人教版八年级上学期第一次质量检测数学试卷含答案

一、选择题1．直角三角形的面积为 S ，斜边上的中线为 d ，则这个三角形周长为 （ ） A ．22d S d ++ B ．2d S d -- C ．22d S d ++ D ．()22d S d ++ 2．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB =30°，点E 为AB 的中点，DE ⊥AB ，交AB 于点E ，DE =3，BC =1，CD =13，则CE 的长是（ ）A ．14B ．17C ．15D ．133．圆柱形杯子的高为18cm ，底面周长为24cm ，已知蚂蚁在外壁A 处（距杯子上沿2cm ）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4cm ），则蚂蚁从A 处爬到B 处的最短距离为（ ）A ．813B ．28C ．20D ．122 4．以线段a 、b 、c 的长为边长能构成直角三角形的是（ ） A ．a =3，b=4，c=6B ．a =1，b=2，c=3C ．a =5，b=6，c=8D ．a =3，b=2，c=55．在ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，12AB =，则AC =（ ）A ．6B ．12C ．62D ．636．如图，分别以直角ABC ∆三边为边向外作三个正方形，其面积分别用123,,S S S 表示，若27S =，32S =，那么1S =（ ）A ．9B ．5C ．53D ．457．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈=10尺）一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是（）A．5.3尺B．6.8尺C．4.7尺D．3.2尺8．如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（）A．甲、乙都可以B．甲、乙都不可以C．甲不可以、乙可以D．甲可以、乙不可以9．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（）A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC 是直角三角形B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC 是直角三角形C．如果 a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC 是直角三角形D．如果 a2＝b2﹣c2，那么△ABC 是直角三角形且∠A＝90°10．一个直角三角形的两条边的长度分别为3和4，则它的斜边长为（）A．5 B．4 C．7D．4或5二、填空题11．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是_________．12．如图，∠MON＝90°，△ABC的顶点A、B分别在OM、ON上，当A点从O点出发沿着OM向右运动时，同时点B在ON上运动，连接OC．若AC＝4，BC＝3，AB＝5，则OC 的长度的最大值是________．13．如图，在四边形ABCD中，AB =AD，BC=DC，点E为AD边上一点，连接BD、CE，CE 与BD交于点F，且CE∥AB，若 A =60°，AB=4，CE=3，则BC的长为_______．14．如图，△ABC是一个边长为1的等边三角形，BB1是△ABC的高，B1B2是△ABB1的高，B2B3是△AB1B2的高，……B n-1B n是△AB n-2B n-1的高，则B4B5的长是________，猜想B n-1B n的长是________．15．如图是由边长为1的小正方形组成的网格图，线段AB，BC，BD，DE的端点均在格点上，线段AB和DE交于点F，则DF的长度为_____．16．如图，已知△DBC是等腰直角三角形，BE与CD交于点O，∠BDC=∠BEC=90°，BF=CF，若BC=8，2，则OF=______.17．《算法统宗》中有一道“荡秋干”的问题，其译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板上一点A 离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，点A 对应的点B 就和某人一样高，若此人的身高为5尺，秋干的绳索始终拉得很直，试问绳素有多长？”根据上述条件，秋干绳索长为________尺.18．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 在ABC 内，AD 平分BAC ∠，连结CD ，把ADC 沿CD 折叠，AC 落在CE 处，交AB 于F ，恰有CE AB ⊥.若10BC =，7AD =，则EF =__________.19．观察：①3、4、5，②5、12、13，③7、24、25，……，发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过．根据以上规律，请写出第8组勾股数：______．20．已知,在△ABC 中,BC=3,∠A=22.5°,将△ABC 翻折使得点B 与点A 重合,折痕与边AC 交于点P ,如果AP=4,那么AC 的长为_______三、解答题21．如图，,90,8,6,,ABC B AB cm BC cm P Q ︒∆∠===是边上的两点，点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 沿B C A →→运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．（1）出发2秒后，求线段PQ 的长；（2）求点Q 在BC 上运动时，出发几秒后，PQB 是等腰三角形；（3）点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．22．定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形．（1）如图1，四边形ABCD 中，∠ABC =70°，∠BAC =40°，∠ACD =∠ADC =80°，求证：四边形ABCD 是邻和四边形．（2）如图2，是由50个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A 、B 、C 三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点．．．．．．．D ．，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为邻和四边形．（3）如图3，△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =23，若存在一点D ，使四边形ABCD 是邻和四边形，求邻和四边形ABCD 的面积．23．如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为k . （1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？（2）已知ABC 为优三角形，AB c =，AC b =，BC a =，①如图1，若90ACB ∠=︒，b a ≥，6b =，求a 的值.②如图2，若c b a ≥≥，求优比k 的取值范围.（3）已知ABC 是优三角形，且120ABC ∠=︒，4BC =，求ABC 的面积.24．如图，△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB=AC ，P 是线段BC 上一点,且045BAP ︒<∠<︒.作点B 关于直线AP 的对称点D, 连结BD ，CD ，AD ．（1）补全图形.（2）设∠BAP 的大小为α.求∠ADC 的大小(用含α的代数式表示).（3）延长CD 与AP 交于点E,直接用等式表示线段BD 与DE 之间的数量关系.25．如图，在四边形ABCD 中，=AB AD ，=BC DC ，=60A ∠︒，点E 为AD 边上一点，连接CE ，BD . CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB .（1）求证:CED ADB ∠=∠；（2）若=8AB ，=6CE . 求BC 的长 .26．问题情境：综合实践活动课上，同学们围绕“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题问题解决：图（1）、图（2）都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，操作发现，启航小组同学在图（1）中画出△ABC ，其顶点A ，B ，C 都在格点上，同时构造长方形CDEF ，使它的顶点都在格点上，且它的边EF 经过点A ，ED 经过点B ．同学们借助此图求出了△ABC 的面积．（1）在图（1）中，△ABC 的三边长分别是AB ＝ ，BC ＝ ，AC ＝ ．△ABC 的面积是 ．（2）已知△PMN 中，PM 17，MN ＝5NP 13图（2）中画出△PMN ，并直接写出△RMN 的面积 ．27．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD : AD : CD＝2 : 3 : 4，（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒2cm的速度沿线段BA向点A 运动，同时动点N从点A出发以每秒1cm速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M运动的时间为t（秒），①若△DMN的边与BC平行，求t的值；②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．图1 图2 备用图28．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB经过点C（a，a），且交x轴于点A（m，0），交y轴于点B（0，n），且m，n满足6m ＋（n﹣12）2＝0．（1）求直线AB的解析式及C点坐标；（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，请在图1中画出图形，并求D点的坐标；（3）如图2，点E（0，﹣2），点P为射线AB上一点，且∠CEP＝45°，求点P的坐标．29．（已知：如图1，矩形OACB的顶点A，B的坐标分别是（6，0）、（0，10），点D 是y轴上一点且坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿线段AC﹣CB方向运动，到达点B时运动停止．（1）设点P运动时间为t，△BPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（2）当点P运动到线段CB上时（如图2），将矩形OACB沿OP折叠，顶点B恰好落在边AC上点B′位置，求此时点P坐标；（3）在点P运动过程中，是否存在△BPD为等腰三角形的情况？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．30．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．（2）如图1，求AF的长．（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出斜边长，根据勾股定理、完全平方公式计算即可。

一、选择题1．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。

若正方形A 、B 、C 、D 的边长是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是A ．13B ．225+C ．47D ．132．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A 点绕到正上方B 点共四圈，已知易拉罐底面周长是12 cm ，高是20 cm ，那么所需彩带最短的是( )A ．13 cmB ．4cmC ．4cmD ．52 cm 3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BD 是∠ABC 的平分线，交AC 于点D ，若CD=1，则AB 的长是（ ）A ．2B ． 23C ． 43D ．4 4．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，BD 平分∠ABC ，E 是AB 中点，连接DE ，则DE 的长为（ ）A ．102B ．2C ．512+D ．325．我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a 、b ，那么2()a b + 的值为（ ）.A ．49B ．25C ．13D ．16．如图，已知AB 是线段MN 上的两点，MN ＝12，MA ＝3，MB ＞3，以A 为中心顺时针旋转点M，以点B为中心顺时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，当△ABC为直角三角形时AB的长是（）A．3 B．5 C．4或5 D．3或517．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE=10，BE=24，则EF的长是（）A．14 B．13 C．143D．1428．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了上图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．1 B．2021 C．2020 D．20199．将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm，高 8cm 的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为hcm，则 h 的取值范围是（）A．h≤15cm B．h≥8cm C．8cm≤h≤17cm D．7cm≤h≤16cm 10．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：3：2C．a=2，b=3，c=4 D．(b+c)(b-c)=a²二、填空题11．如图，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的下底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的C点处的食物，需要爬行的最短路程是___________________（π的值取3）．12．《算法统宗》中有一道“荡秋干”的问题，其译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板上一点A 离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，点A 对应的点B 就和某人一样高，若此人的身高为5尺，秋干的绳索始终拉得很直，试问绳素有多长？”根据上述条件，秋干绳索长为________尺.13．已知Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，∠ACB ＝90°，以AC 为一边在Rt △ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为_____．14．如图所示，“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为123,,S S S ，已知12310S S S ++=,则2S 的值是____.15．如图在三角形纸片ABC 中，已知∠ABC =90º，AC =5，BC=4，过点A 作直线l 平行于BC ，折叠三角形纸片ABC ，使直角顶点B 落在直线l 上的点P 处，折痕为MN ，当点P 在直线l 上移动时，折痕的端点M 、N 也随之移动，若限定端点M 、N 分别在AB 、BC 边上（包括端点）移动，则线段AP 长度的最大值与最小值的差为________________．16．如图，在锐角ABC ∆中，2AB =，60BAC ∠=，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是______.17．一块直角三角形绿地，两直角边长分别为3m ，4m ，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长长为3m 的直角边，则扩充后等腰三角形绿地的面积为____m 2．18．如图所示，圆柱体底面圆的半径是2π，高为1，若一只小虫从A 点出发沿着圆柱体的外侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路程是______19．已知：如图，等腰Rt OAB ∆的直角边OA 的长为1，以AB 边上的高1OA 为直角边，按逆时针方向作等腰11Rt OA B ∆，11A B 与OB 相交于点2A ，若再以2OA 为直角边按逆时针方向作等腰22Rt OA B ∆，22A B 与1OB 相交于点3A ，按此作法进行下去，得到33OA B ∆，44OA B ∆，…，则66OA B ∆的周长是______.20．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，底边BC 上的高AD ＝6cm ，腰AC 上的高BE ＝4m ，则△ABC 的面积为_____cm 2．三、解答题21．如图，△ABC 和EDC ∆都是等边三角形，7,3,2AD BD CD ===求:（1）AE长；（2）∠BDC 的度数：（3）AC 的长．22．如图，在两个等腰直角ABC 和CDE △中，∠ACB = ∠DCE=90°．（1）观察猜想：如图1，点E 在BC 上，线段AE 与BD 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把CDE △绕直角顶点C 旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；（3）拓展延伸：把CDE △绕点C 在平面内自由旋转，若AC = BC=10，DE=12，当A 、E 、D 三点在直线上时，请直接写出 AD 的长．23．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为AC 边上一动点，且不与点A 点C 重合，连接BD 并延长，在BD 延长线上取一点E ，使AE ＝AB ，连接CE ．（1）若∠AED ＝20°，则∠DEC ＝ 度；（2）若∠AED ＝a ，试探索∠AED 与∠AEC 有怎样的数量关系？并证明你的猜想； （3）如图2，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，AF 的延长线与EC 的延长线交于点H ，求证：EH 2+CH 2＝2AE 2．24．已知ABC ∆中，AB AC =.（1）如图1，在ADE ∆中，AD AE =，连接BD 、CE ，若DAE BAC ∠=∠，求证：BD CE =（2）如图2，在ADE ∆中，AD AE =，连接BE 、CE ，若60DAE BAC ∠=∠=，CE AD ⊥于点F ，4AE =，5EC =，求BE 的长；（3）如图3，在BCD ∆中，45CBD CDB ∠=∠=，连接AD ，若45CAB ∠=，求AD AB 的值.25．已知：如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 与点E .（1）根据题意用尺规作图补全图形（保留作图痕迹）；（2）设,BC m AC n ==①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根吗？并说明理由.②若线段2AD EC =，求m n的值.26．如图，点A 是射线OE ：y ＝x （x ≥0）上的一个动点，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过点B 作OA 的平行线交∠AOB 的平分线于点C ．（1）若OA ＝52，求点B 的坐标； （2）如图2，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，CH ⊥OE 于点H ，求证：CG ＝CH ．（3）①若点A 的坐标为（2，2），射线OC 与AB 交于点D ，在射线BC 上是否存在一点P 使得△ACP 与△BDC 全等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． ②在（3）①的条件下，在平面内另有三点P 1（2，2），P 2（2，22），P 3（2+2，2﹣2），请你判断也满足△ACP 与△BDC 全等的点是 ．（写出你认为正确的点）27．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，ABC ∆，ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，A 在y 轴正半轴上，点0()6,B -，点(6,0)C ，点D 在ABC ∆内部，点E 在ABC ∆的外部，32=AD ，30DOE ∠=︒，OF 与AB 交于点G ，连接DF ，DG ，DO ，OE .（1）求点A 的坐标；（2）判断DF 与OE 的数量关系，并说明理由；（3）直接写出ADG ∆的周长.28．已知：四边形ABCD 是菱形，AB ＝4，∠ABC ＝60°，有一足够大的含60°角的直角三角尺的60°角的顶点与菱形ABCD 的顶点A 重合，两边分别射线CB 、DC 相交于点E 、F ，且∠EAP ＝60°．（1）如图1，当点E 是线段CB 的中点时，请直接判断△AEF 的形状是 ．（2）如图2，当点E 是线段CB 上任意一点时（点E 不与B 、C 重合），求证：BE ＝CF ； （3）如图3，当点E 在线段CB 的延长线上，且∠EAB ＝15°时，求点F 到BC 的距离．29．在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（m，0）在坐标轴上，点C，O关于直线AB 对称，点D在线段AB上．（1）如图1，若m＝8，求AB的长；（2）如图2，若m＝4，连接OD，在y轴上取一点E，使OD＝DE，求证：CE＝2DE；（3）如图3，若m＝43，在射线AO上裁取AF，使AF＝BD，当CD+CF的值最小时，请在图中画出点D的位置，并直接写出这个最小值．30．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．（2）如图1，求AF的长．（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据勾股定理即可得到正方形A 的面积加上B 的面积加上C 的面积和D 的面积是E 的面积．即可求解．【详解】四个正方形的面积的和是正方形E 的面积：即222233=92549=47＋5＋2＋＋＋＋；故答案为C ．【点睛】理解正方形A ，B ，C ，D 的面积的和是E 的面积是解决本题的关键．2．D解析：D【解析】【分析】本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决..要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．【详解】如图，由图可知，彩带从易拉罐底端的A 处绕易拉罐4圈后到达顶端的B 处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，设彩带最短长度为xcm ，∵∵易拉罐底面周长是12cm ，高是20cm ，∴x 2=(12×4)2+202∴x 2=(12×4)2+202，所以彩带最短是52cm ．故选D ．【点睛】本题考查了平面展开−−最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，3．B解析：B【分析】根据30°直角三角形的性质，求出∠ABC的度数，然后根据角平分线的性质求出∠CBD=30°，再根据30°角所对的直角三角形性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求解即可.【详解】如图∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=90°-30°=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=12∠ABC=12×60°=30°，∵CD=1，∠CDB=30°∴BD=2根据勾股定理可得BC=2222=21=3BD CD--∵∠A=30°∴AB=23故选B.【点睛】此题主要考查了30°角直角三角形的性质的应用，关键是根据题意画出图形，再利用30°角所对直角边等于斜边的一半求解.4．A解析：A【解析】试题解析：如图，过D作AB垂线交于K，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD∵∠C=∠DKB=90°，∴CD=KD ，在△BCD 和△BKD 中，CD KD BD BD ⎧⎨⎩＝＝ ∴△BCD ≌△BKD ，∴BC=BK=3∵E 为AB 中点∴BE=AE=2.5，EK=0.5，∴AK=AE-EK=2，设DK=DC=x ，AD=4-x ，∴AD 2=AK 2+DK 2即（4-x ）2=22+x 2解得：x=32∴在Rt △DEK 中，2. 故选A ．5．A解析：A【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方25，也就是两条直角边的平方和是25，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=12，据此即可得结果.【详解】根据题意，结合勾股定理a 2+b 2=25，四个三角形的面积=4×12ab=25-1=24， ∴2ab=24，联立解得：（a+b ）2=25+24=49．故选A. 6．C解析：C【分析】设AB ＝x ，则BC ＝9－x ，根据三角形两边之和大于第三边，得到x 的取值范围，再利用分类讨论思想，根据勾股定理列方程，计算解答．【详解】解：∵在△ABC 中，AC ＝AM ＝3，设AB ＝x ，BC ＝9－x ，由三角形两边之和大于第三边得：3939x x x x+-⎧⎨+-⎩＞＞， 解得3＜x ＜6，①AC 为斜边，则32＝x 2＋（9－x ）2，即x 2－9x ＋36＝0，方程无解，即AC 为斜边不成立，②若AB 为斜边，则x 2＝（9－x ）2＋32，解得x ＝5，满足3＜x ＜6，③若BC 为斜边，则（9－x ）2＝32＋x 2，解得x ＝4，满足3＜x ＜6，∴x ＝5或x ＝4；故选C ．【点睛】本题考查三角形的三边关系，勾股定理等，分类讨论和方程思想是解答的关键．7．D解析：D【分析】24和10为两条直角边长时，求出小正方形的边长14，即可利用勾股定理得出EF 的长．【详解】解：∵AE=10，BE=24，即24和10为两条直角边长时，小正方形的边长=24-10=14，∴=故选D ．【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．8．B解析：B【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：由题意得，正方形A 的面积为1，由勾股定理得，正方形B 的面积+正方形C 的面积=1，∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，……∴“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021，故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．9．C解析：C【分析】筷子浸没在水中的最短距离为水杯高度，最长距离如下图，是筷子斜卧于杯中时，利用勾股定理可求得.【详解】当筷子笔直竖立在杯中时，筷子浸没水中距离最短，为杯高=8cmAD是筷子，AB长是杯子直径，BC是杯子高，当筷子如下图斜卧于杯中时，浸没在水中的距离最长由题意得：AB=15cm，BC=8cm，△ABC是直角三角形∴在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC=17cm∴8cm≤h≤17cm故选：C【点睛】本题考查勾股定理在实际生活中的应用，解题关键是将题干中生活实例抽象成数学模型，然后再利用相关知识求解.10．C解析：C【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可．【详解】A、∠A+∠B＝∠C，可得∠C＝90°，是直角三角形，错误；B、∠A：∠B：∠C＝1：3：2，可得∠B＝90°，是直角三角形，错误；C、∵22+32≠42，故不能判定是直角三角形，正确；D、∵（b+c）（b﹣c）＝a2，∴b2﹣c2＝a2，即a2+c2＝b2，故是直角三角形，错误；故选C．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．二、填空题11．15厘米【分析】要想求得最短路程，首先要画出圆柱的侧面展开图，把A和C展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短，结合勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程．【详解】解：如图，展开圆柱的半个侧面是矩形，π=厘米，矩形的宽BC=12厘米．∴矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即AB=39∴蚂蚁需要爬行最短路程2222=+=+=厘米．AC BC AB12915故答案为：15厘米【点睛】求两个不在同一平面内的两点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内，根据两点之间，线段最短．12．5【分析】设绳索x尺，过点B向地面及AO作垂线BE、BC，构成直角三角形OBE，利用勾股定理求出x的值【详解】如图，过点B作BC⊥OA于点C，作BD垂直于地面，延长OA交地面于点D由题意知AD=1，BE=5，BC=10设绳索x尺，则OA=OB=x∴OC=x+1-5=x-4在Rt△OBC中，OB2=OC2+BC2∴222(4)10x x =-+得x=14.5（尺）故填14.5 ,【点睛】此题考察勾股定理的实际运用，理解题意作辅助线构建直角三角形是解题关键. 13．7或29或65【分析】分三种情形讨论：（1）如图1中，以点C 所在顶点为直角时；（2）如图2中，以点D 所在顶点为直角时；（3）如图3中，以点A 所在顶点为直角时．【详解】（1）如图1中，以点C 所在顶点为直角时．∵AC =CD =4，BC =3，∴BD =CD +BC =7；（2）如图2中，以点D 所在顶点为直角时，作DE ⊥BC 与E ，连接BD ．在Rt △BDE 中DE =2，BE =5，∴BD 2229DE BE =+=；（3）如图3中，以点A 所在顶点为直角时，作DE ⊥BC 于E ， 在Rt △BDE 中，DE =4．BE =7，∴BD 2265DE BE =+=． 故答案为：7或29或65．【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．14．103. 【分析】 根据八个直角三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形，得出CG=NG ，CF=DG=NF ，再根据()21S CG DG =+，22S GF =，()23S NG NF =-，12310S S S ++=，即可得出答案.【详解】∵八个直三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形∴CG=NG ，CF=DG=NF∴()2222122S CG DG CG DG CG DG GF CG DG =+=++=+ 22S GF =()22232S NG NF NG NF NG NF =-=+-∴2222212322310S S S GF CG DG GF NG NF NG NF GF ++=+⋅+++-⋅== ∴2103GF =故2103S = 故答案为103. 【点睛】 本题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点由勾股定理和正方形、全等三角形的性质. 15．71-【分析】分别找到两个极端,当M 与A 重合时，AP 取最大值，当点N 与C 重合时，AP 取最小，即可求出线段AP 长度的最大值与最小值之差【详解】如图所示，当M 与A 重合时，AP 取最大值，此时标记为P 1，由折叠的性质易得四边形AP 1NB 是正方形，在Rt △ABC 中，2222AB=AC BC =54=3--，∴AP 的最大值为A P 1=AB=3如图所示，当点N 与C 重合时，AP 取最小，过C 点作CD ⊥直线l 于点D ，可得矩形ABCD ，∴CD=AB=3，AD=BC=4，由折叠的性质有PC=BC=4，在Rt △PCD 中，2222PD=PC CD =43=7--，∴AP 的最小值为AD PD=47--线段AP 长度的最大值与最小值之差为()1AP AP=347=71----故答案为71-【点睛】本题考查勾股定理的折叠问题，可以动手实际操作进行探索.16．3．【分析】作点B 关于AD 的对称点B′，过点B′作B′N ⊥AB 于N 交AD 于M ，根据轴对称确定最短路线问题，B′N 的长度即为BM+MN 的最小值，根据∠BAC=60°判断出△ABB′是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可．【详解】如图，作点B 关于AD 的对称点B′，由垂线段最短，过点B′作B′N ⊥AB 于N 交AD 于M ，B′N 最短，由轴对称性质，BM=B′M ，∴BM+MN=B′M+MN=B′N ，由轴对称的性质，AD 垂直平分BB′，∴AB=AB′，∵∠BAC=60°，∴△ABB′是等边三角形，∵AB=2，∴B′N=2×323 即BM+MN 3．3．【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，等边三角形的判定与性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．17．8或10或12或25 3【详解】解：①如图1：当BC=CD=3m时，AB=AD=5m，AC⊥BD，此时等腰三角形绿地的面积：12×6×4=12（m2）；②如图2：当AC=CD=4m时，AC⊥CB，此时等腰三角形绿地的面积：12×4×4=8（m2）；③如图3：当AD=BD时，设AD=BD=xm，在Rt△ACD中，CD=（x-3）m，AC=4m，由勾股定理，得AD2=DC2+CA2，即(x-3)2+42=x2，解得x=256，此时等腰三角形绿地的面积：12BD·AC=12×256×4=253（m 2）； ④如图4，延长BC 到D ，使BD=AB=5m ，故CD=2m ， 此时等腰三角形绿地的面积：12BD·AC=12×5×4=10（m 2）； 综上所述，扩充后等腰三角形绿地的面积为8m 2或12m 2或10m 2或253m 2． 点睛：此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解决问题的关键是根据题意正确画出图形．18．5【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．【详解】圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C 是边的中点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．∵AB=π•2π=2，CB=1． ∴22AB ＋BC 222=5＋15【点睛】圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 1922+【分析】依次求出在Rt △OAB 中，OA 1＝2；在Rt △OA 1B 1中，OA 2＝2OA 1＝（2）2；依此类推：在Rt △OA 5B 5中，OA 6）6，由此可求出△OA 6B 6的周长． 【详解】 ∵等腰Rt OAB ∆的直角边OA 的长为1，∴在Rt △OA 1B 1中OA 1＝2OA ＝2，在22Rt OA B ∆中OA 2＝2OA 1＝（2）2， …故在Rt △OA 6B 6中OA 6OA 5）6= OB 666A B OB 6=8故△OA 6B 6+2×（2）6+2×18=28+．故答案为：28+ 【点睛】 本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．20．【分析】 根据三角形等面积法求出32AC BC = ，在Rt△ACD 中根据勾股定理得出AC 2=14BC 2+36，依据这两个式子求出AC 、BC 的值.【详解】∵AD 是BC 边上的高，BE 是AC 边上的高， ∴12AC•BE＝12BC•AD， ∵AD＝6，BE ＝4， ∴AC BC ＝32， ∴22AC BC ＝94， ∵AB＝AC ，AD⊥BC，∴BD＝DC ＝12BC ， ∵AC 2﹣CD 2＝AD 2，∴AC 2＝14BC 2+36， ∴221364BC BC +＝94， 整理得，BC 2＝3648⨯， 解得：BC＝∴△ABC 的面积为12×cm 2故答案为：【点睛】本题考查了三角形的等面积法以及勾股定理的应用，找出AC 与BC 的数量关系是解答此题的关键．三、解答题21．（12）150°；（3【分析】（1）根据等边三角形的性质可利用SAS 证明△BCD ≌△ACE ，再根据全等三角形的性质即得结果；（2）在△ADE 中，根据勾股定理的逆定理可得∠AED ＝90°，进而可求出∠AEC 的度数，再根据全等三角形的性质即得答案；（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，根据等边三角形的性质和勾股定理可得PE 与CP 的长，进而可得AE ＝CP ，然后即可根据AAS 证明△AEG ≌△CPG ，于是可得AG ＝CG ，PG ＝EG ，根据勾股定理可求出AG 的长，进一步即可求出结果．【详解】解：（1）∵△ABC 和△EDC 都是等边三角形，∴BC ＝AC ，CD ＝CE ＝DE ＝2，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠BCD ＝∠ACE ，在△BCD 与△ACE 中，∵BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△ACE ，∴AE ＝BD（2）在△ADE中，∵2AD AE DE ===，∴DE 2+AE 2＝()()222237+=＝AD 2， ∴∠AED ＝90°，∵∠DEC ＝60°，∴∠AEC ＝150°，∵△BCD ≌△ACE ，∴∠BDC ＝∠AEC ＝150°；（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，∵△CDE 是等边三角形，∴PE ＝12DE ＝1，CP 22213-=，∴AE ＝CP ，在△AEG 与△CPG 中，∵∠AEG ＝∠CPG ＝90°，∠AGE ＝∠CGP ，AE ＝CP ，∴△AEG ≌△CPG ，∴AG ＝CG ，PG ＝EG ＝12， ∴AG ()222211332AE EG ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， ∴AC ＝2AG 13【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握上述知识、灵活应用全等三角形的判定与性质是解题的关键．22．（1）AE BD =，AE BD ⊥；（2）成立，理由见解析；（3）14或2．【分析】（1）先根据等腰三角形的定义可得AC BC =，CE CD =，再根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =，EAC DBC ∠=∠，然后根据直角三角形两锐角互余、等量代换即可得90AHD ∠=︒，由此即可得；（2）先根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =，EAC DBC ∠=∠，再根据直角三角形两锐角互余可得90EAC AOC ∠+∠=︒，然后根据对顶角相等、等量代换可得90BOH DBC ∠∠+=︒，从而可得90OHB ∠=︒，由此即可得；（3）先利用勾股定理求出102AB =，再分①点,,A E D 在直线上，且点E 位于中间，②点,,A E D 在直线上，且点D 位于中间两种情况，结合（1）（2）的结论，利用勾股定理求解即可得．【详解】（1）AE BD =，AE BD ⊥，理由如下：如图1，延长AE 交BD 于H ，由题意得：AC BC =，90ACE BCD ∠=∠=︒，CE CD =，∴()ACE BCD SAS ≅，∴AE BD =，EAC DBC ∠=∠，∵90DBC BDC ∠+∠=︒，∴90EAC BDC ∠+∠=︒，∴0)9018(EAC BD A D C H ∠+∠∠︒==-︒，即AE BD ⊥，故答案为：AE BD =，AE BD ⊥；（2）成立，理由如下：如图2，延长AE 交BD 于H ，交BC 于O ，∵90ACB ECD ∠=∠=︒，∴ACB BCE ECD BCE ∠-∠=∠-∠，即ACE BCD ∠=∠，在ACE △和BCD 中，AC BC ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ACE BCD SAS ≅，∴AE BD =，EAC DBC ∠=∠，∵90ACB ∠=︒，∴90EAC AOC ∠+∠=︒，∵AOC BOH ∠=∠，∴90BOH DBC ∠∠+=︒，即90OBH BOH ∠+∠=︒，∴180()90OHB OBH BOH ∠=︒-∠+∠=︒，即AE BD ⊥；（3）设AD x =，10,90AC BC ACB ==∠=︒， 2102AB AC ∴==，由题意，分以下两种情况：①如图3-1，点,,A E D 在直线上，且点E 位于中间，同理可证：AE BD =，AE BD ⊥，12DE =，12BD AE AD DE x ∴==-=-，在Rt ABD △中，222AD BD AB +=，即222(12)(102)x x +-=，解得14x =或2x =-（不符题意，舍去），即14AD =，②如图3-2，点,,A E D 在直线上，且点D 位于中间，同理可证：AE BD =，AE BD ⊥，12DE =，12BD AE AD DE x ∴==+=+，在Rt ABD △中，222AD BD AB +=，即222(12)(102)x x ++=，解得2x =或14x =-（不符题意，舍去），即2AD =，综上，AD 的长为14或2．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论，并画出图形是解题关键．23．（1）45度；（2）∠AEC﹣∠AED＝45°，理由见解析；（3）见解析【分析】（1）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝140°，可得∠CAE＝50°，由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝65°，即可求解；（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝180°﹣2α，可得∠CAE＝90°﹣2α，由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝45°+α，可得结论；（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，由等腰直角三角形的性质可得EH＝2EF，CH＝2CG，由“AAS”可证△AFB≌△CGA，可得AF＝CG，由勾股定理可得结论．【详解】解：（1）∵AB＝AC，AE＝AB，∴AB＝AC＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∠ACE＝∠AEC，∵∠AED＝20°，∴∠ABE＝∠AED＝20°，∴∠BAE＝140°，且∠BAC＝90°∴∠CAE＝50°，∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝∠ACE＝65°，∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，故答案为：45；（2）猜想：∠AEC﹣∠AED＝45°，理由如下：∵∠AED＝∠ABE＝α，∴∠BAE＝180°﹣2α，∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣2α，∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝45°+α，∴∠AEC﹣∠AED＝45°；（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，∵∠AEC﹣∠AED＝45°，∴∠FEH＝45°，∵AH⊥BE，∴∠FHE＝∠FEH＝45°，∴EF ＝FH ，且∠EFH ＝90°，∴EHEF ，∵∠FHE ＝45°，CG ⊥FH ，∴∠GCH ＝∠FHE ＝45°，∴GC ＝GH ，∴CHCG ，∵∠BAC ＝∠CGA ＝90°，∴∠BAF +∠CAG ＝90°，∠CAG +∠ACG ＝90°，∴∠BAF ＝∠ACG ，且AB ＝AC ，∠AFB ＝∠AGC ，∴△AFB ≌△CGA （AAS ）∴AF ＝CG ，∴CHAF ，∵在Rt △AEF 中，AE 2＝AF 2+EF 2，AF ）2+EF ）2＝2AE 2，∴EH 2+CH 2＝2AE 2．【点睛】本题是综合了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定的动点问题，三个问题由易到难，在熟练掌握各个相关知识的基础上找到问题之间的内部联系，层层推进去解答是关键.24．（1）详见解析；（2；（3【分析】（1）证∠EAC=∠DAB.利用SAS 证△ACE ≌△ABD 可得；（2）连接BD ，证1302FEA AED ∠=∠=，证△ACE ≌△ABD 可得30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5，利用勾股定理求解；（3）作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=，利用勾股定理得AE =，，根据（1）思路得.【详解】(1) 证明：∵∠DAE=∠BAC ，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD ，即∠EAC=∠DAB.在△ACE 与△ABD 中，AD AE EAC BAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACE ≌△ABD(SAS)，∴BD CE =；(2)连接BD因为AD AE =， 60DAE BAC ∠=∠=，所以ADE ∆是等边三角形因为60DAE DEA EDA ∠=∠=∠=,ED=AD=AE=4因为CE AD ⊥ 所以1302FEA AED ∠=∠= 同(1)可知△ACE ≌△ABD(SAS)，所以30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5所以90BDE BDA ADE ∠=∠+∠=所以BE=22225441BD DE +=+=(3)作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=所以222AB AC AC +因为AB AC =所以AE 2=又因为45CAB ∠=所以90ABE ∠= 所以()222223BE AE AB AB AB AB =+=+= 因为45CBD CDB ∠=∠=所以BC=CD, 90BCD ∠=因为同(1)可得△ACD ≌△ECB(SAS)所以3AB所以33AD AB AB ==【点睛】考核知识点:等边三角形;勾股定理.构造全等三角形和直角三角形是关键.25．（1）详见解析；（2）①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根，理由详见解析；②512m n = 【分析】（1）根据题意，利用尺规作图画出图形即可；（2）①根据勾股定理求出AD ，然后把AD 的值代入方程，即可得到答案； ②先得到出边长的关系，然后根据勾股定理，列出方程，解方程后得到答案.【详解】（1）解：作图，如图所示：（2）解：①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根.理由如下：依题意得， BD BC m ==，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒222BC AC AB ∴=+22AB m n =+22AD AB BD m n m ∴=-=+222AD m AD n ∴+-)()2222222m n m m m n m n =+++- 222222222222m n m m n m m m n m n =+-+++-0=；∴线段AD 的长度是方程22 20x mx n +-=的一个根②依题意得：,,AD AE BD BC AB AD BD ====2AD EC =2233AD AE AC n ∴=== 在RT ABC 中，90ACB ∠=222BC AC AB ∴+=22223m n n m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 22224493m n n mn m +=++ 25493n mn = 512m n ∴= 【点睛】本题考查的是基本作图，勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．26．（1）（5，0）；（2）见解析；（3）①P （4，2），②满足△ACP 与△BDC 全等的点是P 1、P 2，P 3．理由见解析【分析】（1）由题意可以假设A （a ，a ）（a ＞0），根据AB 2+OB 2=OA 2，构建方程即可解决问题； （2）由角平分线的性质定理证明CH=CF ，CG=CF 即可解决问题；（3）①如图3中，在BC 的延长线上取点P ，使得CP=DB ，连接AP ．只要证明△ACP ≌△CDB （SAS ），△ABP 是等腰直角三角形即可解决问题；②根据SAS 即可判断满足△ACP 与△BDC 全等的点是P 1、P 2，P 3；【详解】解：（1）∵点A 在射线y ＝x （x ≥0）上，故可以假设A （a ，a ）（a ＞0）， ∵AB ⊥x 轴，∴AB ＝OB ＝a ，即△ABO 是等腰直角三角形，∴AB 2+OB 2＝OA 2，∴a 2+a 2＝（）2，解得a ＝5，∴点B 坐标为（5，0）．（2）如图2中，作CF ⊥x 轴于F ．∵OC平分∠AOB，CH⊥OE，∴CH＝CF，∵△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∵BC∥OE，∴∠CBG＝∠AOB＝45°，得到BC平分∠ABF，∵CG⊥BA，CF⊥BF，∴CG＝CF，∴CG＝CH．（3）①如图3中，在BC的延长线上取点P，使得CP＝DB，连接AP．由（2）可知AC平分∠DAE，∴∠DAC＝12∠DAE＝12（180°﹣45°）＝67.5°，由OC平分∠AOB得到∠DOB＝12∠AOB＝22.5°，∴∠ADC＝∠ODB＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠ADC＝∠DAC＝67.5°，∴AC＝DC，∠BDC＝∠OBD+∠DOB＝90°+22.5°＝112.5°，∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠ADC＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，∠OCB＝45°﹣22.5°＝22.5°，∠ACP＝180°﹣∠ACD﹣∠OCB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，在△ACP 和△CDB 中，AC AD ACP DB CP DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△CDB （SAS ），∴∠CAP ＝∠DCB ＝22.5°，∴∠BAP ＝∠CAP +∠DAC ＝22.5°+67.5°＝90°，∴△ABP 是等腰直角三角形，∴AP ＝AB ＝OB ＝2，∴P （4，2）．②满足△ACP 与△BDC 全等的点是P 1、P 2，P 3．理由：如图4中，由题意：AP 1＝BD ，AC ＝CD ，∠CAP 1＝∠CDB ，根据SAS 可得△CAP 1≌△CDB ； AP 2＝BD ，AC ＝CD ，∠CAP 2＝∠CDB ，根据SAS 可得△CAP 2≌△CDB ；AC ＝CD ，∠ACP 3＝∠BDC ，BD ＝CP 3根据SAS 可得△CAP 3≌△DCB ；故答案为P 1、P 2，P 3．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．27．（1）(0，3)；（2）DF OE =；（3）93233+【分析】（1）由等边三角形的性质得出6OB =，12AB AC BC ===，由勾股定理得出2263OA AB OB =-=A 的坐标；（2）由等边三角形的性质得出AD AE =，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=︒，证出FAD OAE ∠=∠，由SAS 证明FAD OAE ∆≅∆，即可得出DF OE =；（3）证出90AGO ∠=︒，求出9AG =，由全等三角形的性质得出AOE AFD ∠=∠，证出6090FDO AFD AOD ∠=∠+︒+∠=︒，由等边三角形的性质得1332DG OF ==即可得出答案．【详解】解：（1）ABC ∆是等边三角形，点0()6,B -，点(6,0)C ，6OB ∴=，12AB AC BC ===，OA === ∴点A 的坐标为(0，；（2）DF OE =；理由如下：ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，AD AE ∴=，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=︒，FAD OAE ∴∠=∠，在FAD ∆和OAE ∆中，AF AO FAD OAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()FAD OAE SAS ∴∆≅∆，DF OE ∴=；（3）60AOF ∠=︒，30FOB ∴∠=︒，60ABO ∠=︒，90AGO ∴∠=︒，AFO ∆是等边三角形，AO =·sin 609AG OA ∴=︒==， FAD OAE ∆≅∆，AOE AFD ∴∠=∠，30DOE AOD AOE ∠=︒=∠+∠，30AOD AFD ∴∠+∠=︒，FDO AFD FAO AOD ∠=∠+∠+∠，60603090FDO AFD AOD ∴∠=∠+︒+∠=︒+︒=︒，AG OF ⊥，AOF ∆为等边三角形，G ∴为斜边OF 的中点，1122DG OF ∴==⨯= ADG ∴∆的周长9AG AD DG =++=+【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．28．（1）△AEF 是等边三角形，理由见解析；（2）见解析；（3）点F 到BC 的距离为3。

一、选择题1．如图，在ABC ∆中，,90︒=∠=AB AC BAC ，ABC ∠的平分线BD 与边AC 相交于点D ，DE BC ⊥，垂足为E ，若CDE ∆的周长为6，则ABC ∆的面积为（ ）.A ．36B ．18C ．12D ．92．如图，已知1号、4号两个正方形的面积之和为7，2号、3号两个正方形的面积之和为4，则a 、b 、c 三个正方形的面积之和为（ ）A ．11B ．15C ．10D ．223．在平面直角坐标系内的机器人接受指令“[α，A]”(α≥0，0°＜A ＜180°)后的行动结果为：在原地顺时针旋转A 后，再向正前方沿直线行走α.若机器人的位置在原点，正前方为y 轴的负半轴，则它完成一次指令[4，30°]后位置的坐标为( )A ．(－2，23)B ．(－2，－23)C ．(－2，－2)D ．(－2，2)4．若△ABC 中，AB=AC=25，BC=4，则△ABC 的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．525．如图，△ABC 中，AB=10，BC=12，AC=213，则△ABC 的面积是（ ）．A ．36B ．1013C ．60D ．12136．如图，在数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值为（ ）A ．15--B ．15-C ．5-D ．15-+7．A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB 1700=米，800BC =米，AC 1500=米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ）A ．AB 的中点B ．BC 的中点 C ．AC 的中点D ．C ∠的平分线与AB 的交点8．在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则点C 到AB 的距离是（ ）A ．34B ．35C ．45D ．1259．长度分别为9cm 、12cm 、15cm 、36cm 、39cm 五根木棍首尾连接，最多可搭成直角三角形的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长是( )A ．5B ．4C ．34D ．4或34 二、填空题11．如图，在矩形 ABCD 中，AB ＝10，BC ＝5，若点 M 、N 分别是线段 AC 、AB 上的两个动点，则 BM+MN 的最小值为_____________________．12．如图所示的网格是正方形网格，则ABC ACB ∠+∠=__________°（点A ，B ，C 是网格线交点）．13．如图是“赵爽弦图”，△ABH 、△BCG 、△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形．如果AB ＝13，EF ＝7，那么AH 等于_____．14．以直角三角形的三边为边向外作正方形P ，Q ，K ，若S P =4，S Q =9，则K S =___15．如图在三角形纸片ABC 中，已知∠ABC =90º，AC =5，BC=4，过点A 作直线l 平行于BC ，折叠三角形纸片ABC ，使直角顶点B 落在直线l 上的点P 处，折痕为MN ，当点P 在直线l 上移动时，折痕的端点M 、N 也随之移动，若限定端点M 、N 分别在AB 、BC 边上（包括端点）移动，则线段AP 长度的最大值与最小值的差为________________．16．如图，在锐角ABC ∆中，2AB =，60BAC ∠=，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是______.17．如图，△ABC 中，∠ABC ＝45°，∠BCA ＝30°，点D 在BC 上，点E 在△ABC 外，且AD ＝AE ＝CE ，AD ⊥AE ，则AB BD的值为____________．18．如图，△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，AD 是BAC ∠的角平分线，E 是AD 上的动点，F 是AB 边上的动点，则BE+EF 的最小值为_____．19．如图，在矩形ABCD 中，AD ＞AB ，将矩形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为MN ，连接CN ．若△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：3，则22MN BM的值为______________．20．如图，在四边形ABCD 中，AD =4，CD =3，∠ABC =∠ACB =∠ADC =45°，则2________BD =．三、解答题21．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=10，E 为CD 边上一点，将△ADE 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．（1）求BF 的长；（2）求CE 的长．22．定义：如图1，平面上两条直线AB 、CD 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线AB 、CD 的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为（0，0）的点有1个，即点O ．（1）“距离坐标”为(1，0)的点有 个；（2）如图2，若点M 在过点O 且与直线AB 垂直的直线l 上时，点M 的“距离坐标”为(p ，q )，且∠BOD = 150︒，请写出p 、q 的关系式并证明；（3）如图3，点M 的“距离坐标”为(1,3)，且∠DOB = 30︒，求OM 的长．23．如图，己知Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，ED 为AB 垂直平分线，且23DE =DB ，DA .（1）直接写出BC=__________，AC=__________；（2）求证：ABD∆是等边三角形；（3）如图，连接CD，作BF CD⊥，垂足为点F，直接写出BF的长；（4）P是直线AC上的一点，且13CP AC=，连接PE，直接写出PE的长.24．如图，点A是射线OE：y＝x（x≥0）上的一个动点，过点A作x轴的垂线，垂足为B，过点B作OA的平行线交∠AOB的平分线于点C．（1）若OA＝2，求点B的坐标；（2）如图2，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，CH ⊥OE 于点H ，求证：CG ＝CH ．（3）①若点A 的坐标为（2，2），射线OC 与AB 交于点D ，在射线BC 上是否存在一点P 使得△ACP 与△BDC 全等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． ②在（3）①的条件下，在平面内另有三点P 1（2，2），P 2（2，22），P 3（2+2，2﹣2），请你判断也满足△ACP 与△BDC 全等的点是 ．（写出你认为正确的点）25．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 经过点C （a ，a ），且交x 轴于点A （m ，0），交y 轴于点B （0，n ），且m ，n 满足6m -＋（n ﹣12）2＝0．（1）求直线AB 的解析式及C 点坐标；（2）过点C 作CD ⊥AB 交x 轴于点D ，请在图1中画出图形，并求D 点的坐标；（3）如图2，点E （0，﹣2），点P 为射线AB 上一点，且∠CEP ＝45°，求点P 的坐标．26．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，ABC ∆，ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，A 在y 轴正半轴上，点0()6,B -，点(6,0)C ，点D 在ABC ∆内部，点E 在ABC ∆的外部，32=AD ，30DOE ∠=︒，OF 与AB 交于点G ，连接DF ，DG ，DO ，OE .（1）求点A 的坐标；（2）判断DF 与OE 的数量关系，并说明理由；（3）直接写出ADG ∆的周长.27．菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，BD 是对角线，点E 、F 分别是边AB 、AD 上两个点，且满足AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ．（1）如图1，求∠BGD 的度数；（2）如图2，作CH ⊥BG 于H 点，求证：2GH ＝GB +DG ；（3）在满足（2）的条件下，且点H 在菱形内部，若GB ＝6，CH ＝3ABCD 的面积．28．如图1，已知△ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且CD＝AE，AD与BE相交于点F．（1）求证：∠ABE＝∠CAD；（2）如图2，以AD为边向左作等边△ADG，连接BG．ⅰ）试判断四边形AGBE的形状，并说明理由；ⅱ）若设BD＝1，DC＝k（0＜k＜1），求四边形AGBE与△ABC的周长比（用含k的代数式表示）．29．阅读下列材料，并解答其后的问题：我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”，该公式是：设△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S＝()()()()a b c a b c a c b b c a+++-+-+-．（1）（举例应用）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a＝4，b ＝5，c＝7，则△ABC的面积为；（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB＝（26+42）m，BC＝5m，CD＝7m，AD＝46m，∠A＝60°，求该块草地的面积．30．在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（m，0）在坐标轴上，点C，O关于直线AB 对称，点D在线段AB上．（1）如图1，若m＝8，求AB的长；（2）如图2，若m＝4，连接OD，在y轴上取一点E，使OD＝DE，求证：CE2DE；（3）如图3，若m＝3AO上裁取AF，使AF＝BD，当CD+CF的值最小时，请在图中画出点D 的位置，并直接写出这个最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】利用角平分定理得到DE=AD ，根据三角形内角和得到∠BDE=∠BDA ，再利用角平分线定理得到BE=AB=AC ，根据CDE ∆的周长为6求出AB=6，再根据勾股定理求出218AB =，即可求得ABC ∆的面积.【详解】∵90BAC ︒∠=，∴AB ⊥AD,∵DE BC ⊥,BD 平分ABC ∠,∴DE=AD ，∠BED=90BAC ︒∠=，∴∠BDE=∠BDA ，∴BE=AB=AC ，∵CDE ∆的周长为6，∴DE+CD+CE=AC+CE=BC=6，∵,90︒=∠=AB AC BAC∴22236AB AC BC +==,∴2236AB =, 218AB =,∴ABC ∆的面积=211922AB AC AB ⋅⋅==, 故选：D.【点睛】此题考查角平分线定理的运用，勾股定理求边长，在利用角平分线定理时必须是两个垂直一个平分同时运用，得到到角两边的距离相等的结论. 2．B【分析】由直角三角形的勾股定理以及正方形的面积公式不难发现：a 的面积等于1号的面积加上2号的面积，b 的面积等于2号的面积加上3号的面积，c 的面积等于3号的面积加上4号的面积，据此可以求出三个的面积之和.【详解】利用勾股定理可得：12a S S S =+ ，23b S S S =+，34c S S S =+∴122334a b c S S S S S S S S S ++=+++++74415=++=故选B【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握相关性质定理是解题关键.3．B解析：B【解析】根据题意，如图，∠AOB=30°，OA=4，则AB=2，OB=23，所以A(－2，－23)，故选B.4．B解析：B【分析】作AD ⊥BC ，则D 为BC 的中点，即BD=DC=2，根据勾股定理可以求得AD ，则根据S=12×BC×AD 可以求得△ABC 的面积． 【详解】解：作AD ⊥BC ，则D 为BC 的中点，则BD=DC=2，∵AB=2522AB BD -，∴△ABC 的面积为S=12×BC×AD=12×4×4=8， 故选：B ．本题考查了勾股定理的运用，三角形面积的计算，本题中正确的运用勾股定理求AD 是解题的关键．5．A解析：A【分析】作AD BC ⊥于点D ，设BD x =，得222AB BD AD -=，222AC CD AD -=，结合题意，经解方程计算得BD ，再通过勾股定理计算得AD ，即可完成求解．【详解】如图，作AD BC ⊥于点D设BD x =，则12CD BC x x =-=-∴222AB BD AD -=，222AC CD AD -=∴2222AB BD AC CD -=-∵AB=10，AC=213∴(()22221021312x x -=-- ∴8x = ∴22221086AD AB BD =-=-=∴△ABC 的面积111263622BC AD =⨯=⨯⨯= 故选：A ．【点睛】本题考察了直角三角形、勾股定理、一元一次方程的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解．6．A解析：A【分析】首先根据勾股定理得出圆弧的半径,然后得出点A 的坐标.【详解】 2212=5+∴由图可知：点A 所表示的数为: 15-【点睛】本题主要考查的就是数轴上点所表示的数,属于基础题型.解决这个问题的关键就是求出斜边的长度.在数轴上两点之间的距离是指两点所表示的数的差的绝对值.7．A解析：A【分析】先计算AB2=2890000，BC2=640000，AC2=2250000，可得BC2+AC2=AB2，那么△ABC是直角三角形，而直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而可确定P点的位置．【详解】解：如图∵AB2=2890000，BC2=640000，AC2=2250000∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∴活动中心P应在斜边AB的中点．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理．解题的关键是证明△ABC是直角三角形．8．D解析：D【解析】在Rt△ABC中∠C=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理求得AB=5，设点C到AB的距离为h，即可得12h×AB=12AC×BC，即12h×5=12×3×4，解得h=125，故选D.9．B解析：B【解析】试题分析：解：∵92=81，122=144，152=225，362=1296，392=1521，∴81+144=225，225+1296=1521，即92+122=152，152+362=392，故选B．考点：勾股定理的逆定理点评：本题难度中等，主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键熟知勾股定理逆定理的10．D解析：D【详解】解：∵一个直角三角形的两边长分别为3和5，∴①当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：x=22-=4；53②当5是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：x=22+=3453故选：D二、填空题11．8【解析】如图作点B关于AC的对称点B′，连接B′A交DC于点E，则BM+MN的最小值等于的最小值作交于，则为所求；设,,由，，h+5=8，即BM+MN的最小值是8.点睛：本题主要是利用轴对称求最短路线，题中应用了勾股定理与用不同方式表示三角形的面积从而求出某条边上的高，利用轴对称得出M点与N点的位置是解题的关键．12．45【分析】∠+∠=∠，只需证△ADC是如下图,延长BA至网络中的点D处,连接CD. ABC ACB DAC等腰直角三角形即可如下图,延长BA 至网络中的点D 处,连接CD设正方形网络每一小格的长度为1则根据网络，555BC=5，∴5其中BD 、DC 、BC 边长满足勾股定理逆定理∴∠CDA=90°∵AD=DC∴△ADC 是等腰直角三角形∴∠DAC=45°故答案为：45°【点睛】本题是在网格中考察勾股定理的逆定理，解题关键是延长BA ，构造处△ABC 的外角∠CAD 13．【分析】根据面积的差得出a+b 的值，再利用a-b=7，解得a ，b 的值代入即可．【详解】∵AB ＝13，EF ＝7，∴大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，∴四个直角三角形面积和为169﹣49＝120，设AE 为a ，DE 为b ，即141202ab ⨯=， ∴2ab ＝120，a 2+b 2＝169，∴（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab ＝169+120＝289，∴a +b ＝17，∵a ﹣b ＝7，解得：a ＝12，b ＝5，∴AE ＝12，DE ＝5，∴AH ＝12﹣7＝5．故答案为：5．【点睛】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab 的值． 14．5或13根据已知可得题意中的图是一个勾股图，可得S P+S Q=S K为从而易求S K．【详解】解：如下图所示，若A=S P=4．B=S Q=9，C=S K，根据勾股定理，可得A+B=C，∴C=13．若A=S P=4．C=S Q=9，B=S K，根据勾股定理，可得A+B=C，∴B=9-4=5．∴S K为5或13．故答案为：5或13．【点睛】本题考查了勾股定理．此题所给的图中，以直角三角形两直角边为边所作的正方形的面积和等于以斜边为边所作的正方形的面积．15．71-【分析】分别找到两个极端,当M与A重合时，AP取最大值，当点N与C重合时，AP取最小，即可求出线段AP长度的最大值与最小值之差【详解】如图所示，当M与A重合时，AP取最大值，此时标记为P1，由折叠的性质易得四边形AP1NB是正方形，在Rt△ABC中，2222--，AB=AC BC=54=3∴AP的最大值为A P1=AB=3如图所示，当点N与C重合时，AP取最小，过C点作CD⊥直线l于点D，可得矩形ABCD ，∴CD=AB=3，AD=BC=4，由折叠的性质有PC=BC=4，在Rt △PCD 中，2222PD=PC CD =43=7--，∴AP 的最小值为AD PD=47--线段AP 长度的最大值与最小值之差为()1AP AP=347=71---- 故答案为71-【点睛】本题考查勾股定理的折叠问题，可以动手实际操作进行探索.16．3．【分析】作点B 关于AD 的对称点B′，过点B′作B′N ⊥AB 于N 交AD 于M ，根据轴对称确定最短路线问题，B′N 的长度即为BM+MN 的最小值，根据∠BAC=60°判断出△ABB′是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可．【详解】如图，作点B 关于AD 的对称点B′，由垂线段最短，过点B′作B′N ⊥AB 于N 交AD 于M ，B′N 最短，由轴对称性质，BM=B′M ，∴BM+MN=B′M+MN=B′N ，由轴对称的性质，AD 垂直平分BB′，∴AB=AB′，∵∠BAC=60°，∴△ABB′是等边三角形，∵AB=2，∴33 即BM+MN 3．3．【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，等边三角形的判定与性质，确定出点M 、N 的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．17．622+ 【解析】 【分析】 过A 点作BC 的垂线，E 点作AC 的垂线，构造全等三角形，利用对应角相等计算得出∠DAM=15°，在AM 上截取AG=DG ，则∠DGM=30°，设DM=a,通过勾股定理可得到DG=AG=2a ，GM=3a,AM=BM=(32)a +，BD=(31)a +，AB=2(31)a +,代入计算即可.【详解】过A 点作AM ⊥BC 于M 点，过E 点EN ⊥AC 于N 点.∵∠BCA ＝30°，AE=EC∴AM=12AC ，AN=12AC ∴AM=AN又∵AD=AE∴R t∆ADM ≅ R t∆AEN (HL)∴∠DAM=∠EAN 又∵∠MAC=60°，AD ⊥AE∴∠DAM=∠EAN=15°在AM 上截取AG=DG ，则∠DGM=30°设DM=a,则 DG=AG=2a ，根据勾股定理得：GM=3a,∵∠ABC ＝45°∴AM=BM=(32)a +∴BD=(31)a +，AB=2(32)a +,∴()()62262231a AB BD a++==+ 故答案为：62+【点睛】本题主要考查等于三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，关键是能根据已知条件构建全等三角形及构建等腰三角形将15°角转化为30°角，本题有较大难度.18．12013 【解析】 ∵AB=AC ，AD 是角平分线，∴AD ⊥BC ，BD=CD ，∴B 点，C 点关于AD 对称，如图，过C 作CF ⊥AB 于F ，交AD 于E ，则CF=BE+FF 的最小值，根据勾股定理得，AD=12，利用等面积法得：AB ⋅CF=BC ⋅AD ，∴CF=BC AD AB ⋅=101213⨯=12013故答案为12013. 点睛：本题主要考查的是翻折的性质、垂线段最短、勾股定理的应用及三角形面积的等积法.明确当CF ⊥AB 时，CF 有最小值是解题的关键.19．12【解析】如图，过点N 作NG ⊥BC 于点G ，连接CN ，根据轴对称的性质有：MA=MC ，NA=NC ，∠AMN=∠CMN.因为四边形ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ，所以∠ANM=∠CMN.所以∠AMN=∠ANM，所以AM=AN.所以AM=AN=CM=CN.因为△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：3，所以DN:CM=1:3.设DN=x ，则CG=x ，AM=AN=CM=CN=3x ，由勾股定理可得()22322x x x -=，所以MN 2=()()22222312x x x x +-=，BM 2=()()222322x x x -=.所以222212MN x BM x==12. 枚本题应填12.点睛：矩形中的折叠问题，其本质是轴对称问题，根据轴对称的性质，找到对应的线段和角，也就找到了相等的线段和角，矩形中的折叠一般会伴随着等腰三角形(也就是基本图形“平行线+角平分线→等腰三角形”)，所以常常会结合等腰三角形，勾股定理来列方程求解. 20．41【解析】作AD′⊥AD ，AD′=AD ，连接CD′，DD ′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD 与△CAD ′中，;BA CA BAD CAD AD AD ＝＝＝⎧⎪∠∠'⎨⎪⎩∴△BAD ≌△CAD′（SAS ）， ∴BD=CD′，∠DAD′=90°，由勾股定理得22AD AD +' ，∠D′DA+∠ADC=90°，由勾股定理得22DC DD +'41BD 2=41．故答案是：41．三、解答题21．（1）BF 长为6；（2）CE 长为3，详细过程见解析．【分析】（1）由矩形的性质及翻折可知，∠B=90°，AF=AD=10，且AB=8，在Rt △ABF 中，可由勾股定理求出BF 的长；（2）设CE=x ，根据翻折可知，EF=DE=8-x ，由（1）可知BF=6，则CF=4，在Rt △CEF 中，可由勾股定理求出CE 的长．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴∠B=90°，且AD=BC=10， 又∵AFE 是由ADE 沿AE 翻折得到的，∴AF=AD=10，又∵AB=8，在Rt △ABF 中，由勾股定理得：，故BF 的长为6．（2）设CE=x ，∵四边形ABCD 为矩形，∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x ，又∵△AFE 是由△ADE 沿AE 翻折得到的，∴FE=DE=8-x ，由（1）知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4，在Rt △CEF 中，由勾股定理得：222CF +CE =EF ，∴2224+x =(8-x)，解得：x=3，故CE 的长为3．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，利用勾股定理求解是本题的关键．22．(1)2；(2)2q p =；(3)OM =【分析】（1）根据“距离坐标”的定义结合图形判断即可；（2）过M 作MN ⊥CD 于N ，根据已知得出MN q =，OM p =，求出∠MON ＝60°，根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求出MN p ==即可解决问题；（3）分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ，连接EF 、OE 、OF ，连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点，首先证明OM OE OF EF ===，求出2MF =，ME =F 作FG QM ⊥，交QM 延长线于G ，根据含30度直角三角形的性质求出1FG =，MG =，再利用勾股定理求出EF 即可．【详解】解：（1）由题意可知，在直线CD 上，且在点O 的两侧各有一个，共2个，故答案为：2；（2）过M 作MN CD ⊥于N ，∵直线l AB ⊥于O ，150BOD ∠=︒，∴60MON ∠=︒，∵MN q =，OM p =， ∴1122NO MO p ==， ∴2232MN MO NO p =-=， ∴32q p =； （3）分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ，连接EF 、OE 、OF ，连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点．∴OFP OMP △≌△，OEQ OMQ △≌△，∴FOP MOP ∠=∠，EOQ MOQ ∠=∠，OM OE OF ==，∴260EOF BOD ∠=∠=︒，∴△OEF 是等边三角形， ∴OM OE OF EF ===，∵1MP =，3MQ =∴2MF =，3ME =，∵30BOD ∠=︒，∴150PMQ ∠=︒，过F 作FG QM ⊥，交QM 延长线于G ，∴30FMG ∠=︒，在Rt FMG △中，112FG MF ==，则3MG =，在Rt EGF 中，1FG =，33EG ME MG =+=∴22(33)127EF =+=，∴27OM =．【点睛】本题考查了轴对称的应用，含30度直角三角形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质等，正确理解题目中的新定义是解答本题的关键．23．（1）2，232）证明见解析（3）2217（4）233221【分析】（1）根据含有30°角的直角三角形的性质可得BC=2，再由勾股定理即可求出AC 的长； （2）由ED 为AB 垂直平分线可得DB=DA ，在Rt △BDE 中，由勾股定理可得BD=4，可得BD=2BE ，故∠BDE 为60°，即可证明ABD ∆是等边三角形；（3）由（1）（2）可知，=23AC AD=4，进而可求得CD 的长，再由等积法可得BCD ACD ACBD S S S =+四边形，代入求解即可；（4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，构造Rt △PQE ，再根据勾股定理即可求解.【详解】 （1）∵Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，∴122BC AB ==，∴22=23AC AB BC =- （2）∵ED 为AB 垂直平分线，∴ADB=DA ，在Rt △BDE 中， ∵122BE AE AB ===，23DE = ∴22=4BD BE DE =+，∴BD=2BE ，∴∠BDE 为60°，∴ABD ∆为等边三角形；（3））由（1）（2）可知，=23AC ，AD=4， ∴22=27CD AC AD =+∵BCD ACD ACBD S SS =+四边形， ∴111()222BC AD AC AC AD BF CD +⨯=⨯+⨯，∴2217BF =； （4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，如图，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，∵AE=2，∠BAC=30°，∴EQ=1， ∵=23AC ，∴=3CQ QA =，①若点P 在线段AC 上， 则23=3333PQ CQ CP =-=， ∴22233PE PQ EQ =+； ②若点P 在线段AC 的延长线上， 则2533333PQ CQ CP =+=， ∴22221=3PE PQ EQ =+； 综上，PE 23221. 【点睛】 本题考查勾股定理及其应用、含30°的直角三角形的性质等，解题的关键一是能用等积法表示并求出BF 的长，二是对点P 的位置要分情况进行讨论.24．（1）（5，0）；（2）见解析；（3）①P （4，2），②满足△ACP 与△BDC 全等的点是P 1、P 2，P 3．理由见解析【分析】（1）由题意可以假设A （a ，a ）（a ＞0），根据AB 2+OB 2=OA 2，构建方程即可解决问题； （2）由角平分线的性质定理证明CH=CF ，CG=CF 即可解决问题；（3）①如图3中，在BC 的延长线上取点P ，使得CP=DB ，连接AP ．只要证明△ACP ≌△CDB （SAS ），△ABP 是等腰直角三角形即可解决问题；②根据SAS即可判断满足△ACP与△BDC全等的点是P1、P2，P3；【详解】解：（1）∵点A在射线y＝x（x≥0）上，故可以假设A（a，a）（a＞0），∵AB⊥x轴，∴AB＝OB＝a，即△ABO是等腰直角三角形，∴AB2+OB2＝OA2，∴a2+a2＝（52）2，解得a＝5，∴点B坐标为（5，0）．（2）如图2中，作CF⊥x轴于F．∵OC平分∠AOB，CH⊥OE，∴CH＝CF，∵△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∵BC∥OE，∴∠CBG＝∠AOB＝45°，得到BC平分∠ABF，∵CG⊥BA，CF⊥BF，∴CG＝CF，∴CG＝CH．（3）①如图3中，在BC的延长线上取点P，使得CP＝DB，连接AP．由（2）可知AC平分∠DAE，∴∠DAC＝12∠DAE＝12（180°﹣45°）＝67.5°，由OC平分∠AOB得到∠DOB＝12∠AOB＝22.5°，∴∠ADC＝∠ODB＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠ADC＝∠DAC＝67.5°，∴AC＝DC，∠BDC＝∠OBD+∠DOB＝90°+22.5°＝112.5°，∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠ADC＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，∠OCB＝45°﹣22.5°＝22.5°，∠ACP＝180°﹣∠ACD﹣∠OCB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，在△ACP和△CDB中，AC ADACP DB CP DB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP≌△CDB（SAS），∴∠CAP＝∠DCB＝22.5°，∴∠BAP＝∠CAP+∠DAC＝22.5°+67.5°＝90°，∴△ABP是等腰直角三角形，∴AP＝AB＝OB＝2，∴P（4，2）．②满足△ACP与△BDC全等的点是P1、P2，P3．理由：如图4中，由题意：AP1＝BD，AC＝CD，∠CAP1＝∠CDB，根据SAS可得△CAP1≌△CDB；AP2＝BD，AC＝CD，∠CAP2＝∠CDB，根据SAS可得△CAP2≌△CDB；AC＝CD，∠ACP3＝∠BDC，BD＝CP3根据SAS可得△CAP3≌△DCB；故答案为P1、P2，P3．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．25．（1）y＝－2x＋12，点C坐标（4，4）；（2）画图形见解析，点D坐标（－4，0）；（3）点P的坐标（143-，643）【分析】（1）由已知的等式可求得m、n的值，于是可得直线AB的函数解析式，把点C的坐标代入可求得a的值，由此即得答案；（2）画出图象，由CD⊥AB知1AB CDk k=-可设出直线CD的解析式，再把点C代入可得CD的解析式，进一步可求D点坐标；（3）如图2，取点F（－2，8），易证明CE⊥CF且CE＝CF，于是得∠PEC＝45°，进一步求出直线EF的解析式，再与直线AB联立求两直线的交点坐标，即为点P.【详解】解：（1）∵6m-＋（n﹣12）2＝0，∴m＝6，n＝12，∴A（6，0），B（0，12），设直线AB解析式为y＝kx＋b，则有1260bk b=⎧⎨+=⎩，解得212kb=-⎧⎨=⎩，∴直线AB解析式为y＝－2x＋12，∵直线AB过点C（a，a），∴a＝－2a＋12，∴a＝4，∴点C坐标（4，4）．（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，如图1所示，设直线CD解析式为y＝12x＋b′，把点C（4，4）代入得到b′＝2，∴直线CD解析式为y＝12x＋2，∴点D坐标（－4，0）．（3）如图2中，取点F（－2，8），作直线EF交直线AB于P，图2∵直线EC 解析式为y ＝32x －2，直线CF 解析式为y ＝－23x ＋203， ∵32×（－23）＝－1， ∴直线CE ⊥CF ，∵EC ＝13CF ＝13∴EC ＝CF ，∴△FCE 是等腰直角三角形，∴∠FEC ＝45°，∵直线FE 解析式为y ＝－5x －2，由21252y x y x =-+⎧⎨=--⎩解得143643x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点P 的坐标为（1464,33-）. 【点睛】本题是一次函数的综合题，综合考查了坐标系中两直线的垂直问题、两条直线的交点问题和求特殊角度下的直线解析式，并综合了勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟知坐标系中两直线垂直满足121k k =-，一次函数的交点与对应方程组的解的关系.其中，第（3）小题是本题的难点，寻找到点F （－2，8）是解题的突破口.26．（1）(0，3)；（2）DF OE =；（3）93233+【分析】（1）由等边三角形的性质得出6OB =，12AB AC BC ===，由勾股定理得出2263OA AB OB =-=A 的坐标；（2）由等边三角形的性质得出AD AE =，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=︒，证出FAD OAE ∠=∠，由SAS 证明FAD OAE ∆≅∆，即可得出DF OE =；（3）证出90AGO ∠=︒，求出9AG =，由全等三角形的性质得出AOE AFD ∠=∠，证出6090FDO AFD AOD ∠=∠+︒+∠=︒，由等边三角形的性质得12DG OF ==即可得出答案．【详解】解：（1）ABC ∆是等边三角形，点0()6,B -，点(6,0)C ，6OB ∴=，12AB AC BC ===，OA === ∴点A 的坐标为(0，；（2）DF OE =；理由如下：ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，AD AE ∴=，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=︒，FAD OAE ∴∠=∠，在FAD ∆和OAE ∆中，AF AO FAD OAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()FAD OAE SAS ∴∆≅∆，DF OE ∴=；（3）60AOF ∠=︒，30FOB ∴∠=︒，60ABO ∠=︒，90AGO ∴∠=︒，AFO ∆是等边三角形，AO =·sin 609AG OA ∴=︒==， FAD OAE ∆≅∆，AOE AFD ∴∠=∠，30DOE AOD AOE ∠=︒=∠+∠，30AOD AFD ∴∠+∠=︒，FDO AFD FAO AOD ∠=∠+∠+∠，60603090FDO AFD AOD ∴∠=∠+︒+∠=︒+︒=︒，AG OF ⊥，AOF ∆为等边三角形，G ∴为斜边OF 的中点，1122DG OF ∴==⨯= ADG ∴∆的周长9AG AD DG =++=+【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．27．（1）∠BGD ＝120°；（2）见解析；（3）S 四边形ABCD ＝263．【解析】【分析】（1）只要证明△DAE ≌△BDF ，推出∠ADE=∠DBF ，由∠EGB=∠GDB+∠GBD=∠GDB+∠ADE=60°，推出∠BGD=180°-∠BGE=120°；（2）如图3中，延长GE 到M ，使得GM=GB ，连接BD 、CG ．由△MBD ≌△GBC ，推出DM=GC ，∠M=∠CGB=60°，由CH ⊥BG ，推出∠GCH=30°，推出CG=2GH ，由CG=DM=DG+GM=DG+GB ，即可证明2GH=DG+GB ；（3）解直角三角形求出BC 即可解决问题；【详解】（1）解：如图1﹣1中，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB ，∵∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∴AB ＝DB ，∠A ＝∠FDB ＝60°，在△DAE 和△BDF 中，AD BD A BDF AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAE ≌△BDF ，∴∠ADE ＝∠DBF ，∵∠EGB ＝∠GDB+∠GBD ＝∠GDB+∠ADE ＝60°，∴∠BGD ＝180°﹣∠BGE ＝120°．（2）证明：如图1﹣2中，延长GE 到M ，使得GM ＝GB ，连接CG ．∵∠MGB ＝60°，GM ＝GB ，∴△GMB 是等边三角形，∴∠MBG ＝∠DBC ＝60°，∴∠MBD ＝∠GBC ，在△MBD 和△GBC 中，MB GB MBD GBC BD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MBD ≌△GBC ，∴DM ＝GC ，∠M ＝∠CGB ＝60°，∵CH ⊥BG ，∴∠GCH ＝30°，∴CG ＝2GH ，∵CG ＝DM ＝DG+GM ＝DG+GB ，∴2GH ＝DG+GB ．（3）如图1﹣2中，由（2）可知，在Rt △CGH 中，CH ＝3GCH ＝30°， ∴tan30°＝GH CH， ∴GH ＝4，∵BG ＝6，∴BH ＝2，在Rt △BCH 中，BC 22213BH CH +=∵△ABD ，△BDC 都是等边三角形，∴S 四边形ABCD ＝2•S △BCD ＝3×（2132＝3． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．28．（1）详见解析；（2）ⅰ）四边形AGBE 是平行四边形，证明详见解析；ⅱ）2221k k k +++. 【解析】【分析】（1）只要证明△BAE ≌△ACD ；（2）ⅰ）四边形AGBE 是平行四边形，只要证明BG=AE ，BG ∥AE 即可； ⅱ）求出四边形BGAE 的周长，△ABC 的周长即可；【详解】（1）证明：如图1中，∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAE ＝∠C ＝60°，∵AE ＝CD ，∴△BAE ≌△ACD ，∴∠ABE ＝∠CAD ．（2）ⅰ）如图2中，结论：四边形AGBE 是平行四边形．理由：∵△ADG ，△ABC 都是等边三角形，∴AG ＝AD ，AB ＝AC ，∴∠GAD ＝∠BAC ＝60°，∴△GAB ≌△DAC ，∴BG ＝CD ，∠ABG ＝∠C ，∵CD ＝AE ，∠C ＝∠BAE ，∴BG ＝AE ，∠ABG ＝∠BAE ，∴BG ∥AE ，∴四边形AGBE 是平行四边形，ⅱ）如图2中，作AH ⊥BC 于H ．∵BH＝CH＝1 (1) 2k+∴1113 1(1),3(1) 2222DH k k AH BH k =-+=-==+∴222AH DH k k1AD=+=++∴四边形BGAE的周长＝222k k1k+++,△ABC的周长＝3（k+1），∴四边形AGBE与△ABC的周长比＝2221 k k k+++【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．29．（1）46（2）（123+24+510）m2【分析】（1）由已知△ABC的三边a=4，b=5，c=7，可知这是一个一般的三角形，故选用海伦-奏九韶公式求解即可；（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接BD.将所求四边形的面积转化为三个三角形的面积的和进行计算．【详解】（1）解：△ABC的面积为S＝()()()()a b c a b c a c b b c a+++-+-+-＝(457)(457)(475)(574)+++-+-+-＝46故答案是：46；（2）解：如图：过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接BD（如图所示）在Rt△ADE中，∵∠A＝60°，∴∠ADE＝30°，∴AE＝12AD＝6∴BE＝AB﹣AE＝62﹣6＝2DE2222(46)(26)62AD AE-=-=∴BD2222BE DE(42)(62)226+=+=∴S△BCD＝1(57226)(57226)(22675)(22657)510 4+++-+-+-=∵S△ABD＝11(2642)6212324 22AB DE⋅=⨯+⨯=+∴S四边形ABCD＝S△BCD+S△ABD＝12324510++答：该块草地的面积为（12324510++）m2．【点睛】本题考查了勾股定理的应用和三角形面积的求解方法.此题难度不大，注意选择适当的求解方法是关键.30．（1）AB＝45；（2）见解析；（3）CD+CF的最小值为47.【分析】（1）根据勾股定理可求AB的长；（2）过点D作DF⊥AO，根据等腰三角形的性质可得OF＝EF，根据轴对称的性质等腰直角三角形的性质可得AF＝DF，设OF＝EF＝x，AE＝4﹣2x，根据勾股定理用参数x表示DE，CE的长，即可证CE＝2DE；（3）过点B作BM⊥OB，在BM上截取BM＝AO，过点C作CN⊥BM，交MB的延长线于点N，根据锐角三角函数可得∠ABO＝30°，根据轴对称的性质可得AC＝AO＝4，BO＝BC ＝43，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠OAB＝∠CAB＝60°，根据“SAS”可证△ACF≌△BMD，可得CF＝DM，则当点D在CM上时，CF+CD的值最小，根据直角三角形的性质可求CN，BN的长，根据勾股定理可求CM的长，即可得CF+CD的最小值．【详解】（1）∵点A（0，4），B（m，0），且m＝8，∴AO＝4，BO＝8，在Rt△ABO中，AB＝2245AO BO+=（2）如图，过点D作DF⊥AO，∵DE＝DO，DF⊥AO，∴EF＝FO，∵m＝4，∴AO＝BO＝4，∴∠ABO＝∠OAB＝45°，∵点C，O关于直线AB对称，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，AO＝AC＝OB＝BC＝4，∴∠CAO＝∠CBO＝90°，∵DF ⊥AO ，∠BAO ＝45°，∴∠DAF ＝∠ADF ＝45°，∴AF ＝DF ，设OF ＝EF ＝x ，AE ＝4﹣2x ，∴AF ＝DF ＝4﹣x ，在Rt △DEF 中，DE ＝()2222242816EF DF x x x x +=+-=-+ 在Rt △ACE 中，CE ＝()()2222164222816AC AE x x x +=+-=-+ ∴CE ＝2DE ，（3）如图，过点B 作BM ⊥OB ，在BM 上截取BM ＝AO ，过点C 作CN ⊥BM ，交MB 的延长线于点N ，∵m ＝3，∴OB ＝3∴tan ∠ABO ＝3343AO BO ==， ∴∠ABO ＝30°∵点C ，O 关于直线AB 对称，∴AC ＝AO ＝4，BO ＝BC ＝3，∠ABO ＝∠ABC ＝30°，∠OAB ＝∠CAB ＝60°， ∴∠CAF ＝120°，∠CBO ＝60°∵BM ⊥OB ，∠ABO ＝30°，∴∠ABM ＝120°，∴∠CAF ＝∠ABM ，且DB ＝AF ，BM ＝AO ＝AC ＝4，∴△ACF ≌△BMD （SAS ）∴CF ＝DM ，∵CF +CD ＝CD +DM ，∴当点D 在CM 上时，CF +CD 的值最小，即CF +CD 的最小值为CM 的长，∵∠CBO ＝60°，BM ⊥OB ，∴∠CBN ＝30°，且BM ⊥OB ，BC ＝3∴CN ＝3BN 3CN ＝6，∴MN＝BM+BN＝4+6＝10，在Rt△CMN中，CM=，∴CD+CF的最小值为.【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，最短路径问题等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．。

人教版八年级数学上学期第一次质量检测测试卷及答案一、选择题1．下列式子为最简二次根式的是（ ）ABCD2．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）ABCD3．在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＞3B ．x ＞－3C ．x≥－3D ．x≤－34．下列二次根式是最简二次根式的是( )ABCD5．）A ．－3B ．3或－3C ．9D ．36．下列运算中，正确的是( )A=B1= C=D= 7．下列运算正确的是（ ）A ．52223-=y yB ．428x x x ⋅=C ．（-a-b ）2=a 2-2ab+b 2 D=8．如果关于x 的不等式组0,2223x m x x -⎧>⎪⎪⎨-⎪-<-⎪⎩的解集为2x >则符合条件的所有整数m 的个数是（ ）．A ．5B ．4C ．3D ．2 9．若式子2(1)m -有意义，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ＞﹣2B ．m ＞﹣2且m ≠1C ．m ≥﹣2D ．m ≥﹣2且m ≠1 10．下列运算中正确的是（ ）A．= B()23=== C3=== D1==11．下面计算正确的是（ ）A ．3+3=33B ．273=3÷C ．2?3=5D ．()22=2--12．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A ．1-B ．4xC ．24a -D ．2a二、填空题13．若0a >，把4a b-化成最简二次根式为________． 14．已知实数,x y 满足()()22200820082008x x y y ----=，则2232332007x y x y -+--的值为______.15．（1）已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,化简()222144a a ab b +--+=_____________；（2）已知正整数p ，q 32016p q =()p q ，的个数是_______________； （3）△ABC 中,∠A=50°,高BE 、CF 所在的直线交于点O,∠BOC 的度数__________.16．(623÷=________________ . 17．x y 53xy 153，则x+y=_______．18．若0xy >，则二次根式2y x -________． 19．已知x ，y 为实数，y =229913x x x ---求5x +6y 的值________. 20．如果0xy >2xy -．三、解答题21．观察下列各式子，并回答下面问题．211-222-233-244-（1）试写出第n 个式子（用含n 的表达式表示），这个式子一定是二次根式吗？为什么？ （2）你估计第16个式子的值在哪两个相邻整数之间？试说明理由．【答案】（12n n -，该式子一定是二次根式，理由见解析；（224015和16之间．理由见解析．【分析】（1）依据规律可写出第n 个式子，然后判断被开方数的正负情况，从而可做出判断；（2）将16n =代入，得出第16，再判断即可．【详解】解：（1该式子一定是二次根式，因为n 为正整数，2(1)0n n n n -=-≥，所以该式子一定是二次根式（215=16=，∴1516<<.15和16之间．【点睛】本题考查的知识点是二次根式的定义以及估计无理数的大小，掌握用“逼近法”估算无理数的大小的方法是解此题的关键．22．小明在解决问题：已知2a 2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：∵=2 ∴a﹣2=∴（a ﹣2）2=3，a 2﹣4a+4=3∴a 2﹣4a=﹣1∴2a 2﹣8a+1=2（a 2﹣4a ）+1=2×（﹣1）+1=﹣1请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1（2）若，求4a 2﹣8a+1的值． 【答案】（1）9；（2）5．【解析】试题分析：（1）此式必须在把分母有理化后才能实现化简，即各分式分子分母同乘以一个因式，使得1===.(2)先对a 1 ，若就接着代入求解，计算量偏大．模仿小明做法，可先计算2(1)a - 的值，就能较为简单地算出结果；也可对这个二次三项式进行配方，再代入求值．后两种方法都比直接代入计算量小很多.解：（1）原式=1)+++⋯（2）∵1a ===，解法一：∵22(1)11)2a -=-= ，∴2212a a -+= ，即221a a -=∴原式=24(2)14115a a -+=⨯+=解法二∴ 原式=24(211)1a a -+-+24(1)3a =--211)3=--4235=⨯-=点睛：（1得22=-=-a b ，去掉根号，实现分母有理化.（2）当已知量为根式时，求这类二次三项式的值，直接代入求值，计算量偏大，若能巧妙利用完全平方公式或者配方法，计算要简便得多.23．计算：（1(041--；（2⎛- ⎝【答案】（1；（2）【解析】试题分析：根据二次根式的性质及分母有理化，化简二次根式，然后合并同类二次根式即可解答.试题解析：（1(041--（2⎛- ⎝-0-=24．观察下列等式：1==；==== 回答下列问题： （1（2）计算：【答案】（1（2）9【分析】（1）根据已知的3=-n=22代入即可求解；（2）先利用上题的规律将每一个分数化为两个二次根式的差的形式，再计算即可．【详解】解：（1= （2+99+=1100++-=1=10-1=9.25．（1）计算：（2）先化简，再求值：(()8a a a a +--，其中14a =．【答案】（1）2）82-a ，【分析】（1）分别根据二次根式的除法法则、二次根式的性质、二次根式的乘法法则计算和化简各项，再合并同类二次根式即可；（2）分别根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算各项，再把a 的值代入化简后的式子计算即可．【详解】（1）==；（2）(()8a a a a +--2228a a a =--+82a =-,当14a =时，原式1824⎫=⨯-=⎪⎭． 【点睛】本题考查了整式的乘法和二次根式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．26．计算（1+（2+-（3÷ （4）(【答案】（1）23）4；（4）7． 【分析】 （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（3）根据二次根式的乘除法则运算；（4）利用平方差公式计算；【详解】（1+22=+=；（2==；（3）2b ÷=4=；（4）( (22=- =7【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了平方差公式．27．计算下列各题（1）⎛÷ ⎝（2）2-【答案】(1)1;(2)．【分析】(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算即可；(2)利用完全平方公式和平方差公式展开，然后再进行合并即可.【详解】(1)原式=1；(2)原式+2)．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.28．计算（1（2）(()21-【答案】（1）2；（2）24+ 【分析】（1）先将各二次根式化为最简二次根式，再进行合并即可得到答案；（2）原式运用平方差公式和完全平方公式把括号展开后，再合并同类二次根式即可得到答案．【详解】解：（1=2+=(2-+=2（2）(()21-=22(181)---=452181--+=24+．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答此题的关键．29．计算：（1 ；（2）))213【答案】（1）2）1-.【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则可以算得答案．（2）结合整式的乘法公式和二次根式的运算法则计算．【详解】（1）原式==（2）原式=212---=1-.【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的意义、性质和运算法则是解题关键．30．已知长方形的长a =b =. (1)求长方形的周长；(2)求与长方形等面积的正方形的周长，并比较其与长方形周长的大小关系．【答案】（1）2）长方形的周长大.【解析】试题分析：（1）代入周长计算公式解决问题；（2）求得长方形的面积，开方得出正方形的边长，进一步求得周长比较即可． 试题解析：(1)()11222223a b ⎛+=⨯=⨯⨯⨯=⨯= ⎝∴长方形的周长为 .(2)11 4.23=⨯⨯=正方形的面积也为4. 2.=周长为：428.⨯=8.>∴长方形的周长大于正方形的周长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．【详解】AB|a|，可以化简，故不是最简二次根式；C==，可以化简，故不是最简二次根式；D2故选：A．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．2．C解析：C【分析】化简得到结果，即可做出判断．【详解】解：AB，不是最简二次根式；C是最简二次根式；D故选：C．【点睛】本题考查最简二次根式，熟练掌握二次根式的化简公式是解题关键．3．C解析：C【解析】分析：根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解.详解：根据题意得,x+3≥0,解得x≥-3.故选C.点睛：本题考查的知识点为:二次根式的被开方数是非负数，这也是解答本题的关键. 4．B解析：B【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．【详解】解：ABC0.1，故此选项错误；D故选：A．【点睛】此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．5．D解析：D【分析】根据二次根式的性质进行计算即可．【详解】|3|3=．故选：D．【点睛】(0)0(0)(0)a aa aa a＞＜⎧⎪===⎨⎪-⎩．6．C解析：C【分析】根据二次根式的加、减、乘、除运算法则对各项进行计算即可得到结果．【详解】不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误；不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误；=D=，故此选项错误；故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答此题的关键．7．D解析：D【分析】由合并同类项、同底数幂乘法、完全平方公式、以及二次根式的加减运算，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：A 、222523y y y -=，故A 错误；B 、426x x x ⋅=，故B 错误；C 、222()2a b a ab b --=++，故C 错误；D ==D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂乘法、完全平方公式、以及二次根式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．8．C解析：C【分析】先求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为2x >可得出m ≤2的值是整数，得出|m|=3或2，于是m=-3，3，-2或2，由m ≤2，得m=-3，-2或2．【详解】 解：解不等式02x m ->得x ＞m ， 解不等式223x x --<-得x ＞2， ∵不等式组解集为x ＞2，∴m ≤2，则|m|=3或2，∴m=-3，3，2或-2，由m ≤2得，m=-3，-2或2．即符合条件的所有整数m 的个数是3个．故选：C ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及二次根式的性质，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键．9．D解析：D【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．【详解】由题意可知：2010m m +≥⎧⎨-≠⎩，∴m≥﹣2且m≠1，故选D．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式的条件.10．B解析：B【分析】根据二次根式的乘除法则求出每个式子的值，再判断即可．【详解】=⨯=＝42，故本选项不符合题意；解: A. 67===，故本选项，符合题意；===，故本选项不符合题意；D. ==3，故本选项不符合题意；故选B．【点睛】本题考查二次根式的性质和二次根式的乘除法则，能灵活运用二次根式的乘除法则进行计算是解题关键．11．B解析：B【分析】根据二次根式的混合运算方法，分别进行运算即可．【详解】解：A A选项错误；B==＝3，故B选项正确；C==C选项错误；D．2-==，故D选项错误；(2)2故选B．【点睛】考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．12．D解析：D根据二次根式的意义,如果一定是二次根式,则不论字母取何值,被开方数一定是非负数,逐一判断即可得．【详解】解:A,不是二次根式；B x＜0时无意义,不一定是二次根式；C在-2＜a＜2时,无意义,不一定是二次根式；D a2≥0,一定是二次根式；故选：D．【点睛】本题主要考查二次根式的定义,一般地,a≥0）的式子叫做二次根式．二、填空题13．【分析】先判断b的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可.【详解】解：∵∴∴所以答案是：【点睛】本题考查了二次根式的性质.解析：【分析】先判断b的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可.【详解】解：∵40,0 aab-≥>∴0b<2a bb b b=--所以答案是：【点睛】a=.【分析】设a=，b=，得出x，y及a，b的关系，再代入代数式求值．【详解】解：设a=，b=，则x2−a2=y2−b2=2008，∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……解析：1【分析】设x，y及a，b的关系，再代入代数式求值．【详解】解：设x2−a2=y2−b2=2008，∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……①∵(x−a)(y−b)=2008……②∴由①②得：x+a=y−b，x−a=y+b∴x=y，a+b=0，∴，∴x2=y2=2008，∴3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007=3×2008−2×2008+3(x−y)−2007=2008+3×0−2007=1.故答案为1.【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是求出x，y及a，b的关系. 15．（1）2a－2b＋1；（2）3；（3）130°或50°.【解析】（1）∵-1<a<0,b>1,∴＝|a+1|-|a-2b|=1+a-2b+a=2a-2b+1.(2)∵，∴，p=20解析：（1）2a－2b＋1；（2）3；（3）130°或50°.【解析】（1）∵-1<a<0,b>1,＝|a+1|-|a-2b|=1+a-2b+a=2a-2b+1. (2)∵32016p q +=， ∴20163p q =-，p=2016-62016+9q,∴p=14x 3(其中x 为正整数)，同理可得：q=14y 2（其中y 为正整数）,则x+3y=12(x 、y 为正整数)∴963,,123x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩, ∴整数对有（p,q ）=(14⨯81,141⨯),或（1436,144)⨯⨯ ,或（149,149⨯⨯）。

一、选择题1．在ABC 中，AB 边上的中线3,6,8CD AB BC AC ==+=，则ABC 的面积为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．92．如图：在△ABC 中，∠B=45°，D 是AB 边上一点，连接CD ，过A 作AF ⊥CD 交CD 于G ，交BC 于点F ．已知AC=CD ，CG=3，DG=1，则下列结论正确的是（ ）①∠ACD=2∠FAB ②27ACD S ∆= ③272CF=- ④ AC=AF A ．①②③ B ．①②③④ C ．②③④ D ．①③④3．已知：△ABC 中，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，BQ ＝AC ，点F 在CE 的延长线上，CF ＝AB ，下列结论错误的是（ ）．A ．AF ⊥AQB ．AF=AQC ．AF=AD D ．F BAQ ∠=∠4．如图，长方体的长为15cm ，宽为10cm ，高为20cm ，点B 离点C5cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B 去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）cm ．A ．25B ．20C ．24D ．55．如图，等边ABC ∆的边长为1cm ，D ，E 分别是AB ，AC 上的两点，将ADE ∆沿直线DE 折叠，点A 落在点'A 处，且点'A 在ABC ∆外部，则阴影部分图形的周长为（ ）A ．1cmB ．1.5cmC ．2cmD ．3cm6．如果正整数a 、b 、c 满足等式222+=a b c ，那么正整数a 、b 、c 叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x y +的值为（ ）A ．47B ．62C ．79D ．987．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若2)21a b +=（，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a ，较长直角边为b ，那么2a b （）+的值为（ ）A ．13B ．19C ．25D ．169 9．已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长( )A ．4B ．16C 34D ．43410．在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则点C 到AB 的距离是（ ）A ．34B ．35C ．45D ．125二、填空题11．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90o ，AC ＝12，BC ＝5，D 是AB 边上的动点，E 是AC 边上的动点，则BE ＋ED 的最小值为 ．12．如图，这是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为 1S ，2S ，3S ，若123144S S S ++=，则2S 的值是__________．13．如图，ACB △和ECD 都是等腰直角三角形，CA CB =，CE CD =，ABC 的顶点A 在ECD 的斜边上．若3AE =，7AD =，则AC 的长为_________14．如图，四边形ABDC 中，∠ABD ＝120°，AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，AB ＝4，CD ＝43，则该四边形的面积是______．15．如图，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的下底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的C 点处的食物，需要爬行的最短路程是___________________（π的值取3）．的周长为_______________．16．在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则ABC17．如图是由边长为1的小正方形组成的网格图，线段AB，BC，BD，DE的端点均在格点上，线段AB和DE交于点F，则DF的长度为_____．18．如图所示，四边形ABCD是长方形，把△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，若AD＝4，DC＝3，求BE的长．19．如图，把平面内一条数轴x绕点O逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：已知点P是平面斜坐标系中任意一点，过点P作y轴的平行线交x轴于点A，过点P作x轴的平行线交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对（a，b）为点P的斜坐标．在平面斜坐标系中，若θ＝45°，点P的斜坐标为（1，22），点G的斜坐标为（7，﹣22），连接PG，则线段PG的长度是_____．20．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，底边BC上的高AD＝6cm，腰AC上的高BE＝4m，则△ABC的面积为_____cm2．三、解答题21．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，其中AB ＝AC ，AD ＝AE ，且∠BAC ＝∠DAE ． （1）如图①，连接BE 、CD ，求证：BE ＝CD ；（2）如图②，连接BE 、CD ，若∠BAC ＝∠DAE ＝60°，CD ⊥AE ，AD ＝3，CD ＝4，求BD 的长；（3）如图③，若∠BAC ＝∠DAE ＝90°，且C 点恰好落在DE 上，试探究CD 2、CE 2和BC 2之间的数量关系，并加以说明．22．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=10，E 为CD 边上一点，将△ADE 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．（1）求BF 的长；（2）求CE 的长．23．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 上一动点、连接AD ，过点A 作AE AD ⊥，并且始终保持AE AD =，连接CE ，（1）求证：ABD ACE ≅；（2）若AF 平分DAE ∠交BC 于F ，①探究线段BD ，DF ，FC 之间的数量关系，并证明；②若3BD =，4CF =，求AD 的长，24．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，点D 在边AB 上，点E 在边AC 的左侧，连接AE ．（1）求证：AE ＝BD ；（2）试探究线段AD 、BD 与CD 之间的数量关系；（3）过点C 作CF ⊥DE 交AB 于点F ，若BD ：AF ＝1：22，CD ＝36+，求线段AB 的长．25．如图，ABC ∆是等边三角形，,D E 为AC 上两点，且AE CD =，延长BC 至点F ，使CF CD =，连接BD ．（1）如图1，当,D E 两点重合时，求证：BD DF =；（2）延长BD 与EF 交于点G ．①如图2，求证：60BGE ∠=︒；②如图3，连接,BE CG ，若30,4EBD BG ∠=︒=，则BCG ∆的面积为______________．26．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2BC AC =.(1)如图1，点D 在边BC 上，1CD =，5AD =，求ABD ∆的面积.(2)如图2，点F 在边AC 上，过点B 作BE BC ⊥，BE BC =，连结EF 交BC 于点M ，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连结BG .求证：2EG BG CG =+.27．（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 平分ACB ∠. 求证：CA AD BC +=.小明为解决上面的问题作了如下思考：作ADC ∆关于直线CD 的对称图形A DC '∆，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可.请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.28．我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图2)，其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题:(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述);(2)证明勾股定理;(3)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求()2a b +的值.29．问题情境：综合实践活动课上，同学们围绕“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题问题解决：图（1）、图（2）都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，操作发现，启航小组同学在图（1）中画出△ABC ，其顶点A ，B ，C 都在格点上，同时构造长方形CDEF ，使它的顶点都在格点上，且它的边EF 经过点A ，ED 经过点B ．同学们借助此图求出了△ABC 的面积．（1）在图（1）中，△ABC 的三边长分别是AB ＝ ，BC ＝ ，AC ＝ ．△ABC 的面积是 ．（2）已知△PMN 中，PM ＝17，MN ＝25，NP ＝13．请你根据启航小组的思路，在图（2）中画出△PMN ，并直接写出△RMN 的面积 ．30．已知ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上一动点，连结AD()1如图1，若2BD =，4DC =，求AD 的长；()2如图2，以AD 为边作60ADE ADF ∠=∠=，分别交AB ，AC 于点E ，F ． ①小明通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有AE AF =，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法想法1：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．想法2：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造ADF 的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．请你参考上面的想法，帮助小明证明.(AE AF =一种方法即可)②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF 的面积与AD 长存在很好的关系.若用S 表示四边形AEDF 的面积，x 表示AD 的长，请你直接写出S 与x 之间的关系式．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】本题考查三角形的中线定义，根据条件先确定ABC 为直角三角形，再根据勾股定理求得228AC BC = ，最后根据12ABC AC BC ∆=⋅求解即可. 【详解】 解：如图，在ABC 中，AB 边上的中线，∵CD=3，AB= 6，∴CD=3，AB= 6，∴CD= AD= DB ，12∠∠∴=，34∠=∠ ，∵1234180∠+∠+∠+∠=︒，∴1390∠+∠=︒，∴ABC 是直角三角形，∴22236AC BC AB +==，又∵8AC BC +=，∴22264AC AC BC BC +⋅+=，∴22264()643628AC BC AC BC ⋅=-+=-=，又∵12ABC AC BC ∆=⋅，∴128722ABC S ∆=⨯=， 故选B.【点睛】本题考查三角形中位线的应用，熟练运用三角形的中线定义以及综合分析、解答问题的能力，关键要懂得：在一个三角形中，如果获知一条边上的中线等于这一边的一半，那么就可考虑它是一个直角三角形，通过等腰三角形的性质和内角和定理来证明一个三是直角三角形.2．B解析：B【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，根据等腰三角形的性质得到1802ACD CDA ∠=︒-∠，根据AF CD ⊥得到90FAB CDA ∠=︒-∠，可以证得①是正确的，利用勾股定理求出AG 的长，算出三角形ACD 的面积证明②是正确的，再根据角度之间的关系证明AFC ACF ∠=∠，得到④是正确的，最后利用勾股定理求出CF 的长，得到③是正确的．【详解】解：如图，过点C 作CH AB ⊥于点H ，∵AC CD =，∴CAD CDA ∠=∠，1802ACD CDA ∠=︒-∠，∵AF CD ⊥，∴90AGD ∠=︒，∴90FAB CDA ∠=︒-∠，∴2ACD FAB ∠=∠，故①正确；∵3CG =，1DG =，∴314CD CG DG =+=+=，∴4AC CD ==，在Rt ACG 中，221697AG AC CG =--=，∴1272ACD S AG CD =⋅=，故②正确； ∵90CHB ∠=︒，45B ∠=︒，∴45HCB ∠=︒，∵AC CD =，CH AD ⊥，∴12ACH HCD ACD ∠=∠=∠， ∵45AFC B FAB FAB ∠=∠+∠=︒+∠，45ACF ACH HCB ACH ∠=∠+∠=∠+︒，12ACH ACD FAB ∠=∠=∠， ∴AFC ACF ∠=∠，∴4AC AF ==，故④正确；∴47GF AF AG =-=-，在Rt CGF 中，()2222347272CF CG GF =+=+-=-，故③正确．故选：B ．【点睛】本题考查几何的综合证明，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定，勾股定理和三角形的外角和定理． 3．C解析：C【分析】根据BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，推导出EBH DCH ∠=∠；再结合题意，可证明FAC AQB △≌△，由此可得F BAQ ∠=∠,AF AQ =；再经90AEF ∠=得90F FAE ∠+∠=，从而证明AF ⊥AQ ；最后由勾股定理得222AQ AD QD =+，从而得到AF AD ≠，即可得到答案．【详解】如图，CE 和BD 相较于H∵BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高∴CE AB ⊥,BD AC ⊥∴90BEC BDC AEF ADQ ∠=∠=∠=∠=∴90EBH EHB DHC DCH ∠+∠=∠+∠=∵EHB DHC ∠=∠∴EBH DCH ∠=∠又∵BQ ＝AC 且CF ＝AB∴FAC AQB △≌△∴F BAQ ∠=∠,AF AQ =，故B 、D 结论正确；∵90AEF ∠=∴90F FAE ∠+∠=∴90BAQ FAE F FAE ∠+∠=∠+∠=∴AF ⊥AQ 故A 结论正确；∵90ADQ ∠=∴222AQ AD QD =+∵0QD ≠∴AQ AD ≠∴AF AD ≠故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形、直角三角形、勾股定理、三角形的高等知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、直角三角形、勾股定理、三角形的高的性质，从而完成求解． 4．A解析：A【分析】分三种情况讨论：把左侧面展开到水平面上，连结AB ；把右侧面展开到正面上，连结AB ，；把向上的面展开到正面上，连结AB ；然后利用勾股定理分别计算各情况下的AB ，再进行大小比较．【详解】把左侧面展开到水平面上，连结AB ，如图1()2210205925537AB =++==把右侧面展开到正面上，连结AB ，如图2()()222010562525AB =++== 把向上的面展开到正面上，连结AB ，如图3()()2210205725529AB =++==925725625>>∴53752925>>∴需要爬行的最短距离为25cm故选：A ．【点睛】本题考查了平面展开及其最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．5．D解析：D【分析】根据折叠的性质可得AD=A'D ，AE=A'E ，易得阴影部分图形的周长为=AB+BC+AC ，则可求得答案．【详解】解：因为等边三角形ABC 的边长为1cm ，所以AB=BC=AC=1cm ，因为△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点A'处，所以AD=A'D ，AE=A'E ，所以阴影部分图形的周长=BD+A'D+BC+A'E+EC=BD+AD+BC+AE+EC=AB+BC+AC =1+1+1=3（cm ）．故选：D ．【点睛】此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用以及折叠前后图形的对应关系．6．C解析：C【分析】依据每列数的规律，即可得到2221,,1a n b n c n =-==+，进而得出x y +的值. 【详解】解：由题可得：222321,42,521=-==+…… 2221,,1a n b n c n ∴=-==+当21658c n n =+==时，63,16x y ∴==79x y ∴+=故选C【点睛】本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键.7．C解析：C【详解】如图所示，∵（a+b ）2=21∴a 2+2ab+b 2=21，∵大正方形的面积为13，2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面积为13﹣8=5．故选C ．考点：勾股定理的证明．8．C解析：C【解析】试题分析：根据题意得：222c a b =+=13，4×12ab=13﹣1=12，即2ab=12，则2()a b +=222a ab b ++=13+12=25，故选C ．考点：勾股定理的证明；数学建模思想；构造法；等腰三角形与直角三角形．9．D解析：D【解析】试题解析：当3和5当5是斜边长时，第三边长为：2253-=4．故选D ．10．D解析：D【解析】在Rt △ABC 中 ∠C=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理求得AB=5，设点C 到AB 的距离为h ，即可得12h×AB=12AC×BC ，即12h×5=12×3×4，解得h=125，故选D. 二、填空题11．【解析】试题分析：作点B 关于AC 的对称点B′，过B′点作B′D ⊥AB 于D ，交AC 于E ，连接AB′、BE ，则BE+ED=B′E+ED=B′D 的值最小．∵点B 关于AC 的对称点是B′，BC=5，∴B′C=5，BB′=10．∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，∴22AC BC +，∵S △ABB′=12•AB•B′D=12•BB′•AC ，∴B′D=B 10121201313B AC AB '⋅⨯==,∴BE+ED= B ′D=12013. 考点：轴对称-最短路线问题.12．48【分析】用a 和b 表示直角三角形的两个直角边，然后根据勾股定理列出正方形面积的式子，求出2S 的面积．【详解】解：本图是由八个全等的直角三角形拼成的，设这个直角三角形两个直角边中较长的长度为a ，较短的长度为b ，即图中的AE a =，AH b =，则()221S AB a b ==+，2222S HE a b ==+，()223S TM a b ==-， ∵123144S S S ++=，∴()()2222144a b a b a b ++++-=22222222144a b ab a b a b ab ++++++-=2233144a b +=2248a b +=，∴248S =．故答案是：48．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是要熟悉赵爽弦图中勾股定理的应用．13．5【分析】由题意可知，AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠DCE ＝∠ACB ＝90°，∠D ＝∠E ＝45°，求出∠ACE ＝∠BCD 可证△ACE ≌△BCD ，可得AE ＝BD ＝3，∠ADB ＝90°，由勾股定理求出AB 即可得到AC 的长．【详解】解：如图所示，连接BD ，∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠DCE ＝∠ACB ＝90°，∠D ＝∠E ＝45°，且∠ACE ＝∠BCD ＝90°-∠ACD ，在ACE 和BCD 中，AC=BC ACE=BCD CE=CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ACE ≌△BCD （SAS ），∴AE ＝BD 3E ＝∠BDC ＝45°， ∴∠ADB ＝∠ADC+∠BDC ＝45°+45°＝90°， ∴AB 22AD +BD =7+3=10，∵AB=2BC ，∴BC ＝2AB=525【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．14．163． 【分析】 延长CA 、DB 交于点E ，则60C ∠=°，30E ∠=︒，在Rt ABE ∆中，利用含30角的直角三角形的性质求出28BE AB ==，根据勾股定理求出43AE =．同理，在Rt DEC ∆中求出283CE CD ==，2212DE CE CD =-=，然后根据CDE ABE ABDC S S S ∆∆=-四边形，计算即可求解．【详解】解：如图，延长CA 、DB 交于点E ，∵四边形ABDC 中，120ABD ∠=︒，AB AC ⊥，BD CD ⊥，∴60C ∠=°，∴30E ∠=︒，在Rt ABE ∆中，4AB =，30E ∠=︒，∴28BE AB ==，2243AE BE AB ∴=-=．在Rt DEC ∆中，30E ∠=︒，43CD =，283CE CD ∴==，2212DE CE CD ∴=-=，∴1443832ABE S ∆=⨯⨯=， 143122432CDE S ∆=⨯⨯=， 24383=163CDE ABE ABDC S S S ∆∆∴=-=-四边形．故答案为：163．【点睛】本题考查了勾股定理，含30角的直角三角形的性质，图形的面积，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．15．15厘米【分析】要想求得最短路程，首先要画出圆柱的侧面展开图，把A 和C 展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短，结合勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程．【详解】解：如图，展开圆柱的半个侧面是矩形，π=厘米，矩形的宽BC=12厘米．∴矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即AB=39∴蚂蚁需要爬行最短路程2222=+=+=厘米．12915AC BC AB故答案为：15厘米【点睛】求两个不在同一平面内的两点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内，根据两点之间，线段最短．16．32或42【分析】根据题意画出图形，分两种情况：△ABC是钝角三角形或锐角三角形，分别求出边BC，即可得到答案【详解】当△ABC是钝角三角形时，∵∠D=90°，AC=13，AD=12，∴2222=-=-=,CD AC AD13125∵∠D=90°，AB=15，AD=12，∴2222BD AB AD=-=-=,15129∴BC=BD-CD=9-5=4，∴△ABC的周长=4+15+13=32；当△ABC是锐角三角形时，∵∠ADC=90°，AC=13，AD=12，∴2222-=-=，CD AC AD13125∵∠ADB=90°，AB=15，AD=12，∴222215129BD AB AD =-=-=，∴BC=BD-CD=9+5=14，∴△ABC 的周长=14+15+13=42；综上，△ABC 的周长是32或42，故答案为：32或42.【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，能依据题意正确画出图形分类讨论是解题的关键. 17．2 【分析】连接AD 、CD ，由勾股定理得：22435AB DE ==+=，224225BD =+=，22125CD AD ==+=，得出AB ＝DE ＝BC ，222BD AD AB +=，由此可得△ABD 为直角三角形，同理可得△BCD 为直角三角用形，继而得出A 、D 、C 三点共线.再证明△ABC ≌△DEB ，得出∠BAC ＝∠EDB ，得出DF ⊥AB ，BD 平分∠ABC ，再由角平分线的性得出DF ＝DG ＝2即可的解.【详解】连接AD 、CD ，如图所示：由勾股定理可得，22435AB DE ==+=，224225BD =+=22125CD AD ==+， ∵BE=BC=5，∴AB=DE ＝AB ＝BC ，222BD AD AB +=，∴△ABD 是直角三角形，∠ADB ＝90°，同理可得：△BCD 是直角三角形，∠BDC ＝90°，∴∠ADC ＝180°，∴点A 、D 、C 三点共线，∴2AC AD BD ===，在△ABC 和△DEB 中，AB DE BC EB AC BD =⎧⎪⎨⎪=⎩＝，∴△ABC ≌△DEB(SSS)，∴∠BAC ＝∠EDB ，∵∠EDB+∠ADF ＝90°，∴∠BAD+∠ADF ＝90°，∴∠BFD ＝90°，∴DF ⊥AB ，∵AB=BC ，BD ⊥AC ，∴BD 平分∠ABC ，∵DG ⊥BC ，∴DF ＝DG ＝2.【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定以及勾股定理的相关知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理和过股定理的逆定理.18．78【解析】 试题分析：根据矩形性质得AB=DC=6，BC=AD=8，AD ∥BC ，∠B=90°，再根据折叠性质得∠DAC=∠D′AC ，而∠DAC=∠ACB ，则∠D′AC=∠ACB ，所以AE=EC ，设BE=x ，则EC=4-x ，AE=4-x ，然后在Rt △ABE 中利用勾股定理可计算出BE 的长即可．试题解析：∵四边形ABCD 为矩形，∴AB=DC=3，BC=AD=4，AD∥BC，∠B=90°，∵△A CD 沿AC 折叠到△ACD′，AD′与BC 交于点E ，∴∠DAC=∠D′AC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠D′AC=∠ACB，∴AE=EC，设BE=x ，则EC=4﹣x ，AE=4﹣x ，在Rt△ABE 中，∵AB 2+BE 2=AE 2，∴32+x 2=（4﹣x ）2，解得x=78， 即BE 的长为78． 19．【分析】如图，作PA ∥y 轴交X 轴于A ，PH ⊥x 轴于H ．GM ∥y 轴交x 轴于M ，连接PG 交x 轴于N ，先证明△ANP ≌△MNG （AAS ），再根据勾股定理求出PN 的值，即可得到线段PG 的长度．【详解】如图，作PA ∥y 轴交X 轴于A ，PH ⊥x 轴于H ．GM ∥y 轴交x 轴于M ，连接PG 交x 轴于N．∵P（1，2），G（7．﹣2），∴OA＝1，PA＝GM＝2，OM＝7，AM＝6，∵PA∥GM，∴∠PAN＝∠GMN，∵∠ANP＝∠MNG，∴△ANP≌△MNG（AAS），∴AN＝MN＝3，PN＝NG，∵∠PAH＝45°，∴PH＝AH＝2，∴HN＝1，∴2222215PN PH NH=+=+=∴PG＝2PN＝5．故答案为5【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键．20．2【分析】根据三角形等面积法求出32ACBC=，在Rt△ACD中根据勾股定理得出AC2=14BC2+36，依据这两个式子求出AC、BC的值.【详解】∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，∴12AC•BE＝12BC•AD，∵AD＝6，BE＝4，∴AC BC ＝32， ∴22AC BC ＝94， ∵AB＝AC ，AD⊥BC，∴BD＝DC ＝12BC ， ∵AC 2﹣CD 2＝AD 2，∴AC 2＝14BC 2+36， ∴221364BC BC +＝94， 整理得，BC 2＝3648⨯， 解得：BC＝∴△ABC 的面积为12×cm 2故答案为：【点睛】本题考查了三角形的等面积法以及勾股定理的应用，找出AC 与BC 的数量关系是解答此题的关键．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）5；（3）CD 2+CE 2＝BC 2，证明见解析．【分析】（1）先判断出∠BAE=∠CAD ，进而得出△ACD ≌△ABE ，即可得出结论．（2）先求出∠CDA=12∠ADE=30°，进而求出∠BED=90°，最后用勾股定理即可得出结论． （3）方法1、同（2）的方法即可得出结论；方法2、先判断出CD 2+CE 2=2（AP 2+CP 2），再判断出CD 2+CE 2=2AC 2．即可得出结论．【详解】解：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC +∠CAE ＝∠DAE +∠CAE ，即∠BAE ＝∠CAD ．又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ACD ≌△ABE （SAS ），∴CD ＝BE ．（2）如图2，连结BE ，∵AD ＝AE ，∠DAE ＝60°，∴△ADE 是等边三角形，∴DE ＝AD ＝3，∠ADE ＝∠AED ＝60°，∵CD ⊥AE ，∴∠CDA ＝12∠ADE ＝12×60°＝30°， ∵由（1）得△ACD ≌△ABE ，∴BE ＝CD ＝4，∠BEA ＝∠CDA ＝30°，∴∠BED ＝∠BEA +∠AED ＝30°+60°＝90°，即BE ⊥DE ，∴BD ＝22BE DE +＝2234+＝5．（3）CD 2、CE 2、BC 2之间的数量关系为：CD 2+CE 2＝BC 2，理由如下：解法一：如图3，连结BE ．∵AD ＝AE ，∠DAE ＝90°，∴∠D ＝∠AED ＝45°，∵由（1）得△ACD ≌△ABE ，∴BE ＝CD ，∠BEA ＝∠CDA ＝45°，∴∠BEC ＝∠BEA +∠AED ＝45°+45°＝90°，即BE ⊥DE ，在Rt △BEC 中，由勾股定理可知：BC 2＝BE 2+CE 2．∴BC 2＝CD 2+CE 2．解法二：如图4，过点A 作AP ⊥DE 于点P ．∵△ADE 为等腰直角三角形，AP ⊥DE ，∴AP ＝EP ＝DP ．∵CD 2＝（CP +PD ）2＝（CP +AP ）2＝CP 2+2CP •AP +AP 2，CE 2＝（EP ﹣CP ）2＝（AP ﹣CP ）2＝AP 2﹣2AP •CP +CP 2，∴CD 2+CE 2＝2AP 2+2CP 2＝2（AP 2+CP 2），∵在Rt △APC 中，由勾股定理可知：AC 2＝AP 2+CP 2，∴CD 2+CE 2＝2AC 2．∵△ABC 为等腰直角三角形，由勾股定理可知：∴AB 2+AC 2＝BC 2，即2AC 2＝BC 2，∴CD 2+CE 2＝BC 2．【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出∠BAE=∠CAD，解（2）（3）的关键是判断出BE⊥DE，是一道中等难度的中考常考题．22．（1）BF长为6；（2）CE长为3，详细过程见解析．【分析】（1）由矩形的性质及翻折可知，∠B=90°，AF=AD=10，且AB=8，在Rt△ABF中，可由勾股定理求出BF的长；（2）设CE=x，根据翻折可知，EF=DE=8-x，由（1）可知BF=6，则CF=4，在Rt△CEF中，可由勾股定理求出CE的长．【详解】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=90°，且AD=BC=10，又∵AFE是由ADE沿AE翻折得到的，∴AF=AD=10，又∵AB=8，在Rt△ABF中，由勾股定理得：2222BF=AF-AB=10-8=6，故BF的长为6．（2）设CE=x ，∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x，又∵△AFE是由△ADE沿AE翻折得到的，∴FE=DE=8-x，由（1）知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4，CF+CE=EF，在Rt△CEF中，由勾股定理得：222∴2224+x=(8-x)，解得：x=3，故CE的长为3．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，利用勾股定理求解是本题的关键．23．（1）见详解（2）①结论：222BD FC DF +=，证明见详解②35【分析】（1）根据SAS ，只要证明BAD CAE ∠=∠即可解决问题；（2）①结论：222BD FC DF +=．连接EF ，进一步证明90ECF ∠=︒，DF EF =，再利用勾股定理即可得证；②过点A 作AG BC ⊥于点G ，在Rt ADG 中求出AG 、DG 即可求解．【详解】解：（1）∵AE AD ⊥∴90DAC CAE ∠+∠=︒∵90BAC ∠=︒∴90DAC BAD ∠+∠=︒∴BAD CAE ∠=∠∴在ABD △和ACE △中 AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD △≌ACE △()SAS（2）①结论：222BD FC DF +=证明：连接EF ，如图：∵ABD △≌ACE △∴B ACE ∠=∠，BD CE =∴90ECF BCA ACE BCA B ∠=∠+∠=∠+∠=︒∴222FC CE EF +=∴222FC BD EF +=∵AF 平分DAE ∠∴DAF EAF ∠=∠∴在DAF △和EAF △中AD AE DAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DAF △≌EAF △()SAS∴DF EF =∴222FC BD DF +=即222BD FC DF +=②过点A 作AG BC ⊥于点G ，如图：∵由①可知222223425DF BD FC =+=+=∴5DF =∴35412BC BD DF FC =++=++=∵AB AC =，AG BC ⊥ ∴1112622BG AG BC ===⨯= ∴633DG BG BD =-=-=∴在Rt ADG 中，22223635AD DG AG =+=+=故答案是：（1）见详解（2）①结论：222BD FC DF +=，证明见详解②35【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质以及角平分线的性质．综合性较强，属中档题，学会灵活应用相关知识点进行推理证明．24．（1）见解析；（2）BD 2+AD 2＝2CD 2；（3）AB ＝2+4．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明△ACE ≌△BCD 即可得到结论；（2）利用全等三角形的性质及勾股定理即可证得结论；（3）连接EF ，设BD ＝x ，利用（1）、（2）求出EF=3x ，再利用勾股定理求出x ，即可得到答案.【详解】（1）证明：∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形∴AC ＝BC ，EC ＝DC ，∠ACB ＝∠ECD ＝90°∴∠ACB ﹣∠ACD ＝∠ECD ﹣∠ACD∴∠ACE ＝∠BCD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ），∴AE ＝BD ．（2）解：由（1）得△ACE ≌△BCD ，∴∠CAE ＝∠CBD ，又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝∠CBA ＝∠CAE ＝45°，∴∠EAD ＝90°，在Rt △ADE 中，AE 2+AD 2＝ED 2，且AE ＝BD ，∴BD 2+AD 2＝ED 2，∵ED ＝2CD ，∴BD 2+AD 2＝2CD 2，（3）解：连接EF ，设BD ＝x ，∵BD ：AF ＝1：2AF ＝2x ，∵△ECD 都是等腰直角三角形，CF ⊥DE ，∴DF ＝EF ，由 （1）、（2）可得，在Rt △FAE 中，EF 22AF AE +22(22)x x +3x ， ∵AE 2+AD 2＝2CD 2，∴222(223)2(36)x x x ++=，解得x ＝1，∴AB ＝2+4．【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理.25．（1）见解析；（2）①见解析；②2．【分析】（1）当D 、E 两点重合时，则AD=CD ，然后由等边三角形的性质可得∠CBD 的度数，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得∠F 的度数，于是可得∠CBD 与∠F 的关系，进而可得结论；（2）①过点E 作EH ∥BC 交AB 于点H ，连接BE ，如图4，则易得△AHE 是等边三角形，根据等边三角形的性质和已知条件可得EH=CF ，∠BHE =∠ECF =120°，BH =EC ，于是可根据SAS 证明△BHE ≌△ECF ，可得∠EBH =∠FEC ，易证△BAE ≌△BCD ，可得∠ABE =∠CBD ，从而有∠FEC =∠CBD ，然后根据三角形的内角和定理可得∠BGE =∠BCD ，进而可得结论； ②易得∠BEG =90°，于是可知△BEF 是等腰直角三角形，由30°角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质易求得BE 和BF 的长，过点E 作EM ⊥BF 于点F ，过点C 作CN ⊥EF 于点N ，如图5，则△BEM 、△EMF 和△CFN 都是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质可依次求出BM 、MC 、CF 、FN 、CN 、GN 的长，进而可得△GCN 也是等腰直角三角形，于是有∠BCG =90°，故所求的△BCG 的面积=12BC CG ⋅，而BC 和CG 可得，问题即得解决． 【详解】 解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠ACB =60°，当D 、E 两点重合时，则AD=CD ，∴1302DBC ABC ∠=∠=︒， ∵CF CD =，∴∠F =∠CDF ， ∵∠F +∠CDF =∠ACB =60°，∴∠F =30°，∴∠CBD =∠F ，∴BD DF =；（2）①∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠ACB =60°，AB=AC ，过点E 作EH ∥BC 交AB 于点H ，连接BE ，如图4，则∠AHE =∠ABC =60°，∠AEH =∠ACB =60°，∴△AHE 是等边三角形，∴AH=AE=HE ，∴BH =EC ，∵AE CD =，CD=CF ，∴EH=CF ，又∵∠BHE =∠ECF =120°，∴△BHE ≌△ECF （SAS ），∴∠EBH =∠FEC ，EB=EF ，∵BA=BC ，∠A =∠ACB =60°，AE=CD ，∴△BAE ≌△BCD （SAS ），∴∠ABE =∠CBD ，∴∠FEC =∠CBD ，∵∠EDG =∠BDC ，∴∠BGE =∠BCD =60°；②∵∠BGE =60°，∠EBD =30°，∴∠BEG =90°，∵EB=EF ，∴∠F =∠EBF =45°，∵∠EBG =30°，BG =4，∴EG =2，BE 3∴BF 226BE =232GF =，过点E 作EM ⊥BF 于点F ，过点C 作CN ⊥EF 于点N ，如图5，则△BEM 、△EMF 和△CFN 都是等腰直角三角形，∴6BM ME MF ===∵∠ACB =60°，∴∠MEC =30°，∴2MC =， ∴62BC =+，266262CF =--=-， ∴()262312CN FN ==⨯-=-，∴()2323131GN GF FN CN =-=---=-=， ∴45GCN CGN ∠=∠=︒，∴∠GCF =90°=∠GCB ， ∴62CG CF ==-，∴△BCG 的面积=()()116262222BC CG ⋅=+-=． 故答案为：2．【点睛】本题考查了等腰三角形与等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，涉及的知识点多、难度较大，正确添加辅助线、熟练掌握全等三角形的判定与性质是解①题的关键，灵活应用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质解②题的关键．26．（1）3；（2）见解析．【分析】（1）根据勾股定理可得AC ，进而可得BC 与BD ，然后根据三角形的面积公式计算即可； （2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则根据余角的性质可得∠CBG =∠EBH ，由已知易得BE ∥AC ，于是∠E =∠EFC ，由于CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，则根据余角的性质得∠EFC =∠BCG ，于是可得∠E =∠BCG ，然后根据ASA 可证△BCG ≌△BEH ，可得BG =BH ，CG =EH ，从而△BGH 是等腰直角三角形，进一步即可证得结论．【详解】解：（1）在△ACD 中，∵90ACB ∠=︒，1CD =，5AD =∴222AC AD CD =-=，∵2BC AC =，∴BC=4，BD =3，∴1132322ABD S BD AC ∆=⋅=⨯⨯=； （2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则∠CBG +∠CBH =90°，∵BE BC ⊥，∴∠EBH +∠CBH =90°，∴∠CBG =∠EBH ，∵BE BC ⊥，90ACB ∠=︒，∴BE ∥AC ，∴∠E =∠EFC ，∵CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，∴∠EFC +∠FCG =90°，∠BCG +∠FCG =90°，∴∠EFC =∠BCG ，∴∠E =∠BCG ，在△BCG 和△BEH 中，∵∠CBG =∠EBH ，BC=BE ，∠BCG =∠E ，∴△BCG ≌△BEH （ASA ）， ∴BG =BH ，CG =EH ， ∴222GH BG BH BG =+=，∴2EG GH EH BG CG =+=+．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、余角的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．27．（1）证明见解析；（2）21.【分析】（1）只需要证明'30A DB B ∠=∠=︒，再根据等角对等边即可证明''A D A B =,再结合小明的分析即可证明；（2）作△ADC 关于AC 的对称图形AD'C ,过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则'D E =BE ．设'D E =BE=x ．在Rt △CEB 和Rt △CEA 中，根据勾股定理构建方程即可解决问题.【详解】解：（1）证明：如下图，作△ADC 关于CD 的对称图形△A′DC ，∴A′D=AD ，C A′=CA ，∠CA′D=∠A=60°，∵CD 平分∠ACB ，∴A′点落在CB 上∵∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠A=30°，∴∠A′DB =∠CA′D -∠B=30°，即∠A′DB=∠B ，∴A′D=A′B ，∴CA+AD=CA′+A′D=CA′+A′B=CB.（2）如图，作△ADC 关于AC 的对称图形△AD′C ．∴D′A=DA=9，D′C=DC=10，∵AC 平分∠BAD ，∴D′点落在AB 上，∵BC=10，∴D′C=BC ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则D′E=BE ，设D′E=BE=x ，在Rt △CEB 中，CE 2=CB 2-BE 2=102-x 2，在Rt △CEA 中，CE 2=AC 2-AE 2=172-（9+x ）2．∴102-x 2=172-（9+x ）2，解得：x=6，∴AB=AD′+D′E+EB=9+6+6=21．【点睛】本题考查轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质.（1）中证明∠A′DB=∠B 不是经常用的等量代换，而是利用角之间的计算求得它们的度数相等，这有点困难，需要多注意；（2）中掌握方程思想是解题关键.28．（1）见解析；（2）证明见解析；（3）25.【分析】（1）直接叙述勾股定理的内容，并用字母表明三边关系；（2）利用大正方形面积、小正方形面积和4个直角三角形的面积和之间的关系列式整理即可证明；（3）将原式利用完全平方公式展开，由勾股定理的内容可得出()2a b +为大正方形面积和4个直角三角形的面积和，根据已知条件即可求得.【详解】解：（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．在直角三角形中，两条直角边分别为 a 、b ，斜边为 c ，a 2+b 2= c 2．（2）∵ S 大正方形=c 2，S 小正方形=(b-a)2，4 S Rt △=4×12ab=2ab ， ∴ c 2=2ab+(b-a)2=2ab+b 2-2ab+a 2=a 2+b 2，即 a 2+b 2= c 2．（3）∵ 4 S Rt △= S 大正方形- S 小正方形=13-1=12,∴ 2ab=12.∴ (a+b)2= a 2+b 2+2ab=c 2+2ab=13+12=25.【点睛】本题考查勾股定理的内容及勾股定理的几何验证，利用等面积法证明勾股定理及运用勾股定理是解答此题的关键.29．（1）13，17，10，112；（2）图见解析；7． 【分析】（1）利用勾股定理求出AB ，BC ，AC ，理由分割法求出△ABC 的面积．（2）模仿（1）中方法，画出△PMN ，利用分割法求解即可．【详解】解：（1）如图1中，AB ＝22AE BE +＝2232+＝13，BC ＝22BD CD +＝2214+＝17，AC ＝22AF CF +＝2213+＝10，S △ABC ＝S 矩形DEFC ﹣S △AEB ﹣S △AFC ﹣S △BDC ＝12﹣3﹣32﹣2＝112， 故答案为13，17，10，112． （2）△PMN 如图所示．S △PMN ＝4×4﹣2﹣3﹣4＝7，故答案为7．【点睛】此题重点考查学生对勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.30．（1）7；（2）证明见解析.【解析】【分析】()1由等边三角形的性质可求6AB BC ==，132BG BC ==，1DG =，由勾股定理可求AG ，AD 的长；()2①想法1：过点A 作AM DF ⊥于点M ，作AH DE ⊥，交DE 的延长线于点H ，由角平分线的性质可得AH AM =，由“AAS ”可证Rt AHE ≌Rt AMF ，可得AE AF =； 想法2：延长DE 至N ，使DN DF =，由“SAS ”可证ADN ≌ADF ，可得AN AF =，AFD N ∠=∠，由四边形内角和为360，可得AEN AFD N ∠=∠=∠，可得AN AE AF ==；。

一、选择题1．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为1S ，2S ，3S ；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为4S ，5S ，6S ，其中116S =，245S =，511S =，614S =，则43S S +=（ ）．A ．86B ．61C ．54D ．482．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为15cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿3cm 的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为25cm ，则该圆柱底面周长为（ ）A ．20cmB ．18cmC ．25cmD ．40cm3．如图，已知45∠=MON ，点A B 、在边ON 上，3OA =，点C 是边OM 上一个动点，若ABC ∆周长的最小值是6，则AB 的长是（ ）A ．12B ．34C ．56D ．14．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=5,AC=53，CB的反向延长线上有一动点D，以AD为边在右侧作等边三角形，连CE，CE最短长为（）A．5B．53C．532D．5345．如图，在△ABC中，∠A＝90°，P是BC上一点，且DB＝DC，过BC上一点P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB＝1：3，BC＝46，则PE+PF的长是（）A．46B．6 C．42D．266．如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（）A．2539+B．2539+C．18253+D．25318+7．ABC三边长为a、b、c，则下列条件能判断ABC是直角三角形的是（）A．a＝7，b＝8，c＝10 B．a41，b＝4，c＝5C．a3b＝2，c5D．a＝3，b＝4，c＝68．已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形9．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（）A ．3B ．5C ．4.2D ．4 10．下列各组数据，是三角形的三边长能构成直角三角形的是（ ）A ．2,3,4B ．4,5,6C ．2223,4,5D ．6,8,10二、填空题11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm 、3 dm 和1 dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点的最短路程是 dm ．12．如图，点E 在DBC △边DB 上，点A 在DBC △内部，∠DAE ＝∠BAC ＝90°，AD ＝AE ，AB ＝AC ，给出下列结论，其中正确的是_____（填序号）①BD ＝CE ；②∠DCB ＝∠ABD ＝45°；③BD ⊥CE ；④BE 2＝2（AD 2+AB 2）．13．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC =，2BC =，以AB 为边向外作等腰直角三角形ABD ，则CD 的长可以是__________．14．如图，RT ABC ，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则B FC '△的面积为______．15．如图，现有一长方体的实心木块，有一蚂蚁从A 处出发沿长方体表面爬行到C ＇处，若长方体的长4cm AB =，宽2cm BC =，高1cm BB '=，则蚂蚁爬行的最短路径长是___________．16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝7.5cm ，AC ＝4.5cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当△ABP 为等腰三角形时，t 的取值为_____．17．已知Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，∠ACB ＝90°，以AC 为一边在Rt △ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为_____．18．如图所示，“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为123,,S S S ，已知12310S S S ++=,则2S 的值是____.19．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12315S S S ++=，则2S 的值是__________．20．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方行ABCD ，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH,已知AM 为Rt △ABM 的较长直角边，AM ＝7EF ，则正方形ABCD 的面积为_______.三、解答题21．如图，△ABC 和EDC ∆都是等边三角形，7,3,2AD BD CD ===求:（1）AE长；（2）∠BDC 的度数：（3）AC 的长．22．（1）计算：1312248233⎛÷ ⎝ （2）已知a 、b 、c 满足2|2332(30)0a b c -+-=．判断以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，说明此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．23．如图，在△ABC 中，AB ＝30 cm ，BC ＝35 cm ，∠B ＝60°，有一动点M 自A 向B 以1cm/s 的速度运动，动点N 自B 向C 以2 cm/s 的速度运动，若M ，N 同时分别从A ，B 出发．(1)经过多少秒，△BMN 为等边三角形； (2)经过多少秒，△BMN 为直角三角形．24．已知a ，b ，c 满足88a a -+-＝|c ﹣17|+b 2﹣30b +225，（1）求a ，b ，c 的值；（2）试问以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．25．如图，将一长方形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(0,0)O ，(6,0)A ，(0,3)C ，动点F 从点O 出发以每秒1个单位长度的速度沿OC 向终点C 运动，运动23秒时，动点E 从点A 出发以相同的速度沿AO 向终点O 运动，当点E 、F 其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点E 的运动时间为t :（秒）（1）OE =_________，OF =___________（用含t 的代数式表示）（2）当1t =时，将OEF ∆沿EF 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标及直线DE 的解析式；（3）在（2）的条件下，点M 是射线DB 上的任意一点，过点M 作直线DE 的平行线，与x 轴交于N 点，设直线MN 的解析式为y kx b =+，当点M 与点B 不重合时，设MBN ∆的面积为S ，求S 与b 之间的函数关系式．26．如图，△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB=AC ，P 是线段BC 上一点,且045BAP ︒<∠<︒.作点B 关于直线AP 的对称点D, 连结BD ，CD ，AD ． （1）补全图形.（2）设∠BAP 的大小为α.求∠ADC 的大小(用含α的代数式表示).（3）延长CD 与AP 交于点E,直接用等式表示线段BD 与DE 之间的数量关系.27．定义：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a，b，c满足ac+a2＝b2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题：（1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是命题（填“真”或“假”）；（2）如图1，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AB＝BC，AC＞AB，请求∠A的度数；（3）如图2，在△ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A．①当∠A＝32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由；②请证明△ABC为“类勾股三角形”．28．如图1, △ABC和△CDE均为等腰三角形，AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a，且点A、D、E在同一直线上，连结BE.(1)求证: AD=BE.(2)如图2,若a=90°，CM⊥AE于E.若CM=7, BE=10, 试求AB的长.(3)如图3,若a=120°, CM⊥AE于E, BN⊥AE于N, BN=a, CM=b,直接写出AE的值(用a, b 的代数式表示).29．（1）如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且点D在BC边上滑动（点D不与点B，C重合），连接EC，①则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；②求证：BD2+CD2＝2AD2；（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD 的长．30．已知，矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ．（1）如图1，连接AF 、CE ．求证：四边形AFCE 为菱形． （2）如图1，求AF 的长．（3）如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周．即点P 自A →F →B →A 停止，点Q 自C →D →E →C 停止．在运动过程中，点P 的速度为每秒1cm ，设运动时间为t 秒．①问在运动的过程中，以A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t 和点Q 的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q 的速度为每秒0.8cm ，当A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】设1S ，2S ，3S 对应的边长为1L ，2L ，3L ，根据题意，通过等边三角形和勾股定理的性质，得23L ，从而计算得到3S ；设4S ，5S ，6S 对应的边长为4L ，5L ，6L ，通过圆形面积和勾股定理性质，得24L ，从而计算得到4S ，即可得到答案． 【详解】分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为1S ，2S ，3S 则1S ，2S ，3S 对应的边长设为1L ，2L ，3L根据题意得：211111162S L L ===22245S L == ∴21L =，22L =∵222132L L L += ∴22232129L L L =-=∴2332929S === 以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为4S ，5S ，6 S 则4S ，5S ，6S 对应的边长设为4L ，5L ，6L 根据题意得：2255511228L S L ππ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭2266614228L S L ππ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭∴25811L π=⨯，26814L π=⨯∵222564L L L += ∴()22245688111425L L L ππ=+=⨯+=⨯∴2448S 252588L πππ==⨯⨯=∴43292554S S +=+= 故选：C ． 【点睛】本题考查了勾股定理、等边三角形、圆形面积的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、等边三角形面积计算的性质，从而完成求解．2．D解析：D 【分析】将容器侧面展开，建立A 关于EG 的对称点A ′，根据两点之间线段最短可知A ′B 的长度即为最短路径，由勾股定理求出A ′D 即圆柱底面周长的一半，由此即可解题． 【详解】解：如图，将圆柱展开，EG 为上底面圆周长的一半，作A 关于E 的对称点A '，连接A B '交EG 于F ， 则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF BF +的长， 即 25cm AF BF A B '+==， 延长BG ，过A '作A D BG '⊥于D ，3cm AE A E '==，153315cm BD BG DG BG AE ∴=+=+=-+=， Rt A DB '∴△中，由勾股定理得：2222251520cm A D A B BD ''=--=，∴该圆柱底面周长为：20240cm ⨯=，故选D ． 【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．3．D解析：D 【分析】作点A 关于OM 的对称点E ，AE 交OM 于点D ，连接BE 、OE ，BE 交OM 于点C ，此时△ABC 周长最小，根据题意及作图可得出△OAD 是等腰直角三角形，OA=OE=3，，所以∠OAE=∠OEA=45°，从而证明△BOE 是直角三角形，然后设AB=x ，则OB=3+x ，根据周长最小值可表示出BE=6－x ，最后在Rt △OBE 中，利用勾股定理建立方程求解即可. 【详解】解：作点A 关于OM 的对称点E ，AE 交OM 于点D ，连接BE 、OE ，BE 交OM 于点C ， 此时△ABC 周长最小，最小值=AB+AC+BC=AB+EC+BC=AB+BE ， ∵△ABC 周长的最小值是6， ∴AB+BE=6，∵∠MON=45°，AD ⊥OM ，∴△OAD 是等腰直角三角形，∠OAD=45°， 由作图可知OM 垂直平分AE ， ∴OA=OE=3， ∴∠OAE=∠OEA=45°， ∴∠AOE=90°， ∴△BOE 是直角三角形， 设AB=x ，则OB=3+x ，BE=6－x ，在Rt △OBE 中，()()2223+3+6x x =-，解得：x=1，∴AB=1.故选D.【点睛】本题考查了利用轴对称求最值，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握作图技巧，正确利用勾股定理建立出方程是解题的关键.4．C解析：C【分析】在CB 的反向延长线上取一点B ’，使得BC =B ’C ，连接AB ’，易证△AB ’D ≌△ABE ，可得∠ABE =∠B ’=60°，因此点E 的轨迹是一条直线，过点C 作CH ⊥BE ，则点H 即为使得BE 最小时的E 点的位置，然后根据直角三角形的性质和勾股定理即可得出答案．【详解】解：在CB 的反向延长线上取一点B ’，使得BC =B ’C ，连接AB ’，∵∠ACB =90°，∠ABC =60°，∴△AB ’B 是等边三角形，∴∠B ’=∠B ’AB =60°，AB ’=AB ，∵△ADE 是等边三角形，∴∠DAE =60°，AD =AE ，∴∠B ’AD +∠DAB =∠DAB +∠BAE ，∴∠B ’AD =∠BAE ，∴△AB ’D ≌△ABE （SAS ），∴∠ABE =∠B ’=60°，∴点E 在直线BE 上运动，过点C 作CH ⊥BE 于点H ，则点H 即为使得BE 最小时的E 点的位置，∠CBH =180°-∠ABC -∠ABE =60°，∴∠BCH =30°，∴BH =12BC =52， ∴CH 22BC BH -53．即BE的最小值是53．故选C．【点睛】本题是一道动点问题，综合考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理等知识，将△ACB构造成等边三角形，通过全等证出∠ABC 是定值，即点E的运动轨迹是直线是解决此题的关键．5．C解析：C【解析】【分析】根据三角形的面积判断出PE+PF的长等于AC的长，这样就变成了求AC的长；在Rt△ACD 和Rt△ABC中，利用勾股定理表示出AC，解方程就可以得到AD的长，再利用勾股定理就可以求出AC的长，也就是PE+PF的长．【详解】∵△DCB为等腰三角形，PE⊥AB，PF⊥CD，AC⊥BD，∴S△BCD=12BD•PE+12CD•PF=12BD•AC，∴PE+PF=AC，设AD=x，BD=CD=3x，AB=4x，∵AC2=CD2-AD2=（3x）2-x2=8x2，∵AC2=BC2-AB2=（6）2-（4x）2，∴x=2，∴2，∴2故选C【点睛】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法证明线段之间的关系，灵活运用勾股定理解决问题，属于中考常考题型．6．A解析：A【解析】分析：将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，延长BP，作AF⊥BP于点F．AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数，在直角△APF中利用三角函数求得AF和PF的长，则在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形ABC的面积．详解：∵△ABC为等边三角形，∴BA=BC，可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，∴△BPE为等边三角形，∴PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，∴AE2=PE2+PA2，∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，∴∠APB=90°+60°=150°．∴∠APF=30°，∴在直角△APF中，AF=12AP=32，PF=3AP=332．∴在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+332）2+（32）2=25+123．则△ABC的面积是3•AB2=3•（25+12）253故选A．点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．7．B解析：B【分析】根据勾股定理逆定理对每个选项一一判断即可．【详解】A、∵72+82≠102，∴△ABC不是直角三角形；B 、∵52+42＝(41)2，∴△ABC 是直角三角形；C 、∵22+(3)2≠(5)2，∴△ABC 不是直角三角形；D 、∵32+42≠62，∴△ABC 不是直角三角形；故选：B ．【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理，熟记定理是解题关键．8．B解析：B【分析】依据作图即可得到AC ＝AN ＝4，BC ＝BM ＝3，AB ＝2+2+1＝5，进而得到AC 2+BC 2＝AB 2，即可得出△ABC 是直角三角形．【详解】如图所示，AC ＝AN ＝4，BC ＝BM ＝3，AB ＝2+2+1＝5，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ABC 是直角三角形，且∠ACB ＝90°，故选B ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形就是直角三角形．9．C解析：C【分析】根据题意可设折断处离地面的高度OA 是x 尺，折断处离竹梢AB 是（10－x ）尺，结合勾股定理即可得出折断处离地面的高度．【详解】设折断处离地面的高度OA 是x 尺，则折断处离竹梢AB 是（10－x ）尺，由勾股定理可得：222=OA OB AB +即：()2224=10x x +-，解得：x ＝4.2故折断处离地面的高度OA 是4.2尺．故答案选：C ．【点睛】本题主要考查直角三角形勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理．10．D解析：D【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行判断即可．【详解】解：A 、∵22+32=13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；B 、∵42+52=41≠62，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C 、∵222222(3)(4)337(5)+=≠，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D 、∵62+82=100=102，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．二、填空题11．【解析】试题分析：将台阶展开，如图，331312,5,AC BC =⨯+⨯==222169,AB AC BC ∴=+=13,AB ∴=即蚂蚁爬行的最短线路为13.dm考点：平面展开：最短路径问题．12．①③【分析】①由已知条件证明DAB ≌EAC 即可；②由①可得∠ABD=∠ACE<45°，∠DCB>45°；③由∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=∠ACE+∠ECB+∠ABC =45°+45°=90°可判断③；④由BE 2＝BC 2－EC 2＝2AB 2－（CD 2﹣DE 2）＝2AB 2－CD 2+2AD 2＝2（AD 2+AB 2）－CD 2可判断④．【详解】解：∵∠DAE ＝∠BAC ＝90°，∴∠DAB ＝∠EAC ，∵AD ＝AE ，AB ＝AC ，∴∠AED=∠ADE=∠ABC=∠ACB=45°， ∵在DAB 和EAC 中，AD AE DAB EAC AB AC ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝， ∴DAB ≌EAC ，∴BD ＝CE ，∠ABD ＝∠ECA ，故①正确；由①可得∠ABD=∠ACE<45°，∠DCB>45°故②错误；∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=∠ACE+∠ECB+∠ABC =45°+45°=90°，∴∠CEB ＝90°，即CE ⊥BD ，故③正确；∴BE 2＝BC 2－EC 2＝2AB 2－（CD 2﹣DE 2）＝2AB 2－CD 2+2AD 2＝2（AD 2+AB 2）－CD 2． ∴BE 2＝2（AD 2+AB 2）－CD 2，故④错误．故答案为：①③．【点睛】本题主要考查全等三角形判定与性质以及勾股定理的应用，熟记全等三角形的判定与性质定理以及勾股定理公式是解题关键．13．【分析】在ABC 中计算AB ，情况一：作AE CE ⊥于E ，计算AE ，DE ，CE ，可得CD ；情况二：作BE CE ⊥于E ，计算BE ，CE ，DE ，可得CD ；情况三：作DE CE ''⊥，计算,,DF DE CE ''，可得CD ．【详解】∵90ACB ︒∠=，4,2AC BC ==，∴AB =情况一：当AD AB ==AE CE ⊥于E∴ 1122BC AC AB AE ⋅=⋅，即AE =，5DE =∴CE =∴CD ==情况二：当25BD AB ==时，作BE CE ⊥于E ，∴1122BC AC AB BE ⋅=⋅，即455BE =，1455DE = ∴22255CE BC BE =-= ∴22210CD CE DE =+=情况三：当AD BD =时，作DE CE ''⊥，作BE CE ⊥于E∴1122BC AC AB BE ⋅=⋅， ∴55BE =355CE ∴= ∵ABD △为等腰直角三角形∴152BF DF AB ===∴95DE DF E F DF BE ''=+=+= 25355CE EE CE BF CE ''=-=-==∴2232CD CE E D ''=+=故答案为：1021332【点睛】本题考查了等腰直角三角形的探索，勾股定理的计算等，熟知以上知识是解题的关键． 14．9625【分析】将△B´CF 的面积转化为求△BCF 的面积，由折叠的性质可得CD ＝AC ＝6，∠ACE ＝∠DCE ，∠BCF ＝∠B´CF ，CE ⊥AB ，可证得△ECF 是等腰直角三角形，EF ＝CE ，∠EFC ＝45°，由等面积法可求CE 的长，由勾股定理可求AE 的长，进而求得BF 的长，即可求解．【详解】根据折叠的性质可知，CD ＝AC ＝6，∠ACE ＝∠DCE ，∠BCF ＝∠B´CF ，CE ⊥AB ， ∴∠DCE ＋∠B´CF ＝∠ACE ＋∠BCF ， ∵∠ACB ＝90°，∴∠ECF ＝45°，且CE ⊥AB ，∴△ECF 是等腰直角三角形，∴EF ＝CE ，∠EFC ＝45°，∵S △ABC ＝12AC•BC ＝12AB•CE ， ∴AC•BC ＝AB•CE ，∵根据勾股定理求得AB ＝10，∴CE ＝245， ∴EF ＝245， ∵AE 22AC CE -2224186-=55⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴BF ＝AB−AE−EF ＝10－185－245＝85，∴S△CBF＝12×BF×CE＝12×85×245＝9625，∴S△CB´F＝96 25，故填：96 25．【点睛】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，根据折叠的性质求得相等的角是解决本题的关键．15．5cm【分析】连接AC＇，分三种情况进行讨论：画出图形，用勾股定理计算出AC＇长，再比较大小即可得出结果．【详解】解：如图展开成平面图，连接AC＇，分三种情况讨论：如图1，AB=4，BC＇=1+2=3，∴在Rt△ABC＇中，由勾股定理得AC＇2243+（cm），如图2，AC=4+2=6，CC＇=1∴在Rt△ACC＇中，由勾股定理得AC＇2261+37（cm），如图3，AD =2，DC＇=1+4=5，∴在Rt△ADC＇中，由勾股定理得AC＇2225+29（cm）∵2937，∴蚂蚁爬行的最短路径长是5cm，故答案为：5cm．【点睛】本题考查平面展开-最短路线问题和勾股定理，本题具有一定的代表性，是一道好题，注意要分类讨论．16．75或6或9 4【分析】当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP 时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．【详解】在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝7.52﹣4.52＝36，∴BC＝6（cm）；①当AB＝BP＝7.5cm时，如图1，t＝7.52＝3.75（秒）；②当AB＝AP＝7.5cm时，如图2，BP＝2BC＝12cm，t＝6（秒）；③当BP＝AP时，如图3，AP＝BP＝2tcm，CP＝（4.5﹣2t）cm，AC＝4.5cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以4t2＝4.52+（4.5﹣2t）2，解得：t＝94，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝3.75或t＝6或t＝94．故答案为：3.75或6或94．【点睛】此题是等腰三角形与动点问题，考查等腰三角形的性质，勾股定理，解题中应根据每两条边相等分情况来解答，不要漏解.17．72965【分析】分三种情形讨论：（1）如图1中，以点C所在顶点为直角时；（2）如图2中，以点D所在顶点为直角时；（3）如图3中，以点A所在顶点为直角时．【详解】（1）如图1中，以点C所在顶点为直角时．∵AC=CD=4，BC=3，∴BD=CD+BC=7；（2）如图2中，以点D所在顶点为直角时，作DE⊥BC与E，连接BD．在Rt△BDE中DE=2，BE=5，∴BD2229DE BE+（3）如图3中，以点A所在顶点为直角时，作DE⊥BC于E，在Rt△BDE中，DE=4．BE=7，∴BD2265DE BE+故答案为：7或29或65．【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．18．103. 【分析】 根据八个直角三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形，得出CG=NG ，CF=DG=NF ，再根据()21S CG DG =+，22S GF =，()23S NG NF =-，12310S S S ++=，即可得出答案.【详解】∵八个直三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形∴CG=NG ，CF=DG=NF∴()2222122S CG DG CG DG CG DG GF CG DG =+=++=+ 22S GF =()22232S NG NF NG NF NG NF =-=+-∴2222212322310S S S GF CG DG GF NG NF NG NF GF ++=+⋅+++-⋅== ∴2103GF =故2103S = 故答案为103.【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点由勾股定理和正方形、全等三角形的性质. 19．5【分析】根据图形的特征得出四边形MNKT 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，从而用x ，y 表示出1S ，2S ，3S ，得出答案即可．【详解】解：将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ， 正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，12310S S S ++=，∴得出18S y x ，24S y x ，3S x =， 12331215S S S x y ，故31215x y， 154=53x y ， 所以245S x y ， 故答案为：5．【点睛】 此题主要考查了图形面积关系，根据已知得出用x ，y 表示出1S ，2S ，3S ，再利用12315S S S ++=求出是解决问题的关键．20．32【分析】由题意设AM=2a ，BM=b ，则正方形ABCD 的面积=224a b ＋，由题意可知EF=(2a-b)-2（a-b)=2a-b-2a ＋2b=b ，由此分析即可．【详解】解：设AM=2a ．BM=b ．则正方形ABCD 的面积=224a b ＋由题意可知EF=（2a-b)-2（a-b)=2a-b-2a ＋2b=b ，∵AM EF ，2,,a a ∴== ∵正方形EFGH 的面积为4，∴24b =，∴正方形ABCD 的面积=2224+832.a b b ==故答案为32.【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理以及线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.三、解答题21．（1）3；（2）150°；（3）13．【分析】（1）根据等边三角形的性质可利用SAS 证明△BCD ≌△ACE ，再根据全等三角形的性质即得结果；（2）在△ADE 中，根据勾股定理的逆定理可得∠AED ＝90°，进而可求出∠AEC 的度数，再根据全等三角形的性质即得答案；（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，根据等边三角形的性质和勾股定理可得PE 与CP 的长，进而可得AE ＝CP ，然后即可根据AAS 证明△AEG ≌△CPG ，于是可得AG ＝CG ，PG ＝EG ，根据勾股定理可求出AG 的长，进一步即可求出结果．【详解】解：（1）∵△ABC 和△EDC 都是等边三角形，∴BC ＝AC ，CD ＝CE ＝DE ＝2，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠BCD ＝∠ACE ，在△BCD 与△ACE 中，∵BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△ACE ，∴AE ＝BD ＝3；（2）在△ADE 中，∵7,3,2AD AE DE ===， ∴DE 2+AE 2＝()()222237+=＝AD 2， ∴∠AED ＝90°，∵∠DEC ＝60°，∴∠AEC ＝150°，∵△BCD ≌△ACE ，∴∠BDC ＝∠AEC ＝150°；（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，∵△CDE 是等边三角形，∴PE ＝12DE ＝1，CP 22213-=，∴AE ＝CP ，在△AEG 与△CPG 中，∵∠AEG ＝∠CPG ＝90°，∠AGE ＝∠CGP ，AE ＝CP ，∴△AEG ≌△CPG ，∴AG ＝CG ，PG ＝EG ＝12，∴AG ==，∴AC ＝2AG【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握上述知识、灵活应用全等三角形的判定与性质是解题的关键．22．（1）423；（2）以a 、b 、c 为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，【分析】（1）根据二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质求出即可；（2）先根据绝对值，偶次方、算术平方根的非负性求出a 、b 、c 的值，再根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再求出面积即可.【详解】解：（1）⎛÷ ⎝=÷=÷ ＝423； （2）以a 、b 、c 为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，理由是：∵a 、b 、c 满足2|a (c 0-=，∴a ﹣＝0，﹣b ＝0，c 0，∴a ＝，b ＝，c∵，，∴以a 、b 、c 为边能组成三角形，∵a ＝，b ＝，c∴a 2+b 2＝c 2，∴以a 、b 、c 为边能构成直角三角形，直角边是a 和b ，则此三角形的面积是12⨯. 【点睛】 此题考查了计算能力，掌握二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质，绝对值，偶次方、算术平方根的非负性，勾股定理的逆定理是解题的关键.23．(1) 出发10s 后，△BMN 为等边三角形；(2)出发6s 或15s 后，△BMN 为直角三角形．【分析】（1）设时间为x ，表示出AM=x 、BN=2x 、BM=30-x ，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得；（2）分两种情况：①∠BNM=90°时，即可知∠BMN=30°，依据BN=12BM 列方程求解可得；②∠BMN=90°时，知∠BNM=30°，依据BM=12BN 列方程求解可得． 【详解】解 (1)设经过x 秒，△BMN 为等边三角形，则AM ＝x ，BN ＝2x ，∴BM ＝AB －AM ＝30－x ，根据题意得30－x ＝2x ，解得x ＝10，答：经过10秒，△BMN 为等边三角形；(2)经过x 秒，△BMN 是直角三角形，①当∠BNM ＝90°时，∵∠B ＝60°，∴∠BMN ＝30°，∴BN ＝12BM ，即2x ＝12(30－x)， 解得x ＝6；②当∠BMN ＝90°时，∵∠B ＝60°，∴∠BNM ＝30°，∴BM ＝12BN ，即30－x ＝12×2x ， 解得x ＝15，答：经过6秒或15秒，△BMN 是直角三角形．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，等边三角形的判定.24．（1）a ＝8，b ＝15，c ＝17；（2）能，60【分析】（1）根据算术平方根，绝对值，平方的非负性即可求出a 、b 、c 的值；（2）根据勾股定理的逆定理即可求出此三角形是直角三角形，由此得到面积和周长【详解】解：（1）∵a ，b ，c|c ﹣17|+b 2﹣30b +225，21||7(15)c b +-﹣，∴a ﹣8＝0，b ﹣15＝0，c ﹣17＝0，∴a ＝8，b ＝15，c ＝17；（2）能．∵由（1）知a ＝8，b ＝15，c ＝17，∴82+152＝172．∴a 2+c 2＝b 2，∴此三角形是直角三角形，∴三角形的周长＝8+15+17＝40； 三角形的面积＝12×8×15＝60． 【点睛】此题考查算术平方根，绝对值，平方的非负性，勾股定理的逆定理判断三角形的形状. 25．（1）6-t ，t+23；（2）D(1，3)，y=34-x+154；（3）1515215()4215215()2b b S b b ⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩【分析】（1）根据点E ，F 的运动轨迹和速度，即可得到答案；（2）由题意得：DF=OF=53，DE=OE=5，过点E 作EG ⊥BC 于点G ，根据勾股定理得DG=4，进而得D(1，3)，根据待定系数法，即可得到答案； （3）根据题意得直线直线MN 的解析式为：34y x b =-+，从而得M(443b -，3)，分2种情况：①当点M 在线段DB 上时， ②当点M 在DB 的延长线上时，分别求出S 与b 之间的函数关系式，即可．【详解】∵(0,0)O ，(6,0)A ，(0,3)C ，∴OA=6，OC=3，∵AE=t×1= t ， ∴OE =6-t ，OF =(t+23)×1=t+23， 故答案是：6-t ，t+23； （2）当1t =时，OE =6-t=5，OF =t+23=53，∵将OEF∆沿EF翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，∴DF=OF=53，DE=OE=5，过点E作EG⊥BC于点G，则EG=OC=3，CG=OE=5，∴DG=224DE EG-=，∴CD=CG-DG=5-4=1，∴D(1，3)，设直线DE的解析式为：y=kx+b，把D(1，3)，E(5，0)代入y=kx+b，得350k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：34154kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线DE的解析式为：y=34-x+154；（3）∵MN∥DE，∴直线直线MN的解析式为：34y x b =-+，令y=3，代入34y x b=-+，解得：x=443b-，∴M(443b-，3)．①当点M在线段DB上时，BM=6-(443b-)=4103b-+，∴1143(10)223S BM AB b=⋅=⨯⨯-+=215b-+，②当点M在DB的延长线上时，BM=443b--6=4103b-，∴1143(10)223S BM AB b=⋅=⨯⨯-=215b-，综上所述：1515215()4215215()2b bSb b⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩．【点睛】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握勾股定理与一次函数的待定系数法，是解题的关键．26．（1）见解析；（2）∠ADC=45α︒+；（3）2BD DE =【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）根据对称的性质，等腰三角形的性质及角与角之间的和差关系进行计算即可； （3）画出图形，结合（2）的结论证明△BED 为等腰直角三角形，从而得出结论.【详解】解：（1）如图所示；（2）∵点B 与点D 关于直线AP 对称，∠BAP=α，∴∠PAD=α，AB=AD ，∵90BAC ∠=︒，∴902DAC α∠=︒-，又∵AB=AC ，∴AD=AC ，∴∠ADC=1[180(902)]2α⨯︒-︒-=45α︒+； （3）如图，连接BE ，由（2）知：∠ADC=45α︒+，∵∠ADC=∠AED+∠EAD ，且∠EAD=α，∴∠AED=45°，∵点B与点D关于直线AP对称，即AP垂直平分BD，∴∠AED=∠AEB=45°，BE=DE，∴∠BED=90°，∴△BED是等腰直角三角形，∴22222BD BE DE DE=+=，∴2BD DE=.【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，明确角与角之间的关系，学会添加常用辅助线构造直角三角形是解题的关键.27．（1）假；（2）∠A＝45°；（3）①不能，理由见解析，②见解析【分析】（1）先由直角三角形是类勾股三角形得出ab+a2=c2，再由勾股定理得a2+b2=c2，即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形；（2）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论；（3）①分三种情况，利用等腰三角形的性质即可得出结论；②先求出CD=CB=a，AD=CD=a，DB=AB-AD=c-a，DG=BG=12（c-a），AG=12（a+c），两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论．【详解】解：（1）如图1，假设Rt△ABC是类勾股三角形，∴ab+a2＝c2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据勾股定理得，a2+b2＝c2，∴ab+b2＝a2+b2，∴ab＝a2，∴a＝b，∴△ABC是等腰直角三角形，∴等腰直角三角形是类勾股三角形，即：原命题是假命题，故答案为：假；（2）∵AB＝BC，AC＞AB，∴a＝c，b＞c，∵△ABC是类勾股三角形，∴ac+a2＝b2，∴c2+a2＝b2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝45°，（3）①在△ABC中，∠ABC＝2∠BAC，∠BAC＝32°，∴∠ABC＝64°，根据三角形的内角和定理得，∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝84°，∵把这个三角形分成两个等腰三角形，∴（Ⅰ）、当∠BCD＝∠BDC时，∵∠ABC＝64°，∴∠BCD＝∠BDC＝58°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝84°﹣58°＝26°，∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝122°∴△ACD不是等腰三角形，此种情况不成立；（Ⅱ）、当∠BCD＝∠ABC＝64°时，∴∠BDC＝52°，∴∠ACD＝20°，∠ADC＝128°，∴△ACD是等腰三角形，此种情况不成立；（Ⅲ）、当∠BDC＝∠ABC＝64°时，∴∠BCD＝52°，∴∠ACD＝∠ACB﹣BCD＝32°＝∠BAC，∴△ACD是等腰三角形，即：分割线和顶角标注如图2所示，Ⅱ、分∠ABC，同（Ⅰ）的方法，判断此种情况不成立；Ⅲ、分∠BAC，同（Ⅱ）的方法，判断此种情况不成立；②如图3，在AB边上取点D，连接CD，使∠ACD＝∠A图3作CG⊥AB于G，∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝2∠A，∵∠B＝2∠A，∴∠CDB＝∠B，∴CD＝CB＝a，∵∠ACD＝∠A，∴AD＝CD＝a，∴DB＝AB﹣AD＝c﹣a，∵CG⊥AB，∴DG＝BG＝12（c﹣a），∴AG＝AD+DG＝a+12（c﹣a）＝12（a+c），在Rt△ACG中，CG2＝AC2﹣AG2＝b2﹣[12（c+a）]2，在Rt△BCG中，CG2＝BC2﹣BG2＝a2﹣[12（c﹣a）]2，∴b2﹣[12（a+c）]2＝a2﹣[12（c﹣a）]2，∴b2＝ac+a2，∴△ABC是“类勾股三角形”．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，新定义“类勾股三角形”，分类讨论的数学思想，解本题的关键是理解新定义．28．（1）见解析；（2）26；（3+【分析】（1）由∠ACB=∠DCE可得出∠ACD=∠BCE，再利用SAS判定△ACD≌△BCE，即可得到AD=BE；（2）由等腰直角三角形的性质可得CM=12DE，同（1）可证△ACD≌△BCE，得到AD=BE，然后可求AE的长，再判断∠AEB=90°，即可用勾股定理求出AB的长；（3）由等腰三角形的性质易得∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°，根据30度所对的直角边是斜边的一半可求出，然后利用三角形外角性质推出∠BEN=60°，在Rt△BEN 中即可求出BE，由于BE=AD，所以利用AE=AD+DE即可得出答案.【详解】证明：（1）∵∠ACB=∠DCE∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD，即∠ACD=∠BCE在△ACD和△BCE中，。

一、选择题1．图中不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．2．△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（）A．42 B．32 C．42或32 D．37或333．在直角三角形中，自两锐角所引的两条中线长分别为5和210，则斜边长为（）A．10 B．410C．13D．2134．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为（）A．5cm B．10cm C．14cm D．20cm5．已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE，以下四个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD2+AB2），其中结论正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．46．如图是一块长、宽、高分别为6cm 、4cm 、3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）A ．cmB ．cmC ．cmD ．9cm7．如图，在ABC 中，CE 平分ACB ∠，CF 平分ACD ∠，且//EF BC 交AC 于M ，若3CM =，则22CE CF +的值为( )A ．36B ．9C ．6D ．188．如图，在数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值为（ ）A ．15--B ．15-C ．5-D ．15-+ 9．在△ABC 中，AB =10，BC =12，BC 边上的中线AD =8，则△ABC 边AB 上的高为（ ） A ．8B ．9.6C ．10D ．12 10．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线．已知AB ＝5，AD ＝3，则BC 的长为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10二、填空题11．如图，∠MON ＝90°，△ABC 的顶点A 、B 分别在OM 、ON 上，当A 点从O 点出发沿着OM 向右运动时，同时点B 在ON 上运动，连接OC ．若AC ＝4，BC ＝3，AB ＝5，则OC 的长度的最大值是________．12．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90o ，AC ＝12，BC ＝5，D 是AB 边上的动点，E 是AC 边上的动点，则BE ＋ED 的最小值为 ．13．如图，RT ABC ，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则B FC '△的面积为______．14．如图，在△ABC 中，OA ＝4，OB ＝3，C 点与A 点关于直线OB 对称，动点P 、Q 分别在线段AC 、AB 上(点P 不与点A 、C 重合)，满足∠BPQ ＝∠BAO.当△PQB 为等腰三角形时，OP 的长度是_____．15．如图，在ABC 中，D 是BC 边中点，106AB AC ==，，4=AD ，则BC 的长是_____________．16．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°,以AC 为斜边向外作等腰直角三角形COA ，已知2,则另一直角边AB 的长为__________.17．如图，已知△DBC 是等腰直角三角形，BE 与CD 交于点O ，∠BDC=∠BEC=90°，BF=CF ，若BC=8，OD=2，则OF=______.18．已知，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=7，D 是AB 的中点，点E 在AC 上，点F 在BC 上，DE=DF ，若BF=4，则EF=_______19．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，DE 垂直平分AC ，垂足为F ，//AD BC ，且3AB =，4BC =，则AD 的长为______．20．如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个格点可得△ABC ，则AC 边上的高的长度是_____________．三、解答题21．如图，在△ABC 中，AB ＝30 cm ，BC ＝35 cm ，∠B ＝60°，有一动点M 自A 向B 以1 cm/s 的速度运动，动点N 自B 向C 以2 cm/s 的速度运动，若M ，N 同时分别从A ，B 出发．(1)经过多少秒，△BMN 为等边三角形；(2)经过多少秒，△BMN 为直角三角形．22．如图，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，8AB cm =，6BC cm =，P 、Q 是ABC ∆边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C →方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．（1）当2t =秒时，求PQ 的长；（2）求出发时间为几秒时，PQB ∆是等腰三角形？（3）若Q 沿B C A →→方向运动，则当点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．23．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 上一动点、连接AD ，过点A 作AE AD ⊥，并且始终保持AE AD =，连接CE ，（1）求证：ABD ACE ≅；（2）若AF 平分DAE ∠交BC 于F ，①探究线段BD ，DF ，FC 之间的数量关系，并证明；②若3BD =，4CF =，求AD 的长，24．已知ABC ∆中，AB AC =.（1）如图1，在ADE ∆中，AD AE =，连接BD 、CE ，若DAE BAC ∠=∠，求证：BD CE =（2）如图2，在ADE ∆中，AD AE =，连接BE 、CE ，若60DAE BAC ∠=∠=，CE AD ⊥于点F ，4AE =，5EC =，求BE 的长；（3）如图3，在BCD ∆中，45CBD CDB ∠=∠=，连接AD ，若45CAB ∠=，求AD AB 的值.25．如图，己知Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，ED 为AB 垂直平分线，且23DE =，连接DB ，DA .（1）直接写出BC =__________，AC =__________；（2）求证：ABD ∆是等边三角形；（3）如图，连接CD ，作BF CD ⊥，垂足为点F ，直接写出BF 的长；（4）P 是直线AC 上的一点，且13CP AC =，连接PE ，直接写出PE 的长. 26．如图，在边长为2正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，E 是线段OA 上一动点（不包括两个端点），连接BE .（1）如图1，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接BF 交AC 于点G .①求证：BE EF =;②设AE x =，CG y =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形.27．（知识背景）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数．（应用举例） 观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时，股14(91)2=-，弦15(91)2=+； 勾为5时，股112(251)2=-，弦113(251)2=+；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾为7，则股24＝ 弦25＝ （2）如果勾用n （3n ≥，且n 为奇数）表示时，请用含有n 的式子表示股和弦，则股＝ ，弦＝ ．（解决问题）观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…根据应用举例获得的经验进行填空：（3）如果,,a b c 是符合同样规律的一组勾股数，2a m =（m 表示大于1的整数），则b = ，c = ，这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式． （4）请你利用柏拉图公式，补全下面两组勾股数（数据从小到大排列）第一组： 、24、 ：第二组： 、 、37．28．阅读下列材料，并解答其后的问题：我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”，该公式是：设△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ＝()()()()4a b c a b c a c b b c a +++-+-+-． （1）（举例应用）已知△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＝4，b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为 ；（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB ＝（26+42）m ，BC ＝5m ，CD ＝7m ，AD ＝46m ，∠A ＝60°，求该块草地的面积．29．在平面直角坐标系中，点A （0，4），B （m ，0）在坐标轴上，点C ，O 关于直线AB 对称，点D 在线段AB 上．（1）如图1，若m ＝8，求AB 的长；（2）如图2，若m ＝4，连接OD ，在y 轴上取一点E ，使OD ＝DE ，求证：CE ＝2DE ； （3）如图3，若m ＝43，在射线AO 上裁取AF ，使AF ＝BD ，当CD +CF 的值最小时，请在图中画出点D 的位置，并直接写出这个最小值．30．已知，矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ．（1）如图1，连接AF 、CE ．求证：四边形AFCE 为菱形．（2）如图1，求AF 的长．（3）如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周．即点P 自A →F →B →A 停止，点Q 自C →D →E →C 停止．在运动过程中，点P 的速度为每秒1cm ，设运动时间为t 秒．①问在运动的过程中，以A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t 和点Q 的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q 的速度为每秒0.8cm ，当A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论222+=a b c ，找出不能证明的那个选项．【详解】解：A 选项不能证明勾股定理；B 选项，通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式()22142a b ab c +=⨯+，可得222+=a b c ；C 选项，通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式()22112222a b ab c +=⨯+，可得222+=a b c ； D 选项，通过这个不规则图象的面积的不同表示方法，可以列式222112222c ab a b ab +⨯=++⨯，可得222+=a b c ． 故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．2．C解析：C【分析】存在2种情况，△ABC是锐角三角形和钝角三角形时，高AD分别在△ABC的内部和外部【详解】情况一：如下图，△ABC是锐角三角形∵AD是高，∴AD⊥BC∵AB=15，AD=12∴在Rt△ABD中，BD=9∵AC=13，AD=12∴在Rt△ACD中，DC=5∴△AB C的周长为：15+12+9+5=42情况二：如下图，△ABC是钝角三角形在Rt△ADC中，AD=12，AC=13，∴DC=5在Rt△ABD中，AD=12，AB=15，∴DB=9∴BC=4∴△ABC的周长为：15+13+4=32故选：C【点睛】本题考查勾股定理，解题关键是多解，注意当几何题型题干未提供图形时，往往存在多解情况.3．D解析：D【分析】根据已知设AC＝x，BC＝y，在Rt△ACD和Rt△BCE中，根据勾股定理分别列等式，从而求得AC，BC的长，最后根据勾股定理即可求得AB的长．【详解】如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 、BE 为△ABC 的两条中线，且AD ＝210，BE ＝5，求AB 的长．设AC ＝x ，BC ＝y ，根据勾股定理得：在Rt △ACD 中，x 2+（12y ）2＝（210）2， 在Rt △BCE 中，（12x ）2+y 2＝52， 解之得，x ＝6，y ＝4，∴在Rt △ABC 中，2264213AB =+= ，故选：D ．【点睛】此题考查勾股定理的运用，在直角三角形中，已知两条边长时，可利用勾股定理求第三条边的长度.4．D解析：D【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC ⊥BD ，12OA AC =，12OB BD =，再利用勾股定理列式求出AB ，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解. 【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，11622OA AC ==⨯=3cm ， 118422OB BD cm ==⨯= 根据勾股定理得，2222345cm AB OA OB +=+= ，所以，这个菱形的周长=4×5=20cm.故选：D.【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，需熟记.5．C解析：C【解析】试题分析：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE．∵在△BAD和△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）．∴BD=CE．本结论正确．②∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE．∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°．∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°．∴BD⊥CE．本结论正确．③∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°．∴∠ABD+∠DBC=45°．∵∠ABD=∠ACE，∴∠ACE+∠DBC=45°．本结论正确．④∵BD⊥CE，∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：BE2=BD2+DE2．∵△ADE为等腰直角三角形，∴DE=2AD，即DE2=2AD2．∴BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2．而BD2≠2AB2，本结论错误．综上所述，正确的个数为3个．故选C．6．C解析：C【解析】【分析】本题中蚂蚁要跑的路径有三种情况，知道当蚂蚁爬的是一条直线时，路径才会最短．蚂蚁爬的是一个长方形的对角线．展开成平面图形，根据两点之间线段最短，可求出解．【详解】解：如图1，当爬的长方形的长是(4+6)=10，宽是3时，需要爬行的路径的长==cm；如图2，当爬的长方形的长是(3+6)=9，宽是4时，需要爬行的路径的长==cm；如图3，爬的长方形的长是(3+4)=7时，宽是6时，需要爬行的路径的长==cm.所以要爬行的最短路径的长cm.故选C.【点睛】 本题考查平面展开路径问题，本题关键知道蚂蚁爬行的路线不同，求出的值就不同，有三种情况，可求出值找到最短路线.7．A解析：A【分析】先根据角平分线的定义、角的和差可得90ECF ∠=︒，再根据平行线的性质、等量代换可得,ACE CEF ACF F ∠=∠∠=∠，然后根据等腰三角形的定义可得,EM CM FM CM ==，从而可得6EF =，最后在Rt CEF 中，利用勾股定理即可得．【详解】 CE 平分ACB ∠，CF 平分ACD ∠，,1122ACB ACD BCE ACE DCF ACF ∴∠∠=∠=∠=∠∠=， 111(90222)ACB AC E D ACB ACD CF ACE ACF ∠=∠+∴∠+∠=∠∠∠=+=︒， //EF BC ，,BCE CEF DCF F ∠=∴∠∠=∠，,ACE CEF ACF F ∴∠=∠∠=∠，3,3EM CM FM CM ∴====，6EF EM FM ∴=+=，在Rt CEF 中，由勾股定理得：2222636CE CF EF +===，故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的定义、勾股定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键．8．A解析：A【分析】首先根据勾股定理得出圆弧的半径,然后得出点A 的坐标.【详解】解：2212=5+∴由图可知：点A 所表示的数为: 15--故选：A 【点睛】本题主要考查的就是数轴上点所表示的数,属于基础题型.解决这个问题的关键就是求出斜边的长度.在数轴上两点之间的距离是指两点所表示的数的差的绝对值.9．B解析：B【分析】如图，作CE AB ⊥与E,利用勾股定理的逆定理证明AD BC ⊥,再利用面积法求出EC 即可.【详解】如图，作CE AB ⊥与E.AD 是ABC ∆的中线,BC =12,∴BD=6,10,8,6,AB AD BD ===∴ 222AB AD BD =+,90,ADB ∴∠=,AD BC ∴⊥11,22ABC S BC AD AB CE ∆== 1289.6.10CE ⨯∴== 故选B.【点睛】 本题主要考查勾股定理的逆定理,三角形的面积等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,学会面积法求三角形的高.10．C解析：C【分析】根据等腰三角形的三线合一得出∠ADB=90°，再根据勾股定理得出BD 的长，即可得出BC 的长.【详解】在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD⊥BC，BC=2BD.∴∠ADB=90°在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD=22-AB AD=225-3=4∴BC=2BD=2×4=8.故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.二、填空题11．5【解析】试题分析：取AB中点E，连接OE、CE，在直角三角形AOB中，OE=AB，利用勾股定理的逆定理可得△ACB是直角三角形，所以CE=AB，利用OE+CE≥OC，所以OC的最大值为OE+CE，即OC的最大值=AB=5．考点：勾股定理的逆定理，12．【解析】试题分析：作点B关于AC的对称点B′，过B′点作B′D⊥AB于D，交AC于E，连接AB′、BE，则BE+ED=B′E+ED=B′D的值最小．∵点B关于AC的对称点是B′，BC=5，∴B′C=5，BB′=10．∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，∴22AC BC+，∵S△ABB′=12•AB•B′D=12•BB′•AC，∴B′D=B10121201313B ACAB'⋅⨯==,∴BE+ED= B′D=12013.考点：轴对称-最短路线问题.13．9625【分析】将△B´CF 的面积转化为求△BCF 的面积，由折叠的性质可得CD ＝AC ＝6，∠ACE ＝∠DCE ，∠BCF ＝∠B´CF ，CE ⊥AB ，可证得△ECF 是等腰直角三角形，EF ＝CE ，∠EFC ＝45°，由等面积法可求CE 的长，由勾股定理可求AE 的长，进而求得BF 的长，即可求解．【详解】根据折叠的性质可知，CD ＝AC ＝6，∠ACE ＝∠DCE ，∠BCF ＝∠B´CF ，CE ⊥AB ， ∴∠DCE ＋∠B´CF ＝∠ACE ＋∠BCF ， ∵∠ACB ＝90°，∴∠ECF ＝45°，且CE ⊥AB ，∴△ECF 是等腰直角三角形，∴EF ＝CE ，∠EFC ＝45°，∵S △ABC ＝12AC•BC ＝12AB•CE ， ∴AC•BC ＝AB•CE ，∵根据勾股定理求得AB ＝10，∴CE ＝245， ∴EF ＝245，∵AE 185， ∴BF ＝AB−AE−EF ＝10－185－245＝85， ∴S △CBF ＝12×BF ×CE ＝12×85×245＝9625， ∴S △CB´F ＝9625， 故填：9625． 【点睛】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，根据折叠的性质求得相等的角是解决本题的关键．14．1或78【分析】 分为三种情况：①PQ BP =，②BQ QP =，③BQ BP =，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．【详解】解：分为3种情况：①当PB PQ =时，4=OA ，3OB =，∴5BC AB ===， C 点与A 点关于直线OB 对称，BAO BCO ∴∠=∠，BPQ BAO ∠=∠，BPQ BCO ∴∠=∠，APB APQ BPQ BCO CBP ∠=∠+∠=∠+∠，APQ CBP ∴∠=∠，在APQ 和CBP 中，BAO BCP APQ B PQ B P C P ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨=⎪⎩， ()APQ CBP AAS ∴△≌△，∴5AP BC ==，1OP AP OA ∴=-=；②当BQ BP =时，BPQ BQP ∠=∠，BPQ BAO ∠=∠，BAO BQP ∴∠=∠，根据三角形外角性质得：BQP BAO ∠>∠，∴这种情况不存在；③当QB QP =时，QBP BPQ BAO ∠=∠=∠，PB PA ∴=，设OP x =，则4PB PA x ==-在Rt OBP △中，222PB OP OB =+，222(4)3x x ∴-=+， 解得：78x =； ∴当PQB △为等腰三角形时，1OP =或78； 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题，注意分类讨论．15．413 【分析】 延长AD 至点E ，使得DE ＝AD ＝4，结合D 是中点证得△ADC ≌△EDB ，进而利用勾股定理逆定理可证得∠E ＝90°，再利用勾股定理求得BD 长进而转化为BC 长即可．【详解】解：如图，延长AD 至点E ，使得DE ＝AD ＝4，连接BE ，∵D 是BC 边中点，∴BD ＝CD ，又∵DE ＝AD ，∠ADC ＝∠EDB ，∴△ADC ≌△EDB （SAS ），∴BE ＝AC ＝6，又∵AB ＝10，∴AE 2＋BE 2＝AB 2，∴∠E ＝90°，∴在Rt △BED 中，222264213BD BE DE =+=+=，∴BC ＝2BD ＝413，故答案为：413．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线是解决本题的关键．16．12【分析】延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.证∆BCO ≅∠EAO ，再证三角形BOE 是等腰直角三角形，利用勾股定理可得BE=()()222210210220BO EO +=+=，可得AB=BE-AE.【详解】如图，延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.因为三角形COA 是等腰直角三角形所以CO=AO,∠AOC=∠BOC+∠AOB=90°因为∠ABC=90°，∠AOC=90°，所以∠BAO+∠BCO=180°,又∠BAO+∠OAE=180°所以∠BCO=∠OAE所以∆BCO ≅∠EAO所以BO=EO, ∠BOC=∠EOA所以，∠BOE=∠EOA+∠AOB=90°所以三角形BOE 是等腰直角三角形所以BE=()()222210210220BO EO +=+=所以AB=BE-AE=20-8=12故答案为：12【点睛】考核知识点：全等三角形，勾股定理.构造全等三角形是关键. 17．10 【分析】过点F 作FG ⊥BE ，连接OF 、EF ，先根据等腰直角三角形的性质得出DC 的值，再用勾股定理求出OE 的值，然后根据中位线定理得出FG 的的值，最后再根据勾股定理得出OF 的值即可.【详解】过点F 作FG ⊥BE ，连接OF 、EF ，如下图所示：∵DBC ∆是等腰直角三角形，且BF CF =，8BC =∴422DC DB ===∵2OD =∴32OC DC OD =-=∴2234OB BD DO +=设OE x =，∵∠BEC=90°则()2222OC OE BC OB OE -=-+ ∴334OE = ∴22123417EC OC EO =-=∵BF CF =，FG ⊥BE ，∠BEC=90° ∴1634217FG EC == ∴203417BE BO OE =+= ∴17342GO GE OE BE OE =-=-= ∴22=10OF GO GF -=【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形、中位线定理、勾股定理等，综合度比较高，准确作出辅助线是关键.18．322或11或5或1095【分析】分别就E ，F 在AC,BC 上和延长线上，分别画出图形，过D 作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G ，H ，通过构造全等三角形和运用勾股定理作答即可.【详解】解：①过D 作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G ，H∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45°又∵D 是AB 的中点，∴DG=12BC 同理：DH=12AC 又∵BC=AC∴DG=DH在Rt△DGE 和Rt△DHF 中DG=DH,DE=DF∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL ）∴GE=HF又∵DG=DH,DC=DC∴△GDC≌△FHC∴CG=HC∴CE=GC -GE=CH-HF=CF=AB-BF=3 ∴EF=223332+=②过D 作DG⊥AC，DH⊥BC ，垂足为G ，H∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45°又∵D 是AB 的中点，∴DG=12BC 同理：DH=12AC 又∵BC=AC∴DG=DH在Rt△DGE 和Rt△DHF 中 DG=DH,DE=DF∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL ）∴GE=HF又∵DG=DH,DC=DC∴△GDC≌△FHC∴CG=HC∴CE=CF=AC+AE=AB+BF=7+4=11221111112+=③如图，以点D 为圆心，以DF 长为半径画圆交AC 边分别为E 、E '，过点D 作DH⊥AC 于点H ，可知DF DE DE '==，可证△EHD≌△E HD '，CE D CFD '≌，△DHC 为等腰直角三角形，∴∠1+∠2=45°∴∠EDF=2（∠1+∠2）=90°∴△EDF 为等腰直角三角形可证AED CFD △△≌∴AE=CF=3,CE=BF=4 ∴2222435EF CE CF =+=+=④有第③知，EF=5，且△EDF 为等腰直角三角形，∴ED=DF=522,可证△E CF E DE ''∆∽,2223y x +=525222x =+综上可得：25x =∴2222E F DE DF DE '''''=+=1095E F ''= 【点睛】本题考查了全等三角形和勾股定理方面的知识，做出辅助线、运用数形结合思想是解答本题的关键.19．258【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据DE垂直平分AC得出FA的长，根据相似三角形的判定定理得出△AFD∽△CBA，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．【详解】∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC=2222AB+BC=3+4=5；∵DE垂直平分AC，垂足为F，∴FA=12AC=52，∠AFD=∠B=90°，∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∴△AFD∽△CBA，∴ADAC=FABC，即AD5=2.54，解得AD=258；故答案为258．【点睛】本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．20．35 5【详解】四边形DEFA是正方形，面积是4；△ABF，△ACD的面积相等，且都是×1×2=1．△BCE的面积是：12×1×1=12．则△ABC的面积是：4﹣1﹣1﹣12=32．在直角△ADC中根据勾股定理得到：AC=222+1=5．设AC边上的高线长是x．则12AC•x=5x=32，解得：x=355．355.三、解答题21．(1) 出发10s后，△BMN为等边三角形；(2)出发6s或15s后，△BMN为直角三角形．【分析】（1）设时间为x ，表示出AM=x 、BN=2x 、BM=30-x ，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得；（2）分两种情况：①∠BNM=90°时，即可知∠BMN=30°，依据BN=12BM 列方程求解可得；②∠BMN=90°时，知∠BNM=30°，依据BM=12BN 列方程求解可得． 【详解】解 (1)设经过x 秒，△BMN 为等边三角形，则AM ＝x ，BN ＝2x ，∴BM ＝AB －AM ＝30－x ，根据题意得30－x ＝2x ，解得x ＝10，答：经过10秒，△BMN 为等边三角形；(2)经过x 秒，△BMN 是直角三角形，①当∠BNM ＝90°时，∵∠B ＝60°，∴∠BMN ＝30°， ∴BN ＝12BM ，即2x ＝12(30－x)， 解得x ＝6；②当∠BMN ＝90°时，∵∠B ＝60°，∴∠BNM ＝30°，∴BM ＝12BN ，即30－x ＝12×2x ， 解得x ＝15，答：经过6秒或15秒，△BMN 是直角三角形．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，等边三角形的判定.22．（1）2）83；（3）5.5秒或6秒或6.6秒【分析】（1）根据点P 、Q 的运动速度求出AP ，再求出BP 和BQ ，用勾股定理求得PQ 即可； （2）由题意得出BQ BP =，即28t t =-，解方程即可；（3）当点Q 在边CA 上运动时，能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当CQ BQ =时（图1)，则C CBQ ∠=∠，可证明A ABQ ∠=∠，则BQ AQ =，则CQ AQ =，从而求得t ；②当CQ BC =时（图2)，则12BC CQ +=，易求得t ；③当BC BQ =时（图3)，过B 点作BE AC ⊥于点E ，则求出BE ，CE ，即可得出t ．【详解】（1）解：（1）224BQ cm =⨯=，8216BP AB AP cm =-=-⨯=，90B ∠=︒， 222246213()PQ BQ BP cm =+=+=； （2）解：根据题意得：BQ BP =，即28t t =-，解得：83t =； 即出发时间为83秒时，PQB ∆是等腰三角形； （3）解：分三种情况：①当CQ BQ =时，如图1所示：则C CBQ ∠=∠，90ABC ∠=︒， 90CBQ ABQ ∴∠+∠=︒，90A C ∠+∠=︒，A ABQ ∴∠=∠BQ AQ ∴=，5CQ AQ ∴==，11BC CQ ∴+=，112 5.5t ∴=÷=秒．②当CQ BC =时，如图2所示：则12BC CQ +=1226t ∴=÷=秒．③当BC BQ =时，如图3所示：过B 点作BE AC ⊥于点E ， 则68 4.8()10AB BC BE cm AC ⨯=== 22 3.6CE BC BE cm ∴=-=，27.2CQ CE cm ∴==，13.2BC CQ cm ∴+=，13.22 6.6t ∴=÷=秒．由上可知，当t 为5.5秒或6秒或6.6秒时，BCQ ∆为等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．23．（1）见详解（2）①结论：222BD FC DF +=，证明见详解②35【分析】（1）根据SAS ，只要证明BAD CAE ∠=∠即可解决问题；（2）①结论：222BD FC DF +=．连接EF ，进一步证明90ECF ∠=︒，DF EF =，再利用勾股定理即可得证；②过点A 作AG BC ⊥于点G ，在Rt ADG 中求出AG 、DG 即可求解．【详解】解：（1）∵AE AD ⊥∴90DAC CAE ∠+∠=︒∵90BAC ∠=︒∴90DAC BAD ∠+∠=︒∴BAD CAE ∠=∠∴在ABD △和ACE △中 AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD △≌ACE △()SAS（2）①结论：222BD FC DF +=证明：连接EF ，如图：∵ABD △≌ACE △∴B ACE ∠=∠，BD CE =∴90ECF BCA ACE BCA B ∠=∠+∠=∠+∠=︒∴222FC CE EF +=∴222FC BD EF +=∵AF 平分DAE ∠∴DAF EAF ∠=∠∴在DAF △和EAF △中AD AE DAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DAF △≌EAF △()SAS∴DF EF =∴222FC BD DF +=即222BD FC DF +=②过点A 作AG BC ⊥于点G ，如图：∵由①可知222223425DF BD FC =+=+=∴5DF =∴35412BC BD DF FC =++=++=∵AB AC =，AG BC ⊥ ∴1112622BG AG BC ===⨯= ∴633DG BG BD =-=-=∴在Rt ADG中，AD ===故答案是：（1）见详解（2）①结论：222BD FC DF +=，证明见详解②【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质以及角平分线的性质．综合性较强，属中档题，学会灵活应用相关知识点进行推理证明．24．（1）详见解析；（2；（3【分析】（1）证∠EAC=∠DAB.利用SAS 证△ACE ≌△ABD 可得；（2）连接BD ，证1302FEA AED ∠=∠=，证△ACE ≌△ABD 可得30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5，利用勾股定理求解；（3）作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=，利用勾股定理得AE =，，根据（1）思路得.【详解】(1) 证明：∵∠DAE=∠BAC ，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD ，即∠EAC=∠DAB.在△ACE 与△ABD 中，AD AE EAC BAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACE ≌△ABD(SAS)，∴BD CE =；(2)连接BD因为AD AE =， 60DAE BAC ∠=∠=，所以ADE ∆是等边三角形因为60DAE DEA EDA ∠=∠=∠=,ED=AD=AE=4因为CE AD ⊥ 所以1302FEA AED ∠=∠= 同(1)可知△ACE ≌△ABD(SAS)，所以30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5所以90BDE BDA ADE ∠=∠+∠=所以=(3)作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=所以AE=222AB AC AC +=因为AB AC =所以AE 2AB =又因为45CAB ∠= 所以90ABE ∠= 所以()222223BE AE AB AB AB AB =+=+= 因为45CBD CDB ∠=∠=所以BC=CD, 90BCD ∠=因为同(1)可得△ACD ≌△ECB(SAS)所以AD=BE=3AB所以33AD AB AB ==【点睛】考核知识点:等边三角形;勾股定理.构造全等三角形和直角三角形是关键.25．（1）2，232）证明见解析（3221（423221【分析】（1）根据含有30°角的直角三角形的性质可得BC=2，再由勾股定理即可求出AC 的长； （2）由ED 为AB 垂直平分线可得DB=DA ，在Rt △BDE 中，由勾股定理可得BD=4，可得BD=2BE ，故∠BDE 为60°，即可证明ABD ∆是等边三角形；（3）由（1）（2）可知，=23AC ，AD=4，进而可求得CD 的长，再由等积法可得BCD ACD ACBD S S S =+四边形，代入求解即可；（4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，构造Rt △PQE ，再根据勾股定理即可求解.【详解】（1）∵Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，∴122BC AB ==，∴22=23AC AB BC =-； （2）∵ED 为AB 垂直平分线，∴ADB=DA ，在Rt △BDE 中， ∵122BE AE AB ===，23DE =， ∴22=4BD BE DE =+，∴BD=2BE ，∴∠BDE 为60°，∴ABD ∆为等边三角形；（3））由（1）（2）可知，=23AC ，AD=4，∴22=27CD AC AD =+，∵BCD ACD ACBD S SS =+四边形， ∴111()222BC AD AC AC AD BF CD +⨯=⨯+⨯， ∴221BF =； （4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，如图，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，∵AE=2，∠BAC=30°，∴EQ=1，∵=23AC ，∴=3CQ QA =，①若点P 在线段AC 上，则3PQ CQ CP =-=，∴PE =； ②若点P 在线段AC 的延长线上，则3PQ CQ CP =+=，∴PE =；综上，PE . 【点睛】 本题考查勾股定理及其应用、含30°的直角三角形的性质等，解题的关键一是能用等积法表示并求出BF 的长，二是对点P 的位置要分情况进行讨论.26．(1)①见解析；②()22012x y x x-=<<-；（2）见解析 【解析】【分析】（1）①连接DE ，如图1，先用SAS 证明△CBE ≌△CDE ，得EB=ED ，∠CBE =∠1，再用四边形的内角和可证明∠EBC =∠2，从而可得∠1=∠2，进一步即可证得结论；②将△BAE 绕点B 顺时针旋转90°，点E 落在点P 处，如图2，用SAS 可证△PBG ≌△EBG ，所以PG=EG =2－x －y ，在直角三角形PCG 中，根据勾股定理整理即得y 与x 的函数关系式，再根据题意写出x 的取值范围即可.（2）由（1）题已得EB=ED ，根据正方形的对称性只需再确定点E 关于点O 的对称点即可，考虑到只有直尺，可延长BE 交AD 于点M ，再连接MO 并延长交BC 于点N ，再连接DN 交AC 于点Q ，问题即得解决.【详解】（1）①证明：如图1，连接DE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴CB=CD ，∠BCE =∠DCE =45°，又∵CE=CE ，∴△CBE ≌△CDE （SAS ），∴EB=ED ，∠CBE =∠1，∵∠BEC =90°，∠BCF =90°，∴∠EBC +∠EFC =180°，∵∠EFC +∠2=180°，∴∠EBC =∠2，∴∠1=∠2.∴ED=EF ，∴BE=EF .②解：∵正方形ABCD的边长为2，∴对角线AC =2.将△BAE 绕点B 顺时针旋转90°，点A 与点C 重合，点E 落在点P 处，如图2， 则△BAE ≌△BCP ，∴BE =BP ，AE=CP=x ，∠BAE =∠BCP =45°，∠EBP =90°，由①可得，∠EBF =45°，∴∠PBG =45°=∠EBG ，在△PBG 与△EBG 中，PB EB PBG EBG BG BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PBG ≌△EBG （SAS ）.∴PG=EG =2－x －y ，∵∠PCG =∠GCB +∠BCP =45°+45°=90°，∴在Rt △PCG 中，由222PC CG PG +=，得()2222x y x y +=--，化简，得()22012x y x x-=<<-. （2）如图3，作法如下：①延长BE 交AD 于点M ，②连接MO 并延长交BC 于点N ，③连接DN 交AC 于点Q ，④连接DE 、BQ ，则四边形BEDQ 为菱形.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四边形的内角和、勾股定理和菱形的作图等知识，其中通过三角形的旋转构造全等三角形是解决②小题的关键，利用正方形的对称性确定点Q 的位置是解决（2）题的关键.27．（1）1(491)2-；1(491)2+；（2）21(1)2n -；21(1)2n +；（3）21m -；21m +；（4）10；26； 12；35；【解析】【分析】（1）依据规律可得，如果勾为7，则股24=1(491)2-， 弦25=1(491)2+； （2）如果勾用n （n≥3，且n 为奇数）表示时，则股=21(1)2n -， 弦=21(1)2n +； （3）根据规律可得，如果a ，b ，c 是符合同样规律的一组勾股数，a=2m （m 表示大于1的整数），则b=m 2-1，c=m 2+1；（4）依据柏拉图公式，若m 2-1=24，则m=5，2m=10，m 2+1=26；若m 2+1=37，则m=6，2m=12，m 2-1=35．【详解】解：（1）依据规律可得，如果勾为7，则股24=1(491)2-， 弦25=1(491)2+； 故答案为：1(491)2-；1(491)2+； （2）如果勾用n （n≥3，且n 为奇数）表示时，则股=21(1)2n -，弦=21(1)2n +； 故答案为：21(1)2n -；21(1)2n +； （3）根据规律可得，如果a ，b ，c 是符合同样规律的一组勾股数，a=2m （m 表示大于1的整数），则b=m 2-1，c=m 2+1；故答案为：m 2-1，m 2+1；（4）依据柏拉图公式，若m 2-1=24，则m=5，2m=10，m 2+1=26；若m 2+1=37，则m=6，2m=12，m 2-1=35；故答案为：10、26；12、35．【点睛】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC 的三边满足a 2+b 2=c 2，则△ABC 是直角三角形．28．（1）46（2）（123+24+510）m 2【分析】（1）由已知△ABC 的三边a=4，b=5，c=7，可知这是一个一般的三角形，故选用海伦-奏九韶公式求解即可；（2）过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，连接BD.将所求四边形的面积转化为三个三角形的面积的和进行计算．【详解】（1）解：△ABC 的面积为S ＝()()()()a b c a b c a c b b c a +++-+-+-＝(457)(457)(475)(574)+++-+-+- ＝46 故答案是：46；（2）解：如图：过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，连接BD （如图所示）在Rt △ADE 中，∵∠A ＝60°，∴∠ADE ＝30°，∴AE ＝12AD ＝6 ∴BE ＝AB ﹣AE ＝62﹣6＝2DE 2222(46)(26)62AD AE -=-=∴BD＝2222BE DE(42)(62)226+=+=∴S△BCD＝1(57226)(57226)(22675)(22657)510 4+++-+-+-=∵S△ABD＝11(2642)6212324 22AB DE⋅=⨯+⨯=+∴S四边形ABCD＝S△BCD+S△ABD＝12324510++答：该块草地的面积为（12324510++）m2．【点睛】本题考查了勾股定理的应用和三角形面积的求解方法.此题难度不大，注意选择适当的求解方法是关键.29．（1）AB＝45；（2）见解析；（3）CD+CF的最小值为47.【分析】（1）根据勾股定理可求AB的长；（2）过点D作DF⊥AO，根据等腰三角形的性质可得OF＝EF，根据轴对称的性质等腰直角三角形的性质可得AF＝DF，设OF＝EF＝x，AE＝4﹣2x，根据勾股定理用参数x表示DE，CE的长，即可证CE＝2DE；（3）过点B作BM⊥OB，在BM上截取BM＝AO，过点C作CN⊥BM，交MB的延长线于点N，根据锐角三角函数可得∠ABO＝30°，根据轴对称的性质可得AC＝AO＝4，BO＝BC ＝43，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠OAB＝∠CAB＝60°，根据“SAS”可证△ACF≌△BMD，可得CF＝DM，则当点D在CM上时，CF+CD的值最小，根据直角三角形的性质可求CN，BN的长，根据勾股定理可求CM的长，即可得CF+CD的最小值．【详解】（1）∵点A（0，4），B（m，0），且m＝8，∴AO＝4，BO＝8，在Rt△ABO中，AB＝2245AO BO+=（2）如图，过点D作DF⊥AO，∵DE＝DO，DF⊥AO，∴EF＝FO，∵m＝4，∴AO＝BO＝4，∴∠ABO＝∠OAB＝45°，∵点C，O关于直线AB对称，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，AO＝AC＝OB＝BC＝4，∴∠CAO ＝∠CBO ＝90°，∵DF ⊥AO ，∠BAO ＝45°，∴∠DAF ＝∠ADF ＝45°，∴AF ＝DF ，设OF ＝EF ＝x ，AE ＝4﹣2x ，∴AF ＝DF ＝4﹣x ，在Rt △DEF 中，DE ＝()2222242816EF DF x x x x +=+-=-+ 在Rt △ACE 中，CE ＝()()2222164222816AC AE x x x +=+-=-+ ∴CE ＝2DE ，（3）如图，过点B 作BM ⊥OB ，在BM 上截取BM ＝AO ，过点C 作CN ⊥BM ，交MB 的延长线于点N ，∵m ＝3，∴OB ＝3∴tan ∠ABO ＝343AO BO ==， ∴∠ABO ＝30°∵点C ，O 关于直线AB 对称，∴AC ＝AO ＝4，BO ＝BC ＝3，∠ABO ＝∠ABC ＝30°，∠OAB ＝∠CAB ＝60°， ∴∠CAF ＝120°，∠CBO ＝60°∵BM ⊥OB ，∠ABO ＝30°，∴∠ABM ＝120°，∴∠CAF ＝∠ABM ，且DB ＝AF ，BM ＝AO ＝AC ＝4，∴△ACF ≌△BMD （SAS ）∴CF ＝DM ，∵CF +CD ＝CD +DM ，∴当点D 在CM 上时，CF +CD 的值最小，即CF +CD 的最小值为CM 的长，∵∠CBO ＝60°，BM ⊥OB ，∴∠CBN ＝30°，且BM ⊥OB ，BC ＝3∴CN＝BNCN＝6，∴MN＝BM+BN＝4+6＝10，在Rt△CMN中，CM=，∴CD+CF的最小值为.【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，最短路径问题等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．30．（1）证明见解析；（2）AF＝5cm；（3）①有可能是矩形，P点运动的时间是8，Q的速度是0.5cm/s；②t＝203．【解析】【分析】（1）证△AEO≌△CFO，推出OE=OF，根据平行四边形和菱形的判定推出即可；（2）设AF=CF=a，根据勾股定理得出关于a的方程，求出即可；（3）①只有当P运动到B点，Q运动到D点时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，求出时间t，即可求出答案；②分为三种情况，P在AF上，P在BF上，P在AB 上，根据平行四边形的性质求出即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，∵AC的垂直平分线EF，∴AO＝OC，AC⊥EF，在△AEO和△CFO中∵AEO CFOAOE COF AO OC∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE＝OF，∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴平行四边形AECF是菱形；（2）解：设AF＝acm，∵四边形AECF是菱形，∴AF＝CF＝acm，∵BC＝8cm，。

人教版八年级数学上学期第一次质量检测测试卷含答案一、选择题1．下列根式是最简二次根式的是（ ）A B C D ．2．下列计算结果正确的是（ ）A B ．3=C =D=3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）AB C ． D 4．下列各式中正确的是（ ）A 6B 2=-C 4D ．2(＝75．下列说法错误的个数是（ ）a =；④数轴上的点都表示有理数A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知m 、n m ，n ）为（ ）A ．（2，5）B ．（8，20）C ．（2，5），（8，20）D ．以上都不是7．下列计算正确的是（ ）A ．+=B ．()322326a b a b -=-C ．222()a b a b -=-D ．2422a ab a a b a -+⋅=-++8．若a ，b ＝，则a b 的值为（ ） A ．12 B ．14 C ．321+ D 9．下列运算一定正确的是( )A a =B =C ．222()a b a b ⋅=⋅D ()0n a m =≥10．如果实数x ，y =-(),x y 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第一象限或坐标轴上D ．第二象限或坐标轴上11．下列根式中是最简二次根式的是（ ）A B C D 12．下列运算错误的是（ ）A B2 C ．D 1=二、填空题13．=___________．14．+的形式(,,a b c 为正整数)，则abc =______.15的最小值是______．16．计算：20082009⋅-=_________．17．已知4a |2|a -=_____．18．若a 、b 为实数，且b +4，则a+b ＝_____．19．化简：＝_____．20．已知2x =243x x --的值为_______．三、解答题21．先阅读下列解答过程，然后再解答：,a b ，使a b m +=，ab n =，使得22m +==)a b ==>7,12m n ==，由于437,4312+=⨯=，即：227+=，=2===+。

人教版八年级上学期第一次质量检测数学试卷及解析一、选择题1．下列计算正确的是（ ）A ．=1212⨯B ．4-3=1C ．63=2÷D ．8=2±2．下列计算正确的是（ ）A ．42=±B ．()233-=-C ．()255-=D ．()233-=-3．当0x =时，二次根式42x -的值是（ ）A ．4B ．2C ．2D ．04．下列计算正确的是（ ）A ．93=±B ．8220-=C ．532-=D ．2(5)5-=-5．下列方程中，有实数根的方程是（ ）A ．240x +=B ．210x -+=C ．12x +=D ．331x x -+-=．6．下列各式计算正确的是（ ） A ．6232126()b a b a b a ---⋅= B ．（3xy ）2÷（xy ）=3xyC ．23a a a +=D ．2x •3x 5=6x 6 7．下列式子中，为最简二次根式的是（ ）A ．12B ．7C ．4D ．488．若a 、b 、c 为有理数，且等式成立，则2a ＋999b ＋1001c 的值是（ ）A ．1999B ．2000C ．2001D ．不能确定9．23a -2a a 的值是（ ）A ．2B ．-1C ．3D ．-1或3 10．使式子2124x x +-x 的取值范围是（ ） A ．x≥﹣2B ．x ＞﹣2C ．x ＞﹣2，且x ≠2D ．x≥﹣2，且x ≠2 11．230x x +-=成立的x 的值为（ ） A ．-2 B ．3 C ．-2或3 D ．以上都不对12．下列根式中是最简二次根式的是（ ）A 23B 10C 9D 3a二、填空题13．化简并计算：...+=________．（结果中分母不含根式）14．已知，-1，则x 2+xy +y 2=_____．15．10=，则222516x y +=______. 16．14+⋅⋅⋅=的解是______．17．÷=________________ .18．已知x ，y ，则x 2＋xy ＋y 2的值为______． 19．若实数a =，则代数式244a a -+的值为___. 20．有意义，则x 的取值范围是____． 三、解答题21．计算：（1（2）)((222+-+．【答案】(1)【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）根据平方差公式化简，再化简、合并同类二次根式即可.【详解】（1==（2）)((222+-+=2223--+ =5-4-3+2=022．像2)＝1＝a (a ≥0)、﹣1)＝b ﹣1(b ≥0)……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因+1﹣1，﹣因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：(1)； (2)+；(3)的大小，并说明理由．【答案】（1（2）（3）＜ 【解析】分析：（1=1，确定互为有理化因式，由此计算即可；（2）确定分母的有理化因式为2与2+然后分母有理化后计算即可；（3与，，然后比较即可.详解：(1) 原式=9；（2）原式=2+=2+（3）根据题意，-==，><，>点睛：此题是一个阅读题，认证读题，了解互为有理化因式的实际意义，以及特点，然后根据特点变形解题是关键.23．）÷）（a ≠b ）．【答案】【解析】试题分析：先计算括号内的，然后把除法转化为乘法，约分即可得出结论．试题解析：解：原式＝()()a b a b --+-222224．观察下列一组等式，然后解答后面的问题1)1=，1=，1=，1=⋯⋯（1）观察以上规律，请写出第n 个等式： (n 为正整数）．（2（3【答案】（1）1=；（2）9；（3【分析】(1)根据规律直接写出,(2)先找出规律，分母有理化，再化简计算.(3)先对两个式子变形，分子有理化，变为分子为1，再比大小.【详解】解：（1）根据题意得：第n个等式为1=；故答案为1=；（2）原式111019==-=；（3-==，<∴>．【点睛】本题是一道利用规律进行求解的题目，解题的关键是掌握平方差公式.25．计算下列各题（1）⎛÷ ⎝（2）2-【答案】(1)1;(2)．【分析】(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算即可；(2)利用完全平方公式和平方差公式展开，然后再进行合并即可.【详解】(1)原式=1；(2)原式+2)．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.26．已知x y ==求下列各式的值： (1)22x xy y -+； (2).y x x y+ 【答案】(1) 72;(2)8. 【分析】计算出xy=12， （1）把x 2-xy+y 2变形为（x+y ）2-3xy ，然后利用整体代入的方法计算；（2）把原式变形为2()2x y xy xy+-，然后利用整体代入的方法计算. 【详解】∵x =2，y ==32∴xy=12, (1)22x xy y -+=（x+y ）2-3xy,=2132-⨯=72; (2)y x x y +=2212()22812x y xy xy -⨯+-==.【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．27．计算（1（2）(()21-【答案】（1）2；（2）24+ 【分析】（1）先将各二次根式化为最简二次根式，再进行合并即可得到答案；（2）原式运用平方差公式和完全平方公式把括号展开后，再合并同类二次根式即可得到答案．【详解】解：（1=2+=(2-+= （2）(()21-=22(181)---=452181--+=24+．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答此题的关键．28．(1)已知a2+b2=6，ab=1，求a﹣b的值；b=，求a2+b2的值．(2)已知【答案】（1）±2；（2）2．【分析】（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；（2）先分母有理化，再根据完全平方公式和平方差公式即可求解．【详解】（1）由a2+b2=6，ab=1，得a2+b2-2ab=4，（a-b）2=4，a-b=±2．a===（2）b===222+=+-=-=-=()22312a b a b ab⎝⎭【点睛】本题考查了分母有理化、完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．29．计算：（1；（2+2）2+2）．【答案】（1-2）【分析】（1）直接化简二次根式进而合并得出答案；（2）直接利用乘法公式计算得出答案．【详解】解：（1）原式＝-++-＝6+．（2）原式＝3434【点睛】本题考查了二次根式的运算，在进行二次根式运算时，可以运用乘法公式，运算率简化运算．30．计算：（1 ；（2）))213【答案】（1）2）1-.【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则可以算得答案．（2）结合整式的乘法公式和二次根式的运算法则计算．【详解】（1）原式==（2）原式=212---=1-.【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的意义、性质和运算法则是解题关键．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】2÷故选A.2．C解析：C【分析】直接利用二次根式的性质分别求解，即可得出答案．【详解】解：A ，故A 选项错误；B ，故B 选项错误；C 选项：2=5，故C 选项正确；D选项：2=3，故D选项错误，故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，正确求解二次根式是解题的关键．3．B解析：B【分析】把x=0【详解】解：当x=0时，=2，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键．4．B解析：B【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【详解】=，故此选项错误；3=，正确；D. 5=，故此选项错误；故选：B【点睛】此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握二次根式的性质是解题关键．5．C解析：C【分析】k=的形式，再根据二次根式成立的条件逐个进行判断即可．【详解】解：A、x2+4=0，此时方程无解，故本选项错误；B10=，-，1∵算术平方根是非负数，∴此时方程无解，故本选项错误；C 2=，∴x+1=4，∴x=3，故本选项正确；D 1=，∴x-3≥0且3-x≥0，解得：x=3，代入得：0+0=1，此时不成立，故本选项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的意义，能根据二次根式成立的条件进行判断是解此题的关键．6．D解析：D【分析】依据单项式乘以单项式、单项式除以单项式以及二次根式的加法法则对各项分别计算出结果，再进行判断即可得到结果．【详解】 A. 2321526()b a b a b a ---⋅=，故选项A 错误； B. （3xy ）2÷（xy ）=9xy ，故选项B 错误；C 错误；D. 2x •3x 5=6x 6，正确．故选：D ．【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．B解析：B【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．【详解】=，故A 不是最简二次根式；是最简二次根式，故B 正确；，故C 不是最简二次根式；=D 不是最简二次根式；【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．8．B解析：B【解析】因=，所以a=0，b=1，c=1，即可得2a＋999b＋1001c=999+1001=2000，故选B.点睛：本题考查了二次根式的性质与化简，将复合二次根式根据完全平方公式化简并比较系数是解题的关键．9．C解析：C【分析】根据同类二次根式的性质即可求出答案．【详解】由题意可知：a2-3=2a∴解得：a=3或a=-1当a=-1时，该二次根式无意义，故a=3故选C．【点睛】本题考查二次根式的概念，解题的关键是熟练正确理解最简二次根式以及同类二次根式的概念.10．C解析：C【分析】根据分式和二次根式有意义的条件（分式的分母不为零，二次根式的被开方数为非负数）即可得到结果.【详解】≠,解：由题意得：2x-40∴≠±,x2x+≥,又∵20∴x≥-2.x≠.∴x的取值范围是：x>-2且2故选C.【点睛】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，解不等式，是基础题.11．B【分析】根据二次根式有意义的条件以及二次根式的乘法进行分析即可得答案.【详解】x30-=，=0=，∴x=-2或x=3，又∵2030 xx+≥⎧⎨-≥⎩，∴x=3，故选B.【点睛】本题考查了二次根式的乘法以及二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键. 12．B解析：B【分析】根据最简二次根式的条件：①根号下不含能开得尽方的因数或因式；②根号下不含分母，据此逐项判断即可．【详解】解：A、被开方数含分母，故A不符合题意；B、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．，故B符合题意；C被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C不符合题意；D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的两个条件．二、填空题13．【分析】根据=，将原式进行拆分，然后合并可得出答案．【详解】解：原式==．故答案为．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是将原式进行拆分，有一定的技巧性，注意仔细观【分析】-，将原式进行拆分，然后合并可得出答案． 【详解】解：原式====220400x x x-．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是将原式进行拆分，有一定的技巧性，注意仔细观察．14．10【解析】根据完全平方式的特点，可得x2+xy+y2=（x+y ）2﹣xy=（2）2﹣（+1）（﹣1）=12﹣2=10．故答案为10．解析：10【解析】根据完全平方式的特点，可得x 2+xy+y 2=（x+y ）2﹣xy=（2﹣1）=12﹣2=10．故答案为10． 15．【解析】【分析】把带根号的一项移项后平方，整理后再平方，然后整理即可得解.【详解】移项得，两边平方得，整理得，两边平方得，所以，两边除以400得，1.故答案为1.【点睛】解析：【解析】【分析】把带根号的一项移项后平方，整理后再平方，然后整理即可得解.【详解】10=-两边平方得，()()22223=1003x y x y ++--+整理得，253x =- 两边平方得，22225150225256251509x x y x x -++=-+ 所以，221625400x y +=两边除以400得，222516x y +=1. 故答案为1.【点睛】本题考查了非负数的性质，此类题目难点在于把两个算术平方根通过移项分到等式左右两边.16．9【解析】【分析】设y=，由可将原方程进行化简，解化简后的方程即可求得答案.【详解】设y=，则原方程变形为，∴，即，∴4y+36-4y=y(y+9)，即y2+9y-36=0，∴解析：9【解析】【分析】设()11111y y y y =-++可将原方程进行化简，解化简后的方程即可求得答案.设则原方程变形为()()()()()1111112894y y y y y y ++=+++++， ∴1111111112894y y y y y y -+-++-=+++++， 即11194y y -=+， ∴4y+36-4y=y(y+9)，即y 2+9y-36=0，∴y=-12或y=3， ∵， ∴，∴x=9，故答案为：9.【点睛】本题考查了解无理方程，解题的关键是利用换元法，还要注意()11111yy y y =-++的应用. 17．【解析】=，故答案为.解析：【解析】÷=()()2232===--， 故答案为18．4【详解】根据完全平方公式可得：原式=－xy==5－1=4．解析：4【详解】 根据完全平方公式可得：原式=2()x y +－xy=251515151)222=5－1=4．【解析】∵ =，∴=（a-2）2==3，故答案为3.解析：3【解析】∵a =∴244a a -+=（a-2）2=()222+=3， 故答案为3.20．x≥0．【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．【详解】∵有意义，∴x≥0，故答案为x≥0．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． 解析：x≥0．【分析】 直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．【详解】有意义，∴x≥0， 故答案为x≥0．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无。

人教版八年级上学期第一次质量检测数学试题含解析一、选择题1．下列计算正确的是（ ） A ．2×3=6B ．2+3=5C ．8=42D ．4﹣2=22．下列各式中，无意义的是（ ） A ．23-B ．()333-C ．()23-D ．310-3．若x 2+在实数范围内有意义，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．4．下列运算中，正确的是( ) A 325=B 321=C 326=D 332=5．下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A 12B 7C 4D 486．当4x =22232343124312x x x x x x -+--+++的值为（ ）A ．1B 3C ．2D ．37．如果关于x 的不等式组0,2223x mx x -⎧>⎪⎪⎨-⎪-<-⎪⎩的解集为2x >3m -则符合条件的所有整数m 的个数是（ ）． A ．5B ．4C ．3D ．28．化简二次根式 22a a+- ） A 2a --B 2a --C 2a -D 2a -9．2a a =-成立，那么a 的取值范围是（ ） A ．0a ≤ B ．0a ≥C ．0a <D ．0a >10．()23-A ．﹣3B ．3C ．﹣9D ．911．若a b >3a b - ）A ．a ab --B ．-a abC ．a abD ．-a ab12．已知m ＝12+，n ＝12-，则代数式223m n mn +-的值为 （ ） A ．±3B ．3C ．5D ．9二、填空题13．已知2215x 19x 2+--=，则2219x 215x -++=________． 14．已知x=3+1，y=3-1，则x 2+xy +y 2=_____．15．已知()230m m --≤，若整数a 满足52m a +=，则a =__________． 16．若实数x ，y ，m 满足等式()23532322x y m x y m x y x y +--++-=+----，则m+4的算术平方根为________．17．将1、2、3、6按右侧方式排列.若规定(m ，n )表示第m 排从左向右第n 个数，则(5，4)与(9，4)表示的两数之积是______.18．3a ，小数部分是b 3a b -=______. 19．化简：3222＝_____． 20．下列各式：2521+n ③24b 0.1y 是最简二次根式的是:_____（填序号）三、解答题21．小明在解决问题：已知a 23+2a 2－8a ＋1的值，他是这样分析与解答的： 因为a 23+()()32323+-＝23， 所以a －23所以(a －2)2＝3，即a 2－4a ＋4＝3. 所以a 2－4a ＝－1.所以2a 2－8a ＋1＝2(a 2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：= － . (2)… (3)若a，求4a 2－8a ＋1的值．【答案】 ，1；(2) 9；(3) 5 【分析】（11==；（2）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类项二次根式即可求解； （3）首先化简a ，然后把所求的式子化成()2413a --代入求解即可. 【详解】(1)计算：1=； (2)原式)1...11019=++++==-=；(3)1a ===，则原式()()224213413a a a =-+-=--，当1a =时，原式2435=⨯-=.【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键.22．先观察下列等式，再回答问题：=1+1=2；12=2 12；=3+13=313；…（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想第四个等式；（2）请按照上面各等式规律，试写出用 n （n 为正整数）表示的等式，并用所学知识证明．【答案】（1=144+=144；（2=211n n n n++=，证明见解析． 【分析】（1）根据“第一个等式内数字为1，第二个等式内数字为2，第三个等式内数字为3”，=414+=414；（2=n 211n n n++=”，再利用222112n n n n++=+（）（）开方即可证出结论成立．【详解】（1=1+1=2=212+=212；=313+=313；里面的数字分别为1、2、3，= 144+= 144．（2=1+1=2，=212+=212=313+=313=414+=414= 211n n n n++=．证明：等式左边==n 211n n n++==右边．=n 211n n n++=成立． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简以及规律型中数的变化类，解题的关键是：（1）猜测出第四个等式中变化的数字为4；（2）找出变化规律=n 211n n n++=”．解决该题型题目时，根据数值的变化找出变化规律是关键．23．小明在解决问题：已知2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：∵=2∴a﹣2=∴（a﹣2）2=3，a2﹣4a+4=3∴a2﹣4a=﹣1∴2a2﹣8a+1=2（a2﹣4a）+1=2×（﹣1）+1=﹣1请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1（2）若，求4a2﹣8a+1的值．【答案】（1）9；（2）5．【解析】试题分析：（1）此式必须在把分母有理化后才能实现化简，即各分式分子分母同乘以一个因式，使得1===.(2)先对a1，若就接着代入求解，计算量偏大．模仿小明做法，可先计算2(1)a-的值，就能较为简单地算出结果；也可对这个二次三项式进行配方，再代入求值．后两种方法都比直接代入计算量小很多.解：（1）原式=1)+++⋯（2）∵1a===，解法一：∵22(1)11)2a-=-=，∴2212a a-+=，即221a a-=∴原式=24(2)14115a a-+=⨯+=解法二∴原式=24(211)1a a-+-+24(1)3a=--211)3=--4235=⨯-=点睛：（1a b -， 得22()()()()+-=-=-a b a b a b a b ，去掉根号，实现分母有理化.（2）当已知量为根式时，求这类二次三项式的值，直接代入求值，计算量偏大，若能巧妙利用完全平方公式或者配方法，计算要简便得多.24．阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如3、3+1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：535==33333⨯⨯；22(31)2(31)=313+1(3+1)(31)(3)1⨯-⨯-==--- . 以上这种化简过程叫做分母有理化.3+1还可以用以下方法化简：22(3)1(3+1)(31)=313+13+13+13+1--===-. （1）请用其中一种方法化简1511-；（2）化简：++++3+15+37+599+97.【答案】(1) 15＋11；(2) 311－1. 【分析】(1)运用了第二种方法求解，即将4转化为1511－；（2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律，即后面的第二项可以和前面的第一项抵消，然后即可得出答案. 【详解】 （1）原式==；（2）原式=+++…=﹣1+﹣+﹣+…﹣=﹣1=3﹣1【点睛】本题主要考查了分母有理化，找准有理化的因式是解题的关键.25．先化简，再求值：2222212⎛⎫----÷ ⎪-+⎝⎭x y x y x x x xy y ，其中26x y ==，． 【答案】原式x yx-=-，把26x y ==，代入得，原式13=-.【详解】试题分析：先将括号里面进行通分，再将能分解因式的分解因式，约分化简即可． 试题解析：2222212⎛⎫----÷ ⎪-+⎝⎭x y x y x x x xy y ()()()222=x y x y x x xx x x y x y -⎛⎫---⋅ ⎪+-⎝⎭=y x x y x x y ---⋅+ x yx-=-把x y ==代入得：原式1==-+考点：分式的化简求值．26．先化简，再求值：24224x x x x x x ⎛⎫÷- ⎪---⎝⎭，其中2x =． 【答案】22x x +-，1 【分析】先把分式化简，然后将x 、y 的值代入化简后的式子求值即可． 【详解】 原式(2)(2)22(2)2x x x x x x x x +-+=⋅=---，当2x =时，原式1==.【点睛】本题考查了分式的化简求值这一知识点，把分式化到最简是解题的关键．27．一样的式子，其实我3==3==，1===；以上这种化简的步骤叫做分母有理化还可以用以下方法化简：221111===-=（12）化简：2n+++【答案】（1-2）12.【解析】试题分析：（12看出5-3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可．（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．试题解析：（1）=====（2）原式=122n++++=.考点：分母有理化．28．（1|5-+；（2）已知实数a、b、c满足|3|a+=，求2(b a+的值．【答案】（1）5；（2）4【分析】（1）先利用二次根式的乘法法则和绝对值的意义计算，再进行回头运算即可；（2）先根据二次根式有意义的条件确定b的值，再根据非负数的和的意义确定a，c的值，然后再计算代数式的值即可．【详解】解：（15-+5)=+5=+5=（2）由题意可知：5050b b -≥⎧⎨-≥⎩, 解得5b =由此可化简原式得，30a +=30a ∴+=，20c -=3a ∴=-，2c =22((534b a ∴+=--=【点睛】可不是考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答此题的关键．29．先化简，再求值：221()a ba b a b b a-÷-+-，其中a =2b =- 【答案】1a b -+，12-． 【分析】先把分式进行化简，得到最简分式，然后把a 、b 的值代入计算，即可得到答案． 【详解】 解：原式1()()a b a b aa b a b b a b b--=⨯-⨯+-+()()a b a b a b b a b -=--++()b bb a =-+1a b=-+，当a =2b =原式12==-．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分式的化简求值，分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．30．计算：（1 （2）（)()2221-【答案】2）1443 【分析】(1)先化成最简二次根式，然后再进行加减运算即可； (2)套用平方差公式和完全平方式进行运算即可． 【详解】解：(1)原式＝23223323，(2)原式(34)(12431)1124311443，故答案为：1443． 【点睛】本题考查二次根式的四则运算，熟练掌握二次根式的四则运算是解决本题的关键．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】分析：根据二次根式的加、减、乘、除的法则计算逐一验证即可.详解： , 此选项正确;≠此选项错误;, 此选项错误;，此选项错误.故选A.点睛：本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键.2．A解析：A 【分析】直接利用二次根式有意义的条件、负整数指数幂的性质分析得出答案． 【详解】AB ，有意义，不合题意；C D 、33110=10-，有意义，不合题意； 故选A.【点睛】 此题主要考查了二次根式有意义的条件、负整数指数幂的性质，正确把握二次根式的定义是解题关键．3．D解析：D【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+2≥0，再解不等式即可． 【详解】∴被开方数x+2为非负数，∴x+2≥0，解得：x ≥-2.故答案选D.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件.4．C解析：C【分析】根据二次根式的加、减、乘、除运算法则对各项进行计算即可得到结果． 【详解】不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误；不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误；=D =，故此选项错误； 故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答此题的关键． 5．B解析：B【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．【详解】2=，故A 不是最简二次根式；是最简二次根式，故B 正确；，故C 不是最简二次根式；=D 不是最简二次根式；故选：B ．【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．6．A解析：A【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．【详解】解：原式2223232323x x x x112323x x 将4x =代入得， 原式11423423 221113133113 133131131=.故选：A.【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．7．C解析：C【分析】先求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为2x >可得出m ≤2的值是整数，得出|m|=3或2，于是m=-3，3，-2或2，由m ≤2，得m=-3，-2或2．【详解】 解：解不等式02x m ->得x ＞m ， 解不等式223x x --<-得x ＞2， ∵不等式组解集为x ＞2，∴m ≤2，则|m|=3或2，∴m=-3，3，2或-2，由m ≤2得，m=-3，-2或2．即符合条件的所有整数m 的个数是3个．故选：C ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及二次根式的性质，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键．8．B解析：B【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a 、b 的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可【详解】 2202a aa a a +-∴+<∴<-a a ∴==•=-故选B 【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号．9．A解析：A【分析】由根号可知等号左边的式子为正，所以右边的式子也为正,所以可得答案.【详解】得-a≥0，所以a≤0，所以答案选择A 项.【点睛】本题考查了求解数的取值范围，等号两边的值相等是解答本题的关键.10．B解析：B【分析】利用二次根式的性质进行化简即可.【详解】﹣3|=3.故选B.11．D解析：D【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a 、b 的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可；【详解】∴-a 3b≥0∵a ＞b ，∴a ＞0，b ＜0a ab =-，故选：D ．【点睛】此题考查二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围． 12．B解析：B【分析】由已知可得：2,(11m n mn +==+-=-，【详解】由已知可得：2,(11m n mn +==+-=-，原式3===故选B【点睛】考核知识点：二次根式运算.配方是关键.二、填空题13．【解析】【分析】用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．【详解】设m＝，n＝，那么m−n＝2①，m2＋n2＝()2＋()2＝34②．由①得，m＝2解析：13【解析】【分析】用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．【详解】设m n那么m−n＝2①，m2＋n2＝2＋2＝34②．由①得，m＝2＋n③，将③代入②得：n2＋2n−15＝0，解得：n＝−5（舍去）或n＝3，因此可得出，m＝5，n＝3（m≥0，n≥0）．n＋2m＝13．【点睛】此题考查二次根式的减法，本题通过观察，根号里面未知数的系数为相反数，可通过换元法求解．14．10【解析】根据完全平方式的特点，可得x2+xy+y2=（x+y）2﹣xy=（2）2﹣（+1）（﹣1）=12﹣2=10．故答案为10．解析：10【解析】根据完全平方式的特点，可得x2+xy+y2=（x+y）2﹣xy=（2﹣1）=12﹣2=10．故答案为10．15．【分析】先根据确定m 的取值范围，再根据，推出，最后利用来确定a 的取值范围．【详解】解：为整数为故答案为：5．【点睛】本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用解析：5【分析】)30m -≤确定m 的取值范围，再根据m a +=32a ≤≤，最后利用78<<来确定a 的取值范围．【详解】 解：()230m m --≤23m ∴≤≤m a +=a m ∴=32a ∴≤≤7528<<46a ∴<<a 为整数a ∴为5故答案为：5．【点睛】本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用“逼近法”得出围是解此题的关键．16．3【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件得出x+y的值，再根据非负数的性质列出关于x，y，m的方程组，求出m的值，进而可得出结论．【详解】依题意得：，解得：x=1，y=1，m＝5，∴3解析：3【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件得出x+y的值，再根据非负数的性质列出关于x，y，m的方程组，求出m的值，进而可得出结论．【详解】依题意得：35302302x y mx y mx y+--=⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩，解得：x=1，y=1，m＝5，∴==3．故答案为3．【点睛】本题考查了二次根式有意义得条件及非负数的性质，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．17．【解析】试题解析：（5，4）表示第5排从左向右第4个数是：，（9，4）表示第9排从左向右第4个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第9排是奇数排，最中间的也就是这排的第5个数是1，那么第解析：【解析】试题解析：（5，4）表示第5排从左向右第4，（9，4）表示第9排从左向右第4个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第9排是奇数排，最中间的也就是这排的第5个数是1，那么第4，∴(5，4)与(9，4)故答案为18．【详解】若的整数部分为a，小数部分为b，∴a=1，b=，∴a-b==1．故答案为1．解析：【详解】a，小数部分为b，∴a=1，b1，∴-b1)=1．故答案为1．19．【分析】直接合并同类二次根式即可．【详解】解：．故答案为【点睛】合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．解析：【分析】直接合并同类二次根式即可．【详解】解：=．故答案为【点睛】合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．20．②③【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案．【详解】②③是最简二次根式，故答案为②③．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，解析：②③【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案．【详解】是最简二次根式，③4故答案为②③．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无。

一、选择题1．下列计算正确的是（ ） A ．()222a b a b -=- B ．()322x x 8x ÷=+C ．1a a a a÷⋅= D 4=-2．对于所有实数a ，b ，下列等式总能成立的是（ ）A ．2a b =+ B 22a b =+C a b =+D a b =+3．下列运算错误的是（ ）A =B ．=C ．)216=D ．)223=4．下列方程中，有实数根的方程是（ ）A 0=B 10=C 2=D 1=．5．下列式子一定是二次根式的是 ( )A B C D 6．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：7==+x =>，故0x >，由22332x ==-=，解得x=结果为（ ）A ．5+B ．5+C ．5D ．5-7．如果a ，那么a 的取值范围是（ ） A ．a 0=B ．a 1=C ．a 1≤D ．a=0a=1或8．下列计算正确的是（ ）A =B =C 6=-D 1=9．下列运算中正确的是（ ）A ．=B()23===C 3===D 1==10．下列运算错误的是（ ）A B2C ．D 1=二、填空题11．若0a >化成最简二次根式为________．12．将(0)a a -<化简的结果是___________________.13．已知a ，b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有____对．14．732x y -=-，则2x ﹣18y 2＝_____．15．若a ，b ，c 是实数，且10a b c ++=，则2b c +=________．16．观察下列等式：第1个等式：a 11=，第2个等式：a 2=，第3个等式：a 3，第4个等式：a 42=， …按上述规律,回答以下问题： (1)请写出第n 个等式：a n =__________. (2)a 1+a 2+a 3+…+a n =_________17．已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简2a ﹣|a ﹣c |+2()c b -﹣|﹣b |＝_______．18．已知72x =-，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，则a-b=_______ 19．方程14(1)(1)(2)(8)(9)x x x x x x ++⋅⋅⋅+=+++++的解是______．20．将1、2、3、6按右侧方式排列.若规定(m ，n )表示第m 排从左向右第n 个数，则(5，4)与(9，4)表示的两数之积是______.三、解答题21．先化简，再求值：24211326x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中21x =. 2. 【分析】根据分式的运算法则进行化简，再代入求解. 【详解】原式=221(1)12(3)232(3)3(1)1x x x x x x x x x ---+⎛⎫⎛⎫÷=⋅= ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭. 将21x =22= 【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.22．计算： 22(31)(233)(33)63--【答案】3.【解析】 【分析】先运用完全平方公式、平方差公式进行化简，然后进行计算. 【详解】解：原式22]-322]-4【点睛】本题主要考查了二次根式的化简；特别是灵活运用全平方公式、平方差公式是解答本题的关键.23．（112=3=4=；……写出④ ；⑤ ；（2）归纳与猜想．如果n 为正整数，用含n 的式子表示这个运算规律； （3）证明这个猜想．【答案】（12=5==；（2=3）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)根据题目中的例子直接写出结果； (2)根据(1)中的特例，可以写出相应的猜想；(3)根据(2)中的猜想，对等号左边的式子进行化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题. 【详解】解：（1）由例子可得，④5=25，（2）如果n 为正整数，用含nn， （3）证明：∵n 是正整数，n．故答案为5=256； n；(3)证明见解析. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.24．像2)＝1＝a (a ≥0)、﹣1)＝b ﹣1(b ≥0)……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因+1﹣1，﹣因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题： (1)；(2)+；(3)的大小，并说明理由．【答案】（1（2）（3）＜ 【解析】分析：（1=1，确定互为有理化因式，由此计算即可；（2）确定分母的有理化因式为2与2+然后分母有理化后计算即可；（3与，，然后比较即可.详解：(1) 原式；（2）原式=2+=2+ （3）根据题意，-==，><，>点睛：此题是一个阅读题，认证读题，了解互为有理化因式的实际意义，以及特点，然后根据特点变形解题是关键.25．计算(2)2；(4)【答案】（1）2）9-；（3）1；（4）【分析】（1）根据二次根式的性质和绝对值的代数意义进行化简后合并即可；（2）根据完全平方公式进行计算即可；（3）根据二次根式的乘除法法则进行计算即可；（4）先进行乘法运算，再合并即可得到答案．【详解】解：==(2)2=22-=63-=9-=1；(4)===【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．26．（1）计算：21)-（2）已知a ，b 是正数，4a b +=，8ab =【答案】（1）5-2 【分析】（1）根据完全平方公式、平方差公式可以解答本题；（2）先将所求式子化简，然后将a+b=4，ab=8代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：（1）原式21)=-(31)(23)=---5=-；（2）原式=== a ，b 为正数， ∴原式=把4a b +=，8ab =代入，则原式== 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式、平方差公式，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．27．先化简，再求值：221()a ba b a b b a-÷-+-，其中a =2b =- 【答案】1a b -+，12-． 【分析】先把分式进行化简，得到最简分式，然后把a 、b 的值代入计算，即可得到答案． 【详解】 解：原式1()()a b a b aa b a b b a b b--=⨯-⨯+-+()()a b ab a b b a b -=--++()b bb a =-+1a b=-+，当a =2b =原式12==-．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分式的化简求值，分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．28．计算：（1）-（2）【答案】（1）21 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）先利用二次根式的乘除法则运算，再合并即可． 【详解】解：（1）原式==（2）原式3+21==．【点睛】本题考查二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据完全平方公式，整式的除法，分式的乘除法，二次根式的性质和化简运算法则逐一计算作出判断． 【详解】解： A ．()222a b a 2ab b -=-+，选项错误； B ．()3322x x 8x x 8x ÷=÷=，选项正确； C ．111a a 1a a a÷⋅=⋅=，选项错误；D 44=-=，选项错误．故选：B ．2．B解析：B 【详解】解：A 、错误，∵2=+a bB 、正确，因为a 2+b 2≥0a 2+b 2；CD =|a +b |，其结果a+b 的符号不能确定． 故选B ．3．C解析：C 【分析】根据二次根式的化简、乘法、完全平方公式、平方差公式逐项判断即可得． 【详解】A =，此项正确；B 、=C 、)21516=+=+D 、)22743=-=，此项正确；故选：C ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简与乘法运算，熟记运算法则是解题关键．4．C解析：C 【分析】k =的形式，再根据二次根式成立的条件逐个进行判断即可． 【详解】 解：A 、x 2+4=0，此时方程无解，故本选项错误；B10=，1-，∵算术平方根是非负数，∴此时方程无解，故本选项错误；C2=，∴x+1=4，∴x=3，故本选项正确；D1=，∴x-3≥0且3-x≥0，解得：x=3，代入得：0+0=1，此时不成立，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的意义，能根据二次根式成立的条件进行判断是解此题的关键．5．A解析：A【分析】根据二次根式的定义，直接判断得结论．【详解】A A正确；a<B错误；B、0C是三次根式，故C错误；a<D错误；D、0故选：A．【点睛】a≥)是二次根式，注意二次根式的被开方数是非负数．6．D解析：D【分析】进行化简，然后再进行合并即可.【详解】设x=<x<，∴0∴266x=-+，∴212236x=-⨯=，∴x=∵5=-，∴原式5=-5=-故选D．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键.7．C解析：C【解析】试题解析：∵a1，a∴1-a≥0，a≤1，故选C．8．B解析：B【分析】根据二次根式加减运算和二次根式的性质逐项排除即可．【详解】与A选项错误；===B选项正确；=-=，所以C选项错误；321与D选项错误;故选答案为B．【点睛】本题考查了二次根式加减运算和二次根式的性质，掌握同类二次根式的定义和二次根式的性质是解答本题的关键．9．B解析：B【分析】根据二次根式的乘除法则求出每个式子的值，再判断即可．【详解】解: A. 67=⨯=＝42，故本选项不符合题意；===，故本选项，符合题意；===3，故本选项不符合题意；D. ==3，故本选项不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查二次根式的性质和二次根式的乘除法则，能灵活运用二次根式的乘除法则进行计算是解题关键．10．D解析：D【分析】根据二次根式的乘法法则对A 进行判断；根据分母有理化对B 进行判断；根据二次根式的加减法对C 进行判断；根据二次根式的性质对D 进行判断．【详解】AB计算正确，不符合题意；C 、计算正确，不符合题意；D 11=≠符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．二、填空题11．【分析】先判断b 的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可.【详解】解：∵∴∴所以答案是：【点睛】本题考查了二次根式的性质.解析：【分析】先判断b的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可.【详解】解：∵40,0 aab-≥>∴0b<2a bb b b=--所以答案是：【点睛】a=.12．．【分析】根据二次根式的性质化简即可．【详解】∵a＜0．∴a－3＜0，∴==．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确判断根号内的符号是解题的关键．解析：【分析】根据二次根式的性质化简即可．【详解】∵a＜0．∴a－3＜0，∴(a-=-=故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确判断根号内的符号是解题的关键．13．7【解析】解：∵=+，∴a、b的值为15，60，135，240，540．①当a=15，b=15时，即=4；②当a=60，b=60时，即=2；③当a=15，b=60时，即=3；④当a=60解析：7【解析】解：∵2，∴a、b的值为15，60，135，240，540．①当a=15，b=15时，即2=4；②当a=60，b=60时，即2=2；③当a=15，b=60时，即2=3；④当a=60，b=15时，即2=3；⑤当a=240，b=240时，即2=1；⑥当a=135，b=540时，即2=1；⑦当a=540，b=135时，即2=1；故答案为：（15，15）、（60、60）、（15，60）、（60，15）、（240，240）、（135，540）、（540，135）．所有满足条件的有序数对（a，b）共有7对．故答案为：7．点睛：本题考查了二次根式的性质和化简，解决此题的关键是分类讨论思想，得出a、b可能的取值．14．【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．【详解】解：∵一定有意义，∴x≥11，∴﹣|7﹣x|+＝3y﹣2，﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，整理得：＝3y，∴x﹣解析：22【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．【详解】一定有意义，∴x≥11，|7﹣x＝3y﹣2，﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，＝3y，∴x﹣11＝9y2，则2x﹣18y2＝2x﹣2（x﹣11）＝22．故答案为：22．【点睛】本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，属于提高题．15．21【分析】结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得，，的值，从而得到答案．【详解】∵∴∴∴∴∴∴∴．【点睛】本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的解析：21【分析】结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得a，b，c的值，从而得到答案．【详解】∵10a b c ++=∴100a b c ---=∴2221490⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴2221)2)3)0++=∴123===∴111429a b c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩∴2511a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴2251121b c +=⨯+=．【点睛】本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、完全平方公式、一元一次方程的性质，从而完成求解．16．【分析】（1）由题意，找出规律，即可得到答案；（2）由题意，通过拆项合并，然后进行计算，即可得到答案．【详解】解：∵第1个等式：a1=，第2个等式：a2=，第3个等式：=1-【分析】（1）由题意，找出规律，即可得到答案；（2）由题意，通过拆项合并，然后进行计算，即可得到答案．【详解】解：∵第1个等式：a 11=， 第2个等式：a 2=，第3个等式：a3，第4个等式：a 42=， ……∴第n==（2）123(21)(32)(23)(1)n a a a a n n +++=-+-+-+++-=121n +++=1-；1-．【点睛】本题考查了二次根式的加减混合运算，以及数字规律问题，解题的关键是掌握题目中的规律，从而进行解题17．-2a【分析】根据数轴判断出a 、b 、c 的正负情况以及大小情况，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解．【详解】由图可知，∴∴﹣|a ﹣c|+﹣|﹣b|＝解析：-2a【分析】根据数轴判断出a 、b 、c 的正负情况以及大小情况，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解．【详解】由图可知，0c a b ＜＜＜ ∴00.a c c b ＞，＜|a ﹣c ﹣|﹣b |＝||()||a ac c b b =()aa cbc b =a a c b c b【点睛】本题考查二次根式的性质与化简和化简绝对值.在解决本题时需注意①对于任意实数a ,都有||a =；②在化简绝对值时，绝对值内如果是一个多项式,要给化简后的结果带上括号.18．【分析】先把x 分母有理化求出x= ，求出a 、b 的值，再代入求出结果即可．【详解】∵∴∴∴【点睛】本题考查了分母有理化和估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求a 、b 的值．解析：6【分析】先把x 分母有理化求出2 ，求出a 、b 的值，再代入求出结果即可．【详解】2x === ∵23<<∴425<< ∴4,242a b ==-=∴42)6a b -=-=【点睛】本题考查了分母有理化和估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求a 、b 的值． 19．9【解析】【分析】设y=，由可将原方程进行化简，解化简后的方程即可求得答案.【详解】设y=，则原方程变形为，∴，∴4y+36-4y=y(y+9)，即y2+9y-36=0，∴解析：9【解析】【分析】设()11111y y y y =-++可将原方程进行化简，解化简后的方程即可求得答案. 【详解】设则原方程变形为 ()()()()()1111112894y y y y y y ++=+++++， ∴1111111112894y y y y y y -+-++-=+++++， 即11194y y -=+， ∴4y+36-4y=y(y+9)，即y 2+9y-36=0，∴y=-12或y=3， ∵， ∴，∴x=9，故答案为：9.【点睛】本题考查了解无理方程，解题的关键是利用换元法，还要注意()11111y y y y =-++的应用. 20．【解析】试题解析：（5，4）表示第5排从左向右第4个数是：，（9，4）表示第9排从左向右第4个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1， 第9排是奇数排，最中间的也就是这排的第5个数是1，那么第解析：【解析】试题解析：（5，4）表示第5排从左向右第4，（9，4）表示第9排从左向右第4个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第9排是奇数排，最中间的也就是这排的第5个数是1，那么第4，∴(5，4)与(9，4)故答案为三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。

一、选择题1．如图，□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC 沿AC 所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B 的落点记为B′，则DB′的长为（ ）A ．1B ．2C ．32D ．32．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BD 是∠ABC 的平分线，交AC 于点D ，若CD=1，则AB 的长是（ ）A ．2B ． 23C ． 43D ．43．如图，在ABC 中，CE 平分ACB ∠，CF 平分ACD ∠，且//EF BC 交AC 于M ，若3CM =，则22CE CF +的值为( )A ．36B ．9C ．6D ．184．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)( )A ．3B ．5C ．4.2D ．45．下列命题中，是假命题的是( )A ．在△ABC 中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC 是直角三角形B ．在△ABC 中，若a 2＝(b ＋c) (b －c)，则△ABC 是直角三角形C ．在△ABC 中，若∠B＝∠C＝∠A，则△ABC 是直角三角形D ．在△ABC 中，若a ：b ：c ＝5：4：3，则△ABC 是直角三角形6．下列以线段a 、b 、c 的长为边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ） A ．9,41,40a b c === B ．5,5,52a b c ===C ．::3:4:5a b c =D ．11,12,13a b c ===7．如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3，则AC 的长是（ ）A ．217B ．25C ．42D ．7 8．如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D 、E ，AD ＝3，BE ＝1，则BC 的长是（ ）A ．32B ．2C ．22D ．109．如图，是一张直角三角形的纸片，两直角边6,8AC BC ==，现将ABC 折叠，使点B 点A 重合，折痕为DE ，则BD 的长为（ ）A ．7B ．254C ．6D ．11210．如图，在△ABC ，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交CB 于点D ，过点D 作DE ⊥AB ，垂足恰好是边AB 的中点E ，若AD ＝3cm ，则BE 的长为（ ）A 33B ．4cmC ．2cmD ．6cm二、填空题11．如图，在四边形ABCD 中，22AD =，3CD =，45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=︒，则BD 的长为__________．12．已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为_____．13．我国古代数学名著《九章算术》中有云：“今有木长二丈，围之三尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？”大意为：有一根木头长2丈，上、下底面的周长为3尺，葛生长在木下的一方，绕木7周，葛梢与木头上端刚好齐平，则葛长是______尺．(注：l 丈等于10尺，葛缠木以最短的路径向上生长，误差忽略不计)14．如图，O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，()20,0A ，()0,8C ，点D 是OA 的中点，点P 在边BC 上运动，当ODP ∆是以OD 为腰的等腰三角形时，则P 点的坐标为______.15．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，BC=CD=10，AC=17，AD=9，则AB=_____.16．如图，BAC 90∠=度，AB AC =，AE AD ⊥，且AE AD =，AF 平分DAE ∠交BC 于F ，若BD 6=，CF 8=，则线段AD 的长为______．17．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC 为边在△ABC 外作△BQC ≌△BPA ，连接PQ ，则以下结论中正确有_____________ (填序号)①△BPQ 是等边三角形 ②△PCQ 是直角三角形 ③∠APB=150° ④∠APC=135°18．如图，△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，AD 是BAC ∠的角平分线，E 是AD 上的动点，F 是AB 边上的动点，则BE+EF 的最小值为_____．19．在Rt ABC 中，90A ∠=︒，其中一个锐角为60︒，23BC =P 在直线AC 上（不与A ，C 两点重合），当30ABP ∠=︒时，CP 的长为__________．20．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，底边BC 上的高AD ＝6cm ，腰AC 上的高BE ＝4m ，则△ABC 的面积为_____cm 2．三、解答题21．如图，△ABC 和EDC ∆都是等边三角形，7,3,2AD BD CD ===求:（1）AE长；（2）∠BDC 的度数：（3）AC 的长．22．如图，,90,8,6,,ABC B AB cm BC cm P Q ︒∆∠===是边上的两点，点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 沿B C A →→运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．（1）出发2秒后，求线段PQ 的长；（2）求点Q 在BC 上运动时，出发几秒后，PQB 是等腰三角形；（3）点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．23．（1）计算：1312248233⎛÷ ⎝ （2）已知a 、b 、c 满足2|2332(30)0a b c -+-=．判断以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，说明此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．24．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E为CD边上一点，将△ADE沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．（1）求BF的长；（2）求CE的长．25．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB，连接CE．（1）若∠AED＝20°，则∠DEC＝度；（2）若∠AED＝a，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想；（3）如图2，过点A作AF⊥BE于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，求证：EH2+CH2＝2AE2．26．在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且点D、E、C三点在同一条直线上，连接BD．（1）如图1，求证：△ADB≌△AEC（2）如图2，当∠BAC＝∠DAE＝90°时，试猜想线段AD，BD，CD之间的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当∠BAC＝∠DAE＝120°时，请直接写出线段AD，BD，CD之间的数量关系式为：（不写证明过程）27．定义：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a，b，c满足ac+a2＝b2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题：（1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是命题（填“真”或“假”）；（2）如图1，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AB＝BC，AC＞AB，请求∠A的度数；（3）如图2，在△ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A．①当∠A＝32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由；②请证明△ABC为“类勾股三角形”．28．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB经过点C（a，a），且交x轴于点A（m，0），交y轴于点B（0，n），且m，n满足6m ＋（n﹣12）2＝0．（1）求直线AB的解析式及C点坐标；（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，请在图1中画出图形，并求D点的坐标；（3）如图2，点E（0，﹣2），点P为射线AB上一点，且∠CEP＝45°，求点P的坐标．29．已知n组正整数：第一组：3，4，5；第二组：8，6，10；第三组：15，8，17；第四组：24，10，26；第五组：35，12，37；第六组：48，14，50；…（1）是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由；（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．30．（知识背景）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数．（应用举例）观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时，股14(91)2=-，弦15(91)2=+； 勾为5时，股112(251)2=-，弦113(251)2=+； 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾为7，则股24＝ 弦25＝（2）如果勾用n （3n ≥，且n 为奇数）表示时，请用含有n 的式子表示股和弦，则股＝ ，弦＝ ．（解决问题）观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…根据应用举例获得的经验进行填空：（3）如果,,a b c 是符合同样规律的一组勾股数，2a m =（m 表示大于1的整数），则b = ，c = ，这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式． （4）请你利用柏拉图公式，补全下面两组勾股数（数据从小到大排列）第一组： 、24、 ：第二组： 、 、37．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】如图，连接BB′．根据折叠的性质知△BB′E 是等腰直角三角形，则．又B′E 是BD 的中垂线，则DB′=BB′．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，BD=2，∴BE=12BD=1． 如图2，连接BB′．根据折叠的性质知，∠AEB=∠AEB′=45°，BE=B′E ．∴∠BEB′=90°，∴△BB′E 是等腰直角三角形，则,又∵BE=DE ，B′E ⊥BD ，∴故选B．【点睛】考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．2．B解析：B【分析】根据30°直角三角形的性质，求出∠ABC的度数，然后根据角平分线的性质求出∠CBD=30°，再根据30°角所对的直角三角形性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求解即可.【详解】如图∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=90°-30°=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=12∠ABC=12×60°=30°，∵CD=1，∠CDB=30°∴BD=2根据勾股定理可得BC=2222=21=3BD CD--∵∠A=30°∴AB=23故选B.【点睛】此题主要考查了30°角直角三角形的性质的应用，关键是根据题意画出图形，再利用30°角所对直角边等于斜边的一半求解.3．A解析：A【分析】先根据角平分线的定义、角的和差可得90ECF ∠=︒，再根据平行线的性质、等量代换可得,ACE CEF ACF F ∠=∠∠=∠，然后根据等腰三角形的定义可得,EM CM FM CM ==，从而可得6EF =，最后在Rt CEF 中，利用勾股定理即可得．【详解】 CE 平分ACB ∠，CF 平分ACD ∠，,1122ACB ACD BCE ACE DCF ACF ∴∠∠=∠=∠=∠∠=， 111(90222)ACB AC E D ACB ACD CF ACE ACF ∠=∠+∴∠+∠=∠∠∠=+=︒， //EF BC ，,BCE CEF DCF F ∠=∴∠∠=∠，,ACE CEF ACF F ∴∠=∠∠=∠，3,3EM CM FM CM ∴====，6EF EM FM ∴=+=，在Rt CEF 中，由勾股定理得：2222636CE CF EF +===，故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的定义、勾股定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键．4．C解析：C【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．【详解】解：设折断处离地面的高度OA 是x 尺，根据题意可得：x 2+42=（10-x ）2，解得：x=4.2，答：折断处离地面的高度OA 是4.2尺．故选C ．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．5．C解析：C【分析】一个三角形中有一个直角，或三边满足勾股定理的逆定理则为直角三角形，否则则不是，据此依次分析各项即可.【详解】A. △ABC 中，若∠B=∠C －∠A ，则∠C =∠A+∠B ，则△ABC 是直角三角形，本选项正确；B. △ABC 中，若a 2=(b+c)(b －c)，则a 2=b 2－c 2，b 2= a 2+c 2，则△ABC 是直角三角形，本选项正确；C. △ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C=3∶4∶5，则∠，故本选项错误； D. △ABC 中，若a ∶b ∶c=5∶4∶3，则△ABC 是直角三角形，本选项正确；故选C.【点睛】本题考查的是直角三角形的判定，利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①确定三角形的最长边；②分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等．若相等，则此三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形． 6．D解析：D【分析】根据直角三角形的判定，符合a 2+b 2＝c 2即可；反之不符合的不能构成直角三角形．【详解】解：A 、因为92+402＝412，故能构成直角三角形；B 、因为52+52=(252，故能构成直角三角形； C 、因为()()()222345x x x +=，故能构成直角三角形；D 、因为112+122≠152，故不能构成直角三角形；故选：D ．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，当三角形中三边满足222a b c +=关系时，则三角形为直角三角形．7．A解析：A【解析】试题解析：作AD ⊥l 3于D ，作CE ⊥l 3于E ，∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBE=90°又∠DAB+∠ABD=90°∴∠BAD=∠CBE ，{BAD CBEAB BC ADB BEC∠=∠=∠=∠，∴△ABD ≌△BCE∴BE=AD=3在Rt △BCE 中，根据勾股定理，得25+9=34，在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得342=217.故选A ．考点：1.勾股定理；2.全等三角形的性质；3.全等三角形的判定．8．D解析：D【分析】根据条件可以得出∠E ＝∠ADC ＝90°，进而得出△CEB ≌△ADC ，就可以得出AD ＝CE ，再利用勾股定理就可以求出BC 的值．【详解】解：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E ＝∠ADC ＝90°，∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°．∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°，∴∠EBC ＝∠DCA ．在△CEB 和△ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CEB ≌△ADC （AAS ），∴CE ＝AD ＝3，在Rt △BEC 中，2222BC=BE +CE =1+3=10，故选D ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．9．B解析：B【分析】由折叠的性质得出AD=BD，设BD=x，则CD=8-x，在Rt△ACD中根据勾股定理列方程即可得出答案．【详解】解：∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，∴AD=BD，设BD=x，则CD=8-x，在Rt△ACD中，∵AC2+CD2=AD2，∴62+（8-x）2=x2，解得x= 25 4∴BD=254．故选：B．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理等知识，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．10．A解析：A【分析】先根据角平分线的性质可证CD=DE，从而根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△AED，由DE为AB中线且DE⊥AB，可求AD=BD=3cm ，然后在Rt△BDE中，根据直角三角形的性质即可求出BE 的长.【详解】∵AD平分∠BAC且∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE，由AD＝AD，所以，Rt△ACD≌Rt△AED，所以，AC=AE.∵E为AB中点，∴AC=AE=12AB，所以，∠B=30° .∵DE为AB中线且DE⊥AB，∴AD=BD=3cm ，∴DE=1 2BD=32,∴BE=22332⎛⎫-=⎪⎝⎭33cm.故选A.【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质,含30°角的直角三角形的性质，及勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键.二、填空题11．5【分析】作AD′⊥AD，AD′=AD构建等腰直角三角形，根据SAS求证△BAD≌△CAD′，证得BD=CD′，∠DAD′=90°，然后在Rt△AD′D和Rt△CD′D应用勾股定理即可求解．【详解】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，∴∠BAD=∠CAD′，在△BAD与△CA D′中，{BA CABAD CADAD AD=∠=∠=''，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD=CD′，∠DAD′=90°，由勾股定理得22()4AD AD+='，∵∠D′DA+∠ADC=90°，∴由勾股定理得22(')5DC DD+=，∴BD=CD′=5故答案为5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，正确引出辅助线构造等腰直角三角形是本题的关键．12．．（3，4）或（2，4）或（8，4）．【分析】题中没有指明△ODP的腰长与底分别是哪个边，故应该分情况进行分析，从而求得点P的坐标．【详解】解：（1）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时OP＝PD≠5；（2）OD是等腰三角形的一条腰时：①若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，在直角△OPC中，CP＝2254-＝3，则P的坐标是（3，4）．-＝22OP OC②若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，过D作DM⊥BC于点M，在直角△PDM中，PM＝22PD DM-＝3，当P在M的左边时，CP＝5﹣3＝2，则P的坐标是（2，4）；当P在M的右侧时，CP＝5+3＝8，则P的坐标是（8，4）．故P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．故答案为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用等知识,注意正确地进行分类，考虑到所有可能的情况并进行分析求解是解题的关键.13．【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．【详解】解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，另一条直角边长7×3=21（尺）， 因此葛藤长222021+=29（尺）．答：葛藤长29尺．故答案为：29．【点睛】 本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解．14．()4,8或()6,8或()16,8【分析】当ODP ∆是以OD 为腰的等腰三角形时，分为两种情况①点O 是顶角顶点时，②D 是顶角顶点时，根据勾股定理求出CP ，PM 即可．【详解】解：OD 是等腰三角形的一条腰时：①若点O 是顶角顶点时，P 点就是以点O 为圆心，以10为半径的弧与CB 的交点， 在直角△OPC 中，CP=22221086OP OC -=-=，则P 的坐标是（6，8）． ②若D 是顶角顶点时，P 点就是以点D 为圆心，以10为半径的弧与CB 的交点， 过D 作DM ⊥BC 于点M ，在直角△PDM 中，22221086PD DM -=-= ，当P 在M 的左边时，CP=10-6=4，则P 的坐标是（4，8）；当P 在M 的右侧时，CP=10+6=16，则P 的坐标是（16，8）．故P 的坐标为：（6，8）或（4，8）或（16，8）．故答案为：（6，8）或（4，8）或（16，8）．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及勾股定理的运用，注意正确地进行分类，考虑到所有的可能情况是解题的关键．15．21【分析】在AB 上截取AE=AD ，连接CE ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，先证明△ADC ≌△AEC ，得出AE=AD=9，CE=CD=BC ＝10的长度，再设EF=BF=x ，在Rt △CFB 和Rt △CFA 中，由勾股定理求出x ，再根据AB=AE+EF+FB 求得AB 的长度．【详解】如图所示，在AB 上截取AE=AD ，连接CE ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，∵AC 平分∠BAD ，∴∠DAC=∠EAC ．在△AEC 和△ADC 中，AE AD DAC EACAC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ADC ≌△AEC （SAS ），∴AE=AD=9，CE=CD=BC =10，又∵CF ⊥AB ，∴EF=BF ，设EF=BF=x ．∵在Rt △CFB 中，∠CFB=90°，∴CF 2=CB 2-BF 2=102-x 2，∵在Rt △CFA 中，∠CFA=90°，∴CF 2=AC 2-AF 2=172-（9+x ）2，即102-x 2=172-（9+x ）2，∴x=6，∴AB=AE+EF+FB=9+6+6=21，∴AB 的长为21．故答案是：21.【点睛】考查全等三角形的判定和性质、勾股定理和一元二次方程等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，再运用用方程的思想解决问题．16．5【分析】由“SAS”可证ABD ≌ACE ，DAF ≌EAF 可得BD CE =，4B ∠∠=，DF EF =，由勾股定理可求EF 的长，即可求BC 的长，由勾股定理可求AD 的长．【详解】解：如图，连接EF ，过点A 作AG BC ⊥于点G ，AE AD ⊥，DAE DAC 290∠∠∠∴=+=，又BAC DAC 190∠∠∠=+=，12∠∠∴=，在ABD 和ACE 中 12AB AC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABD ∴≌()ACE SAS ．BD CE ∴=，4B ∠∠=BAC 90∠=，AB AC =，∴B 345∠∠==4B 45∠∠∴==，ECF 3490∠∠∠∴=+=，222CE CF EF ∴+=，222BD FC EF ∴+=， AF 平分DAE ∠，DAF EAF ∠∠∴=，在DAF 和EAF 中AD AE DAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DAF ∴≌()EAF SAS ．DF EF ∴=．222BD FC DF ∴+=．22222DF BD FC 68100∴=+=+=，∴DF 10=BC BD DF FC 610824∴=++=++=，AB AC =，AG BC ⊥，1BG AG BC 122∴===， DG BG BD 1266∴=-=-=，∴AD =故答案为【点睛】考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．17．①②③【解析】【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，60ABC ∴∠=，∵△BQC ≌△BPA ，∴∠BPA =∠BQC ，BP =BQ =4，QC =PA =3，∠ABP =∠QBC ，60PBQ PBC CBQ PBC ABP ABC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=，∴△BPQ 是等边三角形，①正确.∴PQ =BP =4，2222224325,525PQ QC PC +=+===，222PQ QC PC ∴+=，90PQC ∴∠=，即△PQC 是直角三角形，②正确.∵△BPQ 是等边三角形，60PBQ BQP ∴∠=∠=，∵△BQC ≌△BPA ，∴∠APB =∠B QC ，6090150BPA BQC ∴∠=∠=+=，③正确.36015060150APC QPC QPC ∴∠=---∠=-∠，90PQC PQ QC ∠=≠，，45QPC ∴∠≠，即135APC ∠≠，④错误.故答案为①②③.18．12013【解析】 ∵AB=AC ，AD 是角平分线，∴AD ⊥BC ，BD=CD ，∴B 点，C 点关于AD 对称，如图，过C 作CF ⊥AB 于F ，交AD 于E ，则CF=BE+FF的最小值，根据勾股定理得，AD=12，利用等面积法得：AB⋅CF=BC⋅AD，∴CF=BC ADAB⋅=101213⨯=12013故答案为120 13.点睛：本题主要考查的是翻折的性质、垂线段最短、勾股定理的应用及三角形面积的等积法.明确当CF⊥AB时，CF有最小值是解题的关键.19．23或2或4【分析】根据题意画出图形，分4种情况进行讨论，利用含30°角直角三角形与勾股定理解答．【详解】解：如图1：当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾；如图2：当∠C=60°时，∠ABC=30°，∵∠ABP=30°，∴∠CBP=60°，∴△PBC 是等边三角形， ∴23CP BC ==；如图3：当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°-30°=30°，∴PC=PB ，∵23BC =，∴222213,(23)(3)32AB BC AC BC AB ===-=-=， 在Rt △APB 中，根据勾股定理222AP AB BP +=, 即222()AC PC AB PC -+=,即222(3)(3)PC PC -+=，解得2PC =，如图4：当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°+30°=90°，∴12BP PC = 在Rt △BCP 中，根据勾股定理222BP BC PC +=,即2221()2PC PC +=,解得PC=4（已舍去负值）．综上所述，CP的长为2或4．故答案为：2或4．【点睛】本题考查含30°角直角三角形，等边三角形的性质和判定，勾股定理．理解直角三角形30°角所对边是斜边的一半，并能通过勾股定理去求另外一个直角边是解决此题的关键． 20．【分析】 根据三角形等面积法求出32AC BC = ，在Rt△ACD 中根据勾股定理得出AC 2=14BC 2+36，依据这两个式子求出AC 、BC 的值.【详解】∵AD 是BC 边上的高，BE 是AC 边上的高， ∴12AC•BE＝12BC•AD， ∵AD＝6，BE ＝4， ∴AC BC ＝32， ∴22AC BC ＝94， ∵AB＝AC ，AD⊥BC，∴BD＝DC ＝12BC ， ∵AC 2﹣CD 2＝AD 2，∴AC 2＝14BC 2+36， ∴221364BC BC +＝94， 整理得，BC 2＝3648⨯， 解得：BC＝∴△ABC 的面积为12×cm 2故答案为：【点睛】本题考查了三角形的等面积法以及勾股定理的应用，找出AC 与BC 的数量关系是解答此题三、解答题21．（1）3；（2）150°；（3）13．【分析】（1）根据等边三角形的性质可利用SAS 证明△BCD ≌△ACE ，再根据全等三角形的性质即得结果；（2）在△ADE 中，根据勾股定理的逆定理可得∠AED ＝90°，进而可求出∠AEC 的度数，再根据全等三角形的性质即得答案；（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，根据等边三角形的性质和勾股定理可得PE 与CP 的长，进而可得AE ＝CP ，然后即可根据AAS 证明△AEG ≌△CPG ，于是可得AG ＝CG ，PG ＝EG ，根据勾股定理可求出AG 的长，进一步即可求出结果．【详解】解：（1）∵△ABC 和△EDC 都是等边三角形，∴BC ＝AC ，CD ＝CE ＝DE ＝2，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠BCD ＝∠ACE ，在△BCD 与△ACE 中，∵BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△ACE ，∴AE ＝BD ＝3；（2）在△ADE 中，∵7,3,2AD AE DE ===， ∴DE 2+AE 2＝()()222237+=＝AD 2， ∴∠AED ＝90°，∵∠DEC ＝60°，∴∠AEC ＝150°，∵△BCD ≌△ACE ，∴∠BDC ＝∠AEC ＝150°；（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，∵△CDE 是等边三角形，∴PE ＝12DE ＝1，CP 22213-=，在△AEG与△CPG中，∵∠AEG＝∠CPG＝90°，∠AGE＝∠CGP，AE＝CP，∴△AEG≌△CPG，∴AG＝CG，PG＝EG＝12，∴AG==，∴AC＝2AG【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握上述知识、灵活应用全等三角形的判定与性质是解题的关键．22．（1）出发2秒后，线段PQ的长为2）当点Q在边BC上运动时，出发83秒后，△PQB是等腰三角形；（3）当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形.【分析】（1）由题意可以求出出发2秒后，BQ和PB的长度，再由勾股定理可以求得PQ的长度；（2）设所求时间为t，则可由题意得到关于t的方程，解方程可以得到解答；（3）点Q在边CA上运动时，ΔBCQ为等腰三角形有三种情况存在，对每种情况进行讨论可以得到解答．【详解】(1)BQ=2×2=4cm，BP=AB−AP=8−2×1=6cm，∵∠B=90°，由勾股定理得：===∴出发2秒后，线段PQ的长为(2)BQ=2t，BP=8−t由题意得：2t=8−t解得：t=8 3∴当点Q在边BC上运动时，出发83秒后，△PQB是等腰三角形；(3) ∵∠ABC=90°，BC=6，AB=8，∴=10.①当CQ=BQ时(图1)，则∠C=∠CBQ，∵∠ABC=90°，∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠A=∠ABQ，∴BQ=AQ，∴CQ=AQ=5，∴BC+CQ=11，∴t=11÷2=5.5秒；②当CQ=BC时(如图2)，则BC+CQ=12∴t=12÷2=6秒③当BC=BQ时(如图3)，过B点作BE⊥AC于点E，∴BE=6824105 AB BCAC⋅⨯==，所以CE=22BC BE-=185=3.6，故CQ=2CE=7.2，所以BC+CQ=13.2，∴t=13.2÷2=6.6秒.由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形.【点睛】本题考查三角形的动点问题，利用分类讨论思想和方程方法、综合力学的运动知识和三角形边角的有关知识求解是解题关键．23．（1）423；（2）以a、b、c为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，【分析】（1）根据二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质求出即可；（2）先根据绝对值，偶次方、算术平方根的非负性求出a 、b 、c 的值，再根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再求出面积即可.【详解】解：（1）⎛÷ ⎝=÷=÷ ＝423； （2）以a 、b 、c 为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，理由是：∵a 、b 、c 满足2|a (c 0-=，∴a ﹣＝0，﹣b ＝0，c 0，∴a ＝，b ＝，c∵，，∴以a 、b 、c 为边能组成三角形，∵a ＝，b ＝，c∴a 2+b 2＝c 2，∴以a 、b 、c 为边能构成直角三角形，直角边是a 和b ，则此三角形的面积是12⨯. 【点睛】此题考查了计算能力，掌握二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质，绝对值，偶次方、算术平方根的非负性，勾股定理的逆定理是解题的关键.24．（1）BF 长为6；（2）CE 长为3，详细过程见解析．【分析】（1）由矩形的性质及翻折可知，∠B=90°，AF=AD=10，且AB=8，在Rt △ABF 中，可由勾股定理求出BF 的长；（2）设CE=x ，根据翻折可知，EF=DE=8-x ，由（1）可知BF=6，则CF=4，在Rt △CEF 中，可由勾股定理求出CE 的长．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴∠B=90°，且AD=BC=10，又∵AFE是由ADE沿AE翻折得到的，∴AF=AD=10，又∵AB=8，在Rt△ABF中，由勾股定理得：，故BF的长为6．（2）设CE=x ，∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x，又∵△AFE是由△ADE沿AE翻折得到的，∴FE=DE=8-x，由（1）知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4，CF+CE=EF，在Rt△CEF中，由勾股定理得：222∴2224+x=(8-x)，解得：x=3，故CE的长为3．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，利用勾股定理求解是本题的关键．25．（1）45度；（2）∠AEC﹣∠AED＝45°，理由见解析；（3）见解析【分析】（1）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝140°，可得∠CAE＝50°，由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝65°，即可求解；（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝180°﹣2α，可得∠CAE＝90°﹣2α，由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝45°+α，可得结论；（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，由等腰直角三角形的性质可得EH EF，CH＝CG，由“AAS”可证△AFB≌△CGA，可得AF＝CG，由勾股定理可得结论．【详解】解：（1）∵AB＝AC，AE＝AB，∴AB＝AC＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∠ACE＝∠AEC，∵∠AED＝20°，∴∠ABE＝∠AED＝20°，∴∠BAE＝140°，且∠BAC＝90°∴∠CAE＝50°，∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝∠ACE＝65°，∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，故答案为：45；（2）猜想：∠AEC﹣∠AED＝45°，理由如下：∵∠AED＝∠ABE＝α，∴∠BAE＝180°﹣2α，∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣2α，∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝45°+α，∴∠AEC﹣∠AED＝45°；（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，∵∠AEC﹣∠AED＝45°，∴∠FEH＝45°，∵AH⊥BE，∴∠FHE＝∠FEH＝45°，∴EF＝FH，且∠EFH＝90°，∴EH2EF，∵∠FHE＝45°，CG⊥FH，∴∠GCH＝∠FHE＝45°，∴GC＝GH，∴CH2CG，∵∠BAC＝∠CGA＝90°，∴∠BAF+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACG＝90°，∴∠BAF＝∠ACG，且AB＝AC，∠AFB＝∠AGC，∴△AFB≌△CGA（AAS）∴AF＝CG，∴CH2AF，∵在Rt△AEF中，AE2＝AF2+EF2，2AF）2+2EF）2＝2AE2，∴EH2+CH2＝2AE2．【点睛】本题是综合了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定的动点问题，三个问题由易到难，在熟练掌握各个相关知识的基础上找到问题之间的内部联系，层层推进去解答是关键.26．（1）见解析；（2）CD2AD+BD，理由见解析；（3）CD3+BD【分析】（1）由“SAS”可证△ADB≌△AEC；（2）由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得BD＝CE，由直角三角形的性质可得DE＝2AD，可得结论；（3）由△DAB≌△EAC，可知BD＝CE，由勾股定理可求DH＝3AD，由AD＝AE，AH⊥DE，推出DH＝HE，由CD＝DE+EC＝2DH+BD＝3AD+BD，即可解决问题；【详解】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；（2）CD＝2AD+BD，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，∵∠BAC＝90°，AD＝AE，∴DE＝2AD，∵CD＝DE+CE，∴CD＝2AD+BD；（3）作AH⊥CD于H．∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，∵∠DAE＝120°，AD＝AE，∴∠ADH＝30°，∴AH＝12 AD，∴DH＝22AD AH＝32AD，∵AD＝AE，AH⊥DE，∴DH＝HE，∴CD＝DE+EC＝2DH+BD＝3AD+BD，故答案为：CD＝3AD+BD．【点睛】本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键.27．（1）假；（2）∠A＝45°；（3）①不能，理由见解析，②见解析【分析】（1）先由直角三角形是类勾股三角形得出ab+a2=c2，再由勾股定理得a2+b2=c2，即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形；（2）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论；（3）①分三种情况，利用等腰三角形的性质即可得出结论；②先求出CD=CB=a，AD=CD=a，DB=AB-AD=c-a，DG=BG=12（c-a），AG=12（a+c），两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论．【详解】解：（1）如图1，假设Rt△ABC是类勾股三角形，∴ab+a2＝c2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据勾股定理得，a2+b2＝c2，∴ab+b2＝a2+b2，∴ab＝a2，∴a＝b，∴△ABC是等腰直角三角形，∴等腰直角三角形是类勾股三角形，即：原命题是假命题，故答案为：假；（2）∵AB＝BC，AC＞AB，∴a＝c，b＞c，∵△ABC是类勾股三角形，∴ac+a2＝b2，∴c2+a2＝b2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝45°，（3）①在△ABC中，∠ABC＝2∠BAC，∠BAC＝32°，∴∠ABC＝64°，根据三角形的内角和定理得，∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝84°，∵把这个三角形分成两个等腰三角形，∴（Ⅰ）、当∠BCD＝∠BDC时，∵∠ABC＝64°，∴∠BCD＝∠BDC＝58°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝84°﹣58°＝26°，∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝122°∴△ACD不是等腰三角形，此种情况不成立；（Ⅱ）、当∠BCD＝∠ABC＝64°时，∴∠BDC＝52°，∴∠ACD＝20°，∠ADC＝128°，∴△ACD是等腰三角形，此种情况不成立；（Ⅲ）、当∠BDC＝∠ABC＝64°时，∴∠BCD＝52°，∴∠ACD＝∠ACB﹣BCD＝32°＝∠BAC，∴△ACD是等腰三角形，即：分割线和顶角标注如图2所示，Ⅱ、分∠ABC，同（Ⅰ）的方法，判断此种情况不成立；Ⅲ、分∠BAC，同（Ⅱ）的方法，判断此种情况不成立；②如图3，在AB边上取点D，连接CD，使∠ACD＝∠A图3作CG⊥AB于G，∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝2∠A，∵∠B＝2∠A，∴∠CDB＝∠B，∴CD＝CB＝a，∵∠ACD＝∠A，∴AD＝CD＝a，∴DB＝AB﹣AD＝c﹣a，∵CG⊥AB，∴DG＝BG＝12（c﹣a），∴AG＝AD+DG＝a+12（c﹣a）＝12（a+c），在Rt△ACG中，CG2＝AC2﹣AG2＝b2﹣[12（c+a）]2，在Rt△BCG中，CG2＝BC2﹣BG2＝a2﹣[12（c﹣a）]2，∴b2﹣[12（a+c）]2＝a2﹣[12（c﹣a）]2，∴b2＝ac+a2，∴△ABC是“类勾股三角形”．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，新定义“类勾股三角形”，分类讨论的数学思想，解本题的关键是理解新定义．28．（1）y＝－2x＋12，点C坐标（4，4）；（2）画图形见解析，点D坐标（－4，0）；（3）点P的坐标（143-，643）【分析】（1）由已知的等式可求得m、n的值，于是可得直线AB的函数解析式，把点C的坐标代入可求得a的值，由此即得答案；（2）画出图象，由CD⊥AB知1AB CDk k=-可设出直线CD的解析式，再把点C代入可得CD的解析式，进一步可求D点坐标；（3）如图2，取点F（－2，8），易证明CE⊥CF且CE＝CF，于是得∠PEC＝45°，进一步求出直线EF的解析式，再与直线AB联立求两直线的交点坐标，即为点P.【详解】解：（1n﹣12）2＝0，∴m＝6，n＝12，∴A（6，0），B（0，12），设直线AB解析式为y＝kx＋b，。

人教版八年级上学期第一次质量检测数学试题含答案一、选择题1．下列计算正确的是（ ）A 2=±B 3=-C ．(25=D ．(23=-2．下列运算正确的是（ ）A 2=B 5=-C 2=D 012=3．有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x≠2 B ．x >-2 C ．x <-2 D ．x≠-24．已知5x =-，则2101x x -+的值为（ ）A ．-B ．C ．2-D ．05．x 的取值范围是（ ）A ．13x ≥B ．13x >C ．13x ≤D ．13x < 6．下列各式中，正确的是（ ）A ．B ．a 3 • a 2=a 6C ．(b+2a) (2a -b) =b 2 -4a 2D ．5m + 2m = 7m 27．已知a ( )A ．0B ．3C ．D ．9 8．下列各式计算正确的是（ ）A B ．C ．D9．a 的值是（ ）A ．2B ．-1C ．3D ．-1或3 10．230x -=成立的x 的值为（ ） A ．-2 B ．3 C ．-2或3 D ．以上都不对11．下列各式计算正确的是（ ）A ．23=B 5=±C =D ．3=12．下列运算错误的是（ ）A B2 C ．D 1=二、填空题13．化简322+=___________．14．已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简2a ﹣|a ﹣c |+2()c b -﹣|﹣b |＝_______．15．把1m m-_____________. 16．已知|a ﹣20072008a -=a ，则a ﹣20072的值是_____．17．对于任意实数a ，b ，定义一种运算“◇”如下：a ◇b ＝a(a －b)＋b(a ＋b)，如：3◇2＝3×(3－2)＋2×(3＋2)＝1332＝_____.18．已知x ＝512，y ＝512，则x 2＋xy ＋y 2的值为______． 19．28n n 为________．20．已知23x =243x x --的值为_______．三、解答题21．1123124231372831-+- 533121【分析】先根据二次根式的乘除法法则计算乘除法，同时分别化简各加数中的二次根式，最后计算加减法.【详解】1123124231372831-+-=48132331)32(337228+⨯⨯⨯=46233132337533121. 【点睛】此题考查二次根式的混合运算，二次根式的化简，正确掌握二次根式的化简法则是解题的关键.22．我国南宋时期有个著名的数学家秦九韶提出了一个利用三角形的三边求三角形的面积的公式，若三角形三边为a b c 、、，则此三角形的面积为：1S = 同样古希腊有个几何学家海伦也提出了一个三角形面积公式：2S =2a b c p ++= （1）在ABC 中，若4AB =，5BC =，6AC =，用其中一个公式求ABC 的面积． （2）请证明：12S S【答案】（1）4；（2） 证明见解析 【分析】（1）将4AB =，5BC =，6AC =代入1S = （2）对1S 和2S 分别平方，再进行整理化简得出2212S S =，即可得出12S S ．【详解】解：（1）将4AB =，5BC =，6AC =代入1S =得：4S == （2）222222211[()]24a b a S c b +-=- =222222)1(22(4)a b c a b c ab ab +-+--+ =2222()2(21)4c a c a b b +⋅---⋅ =()(1()()16)c a b c a b a b c a b c +-++-++- 22()()()S p p a p b p c =--- ∵2a b c p ++=， ∴22()(2)(222)S a a b c a b c a b c a b c b c +++++++-+=-- =2222a b c b c a a c b a b c +++-+-+-⋅⋅⋅ =1()()()()16a b c b c a a c b a b c +++-+-+-∴2212S S =∵10S >，20S >，∴12S S ．【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是理解题中给出的公式，灵活运用二次根式的运算性质进行运算．23．-10【分析】先根据二次根式的性质和平方差公式化简，然后再进行计算即可【详解】=(22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦=()212--10+．10．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、平方差公式，灵活运用二次根式的性质化简是解答本题的关键．24．计算：【答案】【分析】先将括号内的二次根式进行化简并合并，再进行二次根式的乘法运算即可．【详解】解：===【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．25．计算-②)21【答案】①【分析】①根据二次根式的加减法则计算；②利用平方差、完全平方公式进行计算．【详解】解：①原式＝5-2-＝②原式＝(【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是关键．26．计算（1-（2）(()21【答案】（1）；（2）24+2【分析】（1）先将各二次根式化为最简二次根式，再进行合并即可得到答案；（2）原式运用平方差公式和完全平方公式把括号展开后，再合并同类二次根式即可得到答案．【详解】解：（1=+2=(-+2=-（2）(()21---=22(181)=452181--+=24+．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答此题的关键．27．在一个边长为（cm 的正方形的内部挖去一个长为（）cm ，cm 的矩形，求剩余部分图形的面积．【答案】【解析】试题分析：用大正方形的面积减去长方形的面积即可求出剩余部分的面积．试题解析：剩余部分的面积为：（2﹣（）=（）﹣（﹣）=（cm 2）．考点：二次根式的应用28．（1|5-+；（2）已知实数a 、b 、c 满足|3|a +=，求2(b a +的值．【答案】（1）5；（2）4【分析】（1）先利用二次根式的乘法法则和绝对值的意义计算，再进行回头运算即可；（2）先根据二次根式有意义的条件确定b 的值，再根据非负数的和的意义确定a ，c 的值，然后再计算代数式的值即可．【详解】解：（15-+5)=+5=+5=（2）由题意可知：5050b b -≥⎧⎨-≥⎩, 解得5b =由此可化简原式得，30a +=30a ∴+=，20c -=3a ∴=-，2c =22((534b a ∴+=--=【点睛】可不是考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答此题的关键．29．已知x²+2xy+y²的值.【答案】16【解析】分析：（1）根据已知条件先计算出x+y=4，再利用完全平方公式得到x²+2xy+y²=（x+y ）²，然后利用整体代入的方法计算．本题解析：∵x² +2xy+y² =(x+y)²，∴当∴x²+2xy+y²=(x+y)²=(2−=16.30．02020((1)π-．【答案】【分析】本题根据零次幂，最简二次根式，整数次幂的运算规则求解即可．【详解】原式11=-=【点睛】本题考查幂的运算与二次根式的综合，需牢记非零常数的零次幂为1，二次根式运算时需化为最简二次根式，其次注意计算仔细．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】直接利用二次根式的性质分别求解，即可得出答案．【详解】解：A，故A选项错误；B，故B选项错误；C选项：2=5，故C选项正确；D选项：2=3，故D选项错误，故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，正确求解二次根式是解题的关键．2．C解析：C【分析】由二次根式的性质，二次根式的混合运算，分别进行计算，即可得到答案．【详解】解：A A错误；=，故B错误；B5C2==，故C正确；D01213=+=，故D错误；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，立方根，零指数幂，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．3．B解析：B【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，且分母不能为零，可得答案．【详解】有意义，得：x+>，20x>-．解得：2故选：B．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数，分母不能为零得出不等式是解题关键．4．D解析：D【分析】把x 的值代入原式计算即可求出值．【详解】解：当时，原式=（）2-10×（）+1+1=0．故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．5．C解析：C【分析】根据二次根式的性质：被开方数大于或等于0，列不等式求解．【详解】解：依题意有当130x -≥时，原二次根式有意义； 解得：13x ≤； 故选：C ．【点睛】 本题考查了二次根式的基本性质（被开方数大于或等于0）；解一元一次不等式，在解一元一次不等式的过程中要用到不等式的基本性质（1．不等式两边同时加上或同时减去一个数，不等号的方向不变；2．不等式两边同时乘以或同时除以一个正数，不等号的方向不变；3．不等式两边同时乘以或同时除以一个负数，不等号的方向改变．）熟记并灵活运用不等式的基本性质是解本题的关键．6．A解析：A【分析】比较两个二次根式的大小可判别A ，根据同底数幂的乘法、平方差公式、合并同类项的运算法则分别计算可判断B 、C 、D 的正误．【详解】A 、=，=∵1812>，∴>，故该选项正确；B 、3a •25a a =，故该选项错误；C 、()()22224b a a b a b +-=-，故该选项错误； D 、527m m m +=，故该选项错误；故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式大小的比较，同底数幂的乘法、平方差公式、合并同类项的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．7．B解析：B【解析】=，可知当（a ﹣3）2=0，即a=3故选B ．8．D解析：D【解析】不是同类二次根式，因此不能计算，故不正确.根据同类二次根式，可知，故不正确；根据二次根式的性质，可知，故不正确；3==，故正确.故选D.9．C解析：C【分析】根据同类二次根式的性质即可求出答案．【详解】由题意可知：a 2-3=2a∴解得：a=3或a=-1当a=-1时，该二次根式无意义，故a=3故选C ．【点睛】本题考查二次根式的概念，解题的关键是熟练正确理解最简二次根式以及同类二次根式的概念.10．B解析：B【分析】根据二次根式有意义的条件以及二次根式的乘法进行分析即可得答案.【详解】x30-=，=0=，∴x=-2或x=3，又∵2030 xx+≥⎧⎨-≥⎩，∴x=3，故选B.【点睛】本题考查了二次根式的乘法以及二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键. 11．A解析：A【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐一计算可得．【详解】A、23=此选项计算正确，符合题意；B、5=此选项计算错误，不符合题意；C-不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误，不符合题意；D、-=故选：A．【点睛】本题主要考查了利用二次根式的性质化简以及二次根式的加减运算，准确利用二次根式的性质计算是解题的关键．12．D解析：D【分析】根据二次根式的乘法法则对A进行判断；根据分母有理化对B进行判断；根据二次根式的加减法对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．【详解】AB2计算正确，不符合题意；C、计算正确，不符合题意；D11=≠符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．二、填空题13．+1【分析】先将用完全平方式表示,再根据进行化简即可.【详解】因为,所以,故答案为:.【点睛】本题主要考查利用完全平方公式对无理式进行因式分解,二次根式的性质,解决本题的关键是要将二+1【分析】先将3+,()()()0000a a a a a a ⎧>⎪===⎨⎪-<⎩进行化简即可.【详解】因为(2231211+=+=+=+,11===故答案为:1.【点睛】本题主要考查利用完全平方公式对无理式进行因式分解,二次根式的性质,解决本题的关键是要将二次根式利用完全平方公式分解. 14．-2a【分析】根据数轴判断出a 、b 、c 的正负情况以及大小情况，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解．【详解】由图可知，∴∴﹣|a ﹣c|+﹣|﹣b|＝解析：-2a【分析】根据数轴判断出a 、b 、c 的正负情况以及大小情况，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解．【详解】由图可知，0c a b ＜＜＜∴00.a c c b ＞，＜|a ﹣c ﹣|﹣b |＝||()||a ac c b b =()aa cbc b =aa cbc b =-2a .【点睛】本题考查二次根式的性质与化简和化简绝对值.在解决本题时需注意①对于任意实数a ,都有||a =；②在化简绝对值时，绝对值内如果是一个多项式,要给化简后的结果带上括号.15．-【解析】【分析】根据二次根式的性质，可得答案【详解】由题意可得： ，即∴故答案为【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质．解答关键在于根据二次根式的性质确定解析：【解析】【分析】根据二次根式的性质，可得答案【详解】 由题意可得：10m ，即0m∴11m m m m m m m故答案为【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质．解答关键在于根据二次根式的性质确定m 的取值范围.16．2008【解析】分析：本题首先能够根据二次根式的被开方数为非负数的条件，得到a 的取值范围；再根据a 的取值范围，化简去掉绝对值；最后进行整理变形．详解：∵|a ﹣2007|+=a ，∴a≥2008， 解析：2008【解析】分析：本题首先能够根据二次根式的被开方数为非负数的条件，得到a 的取值范围；再根据a 的取值范围，化简去掉绝对值；最后进行整理变形．详解：∵|a ﹣2007=a ，∴a ≥2008，∴a ﹣2007=a ，=2007，两边同平方，得：a ﹣2008=20072，∴a ﹣20072=2008．故答案为：2008．点睛：解决此题的关键是能够得到a 的取值范围，从而化简绝对值并变形．17．5【解析】◇==5.故本题应填5.点睛：理解新定义运算的运算规则，其实就是一个对应关系，a 对应，b 对应，即将a=，b=，代入到代数式a(a －b)＋b(a ＋b)中，再根据二次根式的混合运算法则解析：5【解析】32==5. 故本题应填5.点睛：理解新定义运算的运算规则，其实就是一个对应关系，a ，b ，即将，代入到代数式a(a －b)＋b(a ＋b)中，再根据二次根式的混合运算法则进行计算，注意最终的结果一定要化为最简二次根式.18．4【详解】根据完全平方公式可得：原式=－xy==5－1=4．解析：4【详解】根据完全平方公式可得：原式=2()x y －xy=251515151)222=5－1=4． 19．7【分析】把28分解因数，再根据二次根式的定义判断出n 的最小值即可．【详解】解:∵28=4×7，4是平方数，∴若是整数，则n 的最小正整数值为7，故答案为7．【点睛】本题考查了二次根式解析：7【分析】把28分解因数，再根据二次根式的定义判断出n 的最小值即可．【详解】解:∵28=4×7，4是平方数，n 的最小正整数值为7，故答案为7．【点睛】本题考查了二次根式的定义，把28分解成平方数与另一个数相乘的形式是解题的关键．20．-4【分析】把代入计算即可求解．【详解】解：当时，=-4故答案为：-4【点睛】本题考查了求代数式的值，二次根式混合运算，本题直接代入求值即可，能正确进行二次根式的混合运算是解题解析：-4【分析】把2x =243x x --计算即可求解．【详解】解：当2x =243x x --((22423=---4383=--+=-4故答案为：-4【点睛】本题考查了求代数式的值，二次根式混合运算，本题直接代入求值即可，能正确进行二次根式的混合运算是解题关键．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无。

一、选择题1．如图，已知ABC 中，4AB AC ==，6BC =，在BC 边上取一点P （点P 不与点B 、C 重合），使得ABP △成为等腰三角形，则这样的点P 共有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知长方体的长2cm 、宽为1cm 、高为4cm ，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是（ ）A ．29cmB ．5cmC ．37cmD ．4.5cm3．如图，是一长、宽都是3 cm ，高BC ＝9 cm 的长方体纸箱，BC 上有一点P ，PC ＝23BC ，一只蚂蚁从点A 出发沿纸箱表面爬行到点P 的最短距离是( )A ．62cmB ．33cmC ．10 cmD ．12 cm4．如图，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB 230=．试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a 且AM +MN +NB 的长度和最短，则此时AM +NB ＝（ ）A ．6B ．8C ．10D ．125．如图，已知AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的直径,D 为⊙O 上一点，过D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于P,且DP⊥BP 于P.若PD+PA=6，AB=6，则⊙O 的直径AC 的长为（ ）A ．5B ．8C ．10D ．12 6．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ACB =∠ADC =45︒，若AD =4，CD =2，则BD 的长为（ ）A ．6B ．27C ．5D ．257．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a 和b ，那么ab 的值为（ ）A ．49B ．25C ．12D ．108．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC =，3BC =．设AB 长是m ，下列关于m 的四种说法：①m 是无理数；②m 可以用数轴上的一个点来表示；③m 是13的算术平方根；④23m <<．其中所有正确说法的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②③④ 9．在ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，12AB =，则AC =（ ）A ．6B ．12C ．62D ．310．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）A ．1、2、3B ．2、3、4C ．1、2、3D ．4、5、6二、填空题11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm 、3 dm 和1 dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点的最短路程是 dm ．12．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90o ，AC ＝12，BC ＝5，D 是AB 边上的动点，E 是AC 边上的动点，则BE ＋ED 的最小值为 ．13．如图，现有一长方体的实心木块，有一蚂蚁从A 处出发沿长方体表面爬行到C ＇处，若长方体的长4cm AB =，宽2cm BC =，高1cm BB '=，则蚂蚁爬行的最短路径长是___________．14．如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，1AB DC ==，BD 平分ABC ∠，BD CD ⊥，则AD BC +等于_________.15．如图，四边形ABDC 中，∠ABD ＝120°，AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，AB ＝4，CD ＝43，则该四边形的面积是______．16．在ABC ∆中，10AB cm =，17AC cm =，BC 边上的高为8cm ，则ABC ∆的面积为______2cm ．17．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，BC 边上的高AD ＝4，则△ABC 的周长为__________.18．《算法统宗》中有一道“荡秋干”的问题，其译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板上一点A 离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，点A 对应的点B 就和某人一样高，若此人的身高为5尺，秋干的绳索始终拉得很直，试问绳素有多长？”根据上述条件，秋干绳索长为________尺.19．一块直角三角形绿地，两直角边长分别为3m ，4m ，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长长为3m 的直角边，则扩充后等腰三角形绿地的面积为____m 2．20．已知,在△ABC 中,BC=3,∠A=22.5°,将△ABC 翻折使得点B 与点A 重合,折痕与边AC 交于点P ,如果AP=4,那么AC 的长为_______三、解答题21．（1）计算：1312248233⎛⎫-+÷ ⎪ ⎪⎝； （2）已知a 、b 、c 满足2|23|32(30)0a b c +-+--=．判断以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，说明此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．22．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，动点D 在直线AB （点A 与点B 重合除外）上时，以CD 为一腰在CD 上方作等腰直角三角形ECD ，且90ECD ∠=︒，连接AE ．（1）判断AE 与BD 的数量关系和位置关系；并说明理由．（2）如图2，若4BD =，P ，Q 两点在直线AB 上且5EP EQ ==，试求PQ 的长． （3）在第（2）小题的条件下，当点D 在线段AB 的延长线（或反向延长线）上时，判断PQ 的长是否为定值．分别画出图形，若是请直接写出PQ 的长；若不是请简单说明理由．23．在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°（1）如图1，D ，E 是等腰Rt △ABC 斜边BC 上两动点，且∠DAE ＝45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF①求证：△AED ≌△AFD ；②当BE ＝3，CE ＝7时，求DE 的长；（2）如图2，点D 是等腰Rt △ABC 斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt △ADE ，当BD ＝3，BC ＝9时，求DE 的长．24．已知ABC ∆中，如果过项点B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为ABC ∆的关于点B 的二分割线．例如：如图1，Rt ABC ∆中，90A ︒∠=，20C ︒∠=，若过顶点B 的一条直线BD 交AC 于点D ，若20DBC ︒∠=，显然直线BD 是ABC ∆的关于点B 的二分割线．（1）在图2的ABC ∆中，20C ︒∠=，110ABC ︒∠=．请在图2中画出ABC ∆关于点B 的二分割线，且DBC ∠角度是 ；（2）已知20C ︒∠=，在图3中画出不同于图1，图2的ABC ∆，所画ABC ∆同时满足:①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．BAC ∠的度数是 ；（3）已知C α∠=，ABC ∆同时满足：①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．请求出BAC ∠的度数（用α表示）．25．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2BC AC =.(1)如图1，点D 在边BC 上，1CD =，5AD =，求ABD ∆的面积.(2)如图2，点F 在边AC 上，过点B 作BE BC ⊥，BE BC =，连结EF 交BC 于点M ，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连结BG .求证：2EG BG CG =+.26．已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过顶点A 作射线AP .（1）当射线AP 在BAC ∠外部时，如图①，点D 在射线AP 上，连结CD 、BD ，已知21AD n =-，21AB n =+，2BD n =（1n >）.①试证明ABD ∆是直角三角形；②求线段CD 的长.（用含n 的代数式表示）（2）当射线AP 在BAC ∠内部时，如图②，过点B 作BD AP ⊥于点D ，连结CD ，请写出线段AD 、BD 、CD 的数量关系，并说明理由.27．定义：在△ABC 中，若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，若a ，b ，c 满足ac +a 2＝b 2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题：（1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是 命题（填“真”或“假”）；（2）如图1，若等腰三角形ABC 是“类勾股三角形”，其中AB ＝BC ，AC ＞AB ，请求∠A 的度数；（3）如图2，在△ABC 中，∠B ＝2∠A ，且∠C ＞∠A ．①当∠A ＝32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由； ②请证明△ABC 为“类勾股三角形”．28．如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AC ，BC 上的点，且满足DE ⊥EF ，垂足为点E ，连接DF ．（1）求∠EDF= （填度数）；（2）延长DE 交AB 于点G ，连接FG ，如图2，猜想AG ，GF ，FC 三者的数量关系，并给出证明；（3）①若AB=6，G 是AB 的中点，求△BFG 的面积；②设AG=a ，CF=b ，△BFG 的面积记为S ，试确定S 与a ，b 的关系，并说明理由．29．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ．（1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系．（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45︒，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90︒，此时点E 、G 恰好分别落在线段AD 、CD 上，连接CE ，如图3，其他条件不变，若2DG =，6AB =，直接写出CM 的长度．30．如图,在△ABC 中,D 是边AB 的中点,E 是边AC 上一动点,连结DE,过点D 作DF ⊥DE 交边BC 于点F(点F 与点B 、C 不重合),延长FD 到点G,使DG=DF,连结EF 、AG.已知AB=10,BC=6,AC=8.(1)求证:△ADG ≌△BDF ；(2)请你连结EG,并求证:EF=EG ；(3)设AE=x ,CF=y ,求y 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围；(4)求线段EF 长度的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】在BC 边上取一点P （点P 不与点B 、C 重合），使得ABP △成为等腰三角形，分三种情况分析：AP BP =、AB BP =、AB AP =；根据等腰三角形的性质分别对三种情况逐个分析，即可得到答案．【详解】根据题意，使得ABP △成为等腰三角形，分AP BP =、AB BP =、AB AP =三种情况分析：当AP BP =时，点P 位置再分两种情况分析：第1种：点P 在点O 右侧，AO BC ⊥于点O∴22172AO AB BC ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭设OP x =∴2227AP AO OP x =+=+∵4AB AC ==∴132BO BC == ∴3BP BO OP x =+=+ ∴27=3x x ++∴2x =-，不符合题意；第2种：点P 在点O 左侧，AO BC ⊥于点O设OP x =∴2227AP AO OP x ++∴3BP BO OP x =-=-273x x +=-∴2x =，点P 存在，即1BP =；当AB BP =时，4BP AB ==，点P 存在；当AB AP =时，4AP AB ==，即点P 和点C 重合，不符合题意；∴符合题意的点P 共有：2个故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形、勾股定理、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、勾股定理、一元一次方程的性质，从而完成求解．2．B解析：B【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【详解】解：根据题意，如图所示，最短路径有以下三种情况：（1）沿AA'，A C''，C B''，B B'剪开，得图1:22222'=+'=++=；AB AB BB(21)425（2）沿AC，CC'，C B''，B D''，D A''，A A'剪开，得图2:22222AB AC B C'=+'=++=+=；2(41)42529DD，B D''，C B''，C A''，AA'剪开，得图3:（3）沿AD，'22222AB AD B D'=+'=++=+=；1(42)13637AB'=．综上所述，最短路径应为（1）所示，所以225AB'=，即5cm故选：B．【点睛】此题考查最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．3．A解析：A【解析】【分析】将图形展开，可得到安排AP较短的展法两种，通过计算，得到较短的即可．【详解】解：(1)如图1，AD=3cm，DP=3+6=9cm，在Rt△ADP中，22+10cm39((2)如图2， AC=6cm ，CP=6cm ，Rt △ADP 中，2266+62综上，蚂蚁从点A 出发沿纸箱表面爬行到点P 的最短距离是2cm ．故选A ．【点睛】题考查了平面展开--最短路径问题，熟悉平面展开图是解题的关键．4．B解析：B【解析】【分析】MN 表示直线a 与直线b 之间的距离，是定值，只要满足AM +NB 的值最小即可．过A 作直线a 的垂线，并在此垂线上取点A ′，使得AA ′＝MN ，连接A 'B ，则A 'B 与直线b 的交点即为N ，过N 作MN ⊥a 于点M ．则A 'B 为所求，利用勾股定理可求得其值．【详解】过A 作直线a 的垂线，并在此垂线上取点A ′，使得AA ′＝4，连接A ′B ，与直线b 交于点N ，过N 作直线a 的垂线，交直线a 于点M ，连接AM ，过点B 作BE ⊥AA ′，交射线AA ′于点E ，如图，∵AA ′⊥a ，MN ⊥a ，∴AA ′∥MN ．又∵AA ′＝MN ＝4，∴四边形AA ′NM 是平行四边形，∴AM ＝A ′N ．由于AM +MN +NB 要最小，且MN 固定为4，所以AM +NB 最小．由两点之间线段最短，可知AM +NB 的最小值为A ′B ．∵AE ＝2+3+4＝9，AB 30=BE 2239AB AE =- ∵A ′E ＝AE ﹣AA ′＝9﹣4＝5，∴A ′B 22'A E BE =+=8．所以AM +NB 的最小值为8．故选B ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离，解答本题的关键是找到点M 、点N 的位置，难度较大，注意掌握两点之间线段最短．5．C解析：C【解析】分析：通过切线的性质表示出EC 的长度，用相似三角形的性质表示出OE 的长度，由已知条件表示出OC 的长度即可通过勾股定理求出结果.详解：如图：连接BC ，并连接OD 交BC 于点E ：∵DP ⊥BP ，AC 为直径；∴∠DPB=∠PBC=90°.∴PD ∥BC,且PD 为⊙O 的切线.∴∠PDE=90°=∠DEB,∴四边形PDEB 为矩形，∴AB ∥OE ，且O 为AC 中点，AB=6.∴PD=BE=EC.∴OE=12AB=3. 设PA=x ，则OD=DE-OE=6+x-3=3+x=OC ，EC=PD=6-x..在Rt △OEC 中:222OE EC OC +=,即：()()222363x x +-=+，解得x=2.所以AC=2OC=2×（3+x ）=10.点睛：本题考查了切线的性质，相似三角形的性质，勾股定理. 6．A解析：A【解析】【分析】作AD′⊥AD ，AD′=AD ，连接CD′，DD′，根据等式的性质，可得∠BAD 与∠CAD′的关系，根据SAS ，可得△BAD 与△CAD′的关系，根据全等三角形的性质，可得BD 与CD′的关系，根据勾股定理，可得答案．【详解】作AD′⊥AD ，AD′=AD ，连接CD′，DD′，则有∠AD′D=∠D′AD=45︒，∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD 与△CAD′中，''BC CA BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAD ≌△CAD′（SAS ），∴BD=CD′，∠DAD′=90°，由勾股定理得DD′=22'AD AD +＝42，∠D′DA+∠ADC=90°，由勾股定理得CD′=22DC DD +'=()22422+=6，故选A.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线作出全等图形是解题关键．7．C解析：C【解析】试题解析：如图，∵大正方形的面积是25，∴c 2=25，∴a 2+b 2=c 2=25，∵直角三角形的面积是（25-1）÷4=6，又∵直角三角形的面积是12ab=6，∴ab=12．故选C.8．C解析：C【分析】根据勾股定理即可求出答案．【详解】解：∵∠ACB＝90°，∴在Rt ABC中，m＝AB故①②③正确，∵m2＝13，9＜13＜16，∴3＜m＜4，故④错误，故选：C．【点睛】本题考查勾股定理及算术平方根、无理数的估算，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．9．D解析：D【分析】根据直角三角形的性质求出BC，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：∵∠C=90°，∠A=30°，∴BC=12AB=6，由勾股定理得，=故选：D．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．10．A解析：A【分析】求出两小边的平方和、最长边的平方,看看是否相等即可.【详解】A 、12+（2）2=（3）2∴以1、2、3为边组成的三角形是直角三角形,故本选项正确;B 、22+32≠42 ∴以2、3、4为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误; C 、12+22≠32 ∴以1、2、3为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;D 、 42+52≠62 ∴以4、5、6为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;故选A..【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理应用，掌握勾股定理逆定理的内容就解答本题的关键.二、填空题11．【解析】试题分析：将台阶展开，如图，331312,5,AC BC =⨯+⨯==222169,AB AC BC ∴=+=13,AB ∴=即蚂蚁爬行的最短线路为13.dm考点：平面展开：最短路径问题．12．【解析】 试题分析：作点B 关于AC 的对称点B′，过B′点作B′D ⊥AB 于D ，交AC 于E ，连接AB′、BE ，则BE+ED=B′E+ED=B′D 的值最小．∵点B 关于AC 的对称点是B′，BC=5，∴B′C=5，BB′=10．∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，∴22AC BC +，∵S △ABB′=12•AB•B′D=12•BB′•AC ，∴B′D=B 10121201313B AC AB '⋅⨯==,∴BE+ED= B′D=12013. 考点：轴对称-最短路线问题.13．5cm【分析】连接AC ＇，分三种情况进行讨论：画出图形，用勾股定理计算出AC ＇长，再比较大小即可得出结果．【详解】解：如图展开成平面图，连接AC ＇，分三种情况讨论：如图1，AB=4，BC ＇=1+2=3，∴在Rt △ABC ＇中，由勾股定理得AC ＇2243+（cm ），如图2，AC=4+2=6，CC ＇=1∴在Rt △ACC ＇中，由勾股定理得AC ＇2261+37（cm ），如图3，AD =2，DC ＇=1+4=5，∴在Rt △ADC ＇中，由勾股定理得AC ＇2225+29（cm ）∵2937，∴蚂蚁爬行的最短路径长是5cm ，故答案为：5cm ．【点睛】本题考查平面展开-最短路线问题和勾股定理，本题具有一定的代表性，是一道好题，注意要分类讨论．14．3【分析】由//AD BC ，BD 平分ABC ∠，易证得ABD ∆是等腰三角形，即可求得1AD AB ==，又由四边形ABCD 是等腰梯形，易证得2C DBC ∠=∠，然后由BD CD ⊥，根据直角三角形的两锐角互余，即可求得30DBC ∠=︒，则可求得BC 的值，继而求得AD BC +的值.【详解】解：∵//AD BC ，AB DC =，∴C ABC ∠=∠，ADB DBC ∠=∠，∵BD 平分ABC ∠，∴2ABC DBC ∠=∠，ABD DBC ∠=∠，∴ABD ADB ∠=∠，∴1AD AB ==，∴2C DBC ∠=∠，∵BD CD ⊥，∴90BDC ∠=︒，∵三角形内角和为180°，∴90DBC C ∠+∠=︒，∴260C DBC ∠=∠=︒，∴2212BC CD ==⨯=，∴123AD BC +=+=.故答案为：3．【点睛】本题主要考查对勾股定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．15．【分析】延长CA 、DB 交于点E ，则60C ∠=°，30E ∠=︒，在Rt ABE ∆中，利用含30角的直角三角形的性质求出28BE AB ==，根据勾股定理求出AE =．同理，在Rt DEC ∆中求出2CE CD ==12DE ==，然后根据CDE ABE ABDC S S S ∆∆=-四边形，计算即可求解．【详解】解：如图，延长CA 、DB 交于点E ，∵四边形ABDC 中，120ABD ∠=︒，AB AC ⊥，BD CD ⊥，∴60C ∠=°，∴30E ∠=︒，在Rt ABE ∆中，4AB =，30E ∠=︒，∴28BE AB ==，AE ∴=．在Rt DEC ∆中，30E ∠=︒，CD =2CE CD ∴==12DE ∴=，∴1443832ABE S ∆=⨯⨯=， 143122432CDE S ∆=⨯⨯=， 24383=163CDE ABE ABDC S S S ∆∆∴=-=-四边形． 故答案为：163．【点睛】本题考查了勾股定理，含30角的直角三角形的性质，图形的面积，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．16．36或84【分析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，利用勾股定理列式求出BD 、CD ，再分点D 在边BC 上和在CB 的延长线上两种情况分别求出BC 的长度，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵BC 边上的高为8cm ， ∴AD=8cm ，∵AC=17cm ，由勾股定理得：22221086BD AB AD =-=-=cm ，222217815CD AC AD =-=-=cm ，如图1，点D 在边BC 上时，BC=BD+CD =6+15=21cm ，∴△ABC 的面积=12BC AD =12×21×8=84cm 2， 如图2，点D 在CB 的延长线上时，BC= CD −BD =15−6=9cm ，∴△ABC 的面积=12BC AD =12×9×8=36 cm 2， 综上所述，△ABC 的面积为36 cm 2或84 cm 2，故答案为：36或84．【点睛】本题考查了勾股定理，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键，难点是在于要分情况讨论．17．1425+或825+【分析】分两种情况考虑：如图1所示，此时△ABC 为锐角三角形，在直角三角形ABD 与直角三角形ACD 中，利用勾股定理求出BD 与DC 的长，由BD+DC 求出BC 的长，即可求出周长；如图2所示，此时△ABC 为钝角三角形，同理由BD -CD 求出BC 的长，即可求出周长．【详解】解：分两种情况考虑：如图1所示，此时△ABC 为锐角三角形，在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：BD=22226425AB AD -=-=， 在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：CD=2222543AC AD -=-=，∴BC=253+， ∴△ABC 的周长为：652531425+++=+；如图2所示，此时△ABC 为钝角三角形，在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：22226425AB AD -=-= 在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：2222543AC AD --=，∴BC=253-，∴△ABC 的周长为：65253825++-=+；综合上述，△ABC 的周长为：1425+或825+；故答案为：1425+或825+.【点睛】此题考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 18．5【分析】设绳索x 尺，过点B 向地面及AO 作垂线BE 、BC ，构成直角三角形OBE ，利用勾股定理求出x 的值【详解】如图， 过点B 作BC ⊥OA 于点C ，作BD 垂直于地面，延长OA 交地面于点D 由题意知AD=1，BE=5，BC=10设绳索x 尺，则OA=OB=x∴OC=x+1-5=x-4在Rt △OBC 中，OB 2=OC 2+BC 2∴222(4)10x x =-+得x=14.5（尺）故填14.5 ,【点睛】此题考察勾股定理的实际运用，理解题意作辅助线构建直角三角形是解题关键. 19．8或10或12或253【详解】解：①如图1：当BC=CD=3m 时，AB=AD=5m ，AC ⊥BD ，此时等腰三角形绿地的面积：12×6×4=12（m2）；②如图2：当AC=CD=4m时，AC⊥CB，此时等腰三角形绿地的面积：12×4×4=8（m2）；③如图3：当AD=BD时，设AD=BD=xm，在Rt△ACD中，CD=（x-3）m，AC=4m，由勾股定理，得AD2=DC2+CA2，即(x-3)2+42=x2，解得x=256，此时等腰三角形绿地的面积：12BD·AC=12×256×4=253（m2）；④如图4，延长BC到D，使BD=AB=5m，故CD=2m，此时等腰三角形绿地的面积：12BD·AC=12×5×4=10（m2）；综上所述，扩充后等腰三角形绿地的面积为8m2或12m2或10m2或253m2．点睛：此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解决问题的关键是根据题意正确画出图形．20．522,322++【分析】过B作BF⊥CA于F，构造直角三角形，分两种情况讨论，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质，即可得到AC的长．【详解】分两种情况：①当∠C为锐角时，如图所示，过B作BF⊥AC于F，由折叠可得，折痕PE垂直平分AB，∴AP=BP=4，∴∠BPC=2∠A=45°，∴△BFP是等腰直角三角形，∴BF=DF=22，又∵BC=3，∴Rt△BFC中，CF=221BC BF-=，∴AC=AP+PF+CF=5+22；②当∠ACB为钝角时，如图所示，过B作BF⊥AC于F，同理可得，△BFP是等腰直角三角形，∴BF=FP=22又∵BC=3，∴Rt△BCF中，221BC BF-=，∴AC=AF-CF=3+22故答案为：5+223+22【点睛】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，解决问题的关键是分两种情况画出图形进行求解．解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答题21．（1）423；（2）以a 、b 、c 为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，【分析】（1）根据二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质求出即可；（2）先根据绝对值，偶次方、算术平方根的非负性求出a 、b 、c 的值，再根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再求出面积即可.【详解】解：（1）⎛÷ ⎝=÷=÷ ＝423； （2）以a 、b 、c 为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，理由是：∵a 、b 、c 满足2|a (c 0-=，∴a ﹣＝0，﹣b ＝0，c 0，∴a ＝，b ＝，c∵，，∴以a 、b 、c 为边能组成三角形，∵a ＝，b ＝，c∴a 2+b 2＝c 2，∴以a 、b 、c 为边能构成直角三角形，直角边是a 和b ，则此三角形的面积是12⨯. 【点睛】此题考查了计算能力，掌握二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质，绝对值，偶次方、算术平方根的非负性，勾股定理的逆定理是解题的关键.22．（1）AE=BD 且AE ⊥BD ；（2）6；（3）PQ 为定值6，图形见解析【分析】（1）由“SAS”可证△ACE ≌△BCD ，可得AE=BD ，∠EAC=∠DBC=45°，可得AE ⊥BD ；（2）由等腰三角形的性质可得PA=AQ ，由勾股定理可求PA 的长，即可求PQ 的长； （3）分两种情况讨论，由“SAS”可证△ACE ≌△BCD ，可得AE=BD ，∠EAC=∠DBC ，可得AE ⊥BD ，由等腰三角形的性质可得PA=AQ ，由勾股定理可求PA 的长，即可求PQ 的长．【详解】解：（1）AE=BD ，AE ⊥BD ，理由如下：∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）∴AE=BD ，∠EAC=∠DBC=45°，∴∠EAC+∠CAB=90°，∴AE ⊥BD ；（2）∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，∴PA=AQ ，∵EP=EQ=5，AE=BD=4，∴AQ=22=2516=3EQ AE --，∴PQ=2AQ=6；（3）如图3，若点D 在AB 的延长线上，∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）∴AE=BD ，∠CBD=∠CAE=135°，且∠CAB=45°，∴∠EAB=90°，∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，∴PA=AQ ，∵EP=EQ=5，AE=BD=4，∴AQ=22=2516=3EQ AE --，∴PQ=2AQ=6；如图4，若点D 在BA 的延长线上，∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）∴AE=BD ，∠CBD=∠CAE=45°，且∠CAB=45°，∴∠EAB=90°，∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，∴PA=AQ ，∵EP=EQ=5，AE=BD=4，∴AQ=22=2516=3EQ AE --，∴PQ=2AQ=6.【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，证明AE ⊥BD 是本题的关键．23．（1）①见解析；②DE ＝297；（2）DE 的值为517 【分析】（1）①先证明∠DAE ＝∠DAF ，结合DA ＝DA ，AE ＝AF ，即可证明；②如图1中，设DE ＝x ，则CD ＝7﹣x ．在Rt △DCF 中，由DF 2＝CD 2+CF 2，CF ＝BE ＝3，可得x 2＝（7﹣x ）2+32，解方程即可；（2）分两种情形：①当点E 在线段BC 上时，如图2中，连接BE ．由△EAD ≌△ADC ，推出∠ABE ＝∠C ＝∠ABC ＝45°，EB ＝CD ＝5，推出∠EBD ＝90°，推出DE 2＝BE 2+BD 2＝62+32＝45，即可解决问题；②当点D 在CB 的延长线上时，如图3中，同法可得DE 2＝153．【详解】（1）①如图1中，∵将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°后，得到△AFC ，∴△BAE ≌△CAF ，∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠CAF ，∵∠BAC＝90°，∠EAD＝45°，∴∠CAD+∠BAE＝∠CAD+∠CAF＝45°，∴∠DAE＝∠DAF，∵DA＝DA，AE＝AF，∴△AED≌△AFD（SAS）；②如图1中，设DE＝x，则CD＝7﹣x．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠ABE＝∠ACF＝45°，∴∠DCF＝90°，∵△AED≌△AFD（SAS），∴DE＝DF＝x，∵在Rt△DCF中， DF2＝CD2+CF2，CF＝BE＝3，∴x2＝（7﹣x）2+32，∴x＝297，∴DE＝297；（2）∵BD＝3，BC＝9，∴分两种情况如下：①当点E在线段BC上时，如图2中，连接BE．∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠EAB＝∠DAC，∵AE＝AD，AB＝AC，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45°，EB＝CD＝9-3=6，∴∠EBD＝90°，∴DE2＝BE2+BD2＝62+32＝45，∴DE＝②当点D在CB的延长线上时，如图3中，连接BE．同理可证△DBE是直角三角形，EB＝CD＝3+9=12，DB＝3，∴DE2＝EB2+BD2＝144+9＝153，∴DE＝综上所述，DE的值为．【点睛】本题主要考查旋转变换的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理，添加辅助线，构造旋转全等模型，是解题的关键．24．（1）作图见解析，20DBC ∠=︒；（2）作图见解析，35BAC ∠=︒；（3）∠A =45°或90°或90°－2α或1452α︒-，或α＝45°时45°＜∠BAC ＜90°．【分析】（1）根据二分割线的定义，只要把∠ABC 分成90°角和20°角即可；（2）可以画出∠A=35°的三角形；（3）设BD 为△ABC 的二分割线，分以下两种情况．第一种情况：△BDC 是等腰三角形，△ABD 是直角三角形；第二种情况：△BDC 是直角三角形，△ABD 是等腰三角形分别利用直角三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：（1）ABC ∆关于点B 的二分割线BD 如图4所示，20DBC ∠=︒；故答案为：20°；（2）如图所示：∠BAC=35°；（3）设BD 为△ABC 的二分割线，分以下两种情况．第一种情况：△BDC 是等腰三角形，△ABD 是直角三角形，易知∠C 和∠DBC 必为底角， ∴∠DBC ＝∠C ＝α．当∠A ＝90°时，△ABC 存在二分分割线；当∠ABD ＝90°时，△ABC 存在二分分割线，此时∠A ＝90°－2α；当∠ADB ＝90°时，△ABC 存在二分割线，此时α＝45°且45°＜∠A ＜90°；第二种情况：△BDC 是直角三角形，△ABD 是等腰三角形，当∠DBC ＝90°时，若BD ＝AD ，则△ABC 存在二分割线，此时1809014522A αα︒-︒-∠==︒-； 当∠BDC ＝90°时，若BD ＝AD ，则△ABC 存在二分割线，此时∠A ＝45°， 综上，∠A =45°或90°或90°－2α或1452α︒-，或α＝45°时，45°＜∠BAC ＜90°．【点睛】本题考查的是二分割线的理解与作图，属于新定义题型，主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质和三角形的内角和定理等知识，正确理解二分割线的定义、熟练掌握等腰三角形和直角三角形的性质是解答的关键．25．（1）3；（2）见解析．【分析】（1）根据勾股定理可得AC ，进而可得BC 与BD ，然后根据三角形的面积公式计算即可； （2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则根据余角的性质可得∠CBG =∠EBH ，由已知易得BE ∥AC ，于是∠E =∠EFC ，由于CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，则根据余角的性质得∠EFC =∠BCG ，于是可得∠E =∠BCG ，然后根据ASA 可证△BCG ≌△BEH ，可得BG =BH ，CG =EH ，从而△BGH 是等腰直角三角形，进一步即可证得结论．【详解】解：（1）在△ACD 中，∵90ACB ∠=︒，1CD =，AD =∴2AC ==，∵2BC AC =，∴BC=4，BD =3，∴1132322ABD S BD AC ∆=⋅=⨯⨯=； （2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则∠CBG +∠CBH =90°， ∵BE BC ⊥，∴∠EBH +∠CBH =90°，∴∠CBG =∠EBH ，∵BE BC ⊥，90ACB ∠=︒，∴BE ∥AC ，∴∠E =∠EFC ，∵CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，∴∠EFC +∠FCG =90°，∠BCG +∠FCG =90°，∴∠EFC =∠BCG ，∴∠E =∠BCG ，在△BCG 和△BEH 中，∵∠CBG =∠EBH ，BC=BE ，∠BCG =∠E ，∴△BCG ≌△BEH （ASA ）， ∴BG =BH ，CG =EH ，∴GH ==，∴EG GH EH CG =+=+．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、余角的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．26．（1）①详见解析；（2）222222CD n n =+-（1n >）；（2）2AD BD CD -=，理由详见解析.【分析】（1）①根据勾股定理的逆定理进行判断；②过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，利用同角的余角相等证明∠3=∠4，∠1=∠E ，进而证明△ACD ≌△BCE ，求出DE 的长，再利用勾股定理求解即可.（2）过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，先证∠ACD=∠BCF ，再证△ACD ≌△BCF ，得CD=CF ，AD=BF ，再利用勾股定理求解即可.【详解】（1）①∵()()()22222222212214AD BD n n n n n +=-+=-++()()22222211n n n =++=+ 又∵()2221AB n =+∴222AD BD AB +=∴△ABD 是直角三角形②如图①，过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，∵∠3+∠BCD=∠ACD=90°，∠4+∠BCD=∠DCE=90°∴∠3=∠4由①知△ABD 是直角三角形∴1290∠+∠=︒又∵290E ∠+∠=︒∴∠1=∠E在ACD ∆和BCE ∆中，A 34E AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△BCE∴CD CE =，AD BE =∴221DE BD BE BD AD n n =+=+=+- 又∵CD CE =，90DCE ∠=︒ ∴由勾股定理得222DE CD DE CD =+=∴22CD =222222n n =+-（1n >） （2）AD 、BD 、CD 的数量关系为：2AD BD CD -=，理由如下：如图②，过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，∵∠ACD=90°+∠5，∠BCF=90°+∠5∴∠ACD=∠BCF∵BD ⊥AD∴∠ADB=90°∴∠6+∠7=90°∵∠ACB=90°∴∠9=∠8=90°又∵∠6=∠8∴∠7=∠9ACD ∆和BCF ∆中97AC BCACD BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACD ≌△BCF∴CD=CF，AD=BF又∵∠DCF=90°∴由勾股定理得222DF CD CF CD=+=又DF=BF-BD=AD-BD∴2AD BD CD-=【点睛】本题考查的是三角形全等、勾股定理及其逆定理，掌握三角形全等的判定方法及勾股定理及其逆定理是关键.27．（1）假；（2）∠A＝45°；（3）①不能，理由见解析，②见解析【分析】（1）先由直角三角形是类勾股三角形得出ab+a2=c2，再由勾股定理得a2+b2=c2，即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形；（2）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论；（3）①分三种情况，利用等腰三角形的性质即可得出结论；②先求出CD=CB=a，AD=CD=a，DB=AB-AD=c-a，DG=BG=12（c-a），AG=12（a+c），两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论．【详解】解：（1）如图1，假设Rt△ABC是类勾股三角形，∴ab+a2＝c2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据勾股定理得，a2+b2＝c2，∴ab+b2＝a2+b2，∴ab＝a2，∴a＝b，∴△ABC是等腰直角三角形，∴等腰直角三角形是类勾股三角形，即：原命题是假命题，故答案为：假；（2）∵AB＝BC，AC＞AB，∴a＝c，b＞c，∵△ABC是类勾股三角形，∴ac+a2＝b2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝45°，（3）①在△ABC中，∠ABC＝2∠BAC，∠BAC＝32°，∴∠ABC＝64°，根据三角形的内角和定理得，∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝84°，∵把这个三角形分成两个等腰三角形，∴（Ⅰ）、当∠BCD＝∠BDC时，∵∠ABC＝64°，∴∠BCD＝∠BDC＝58°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝84°﹣58°＝26°，∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝122°∴△ACD不是等腰三角形，此种情况不成立；（Ⅱ）、当∠BCD＝∠ABC＝64°时，∴∠BDC＝52°，∴∠ACD＝20°，∠ADC＝128°，∴△ACD是等腰三角形，此种情况不成立；（Ⅲ）、当∠BDC＝∠ABC＝64°时，∴∠BCD＝52°，∴∠ACD＝∠ACB﹣BCD＝32°＝∠BAC，∴△ACD是等腰三角形，即：分割线和顶角标注如图2所示，Ⅱ、分∠ABC，同（Ⅰ）的方法，判断此种情况不成立；Ⅲ、分∠BAC，同（Ⅱ）的方法，判断此种情况不成立；②如图3，在AB边上取点D，连接CD，使∠ACD＝∠A图3作CG⊥AB于G，∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝2∠A，。

一、选择题1．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为1S ，2S ，3S ；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为4S ，5S ，6S ，其中116S =，245S =，511S =，614S =，则43S S +=（ ）．A ．86B ．61C ．54D ．482．如图，在Rt ABC ∆中，90, 5 ,3ACB AB cm AC cm ︒∠=== ，动点P 从点B 出发，沿射线BC 以1 /cm s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当∆ABP 为等腰三角形时，t 的值不可能为（ ）A ．5B ．8C ．254D ．2583．已知等边三角形的边长为a ，则它边上的高、面积分别是（ ）A ．2,24a aB 234a aC 233a a D ．2334a a 4．已知：如图在△ABC ，△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ，以下四个结论：①BD=CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE 2=2（AD 2+AB 2）， 其中结论正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（ ）A ．20B ．24C ．994D ．5326．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ACB =∠ADC =45︒，若AD =4，CD =2，则BD 的长为（ ）A ．6B ．27C ．5D ．257．如图，在数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值为（ ）A ．15-B ．15C ．5-D ．15-+8．下列说法不能得到直角三角形的（ ） A ．三个角度之比为 1：2：3 的三角形 B ．三个边长之比为 3：4：5 的三角形 C ．三个边长之比为 8：16：17 的三角形D ．三个角度之比为 1：1：2 的三角形 9．在ABC ∆中，::2BC AC AB =则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形10．如图，是一张直角三角形的纸片，两直角边6,8AC BC ==，现将ABC 折叠，使点B 点A 重合，折痕为DE ，则BD 的长为（ ）A ．7B ．254C ．6D ．112二、填空题11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm 、3 dm 和1 dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点的最短路程是 dm ．12．如图，RT ABC ，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则B FC '△的面积为______．13．在Rt ABC 中，90,30,2C A BC ∠=∠==，以ABC 的边AC 为一边的等腰三角形，它的第三个顶点在ABC 的斜边AB 上，则这个等腰三角形的腰长为_________. 14．如图，在ABC △中8,4,AB AC BC AD BC ===⊥于点D ，点P 是线段AD 上一个动点，过点P 作PE AB ⊥于点E ，连接PB ，则PB PE +的最小值为________.15．已知，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=7，D 是AB 的中点，点E 在AC 上，点F 在BC 上，DE=DF ，若BF=4，则EF=_______16．如图，△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，AD 是BAC ∠的角平分线，E 是AD 上的动点，F 是AB 边上的动点，则BE+EF 的最小值为_____．17．已知a 、b 、c 是△ABC 三边的长，且满足关系式2222()0c a b a b --+-=，则△ABC 的形状为___________18．如图，在矩形ABCD 中，AD ＞AB ，将矩形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为MN ，连接CN ．若△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：3，则22MN BM的值为______________．19．在ABC 中，12AB AC ==，30A ∠=︒，点E 是AB 中点，点D 在AC 上，32DE =，将ADE 沿着DE 翻折，点A 的对应点是点F ，直线EF 与AC 交于点G ，那么DGF △的面积=__________．20．在Rt ABC 中，90A ∠=︒，其中一个锐角为60︒，23BC =，点P 在直线AC 上（不与A ，C 两点重合），当30ABP ∠=︒时，CP 的长为__________．三、解答题21．阅读与理解：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在ABC 中，AB AC >（如图），怎样证明C B ∠>∠呢？分析：把AC 沿A ∠的角平分线AD 翻折，因为AB AC >，所以，点C 落在AB 上的点C '处，即AC AC '=，据以上操作，易证明ACD AC D '△△≌，所以AC D C '∠=∠，又因为AC D B '∠>∠，所以C B ∠>∠．感悟与应用：（1）如图（a ），在ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，CD 平分ACB ∠，试判断AC 和AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；（2）如图（b ），在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，16AC =，8AD =，12DC BC ==，①求证：180B D ∠+∠=︒； ②求AB 的长．22．如图， ABD 为边长不变的等腰直角三角形，AB AD =，90BAD ∠=︒，在 ABD 外取一点 E ，以A 为直角顶点作等腰直角AEP △，其中 P 在ABD 内部，90EAP ∠=︒，2AE AP ==，当E 、P 、D 三点共线时，7BP =．下列结论：①E 、P 、D 共线时，点B 到直线AE 的距离为5； ②E 、P 、D 共线时， 13ADP ABP S S ∆∆+=+；=532ABD S ∆+③；④作点 A 关于 BD 的对称点 C ，在 AEP 绕点 A 旋转的过程中，PC 的最小值为5+232-；⑤AEP △绕点A 旋转,当点E 落在AB 上，当点P 落在AD 上时，取BP 上一点N ，使得AN BN =，连接 ED ，则AN ED ⊥．其中正确结论的序号是___．23．如图，己知Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，ED 为AB 垂直平分线，且23DE =DB ，DA .（1）直接写出BC =__________，AC =__________； （2）求证：ABD ∆是等边三角形；（3）如图，连接CD ，作BF CD ⊥，垂足为点F ，直接写出BF 的长；（4）P 是直线AC 上的一点，且13CP AC =，连接PE ，直接写出PE 的长. 24．在ABC ∆中，AB AC =，CD 是AB 边上的高，若10,5AB BC ==.（1）求CD 的长.（2）动点P 在边AB 上从点A 出发向点B 运动，速度为1个单位/秒；动点Q 在边AC 上从点A 出发向点C 运动，速度为v 个单位秒()v>1，设运动的时间为()0t t >，当点Q 到点C 时，两个点都停止运动.①若当2v =时，CP BQ =，求t 的值.②若在运动过程中存在某一时刻，使CP BQ =成立，求v 关于t 的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围.25．问题情境：综合实践活动课上，同学们围绕“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题问题解决：图（1）、图（2）都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，操作发现，启航小组同学在图（1）中画出△ABC ，其顶点A ，B ，C 都在格点上，同时构造长方形CDEF ，使它的顶点都在格点上，且它的边EF 经过点A ，ED 经过点B ．同学们借助此图求出了△ABC 的面积．（1）在图（1）中，△ABC 的三边长分别是AB ＝ ，BC ＝ ，AC ＝ ．△ABC 的面积是 ．（2）已知△PMN 中，PM ＝17，MN ＝25，NP ＝13．请你根据启航小组的思路，在图（2）中画出△PMN ，并直接写出△RMN 的面积 ．26．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 经过点C （a ，a ），且交x 轴于点A （m ，0），交y 轴于点B （0，n ），且m ，n 6m -n ﹣12）2＝0． （1）求直线AB 的解析式及C 点坐标；（2）过点C 作CD ⊥AB 交x 轴于点D ，请在图1中画出图形，并求D 点的坐标； （3）如图2，点E （0，﹣2），点P 为射线AB 上一点，且∠CEP ＝45°，求点P 的坐标．27．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，ABC ∆，ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，A 在y 轴正半轴上，点0()6,B -，点(6,0)C ，点D 在ABC ∆内部，点E 在ABC ∆的外部，32=AD ，30DOE ∠=︒，OF 与AB 交于点G ，连接DF ，DG ，DO ，OE .（1）求点A 的坐标；（2）判断DF 与OE 的数量关系，并说明理由； （3）直接写出ADG ∆的周长.28．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内有两点()111, P x y 、()222, P x y ，其两点间的距离()()22121212PP x x y y =-+-直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为12x x -或1|y -2|y . （1）已知()2, 4A 、()3, 8B --，试求A 、B 两点间的距离______.已知M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1，试求M 、N 两点的距离为______；（2）已知一个三角形各顶点坐标为()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F ，你能判定此三角形的形状吗?说明理由．（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x 轴上找一点P ，使PD PF +的长度最短，求出点P 的坐标及PD PF +的最短长度．29．（1）如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且点D在BC边上滑动（点D不与点B，C重合），连接EC，①则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；②求证：BD2+CD2＝2AD2；（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD 的长．30．阅读下列材料，并解答其后的问题：我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”，该公式是：设△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S＝()()()()a b c a b c a c b b c a+++-+-+-．（1）（举例应用）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a＝4，b ＝5，c＝7，则△ABC的面积为；（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB＝（26+42）m，BC＝5m，CD＝7m，AD＝46m，∠A＝60°，求该块草地的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】设1S ，2S ，3S 对应的边长为1L ，2L ，3L ，根据题意，通过等边三角形和勾股定理的性质，得23L ，从而计算得到3S ；设4S ，5S ，6S 对应的边长为4L ，5L ，6L ，通过圆形面积和勾股定理性质，得24L ，从而计算得到4S ，即可得到答案． 【详解】分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为1S ，2S ，3S 则1S ，2S ，3S 对应的边长设为1L ，2L ，3L根据题意得：211111162S L L ===22245S L == ∴21L =，22L =∵222132L L L += ∴22232129L L L =-=∴2332929S === 以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为4S ，5S ，6 S 则4S ，5S ，6S 对应的边长设为4L ，5L ，6L 根据题意得：2255511228L S L ππ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭2266614228L S L ππ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭∴25811L π=⨯，26814L π=⨯∵222564L L L += ∴()22245688111425L L L ππ=+=⨯+=⨯∴2448S 252588L πππ==⨯⨯=∴43292554S S +=+= 故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理、等边三角形、圆形面积的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、等边三角形面积计算的性质，从而完成求解．2．C解析：C【分析】根据ABP △为等腰三角形，分三种情况进行讨论，分别求出BP 的长度，从而求出t 值即可．【详解】 在Rt ABC 中，222225316BC AB AC =-=-=，4BC cm ∴=，①如图，当AB BP =时， 5 ,5BP cm t ==；②如图，当AB AP =时，∵AC BP ⊥，∴28 BP BC cm ==，8t =；③如图，当BP AP =时，设AP BP xcm ==，则4,3( )CP x cm AC cm =-=，∵在Rt ACP 中，222AP AC CP =+，∴()22234x x =+-，解得：258x =， ∴258t =， 综上所述，当ABP △为等腰三角形时，5t =或8t =或258t =． 故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，注意分类讨论．3．C解析：C【分析】作出等边三角形一边上的高，利用直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出BD ，利用勾股定理即可求出AD ，再利用三角形面积公式即可解决问题．【详解】解：如图作AD ⊥BC 于点D ．∵△ABC 为等边三角形，∴∠B ＝60°，∠B AD ＝30°∴1122BD AB a == 由勾股定理得，2222213()2AD AB BD a a a =-=-= ∴边长为a 的等边三角形的面积为12×a ×3a ＝3a 2， 故选：C ．【点睛】本题考点涉及等边三角形的性质、含30°角的直角三角形、勾股定理以及三角形面积公式，熟练掌握相关性质定理是解题关键.4．C解析：C【解析】试题分析：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ，即∠BAD=∠CAE ． ∵在△BAD 和△CAE 中，AB=AC ，∠BAD=∠CAE ，AD=AE ，∴△BAD≌△CAE（SAS）．∴BD=CE．本结论正确．②∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE．∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°．∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°．∴BD⊥CE．本结论正确．③∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°．∴∠ABD+∠DBC=45°．∵∠ABD=∠ACE，∴∠ACE+∠DBC=45°．本结论正确．④∵BD⊥CE，∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：BE2=BD2+DE2．∵△ADE为等腰直角三角形，∴AD，即DE2=2AD2．∴BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2．而BD2≠2AB2，本结论错误．综上所述，正确的个数为3个．故选C．5．B解析：B【分析】设小正方形的边长为x，则矩形的一边长为（a+x）,另一边为（b+x）,根据矩形的面积的即等于两个三角形的面积之和，也等于长乘以宽，列出方程，化简再代入a,b的值，得出x2＋7x=12，再根据矩形的面积公式，整体代入即可.【详解】设小正方形的边长为x，则矩形的一边长为（a+x）,另一边为（b+x）,根据题意得：2（ax+x2+bx）=（a+x）（b+x）,化简得：ax+x2+bx-ab=0，又∵ a = 3 ， b = 4 ，∴x2＋7x=12;∴该矩形的面积为=（a+x）（b+x）=（3+x）（4+x）=x2＋7x+12=24.故答案为B.【点睛】本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，求出小正方形的边长是解题的关键.6．A解析：A【解析】【分析】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，根据等式的性质，可得∠BAD与∠CAD′的关系，根据SAS，可得△BAD与△CAD′的关系，根据全等三角形的性质，可得BD与CD′的关系，根据勾股定理，可得答案．【详解】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，则有∠AD′D=∠D′AD=45 ，∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD 与△CAD′中，''BC CA BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAD ≌△CAD′（SAS ），∴BD=CD′，∠DAD′=90°，由勾股定理得DD′=22'AD AD +＝42，∠D′DA+∠ADC=90°，由勾股定理得CD′=22DC DD +'=()22422+=6，故选A.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线作出全等图形是解题关键．7．A解析：A【分析】首先根据勾股定理得出圆弧的半径,然后得出点A 的坐标.【详解】2212=5+∴由图可知：点A 所表示的数为: 15-故选：A【点睛】本题主要考查的就是数轴上点所表示的数,属于基础题型.解决这个问题的关键就是求出斜边的长度.在数轴上两点之间的距离是指两点所表示的数的差的绝对值.8．C解析：C【分析】三角形内角和180°，根据比例判断A 、D 选项中是否有90°的角，根据勾股定理的逆定理判断B 、C 选项中边长是否符合直角三角形的关系.【详解】A 中，三个角之比为1:2:3，则这三个角分别为：30°、60°、90°，是直角三角形；D 中，三个角之比为1:1:2，则这三个角分别为：45°、45°、90°，是直角三角形； B 中，三边之比为3:4:5，设这三条边长为：3x 、4x 、5x ，满足：()()()222345x x x +=，是直角三角形；C 中，三边之比为8:16:17，设这三条边长为：8x 、16x 、17x ，()()()22281617x x x +≠，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形故选：C【点睛】本题考查直角三角形的判定，常见方法有2种；（1）有一个角是直角的三角形；（2）三边长满足勾股定理逆定理. 9．D解析：D【分析】根据题意设出三边分别为k 、k k ，然后利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，又有BC 、AC 边相等，所以三角形为等腰直角三角形．【详解】设BC 、AC 、AB 分别为k ，k k ，∵k 2+k 2=k ）2，∴BC 2+AC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形，又BC=AC ，∴△ABC 是等腰直角三角形．故选D ．【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定，利用设k 法与勾股定理证明三角形是直角三角形是难点，也是解题的关键．10．B解析：B【分析】由折叠的性质得出AD=BD ，设BD=x ，则CD=8-x ，在Rt △ACD 中根据勾股定理列方程即可得出答案．【详解】解：∵将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，∴AD=BD ，设BD=x ，则CD=8-x ，在Rt △ACD 中，∵AC 2+CD 2=AD 2，∴62+（8-x ）2=x 2，解得x= 254 ∴BD=254． 故选：B ．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理等知识，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．二、填空题11．【解析】试题分析：将台阶展开，如图，331312,5,AC BC =⨯+⨯==222169,AB AC BC ∴=+=13,AB ∴=即蚂蚁爬行的最短线路为13.dm考点：平面展开：最短路径问题．12．9625【分析】将△B´CF 的面积转化为求△BCF 的面积，由折叠的性质可得CD ＝AC ＝6，∠ACE ＝∠DCE ，∠BCF ＝∠B´CF ，CE ⊥AB ，可证得△ECF 是等腰直角三角形，EF ＝CE ，∠EFC ＝45°，由等面积法可求CE 的长，由勾股定理可求AE 的长，进而求得BF 的长，即可求解．【详解】根据折叠的性质可知，CD ＝AC ＝6，∠ACE ＝∠DCE ，∠BCF ＝∠B´CF ，CE ⊥AB ， ∴∠DCE ＋∠B´CF ＝∠ACE ＋∠BCF ， ∵∠ACB ＝90°，∴∠ECF ＝45°，且CE ⊥AB ，∴△ECF 是等腰直角三角形，∴EF ＝CE ，∠EFC ＝45°，∵S △ABC ＝12AC•BC ＝12A B•CE ， ∴AC•BC ＝AB•CE ，∵根据勾股定理求得AB ＝10，∴CE ＝245， ∴EF ＝245， ∵AE ＝22AC CE -＝2224186-=55⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴BF ＝AB−AE−EF ＝10－185－245＝85， ∴S △CBF ＝12×BF ×CE ＝12×85×245＝9625， ∴S △CB´F ＝9625， 故填：9625． 【点睛】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，根据折叠的性质求得相等的角是解决本题的关键．13．23或2【分析】先求出AC 的长，再分两种情况：当AC 为腰时及AC 为底时，分别求出腰长即可.【详解】在Rt ABC 中，90,30,2C A BC ∠=∠==，∴AB=2BC=4，∴22224223AC AB BC =-=-=,当AC 为腰时，则该三角形的腰长为23；当AC 为底时，作AC 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如图，此时△ACD 是等腰三角形，则AE=3,设DE=x ，则AD=2x ，∵222AE DE AD +=,∴222(3)(2)x x +=∴x=1（负值舍去），∴腰长AD=2x=2，故答案为：23或2 【点睛】 此题考查勾股定理的运用，结合线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题时注意：“AC 为一边的等腰三角形”没有明确AC 是等腰三角形的腰或底，故应分为两种情况解题，这是此题的易错之处.14．15【分析】 根据题意点B 与点C 关于AD 对称，所以过点C 作AB 的垂线，与AD 的交点即点P ，求出CE 即可得到答案【详解】∵8,AB AC AD BC ==⊥∴点B 与点C 关于AD 对称过点C 作CE ⊥AB 于一点即为点P ，此时PB PE +最小∵8,4,AB AC BC AD BC ===⊥∴BD=2在Rt △A BC 中， 222282215AD AB BD =-=-= ∵S △ABC=1122BC AD AB CE ⋅⋅=⋅⋅ ∴42158CE ⨯=得15CE =故此题填15【点睛】此题考察最短路径，根据题意找到对称点，作直角三角形，利用勾股定理解决问题 15．322或115或1095【分析】分别就E ，F 在AC,BC 上和延长线上，分别画出图形，过D 作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G ，H ，通过构造全等三角形和运用勾股定理作答即可.【详解】解：①过D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G，H ∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45°又∵D是AB的中点，∴DG=12 BC同理：DH=12 AC又∵BC=AC∴DG=DH在Rt△DGE和Rt△DHF中DG=DH,DE=DF∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL）∴GE=HF又∵DG=DH,DC=DC∴△GDC≌△FHC∴CG=HC∴CE=GC-GE=CH-HF=CF=AB-BF=3∴EF=223332+=②过D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G，H∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45°又∵D是AB的中点，∴DG=12 BC同理：DH=12 AC又∵BC=AC ∴DG=DH在Rt△DGE 和Rt△DHF 中DG=DH,DE=DF∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL ）∴GE=HF又∵DG=DH,DC=DC∴△GDC≌△FHC∴CG=HC∴CE=CF=AC+AE=AB+BF=7+4=11 ∴EF=221111112+=③如图，以点D 为圆心，以DF 长为半径画圆交AC 边分别为E 、E '，过点D 作DH⊥AC 于点H ，可知DF DE DE '==，可证△EHD≌△E HD '，CE D CFD '≌，△DHC 为等腰直角三角形，∴∠1+∠2=45°∴∠EDF=2（∠1+∠2）=90°∴△EDF 为等腰直角三角形可证AED CFD △△≌∴AE=CF=3,CE=BF=4∴2222435EF CE CF =+=+=④有第③知，EF=5，且△EDF 为等腰直角三角形，∴ED=DF=522,可证△E CF E DE ''∆∽,2223y x += 525222x=+ 综上可得：4225x =∴2222E F DE DF DE '''''=+=1095E F ''= 【点睛】本题考查了全等三角形和勾股定理方面的知识，做出辅助线、运用数形结合思想是解答本题的关键.16．12013【解析】 ∵AB=AC ，AD 是角平分线，∴AD ⊥BC ，BD=CD ，∴B 点，C 点关于AD 对称，如图，过C 作CF ⊥AB 于F ，交AD 于E ，则CF=BE+FF 的最小值，根据勾股定理得，AD=12，利用等面积法得：AB ⋅CF=BC ⋅AD ，∴CF=BC AD AB ⋅=101213⨯=12013故答案为12013. 点睛：本题主要考查的是翻折的性质、垂线段最短、勾股定理的应用及三角形面积的等积法.明确当CF ⊥AB 时，CF 有最小值是解题的关键.17．等腰直角三角形【解析】根据非负数的意义，由()22220c a b a b --+-=，可知222c a b =+，a=b ，可知此三角形是等腰直角三角形.故答案为：等腰直角三角形.点睛：此题主要考查了三角形形状的确定，根据非负数的性质，可分别得到关系式，然后结合勾股定理的逆定理知是直角三角形，然后由a-b=0得到等腰直角三角形，比较容易，关键是利用非负数的性质得到关系式.18．12【解析】如图，过点N 作NG ⊥BC 于点G ，连接CN ，根据轴对称的性质有：MA=MC ，NA=NC ，∠AMN=∠CMN.因为四边形ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ，所以∠ANM=∠CMN.所以∠AMN=∠ANM，所以AM=AN.所以AM=AN=CM=CN.因为△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：3，所以DN:CM=1:3.设DN=x ，则CG=x ，AM=AN=CM=CN=3x ，由勾股定理可得()22322x x x -=， 所以MN 2=()()2222312x x x x +-=，BM 2=()()22232x x x -=.所以222212MN x BM x==12. 枚本题应填12.点睛：矩形中的折叠问题，其本质是轴对称问题，根据轴对称的性质，找到对应的线段和角，也就找到了相等的线段和角，矩形中的折叠一般会伴随着等腰三角形(也就是基本图形“平行线+角平分线→等腰三角形”)，所以常常会结合等腰三角形，勾股定理来列方程求解.19．39或639【分析】通过计算E 到AC 的距离即EH 的长度为3，所以根据DE 的长度有两种情况：①当点D 在H 点上方时，②当点D 在H 点下方时，两种情况都是过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，利用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求出AH,DH 的长度，进而可求AD 的长度，然后利用角度之间的关系证明AG GE =，再利用等腰三角形的性质求出GQ 的长度，最后利用2DGF AED AEG SS S =-即可求解．【详解】①当点D 在H 点上方时，过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，12AB = ，点E 是AB 中点，162AE AB ∴== ． ∵EH AC ⊥，90AHE ∴∠=︒ ．30,6A AE ∠=︒=，132EH AE ∴== ， 22226333AH AE EH ∴=-=-=． 32DE =，2222(32)33DH DE EH ∴=-=-= ，DH EH ∴=，333AD AH DH =-=，45EDH ∴∠=︒，15AED EDH A ∴∠=∠-∠=︒ ．由折叠的性质可知，15DEF AED ∠=∠=︒，230AEG AED ∴∠=∠=︒ ，AEG A ∴∠=∠，AG GE ∴= ． 又GQ AE ⊥ ，132AQ AE ∴== ． 30A ∠=︒ ，12GQ AG ∴=． 222GQ AQ AG += ， 即2223(2)GQ GQ +=， 3GQ ∴= ．2DGF AED AEG S S S =- ，112(333)36363922DGF S ∴=⨯⨯-⨯-⨯⨯=-； ②当点D 在H 点下方时，过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，12AB = ，点E 是AB 中点，162AE AB ∴== ． ∵EH AC ⊥，90AHE ∴∠=︒．30,6A AE ∠=︒= ，132EH AE ∴== ， 22226333AH AE EH ∴=-=-=．32DE =，2222(32)33DH DE EH ∴=-=-= ，DH EH ∴=，333AD AH DH =+=+， 45DEH ∴∠=︒ ，90105AED A DEH ∴∠=︒-∠+∠=︒ ．由折叠的性质可知，105DEF AED ∠=∠=︒，218030AEG AED ∴∠=∠-︒=︒ ，AEG A ∴∠=∠，AG GE ∴= ．又GQ AE ⊥ ，132AQ AE ∴== ． 30A ∠=︒，12GQ AG ∴= ． 222GQ AQ AG += ， 即2223(2)GQ GQ +=， 3GQ ∴= ．2DGF AED AEG S S S =- ，112(333)36363922DGF S ∴=⨯⨯+⨯-⨯⨯=+， 综上所述，DGF △的面积为639-或639+．故答案为：639-或639+．【点睛】本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，能够作出图形并分情况讨论是解题的关键．20．23或2或4【分析】根据题意画出图形，分4种情况进行讨论，利用含30°角直角三角形与勾股定理解答．【详解】解：如图1：当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾；如图2：当∠C=60°时，∠ABC=30°，∵∠ABP=30°，∴∠CBP=60°，∴△PBC 是等边三角形， ∴23CP BC ==；如图3：当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°-30°=30°，∴PC=PB ， ∵23BC = ∴222213,(23)(3)32AB BC AC BC AB ===-=-=， 在Rt △APB 中，根据勾股定理222AP AB BP +=,即222()AC PC AB PC -+=,即222(3)3)PC PC -+=，解得2PC =，如图4：当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°+30°=90°， ∴12BP PC = 在Rt △BCP 中，根据勾股定理222BP BC PC +=, 即2221()(23)2PC PC +=,解得PC=4（已舍去负值）．综上所述，CP 的长为232或4． 故答案为：32或4．【点睛】本题考查含30°角直角三角形，等边三角形的性质和判定，勾股定理．理解直角三角形30°角所对边是斜边的一半，并能通过勾股定理去求另外一个直角边是解决此题的关键． 三、解答题21．（1）BC−AC ＝AD ；理由详见解析；（2）①详见解析；②AB=14【分析】（1）在CB 上截取CE ＝CA ，连接DE ，证△ACD ≌△ECD 得DE ＝DA ，∠A ＝∠CED ＝60°，据此∠CED ＝2∠CBA ，结合∠CED ＝∠CBA ＋∠BDE 得出∠CBA ＝∠BDE ，即可得DE ＝BE ，进而得出答案；（2）①在AB 上截取AM ＝AD ，连接CM ，先证△ADC ≌△AMC ，得到∠D ＝∠AMC ，CD ＝CM ，结合CD ＝BC 知CM ＝CB ，据此得∠B ＝∠CMB ，根据∠CMB ＋∠CMA ＝180°可得；②设BN ＝a ，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，由CB ＝CM 知BN ＝MN ＝a ，CN 2＝BC 2−BN 2＝AC 2−AN 2，可得关于a 的方程，解之可得答案．【详解】解：（1）BC−AC ＝AD ．理由如下：如图（a ），在CB 上截取CE ＝CA ，连接DE ，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠ECD ，又CD ＝CD ，∴△ACD ≌△ECD （SAS ），∴DE ＝DA ，∠A ＝∠CED ＝60°，∴∠CED ＝2∠CBA ，∵∠CED ＝∠CBA ＋∠BDE ，∴∠CBA ＝∠BDE ，∴DE ＝BE ，∴AD ＝BE ，∵BE ＝BC−CE ＝BC−AC ，∴BC−AC ＝AD ．（2）①如图（b ），在AB 上截取AM ＝AD ，连接CM ，∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠MAC ，∵AC ＝AC ，∴△ADC ≌△AMC （SAS ），∴∠D ＝∠AMC ，CD ＝CM ＝12，∵CD ＝BC ＝12，∴CM ＝CB ，∴∠B ＝∠CMB ，∵∠CMB ＋∠CMA ＝180°，∴∠B ＋∠D ＝180°；②设BN ＝a ，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，∵CB ＝CM ＝12，∴BN ＝MN ＝a ，在Rt △BCN 中，2222212CN BC BN a --＝＝，在Rt △ACN 中，2222216(8)CN AC AN a --+＝＝， 则22221216(8)a a --+＝， 解得：a ＝3，即BN ＝MN ＝3，则AB ＝8+3+3=14，∴AB=14．【点睛】本题考查了四边形的综合题，以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果．22．②③⑤【分析】①先证得ABE ADP ≅，利用邻补角和等腰直角三角形的性质求得90PEB ∠=︒，利用勾股定理求出BE ，即可求得点B 到直线AE 的距离；②根据①的结论，利用APD ABP ABE APB S S S S ∆∆∆+=+AEP BEP S S ∆∆=+即可求得结论； ③在Rt AHB 中，利用勾股定理求得2AB ，再利用三角形面积公式即可求得ABD S ∆； ④当A P C 、、共线时，PC 最小，利用对称的性质，AB BC =的长，再求得AC 的长，即可求得结论；⑤先证得ABP ADE ≅，得到ABP ADE ∠=∠，根据条件得到ABP NAB ∠=∠，利用互余的关系即可证得结论．【详解】①∵ABD 与AEP 都是等腰直角三角形，∴90BAD ∠=︒，90EAP ∠=︒，AB AD =，AE AP =，45APE AEP ∠=∠=︒， ∴EAB PAD ∠=∠， ∴()ABE ADP SAS ≅，∴180********AEB APD APE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴1354590PEB AEB AEP ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴222PE BE PB +=， ∵2AE AP ==90EAP ∠=︒， ∴22PE ==， ∴22227BE +=， 解得：3BE =作BH ⊥AE 交AE 的延长线于点H ，∵45AEP ∠=︒，90PEB ∠=︒，∴180180904545HEB PEB AEP ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， ∴26sin 45322HB BE =︒==， ∴点B 到直线AE 的距离为6，故①错误； ②由①知：ABE ADP ≅，2EP =，3BE =，∴APD ABP ABE APB S S S S ∆∆∆∆+=+AEP BEP S S ∆∆=+1122AE AP PE EB =⨯⨯+⨯⨯ 11222322=⨯⨯+⨯⨯ 13=+，故②正确；③在Rt AHB 中，由①知：62EH HB ==， ∴62AH AE EH =+=+， 22222256623AB AH BH ⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭， 21153222ABD S AB AD AB ∆=⋅==+，故③正确； ④因为AC 是定值，所以当A P C 、、共线时，PC 最小，如图，连接BC ，∵A C 、关于 BD 的对称， ∴523AB BC ==+， ∴225231043AC BC ==+=+，∴ min PC AC AP =-，10432=+-，故④错误；⑤∵ABD 与AEP 都是等腰直角三角形，∴90BAD ∠=︒，90EAP ∠=︒，AB AD =，AE AP =， 在ABP 和ADE 中，AB AD BAP DAE AP AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABP ADE SAS ≅，∴ABP ADE ∠=∠，∵AN BN =，∴ABP NAB ∠=∠，∴EAN ADE ∠=∠，∵90EAN DAN ∠+∠=︒，∴90ADE DAN ∠+∠=︒，∴AN DE ⊥，故⑤正确；综上，②③⑤正确，故答案为：②③⑤．【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，三角形的面积公式，综合性强，全等三角形的判定和性质的灵活运用是解题的关键．23．（1）2，232）证明见解析（3）2217（4）233或2213 【分析】（1）根据含有30°角的直角三角形的性质可得BC=2，再由勾股定理即可求出AC 的长； （2）由ED 为AB 垂直平分线可得DB=DA ，在Rt △BDE 中，由勾股定理可得BD=4，可得BD=2BE ，故∠BDE 为60°，即可证明ABD ∆是等边三角形； （3）由（1）（2）可知，=23AC ，AD=4，进而可求得CD 的长，再由等积法可得BCD ACD ACBD S S S =+四边形，代入求解即可；（4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，构造Rt △PQE ，再根据勾股定理即可求解.【详解】（1）∵Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，∴122BC AB ==，∴22=23AC AB BC =-； （2）∵ED 为AB 垂直平分线，∴ADB=DA ，在Rt △BDE 中，∵122BE AE AB ===，23DE =， ∴22=4BD BE DE =+，∴BD=2BE ，∴∠BDE 为60°，∴ABD ∆为等边三角形；（3））由（1）（2）可知，=23AC ，AD=4，∴22=27CD AC AD =+，∵BCD ACD ACBD S SS =+四边形， ∴111()222BC AD AC AC AD BF CD +⨯=⨯+⨯， ∴2217BF =； （4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，如图，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，∵AE=2，∠BAC=30°，∴EQ=1，∵=23AC ，∴=3CQ QA =，①若点P 在线段AC 上，则23=3333 PQ CQ CP=--=，∴2223 =PE PQ EQ=+；②若点P在线段AC的延长线上，则253=3333 PQ CQ CP=++=，∴22221 =PE PQ EQ=+；综上，PE的长为23或221.【点睛】本题考查勾股定理及其应用、含30°的直角三角形的性质等，解题的关键一是能用等积法表示并求出BF的长，二是对点P的位置要分情况进行讨论.24．（1）CD=8；（2）t=4；（3）12-=tvt(26t≤<)【分析】（1）作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE=12BC，然后利用勾股定理求出AE，再用等面积法可求出CD的长；（2）①过B作BF⊥AC于F，易得BF=CD，分别讨论Q点在AF和FC之间时，根据△BQF≌△CPD，得到PD=QF，建立方程即可求出t的值；（3）同（2）建立等式关系即可得出关系式，再根据Q在FC之间求出t的取值范围即可.【详解】解：（1）如图，作AE⊥BC于E，∵AB=AC，∴BE=12BC=25在Rt△ABE中，()2222AE=AB BE=1025=45--∵△ABC的面积=11BC AE=AB CD 22⋅⋅∴BC AE4545 CD===8AB10⋅⨯（2）过B作BQ⊥AC，当Q在AF之间时，如图所示，∵△ABC的面积=11AC BF=AB CD22⋅⋅，AB=AC∴BF=CD在Rt△CPD和Rt△BQF中∵CP=BQ，CD=BF，∴Rt△CPD≌Rt△BQF（HL）∴PD=QF在Rt△ACD中，CD=8，AC=AB=10∴22AD=AC CD=6-同理可得AF=6∴PD=AD=AP=6-t，QF=AF-AQ=6-2t 由PD=QF得6-t=6-2t，解得t=0，∵t＞0，∴此种情况不符合题意，舍去；当Q点在FC之间时，如图所示，此时PD=6-t，QF=2t-6由PD=QF得6-t=2t-6，解得t=4，综上得t 的值为4.（3）同（2）可知v ＞1时，Q 在AF 之间不存在CP=BQ ，Q 在FC 之间存在CP=BQ ，Q 在F 点时，显然CP ≠BQ ，∵运动时间为t ，则AP=t ，AQ=vt ，∴PD=6-t ，QF=vt-6，由PD=QF 得6-t=vt-6， 整理得12-=t v t ， ∵Q 在FC 之间，即AF ＜AQ ≤AC ∴610<≤vt ，代入12-=t v t得 61210<-≤t ，解得26t ≤<所以答案为12-=t v t (26t ≤<) 【点睛】本题考查三角形中的动点问题，熟练掌握勾股定理求出等腰三角形的高，利用全等三角形对应边相等建立方程是解题的关键.25．（1）13，17，10，112；（2）图见解析；7． 【分析】（1）利用勾股定理求出AB ，BC ，AC ，理由分割法求出△ABC 的面积．（2）模仿（1）中方法，画出△PMN ，利用分割法求解即可．【详解】解：（1）如图1中，AB ＝22AE BE +＝2232+＝13，BC ＝22BD CD +＝2214+＝17，AC ＝22AF CF +＝2213+＝10，S △ABC ＝S 矩形DEFC ﹣S △AEB ﹣S △AFC ﹣S △BDC ＝12﹣3﹣32﹣2＝112， 故答案为13，17，10，112． （2）△PMN 如图所示．S △PMN ＝4×4﹣2﹣3﹣4＝7，故答案为7．【点睛】此题重点考查学生对勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.26．（1）y＝－2x＋12，点C坐标（4，4）；（2）画图形见解析，点D坐标（－4，0）；（3）点P的坐标（143-，643）【分析】（1）由已知的等式可求得m、n的值，于是可得直线AB的函数解析式，把点C的坐标代入可求得a的值，由此即得答案；（2）画出图象，由CD⊥AB知1AB CDk k=-可设出直线CD的解析式，再把点C代入可得CD的解析式，进一步可求D点坐标；（3）如图2，取点F（－2，8），易证明CE⊥CF且CE＝CF，于是得∠PEC＝45°，进一步求出直线EF的解析式，再与直线AB联立求两直线的交点坐标，即为点P.【详解】解：（1）∵6m-＋（n﹣12）2＝0，∴m＝6，n＝12，∴A（6，0），B（0，12），设直线AB解析式为y＝kx＋b，则有1260bk b=⎧⎨+=⎩，解得212kb=-⎧⎨=⎩，∴直线AB解析式为y＝－2x＋12，∵直线AB过点C（a，a），∴a＝－2a＋12，∴a＝4，∴点C坐标（4，4）．（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，如图1所示，设直线CD解析式为y＝12x＋b′，把点C（4，4）代入得到b′＝2，∴直线CD解析式为y＝12x＋2，∴点D坐标（－4，0）．（3）如图2中，取点F（－2，8），作直线EF交直线AB于P，。

一、选择题1．图中不能证明勾股定理的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，已知ABC 中，10,86,AB AC BC AB ===,的垂直平分线分别交,AC AB 于,,D E 连接BD ，则CD 的长为（ ）A ．1B ．54C ．74D ．2543．在△ABC 中，∠BCA=90∘,AC=6,BC=8,D 是AB 的中点，将△ACD 沿直线CD 折叠得到△ECD ，连接BE ，则线段BE 的长等于（ ）A．5 B．75C．145D．3654．如图，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→…，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→…，并且都遵循如下规则：所爬行的第n+2与第n条棱所在的直线必须既不平行也不相交（其中n是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（）A．0B．1C．3D．25．如图，已知AB是⊙O的弦，AC是⊙O的直径,D为⊙O上一点，过D作⊙O的切线交BA 的延长线于P,且DP⊥BP于P.若PD+PA=6，AB=6，则⊙O的直径AC的长为（）A．5B．8C．10D．126．如图，等腰直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，把纸片沿EF对折后，点A恰好落在BC上的点D处，若CE=1，AB=42，则下列结论一定正确的个数是（）①BC=2CD；②BD>CE；③∠CED+∠DFB=2∠EDF；④△DCE与△BDF的周长相等；A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（）A．甲、乙都可以B．甲、乙都不可以C．甲不可以、乙可以D．甲可以、乙不可以8．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（）A．12cm B．14cm C．20cm D．24cm9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．245B．5 C．6 D．810．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．1、2、3B．2、3、4 C．1、2、3 D．4、5、6二、填空题11．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1=A1A2=1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA2018A2019，则点A2019的坐标为________．12．在Rt△ABC中，直角边的长分别为a，b，斜边长c，且a+b5c=5，则ab的值为______．13．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠BCA＝30°，点D在BC上，点E在△ABC外，且AD＝AE＝CE，AD⊥AE，则ABBD的值为____________．14．如图，BAC 90∠=度，AB AC =，AE AD ⊥，且AE AD =，AF 平分DAE ∠交BC 于F ，若BD 6=，CF 8=，则线段AD 的长为______．15．如图，在等边△ABC 中，AB ＝6，AN ＝2，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，则BM +MN 的最小值是_____．16．如图，正方体的底面边长分别为2cm 和3cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过四个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_____cm ．17．如图，△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，AD 是BAC ∠的角平分线，E 是AD 上的动点，F 是AB 边上的动点，则BE+EF 的最小值为_____．18．如图，在△ABC 中，AB =AC ＝10，BC ＝12，AD 是角平分线，P 、Q 分别是AD 、AB 边上的动点，则BP ＋PQ 的最小值为_______．19．如图，在四边形ABCD 中，AD =4，CD =3，∠ABC =∠ACB =∠ADC =45°，则2________BD =．20．在ABC 中，12AB AC ==，30A ∠=︒，点E 是AB 中点，点D 在AC 上，32DE =，将ADE 沿着DE 翻折，点A 的对应点是点F ，直线EF 与AC 交于点G ，那么DGF △的面积=__________．三、解答题21．已知a ，b ，c 88a a -+-＝|c ﹣17|+b 2﹣30b +225，（1）求a ，b ，c 的值；（2）试问以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．22．如图， ABD 为边长不变的等腰直角三角形，AB AD =，90BAD ∠=︒，在 ABD 外取一点 E ，以A 为直角顶点作等腰直角AEP △，其中 P 在ABD 内部，90EAP ∠=︒，2AE AP ==E 、P 、D 三点共线时，7BP =下列结论：①E 、P 、D 共线时，点B 到直线AE 5 ②E 、P 、D 共线时， 13ADP ABP S S ∆∆+==532ABD S ∆+③④作点 A 关于 BD 的对称点 C ，在 AEP 绕点 A 旋转的过程中，PC 的最小值为5+232；⑤AEP △绕点A 旋转,当点E 落在AB 上，当点P 落在AD 上时，取BP 上一点N ，使得AN BN =，连接 ED ，则AN ED ⊥．其中正确结论的序号是___．23．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合．(1)若∠A ＝35°，则∠CBD 的度数为________； (2)若AC ＝8，BC ＝6，求AD 的长；(3)当AB ＝m(m>0)，△ABC 的面积为m ＋1时，求△BCD 的周长．(用含m 的代数式表示) 24．已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过顶点A 作射线AP .（1）当射线AP 在BAC ∠外部时，如图①，点D 在射线AP 上，连结CD 、BD ，已知21AD n =-，21AB n =+，2BD n =（1n >）.①试证明ABD ∆是直角三角形；②求线段CD 的长.（用含n 的代数式表示）（2）当射线AP 在BAC ∠内部时，如图②，过点B 作BD AP ⊥于点D ，连结CD ，请写出线段AD 、BD 、CD 的数量关系，并说明理由.25．如图，△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB=AC ，P 是线段BC 上一点,且045BAP ︒<∠<︒.作点B 关于直线AP 的对称点D, 连结BD ，CD ，AD ． （1）补全图形.（2）设∠BAP 的大小为α.求∠ADC 的大小(用含α的代数式表示).（3）延长CD 与AP 交于点E,直接用等式表示线段BD 与DE 之间的数量关系.26．定义：在△ABC 中，若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，若a ，b ，c 满足ac +a 2＝b 2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题：（1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是 命题（填“真”或“假”）；（2）如图1，若等腰三角形ABC 是“类勾股三角形”，其中AB ＝BC ，AC ＞AB ，请求∠A 的度数；（3）如图2，在△ABC 中，∠B ＝2∠A ，且∠C ＞∠A ．①当∠A ＝32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由； ②请证明△ABC 为“类勾股三角形”．27．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，点D 是AC 的中点，点E 是射线DC 上一点，DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，连接CF ，作FH CF ⊥于点F ，交直线AB 于点H ．（1）如图（1），当点E 在线段DC 上时，判断CF 和FH 的数量关系，并加以证明； （2）如图（2），当点E 在线段DC 的延长线上时，问题（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请求出当ABC △和CFH △面积相等时，点E 与点C 之间的距离；如果不成立，请说明理由．28．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，ABC ∆，ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，A 在y 轴正半轴上，点0()6,B -，点(6,0)C ，点D 在ABC ∆内部，点E 在ABC ∆的外部，32=AD ，30DOE ∠=︒，OF 与AB 交于点G ，连接DF ，DG ，DO ，OE .（1）求点A 的坐标；（2）判断DF 与OE 的数量关系，并说明理由； （3）直接写出ADG ∆的周长.29．如图1，已知△ABC 是等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且CD ＝AE ，AD 与BE 相交于点F ．（1）求证：∠ABE ＝∠CAD ；（2）如图2，以AD 为边向左作等边△ADG ，连接BG ． ⅰ）试判断四边形AGBE 的形状，并说明理由；ⅱ）若设BD ＝1，DC ＝k （0＜k ＜1），求四边形AGBE 与△ABC 的周长比（用含k 的代数式表示）．30．（发现）小慧和小雯用一个平面去截正方体，得到一个三角形截面（截出的面），发现截面一定是锐角三角形．为什么呢？她们带着这个疑问请教许老师．（体验）（1）从特殊入手 许老师用1个铆钉把长度分别为4和3的两根窄木棒的一端连在一起（如图，）,保持不动，让从重合位置开始绕点转动，在转动的过程，观测的大小和的形状，并列出下表：的大小 的形状…直角三角形…直角三角形…请仔细体会其中的道理，并填空：_____，_____；（2）猜想一般结论在中，设，，（），①若为直角三角形，则满足；②若为锐角三角形，则满足____________；③若为钝角三角形，则满足_____________．（探索）在许老师的启发下，小慧用小刀在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面（如图1），设，，，请帮助小慧说明为锐角三角形的道理．（应用）在小慧的基础上，小雯又切掉一块“角”，得到一个新的三角形截面（如图2），那么的形状是（）A．一定是锐角三角形B．可能是锐角三角形或直角三角形，但不可能是钝角三角形C．可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论222+=a b c ，找出不能证明的那个选项． 【详解】解：A 选项不能证明勾股定理；B 选项，通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式()22142a b ab c +=⨯+，可得222+=a b c ；C 选项，通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式()22112222a b ab c +=⨯+，可得222+=a b c ；D 选项，通过这个不规则图象的面积的不同表示方法，可以列式222112222c ab a b ab +⨯=++⨯，可得222+=a b c ．故选：A ． 【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．2．C解析：C 【分析】先根据勾股定理的逆定理证明△ABC 是直角三角形，根据垂直平分线的性质证得AD=BD ，由此根据勾股定理求出CD. 【详解】∵AB=10，AC=8，BC=6，∴2222228610AC BC AB +=+==,∴△ABC 是直角三角形，且∠C=90°，∵DE 垂直平分AB ，∴AD=BD ，在Rt △BCD 中，222BD BC CD =+ ,∴222(8)6CD CD -=+,解得CD=74， 故选：C. 【点睛】此题考查勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，题中证得△ABC 是直角三角形，且∠C=90°是解题的关键，再利用勾股定理求解.3．C解析：C【分析】根据勾股定理及直角三角形的中线、翻折得CD=DE=BD=5，CE=AC=6，作DH ⊥BE 于H ，EG ⊥CD 于G ，证明△DHE ≌△EGD ，利用勾股定理求出75EH DG ==，即可得到BE. 【详解】∵∠BCA=90∘，AC=6，BC=8， ∴22226810AB AC BC ，∵D 是AB 的中点，∴AD=BD=CD=5，由翻折得：DE=AD=5，∠EDC=∠ADC ，CE=AC=6，∴BD=DE ，作DH ⊥BE 于H ，EG ⊥CD 于G ，∴∠DHE=∠EGD=90︒，∠EDH=12∠BDE=12（180︒-2∠EDC ）=90︒-∠EDC ， ∴∠DEB= 90︒-∠EDH=90︒-(90︒-∠EDC)=∠EDC ，∵DE=DE ，∴△DHE ≌△EGD ，∴DH=EG ，EH=DG ，设DG=x ，则CG=5-x ，∵2EG =2222DE DG CE CG -=-，∴222256(5)x x -=--，∴75x =，∴75 EH DG==，∴BE=2EH=145，故选：C.【点睛】此题考查翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，将求BE转换为求其一半的长度的想法是关键，由此作垂线，证明△DHE≌△EGD，由此求出BE的长度.4．D解析：D【分析】先确定黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止的点，再根据停止点确定它们之间的距离．【详解】根据题意可知黑甲壳虫爬行一圈的路线是AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，回到起点．乙甲壳虫爬行一圈的路线是AB→BB1→B1C1→C1D1→D1A1→A1A．因此可以判断两个甲壳虫爬行一圈都是6条棱，因为2017÷6=336…1，所以黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止的点都是A1，B.2，故选D．【点睛】此题考查了立体图形的有关知识．注意找到规律：黑、白甲壳虫每爬行6条边后又重复原来的路径是解此题的关键．5．C解析：C【解析】分析：通过切线的性质表示出EC的长度，用相似三角形的性质表示出OE的长度，由已知条件表示出OC的长度即可通过勾股定理求出结果.详解：如图：连接BC，并连接OD交BC于点E：∵DP ⊥BP ，AC 为直径；∴∠DPB=∠PBC=90°.∴PD ∥BC,且PD 为⊙O 的切线.∴∠PDE=90°=∠DEB,∴四边形PDEB 为矩形，∴AB ∥OE ，且O 为AC 中点，AB=6.∴PD=BE=EC.∴OE=12AB=3. 设PA=x ，则OD=DE-OE=6+x-3=3+x=OC ，EC=PD=6-x..在Rt △OEC 中:222OE EC OC +=,即：()()222363x x +-=+，解得x=2.所以AC=2OC=2×（3+x ）=10.点睛：本题考查了切线的性质，相似三角形的性质，勾股定理. 6．D解析：D【分析】利用等腰直角三角形的相关性质运用勾股定理以及对应角度的关系来推导对应选项的结论即可.【详解】解：由2AC=BC=4，则AE=3=DE ，由勾股定理可得2， ①正确； 21>，②正确；由∠A=∠EDF=45°，则2∠EDF=90°，∠CED=90°-∠CDE=90°-（∠CDF-45°）= 135°-∠CDF=135°-（∠DFB+45°）= 90°-∠DFB ，故∠CED+∠DFB=90°=2∠EDF ，③正确； △DCE 的周长2，△BDF 的周长2+4-224个，故选：D.【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的相关性质以及勾股定理的运用,本题涉及的等腰直角三角形、翻折、勾股定理以及边角关系，需要熟练地掌握对应性质以及灵活的运用.7．A解析：A【解析】试题分析：剪拼如下图：乙故选A考点：剪拼，面积不变性，二次方根8．D解析：D【分析】将容器侧面展开，建立A关于EG的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【详解】解：如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF 的长，即AF+BF=A'B=20cm，延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，∵AE=A'E=DG=4cm，∴BD=16cm，Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D=22201612-=cm∴则该圆柱底面周长为24cm．故选：D．【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．9．A解析：A【分析】过C作CM⊥AB于M，交AD于P，过P作PQ⊥AC于Q，由角平分线的性质得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，为CM的长，然后利用勾股定理和等面积法求得CM的长即可解答．【详解】过C作CM⊥AB于M，交AD于P，过P作PQ⊥AC于Q，∵AD是∠BAC的平分线，∴PQ=PM，则PC+PQ=PC+PM=CM，即PC+PQ有最小值，为CM的长，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴由勾股定理得：AB=10，又1122ABCS AB CM AC BC==△，∴6824105 CM⨯==，∴PC+PQ的最小值为245，故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的性质、最短路径问题、勾股定理、三角形等面积法求高，解答的关键是掌握线段和最短类问题的解决方法：一般是运用轴对称变换将直线同侧的点转化为异侧的点，从而把两条线段的位置关系转换，再根据两点之间线段最短或垂线段最短，使两条线段之和转化为一条直线来解决．10．A解析：A【分析】求出两小边的平方和、最长边的平方,看看是否相等即可.【详解】A 、12+）2=2∴以1,故本选项正确;B 、22+32≠42 ∴以2、3、4为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误; C 、12+22≠32 ∴以1、2、3为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;D 、 42+52≠62 ∴以4、5、6为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;故选A..【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理应用，掌握勾股定理逆定理的内容就解答本题的关键.二、填空题11．(21009，0)．【分析】根据等腰直角三角形的性质得到OA 1=1，OA 2=1，OA 3=2，OA 4=3，…OA 2019=2018，再利用1A 、2A 、3A …，每8个一循环，再回到y 轴的正半轴的特点可得到点A 2019在x 轴的正半轴上，即可确定点A 2019的坐标．【详解】∵等腰直角三角形OA 1A 2的直角边OA 1在y 轴的正半轴上，且OA 1=A 1A 2=1，以OA 2为直角边作第二个等腰直角三角形OA 2A 3，以OA 3为直角边作第三个等腰直角三角形OA 3A 4，…，∴OA 1=1，OA 2，OA 3=）2，…，OA 2019=）2018，∵A 1、A 2、A 3、…，每8个一循环，再回到y 轴的正半轴，∴2019÷8=252…3，∴点A 2019在x 轴正半轴上．∵OA 2019=）2018，∴点A 2019的坐标为（2018,0）即(21009，0)．故答案为：(21009，0)．【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两底角都等于45°；斜边等于直角边的2倍．也考查了直角坐标系中各象限内点的坐标特征． 12．10【分析】先根据勾股定理得出a2+b2＝c2，利用完全平方公式得到（a+b）2﹣2ab＝c2，再将a+b＝c＝5代入即可求出ab的值．【详解】解：∵在Rt△ABC中，直角边的长分别为a，b，斜边长c，∴a2+b2＝c2，∴（a+b）2﹣2ab＝c2，∵a+b＝c＝5，∴（2﹣2ab＝52，∴ab＝10．故答案为10．【点睛】本题考查勾股定理以及完全平方公式，灵活运用完全平方公式是解题关键.13【解析】【分析】过A点作BC的垂线，E点作AC的垂线，构造全等三角形，利用对应角相等计算得出∠DAM=15°，在AM上截取AG=DG，则∠DGM=30°，设DM=a,通过勾股定理可得到DG=AG=2a，2)a，1)a，1)a,代入计算即可.【详解】过A点作AM⊥BC于M点，过E点EN⊥AC于N点.∵∠BCA＝30°，AE=EC∴AM=12AC，AN=12AC∴AM=AN又∵AD=AE∴R t∆ADM≅ R t∆AEN(HL)∴∠DAM=∠EAN又∵∠MAC=60°，AD⊥AE∴∠DAM=∠EAN=15°在AM上截取AG=DG，则∠DGM=30°设DM=a,则 DG=AG=2a，根据勾股定理得：∵∠ABC＝45°∴2)a∴1)a，2)a,∴()()62262231aABBD a++==+故答案为：622+【点睛】本题主要考查等于三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，关键是能根据已知条件构建全等三角形及构建等腰三角形将15°角转化为30°角，本题有较大难度.14．65【分析】由“SAS”可证ABD≌ACE，DAF ≌EAF可得BD CE=，4B∠∠=，DF EF=，由勾股定理可求EF的长，即可求BC的长，由勾股定理可求AD的长．【详解】解：如图，连接EF，过点A作AG BC⊥于点G，AE AD⊥，DAE DAC290∠∠∠∴=+=，又BAC DAC190∠∠∠=+=，12∠∠∴=，在ABD和ACE中12AB ACAD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABD∴≌()ACE SAS．BD CE∴=，4B∠∠=BAC90∠=，AB AC=，∴B345∠∠==4B45∠∠∴==，ECF 3490∠∠∠∴=+=，222CE CF EF ∴+=，222BD FC EF ∴+=， AF 平分DAE ∠，DAF EAF ∠∠∴=，在DAF 和EAF 中AD AE DAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DAF ∴≌()EAF SAS ．DF EF ∴=．222BD FC DF ∴+=．22222DF BD FC 68100∴=+=+=，∴DF 10=BC BD DF FC 610824∴=++=++=，AB AC =，AG BC ⊥， 1BG AG BC122∴===， DG BG BD 1266∴=-=-=，∴22AD AG DG 65=+=故答案为65【点睛】考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．15．7【解析】【分析】通过作辅助线转化BM ，MN 的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：连接CN ，与AD 交于点M ．则CN 就是BM +MN 的最小值．取BN 中点E ，连接DE ，如图所示：∵等边△ABC 的边长为6，AN ＝2，∴BN ＝AC ﹣AN ＝6﹣2＝4，∴BE ＝EN ＝AN ＝2，又∵AD 是BC 边上的中线，∴DE 是△BCN 的中位线，∴CN ＝2DE ，CN ∥DE ，又∵N 为AE 的中点，∴M 为AD 的中点，∴MN 是△ADE 的中位线，∴DE ＝2MN ，∴CN ＝2DE ＝4MN ，∴CM ＝34CN ． 在直角△CDM 中，CD ＝12BC ＝3，DM ＝12AD ＝332， ∴CM ＝22372CD MD +=， ∴CN ＝4372732⨯=． ∵BM +MN ＝CN ，∴BM +MN 的最小值为27．故答案是：27．【点睛】考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．16．55【解析】【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【详解】展开图如图所示：由题意，在Rt △APQ 中，PD=10cm ，DQ=5cm ，∴蚂蚁爬行的最短路径长2222105PD QD +=+5cm ），故答案为：55．【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．17．120 13【解析】∵AB=AC，AD是角平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∴B点，C点关于AD对称，如图，过C作CF⊥AB于F，交AD于E，则CF=BE+FF的最小值，根据勾股定理得，AD=12，利用等面积法得：AB⋅CF=BC⋅AD，∴CF=BC ADAB⋅=101213⨯=12013故答案为120 13.点睛：本题主要考查的是翻折的性质、垂线段最短、勾股定理的应用及三角形面积的等积法.明确当CF⊥AB时，CF有最小值是解题的关键.18．6【解析】∵AB=AC，AD是角平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∴B点，C点关于AD对称，如图，过C作CQ⊥AB于Q，交AD于P，则CQ=BP+PQ的最小值，根据勾股定理得，AD=8，利用等面积法得：AB ⋅CQ=BC ⋅AD ，∴CQ=BC AD AB ⋅=12810⨯=9.6 故答案为：9.6. 点睛：此题是轴对称-最短路径问题，主要考查了角平分线的性质，对称的性质，勾股定理，等面积法，用等面积法求出CQ 是解本题的关键.19．41【解析】作AD′⊥AD ，AD′=AD ，连接CD′，DD ′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD 与△CAD ′中， ;BA CA BAD CAD AD AD ＝＝＝⎧⎪∠∠'⎨⎪⎩ ∴△BAD ≌△CAD′（SAS ）， ∴BD=CD′， ∠DAD′=90°，由勾股定理得22AD AD +' ，∠D′DA+∠ADC=90°，由勾股定理得22DC DD +'41BD 2=41．故答案是：41．20．39或639【分析】通过计算E 到AC 的距离即EH 的长度为3，所以根据DE 的长度有两种情况：①当点D 在H 点上方时，②当点D 在H 点下方时，两种情况都是过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，利用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求出AH,DH 的长度，进而可求AD 的长度，然后利用角度之间的关系证明AG GE =，再利用等腰三角形的性质求出GQ 的长度，最后利用2DGF AED AEG SS S =-即可求解．【详解】①当点D 在H 点上方时， 过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，12AB = ，点E 是AB 中点，162AE AB ∴== ． ∵EH AC ⊥，90AHE ∴∠=︒ ．30,6A AE ∠=︒=，132EH AE ∴== ， 22226333AH AE EH ∴=-=-=． 32DE =，2222(32)33DH DE EH ∴=-=-= ，DH EH ∴=，333AD AH DH =-=，45EDH ∴∠=︒，15AED EDH A ∴∠=∠-∠=︒ ．由折叠的性质可知，15DEF AED ∠=∠=︒，230AEG AED ∴∠=∠=︒ ，AEG A ∴∠=∠，AG GE ∴= ．又GQ AE ⊥ ， 132AQ AE ∴== ． 30A ∠=︒ ， 12GQ AG ∴=． 222GQ AQ AG += ， 即2223(2)GQ GQ +=， 3GQ ∴= ．2DGF AED AEG S S S =- ，112(333)36363922DGF S ∴=⨯⨯-⨯-⨯⨯=-； ②当点D 在H 点下方时，过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，12AB = ，点E 是AB 中点，162AE AB ∴== ． ∵EH AC ⊥，90AHE ∴∠=︒．30,6A AE ∠=︒= ，132EH AE ∴== ，AH ∴===． 3DE =，3DH ∴=== ，DH EH ∴=，3AD AH DH =+=，45DEH ∴∠=︒ ，90105AED A DEH ∴∠=︒-∠+∠=︒ ．由折叠的性质可知，105DEF AED ∠=∠=︒，218030AEG AED ∴∠=∠-︒=︒ ，AEG A ∴∠=∠，AG GE ∴= ． 又GQ AE ⊥ ，132AQ AE ∴== ． 30A ∠=︒，12GQ AG ∴= ． 222GQ AQ AG += ， 即2223(2)GQ GQ +=，GQ ∴= ．2DGF AED AEG S S S =- ，1123)36922DGF S ∴=⨯⨯⨯-⨯=，综上所述，DGF △的面积为9或9．故答案为：9或9．【点睛】本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，能够作出图形并分情况讨论是解题的关键．三、解答题21．（1）a ＝8，b ＝15，c ＝17；（2）能，60【分析】（1）根据算术平方根，绝对值，平方的非负性即可求出a 、b 、c 的值；（2）根据勾股定理的逆定理即可求出此三角形是直角三角形，由此得到面积和周长【详解】解：（1）∵a ，b ，c |c ﹣17|+b 2﹣30b +225，21||7(15)c b +-﹣，∴a ﹣8＝0，b ﹣15＝0，c ﹣17＝0，∴a ＝8，b ＝15，c ＝17；（2）能．∵由（1）知a ＝8，b ＝15，c ＝17，∴82+152＝172．∴a 2+c 2＝b 2，∴此三角形是直角三角形，∴三角形的周长＝8+15+17＝40； 三角形的面积＝12×8×15＝60． 【点睛】此题考查算术平方根，绝对值，平方的非负性，勾股定理的逆定理判断三角形的形状.22．②③⑤【分析】 ①先证得ABE ADP ≅，利用邻补角和等腰直角三角形的性质求得90PEB ∠=︒，利用勾股定理求出BE ，即可求得点B 到直线AE 的距离；②根据①的结论，利用APD ABP ABE APB S S S S ∆∆∆+=+AEP BEP S S ∆∆=+即可求得结论； ③在Rt AHB 中，利用勾股定理求得2AB ，再利用三角形面积公式即可求得ABD S ∆； ④当A P C 、、共线时，PC 最小，利用对称的性质，AB BC =的长，再求得AC 的长，即可求得结论；⑤先证得ABP ADE ≅，得到ABP ADE ∠=∠，根据条件得到ABP NAB ∠=∠，利用互余的关系即可证得结论．【详解】①∵ABD 与AEP 都是等腰直角三角形，∴90BAD ∠=︒，90EAP ∠=︒，AB AD =，AE AP =，45APE AEP ∠=∠=︒， ∴EAB PAD ∠=∠， ∴()ABE ADP SAS ≅，∴180********AEB APD APE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴1354590PEB AEB AEP ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴222PE BE PB +=，∵AE AP ==90EAP ∠=︒，∴2PE ==，∴2222BE +=，解得：BE =作BH ⊥AE 交AE 的延长线于点H ，∵45AEP ∠=︒，90PEB ∠=︒，∴180180904545HEB PEB AEP ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， ∴26sin 45322HB BE =︒==， ∴点B 到直线AE 的距离为6，故①错误； ②由①知：ABE ADP ≅，2EP =，3BE =，∴APD ABP ABE APB S S S S ∆∆∆∆+=+AEP BEP S S ∆∆=+1122AE AP PE EB =⨯⨯+⨯⨯ 11222322=⨯⨯+⨯⨯ 13=+，故②正确；③在Rt AHB 中，由①知：62EH HB ==， ∴62AH AE EH =+=+， 22222256623AB AH BH ⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭， 21153222ABD S AB AD AB ∆=⋅==+，故③正确； ④因为AC 是定值，所以当A P C 、、共线时，PC 最小，如图，连接BC ，∵A C 、关于 BD 的对称， ∴523AB BC ==+， ∴225231043AC BC ==+=+，∴ min PC AC AP =-，10432=+-，故④错误；⑤∵ABD 与AEP 都是等腰直角三角形，∴90BAD ∠=︒，90EAP ∠=︒，AB AD =，AE AP =， 在ABP 和ADE 中，AB AD BAP DAE AP AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABP ADE SAS ≅，∴ABP ADE ∠=∠，∵AN BN =，∴ABP NAB ∠=∠，∴EAN ADE ∠=∠，∵90EAN DAN ∠+∠=︒，∴90ADE DAN ∠+∠=︒，∴AN DE ⊥，故⑤正确；综上，②③⑤正确，故答案为：②③⑤．【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，三角形的面积公式，综合性强，全等三角形的判定和性质的灵活运用是解题的关键．23．（1）∠CBD=20°；（2）AD=164；(3) △BCD 的周长为m+2 【分析】（1）根据折叠可得∠1=∠A=35°，根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC=55°，进而得到∠CBD=20°；（2）根据折叠可得AD=DB，设CD=x，则AD=BD=8-x，再在Rt△CDB中利用勾股定理可得x2+62=（8-x）2，再解方程可得x的值，进而得到AD的长；（3）根据三角形ACB的面积可得11 2AC CB m=+，进而得到AC•BC=2m+2，再在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，再把左边配成完全平方可得CA+CB的长，进而得到△BCD的周长．【详解】（1）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，∴∠1=∠A=35°，∵∠C=90°，∴∠ABC=180°-90°-35°=55°，∴∠2=55°-35°=20°，即∠CBD=20°；（2）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，∴AD=DB，设CD=x，则AD=BD=8-x，在Rt△CDB中，CD2+CB2=BD2，x2+62=（8-x）2，解得：x= 74，AD=8-74=164；（3）∵△ABC 的面积为m+1，∴12AC•BC=m+1，∴AC•BC=2m+2，∵在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，∴CA2+CB2+2AC•BC=BA2+2AC•BC，∴（CA+BC）2=m2+4m+4=（m+2）2，∴CA+CB=m+2，∵AD=DB，∴CD+DB+BC=m+2．即△BCD的周长为m+2．【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后哪些是对应角和对应线段．24．（1）①详见解析；（2）222222CD n n =+-（1n >）；（2）2AD BD CD -=，理由详见解析.【分析】（1）①根据勾股定理的逆定理进行判断；②过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，利用同角的余角相等证明∠3=∠4，∠1=∠E ，进而证明△ACD ≌△BCE ，求出DE 的长，再利用勾股定理求解即可.（2）过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，先证∠ACD=∠BCF ，再证△ACD ≌△BCF ，得CD=CF ，AD=BF ，再利用勾股定理求解即可.【详解】（1）①∵()()()22222222212214AD BD n n n n n +=-+=-++()()22222211n n n =++=+ 又∵()2221AB n =+∴222AD BD AB +=∴△ABD 是直角三角形②如图①，过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，∵∠3+∠BCD=∠ACD=90°，∠4+∠BCD=∠DCE=90°∴∠3=∠4由①知△ABD 是直角三角形∴1290∠+∠=︒又∵290E ∠+∠=︒∴∠1=∠E在ACD ∆和BCE ∆中，A 34E AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△BCE∴CD CE =，AD BE =∴221DE BD BE BD AD n n =+=+=+-又∵CD CE =，90DCE ∠=︒ ∴由勾股定理得222DE CD DE CD =+=∴22CD =222222n n =+-（1n >） （2）AD 、BD 、CD 的数量关系为：2AD BD CD -=，理由如下：如图②，过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，∵∠ACD=90°+∠5，∠BCF=90°+∠5∴∠ACD=∠BCF∵BD ⊥AD∴∠ADB=90°∴∠6+∠7=90°∵∠ACB=90°∴∠9=∠8=90°又∵∠6=∠8∴∠7=∠9ACD ∆和BCF ∆中97AC BCACD BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACD ≌△BCF∴CD=CF ，AD=BF又∵∠DCF=90°∴由勾股定理得222DF CD CF CD =+=又DF=BF-BD=AD-BD∴2AD BD CD -=【点睛】本题考查的是三角形全等、勾股定理及其逆定理，掌握三角形全等的判定方法及勾股定理及其逆定理是关键.25．（1）见解析；（2）∠ADC=45α︒+；（3）2BD DE =【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）根据对称的性质，等腰三角形的性质及角与角之间的和差关系进行计算即可； （3）画出图形，结合（2）的结论证明△BED 为等腰直角三角形，从而得出结论.【详解】解：（1）如图所示；（2）∵点B 与点D 关于直线AP 对称，∠BAP=α，∴∠PAD=α，AB=AD ，∵90BAC ∠=︒，∴902DAC α∠=︒-，又∵AB=AC ，∴AD=AC ，∴∠ADC=1[180(902)]2α⨯︒-︒-=45α︒+； （3）如图，连接BE ，由（2）知：∠ADC=45α︒+，∵∠ADC=∠AED+∠EAD ，且∠EAD=α，∴∠AED=45°，∵点B 与点D 关于直线AP 对称，即AP 垂直平分BD ，∴∠AED=∠AEB=45°，BE=DE ，∴∠BED=90°，∴△BED是等腰直角三角形，∴22222BD BE DE DE=+=，∴2BD DE=.【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，明确角与角之间的关系，学会添加常用辅助线构造直角三角形是解题的关键.26．（1）假；（2）∠A＝45°；（3）①不能，理由见解析，②见解析【分析】（1）先由直角三角形是类勾股三角形得出ab+a2=c2，再由勾股定理得a2+b2=c2，即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形；（2）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论；（3）①分三种情况，利用等腰三角形的性质即可得出结论；②先求出CD=CB=a，AD=CD=a，DB=AB-AD=c-a，DG=BG=12（c-a），AG=12（a+c），两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论．【详解】解：（1）如图1，假设Rt△ABC是类勾股三角形，∴ab+a2＝c2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据勾股定理得，a2+b2＝c2，∴ab+b2＝a2+b2，∴ab＝a2，∴a＝b，∴△ABC是等腰直角三角形，∴等腰直角三角形是类勾股三角形，即：原命题是假命题，故答案为：假；（2）∵AB＝BC，AC＞AB，∴a＝c，b＞c，∵△ABC是类勾股三角形，∴ac+a2＝b2，∴c2+a2＝b2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝45°，（3）①在△ABC中，∠ABC＝2∠BAC，∠BAC＝32°，∴∠ABC＝64°，根据三角形的内角和定理得，∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝84°，∵把这个三角形分成两个等腰三角形，∴（Ⅰ）、当∠BCD＝∠BDC时，∵∠ABC＝64°，∴∠BCD＝∠BDC＝58°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝84°﹣58°＝26°，∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝122°∴△ACD不是等腰三角形，此种情况不成立；（Ⅱ）、当∠BCD＝∠ABC＝64°时，∴∠BDC＝52°，∴∠ACD＝20°，∠ADC＝128°，∴△ACD是等腰三角形，此种情况不成立；（Ⅲ）、当∠BDC＝∠ABC＝64°时，∴∠BCD＝52°，∴∠ACD＝∠ACB﹣BCD＝32°＝∠BAC，∴△ACD是等腰三角形，即：分割线和顶角标注如图2所示，Ⅱ、分∠ABC，同（Ⅰ）的方法，判断此种情况不成立；Ⅲ、分∠BAC，同（Ⅱ）的方法，判断此种情况不成立；②如图3，在AB边上取点D，连接CD，使∠ACD＝∠A图3作CG⊥AB于G，∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝2∠A，∵∠B＝2∠A，∴∠CDB ＝∠B ，∴CD ＝CB ＝a ，∵∠ACD ＝∠A ，∴AD ＝CD ＝a ，∴DB ＝AB ﹣AD ＝c ﹣a ，∵CG ⊥AB ，∴DG ＝BG ＝12（c ﹣a ）， ∴AG ＝AD +DG ＝a +12（c ﹣a ）＝12（a +c ）， 在Rt △ACG 中，CG 2＝AC 2﹣AG 2＝b 2﹣[12（c +a ）]2， 在Rt △BCG 中，CG 2＝BC 2﹣BG 2＝a 2﹣[12（c ﹣a ）]2， ∴b 2﹣[12（a +c ）]2＝a 2﹣[12（c ﹣a ）]2， ∴b 2＝ac +a 2，∴△ABC 是“类勾股三角形”．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，新定义“类勾股三角形”，分类讨论的数学思想，解本题的关键是理解新定义．27．（1）CF FH =，证明见解析；（2）依然成立，点E 与点C 之间的距离为3．理由见解析.【分析】（1）做辅助线，通过已知条件证得ADG 与DEF 是等腰直角三角形．证出CEF FGH ≌，利用全等的性质即可得到CF FH =.（2）设AH ，DF 交于点G ，可根据ASA 证明△FCE ≌△HFG ，从而得到CF FH =，当ABC △和CFH △均为等腰直角三角形当他们面积相等时，6CF AC ==．利用勾股定理可以求DE 、CE 的长，即可求出CE 的长，即可求得点E 与点C 之间的距离．【详解】（1）CF FH =证明：延长DF 交AB 于点G∵在ABC △中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，∴45A B ∠=∠=︒∵DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，∴90EDF ∠=︒，ADG 与DEF 是等腰直角三角形．∴45AGD DEF ∠=∠=︒，AD DG =，90DCF CFD ∠+∠=︒，∴135CEF FGH ∠=∠=︒，。

人教版八年级上学期第一次质量检测数学试题及答案一、选择题1．如果0,0a b <<，且6a b -=，则22a b -的值是（ ） A ．6 B ．6- C ．6或6- D ．无法确定2．若 3x - 有意义，则 x 的取值范围是 （ ） A ．3x > B ．3x ≥ C ．3x ≤D ．x 是非负数 3．已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简2||(-1)a a +的结果为（ ）A ．1B ．﹣1C ．1﹣2aD ．2a ﹣14．下列计算正确的是（ ） A ．93=± B ．8220-= C ．532-=D ．2(5)5-=- 5．下列各式是二次根式的是（ ）A ．3B ．1-C ．35D ．4π-6．若2()a b a b -=--则（ ）A ．0a b +=B ．0a b -=C ．0ab =D ．220a b += 7．若ab ＜0，则代数式可化简为（ ） A ．a B ．a C ．﹣a D ．﹣a8．若化简|1-x|-2816x x -+的结果为2x ﹣5，则x 的取值范围是（ ）A ． x 为任意实数B ．1≤x ≤4C ．x ≥1D ． x ≤49．实数a ，b ，c ，满足|a |+a =0，|ab |=ab ，|c |-c =0，那么化简代数式2b -|a +b |+|a -c |-222c bc b -+的结果为（ ）A ．2c -bB ．2c -2aC ．-bD ．b 10．若a 、b 、c 为有理数，且等式成立，则2a ＋999b ＋1001c 的值是（ ） A ．1999 B ．2000 C ．2001 D ．不能确定11．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）A 0.1B 19C 8D 14412．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A 1-B 4xC 24a -D 2a 二、填空题13．使函数21122y x x x =-++有意义的自变量x 的取值范围为_____________ 14．若m ＝201520161-，则m 3﹣m 2﹣2017m +2015＝_____． 15．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72 [72]=8 [8]=2 [2]=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________．16．222a a ++-1的最小值是______．17．若2x ﹣1=3，则x 2﹣x=_____．18．已知：x=5+2，则2可用含x 的有理系数三次多项式来表示为：2=_____． 19．将1、2、3、6按右侧方式排列.若规定(m ，n )表示第m 排从左向右第n 个数，则(5，4)与(9，4)表示的两数之积是______.20．2a ·8a (a ≥0)的结果是_________.三、解答题21．阅读下面问题：阅读理解：21221(21)(21)-==++-1； 323232(32)(32)-==++- (55252(52)(52)==-++-．应用计算：（176+（21（n 为正整数）的值．归纳拓展：（398++【答案】应用计算：（12 归纳拓展：（3）9．【分析】由阅读部分分析发现式子的分子、分母都乘以分母的有理化因式，为此（1分母利用平方差公式计算即可，（2（3）根据分母的特点各项分子分母乘以各分母的有理化因式，分母用公式计算化去分母，分子合并同类项二次根式即可．【详解】（1（2（3+98+，(+98+，++99-，=10-1，=9．【点睛】本题考查二次根式化简求值问题，关键找到各分母的有理化因式，用平方差公式化去分母．22．计算：（1（2）)((222+-+．【答案】(1)【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）根据平方差公式化简，再化简、合并同类二次根式即可.【详解】（1）8322+- =22422+- =52 （2）()()()25225382-+--+⨯ =22(5)23222--+⨯=5-4-3+2=023．已知m ，n 满足m 4mn 2m 4n 4n=3+--+，求m 2n 2m 2n 2018+-++的值. 【答案】12015【解析】【分析】由42m 443m mn n n +--+=得出（m +2n ）2﹣2（m +2n ）﹣3＝0，将m 2n +看做整体可得2m n +=-1（舍）或2m n +=3，代入计算即可．【详解】解：∵42m 44m mn n n +--+＝3，∴(m )2+4m?2n （）+(2n ）2﹣2（m +2n ）﹣3＝0， 即（m +2n ）2﹣2（m +2n ）﹣3＝0，则（m +2n +1）（m +2n ﹣3）＝0，∴m +2n ＝﹣1（舍）或m +2n ＝3， ∴原式＝3-23+2012＝12015． 【点睛】 本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的运用及二次根式性质．24．阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如3，31+这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：(一) 553533333⨯==⨯； (二)2231)=3131(31)(31)-=-++-（； (三) 22231(3)1(31)(31)=3131313131--+-===-++++. 以上这种化简的方法叫分母有理化．(1)请用不同的方法化简25+3： ①参照(二)式化简25+3＝__________. ②参照(三)式化简5+3＝_____________ (2)化简：++++315+37+599+97+. 【答案】见解析.【分析】（1）原式各项仿照题目中的分母有理化的方法计算即可得到结果；（2）原式各项分母有理化，计算即可.【详解】解:(1)①; ②;(2)原式故答案为:(1)①;②【点睛】此题主要考查了二次根式的有理化，解答此题要认真阅读前面的分析，根据题目的要求选择合适的方法解题.25．计算：（1(0112441238--；（2⎛- ⎝【答案】（1；（2）【解析】试题分析：根据二次根式的性质及分母有理化，化简二次根式，然后合并同类二次根式即可解答.试题解析：（1(041--（2⎛- ⎝-0-=26．计算：（1）+（2(33+-【答案】（1）2） -10【分析】（1）原式二次根式的乘除法法则进行计算即可得到答案；（1）原式第一项运用二次根式的性质进行化简，第二项运用平方差公式进行化简即可．【详解】解：（1）+===（2(33+-=5+9-24=14-24=-10．此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键．27．（1）计算：（2）先化简，再求值：(()8a a a a +--，其中14a =．【答案】（1）2）82-a ，【分析】（1）分别根据二次根式的除法法则、二次根式的性质、二次根式的乘法法则计算和化简各项，再合并同类二次根式即可；（2）分别根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算各项，再把a 的值代入化简后的式子计算即可．【详解】（1）==；（2）(()8a a a a +--2228a a a =--+82a =-,当14a =时，原式1824⎫=⨯-=⎪⎭． 【点睛】本题考查了整式的乘法和二次根式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．28．计算②)21-【答案】① 【分析】 ①根据二次根式的加减法则计算；②利用平方差、完全平方公式进行计算．解：①原式＝②原式＝(5-2-＝【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是关键．29．计算：（1)11（233÷【答案】（12+；（2）【分析】（1）根据二次根式的加减法法则和乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算顺序相同；（2）根据二次根式的加减法法则和乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算顺序相同．【详解】解：)1131-＝233÷3＝＝【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号时要先算括号里的或先去括号．30．计算：（1）()202131)()2---+ （2【答案】（1）12；（2）【分析】（1）按照负整数指数幂、0指数幂、乘方的运算法则计算即可；（2）根据二次根式的加减乘除运算法则计算即可．（1）解：原式＝ 9－1＋4＝12（2）【点睛】本题考查负整数指数幂、0指数幂、乘方以及二次根式的运算法则，熟练掌握二次根式的化简是关键．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】=-a-(-b)=b-a=-6.故选B2．B解析：B【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．【详解】有意义的x 的取值范围是：x ≥3．故选：B ．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题关键是正确掌握定义和二次根式有意义的条件．3．A解析：A【分析】先由点a 在数轴上的位置确定a 的取值范围及a-1的符号，再代入原式进行化简即可【详解】由数轴可知0＜a ＜1，所以，||1a a a =+-＝1，选A ．【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，解题关键在于确定a 的大小4．B解析：B【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【详解】3=，故此选项错误；=，正确；D. 5=，故此选项错误；故选：B【点睛】此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握二次根式的性质是解题关键．5．A解析：A【分析】根据二次根式定义和有意义的条件：被开方数是非负数，即可判断．【详解】解：A、符合二次根式有意义条件，符合题意；B、-1＜0B选项不符合题意；C、是三次根式，所以C选项不符合题意；D、π-4＜0D选项不符合题意．故选：A．【点睛】a≥0．6．C解析：C【分析】直接利用二次根式的性质，将已知等式左边化简，可以得到a与b中至少有一个为0，进而分析得出答案即可．【详解】=--，解:∵a b∴a-b=-a-b，或b-a=-a-bab=．∴a= -a，或b=-b, ∴a=0,或b=0, ∴ab=0, ∴0故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．7．C解析：C【解析】二次根式有意义，就隐含条件b＜0，由ab＜0，先判断出a、b的符号，再进行化简即可．【详解】解：若ab＜0，且代数式有意义；故由b＞0，a＜0；则代数式故选：C．【点睛】本题主要考查二次根式的化简方法与运用：当a＞0时，，当a＜0时，，当a=0时，.8．B解析：B【分析】根据完全平方公式先把多项式化简为|1-x|-|x-4|，然后根据x的取值范围分别讨论，求出符合题意的x的值即可．【详解】原式可化简为|1-x|-|x-4|，当1-x≥0，x-4≥0时，可得x无解，不符合题意；当1-x≥0，x-4≤0时，可得x≤1时，原式=1-x-4+x=-3；当1-x≤0，x-4≥0时，可得x≥4时，原式=x-1-x+4=3；当1-x≤0，x-4≤0时，可得1≤x≤4时，原式=x-1-4+x=2x-5，据以上分析可得当1≤x≤4时，多项式等于2x-5，故选B．【点睛】本题主要考查绝对值及二次根式的化简，要注意正负号的变化，分类讨论．9．D解析：D【解析】解：∵|a|+a=0，∴|a|=﹣a，∴﹣a≥0，∴a≤0，∵|ab|=ab，∴ab≥0，∴b≤0，∵|c|﹣c=0，∴| c|=c，∴c≥0，∴原式=﹣b+（a+b）﹣（a﹣c）﹣（c﹣b）=b．故选D．10．B解析：B【解析】因=，所以a=0，b=1，c=1，即可得2a＋999b＋1001c=999+1001=2000，故选B.点睛：本题考查了二次根式的性质与化简，将复合二次根式根据完全平方公式化简并比较系数是解题的关键．11．B【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【详解】解：A、被开方数含分母，故A错误；B、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故B正确；C、被开方数含能开得尽方的因数，故C错误；D、被开方数含分母，故D错误；故选B．【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．12．D解析：D【分析】根据二次根式的意义,如果一定是二次根式,则不论字母取何值,被开方数一定是非负数,逐一判断即可得．【详解】解:A,不是二次根式；B x＜0时无意义,不一定是二次根式；C在-2＜a＜2时,无意义,不一定是二次根式；D a2≥0,一定是二次根式；故选：D．【点睛】本题主要考查二次根式的定义,一般地,a≥0）的式子叫做二次根式．二、填空题13．【分析】利用二次根式有意义的条件和分式中分母不为零，即可完成.【详解】根据题意，解得：①当时，解得：①当时，解得：即：故自变量x 的取值范围为【点睛】 解析：11,022x x -≤≤≠ 【分析】利用二次根式有意义的条件和分式中分母不为零，即可完成.【详解】根据题意，220x x +≠解得：0,2x x ≠≠-12||0x -≥①当0x >时，120x -≥ 解得：12x ≤ 即：102x <≤ ①当0x <时，120x +≥ 解得：21x ≥-即：102x -≤< 故自变量x 的取值范围为11,022x x -≤≤≠ 【点睛】 本题考查二次根式以及分式有意义的条件，熟练掌握分类讨论和解不等式组是解题关键. 14．4030【分析】利用平方差公式化简m ，整理要求的式子，将m 的值代入要求的式子计算即可.【详解】m== m==+1，∴m3-m2-2017m+2015=m2（m ﹣1）﹣2017m+2015解析：4030【分析】利用平方差公式化简m，整理要求的式子，将m的值代入要求的式子计算即可.【详解】m，m∴m3-m2-2017m+2015=m2（m﹣1）﹣2017m+2015= ）22017）+2015=（2017+2015﹣2=4030.故答案为4030.【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及二次根式的混合运算.15．255【解析】解：∵[]=1，[]=3，[]=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和解析：255【解析】解：]=1，=3，=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力．16．0【解析】【分析】先将化简为就能确定其最小值为1，再和1作差，即可求解。