3.1.1 数学归纳法原理 教学案 2

教学反思——李兆姝数学归纳法是一种用于证明与正整数n有关命题的正确性的证明方法。

它的操作步骤简单、明确，教学重点不应该仅仅是方法的应用，不能把教学过程当作方法的灌输、技能的操练。

为此应该强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来，这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机。

在教学方法上，运用了在教师指导下师生共同讨论、探索的方法，目的是加强学生对教学过程的参与。

学生的思维参与往往是从问题开始的，本节课按照思维的次序编排了一系列问题，让学生投入到思维活动中来，逐步展开，引导学生运用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展，同时经历数学问题解决得过程，掌握分析研究一类问题的方法。

运用数学归纳法证明与自然数有关的数学命题，两个步骤缺一不可。

通过课堂问题的讨论，辨析、理解数学归纳法中的递推思想，使学生进一步正确认识数学归纳法的原理与本质。

教学过程印证了笔者的预设——有的学生对数学归纳法证明中的重要环节“代入假设”理解不深，不“追究”的话，学生就很有可能停留在表面适应性操练上。

本节设计意图是紧紧围绕着本节课要解决的四个问题“什么是数学归纳法”、“什么时候使用”、“怎样正确使用”、“核心思想是什么”上，让学生一定程度上站上了一个新的高度认识数学归纳法，形成“数学归纳法”思想方法。

通过具体实验形成统一思想提炼方法，并努力在实验过程与回顾与总结中不断渗透数学归纳法所蕴涵的有限与无限、递归推理、归纳猜想、特殊到一般的思想方法等核心数学思想。

数学归纳法的教学设计一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计的任务是向学生传授数学归纳法的基本原理和应用。

数学归纳法是一种重要的数学证明方法，主要用于解决与自然数有关的数学问题。

通过本节课的学习，学生应掌握数学归纳法的两个基本步骤：基础步骤和归纳步骤，并能够运用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

2、教学对象本教学设计的对象为我国高中一年级的学生，他们在先前的数学学习中已经接触过一些简单的数学证明，具备一定的逻辑推理能力。

此外，学生在初中阶段已经学习了数列的相关知识，这为学习数学归纳法奠定了基础。

但在实际运用数学归纳法时，学生可能对如何找到归纳假设和如何运用归纳假设进行推理感到困惑。

因此，本节课将针对这些难点进行讲解和练习。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解数学归纳法的概念、原理和步骤，掌握数学归纳法的基本证明方法。

（2）能够运用数学归纳法解决一些简单的数学问题，如数列求和、不等式证明等。

（3）掌握数学归纳法中的两个关键步骤：基础步骤和归纳步骤，并能够灵活运用。

（4）通过练习，提高逻辑推理能力和数学表达水平。

2、过程与方法（1）通过实例分析，让学生了解数学归纳法在实际问题中的应用，培养学生从特殊到一般的思维方法。

（2）引导学生通过自主探究、小组合作等方式，发现并理解数学归纳法的基本原理，提高学生的自主学习能力。

（3）设计不同难度的练习题，使学生在解答过程中逐步掌握数学归纳法的运用，提高解题技巧。

（4）通过课堂讲解、互动问答等形式，让学生在实践中学会如何找到归纳假设，并运用归纳假设进行推理。

3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学归纳法的兴趣，激发学生学习数学的热情，增强学生的自信心。

（2）培养学生严谨、踏实的科学态度，让学生认识到数学证明的重要性，遵循逻辑推理的规律。

（3）通过数学归纳法的学习，让学生认识到事物发展的一般规律，培养学生的辩证唯物主义观念。

（4）鼓励学生积极参与课堂讨论，学会倾听他人意见，培养学生的团队协作精神和沟通能力。

数学归纳法一、教学目标：1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。

2．掌握数学归纳法证明问题的方法，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题3．能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。

二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

难点：归纳→猜想→证明。

三、教学过程： 【创设情境】问题1：数学归纳法的基本思想？以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷归纳（完全归纳）的过程，转化为一个有限步骤的演绎过程。

（递推关系）问题2：数学归纳法证明命题的步骤？（1）递推奠基：当n 取第一个值n 0结论正确；（2）递推归纳：假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确；（归纳假设）证明当n =k +1时结论也正确。

（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确。

数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式；数的整除性、几何问题；探求数列的通项及前n 项和等问题。

【探索研究】问题：用数学归纳法证明：(31)71n n +-g能被9整除。

法一：配凑递推假设：法二：计算f(k+1)-f(k)，避免配凑。

说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造条件，是解题的关键。

②注意从“n=k 到n=k+1”时项的变化。

【例题评析】例1：求证: 121(1)n n a a +-++能被21a a ++整除（n ∈N +）。

例2：数列{a n }中，1n na a +>,a 1=1且211()2()10n n n n a a a a ++--++=（1）求234,,a a a 的值；（2）猜想{a n }的通项公式，并证明你的猜想。

说明：用数学归纳法证明问题的常用方法：归纳→猜想→证明变题：（2002全国理科）设数列{a n }满足211n n n a a na +=-+，n ∈N +,(1)当a 1=2时，求234,,a a a ，并猜想{a n }的一个通项公式； （2）当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1,有 ①a n ≥n+2 ②1211111112n a a a ++≤+++g g g例3：平面内有n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条直线不共点，问：这n 条直线将平面分成多少部分？变题：平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交与两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成n 2+n+2个部分。

数学归纳法教案教案标题：数学归纳法教案教案目标：1. 了解数学归纳法的基本概念和原理。

2. 学习如何使用数学归纳法解决数学问题。

3. 提高学生的逻辑思维和问题解决能力。

教学准备：1. 教师准备：黑板/白板、彩色粉笔/白板笔、教材、练习题、示意图等。

2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔、橡皮等。

教学过程：引入活动：1. 教师向学生介绍数学归纳法的概念，并给出一个简单的例子，引发学生对数学归纳法的兴趣。

知识讲解：2. 教师详细解释数学归纳法的原理和步骤，强调归纳法的逻辑性和有效性。

3. 教师通过示意图或实例，展示数学归纳法的具体应用过程。

示范演练：4. 教师给出一个适当的数学问题，并引导学生使用数学归纳法解决问题的步骤。

5. 教师与学生一起完成问题的解答过程，注重解答思路和逻辑推理的讲解。

合作探究：6. 学生分组合作，选择一道适当的数学问题，并运用数学归纳法进行解答。

7. 学生在小组内讨论，互相检查和纠正彼此的解答过程，确保正确性和合理性。

巩固练习：8. 学生个人或小组完成一些练习题，巩固数学归纳法的应用能力。

9. 教师及时给予学生反馈和指导，帮助他们纠正错误和提高解题能力。

拓展延伸：10. 学生尝试解决一些更复杂的数学问题，如数列、数学关系等，运用数学归纳法进行推理和证明。

11. 教师鼓励学生思考和探索，引导他们发现数学归纳法在其他领域的应用。

总结回顾：12. 教师对本节课进行总结，强调数学归纳法的重要性和实用性。

13. 学生回顾本节课的学习内容，提出问题和疑惑，教师进行解答和澄清。

教学反思：14. 教师对本节课的教学效果进行评估和反思，总结经验，为下一节课的教学做准备。

教学扩展：教师可以组织学生进行数学归纳法的拓展探究活动，如设计数学游戏、编写数学归纳法的应用题等，激发学生的学习兴趣和创造力。

《数 学 归 纳 法》教案阮晓锋【三维目标】知识与技能： 理解数学归纳法的原理，掌握数学归纳法证明的步骤.过程与方法： 通过多米诺骨牌游戏引出数学归纳法的原理，培养学生探索发现、提出问题的意识以及分析解决问题和数学交流的能力.情感态度价值观：通过让学生亲历知识的构建过程，感悟数学的内在美，激发其 学习热情，使学生喜欢数学，并初步形成严谨务实的科学态 度和勇于探索的治学精神.【教学重点】借助具体事例理解数学归纳法的原理，掌握数学归纳法证明的步骤，并能运用它证明一些与正整数有关的数学命题.【教学难点】不易理解数学归纳法的递推实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不理解第二步证明为何一定要用到归纳假设.【教学方法】 本节课采用类比启发、合作探究式教学方法.【教学过程】一、创设问题情景问题情景：对于数列{}n a ,已知111,1n n n a a a a +==+, 通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想其通项公式为1n a n= 。

这个猜想是否正确，如何证明？ 一般来说，与正整数n 有关的命题，当n 比较小时可以逐个验证，但当n 较大时，验证就很麻烦。

特别是n 可取所有正整数时逐一验证是不可能的。

因此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n 取所有正整数都成立。

二、探索新知1、动画演示多米诺骨牌游戏，思考使这些骨牌全部倒下的条件及其作用。

多米诺骨牌游戏是一种码放骨牌的游戏，码放时保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下。

只要推倒第一块骨牌，就可以导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下又可以导致第三块骨牌倒下，……，最后，不论有多少块骨牌，都能全部倒下。

可以看出，只要满足以下两条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。

其中条件（1）是一种特殊情况，起归纳奠基作用。

提问：你认为条件（2）的作用及实质是什么？可以看出，条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第k 块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。

数学归纳法教学设计一、教学任务及对象1、教学任务本节课的教学任务是以数学归纳法为核心，通过系统的教学活动，使学生理解数学归纳法的基本原理，掌握其证明方法，并能够运用数学归纳法解决一些简单的数学问题。

数学归纳法作为一种重要的数学证明方法，不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在其他科学研究和逻辑推理中也具有重要作用。

2、教学对象本次教学的对象是高中二年级的学生，他们在之前的学习中已经掌握了基础的数学知识和简单的逻辑推理能力，但对于数学归纳法这种较为抽象的证明方法可能还比较陌生。

因此，教学过程中需要特别注意从学生的认知水平出发，通过具体的实例和逐步引导，帮助他们建立起对数学归纳法的正确理解和运用能力。

此外，考虑到学生个体差异，教学活动设计应兼顾不同层次学生的学习需求，激发他们的学习兴趣，培养其探究和解决问题的能力。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解数学归纳法的概念、原理和基本步骤；（2）掌握运用数学归纳法进行数学问题证明的方法和技巧；（3）能够运用数学归纳法解决等差数列求和、等比数列求积等典型问题；（4）通过数学归纳法的应用，提高逻辑推理能力和数学问题解决能力。

2、过程与方法（1）通过实例分析，引导学生自主探究数学归纳法的原理和步骤，培养其发现问题和解决问题的能力；（2）采用小组合作、讨论交流等方式，让学生在实践中掌握数学归纳法的证明方法，提高合作能力和沟通能力；（3）设置不同难度的练习题，让学生在解决问题的过程中，逐步提高自己的思维品质和数学素养；（4）通过总结归纳，让学生掌握数学归纳法的一般规律，培养其抽象概括能力。

3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学归纳法的学习兴趣，培养其勇于探索、积极进取的精神；（2）让学生在解决数学问题的过程中，体验成功带来的成就感，增强自信心；（3）引导学生认识到数学归纳法在数学及科学研究中的重要性，培养其严谨的科学态度；（4）通过数学归纳法的应用，让学生认识到事物发展的一般规律，培养其正确的世界观和价值观；（5）培养学生团结协作、互相帮助的精神，使其在合作中共同成长，形成良好的人际关系。

数学归纳法的教学设计教学设计：数学归纳法一、课程背景介绍（100字）二、教学目标（100字）1.了解数学归纳法的基本概念和原理；2.掌握使用数学归纳法证明问题的步骤；3.能够运用数学归纳法解决简单的数学问题；4.培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。

三、教学内容（200字）1.数学归纳法的基本概念和原理；2.使用数学归纳法证明常见的数学问题；3.练习归纳法的运用，培养学生的归纳思维能力。

四、教学过程（700字）1.激发兴趣（10分钟）通过讲述精彩的数学推理和证明问题的故事，引发学生对数学归纳法的兴趣，激发他们的学习动力。

2.知识讲解（30分钟）a.介绍数学归纳法的定义和原理，解释其作用和用途；b.说明数学归纳法证明的三个要素：基本情况、归纳假设和归纳步骤；c.通过例子说明数学归纳法的步骤和思路。

3.实例分析（20分钟）a.给出一个初始条件为n=1的问题，引导学生写出该问题在n=1时的结果；b.通过一个数学问题的实例，引导学生观察规律并猜测规律的递推公式；c.引导学生用数学归纳法证明猜测的规律。

4.练习巩固（30分钟）a.分组进行练习，每组选取一个数学问题，用数学归纳法证明其正确性；b.鼓励学生动手实践，引导他们从具体的例子中找到规律并运用数学归纳法进行证明；c.教师巡回指导和评价，帮助学生理解和掌握数学归纳法的应用。

五、教学反思（100字）在数学归纳法的教学设计中，通过生动的讲解、实例分析和练习巩固的方式，使学生了解归纳法的基本概念、原理和应用，并能够运用数学归纳法解决简单的问题。

这种设计能够激发学生的兴趣，培养他们的逻辑思维能力和分析问题的能力，提高他们的数学思维水平。

同时，通过小组合作和教师指导，能够使学生在实践中掌握和运用数学归纳法，进一步深化对数学归纳法的理解和应用能力。

高中数学归纳法教案教学目标：1. 了解数学归纳法的基本概念和原理2. 掌握如何运用数学归纳法证明数学命题3. 培养学生的逻辑推理能力和解决问题的方法教学重点和难点：重点：数学归纳法的基本原理和具体应用难点：如何正确运用数学归纳法证明数学命题教学准备：1. PowerPoint课件2. 归纳法证明的例题3. 板书和彩色粉笔教学过程：一、导入环节（5分钟）教师介绍数学归纳法的概念及其在数学证明中的重要性，并引出今天的学习内容。

二、理论讲解（15分钟）1. 教师讲解数学归纳法的基本原理和步骤，如归纳基石、归纳假设和归纳步骤等。

2. 通过具体的数学问题，说明数学归纳法的运用方法和逻辑推理过程。

三、实例分析（20分钟）1. 老师通过归纳法证明一些数列或等式的性质，让学生从实例中了解归纳法的具体应用。

2. 学生逐步跟随老师的引导，尝试自己用归纳法解决一些简单的数学问题。

四、练习演绎（15分钟）1. 学生在小组或个人完成若干道数学归纳法证明的练习题目，加深对归纳法的理解和运用能力。

2. 学生互相交流、讨论和解答疑惑，提高学生的解决问题和合作能力。

五、课堂总结（5分钟）1. 教师对今天的学习内容进行总结，并强调数学归纳法的重要性和实用性。

2. 学生对自己在课堂上的学习和掌握情况进行自我评价。

六、课后作业（5分钟）布置适量的作业，让学生复习梳理今天所学的知识，并提醒学生勤加练习和思考。

教学反思：通过本次教学，学生对数学归纳法的原理和应用有了更深刻的理解，增强了解决数学问题的信心和能力。

在未来的课堂教学中，教师可以增加更多的实例和练习，让学生进一步熟练掌握数学归纳法的运用方法和技巧。