通州区2019—2020学年高三一模考试试卷答案(三稿)

江苏省南通市通州区2020届高三下学期第一次模拟测试数学试题一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1.已知集合{}|2,A x x x =<∈R ，集合{}2|320,B x x x x R =-+<∈，则A B =_____． 『答案』()1,2 『解析』集合{}|2,A x x x =<∈R ，集合{}{}2|320,|12B x x x x R x x =-+<∈=<<， ∴由题得，A B ={}|2,x x x <∈R {}|12,x x x <<∈R ()1,2=. 故答案为：()1,2.2.设复数1i 2i 1iz -+=+，则z =__________． 『答案』3 『解析』因为21i (1i)2i 2i i 1i (1i)(1i)2z ---+====-++-，所以3z i =-，所以3z ==．故答案为：3 3.已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是_____. 『答案』2『解析』由2x ≥时，()28f x x =-+是减函数可知，当2a ≥，则()()2f a f a ≠+，所以02a <<，由()(+2)f a f a =得 22(2)8a a a +=-++，解得1a =， 则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭. 故答案为：2.4.数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S =-，则数列276n n n b a a =-+的最小值为__________.『答案』6-『解析』由21n n S =-，得111a S ==，当2n 时，11121212n n n n n n a S S ---=-=--+=，11a =适合上式，∴12n n a ． 则2272576()24n n n n b a a a =-+=--． ∴当4n a =时2725()(4)624n min b =--=-． 故答案为6-． 5.若变量,x y 满足22360x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，且2x y a -≤恒成立，则a 的最小值为_____『答案』4『解析』令2z x y =-，作变量,x y 满足22360x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的平面区域如下，结合图象可知，()0,2C -，且2z x y =-在()0,2C -处有最大值4，故4a ≥，即实数a 的最小值为4.故答案为：4.6.青岛二中高一高二高三三个年级数学MT 的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，再从5位同学中选出2名一等奖记A ＝“两名一等奖来自同一年级”，则事件A 的概率为_____．『答案』15『解析』青岛二中高一高二高三三个年级数学MT 的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，则高一学生抽取：5240240240120⨯=++2， 高二学生抽取：5240240240120⨯=++2， 高三学生抽取：5120240240120⨯=++1， 再从5位同学中选出2名一等奖，基本事件个数n 25C ==10，记A = “两名一等奖来自同一年级”，则事件A 包含的基本事件个数m 2222C C =+=2，∴事件A 的概率为p 21105m n ===． 故答案为：157.底面半径都是3且高都是4的圆锥和圆柱的全面积之比为______． 『答案』47『解析』圆柱与圆锥的底面半径R 3=，圆柱与圆锥的高h 4=，可得圆锥的母线长为5， 则圆锥的全面积为：21πR 2πR 59π15π24π2+⨯⨯=+=； 圆柱的全面积为：22πR 2πR h 18π24π42π+⨯=+=．∴圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为：24π442π7=． 故答案为47． 8.执行下面的程序框图，若输入的a ，b 的值分别为0和9，则输出的i 的值为____.『答案』3『解析』第一次循环，1,8a b ==；第二次循环，3,6a b ==；第三次循环，6,3,a b a b ==>，满足条件，结束循环，此时3,i =故答案为3.9.已知0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 34x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则()2sin sin 21cos x x x π-+=+__________．『解析』0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1tan tan 341tan x x x π+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭， ∴tan 2x =，即sin 2cos x x =，∴()22222sin cos 2cos cos 5cos 1x x x x x +=+==，解得cos x =，sin x =∴()2sin sin 22sin sin 21cos 1cos x x x x x x π-++=++5=.故答案为：5. 10.函数()ln f x x x a =+的图象在1x =处的切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长为2，则实数a 的值为________.『答案』6-或2.『解析』因为()ln f x x x a =+，所以()1ln f x x '=+代入切点横坐标1x =，可知切线的斜率()11k f '==.又()1f a =，所以切点坐标为()1,a ，所以函数()ln f x x x a =+的图象在1x =处的切线方程为1y x a =+-.又因为圆22:2440C x y x y +-+-=，圆心坐标为()1,2-，半径为3， 所以圆心到切线的距离d =. 因为切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长为2， 则22213+=， 解得实数a 的值是6-或2.故答案为：6-或2.11.若正实数x 、y 满足229x xy y -+=，且229x y -<，则xy 的取值范围为______． 『答案』(]6,9『解析』由229x xy y -+=，得2292xy x y xy +=+≥，当且仅当x y =时等号成立，所以9xy ≤．由22||9x y -<，得222()81x y -<，即22222()481x y x y +-<所以222(9)481xy x y +-<即23()188181xy xy -++<，解得6xy >．所以69xy <≤．故xy 的取值范围为(]6,9．12.已知直角三角形ABC 的两直角边3CA =，4CB =，圆O 是该三角形的内切圆，P 是圆O 上的任意一点，则PA PB ⋅的最大值为________．4『解析』由题意，直角三角形ABC 的斜边长为5， 由等面积法可得内切圆半径341345r ⨯==++. 建立如下图所示得直角坐标系，则根据图象可得()0,0O ,()1,1C --,()2,1A -,()1,3B -,设()cos ,sin P θθ，∴()2cos ,1sin PA θθ=---，()1cos ,3sin PB θθ=---，∴22cos cos 2sin 2sin 3PA PB θθθθ⋅=--+--()2sin cos 4θθ=-+-()4θϕ=+-，∴()sin 1θϕ+=-时，PA PB ⋅4.4.13.已知函数()[]11,1,05x f x x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，()22log +3,g x a x a x ⎤=∈⎥⎢⎥⎣⎦，若对任意的0x ⎤∈⎥⎢⎥⎣⎦，总存在[]11,0x ∈-使得()()01g x f x =成立，则实数a 的取值范围是__________．『答案』01a ≤≤『解析』因为函数()151xf x ⎛⎫= ⎪⎭-⎝在[1,0]-上单调递减，所以(0)()(1)f f x f ≤≤-，即0()4f x ≤≤，所以函数()f x 的值域为[0,4]，因为对任意的0x ⎤∈⎥⎢⎥⎣⎦，总存在[]11,0x ∈-使得()()01g x f x =成立，故()g x 的值域是()f x 值域的子集，对22()log 3g x a x a =+，,2]2x ∈， 当0a =时，()0g x =，符合题意；当0a ≠时，函数()g x在2]2单调递增，所以2213()32a a g x a a -≤≤+， 所以22103234a a a a ⎧≤-⎪⎨⎪+≤⎩，，解得01a ≤≤，又0a ≠，所以01a <≤， 综上，实数a 的取值范围是[0,1]．故答案为：[0,1]14.已知函数()2ln xf x x e t a =+-，若对任意的[]1,t e ∈，()f x 在区间[]1,1-总存在唯一的零点，则实数a 的取值范围是_________ . 『答案』11,e e⎛⎤+ ⎥⎝⎦『解析』函数()2ln 0x f x x e t a =+-=，可得2ln x x e t a =-+， 令()2x g x x e =，则()()222x x x g x xe x e xe x '=+=+，[]1,1x ∈-，令()0g x '=，则0x =，当()0g x '>时，01x <≤，当()0g x '<时，10x -≤<，∴()g x 在[)1,0-上单调递减，在(]0,1上单调递增，∴()()min 00g x g ==.()()111g g e e-=<=， ∴()()max 1g x g e ==，存在唯一的[]01,1x ∈-，使得()0ln f x t a =-+在[]1,t e ∈上恒成立， ∴()01f x e e<≤，1ln t a e e<-+≤在[]1,t e ∈上有唯一解， ∴11a e a e⎧-+>⎪⎨⎪≤⎩，解得11a e e +<≤. 故答案为：11,e e⎛⎤+ ⎥⎝⎦. 二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos -=a c b A B . （1）求A ；（2）若1a =，求 ABC 面积的最大值.解：（1）由2cos cos -=a c b A B可得：cos 2cos cos =-a B c A b A ， 由正弦定理可得：sin cos 2cos sin cos sin =-A B A C A B∴sin()2cos sin sin 2cos sin +=⇒=A B A C C A C ，∵sin 0C ≠， ∴1cos 2A =， ∵(0,)A π∈，∴3A π=；（2）由（1）知3A π=，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即221b c bc =+- ∵222b c bc +≥，所以1bc ≤（当且仅当1b c ==时取等号）∴1sin 2=≤ABC S bc A所以ABC 面积的最大值为4. 16.如图，在三棱锥A BCD -中，E 为CD 的中点，O 为BD 上一点，且//BC 平面AOE .()1求证：O 是BD 的中点；()2若AB AD =，BC BD ⊥，求证：平面ABD ⊥平面AOE .()1证明：//BC 平面AOE ，BC ⊂平面BCD ，平面BCD 平面AOE OE =， ∴//BC OE ,E 为CD 的中点，∴O 是BD 的中点.()2证明：//BC OE ，BC BD ⊥∴OE BD ⊥，AB AD =，O 是BD 的中点，∴OA BD ⊥，OE OA O ⋂=,且都在平面AOE 内，∴BD ⊥平面AOE ，BD ⊂平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面AOE .17.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上的一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为2，点A 为椭圆C 的左顶点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设圆()()222:202M x y r r +-=<<，过点A 作圆M 的两条切线分别交椭圆C 于点B 和D ，求证：直线BD 过定点. 解：（1）由题意得，24a c a=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得2c a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，2221b a c ∴=-=. ∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （2）设切线,AB AD 的方程为()2y k x =+，r =，即()2224840r k k r --+-=.设两切线,AB AD 的斜率为12,k k ，则121k k =.联立()22214y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()222214161640k x k x k +++-=， 设()()1122,,,B x y D x y ，则211212814k x k -=+，1121414k y k =+， 同理2221212222222121282844,144144k k k k x y k k k k --====++++， 则()11221112221112211444143282841414BD k k k k k k k k k k k -++==--+-++.∴直线BD 的方程为()21112221114328141441k k k y x k k k ⎛⎫--=- ⎪+++⎝⎭，整理得()121310341k y x k ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，故直线BD 过定点10,03⎛⎫-⎪⎝⎭. 18.如图，一条小河岸边有相距8km 的,A B 两个村庄（村庄视为岸边上,A B 两点），在小河另一侧有一集镇P （集镇视为点P ），P 到岸边的距离PQ 为2km ，河宽QH 为0.05km ，通过测量可知，PAB ∠与PBA ∠的正切值之比为1:3．当地政府为方便村民出行，拟在小河上建一座桥MN （,M N 分别为两岸上的点，且MN 垂直河岸，M 在Q 的左侧），建桥要求：两村所有人到集镇所走距离之和最短，已知,A B 两村的人口数分别是1000人、500人，假设一年中每人去集镇的次数均为m 次．设PMQ θ∠=．（小河河岸视为两条平行直线）（1）记L 为一年中两村所有人到集镇所走距离之和，试用θ表示L ； （2）试确定θ的余弦值，使得L 最小，从而符合建桥要求．解：（1）PAB ∠与PBA ∠的正切值之比为1:3 :1:3PH PHPA PB⇒= :3:1PA PB ⇒=则6PA =，2PB =2PQ = 2sin PM θ⇒=，2tan MQ θ=()()1000500L AN MN MP BN MN MP ∴=+++++2222100060.0550020.05tan sin tan sin m m θθθθ⎛⎫⎛⎫=-++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3170751000sin tan m m θθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3170751000sin tan L m m θθ⎛⎫∴=+-⎪⎝⎭，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（2）由（1）知：3cos 70751000sin L m m θθ-⎛⎫=+⎪⎝⎭，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()()223cos sin 3cos sin 13cos 10001000sin 1cos L m m θθθθθθθ''----∴=⋅=-'⋅，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭令0L '=，解得：1cos 3θ= 令01cos 3θ=，且00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当()00,θθ∈时，1cos 3θ>，0L '<；当0,2πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1cos 3θ<，0L '> ∴函数()L θ在()00,θ上单调递减；在0,2πθ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； 0θθ∴=时，函数()L θ取最小值，即当1cos 3θ=时，符合建桥要求 19.已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足12a =，1n n n S na a λμ-=+，其中2n ，n *∈N ，λ，R μ∈.⑴若0λ=，4μ=，+12n n n b a a =-（n *∈N ），求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵若数列{}n a 是等比数列，求λ，μ的值； ⑶若23a =，且32λμ+=，求证：数列{}n a 是等差数列. （1）证明：若0,4λμ==，则当14n n S a -=(2n ≥) 所以()1114n n n n n a S S a a ++-=-=-， 即()11222n n n n a a a a +--=-，,所以12n n b b -=， 又由12a =，1214a a a +=，得2136a a ==，21220a a -=≠，即0n b ≠，所以12nn b b -=， 故数列{}n b 是等比数列．（2）解：若{}n a 是等比数列，设其公比为q （0q ≠ ）， 当2n =时，2212S a a λμ=+，即12212a a a a λμ+=+，得12q q λμ+=+， ① 当3n =时，3323S a a λμ=+，即123323a a a a a λμ++=+，得2213q q q q λμ++=+， ②当4n =时，4434S a a λμ=+，即1234434a a a a a a λμ+++=+，得23321+4q q q q q λμ++=+， ③②①q ，得21q λ= ， ③②q ，得31q λ= ，解得1,1q λ==． 代入①式，得0μ=． 此时n n S na =(2n ≥)，所以12n a a ==，{}n a 是公比为１的等比数列，故10λμ==，． （3）证明：若23a =，由12212a a a a λμ+=+，得562λμ=+， 又32λμ+=，解得112λμ==，．由12a =，23a =， 12λ=，1μ=，代入1n n n S na a λμ-=+得34a =， 所以1a ，2a ，3a 成等差数列，由12n n n n S a a -=+，得1112n n n n S a a +++=+， 两式相减得：111122n n n n n n na a a a a ++-+=-+- 即()()111220n n n n a n a a +-----= 所以()21120n n n na n a a ++---=相减得：()()211212220n n n n n na n a n a a a ++---+--+= 所以()()21112220n n n n n n n a a a a a a +++--++-+=所以()()()()221111-2222221n n n n n n n n n a a a a a a a a a n n n +++---+=--+=-+- ()()()13212212n a a a n n --==-+-，因为12320a a a -+=，所以2120n n n a a a ++-+=， 即数列{}n a 是等差数列.20.若函数()()f x g x +和()()f x g x ⋅同时在x t =处取得极小值，则称()f x 和()g x 为一对“()P t 函数”.（1）试判断()f x x =与2()g x x ax b =++是否是一对“(1)P 函数”； （2）若()xf x e =与2()1g x x ax =++是一对“()P t 函数”.①求a 和t 的值；②当0a <时，若对于任意[1,)x ∈+∞，恒有()()()()f x g x m f x g x +<⋅，求实数m 的取值范围.解：令12()()(),()()()h x f x g x h x f x g x =+=⋅.（1）则212()21,()32h x x a h x x ax b ''=++=++，因为()f x x =与2()g x x ax b =++是一对“P(1)函数”所以12(1)30(1)230h a h a b ''⎧=+=⎨=++=⎩，所以33a b =-⎧⎨=⎩. 此时，因222()3633(1)0h x x x x '=-+=-，2()h x 无极小值，故()f x x =与()2g x x ax b =++不是一对“P(1)函数”.（2）①21()1x h x e x ax =+++，()22()1xh x e x ax =⋅++ ，1()2x h x e x a '=++，22()(2)1(1)(1)x xh x e x a x a e x x a '⎡⎤=⋅++++=⋅+++⎣⎦， 若()xf x e =与2()1g x x ax =++是一对“()P t 函数”，由2()(1)(1)0xh x e x x a '=⋅+++=，得121,1x x a =-=--，1.若0a >，则有因为()2h x 在x t =处取得极小值，所以1t =-，从而11(1)20h e a '--=-+=，12a e=-经验证知211()21x e h x e x x ⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭在1x =-处取得极小值，所以121a e t ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，2.当0a <时，则有因为()2h x 在x t =处取得极小值，所以1t a =--；从而11(1)20a h a e a '----=--=，令1()2,0a a ea a ϕ--=--<，()a ϕ在(,0)-∞是减函数，且(1)0ϕ-=，所以1a =-，从而10a t =-⎧⎨=⎩经验证知21()1x h x e x x =+-+在0x =处取得极小值，所以10a t =-⎧⎨=⎩3.当0a =时，22()(1)0x h x e x '=⋅+，()2h x 是增函数，无极小值，与题设不符.综上所述：121a e t ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩或10a t =-⎧⎨=⎩. ②因为0a <，由①之结论知，2()e ,()1xf xg x x x ==-+，易见()0()0f x g x >>，，故不等式()()()()f x g x m f x g x +<⋅等价于：11()()m f x g x +<， 令11()()()H x f x g x =+，则max ()H x m <. 因为1x ≥，所以()H x 单调递减， 所以max 1()(1)1H x H e ==+，从而11m e>+. 附加题『选做题』本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 『选修4-2：矩阵与变换』 21.选修4—2：矩阵与变换已知矩阵00a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦满足：i i i Ma a λ=，其中(1,2)i i λ=是互不相等的实常数，(1,2)i a i =是非零的平面列向量，11λ=，211a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M ．解：由题意，12,λλ是方程()20af ab b λλλλ-==-=-的两根因11λ=，所以1ab =又因为222Ma a λ=，所以2011011a b λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，从而22a b λλ=⎧⎨=⎩ 所以221ab λ==因为12λλ≠，所以21λ=-，从而1a b ==-，故矩阵0110M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦点睛：本题考查简单的矩阵计算，属于基础题. 『选修4-4：坐标系与参数方程』22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C40y +-=，曲线2C ：cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）曲线3C ：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t >，02πα<<），分别交1C ，2C 于A ，B 两点，当α取何值时，||||OB OA 取得最大值. 解：（1）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，1Ccos sin 40θρθ+-=， 2C 的普通方程为()2211x y +-=，即2220x y y +-=，对应极坐标方程为2sin ρθ=．（2）曲线3C 的极坐标方程为θα=（0ρ>，π02α<<），设()1,A ρα，()2,B ρα，则1ρ=，22sin ρα=，所以21OB OA ρρ==)12sin sin 4ααα⨯+)12cos 214αα=-+1π2sin 2146α⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 又π02α<<，ππ5π2666α-<-<， 所以当ππ262α-=，即π3α=时，OB OA 取得最大值34．『必做题』每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23.平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）及点M （2，0），动直线l 过点M 交抛物线于A ，B 两点，当l 垂直于x 轴时，AB ＝4.（1）求p 的值；（2）若l 与x 轴不垂直，设线段AB 中点为C ，直线l 1经过点C 且垂直于y 轴，直线l 2经过点M 且垂直于直线l ，记l 1，l 2相交于点P ，求证：点P 在定直线上. 解：（1）当直线l 过点M （2，0），且垂直于x 轴时， 由AB ＝4，知抛物线y 2＝2px （p ＞0）过点（2，2）， 代入抛物线方程，得4＝2p ×2，解得p ＝1；（2）证明：由题意设直线l 的方程为：y ＝k （x ﹣2），且k ≠0， 点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立()222y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，消去x ，化简得ky 2﹣2y ﹣4k ＝0，由根与系数的关系得y 1+y 22k=，y 1y 2＝﹣4； 又点C 在直线AB 上，则y C 1212y y k +==，所以直线l 1的方程为y 1k=； 又直线l 2过点M 且与直线l 垂直，则直线l 2的方程为y 1k=-（x ﹣2）； 联立()112y k y x k ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得11x y k =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以点P （1，1k ）， 所以点P 在定直线x ＝1上.24.设实数0c >，整数1p >，*n N ∈． (1)证明：当1x >-且0x ≠时，(1)1p x px +>+； (2)数列{}n a 满足11pa c >，111p n n n p ca a a p p-+-=+，证明：11p n n a a c +>>.证明：（1）当2p =时，()2211212x x x x +=++>+，原不等式成立 （2）假设()2,*p k k k N =≥∈时，不等式()11kx kx +>+成立当1p k =+时，()()()()()111111k kx x x x kx ++=++>++()()21111k x kx k x =+++>++所以1p k =+时，原不等式成立 综合（1）（2）,知当且时，对一切整数1p >，不等式均成立…（Ⅱ）先用数学归纳法证明1pna c >．（1）当1n =时由假设11p a c >知1p na c >成立．（2）假设()1,*n k k k N =≥∈时，不等式1pk a c >成立由易知0,*n a n N >∈当1n k =+时11111p k k p k k a p c ca a p p p a -+⎛⎫-=+=+- ⎪⎝⎭ 由10pk a c >>得11110p k c p p a ⎛⎫-<-<-< ⎪⎝⎭由（Ⅰ）中的结论得1111111pp k p p p k k k k a c cc p a p a p a a +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+->+⋅-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦因此1pk a c +>，即11p k a c +>，所以当1n k =+时，不等式1p na c >也成立综合（1）（2）可得，对一切正整数n ，不等式1p na c >均成立再由1111n p n n a ca p a +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭得11n n a a +<，即1n n a a +< 综上所述，11,*pn n a a c n +>>∈N。

2020年北京市通州区高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.已知复数是虚数单位，则A. 1B. 2C.D. 33.函数的最小正周期是A. B. C. D.4.已知为定义在R上的奇函数，且，下列一定在函数图象上的点是A. B. C. D.5.已知a，3，b，9，c成等比数列，且，则等于A. B. C. D. 16.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为A. B. 4 C. D. 27.在的展开式中，常数项是A. B. C. 20 D. 1608.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点，则A. 1B.C. 2D. 与有关9.若，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.某同学在数学探究活动中确定研究主题是“是几位数”，他以为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如表：lg N N的位数lg2一位数lg4一位数lg8一位数两位数两位数两位数三位数三位数三位数四位数试用该同学的研究结论判断是几位数参考数据A. 101B. 50C. 31D. 30二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知向量，，其中若共线，则m等于______．12.圆的圆心到直线的距离为______．13.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于______．14.中国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列，则______；______注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”15.给出下列四个函数，；；；，其中值域为的函数的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.已知，满足，，______，判断的面积是否成立？说明理由．从，这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．17.2019年1月1日，我国开始施行个人所得税专项附加扣除操作办法，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表：子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人专项员工人数老员工402203中年员工821518青年员工120121Ⅱ从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X为选出的中年员工的人数，求X的分布列和数学期望．18.如图，已知四边形ABCD为菱形，且，取AD中点为现将四边形EBCD沿BE折起至EBHG，使得．Ⅰ求证：平面EBHG；Ⅱ求二面角的余弦值；Ⅲ若点F满足，当平面AGH时，求的值．19.已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ设O为原点，过原点的直线不与x轴垂直与椭圆C交于M、N两点，直线AM、AN与x轴分别交于点E、问：y轴上是否存在定点G，使得？若存在，求点G的坐标；若不存在，说明理由．20.已知函数，设．Ⅰ求的极小值；Ⅱ若在上恒成立，求a的取值范围．21.用表示一个小于或等于x的最大整数．如：，，已知实数列，，对于所有非负整数i满足，其中是任意一个非零实数．Ⅰ若，写出，，；Ⅱ若，求数列的最小值；Ⅲ证明：存在非负整数k，使得当时，．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：集合，，．故选：D．利用交集定义能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：C解析：解：因为复数，所以，故选：C．根据复数的基本运算法则进行化简即可本题主要考查复数乘法运算和模长的计算，比较基础．3.答案：B解析：解：函数，，．故选：B．函数y解析式提取变形，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出的值代入周期公式即可求出最小正周期．此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，将函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．4.答案：B解析：解：是定义在R上的奇函数，且，，一定在函数的图象上．故选：B．根据是奇函数即可得出，从而得出点在的图象上．本题考查了奇函数的定义，函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系，考查了计算能力，属于基础题．5.答案：A解析：解：a，3，b，9，c成等比数列，则，，，，故选：A．根据等比数列的性质和对数的运算性质即可求出．本题考查了等比数列的性质和对数的运算性质，属于基础题．6.答案：B解析：解：双曲线中，，得双曲线的右焦点为因此抛物线的焦点即，即故选B根据双曲线方程可得它的右焦点坐标，结合抛物线的焦点坐标，可得，得．本题给出双曲线的焦点与抛物线焦点重合，求抛物线的焦参数，着重考查了双曲线的基本概念和抛物线的标准方程等知识，属于基础题．7.答案：A解析：解：展开式的通项公式为，令，可得，故展开式的常数项为，故选：A．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．8.答案：B解析：解：根据题意，，．则，，则有，故，则；故选：B．根据题意，求出向量、的坐标，进而可得的坐标，由向量模的公式以及和角公式计算可得答案．本题考查向量模的计算，涉及向量的坐标计算以及向量模的计算，属于基础题．9.答案：A解析：解：，，，若，则．反之不成立，例如取，．“”是“”的充分不必要条件．故选：A．，，利用基本不等式的性质可得：，可由，得出反之不成立．本题考查了不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.答案：C解析：解：，，则，由表中数据规律可知，N的位数是31位数，故选：C．因为，所以，则，由表中数据规律可知，N 的位数是31位数．本题主要考查了合情推理中的归纳推理，是基础题．11.答案：6解析：解：若共线，即，，，，．故答案为：6．因为共线，即，根据两向量平行的坐标表示列式求解即可．本题考查平面向量共线的坐标表示，属于基础题，较简单．12.答案：1解析：解：圆的圆心坐标为，所以圆的圆心到直线的距离，故答案为：1．先求出圆的圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可算出结果．本题主要考查了点到直线距离公式，是基础题．13.答案：解析：解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体．如图所示：所以：．故答案为：．首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．14.答案：8解析：解：由三三数之余二，五五数之余三，可得数列的公差为15，首项为8．，．故答案为：8，．由三三数之余二，五五数之余三，可得数列的公差为15，首项为利用通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.答案：解析：解：，，故值域为，符合题意；，故值域为，符合题意；，，故值域为，不合题意；函数为偶函数，且，，故在R上单调递增，又，故当时，单调递增，则当时，单调递减，又，故其值域为，符合题意．故答案为：．由，得，由此得出结论；由绝对值不等式的性质即可得出结论；由，得，由此得出结论；由函数的奇偶性及单调性即可得出结论．本题考查利用函数的性质求函数值域，属于基础题．16.答案：解：选，的面积成立，理由如下：当时，，所以，所以，则的面积，因为，所以成立．选，的面积不成立，理由如下：当时，，即，整理得，，所以，因，，所以是A为直角的三角形，所以的面积，所以不成立．解析：选，先利用余弦定理可解得，从而求得三角形面积为，由此作出判断；选，先利用余弦定理可得，结合已知条件可知是A为直角的三角形，进而求得面积为，此时不成立．本题主要考查余弦定理，三角形面积公式等在解三角形中的运用，考查运算求解能力，属于基础题．17.答案：解：Ⅰ该单位员工共人，抽取的老年员工人，中年员工人，青年员工人．Ⅱ的可取值为0，1，2，，，．所以X的分布列为X012P数学期望．解析：Ⅰ先算出该单位的所有员工数量，再根据分层抽样的特点，逐一求解样本中老年、中年、青年员工的数量即可．Ⅱ随机变量X的可取值为0，1，2，结合超几何分布计算概率的方式逐一求取每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．本题考查分层抽样、离散型随机变量的期望与方差、超几何分布，考查学生对数据的分析能力和运算能力，属于基础题．18.答案：解：Ⅰ证明：在左图中，为等边三角形，E为AD中点所以，所以．因为，所以．因为，，所以平面EBHG．Ⅱ设菱形ABCD的边长为2，由Ⅰ可知，，．所以以E为原点，EA，EB，EG所在直线分别为x，y，z轴，建立如图空间坐标系可得0，，，0，，．，设平面AGH的法向量为，所以，即．令，则．平面EBHG的法向量为．设二面角的大小为．Ⅲ由，则，所以．因为平面AGH，则．即．所以．解析：Ⅰ只需证明，，，由线面垂直的判定定理可得证明；Ⅱ以E为原点，EA，EB，EG所在直线分别为x，y，z轴，求得平面AGH的法向量和平面EBHG 的法向量．设二面角的大小为，即可得到所求值；Ⅲ由，则，由计算可得所求值．本题主要考查线面垂直、平行的判定，以及二面角的求解，建立空间坐标系，利用向量法是解决二面角的常用方法．考查学生的运算和推理能力．19.答案：解：Ⅰ由题意得，，又解得，所以椭圆方程为．Ⅱ设，由题意及椭圆的对称性可知，则直线AM的方程为，直线AN的方程为，则E点坐标为，F点坐标为．假设存在定点使得，即也可以转化为斜率来求，即即，即所以，所以存在点G坐标为满足条件．解析：Ⅰ利用椭圆的离心率结合，求出a，得到椭圆方程．Ⅱ设，由题意及椭圆的对称性可知，求出AM，AN的方程，求出E的坐标，F的坐标，假设存在定点使得，得到，求出n，即可．说明存在点G坐标为满足条件．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20.答案：解：Ⅰ，由题意可知，所以，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，所以在处取得极小值，为．Ⅱ由Ⅰ得当时，所以在单调递增，所以，即时在恒成立．当时，又，又由于在上单调递增；在上单调递减；所以在上一定存在使得，所以在递减，在递增，所以，所以在存在，使得，所以当时，在上不恒成立所以a的取值范围为．解析：Ⅰ求出导函数得到，通过求解导函数判断导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的极值求解即可．Ⅱ由Ⅰ得，通过时，当时，判断函数的单调性，求和函数的最值，推出结果即可．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值，考查分类讨论思想的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．21.答案：解：Ⅰ，，同理可得：、分Ⅱ因，则，所以，设，，则，所以，．又因，则，则，分假设，都有成立，则，则，，即，，分则，，则当时，，这与假设矛盾，所以，不成立，分即存在，．从而的最小值为分Ⅲ证明：当时，由知，存在，，所以，所以，所以，，成立．分当时，若存在，，则，，得证；分若，，则，则，则，，所以数列单调不减．由于是负整数，所以存在整数m和负整数c，使得当时，．所以，当时，，则，令，即，．当时，则，，则，得证．分当时，，，，因当时，，则，则有界，所以，所以负整数分，则分令，满足当时，．综上，存在非负整数k，使得当时，分解析：Ⅰ由，代入可得，同理可得：，．Ⅱ由，可得，，设，，可得，因此，又因，则，可得，假设，都有成立，可得：，，利用累加求和方法可得，，则当时，，得出矛盾，因此存在，从而的最小值为0．Ⅲ当时，由知，存在，，可得，，可得，，成立．当时，若存在，，则，，得证；若，，则，则，可得，，可得数列单调不减．由于是负整数，因此存在整数m和负整数c，使得当时，所以，当时，，转化为，令，即，经过讨论：当时，得证．当时，，，，当时，，则，则有界，进而证明结论．本题考查了数列递推关系、取整函数的性质及其应用、反证法、分类讨论方法，考查了分析问题解决问题的能力、推理能力与计算能力，本题可以作为竞赛题，属于难题．。

2019-2020学年江苏省南通市通州区高三（上）第一次调研地理试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分36分）1. 2017年3月某日晴朗的夜晚，金星和火星一亮一暗、一大一小似“双眼”与弯月构成一张“笑脸”，不过在大城市中心城区和郊区，天文爱好者看到的是两幅大为不同的画面。

读图回答（1）～（2）题。

（1）金星和火星“一亮一暗、一大一小”的原因是（）A.金星距离地球较火星近B.金星的质量和体积均较火星小C.金星距离太阳较火星远D.金星得到的月球光亮较火星多（2）大城市中心城区的天文爱好者只看到“金星伴月”，看不到火星的主要原因是（）A.云量多B.建筑高C.灯光强D.气温高2. 明代地理学家、旅行家和文学家徐霞客是江苏江阴人。

其著作《徐霞客游记》在地理学和文学上都有着重要的价值。

如图为徐霞客旅行路线示意图，读图回答（1）～（2）题。

（1）徐霞客在《滇游日记》中写道“江流捣崆在中愈骤，腔中石耸突而激端，或为横槛以扼之，或为夹门以束之…”此段文字描述的河流位于（）A.横断山区B.雁荡山区C.秦岭山脉D.长江三峡（2）徐霞客旅行考察区域涵盖了（）A.地势第一、二级阶梯B.湿润区、半湿润区C.外流区、内流区D.农耕区、牧区3. 如图为某游客于2019年6月22日在北京西部郊区（约 40°N）某尤伏发电产业园区一角拍摄的照片，据此回答（1）～（2）题。

（1）拍摄者位于太阳能集热板的（）A.正南方向B.正北方向C.东南方向D.西北方向（2）为保持充足的光照，拍摄当日太阳能集热板的倾角（与地平线的夹角）最接近（）A.17°B.27°C.63°D.50°4. 如图中为“地壳物质循环示意图”，字母代表地质作用，读图回答（1）～（2）题。

（1）甲、乙岩石分别是（）A.变质岩沉积岩B.侵入岩沉积岩C.沉积岩变质岩D.沉积岩喷出岩（2）图中字母与地质作用匹配正确的是（）A.E﹣变质作用B.F﹣岩浆活动C.G﹣地壳运动D.H一固结成岩5. 2018年初，北美东北部遭受严重的基风雪袭击，并伴有大面积冻害。

2019-2020学年江苏省南通市通州区高三（上）第一次调研数学试卷（9月份）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答題卡相应位置 1．己知集合{1A =-，1，2}，{1B =，2，4}，则A B = ．2．设i 为虚数单位，则复数3(1)i +的实部为 ．3．某校共有学生2400人，其中高三年级600人．为了解各年级学生的兴趣爱好情况，用分层抽样的方法从全校学生中抽取容量为100的样本，则高三年级应抽取的学生人数为 ． 4．若从甲乙丙丁4位同学中选出3位同学参加某个活动，则甲被选中的概率为 ． 5．在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为2-，则输入的x 的值为6．已知双曲线2221(0)x y a a -=>的焦距为4，则a 的值为 ．7．不等式23122x x --<的解集为8．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1BB 的中点，则三棱锥11D DEC -的体积为 ．9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若21a =，3680a a +=，则5S 的值为 ． 10．将函数()sin()4f x x π=+的图象向右平移ϕ个单位，得到函数()y g x =的图象．则“34πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的 条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”中选填一个）11．已知函数()()x f x ax b e =+，若曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程为310x y -+=，则f （1）的值为 ．12．设．0x >，0y >，24x y +=，则(4)(2)x y xy++的最小值为 ．13．已知()f x 是定义在R 上且周期为3的周期函数，当(0x ∈，3]时，()1|1|f x x =--．若函数()log (0a y f x x a =->且1)a ≠在(0,)+∞上有3个互不相同的零点，则实数a 的取值范围是 ．14．在平面直角坐标系xOy 中，(2,2)P ，(0,4)Q -为两个定点，动点M 在直线1x =-上，动点N 满足2216NO NQ +=，则||PM PN +的最小值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答題卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，OP OC =，E 为PC 的中点，PA PD ⊥．（1）求证：//PA 平面BDE ； （2）求证：PA ⊥平面PCD16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知向量(sin(),1)6a A π=+-，向量(1,cos )b A =，且12a b =． （1）求角A 的大小；（2）若4b =，5c =，求sin 2B 的值．17．设数列{}n a 的各项均为正数，{}n a 的前n 项和2*1(2),8n n S a n N =+∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 的首项为2，公比为(0)q q >，前n 项和为n T ．若存在正整数m ，使得33m S S T =，求q 的值．18．（16分）如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A ，B 两地，A 地位于东西方向的直线MN 上的陆地处，B 地位于海上一个灯塔处，在A 地用测角器测得4BAN π∠=，在A 地正西方向4km 的点C 处，用测角器测得tan 3BCN ∠=．拟定铺设方案如下：在岸MN 上选一点P ，先沿线段AP 在地下铺设，再沿线段PB 在水下铺设．预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km 和4万元/km ，设BPN θ∠=，(,)42ππθ∈，铺设电缆的总费用为()f θ万元．（1）求函数()f θ的解析式；（2）试问点P 选在何处时，铺设的总费用最少，并说明理由．19．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，己知椭圆2222:1(0)43x y C t t t +=>的左、右顶点为A ，B ，右焦点为F ．过点A 且斜率为(0)k k >的直线交椭圆C 于另一点P ．（1）求椭圆C 的离心率；（2）若12k =，求22PA PB 的值；（3）设直线:2l x t =，延长AP 交直线l 于点Q ，线段BQ 的中点为E ，求证：点B 关于直线EF 的对称点在直线PF 上．20．（16分）已知函数2()(1)f x x a x a =++-，()(g x x blnx a =-，)b R ∈ （1）当2b =时，求函数()g x 的单调区间；（2）设函数(),1()(),1f x x h x g x x ⎧=⎨>⎩…若0a b +=，且()0h x …在R 上恒成立，求b 的取值范围；（3）设函数()()()u x f x g x a =-+，若2a b +-…，且()u x 在(0,)+∞上存在零点，求b 的取值范围．本题包括A ，B 共1小题，每小题10分，共20分.把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-2：矩阵与变换] 21．已知矩阵23[]1M t =的一个特征値为4，求矩阵M 的逆矩阵1M -．[选修H ：极坐标与参数方程]22．在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，直线l 的极坐标方程是cos()24πρθ+=．试判断直线l 与曲线C 的位置关系，并说明理由．【必做题】本题满分20分.解答时应写出文字说明'证明过程或演算步骤.23．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，4AC BC ==，AB =，M ，N 分别是AB ，1CC 的中点，且11A M B C ⊥． （1）求1A A 的长度；（2）求平面1B AN 与平面1B MC 所成锐二面角的余弦值．24．己知数列{}n a ．的通项公式为n n n a =-，*n N ∈记1212n n n n n n S C a C a C a =++⋯+（1）求12S S 的值；（2）求证：对任意的正整数n ，21n nn S S S +++为定值．2019-2020学年江苏省南通市通州区高三（上）第一次调研数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答題卡相应位置 1．己知集合{1A =-，1，2}，{1B =，2，4}，则AB = {1，2}【解答】解：集合{1A =-，1，2}，{1B =，2，4}， {1AB ∴=，2}．故答案为：{1，2}．2．设i 为虚数单位，则复数3(1)i +的实部为 2- ． 【解答】解：32(1)(1)(1)2(1)22i i i i i i +=++=+=-+． ∴复数3(1)i +的实部为2-．故答案为：2-．3．某校共有学生2400人，其中高三年级600人．为了解各年级学生的兴趣爱好情况，用分层抽样的方法从全校学生中抽取容量为100的样本，则高三年级应抽取的学生人数为 25 【解答】解：有学生2400人，其中高三年级600人，为了解各年级学生的兴趣爱好情况， 用分层抽样的方法从全校学生中抽取容量为100的样本，则抽样的比例为600124004=， 则高三年级应抽取的学生人数为1100254⨯=， 故答案为：25．4．若从甲乙丙丁4位同学中选出3位同学参加某个活动，则甲被选中的概率为4． 【解答】解：从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出3名代表参加学校会议，共有344C =种方法，甲被选中，共有3种方法， ∴甲被选中的概率是34P =故答案为：34． 5．在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为2-，则输入的x 的值4【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求22211x x y log x x ⎧->⎪=⎨⎪⎩…的值，2y =-，∴当1x >时，222x -=-，无解；当1x …时，2log 2x =-，解得：14x =； 综上，输入的x 的值是：14． 故答案为：14． 6．已知双曲线2221(0)x y a a -=>的焦距为4，则a【解答】解：由双曲线2221(0)x y a a -=>，得221ca =+，即c =又焦距为4，∴4=，得a =， 又0a >，a ∴=． 7．不等式23122xx --<的解集为 (1,2)- 【解答】解：不等式23122x x --<，即不等式23122x x ---<，231x x ∴--<-，即(1)(2)0x x +-<，求得12x -<<， 故答案为：(1,2)-．8．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1BB 的中点，则三棱锥11D DEC -的体积为3【解答】解：在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1BB 的中点， ∴三棱锥11D DEC -的体积：11111113D DEC E DD C DD C V V BC S--==⨯⨯1122232=⨯⨯⨯⨯ 43=． 故答案为：43．9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若21a =，3680a a +=，则5S 的值为 2． 【解答】解：设等比数列{}n a 的公比为q ．21a =，3680a a +=， 11a q ∴=，33380a a q +=，解得：112a =-，2q =-，则551[1(2)]1121(2)2S ---==---． 故答案为：112-． 10．将函数()sin()4f x x π=+的图象向右平移ϕ个单位，得到函数()y g x =的图象．则“34πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的 充分不必要 条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”中选填一个）【解答】解：将函数()sin()4f x x π=+的图象向右平移ϕ个单位，得到函数()sin()4y g x x πϕ==+-的图象．若函数()g x 为偶函数，则(0)sin()14g πϕ=-=±，42k ππϕπ∴-=+，解得34k πϕπ=+． ∴ “34πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要．11．已知函数()()x f x ax b e =+，若曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程为310x y -+=，则f （1）的值为 3e【解答】解：由题得(0)f b =，将(0，(0))f 代入切线的1b = 因为()()x f x a ax b e '=++，所以(0)3f a b '=+=，所以2a = 则f （1）()3a b e e =+= 故答案为：3e ．12．设．0x >，0y >，24x y +=，则(4)(2)x y xy++的最小值为 9【解答】解：24x y +=，0x >，0y >，24x y ∴+=…，(2x =，1y =时取等）∴112xy …， ∴(4)(2)2(2)8161189x y xy x y xy xy xy+++++==++=…．(2x =，1y =时取等）故答案为：913．已知()f x 是定义在R 上且周期为3的周期函数，当(0x ∈，3]时，()1|1|f x x =--．若函数()log (0a y f x x a =->且1)a ≠在(0,)+∞上有3个互不相同的零点，则实数a 的取值范围是 47a <<或96a <…． 【解答】解：函数()log (0a y f x x a =->且1)a ≠在(0,)+∞上有3个互不相同的零点， ()y f x ∴=与log a y x =的图象有3个不同的交点， ∴14171a a a log log >⎧⎪<⎨⎪>⎩或016191a aa log log <<⎧⎪-⎨⎪<-⎩…， 解得：47a <<或1196a <…．故答案为：47a <<或1196a <…．14．在平面直角坐标系xOy 中，(2,2)P ，(0,4)Q -为两个定点，动点M 在直线1x =-上，动点N 满足2216NO NQ +=，则||PM PN +的最小值为 3 ． 【解答】解：2216NO NQ +=，N ∴在以OQ 为直径的圆上，不妨设(4cos 2,4sin )N θθ-，(1,)M m -，则(3,2)PM m =--，(4cos 4,4sin 2)PN θθ=--， ∴(4cos 7,4sin 4)PM PN m θθ+=-+-，2222||(4cos 7)(4sin 4)8818[(4)sin 7cos ]PM PN m m m m θθθθ∴+=-++-=-++--2(4)65)m θϕ=-++-，t =，sin()a θϕ-=，则7t …，11a -剟． 22||168PM PN t at ∴+=++，令222()168(4)1616f t t at t a a =++=++-，7t …，11a -剟， ()f t ∴在[7，)+∞上单调递增，故当7t =时，()f t 取得最小值6556a +，再令g （a ）6556a =+，11a -剟， 显然g （a ）在[1-，1]上单调递增，故1a =-时，g （a ）取得最小值65569-=，综上，当7t =，1a =-时，2||PM PN +取得最小值9． 故||PM PN +的最小值为3．故答案为：3．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答題卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，在四棱锥P ABCD-中，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，⊥．OP OC=，E为PC的中点，PA PD（1）求证：//PA平面BDE；（2）求证：PA⊥平面PCD【解答】解（1）证明：连接OE，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，O∴为AC中点，又E为PC的中点，∴，OE PA//OE⊂面BDE，PA⊂/面BDE，PA∴平面BDE．//（2）OP OC=，E为PC的中点，∴⊥，OE PC由（1）知//OE PA，∴⊥，PA PC又PA PD⊥，PC，PD⊂面PCD，∴⊥平面PCD．PA16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知向量(sin(),1)6a A π=+-，向量(1,cos )b A =，且12a b =． （1）求角A 的大小；（2）若4b =，5c =，求sin 2B 的值． 【解答】解：（1）111sin()cos cos cos cos sin()62262a b A A A A A A A A ππ=+-=+-=-=-=，因为0A π<<，5666A πππ-<-<，所以66A ππ-=，3A π=．（2）由余弦定理可知，2222cos a b c bc A =+-，所以22245245cos 213a π=+-⨯⨯⨯=，a ∴=由正弦定理，知sin sin a bA B =4sin 3B =，所以sin B = b c <，B C ∴<，即B 为锐角，所以cos B =sin 22sin cos 2B B B ∴===． 17．设数列{}n a 的各项均为正数，{}n a 的前n 项和2*1(2),8n n S a n N =+∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 的首项为2，公比为(0)q q >，前n 项和为n T ．若存在正整数m ，使得33m S S T =，求q 的值．【解答】解：（1）列{}n a 的各项均为正数，且21(2)8n n S a =+，①当1n =时，2111(2)8S a =+，解得12a =．当2n …时，2111(2)8n n S a --=+，②， ①-②整理得11()(4)0n n n n a a a a --+--=，所以14n n a a --=（常数），则14(1)42n a a n n =+-=-（首项符合通项），故42n a n =-． （2）由（1）得：2(422)22n n n S n -+==，等比数列{}n b 的首项为2，公比为(0)q q >，前n项和为2(1)1n n q T q-=-．所以3232(1)2221q T q q q-==++-，假设存在正整数m 存在正整数m ，使得33m S S T =， 则22912q q m=++由于0q >， 所以2912m>，解得m <， 由于m 是正整数，所以1m =或2． 当1m =时，整理得2702q q +-=，解得q =，当2m =时，整理得2108q q +-=，解得q （负值舍去），所以q =和q =． 18．（16分）如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A ，B 两地，A 地位于东西方向的直线MN 上的陆地处，B 地位于海上一个灯塔处，在A 地用测角器测得4BAN π∠=，在A 地正西方向4km 的点C 处，用测角器测得tan 3BCN ∠=．拟定铺设方案如下：在岸MN 上选一点P ，先沿线段AP 在地下铺设，再沿线段PB 在水下铺设．预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km 和4万元/km ，设BPN θ∠=，(,)42ππθ∈，铺设电缆的总费用为()f θ万元．（1）求函数()f θ的解析式；（2）试问点P 选在何处时，铺设的总费用最少，并说明理由．【解答】解：（1）如图所示过点B 作MN 的垂线，垂足为D ，在Rt BAD ∆中，4BAD π∠=，则BD AD =．在Rt BCD ∆中，tan 3BDBCD DC∠==，所以3DB CD =． 由于4AC =，所以143BD BD -=，解得6BD =．由BPN θ∠=，则6sin BP θ=，6tan DP θ=，由6AD BD ==，得到66tan AP θ=-． 所以662cos ()2(6)41212tan sin sin f θθθθθ-=⨯-+⨯=+⨯其中(,)42ππθ∈． （2）设2cos ()sin h θθθ-=，(,)42ππθ∈．则222sin (2cos )cos 12cos ()sin sin h θθθθθθθ---'==．令()0h θ'=，得1cos 2θ=，所以3πθ=．所以(,)43ππθ∈时，()0h θ'<，(,)32ππθ∈时，()0h θ'>，所以当3πθ=时，函数的极小值为()3h π=所以()f θ的最小值为12+此时6AP =-即当点P 选在距离A 地(6km -处时，铺设费用最少为12+万元．19．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，己知椭圆2222:1(0)43x y C t t t +=>的左、右顶点为A ，B ，右焦点为F ．过点A 且斜率为(0)k k >的直线交椭圆C 于另一点P ．（1）求椭圆C 的离心率；（2）若12k =，求22PA PB 的值；（3）设直线:2l x t =，延长AP 交直线l 于点Q ，线段BQ 的中点为E ，求证：点B 关于直线EF 的对称点在直线PF 上．【解答】（1）解：椭圆2222:143x y C t t +=，224a t ∴=，224b t =，22c t =，又0t >，2a t ∴=，c t =， ∴椭圆C 的离心率12c e a ==； （2）解：直线AP 的斜率12k =，且过椭圆C 的左顶点(2,0)A t -， ∴直线AP 的方程为1(2)2y x t =+，代入椭圆C 的方程， 得2220x tx t +-=，解得x t =或2x t =-（舍去）． 将x t =代入1(2)2y x t =+，得32y t =，∴点P 的坐标为3(,)2t t ，又椭圆C 的右顶点为(2,0)B t ，∴2222345(2)(0)24PA t t t t =++-=，2222313(2)(0)24PB t t t t =-+-=，∴224513PA PB =； （3）证明：直线AP 的方程为(2)y k x t =+， 将2x t =代入(2)y k x t =+，得4y kt =，(2,4)Q t kt ∴． E 为线段BQ 的中点，(2,2)E t kt ∴，焦点F 的坐标为(,0)t ， ∴直线EF 的斜率为2k ．联立222(2)3412y k x t x y t=+⎧⎨+=⎩，得22222(34)164(43)0k x k tx k t +++-=． 由于224(43)34A P k x x k -=+，2A x t =-，∴222(34)34P k tx k -=+， 则P 点的坐标为222(34)(34k t k -+，212)34ktk +．∴直线PF 的斜率为2222212422342(34)141(2)34ktk kk k t k k k +==---+． 而直线EF 的斜率为2k ，若设EFB θ∠=，则有tan tan 2PFB θ∠=，即2PFB EFB ∠=∠． ∴点B 关于直线EF 的对称点在直线PF 上．20．（16分）已知函数2()(1)f x x a x a =++-，()(g x x blnx a =-，)b R ∈ （1）当2b =时，求函数()g x 的单调区间；（2）设函数(),1()(),1f x x h x g x x ⎧=⎨>⎩…若0a b +=，且()0h x …在R 上恒成立，求b 的取值范围；（3）设函数()()()u x f x g x a =-+，若2a b +-…，且()u x 在(0,)+∞上存在零点，求b 的取值范围．【解答】解：（1）当2b =时，()2g x x lnx =-，所以22()1x g x x x-'=-=， 令()0g x '=，得2x =，因为函数()g x 的定义域为(0,)+∞， 当(0,2)x ∈时，()0g x '<；当(2,)x ∈+∞时，()0g x '>， 所以函数()g x 的单调减区间为(0,2)，单调增区间为(2,)∈+∞． （2）因为0a b +=，所以2(1),1(),1x b x b x h x x blnx x ⎧--+=⎨->⎩…，当1x …时，有2()(1)0h x x b x b =--+…恒成立， 则有当112b -…，即3b …时，()min h x h =（1）20=…恒成立； 当112b -<，即3b <时，2161()()024min b b b h x h --+-==…，所以33b -<，综上，3b -…； 当1x >时，由()0h x x blnx =-…恒成立，即xb lnx…恒成立， 设()(1)xm x x lnx=>，则21()()lnx m x lnx -'=，令()0m x '=，得x e =， 且当(1,)x e ∈时，()0m x '<；当(,)x e ∈+∞时，()0m x '>，所以()min m x m =（e ）e =，所以b e …，综上所述，b的取值范围是3b e -． （3）2()u x x ax blnx =++，因为()u x 在(0,)+∞上存在零点，所以20x ax blnx ++=在(0,)+∞有解， 即lnx a x bx =--在(0,)+∞上有解，又因为2a b +-…，即2a b --…，所以2lnxx b b x----…在(0,)+∞上有解， 设()t x lnx x =-，则11()1xt x x x-'=-=，令()0t x '=，得1x =， 且当(0,1)x ∈时，()0t x '>；当(1,)x ∈+∞时，0t '<， 所以()t x t …（1）10=-<，即lnx x <，所以1lnxx<， 因此22x x b x lnx --…，设22()x x F x x lnx -=-，则2(1)(22)()()x x lnx F x x lnx --+'=-，同理可证：2xlnx <，所以220x lnx -+>，于是()F x 在(0,1)上单调递减，所以()min F x F =（1）1=-，故1b -…．本题包括A ，B 共1小题，每小题10分，共20分.把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-2：矩阵与变换] 21．已知矩阵23[]1M t =的一个特征値为4，求矩阵M 的逆矩阵1M -．【解答】解：矩阵M 的特征多项式为23()(2)(1)31f t t λλλλλ--==-----；因为矩阵M 的一个特征值为4，所以方程()0f λ=有一根为4； 即f （4）2330t =⨯-=，解得2t =； 所以2321M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 设1a b M c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 则12323102201a c b d MM a c b d -++⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦， 由23120a c a c +=⎧⎨+=⎩，解得1412a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；由23021b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得3412b d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩； 所以113441122M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． [选修H ：极坐标与参数方程]22．在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，直线l 的极坐标方程是cos()24πρθ+=．试判断直线l 与曲线C 的位置关系，并说明理由．【解答】解：曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=， 转换为直角坐标方程为22(1)1x y -+=， 直线l 的极坐标方程是cos()24πρθ+=．转换为直角坐标方程为0x y --=，所以圆心(1,0)到直线l的距离21d r ==->=， 所以直线与圆相离．【必做题】本题满分20分.解答时应写出文字说明&#39;证明过程或演算步骤.23．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，4AC BC ==，AB =，M ，N 分别是AB ，1CC 的中点，且11A M B C ⊥． （1）求1A A 的长度；（2）求平面1B AN 与平面1B MC 所成锐二面角的余弦值．【解答】解：（1）在ABC ∆中，4AC BC ==，AB =， 则222AB AC BC =+，90ACB ∴∠=︒，以C 为原点，CA ，CB ，1CC 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 设1AA a =，则(4A ，0，0)，(0B ，4，0)，(0C ，0，0)，1(4A ，0，)a ，1(0B ，4，)a ，(2M ，2，0)，∴1(2A M =-，2，)a -，1(0B C =，4-，)a -，11A M B C ⊥，∴21180A M B C a =-+=，解得a =，1AA ∴的长为（2）由（1）知1(0C ，0，，由N 中1CC 的中点，得(0N ，0， ∴1(4B A =-，4，，1(0B N =，4-，，设平面1B AN 的法向量(n x =，y ，)z ，则1144040n B A x y n B N y ⎧=-++=⎪⎨=-=⎪⎩，取1x =，得(1n =，1-，，1(0B C =，4-，-，(2CM =，2，0)，设平面1B MC 的法向量(m x =，y ，)z ，则140220m B C y m CM x y ⎧=-==⎪⎨=+=⎪⎩，取1x =，得(1m =，1-，设平面1B AN 与平面1B MC 所成锐二面角为θ， 则||310cos ||||10m n m n θ==∴平面1B AN 与平面1B MC24．己知数列{}n a ．的通项公式为n nn a =-，*n N ∈记1212n n n n n n S C a C a C a =++⋯+（1）求12S S 的值；（2）求证：对任意的正整数n ，21n nn S S S +++为定值． 【解答】解：（1）1111S C a ==-=，1222122272S C a C a =+=+-=， 则1222427S S =； （2）证明：设α=，β=， 则1222122122()()()()()n n n n n n n n n n n n n n n n n S C C C C C C C C C αβαβαβαααβββ=-+-+⋯+-=++⋯+-++⋯+(1)(1)n n n nαβ=+-+=-，由1=，22112]n n n n n nn S +++++=-=-+--183n n S S +=-， 则2183n n n S S S +++=为定值．。

北京市通州区2020届高三数学一模试题第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则{}02A x x =<≤{}13B x x =<<A B =A. B. C. D. {}03x x <<{}23x x <<{}01x x <≤{}12x x <≤2. 已知复数 （i 是虚数单位），则=i (2i)z +z =D. 33. 函数的最小正周期是（ ）()sin 2cos 2f x x x =+Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．π2π2π4π4. 已知为定义在R 上的奇函数，且，下列一定在函数图象上的点是()f x (1)2f =()f x A. （1，-2） B. （-1，-2） C. （-1，2） D. （2，1）5. 已知a ，3，b ，9，c 成等比数列，且a >0，则等于33log log b c -A. B. C. D. 1-12-1216. 已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则22(0)y px p =>2213x y -=p =B. C. 247. 在的展开式中，常数项是6(21x x-A. -160 B. -20 C. 20 D. 1608．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点，(cos ,sin )A αα.(cos(33B ππαα++则OA OB +=C. 2D. 与有关α9. 若a >0，b >0，则“ab ≥1”是 “a+b ≥2”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10. 某同学在数学探究活动中确定研究主题是“是几位数”，他以(1,N )n a a n *>∈为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如下表：2(N )n n *∈2(0)n N n =>lg N 的位数N 12lg 2一位数22lg 4一位数32lg8一位数421lg1.6+两位数521lg3.2+两位数621lg 6.4+两位数722lg1.28+三位数822lg 2.56+三位数922lg5.12+三位数1023lg1.024+四位数试用该同学的研究结论判断是几位数（参考数据）504lg 20.3010≈A. 101 B. 50 C. 31 D. 30第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知向量，，其中．若共线，则m 等于(1,2)=-a (3,)m =-b m ∈R ,a b ___________.12. 圆的圆心到直线()1122=+-y x 10x +=13.14将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列 ，则 ； . {}n a 1a =n a =（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）15.给出下列四个函数，①；②；③；④21y x =+12y x x =+++21x y =+2cos y x x =+其中值域为的函数的序号是 .[1)+∞，三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题14分）已知△ABC ，满足，， ，判断△ABC 的面积a =2b =是否成立？说明理由.2S >从① ， ② 这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中3A =πcos B =的空格处并做答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17． （本小题14分）2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如下： 专项员工 人数子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人老员工402203中年员工821518青年员工120121（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X 为选出的中年员工的人数，求X 的分布列和数学期望.18. （本小题15分）如图，已知四边形ABCD 为菱形，且，取AD 中点为E .现将四边形EBCD 沿BE 折060=∠A 起至EBHG ，使得.90AEG ∠=o(Ⅰ)求证：平面；⊥AE EBHG (Ⅱ)求二面角A -GH -B 的余弦值；(Ⅲ)若点F 满足，当平面时，求的值.AB λAF =//EF AGH λ19．（本小题14分）已知椭圆C ：的离心率为，点A (0，1)在椭圆C 上．)0(12222>>=+b a by a x 22（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，过原点的直线（不与x 轴垂直）与椭圆C 交于M 、N 两点，直线AM 、AN 与x 轴分别交于点E 、F ．问： y 轴上是否存在定点G ，使得∠OGE =∠OFG ？若存在，求点G 的坐标；若不存在，说明理由．20．（本小题14分）已知函数，设.()()e x f x x a x a =-++()()g x f x '=（Ⅰ）求的极小值；()g x （Ⅱ）若在上恒成立，求a 的取值范围.()0fx >(0,)+∞21．（本小题14分）用[x ]表示一个小于或等于x 的最大整数.如：[2]=2，[4.1]=4，[-3.1]=-4.已知实数列对于所有非负整数i 满足，其中是任意一个非零实数.,,10a a ])[(][1i i i i a a a a -⋅=+0a (Ⅰ) 若，写出a 1,a 2,a 3； 6.20-=a (Ⅱ)若，求数列的最小值；00>a ]}{[i a (Ⅲ)证明：存在非负整数k ，使得当时，.k i ≥2+=i ia a 通州区高三年级一模考试数学试卷答案及评分标准 2020年4月一、选择题：（每小题4分，共40分.）题号12345678910答案DCBBADABAC二、填空题（每道小题5分，共25分）11． ； 12. ；13； 14．8；15n-7；（第一空2分，第二空3分）61 15．①②④ （答对一个给1分，答对两个给3分，全对给5分，出现一个错误不得分.）三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题14分）解：选，△ABC 的面积成立，理由如下:○12S >当时，， …………… 4分3A =π2147cos 222c A c +-==⋅所以，所以， …………… 6分2230cc --=3c =则△ABC 的面积分11sin 23sin 223S bc A π==⨯⨯⨯=， …………… 12分2=>=所以成立. ……………14分2S > 选，△ABC的面积不成立，理由如下：○22S >当，…………… 4分cos B =222cos 2a cb B ac +-===整理得，，所以分230c -+=c =因， …………… 8分2227,437a b c =+=+=所以△ABC是A 为直角的三角形， …………… 10分所以△ABC 的面积，…………… 12分112222S bc ==⨯=<所以不成立. …………… 14分17. （本小题14分）解：（Ⅰ）该单位员工共140+180+80=400人，抽取的老年员工人，201407400⨯=中年员工人，201809400⨯=青年员工人 ……………… 4分20804400⨯=（Ⅱ）X 的可取值为0,1,2 ……………… 5分，， (11)23283(X=0)28C P C ==11352815(X=1)28C C P C == 252810(X=0)28C P C ==分所以的分布列为X 012P32815281028. ……………… 14分5(X)4E =18. （本小题15分）(Ⅰ)证明：在左图中，△ABD 为等边三角形，E 为AD 中点 所以BE ⊥AD ， ……………… 2分所以BE ⊥AE因为，90AEG ∠=o所以GE ⊥AE . ……………… 3分因为GE ⊥AE ，BE ⊥AE ，GE ∩BE =E所以平面. ……………… 4分⊥AE EBHG (Ⅱ) 设菱形ABCD 的边长为2，由(Ⅰ)可知GE ⊥AE ，BE ⊥AE ，GE ⊥BE.所以以E 为原点，EA ,EB,EG 所在直线分别为x ,y ,z 轴，建立如图空间坐标系可得，，，.……………… 6分(1,0,0)AB (0,0,1)G H ，=(1,0,1)AG - =(AH -设平面AGH 的法向量为),,(z y x n = 所以 ，即.00n AG n AH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 020x z x z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩ 令x =1，则 ………………8分)1,33,1(-=n 平面EBHG 的法向量为 ……………… 9分(1,0,0)EA =设二面角A -GH -B 的大小为)90(0<θθ ……………… 11分721,cos |cos >=<=EA n θ(Ⅲ) 由，则AF AB =λ(1,0)F -λ所以 ……………… 12分)0,3,1(λλEF -=因为平面，则 ……………… 13分//EF AGH 0=⋅EF n 即 ……………… 14分120-λ=所以 ……………… 15分21=λ19. （本小题14分）解：（Ⅰ）由题意得………………1分c e a ==b =1,又222a bc =+解得 ……………… 4分1a c ==所以椭圆方程为 ……………… 5分2212x y +=（Ⅱ）设，由题意及椭圆的对称性可知……………… 6分00(,)M x y 000(,)(1)N x y y --≠±则直线AM 的方程为 ……………… 7分0011y y x x -=+直线AN 的方程为 ……………… 8分0011y y x x +=+则E 点坐标为，F 点坐标为 ……………… 10分00(,0)1x y -00(,0)1x y -+假设存在定点G （0，n ）使得∠OGE =∠OFG ，即tan∠OGE =tan∠OFG （也可以转化为斜率来求）……………… 11分即OE OG OGOF=即 ……………… 12分2OG OE OF =即 2202021x n y ==-所以 ……………… 13分n =所以存在点坐标为满足条件. ……………… 14分G (0,20. （本小题14分）解：（Ⅰ） ……………… 1分()(1)1x f x x a e '=-++由题意可知，()(1)1x g x x a e =-++所以 ……………… 2分()(2)x g x x a e '=-+当时，在上单调递增；……………… 3分2x a >-()0g x '>()g x (2,)a -+∞当时，在上单调递减……………… 4分2x a <-()0g x '<()g x (,2)a -∞-所以在处取得极小值，为……………… 5分()g x 2x a =-2(2)1a g a e --=-+（Ⅱ）由（Ⅰ）得2()()1a f x g x e -'=≥-+当时， ……………… 6分2a ≤2()10a f x e -'≥-+>所以在单调递增，所以 ……………… 7分()f x ()(0)0f x f >=即时在恒成立. ……………… 8分2a ≤()0f x >(0,)+∞当时， ………………9分2a >(0)(0)20f g a '==-<又， ……………… 10分()()10a f a g a e '==+>又由于在上单调递增；在上单调递减；()f x '(2,)a -+∞(0,2)a -所以在上一定存在使得， ……………… 11分(0,)a 0x 0()0f x '=所以在递减，在递增，()f x 0(0,)x 0(,)x +∞所以 ……………… 12分0()(0)0f x f <=所以在存在，使得， ……………… 13分(0,)+∞0x 0()0f x <所以当时，在上不恒成立2a >()0f x >(0,)+∞所以a 的取值范围为. ………………14分(],2-∞21. （本小题14分）解：(Ⅰ) 、、. ……………… 3分2.11-=a 6.12-=a 8.03-=a分 分分分则 ……………… 13分,,2,4,1,1,3,m i m a i m m m a a i m m =++⎧=⎨--=++⎩L L 令k =m ，满足当时，.k i ≥2+=i i a a 综上，存在非负整数k ，使得当时， .………………14分k i ≥2+=i i a a。

通州区高三年级一模考试数学试卷2020年4月第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}02A x x =<≤，{}13B x x =<<，则AB =A. {}03x x << B . {}23x x << C . {}01x x <≤ D . {}12x x <≤2. 已知复数=i(2i)z + （i 是虚数单位），则z =A. 1 B . 2 C.D . 33. 函数()sin 2cos 2f x x x =+的最小正周期是（ ） Ａ．π2Ｂ．πＣ．2π Ｄ．4π4. 已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且(1)2f =，下列一定在函数()f x 图象上的点是A. （1，-2） B . （-1，-2） C . （-1，2） D . （2，1） 5. 已知a ，3，b ，9，c 成等比数列，且a >0，则33log log b c -等于 A. 1- B . 12- C . 12D . 16. 已知抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合，则p =A.B . 2C .D . 47. 在6(2)1x x-的展开式中，常数项是A. -160 B . -20 C . 20 D . 1608．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(cos ,sin )A αα，(cos(),sin())33B ππαα++.则OA OB +=A.1 B .C . 2D . 与α有关9. 若a >0，b >0，则“ab ≥1”是 “a+b ≥2”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10. 某同学在数学探究活动中确定研究主题是“(1,N )n a a n *>∈是几位数”，他以2(N )n n *∈为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如下表：试用该同学的研究结论判断504是几位数（参考数据lg20.3010≈） A. 101 B . 50 C . 31 D . 30第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知向量(1,2)=-a ，(3,)m =-b ，其中m ∈R ．若,a b 共线 ，则m 等于 ___________.12. 圆()1122=+-y x的圆心到直线10x ++=的距离为 .13.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于 .14．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？” ，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列 {}n a ，则1a = ； n a = . （注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）15.给出下列四个函数，①21y x =+；②12y x x =+++；③21x y =+；④2cos y x x =+ 其中值域为[1)+∞，的函数的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题14分）已知△ABC，满足a =2b =， ，判断△ABC 的面积2S >是否成立？说明理由.从①3A =π ，② cos B = 这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并做答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17． （本小题14分）2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如下：（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X 为选出的中年员工的人数，求X 的分布列和数学期望.18. （本小题15分）俯视图如图，已知四边形ABCD 为菱形，且060=∠A ，取AD 中点为E .现将四边形EBCD 沿BE 折起至EBHG ，使得90AEG ∠=. (Ⅰ)求证：⊥AE 平面EBHG ； (Ⅱ)求二面角A -GH -B 的余弦值；(Ⅲ)若点F 满足AB λAF =，当//EF 平面AGH 时，求λ的值.19．（本小题14分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，点A (0，1)在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，过原点的直线（不与x 轴垂直）与椭圆C 交于M 、N 两点，直线AM 、AN 与x 轴分别交于点E 、F ．问： y 轴上是否存在定点G ，使得∠OGE =∠OFG ？若存在，求点G 的坐标；若不存在，说明理由．20．（本小题14分）已知函数()()e x f x x a x a =-++，设()()g x f x '=. （Ⅰ）求()g x 的极小值；（Ⅱ）若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，求a 的取值范围. 21．（本小题14分）用[x ]表示一个小于或等于x 的最大整数.如：[2]=2，[4.1]=4，[-3.1]=-4.已知实数列 ,,10a a 对于所有非负整数i 满足])[(][1i i i i a a a a -⋅=+，其中0a 是任意一个非零实数.(Ⅰ) 若6.20-=a ，写出a 1,a 2,a 3； (Ⅱ)若00>a ，求数列]}{[i a 的最小值；(Ⅲ)证明：存在非负整数k ，使得当k i ≥时，2+=i i a a .ECDBAEGHBA通州区高三年级一模考试数学试卷参考答案及评分标准 2020年4月一、选择题：（每小题4分，共40分.）二、填空题（每道小题5分，共25分）11．6 ； 12. 1；13．3； 14．8；15n -7；（第一空2分，第二空3分） 15．①②④ （答对一个给1分，答对两个给3分，全对给5分，出现一个错误不得分.）三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题14分）解：选○1，△ABC 的面积2S >成立，理由如下:当3A =π时，2147cos 222c A c +-==⋅， …………… 4分所以2230c c --=，所以3c =， …………… 6分则△ABC 的面积11sin 23sin 223S bc A π==⨯⨯⨯=分2=>=， …………… 12分 所以2S >成立. ……………14分 选○2，△ABC 的面积2S >不成立，理由如下：当cos 7B =时，222cos 27a c b B ac +-==，…………… 4分27=整理得，230c -+=，所以c = …………… 6分 因2227,437a b c =+=+=， …………… 8分所以△ABC 是A 为直角的三角形， …………… 10分所以△ABC 的面积112222S bc ==⨯=<，…………… 12分 所以不成立. …………… 14分17. （本小题14分）解：（Ⅰ）该单位员工共140+180+80=400人，抽取的老年员工201407400⨯=人， 中年员工201809400⨯=人， 青年员工20804400⨯=人 ……………… 4分 （Ⅱ）X 的可取值为0,1,2 ……………… 5分23283(X=0)28C P C ==，11352815(X=1)28C C P C ==，252810(X=0)28C P C == ……………… 11分5(X)4E =. ……………… 14分18. （本小题15分）(Ⅰ)证明：在左图中，△ABD 为等边三角形，E 为AD 中点 所以BE ⊥AD ， ……………… 2分所以BE ⊥AE 因为90AEG ∠=，所以GE ⊥AE . ……………… 3分因为GE ⊥AE ，BE ⊥AE ，GE ∩BE =E所以⊥AE 平面EBHG . ……………… 4分 (Ⅱ) 设菱形ABCD 的边长为2，由(Ⅰ)可知GE ⊥AE ，BE ⊥AE ，GE ⊥BE.所以以E 为原点，EA ,EB ,EG 所在直线分别为x ,y ,z 轴， 建立如图空间坐标系可得(1,0,0)A ，B ，(0,0,1)G ，H .……………… 6分=(1,0,1)AG -，=(1,AH -设平面AGH 的法向量为),,(z y x n =所以 00n AG n AH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x z x z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩. 令x =1，则)1,33,1(-=n ………………8分 平面EBHG 的法向量为(1,0,0)EA = ……………… 9分设二面角A -GH -B 的大小为)90(0<θθ721,cos |cos >=<=EA n θ ……………… 11分 (Ⅲ) 由AF AB =λ，则(1,0)F -λ所以)0,3,1(λλ-= ……………… 12分 因为//EF 平面AGH ，则 0=⋅ ……………… 13分 即120-λ= ……………… 14分所以21=λ ……………… 15分19. （本小题14分） 解：（Ⅰ）由题意得c e a ==………………1分 b =1,又222a b c =+解得1a c == ……………… 4分所以椭圆方程为2212x y += ……………… 5分（Ⅱ）设00(,)M x y ，由题意及椭圆的对称性可知000(,)(1)N x y y --≠±……………… 6分 则直线AM 的方程为0011y y x x -=+ ……………… 7分 直线AN 的方程为0011y y x x +=+ ……………… 8分 则E 点坐标为00(,0)1x y -，F 点坐标为00(,0)1x y -+ ……………… 10分假设存在定点G （0，n ）使得∠OGE =∠OFG ，即tan ∠OGE =tan ∠OFG （也可以转化为斜率来求）……………… 11分 即OE OG OGOF=即2OG OE OF = ……………… 12分即220221x n y ==-所以n = ……………… 13分所以存在点G 坐标为(0,满足条件. ……………… 14分20. （本小题14分）解：（Ⅰ）()(1)1x f x x a e '=-++ ……………… 1分 由题意可知()(1)1x g x x a e =-++，所以()(2)x g x x a e '=-+ ……………… 2分 当2x a >-时()0g x '>，()g x 在(2,)a -+∞上单调递增；……………… 3分 当2x a <-时()0g x '<，()g x 在(,2)a -∞-上单调递减……………… 4分 所以()g x 在2x a =-处取得极小值，为2(2)1a g a e --=-+……………… 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得2()()1a f x g x e -'=≥-+当2a ≤时2()10a f x e -'≥-+>， ……………… 6分 所以()f x 在单调递增，所以()(0)0f x f >= ……………… 7分 即2a ≤时()0f x >在(0,)+∞恒成立. ……………… 8分当2a >时(0)(0)20f g a '==-<， ………………9分 又()()10a f a g a e '==+>， ……………… 10分 又由于()f x '在(2,)a -+∞上单调递增；在(0,2)a -上单调递减； 所以在(0,)a 上一定存在0x 使得0()0f x '=， ……………… 11分 所以()f x 在0(0,)x 递减，在0(,)x +∞递增，所以0()(0)0f x f <= ……………… 12分 所以在(0,)+∞存在0x ，使得0()0f x <， ……………… 13分 所以当2a >时，()0f x >在(0,)+∞上不恒成立所以a 的取值范围为(],2-∞. ………………14分21. （本小题14分）解：(Ⅰ) 2.11-=a 、6.12-=a 、8.03-=a . ……………… 3分分 分分 4,3, ……………… 13令k =m ，满足当k i ≥时，2+=i i a a .综上，存在非负整数k ，使得当k i ≥时， 2+=i i a a .………………14分。

精品文档，欢迎下载！精品文档，欢迎下载！通州区高三年级一模考试数学试卷第一部分（选择题共40分）一、选择成本大题共10小履，每小题4分，共40分.在毎小題列出的四个选項中,只有一项是符合题目要求的.1.己知集合A={x^)<x<2\.8={・印<xv3},则AC\B^3.函数/（x ）=sin2x +co"x 的最小正周期是（Cl 知/（》）为定义在R 上的奇函数.且/⑴=2.卜列一定在的数/（对图篆上的点是C-I D1己知抛物线尸=2四（p>0）的焦点与袱曲线;-f =i 的右焦点重合，购’在(2x--)6的展开式中•常数项是x A.-160B.-20C 20D.1608.在平面直角坐标系中，。

为坐标原点,已知两点/Kcosa.sino ）,8（cos （”+；）,sin （”+A.{x|O<x<3*B.}.v|2<x<3jC.[.v|()<x<l2.己知复数Z =I (2+I )〈i 是虚数单位），则目A.1B.2C.D.3C.InD.4JT4.A.(I.-2)R (・1,-2) C.(-1 D.(2.I)5.12知〃，3,b.9.c 成等比数列,且〃X ）,JW—gJ-lo&c 等于A.6.A.V2B.2C 2>/2D.47.9.若。

>0.3>0.贝广泌31”是5+632”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.某同学在数学探究活动中确定研究主题是TWfN）是几位数”,他以试用该同学的研究结论判断是几位故（参考数据A.101B.50 C.31D.30第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.己知向量"=（L 一2）,b=（-3.m）,其中w G R .若〃题共线.则小等于__________________12.圆（X-。