当前位置：文档之家 › 波函数,薛方程,势阱

波函数,薛方程,势阱

  • 格式：ppt
  • 大小：4.58 MB
  • 文档页数：64

下载文档原格式

  / 64

合集下载

19-(3)波函数 薛定谔方程

19-(3)波函数 薛定谔方程
19-3 波函数 薛定谔方程
1
一 波函数
波函数：描述具有波粒二象性粒子的运动函数。 设一自由粒子，不受外力作用，则粒子作匀速直线运动（设 沿X轴），其动量、能量保持恒定。 X
E const
P const


E h
h p
恒定！ 恒定！
从波动观点看来：这种波只能是单色平面波。
2
自由粒子的波函数 X
波函数：描述具有波粒二象性粒子的运动函数。 注意：波函数一般要用复数表示!
5
二 波函数的统计解释（波恩Born）
代表什么？
粒子的观点 极大值 极小值 中间值 较多电子到达 较少电子到达 介于二者之间 波动的观点 波强度大 波强度小 介于二者之间
b
x
p h

大量粒子的一次性行为和一个粒子多 次性重复性行为是等价的。 统一地看：粒子出现的几率正比
E Ek
Px
2m
i
t


2

2 2
2m x
( 6)
15
2 势场中的薛定谔方程
若粒子处在势场中，势能为U（x、t），总能量：
E Px
2
U ( x , t )(7)
Px
2
2m
E U ( x , t ) ( 8)
2m
将（5）式看成一般情况下的特例：


2
( x , y , z ) U ( x , y , z ) E ( x , y , z )(18)
2
2m
定态薛定谔方程： 2
2m
2
( E U ) 0(19)
19

2

第二章 波函数和薛定谔方程b

第二章 波函数和薛定谔方程b

第二章 波函数和薛定谔方程§2.1 学习指导本章主要介绍微观粒子运动状态的描述方法、演化规律以及由此带来的新特点，并以一维情况作例子进行具体说明。

根据实验，微观粒子具有波粒二象性。

经典波一般用振幅(,)A r t v 与位相(,)r t ϕv来描述，它们可以统一写为(,)(,)(,)i rt r t A r t e ϕψ=v v v ，在量子力学中沿用坐标与时间的复值函数(,)r t ψv 来描述微观粒子的运动状态，称为波函数。

经典情况下，模方2|(,)|r t ψv表示波的强度；量子情况下，2|(,)|r t ψv表示粒子出现的概率密度，因此需要把波函数归一化。

波函数随时间的变化由薛定谔方程确定。

按照波函数的演化形式，粒子运动可以分为定态和非定态。

在定态中，粒子的概率密度不随时间变化。

按照定态波函数的空间形式，粒子运动可以分为束缚态和非束缚态。

在束缚态中，粒子的能量取离散值，形成能级，可以很好地说明原子光谱。

散射态是典型的非束缚态，可以用来描述粒子之间的碰撞，解释微观粒子的隧道贯穿现象。

真实的物理空间是三维的，但是当系统具有某些对称性时，可以约化为一维问题，例如中心势场中粒子的径向运动。

近来，实验中也制备出了某些类型的一维量子力学系统。

一维薛定谔方程容易求解，便于初学者理解量子力学的基本概念、熟悉常用方法和领会核心思想。

本章的主要知识点有 1. 微观粒子运动状态的描述 1）波函数波函数(,)r t ψv是描述微观粒子状态的复值函数，波函数需要满足的标准条件为单值性、连续性和有界性。

实际体系波函数满足平方可积条件，即22(,)r t d N τψ=<∞⎰⎰⎰v 。

2）波函数的意义波函数的模方2(,)(,)w r t r t =ψv v （2-1）给出t 时刻粒子出现在位置r v邻域单位体积内的概率，即概率密度。

因此，标准的波函数应该是归一化的，即满足归一化条件2(,)1r t d τψ=⎰⎰⎰v (2-2)未归一化的波函数可以通过乘以一个归一化因子来实现归一化。

波函数和薛定谔方程

波函数和薛定谔方程

波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程是量子力学中两个重要的概念。

波函数是用来描述量子系统状态的数学函数，而薛定谔方程则是描述波函数随时间演化的微分方程。

本文将介绍波函数和薛定谔方程的基本原理和应用，并探讨它们对量子力学的重要性。

一、波函数的概念和性质1. 波函数的定义波函数是量子力学中用来描述量子系统的数学函数。

它通常用符号ψ来表示，且是复数函数。

波函数的模的平方表示了找到该系统处于某个状态的概率。

2. 波函数的物理意义波函数的物理意义是描述了量子系统的可能状态和其对应的概率分布。

通过对波函数的求模平方，我们可以得到量子系统在不同状态的概率分布图。

3. 波函数的归一化条件波函数必须满足归一化条件，即在整个空间内积分后等于1。

归一化条件保证了系统一定会处于某个状态，并且概率总和为1。

二、薛定谔方程的基本形式和解析解1. 薛定谔方程的基本形式薛定谔方程是描述量子系统波函数在时间上演化的基本方程。

一维情况下，薛定谔方程可以写为：iħ∂ψ/∂t = -ħ²/2m ∂²ψ/∂x² + V(x)ψ式中符号的含义为ħ为约化普朗克常数，m为粒子的质量，V(x)为势能函数。

2. 薛定谔方程的解析解对于某些特定的势能函数，薛定谔方程存在解析解。

比如自由粒子情况下的薛定谔方程的解为平面波，简谐振子情况下的薛定谔方程的解为倒谐波。

三、波函数和薛定谔方程的应用1. 粒子在势阱中的行为波函数和薛定谔方程被广泛应用于研究粒子在势阱中的行为。

通过对势能函数和初始条件的设定，可以计算出粒子的波函数演化，并分析粒子的行为，比如能量谱和态密度等。

2. 电子在固体中的行为波函数和薛定谔方程在固体物理学中有着重要的应用。

通过求解薛定谔方程，可以得到电子在晶体中的波函数，从而研究电子的能带结构、载流子运动以及材料的电导性等性质。

3. 分子和化学反应波函数和薛定谔方程在化学领域中也有广泛的应用。

通过求解薛定谔方程，可以得到分子的波函数，从而研究化学反应的动力学过程、反应速率以及分子能谱等性质。

波函数及薛定谔方程详解课件

波函数及薛定谔方程详解课件

03ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
CATALOGUE
薛定谔方程在量子力学中的应用
无限深势阱
无限深势阱模型描述粒子被限 制在一定空间范围内运动的情 形，通常用于描述微观粒子在
势能无限高区域的行为。
在无限深势阱中，波函数具有 特定的边界条件，即在势阱边
界处波函数为零。
薛定谔方程在无限深势阱中的 解为分段函数，表示粒子在不 同势阱内的能量状态。
波函数及薛定 谔 方程详解课件
contents
目录
• 波函数简介 • 薛定谔方程概述 • 薛定谔方程在量子力学中的应用 • 波函数与薛定谔方程的关系 • 实验验证与实例分析 • 总结与展望
01
CATALOGUE
波函数简介
波函数的定 义
波函数是一种描述微观粒子状 态的函数，它包含了粒子在空 间中的位置和动量的信息。
06
CATALOGUE
总结与展望
波函数与薛定谔方程的意义
波函数
波函数是描述微观粒子状态的函数， 它包含了粒子在空间中的位置、动量 和自旋等所有信息。通过波函数，我 们可以计算出粒子在给定条件下的行 为和性质。
薛定谔方程
薛定谔方程是描述波函数随时间变化 的偏微分方程，它反映了微观粒子在 运动过程中所遵循的规律。通过求解 薛定谔方程，我们可以预测粒子在不 同条件下的行为和性质。
时间相关形式
在有限域中，薛定谔方程的形式为 ifrac{dpsi}{dt}=Hpsi，其中H为哈密 顿算子。
薛定谔方程的解
分离变量法
对于具有周期性势能的情况，可以将波函数分离为几个独立的函数，分别求解 后再组合得到原方程的解。
微扰法
对于势能存在微小扰动的情况，可以通过微扰法求解薛定谔方程，得到近似解。

第二章波函数和薛定谔方程

第二章波函数和薛定谔方程

2
2
C(r1 , t ) (r1 , t )
C(r2 , t )
(r2 , t )
可见，Ψ (r , t ) 和 CΨ (r , t ) 描述的是同一几率波， 所以波函数有一常数因子不定性。 由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率 只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大 小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即
（2）3/ 2
exp[
p•
r]
则 Ψ可按Фp 展开
1
i
(r , t)
c(
p,
t )
p
Байду номын сангаас(r
)dp
(2)3/ 2
c( p, t)exp[ p • r ]dpxdpydpz
展开系数
c( p, t)
p
(r
)(r
,
t
)dr
1
（2）3/ 2
(r , t)exp[
i
p • r ]dxdydz
描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：
(r , t )
描写粒子状态的 波函数，它通常 是一个复函数。
• 3个问题？
(1) 是怎样描述粒子的状态呢？ (2) 如何体现波粒二象性的？
(3) 描写的是什么样的波呢？
P
P
电子源
O
感
Q光
屏
O Q
（1）两种错误的看法 1. 波由粒子组成
如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。
由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：
C∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ= 1, 从而得常数 C 之值为：

大学物理(下册) 14.6 波函数 薛定谔方程

大学物理(下册) 14.6 波函数 薛定谔方程

1.所描述的状态称为 F 的本征态，而上式则 称为本征值方程；
2.波函数的标准条件：单值、有限和连续；
例题 14.6.1 设质量为m的粒子沿x轴方向运动，其势 能为： , x 0,x a Ep u ( x) 0, 0 x a （14.6.15）
无限深势阱：该势能如图所示形如一 无限深的阱，故称无限深势阱，本问 题为求解该一维无限深势阱内粒子的 波函数。
2 2 1 f ( t ) (x, y,z ) 推出： i V (x, y,z ) f (t ) t 2m (x, y,z )
设常量E：
1 f (t ) i E f (t ) t
2
[
2m
V (x, y,z )] (x, y,z ) E (x, y,z )
o
a
x
解：分析 因为势能不随时间变化，故粒子波函数 满足定态薛定谔方程，在势阱内势能为零故其定 态薛定谔方程为：
定态薛定谔方程为：
Ep
k 2mE
d 2 k 0 2 dx
2
其通解为： ( x)
A sin kx B cos kx
o
a
x
由波函数的标准条件：单值、有限和连续可得：
2.定态薛定谔方程 势能函数： V V ( x, y, z ) 波函数可以分离为坐标函数和时间函数的乘积：
(x, y,z,t ) (x, y,z ) f (t )
（14.6.8）
将其代入薛定谔方程式：
2 f (t ) i (x, y,z ) 2 (x, y,z ) f (t ) V (x, y,z ) (x, y,z ) f (t ) t 2m
2
解之得： 定态波函数：

波函数与薛定格方程-2

2
Ⅰ区 Px E = 2 m ψ1 = 0 ∧ 0 ∂2 2 2
2
ψ3 = 0
Ⅲ区
∂x 2
a 势能曲线
x
d 2 ψ (x) 其定态薛定格 − h = Eψ ( x ) 2 方程可写为： 方程可写为： 2m d x
边界条件
x ≤ 0 , x ≥ a时
ψ(x) = 0
三、一维无限深势阱问题的解： 一维无限深势阱问题的解：
3)哈密顿算符: 哈密顿算符: 得:
由
2 px ⇒−h2
d ˆ , x⇒x 2 dx
2
h2 d 2 1 2 2 ˆ =− H 2 + mω x 2m dx 2
二.定态薛定格方程: 定态薛定格方程:
1)定态薛定格方程: 1)定态薛定格方程: 由 定态薛定格方程
2 2
ˆ Hψ ( x ) = E ψ ( x)
代回方程(2)中可得: 代回方程(2)中可得: (2)中可得
− 2 2 ξ
d u(ξ) dξ
(ξ2 −1 u(ξ)e ) −2 e ξ
−ξ 2 2
−ξ 2 2
+e

−ξ 2 2
d2 u(ξ) 2 dξ
2 d −ξ 2 2 2e−ξ 2u( ) =0 u(ξ)+λe u(ξ)−ξ ξ dξ
d2 d 2 − )u( )+ (ξ 1 ξ u(ξ)−2 ξ u(ξ)+λu(ξ)−ξ2u(ξ) =0 dξ dξ 2
a
x
2ma
2 2π sin x a a π 2 sin x a a
0
a
x
2）讨论： 讨论：
A)考虑时间因子 A)考虑时间因子 考虑
−i Ent h

23.7薛定谔方程、一维势阱

很明显, 很明显,上式右边只是 矢径 是时间t的函数 为了使上式成立,必须两边恒等于 的函数, 是时间 的函数,为了使上式成立,必须两边恒等于 某一个常数,设以E表示 则有: 表示, 某一个常数,设以 表示,则有:
r 的函数, r 的函数,而左边只
r r 1 f ( t ) 1 h2 2 r ih = r [ ( r ) + U ( r ) ( r )] = E f ( t ) t ( r ) 2m
p E= + U ( x, t ) 2m
此时的薛定谔方程为: 此时的薛定谔方程为:
2
h 2 2 Ψ( x , t ) Ψ ( x , t ) ih = + U ( x , t )Ψ ( x , t ) ⑤ 2 2m t x
6
若粒子不是在一维空间而是在三维空间的势场 中运动,则其薛定谔方程为: 中运动,则其薛定谔方程为:
薛定谔方程
1
薛定谔是奥地利物理学家, 薛定谔是奥地利物理学家,著名的 是奥地利物理学家 理论物理学家, 理论物理学家,量子力学的重要奠基人 之一,同时在固体的比热,统计热力学, 之一,同时在固体的比热,统计热力学, 原子光谱及镭的放射性等方面的研究都 有很大成就. 有很大成就. 薛定谔的波动力学, 薛定谔的波动力学,是在德布罗意 提出的物质波的基础上建立起来的. 提出的物质波的基础上建立起来的. 他把物质波表示成数学形式, 他把物质波表示成数学形式,建立了称为薛定谔方程的量 子力学波动方程. 子力学波动方程.薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的地 它与经典力学中的牛顿运动定律的价值相似. 位,它与经典力学中的牛顿运动定律的价值相似.薛定谔方程 是量子力学中描述微观粒子(如电子等 运动状态的基本定律, 如电子等)运动状态的基本定律 是量子力学中描述微观粒子 如电子等 运动状态的基本定律, 在粒子运动速率远小于光速的条件下适用. 在粒子运动速率远小于光速的条件下适用. 薛定谔对分子生物学的发展也做过工作.由于他的影响, 薛定谔对分子生物学的发展也做过工作.由于他的影响, 不少物理学家参与了生物学的研究工作, 不少物理学家参与了生物学的研究工作,使物理学和生物学相 结合,形成了现代分子生物学的最显著的特点之一. 结合,形成了现代分子生物学的最显著的特点之一. 薛定谔对原子理论的发展贡献卓著,因而于1933年同英国 薛定谔对原子理论的发展贡献卓著,因而于 年同英国 物理学家狄拉克共获诺贝尔物理学奖. 物理学家狄拉克共获诺贝尔物理学奖. 2

大学物理13.3波函数薛定谔方程


2 y2
2 z 2
( x,
y, z)
2m 2
(
E
V
)
(
x,
y,
z)
0
若粒子在一维空间运动，则
d2 dx2
(
x)
2m 2
(
E
V
)
(
x)
0
1993年克罗米等人，用扫描隧道显微镜发 现了量子围栏中的驻波，再次直观地证实了电 子的波动性，支持了薛定谔波动力学.
13.3.3 一维无限深方势阱中运动的粒子
假设粒子只能沿x 轴作一维运动，且势能 函数具有如下形式
V ( x) 0 V ( x)
0 xa x 0和x a
V ( x)
o
a
x
由于 V与( x时) 间无关，因此在势阱中运动的 粒子处于定态，可以用一维定态薛定谔方程 求解.
在区域内 x 0和，x a ，V具( x有) 有限能量 的粒子不可能出现.
因此 (x) 0
在区域内 0 x ， a V (因x)此 有0.
薛定谔的波动方程成功地解决了氢原子光 谱等一系列重大问题.
波动力学与矩阵力学是完全等价的，是 同一种力学规律的两种不同表述，而且它们 都属于非相对论性的量子力学.
下面用一类比较简单的问题即粒子在恒定 力场中的运动，由于这种问题中势能函数V 和粒子能量E 与时间无关，这时粒子处于定 态，则粒子的定态波函数可以写成
则 4B3 2xe2Bx 2Bx2e2Bx 0
所以 x， 0 x， 1 B时x，概率密度 有 极值 .( x) 2
而只有二阶导数
d2 dx 2
(x)2
x 1 B
0
所以在 x 处1，B概率密度有最大值，即粒 子在该位置处出现的概率最大.

20 第二十讲 波函数与薜定谔方程、薜定谔方程应用举例


2.粒子在势阱中的概率分布 ◆概率分布不均匀，具有量 子化效应。 ★在两端出现的概率为零。 ★概率密度峰值的个数随n 的增大而增多，峰值间距随 之缩小。 ★ n→∞，峰值个数也为无 穷，峰值间距趋于零，概率 密度几乎各处均等，过渡到 经典理论的结果。
2 2 nπ x ρ = ψ = sin a a
概率密度： ρ ( x, t ) = ψ ( x, t )
2
在区间(-b/2, b/2) 以外找不到粒子。
( x < −b / 2, x > b / 2) ⎧0 ⎪ ρ ( x, t ) = ⎨ 2 2 π x ⎪ b cos ( b ) (−b / 2 ≤ x ≤ b / 2) ⎩
7
§26-3 薛定谔方程
0
E
a
x
ψ ( x ) = A sin( kx + ϕ )
13
ψ ( x ) = A sin( kx + ϕ )
由边界条件和归一化条件来确定待定常数ϕ 和 A:
ψ (0) = A sin ϕ = 0
ka = nπ
ϕ =0
ψ (a) = A sin(ka + ϕ ) = A sin ka = 0
nπ k= , a
29
扫描隧道显微镜
◎扫描隧道显微镜（STM）是20世纪80年代初期出现 的一种新型表面分析工具。其基本原理是基于量子力 学的隧道效应和三维扫描。 ◎它是用一个极细的尖针（针尖头部为单个原子）去 接近样品表面，当针尖和样品表面靠得很近，小于1纳 米时，针尖头部的原子和样品表面原子的电子云发生 重叠。此时若在针尖和样品之间加一个偏压，电子便 会穿过针尖和样品之间的势垒而形成纳安级（10-9A） 的隧道电流。通过控制针尖与样品表面间距的恒定， 并使针尖沿表面进行精确的三维移动，就可将表面形 貌和表面电子态等有关表面信息记录下来。
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902-1984）
英国理论物理学家。1925年，他作为 一名研究生便提出了非对易代数理论，而 成为量子力学的创立者之一。第二年提出 全同粒子的费米-狄拉克统计方法。1928年 提出了电子的相对论性运动方程，奠定了 相对论性量子力学的基础，并由此预言了 正负电子偶的湮没与产生，导致承认反物 质的存在，使人们对物质世界的认识更加 深入。他还有许多创见（如磁单极子等） 都是当代物理学中的基本问题。由于他对 量子力学所作的贡献，他与薛定谔共同获 得1933年诺贝尔物理学奖金。
如果考虑随时间的演化，应求解含时的薛定谔方程
3.薛定谔方程
由于阱外发现粒子 的概率为零，所以阱外 波函数必为零。
边界条件：
(0) (a ) 0
由标准条件，波函 数在阱内外不能突变。
( x) 0
0 a
( x) 0
x
这样就把粒子限制在0→a 范围内了
4. 解方程、定常数 在 0 < x < a 区域，定态薛定谔方程为
n ( x)
16E1
n 2 E1
2 nπ n ( x) sin x a a
n 1 2， ，
9E1
0 xa
4E1 E1 0
a
5.阱中波函数及相关结果的分析 ①比较经典的驻波方程 一维无限深势阱中定态薛定谔方程的通解为：
( x) Ae ikx Be ikx
或 ( x) C cos kx D sin kx
有 因此 有 由于 所以
(0) A cos 0
( x ) A sin kx
(a ) A sin ka 0
2mE nπ k 2 a
2
(2n 1)

2
由边界条件，波函数在 x = a 处连续
2
nπ k a
2 2 En n2 2 2ma
n 1,2
n≠ 0！
能量是量子化的!
n = 0，相当于E = 0，这意 味着阱中处处找不到粒子。
nπ n ( x ) An sin x 量子数为 n 的定态波函数为 a a 2 2 2 nπ 由归一化条件 | n ( x ) | dx An sin ( x dx 1 ） - 0 a
2 Et px i h
0e
E p i t x
h 2
分别对时间求一阶偏导数，对空间求二阶偏导数
i E t
i p x
p 2 x 2
2 2
考虑到
E=p2/2m
2 2
把波函数与方程E=p2/2m相乘，并用


dV 1
对波函数的这个要求，称为波函数的归一化条件。归一 化条件要求波函数平方可积。 归一化因子：若某波函数ΨA未归一化

归一化因子

A dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ A
* A



1 A
2
A dV 1
二、薛定谔方程
1、问题的引入
在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描写， 状态随时间的变化遵循着一定的规律。1926年，薛定谔在德 布罗意关系和态叠加原理的基础上，提出了薛定谔方程做为 量子力学的又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律。 建立薛定谔方程的主要依据和思路： •要研究的微观客体具有波粒二象性，应该满足德布罗意关系式
E/h
h/ p
波函数可以写成
x , t 0e
i 2 t x /
x , t 0e
E P i 2 t x h h
3、波函数的统计解释
某一时刻出现在某点附近体积元dV中的粒子的概率， 与波函数模的平方成正比。
可得
An a / 2
结果： 一维无限深势阱中粒子的波函数
0 n ( x) 2 nπ a sin a x ( x 0, x a ) n 1， (0 x a ) 2，
为了深刻理解量子力学基本原理，要对上述结果作一个全 面讨论。同时也验证一下，在极限情况下它能否回到经典理论 的结果。（因为这个模型太抽象，不可能用实验直接验证）
xa
U
第三次简化： 将平均势能作为零势能 将表面势能视为无限大
势能零点的选取有任意性。
x0
xa
2.势能函数
0 (0 x a ) U ( x) ( x 0 , x a )
d 2 ( x ) 2m 2 (U E ) ( x ) 2 dx
V(x)
E / h, h / p
•对于一个能量为E，质量为m，动量为p的粒子
波函数应遵从 p2 E V (r ) 线性方程 2m •若Ψ1是方程的解，则CΨ1也是它的解；若波函数Ψ1与Ψ2是 某粒子的可能态，则C1Ψ1+C2Ψ2也是该粒子的可能态。
2、自由粒子的薛定谔方程
x , t 0e
复 习
• 德布罗意波 实物粒子的二象性
E h
• 不确定关系
P＝
h

h ＝ P
xp x h
18-7 量子力学简介
薛定谔 (Erwin Schrö dinger, 1887–1961)
薛定谔在德布罗意思想的基础上，于 1926年在《量子化就是本征值问题》的论 文中，提出氢原子中电子所遵循的波动方 程(薛定谔方程)，并建立了以薛定谔方程 为基础的波动力学和量子力学的近似方法。 奥地利著名的理论 薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的 物理学家，量子力 地位，它与经典力学中的牛顿运动定律的 学的重要奠基人之 价值相似。薛定谔对原子理论的发展贡献 一，同时在固体的 卓著，因而于1933年同英国物理学家狄拉 比热、统计热力学、 克共获诺贝尔物理奖金。 薛定谔还是现代分子生物学的奠基人， 原子光谱及镭的放 射性等方面的研究 1944年，他发表一本名为《什么是生命 — —活细胞的物理面貌》的书，从能量、遗 都有很大成就。 传和信息方面来探讨生命的奥秘。
一、波函数
概率密度
1、平面简谐波的波函数
一个频率为 ，波长为 、沿x方向传播的单色平面波的波函数 为 x

y( x , t ) A cos 2 t
复数形式
y( x , t ) Ae
2、自由粒子的波函数
x i 2 t
一个自由粒子有动能E和动量p。对应的德布罗意波具有频率 和波长：
玻尔、波恩、海 森伯、费曼等
还有狄拉克、 德布罗意等
波函数的概 率解释是自 然界的终极 实质
量子力学背后隐藏着还没有 被揭示的更基本的规律，这 个规律对量子力学有新的解 释。上帝不会掷骰子
4、波函数满足的条件
标准条件：波函数应该是单值、有限、连续函数。
归一化条件：在任何时刻，某粒子必然出现在整个空间内， 它不是在这里就是在那里，所以总的概率为1，即
4、粒子在三维空间中的薛定谔方程
2 2 i 2m E P t
哈密顿算符
2 2 ˆ H EP 2m
2 2 2 2 2 2 2 x y z
ˆ i H t
5、关于薛定谔方程的说明
薛定鄂方程是量子力学的最基本的方程，是量子力 学的一个基本原理； 薛定鄂方程的解满足波函数的性质；因而在求解薛定 鄂方程时，还要加上一些条件： •波函数平方可积，且满足归一化条件； •波函数及其对空间的一阶导数连续； •波函数为单值函数； •薛定鄂方程的正确性只有通过实践来检验。
d x 2mE 2 x 0 2 dx 2mE 2 k 2 d 2 x k 2 x 0 dx 2
2
令
比较谐振动方程 特解为
d2x 2x 0 dt 2
( x ) A cos(kx )
由边界条件，波函数在 x = 0 处连续，
dW x , y , z , t dV
2
概率密度
dW / dV
波函数Ψ(x,y,z,t)的统计解释(哥本哈根解释)：波函 数模的平方代表某时刻t在空间某点(x,y,z)附近单位体积 内发现粒子的概率，即|Ψ| 2 代表概率密度。 波函数的统计意义是波恩于1926年提出的。由于波恩 在量子力学所作的基础研究，特别是波函数的统计解释， 他与博特共享了1954年的诺贝尔物理学奖。
f i Ef t
f (t ) ~ e
iEt /
因而薛定鄂方程的特解为
iEt / r , t E r e
ΨE(r)满足下列方程
2 2 E ( r ) EE ( r ) 2m E P
该方程称为定态薛定鄂方程 E —— 能量本征值 ΨE(r) —— 本征函数 定态薛定鄂方程也称为本征方程。 满足定态薛定鄂方程的波函数，称为定态。在定态下， 可以证明： ①粒子分布概率不变； ②能量不变； ③其它力学量平均值不变。
三、薛定谔方程的应用
到目前为止，我们有了两条关于微观粒子的基 本原理：
①微观粒子的状态（量子态）用波函数描写； 波函数的意义用概率解释，
波函数满足：归一化条件， 标准条件。 ②微观粒子状态的变化遵循薛定谔方程。
薛定谔方程是否正确，这要由实验验证。可将 薛定谔方程用于某量子系统，进行分析并作出逻辑 推断，再对这种推断进行实验验证。
一、一维无限深势阱中的粒子 1.物理背景 金属中的电子、原子中的电子、原子核中的质 子及中子等粒子的运动都有一个共同的特点，即粒 子的运动被限制在一定的空间范围内。 或者说，粒子处于束缚态。 为了便于分析，可以对束缚态的粒子提出一种 比较简化的理想模型。 例如，电子在金属晶格中的运动。