个零点；当时，设直线与切于点，切线斜率为，切线方程为，把代入上式可得，，当时，直线与有两个交点，即两个零点；当时直线与相切于一点，即一个零点；当时直线与没有交点，即无零点．综上可知，当时，无零点；当或时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点．因为有两个零点，由可知，故令，则，故的最大值为，所以，则有，所以，故，所以，要证，即证，因为，是函数的两个零点，所以，解得，即证，不妨设，则，令，则证，令，则，所以在上单调递增，所以，即，以上各步均可逆，故22. 解：①批次I成品口罩的次品率为；②设批次I的成品口罩红外线自动检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B，由已知可得，，则仍在流水线进行人工抽检时，抽检一个口罩恰为合格品为事件，则；个成品口罩中恰有1个不合格的概率为，所以，令，解得，当时，，当时，，所以的最大值点为，由可知，，故批次J口罩的次品率低于批次I，故批次J的口罩质量优于批次由条形图可建立列联表如下：核酸检测结果口罩批次合计I J呈阳性 12 3 15呈阴性 28 57 85合计 40 60 100所以，因此，有的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关．【解析】1. 解：，，故选：可求出集合M，N，然后进行并集的运算即可．本题考查了描述法和区间的定义，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2. 解：由，得，，则故选：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3. 解：因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以与互为反函数，故，所以故选：利用图象关于直线对称，求出的反函数即为，将代入求解即可．本题考查了函数图象的对称性问题，主要考查了反函数的应用，属于基础题．4. 解：函数，由于，故，由于函数的对称轴为，当时，取得最大值，故选：直接利用三角函数的关系式的变换和二次函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，二次函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．5. 【分析】本题考查数列的通项公式的求法，同时考查对数的运算和等差数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．由数列递推式：时，；当时，，可得，求出，再由等差数列的求和公式计算即可得结果．【解答】解：数列的前n项和，可得；当时，，对也成立．所以所以，则数列的前10项和为：…故选6. 解：因为，所以，所以，可得，当且仅当时等号成立，所以ab的最大值为1，故A错误，B正确．因为，故的最小值为，无最大值，故C和D都错误．故选：由已知利用等比数列的性质，基本不等式得，即可判断A，B；利用基本不等式即可判断C，D，即可得解．本题主要考查了等比数列的性质，考查了基本不等式的应用，属于中档题．7. 解：圆锥的体积，解得，则设所求圆锥的底面直径与母线长为，则底面半径为，则，解得，设高为h，则故选：根据圆锥的体积公式先求出的近似值，然后根据圆锥的表面积公式建立等式求出底面半径，最后根据体积公式进行求解即可．本题主要考查了圆锥的体积公式以及表面积公式，同时考查了转化能力和运算求解的能力，属于中档题．8. 解：，而的展开式的通项公式为，故的展开式中的系数为，则，故选：式子即，再利用二项展开式的通项公式，求得的系数，根据的系数为3，求得a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．9. 解：若曲线表示椭圆，，，，则，即椭圆焦点在x轴，则，得，此时焦点坐标为，若曲线表示双曲线，由，得，此时双曲线的标准方程为，则，，即焦点在x轴，则，得，此时焦点坐标为，故A正确；若曲线表示椭圆，，，，则，故B正确；若曲线表示双曲线，由，得，故C错误；由得，得，得，，即直线过定点，当曲线为双曲线时，，此时，当时，，此时右顶点为，在点的右侧，此时直线不一定有两个交点，故D错误．故选：根据双曲线和椭圆方程的特点分别进行判断即可．本题主要考查椭圆和双曲线的图像和性质，结合圆锥曲线的方程特点求出a，b，c是解决本题的关键，是中档题．10. 解：根据题意，依次分析选项：对于A，当时，，此时，又由是定义在R上的奇函数，则，且当时，，故在区间上，，A错误，对于B，函数图象关于直线对称，则有，又由是定义在R上的奇函数，则，则有，故是周期的周期函数，B错误；对于C，的图象关于对称，则函数的图像关于y轴对称，是偶函数，C正确，对于D，是周期的周期函数，则，D 正确，故选：根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的周期性、奇偶性的性质以及应用，属于中档题．11. 解：对于A，函数，其中，因为函数的最小值为，所以，解得，故A错误；对于B，若函数，则，因为，所以，，，，，此时，所以不存在使得成立，故B错误；对于C，若，则，因为，所以，，，因为都有成立，所以，解得，即，故C正确；对于D，，其中，因为函数在上存在最大值，所以，即，所以，，，故D正确．故选：，由，即可求解的值，即可判断选项A；由，可得，结合，从而可得的取值范围，即可判断选项B，求出的值域，将不等式恒成立转化为关于m的不等式，求解即可判断选项C；，其中，由已知可得，从而可求的取值范围，即可求得的范围，从而判断选项本题主要考查命题真假的判断，三角恒等变换以及三角函数的性质，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．12. 解：，设，，，则，若，则，则P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，此时，，即，，即椭圆方程为，当时，得，得，得，故A错误，B正确，B关于对称点为，则，当A，P，C三点共线时，最小，此时，无最大值，故C正确，D错误，故选：根据两点间距离公式，结合椭圆的定义和性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，结合两点间的距离公式，利用椭圆的定义和性质是解决本题的关键，是中档题．13. 解：根据题意，，，且，则有，变形可得，则，故，故答案为：根据题意，对变形可得的值，又由，计算可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．14. 解：将12盏灯依次编号为1，2，3 (12)从12盏灯中关掉4盏灯，共有种方法，每间隔2盏灯关掉1盏共有3种情况，即关掉1，4，7，10或2，5，8，11或3，6，9，12，所以恰好每间隔2盏灯关掉1盏的概率为，故答案为：先对12盏灯依次编号，然后求出总的情况，然后再对所求事件的情况分类讨论即可求解．本题考查了古典概型以及概率计算公式，涉及到分类讨论思想，考查了学生的运算能力，属于中档题．15. 解：由抛物线的方程可得焦点F的坐标，准线方程为，设，，由题意设直线AB的方程：，联立，整理可得：，可得，，所以，，，所以，，故答案为：，由抛物线的方程可得焦点的坐标，由题意可设直线AB的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，由抛物线的性质可得弦长的值，由题意可得p的值，代入面积公式可得三角形的面积．本题考查求抛物线的方程及直线与抛物线的综合，属于中档题．16. 解：如图，由已知可得，，为等边三角形，取AC的中点G，连接BG，DG，则，，为二面角BGD的平面角，大小为，设的外心为E，的外心为F，分别过E，F作所在面的垂线，相交于O，则O为四面体ABCD的外接球的球心，由已知求得，在中，求得，则，可得四面体ABCD的外接球的半径四面体ABCD的外接球的表面积为故答案为：由题意画出图形，找出四面体外接球的球心，求解三角形可得外接球的半径，再由球的表面积公式求解．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．17. 选①②时，直接利用递推关系求出数列，进一步求出数列的通项公式，选③时，利用常数，进一步求出数列是以1为首项，1为公差的等差数列，最后求出数列的通项公式．利用的通项公式，进一步利用放缩法和裂项相消法的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，放缩法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．18. 利用正弦定理及余弦定理对已知进行化简，即可求解；由可求a，然后结合三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．19. 由平面平面ABCD，推出平面PAB，有，再由勾股定理的逆定理证明，最后由线面垂直的判定定理，得证；以A为原点建立空间直角坐标系，设，，求得平面PCD的法向量，由，，求出的值后，即可得解．本题考查空间中线与面的垂直关系、线面角的求法，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理或性质定理，以及利用空间向量处理线面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20. 由离心率和三角形OPM的面积即a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；\((2)\)设直线l的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出直线PA，PB的斜率之积，由题意可得参数的值，即求出直线l过的定点T的坐标，进而求出P到直线l的距离的最大值为\(|PT\．\)本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的值，直线恒过定点的求法，属于中档题．21. 令，进行变形，利用数形结合的方法，进行分类讨论，讨论函数的零点；利用的结论，令，证明，将所要证明的不等式转化为证明，结合，是函数的两个零点，进一步转化为证明，然后利用换元法，转化为证明，构造函数，利用导数证明即可．本题考查了函数与不等式以及导数的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：方程法直接解方程得到函数的零点；图象法直接画出函数的图象分析得解；方程+图象法令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解属于难题．22. ①利用概率的乘法公式求解即可；②先求出批次I的成品口罩红外线自动检测合格的概率，然后利用概率公式求解即可；求出100个成品口罩中恰有1个不合格的概率，然后利用导数求解的最大值点，即可求出，然后列出列联表，求解，然后与临界值表比较即可得到答案．本题考查了概率问题的求解以及独立性检验，解题的关键是掌握相互独立事件的求解公式，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．第21页，共21页。

广东省东莞市2021届新高考数学第一次押题试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．以()3,1A -，()2,2B-为直径的圆的方程是A ．2280x y x y +---=B ．2290x y x y +---=C ．2280x y x y +++-=D ．2290x y x y +++-=【答案】A 【解析】 【分析】设圆的标准方程，利用待定系数法一一求出,,a b r ，从而求出圆的方程. 【详解】设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=， 由题意得圆心(,)O a b 为A ，B 的中点， 根据中点坐标公式可得32122a -==，12122b -+==，又||2AB r ===，所以圆的标准方程为： 221117()()222x y -+-=，化简整理得2280x y x y +---=，所以本题答案为A. 【点睛】本题考查待定系数法求圆的方程，解题的关键是假设圆的标准方程，建立方程组，属于基础题. 2．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()1f x x =-+，函数()1x g x e--=（13x -≤≤），则函数()f x 与函数()g x 的图象的所有交点的横坐标之和为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】 【分析】由函数的性质可得：()f x 的图像关于直线1x =对称且关于y 轴对称，函数()1x g x e--=（13x -≤≤）的图像也关于1x =对称，由函数图像的作法可知两个图像有四个交点，且两两关于直线1x =对称，则()f x 与()g x 的图像所有交点的横坐标之和为4得解.【详解】由偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，可得()f x 的图像关于直线1x =对称且关于y 轴对称， 函数()1x g x e--=（13x -≤≤）的图像也关于1x =对称，函数()y f x =的图像与函数()1x g x e--=（13x -≤≤）的图像的位置关系如图所示，可知两个图像有四个交点，且两两关于直线1x =对称， 则()f x 与()g x 的图像所有交点的横坐标之和为4. 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的性质，考查了数形结合的思想，掌握函数的性质是解题的关键，属于中档题. 3．设复数z 满足(1)21z i i ⋅+=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】先把(1)21z i i ⋅+=+变形为211i z i+=+，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z ，得到其坐标可得答案. 【详解】解：由(1)21z i i ⋅+=+，得21(21)(1)3311(1)(1)222i i i i z i i i i ++-+====+++-， 所以3122z i =-，其在复平面内对应的点为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限 故选：D 【点睛】此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题. 4．设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6322S S -=，则2823a a 的最小值为A ．8B ．16C ．24D ．36【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】方法一：由题意得636332()2S S S S S -=--=，根据等差数列的性质，得96633,,S S S S S --成等差数列，设3(0)S x x =>，则632S S x -=+，964S S x -=+，则222288789962212333(3)()()=3a a a a a S S a a a a a S ++-==++2(4)x x+=168816x x =++≥=，当且仅当4x =时等号成立，从而2823a a 的最小值为16，故选B ．方法二：设正项等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式及6322S S -=，化简可得11653262(3)222a d a d ⨯⨯+-+=，即29d =，则2222822222243()33(6)163383a a a d a a a a a ++===++≥816=，当且仅当221633a a =，即243a =时等号成立，从而2823a a 的最小值为16，故选B ．5．函数()2f x ax =-与()xg x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．(],e -∞ D ．(2,e ⎤-∞⎦【答案】C 【解析】 【分析】由题可知，曲线()2f x ax =-与ln y x =有公共点，即方程2ln ax x -=有解，可得2ln xa x+=有解，令()2ln x h x x +=，则()21ln x h x x --'=，对x 分类讨论，得出1x e =时，()h x 取得极大值1h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，也即为最大值，进而得出结论. 【详解】解：由题可知，曲线()2f x ax =-与ln y x =有公共点，即方程2ln ax x -=有解，即2ln xa x +=有解，令()2ln x h x x +=，则()21ln x h x x --'=， 则当10x e<<时，()0h x '>；当1x e >时，()0h x '<，故1x e =时，()h x 取得极大值1h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，也即为最大值，当x 趋近于0时，()h x 趋近于-∞，所以a e ≤满足条件． 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数性质的基本方法，考查化归与转化等数学思想，考查抽象概括、运算求解等数学能力，属于难题．6．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设其前n 项和n S ，若14+=nn n a a （n *∈N ），则5S =（ ）A ．30 B．C．D ．62【答案】B 【解析】 【分析】根据14+=nn n a a ，分别令1,2n =，结合等比数列的通项公式，得到关于首项和公比的方程组，解方程组求出首项和公式，最后利用等比数列前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可知中：10,0a q >>.由14+=nn n a a ，分别令1,2n =，可得124a a =、2316a a =，由等比数列的通项公式可得：1112114162a a q a a q a q q ⎧⋅⋅=⎧=⎪⇒⎨⎨⋅⋅⋅==⎪⎩⎩因此552)12S -==-故选：B 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力. 7．已知集合{}{}22(,)4,(,)2xA x y x yB x y y =+===，则A B I元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】作出两集合所表示的点的图象，可得选项. 【详解】由题意得，集合A 表示以原点为圆心，以2为半径的圆，集合B 表示函数2xy =的图象上的点，作出两集合所表示的点的示意图如下图所示，得出两个图象有两个交点:点A 和点B ，所以两个集合有两个公共元素，所以A B I 元素个数为2，故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，关键在于作出集合所表示的点的图象，再运用数形结合的思想，属于基础题. 8．在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类别，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是（ ） A ．0.2 B ．0.5C ．0.4D ．0.8【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】从五行中任取两个，所有可能的方法为：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共10种，其中由相生关系的有金水、木水、木火、火土、金土，共5种，所以所求的概率为510.5102==. 故选：B 【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题.9．已知集合{}{}2|1,|31xA x xB x ==<…，则()R A B U ð=（ ） A ．{|0}x x < B ．{|01}x x 剟 C ．{|10}x x -<… D ．{|1}x x -…【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合A ，B ，再求集合B 的补集，然后求()R A B U ð 【详解】{|11},{|0}A x x B x x =-=<剟，所以 (){|1}R A B x x =-U …ð.故选：D 【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.10．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为2c .点A 为双曲线C 的右顶点，若点A 到双曲线C 的渐近线的距离为12c ，则双曲线C 的离心率是（ ）A BC ．2D ．3【答案】A 【解析】 【分析】由点到直线距离公式建立,,a b c 的等式，变形后可求得离心率． 【详解】由题意(,0)A a ，一条渐近线方程为b y xa =，即0bx ay -=，∴12d c ==， 222214a b c c =，即22222()14a c a c c -=，42440e e -+=，e = 故选：A ． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础．11．已知等式2324214012141(1(2))x x x a a x a x a x -+⋅-=++++L 成立，则2414a a a +++=L （ ）A ．0B ．5C ．7D ．13【答案】D 【解析】 【分析】根据等式和特征和所求代数式的值的特征用特殊值法进行求解即可. 【详解】由2324214012141(1(2))x x x a a x a x a x -+⋅-=++++L 可知： 令0x =，得0011a a ⇒==；令1x =，得012140121411(1)a a a a a a a a =++++++++⇒=L L ；令1x =-，得0123140123142727(2)()()a a a a a a a a a a =-++-++-++⇒=+-+L L ，(2)(1)+得，024********(28)14a a a a a a a a ++++=⇒++++=L L ，而01a =，所以 241413a a a +++=L .故选：D 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了特殊值代入法，考查了数学运算能力.12．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，01,2M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为（ ） A ．22y x = B ．24y x =C ．26y x =D ．28y x =【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线方程求得M 点的坐标，根据//MA x 轴、120AMF ∠=︒列方程，解方程求得p 的值. 【详解】不妨设M 在第一象限，由于M 在抛物线上，所以1,2M p ⎛⎫⎪⎝⎭，由于以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，根据抛物线的定义可知，MA MF =、//MA x 轴，且,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭.由于120AMF ∠=︒，所以直线MF 的倾斜角α为120o ，所以tan1203122MF p k p-===--o ，解得3p =，或13p =（由于10,122pp -<>，故舍去）.所以抛物线的方程为26y x =. 故选：C【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线的斜率，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。