高三数学(理)“大题精练”专题

高中数学满分精练 专练33 高考大题专练(三) 数列的综合运用1．[2022·全国甲卷(理)，17]记S n 为数列{a n }的前n 项和．已知2S n n＋n ＝2a n ＋1. (1)证明：{a n }是等差数列；(2)若a 4，a 7，a 9成等比数列，求S n 的最小值．2．[2023·新课标Ⅰ卷]设等差数列{a n }的公差为d ，且d >1.令b n ＝n 2＋n a n，记S n ，T n 分别为数列{a n }，{b n }的前n 项和．(1)若3a 2＝3a 1＋a 3，S 3＋T 3＝21，求{a n }的通项公式；(2)若{b n }为等差数列，且S 99－T 99＝99，求d .3.[2021·新高考Ⅰ卷]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n 为奇数，a n＋2，n 为偶数． (1)记b n ＝a 2n ，写出b 1，b 2，并求数列{b n }的通项公式；(2)求{a n }的前20项和．4．[2022·新高考Ⅰ卷]记S n 为数列{}a n 的前n 项和，已知a 1＝1，⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n 是公差为13 的等差数列．(1)求{}a n 的通项公式；(2)证明：1a 1 ＋1a 2 ＋…＋1a n<2.5.[2023·全国甲卷(理)]记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝1，2S n ＝na n .(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列{a n ＋12n }的前n 项和T n .6．记S n 为数列{a n }的前n 项和，b n 为数列{S n }的前n 项积，已知2S n ＋1b n＝2. (1)证明：数列{b n }是等差数列；(2)求{a n }的通项公式．7．[2023·新课标Ⅱ卷]已知{a n }为等差数列，b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n －6，n 为奇数2a n ，n 为偶数 .记S n ，T n 分别为数列{a n }，{b n }的前n 项和，S 4＝32，T 3＝16.(1)求{a n }的通项公式；(2)证明：当n >5时，T n >S n .8．设{a n }是首项为1的等比数列，数列{b n }满足b n ＝na n 3.已知a 1，3a 2，9a 3成等差数列．(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)记S n 和T n 分别为{a n }和{b n }的前n 项和．证明：T n <S n 2。

2021届高三数学（理）“大题精练”517．（12分）已知*N n ∈,数列{}n a 、{}n b 满足:11n n a a +=+,112n n n b b a +=+,记24n n n c a b =-.（1）若11a =，10b =，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）证明：数列{}n c 是等差数列；（3）定义2()n n n f x x a x b =++，在（1）的条件下，是否存在n ，使得()n f x 有两个整数零点，如果存在，求出n 满足的集合，如果不存在，说明理由.18．（12分）如图，在四面体A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥.2AD =，BD =.M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =.（1）证明：PQ AD ⊥；（2）若二面角C BM D --的大小为60°，求BDC ∠的大小.19．（12分）某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验．现有n （n *∈N 且2n ≥）份产品，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将这n 份产品混合在一起作为一组来检验．若检测通过，则这n 份产品全部为正品，因而这n 份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为了明确这n份产品究竟哪几份是次品，就要对这n 份产品逐份检验，此时这n 份产品的检验次数总共为1n +次．假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为(01)p p <<．（1）如果4n =，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率； （2）现对n 份产品进行检验，运用统计概率相关知识回答：当n 和p 满足什么关系时，用混合检验方式进行检验可以减少检验次数？（3）①当2n k =（k *∈N 且2k ≥）时，将这n 份产品均分为两组，每组采用混合检验方式进行检验，求检验总次数ξ的数学期望；②当n mk =（,k m N *∈，且2k ≥，2m ≥）时，将这n 份产品均分为m 组，每组采用混合检验方式进行检验，写出检验总次数ξ的数学期望（不需证明）．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F M 为椭圆上一动点，当12MF F ∆的面积最大时，其内切圆半径为3b，设过点2F 的直线l 被椭圆C 截得线段RS ,当l x ⊥轴时，3RS =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 为椭圆C 的左顶点，,P Q 是椭圆上异于左、右顶点的两点，设直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k ，若1214k k =-，试问直线PQ 是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.21．（12分）已知函数()()1,ln 1xx e f x g x x x +==-. （1）当1x >时，不等式()f x m >成立，求整数m 的最大值；（参考数据：ln20.693,ln3 1.099≈≈）；（2）证明：当1x >时，()()f x g x <.22．（10分）在极坐标系中，已知圆C 的圆心C )4π，且圆C 经过点(1)2P π+.（1）求圆C 的普通方程； （2）已知直线l 的参数方程为{2cos 2sin x t y t αα=+=+（t 为参数），0,4⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭πα，点(2,2)M ，直线l 交圆C 于,A B 两点，求||||MA MB +的取值范围.2020届高三数学（理）“大题精练”517．（12分）已知*N n ∈,数列{}n a 、{}n b 满足:11n n a a +=+,112n n n b b a +=+,记24n n n c a b =-.（1）若11a =，10b =，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）证明：数列{}n c 是等差数列；（3）定义2()n n n f x x a x b =++，在（1）的条件下，是否存在n ，使得()n f x 有两个整数零点，如果存在，求出n 满足的集合，如果不存在，说明理由. 解：（1）()11n a n n =+-=，1122n n n n nb b a b +=+=+，∴由累加法得121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋅⋅⋅+-1(1)0[12(2)(1)]24n n n n -=+++⋅⋅⋅+-+-=.（2）221114(4)n n n n n n c c a b a b +++-=---221(1)4()(4)12n n n n n a a b a b =+-+--=∴{}n c 是公差为1的等差数列.(3)由（1）（2）得24n n n c a b n =-=，函数的零点为2n x -==，要想为整数，则n 必为完全平方数，不妨设2(N )n m m =∈*，此时()2122m m m m x -±-±==， 又因为1m m ±与是连续的两个整数∴ (1)m m -±能被2整除，即函数的零点()2122m m m m x -±-±==为整数， ∴所求n 的集合为{}2|,N n n m m =∈*.18．（12分）如图，在四面体A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥.2AD =，BD =.M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =.（1）证明：PQ AD ⊥；（2）若二面角C BM D --的大小为60°，求BDC ∠的大小.解：（1）证明：如图，取BD 的中点O ，以O 为原点，OD ，OP 所在射线y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系xyz .由题意知(0,A B D 设点C 的坐标为()00,,0x y ， 因为3AQ QC =，所以00331,,4442Q x y ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭因为点M 为AD的中点，故M 又点P 为BM 的中点，故10,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以0033,,0444PQ x y ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，(0,0,2),0DA DA PQ =⋅=所以DA PQ ⊥.（2）解：设()m x y z =，，为平面BMC 的一个法向量由()00,1CM x y =--，BM =知)000x x y y z z ⎧-++=⎪⎨⎪+=⎩ 取1y =-，得00y m x ⎛+=- ⎝.又平面BDM 的一个法向量为(1,0,0)n =，于是|||1|cos ,|||||2m n m n m n ⋅<>===即2003y x ⎛+= ⎝⎭.①又BC CD ⊥，所以0CB CD ⋅=，故()()0000,,0,00x y x y --⋅-= 即22002x y +=.②联立①②，解得000x y =⎧⎪⎨=⎪⎩002x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.所以tan |BDC ∠==.又BDC ∠是锐角，所以60BDC ∠=︒.19．（12分）某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验．现有n （n *∈N 且2n ≥）份产品，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将这n 份产品混合在一起作为一组来检验．若检测通过，则这n 份产品全部为正品，因而这n 份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为了明确这n份产品究竟哪几份是次品，就要对这n 份产品逐份检验，此时这n 份产品的检验次数总共为1n +次．假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为(01)p p <<．（1）如果4n =，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率； （2）现对n 份产品进行检验，运用统计概率相关知识回答：当n 和p 满足什么关系时，用混合检验方式进行检验可以减少检验次数？（3）①当2n k =（k *∈N 且2k ≥）时，将这n 份产品均分为两组，每组采用混合检验方式进行检验，求检验总次数ξ的数学期望；②当n mk =（,k m N *∈，且2k ≥，2m ≥）时，将这n 份产品均分为m 组，每组采用混合检验方式进行检验，写出检验总次数ξ的数学期望（不需证明）． 解：（1）如果4n =,采用逐份检验方式,设检测结果恰有两份次品的概率为222224(1)6(1)C p p p p -=-∴检测结果恰有两份次品的概率226(1)p p -．（2）记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为1ξ,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为2ξ,由已知得1E n ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1n +()()211k P p ξ∴==-,()()2111nP n p ξ=+=--∴()()21(1)11n n E p n p ξ⎡⎤=-++--⎣⎦=()11n n n p +--要减少检验次数,则1E ξ>2E ξ,则1(1)nn n n p >+--∴(1)1nn p ->,1(1)np n ->,即111()n p n<-,（3）①两组采用混合检验的检验次数分别为1ξ,2ξ,则由（2）知11,1k ξ=+,21,1k ξ=+,()12()()11k E E k k p ξξ==+--,12ξξξ=+()1212()()()()2221kE E E E k k p ξξξξξ=+=+=+--②设这m 组采用混合检验的检验次数分别为1ξ,2ξ,,m ξ,11,1k ξ=+,21,1k ξ=+,,1,1m k ξ=+,且检验总次数12m ξξξξ=+++,()()11,1,2,,ki P p i m ξ∴==-=,()()111,1,2,,ki P k p i m ξ=+=--=()()11,1,2,ki E k k p i m ξ∴=+--=()121()()()()(1)1kk k E E E E m k mk p ξξξξξξ∴=+++=++=+--,所以检验总次数ξ的数学期望()(1)1km k mk p +--．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F M 为椭圆上一动点，当12MF F ∆的面积最大时，其内切圆半径为3b，设过点2F 的直线l 被椭圆C 截得线段RS ,当l x ⊥轴时，3RS =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 为椭圆C 的左顶点，,P Q 是椭圆上异于左、右顶点的两点，设直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k ，若1214k k =-，试问直线PQ 是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.解：（1）由题意及三角形内切圆的性质可得112(22)223b c b a c ⋅⋅=+⋅，得12c a =① 将x c =代入22221x y a b+=，结合222a b c =+②，得2b y a =±，所以223b a =③，由①②③得2,a b ==故椭圆C 的标准方程为22143x y +=（2）设点,P Q 的坐标分别为11,x y （），22,x y （）. ①当直线PQ 的斜率不存在时，由题意得331122P Q -（，），（，）或331122P Q -（，），（，），直线PQ 的方程为1x =②当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y kx m =+，联立得22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得2224384120k x kmx m +++-=（）， 由222222644(43)(412)48(43)0k m k m k m ∆=-+-=-+>，得2243k m +>21212228412,.(1)4343km m x x x x k k -+=-=++） 由1212121,(2)(2)4y y k k x x ==-++可得12124(2)(2)0y y x x +++=，得12124()()(2)(2)0kx m kx m x x +++++=，整理得221212(41)(42)()440,(2)k x x km x x m ++++++=由（1）和（2）得2220m km k --=，解得2m k =或m k =-当2m k =时，直线PQ 的方程为2y kx k =+，过定点(2,0)-，不合题意； 当m k =-时，直线PQ 的方程为y kx k =-，过定点(1,0)， 综上直线PQ 过定点，定点坐标为(1,0).21．（12分）已知函数()()1,ln 1xx e f x g x x x +==-. （1）当1x >时，不等式()f x m >成立，求整数m 的最大值；（参考数据：ln20.693,ln3 1.099≈≈）；（2）证明：当1x >时，()()f x g x <.解：（1）当1x >时,()21ln 1ln x x f x x--'=,令()1ln 1F x x x =--,则()2110F x x x'=+>,因此()F x 在()1,+∞上为增函数, 又()()453ln 30,4ln 4034F F =-<=->, ∴()03,4x ∃∈使得()()000F x f x '==,即001ln 1x x =+, 当01x x <<时,()0f x '<,()f x 为减函数；当0x x >时,()0f x '>,()f x 为增函数；∴()()()0000min 00113,41ln 1x x f x f x x x x ++====∈+,所以整数m 的最大值为3 （2）法一：要证()()f x g x <,即证21ln 0xx x e-->, 令()21ln x x h x x e -=-,则()2321212x x xx x e x x xh x x e xe-++--'=-=, 令()322xx e x x x ϕ=+--,则()2341xx e x x ϕ'=+--,()()64,6x x x e x x e ϕϕ'''''=+-=+,∵()0x ϕ'''>,∴()x ϕ''在()1,+∞上为增函数,又()12e ϕ''=-,∴()0x ϕ''>, ∴()x ϕ'在()1,+∞上为增函数,又()12e ϕ'=-,∴()0x ϕ'>,∴()x ϕ在()1,+∞上为增函数,又()12e ϕ=-,∴()0x ϕ>,即()0h x '>, ∴()h x 在()1,+∞上为增函数,∴()()10h x h >=,故()()f x g x <. 22．（10分）在极坐标系中，已知圆C 的圆心C )4π，且圆C经过点(1)2P π+.（1）求圆C 的普通方程； （2）已知直线l 的参数方程为{2cos 2sin x t y t αα=+=+（t 为参数），0,4⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭πα，点(2,2)M ，直线l 交圆C 于,A B 两点，求||||MA MB +的取值范围.解：（1）∵ 4C π⎫⎪⎭的直角坐标为()1,1， 12P π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的直角坐标为(0,1+，∴ 圆C 的半径为PC = 圆C 的直角坐标方程为22(1)(1)3x y -+-=.（2）将2cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入圆C 的直角坐标方程22(1)(1)3x y -+-=，得()()221cos 1sin 3t t αα+++=，即()2210t t cos sin αα++-=，∴ ()12122,1t t cos sin t t αα+=-⋅+=-，∴ 12||MA MB AB t t +====-∵0,4⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭πα，∴ 20,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，∴ ||||MA MB ≤+<即弦长MA MB +的取值范围是⎡⎣.。

导数计算1．求下列函数的导数：(1)cos sin cos xy x x -=；(2)221e x y x +=.【答案】(1)()21sin cos x x --；(2)()222141exx ++【详解】（1）()()()()22sin sin cos cos sin cos 1sin cos sin cos x x x x x xy x x x x ---+'==---；（2）()()22221221221e 21e 41e xx x y x x x +++''=++=+.2．求下列函数的导数．(1)()()221f x x =-+；(2)()()ln 41f x x =-；(3)()322x f x +=；(4)()f x =；【答案】(1)84x -(2)441x -(3)3232ln2x +⨯【详解】（1）因为()()2221441f x x x x =-+=-+，所以()84f x x '=-.（2）因为()()ln 41f x x =-，所以()441f x x '=-.（3）因为()322x f x +=，所以()3232ln2x f x +'=⨯（4）因为()f x =，所以()f x '==3．求下列函数的导数：(1)32235y x x =-+；(2)241y x x =++；(3)2log y x =；(4)e n xy x =；(5)31sin x y x-=；(6)sin sin cos xy x x=+．【答案】(1)266x x -(2)()22241x x ----+(3)1ln 2x (4)()1e n xx n x -+(5)()2323sin 1cos sin x x x x x--(6)11sin 2x+【详解】（1）()()32223566y x x x x ''''=-+=-.（2）()()()22242411y x x x x ''--'=+=+++()22241x x --=--+.（3）()21log ln 2y x x ''==.（4）()()()11e e e e e n x n x n x n x n x y x x nx x x n x --'''=+=+=+.（5）()()()()33321sin 1sin 1sin sin x x x x x y x x '''---⎛⎫-'== ⎪⎝⎭()2323sin 1cos sin x x x x x --=.（6）()sin sin cos x y x x ''=+()()()()2sin sin cos sin sin cos sin cos x x x x x x x x ''+-+=+()()()2cos sin cos sin cos sin sin cos x x x x x x x x +--=+()2111sin 2sin cos x x x ==++．4．求下列函数的导数：（1）1)1y ⎫=+-⎪⎭；（2）3ln (0,1)x y x a a a =+>≠；（3）sin 2cos 222y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）2ln(23)1x y x +=+.【答案】（1）11y x ⎫'=+⎪⎭；（2）3ln (0xy a a a x '=+>且1)a ≠；（3）1sin 42cos 42y x x x --'=；（4）y '()()222212(23)ln(23)(23)1x x x x x x +-++=++【详解】（1）1)11y ⎫==-=⎪⎭，11y x '⎛⎫'∴===+⎪⎭⎝.（2）()'33ln ln (0,1)xxy x aa a a a x=+=+>≠'.（3）11sin 2cos 2sin(4)sin 42222y x x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，111sin 44cos 4sin 42cos 4222x x x x x x y '∴=--⋅=--.（4）()()()2222[ln(23)]1ln(23)11x x x x y x ''++-++'=+()()222(23)12ln(23)231x x x x x x '+⋅+-++=+()()222212(23)ln(23)(23)1x x x x x x +-++=++.5．求下列函数的导数：（1）23cos =+y x x ；（2）()1ln =+y x x ；（3）sin cos 22x y xx =-；【答案】（1）6sin =-'y x x ；（2）1ln +='+x y x x ；（3）11cos 2y x '=-.【详解】（1）因为23cos =+y x x ，所以6sin =-'y x x ；（2）因为()1ln =+y x x ，所以1ln +='+x y x x；（3）因为1sin cos sin 222y x x x x x =-=-，所以11cos 2y x '=-；6．求下列函数的导数．（1）22y x x -=+；（2）2ln 1xy x =+【答案】（1）322y x x -=-'；（2）()()22112ln 1x x xy x-+'=+【详解】（1）322y x x -=-'；（2）()()()()()22222212ln ln 1ln 111x x xx x x x x y xx ⎛⎫+-'' ⎪+-+⎝⎭'==++()()()2222112ln 12ln 11x x x x x x x x x -+-+==++.7．求下列函数的导数：（1）2()(1sin )(1)f x x x =+-；（2）()31x xf x x =-+.【答案】（1）()2cos 12(1sin )x x x x --+；（2）213ln 3(1)x x -+.【详解】（1）22()(1sin )(1)(1sin )(1)f x x x x x '''=+-++-2cos (1)(1sin )(2)x x x x =-++-()2cos 12(1sin )x x x x =--+（2）()((3)1x xf x x '''=-+2()(1)(1)3ln 3(1)x x x x x x ''+-+=-+213ln 3(1)x x =-+.8．求下列函数的导数：（1）22log (3);y x x =（2）cos(21).x y x+=【答案】（1）22log (3).ln 2x y x x '=+（2）()22sin 21cos(21).x x x y x -+-+'=【详解】(1)[]2222()log (3)log (3)y x x x x '''=+2232log (3)3ln 2x x xx =+22log (3)ln 2xx x =+.(2)[]2cos(21)cos(21)x x x x y x''+-+'=()22sin 21cos(21)x x x x -+-+=.9．求下列函数的导数：(1)111x y x x+=+-；(2)ln(21)y x x =+．【答案】(1)22221(1)x x y x x +-'=-(2)2ln(21)21xy x x '=+++．【详解】(1)2222(1)(1)(1)121(1)(1)x x y x x x x --+⨯-'=-=---22221(1)x x x x +-=-；(2)12ln(21)2ln(21)2121xy x x x x x '=++⋅⋅=++++．10．求下列函数的导数：(1)()ln 21x y x+=；(2)()ln 25y x =-；(3)sin 2cos 222y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭．【答案】(1)()()()2221ln 2121x x x y x x-++'=+(2)225y x '=-(3)1sin 42cos 42y x x x --'=【详解】（1）()()()()()2221ln21ln 21ln 21ln 2121x x x x x x x x x y x x x '+'⋅-+''+-+⎡⎤+⎡⎤⎣⎦+'===⎢⎥⎣⎦()()()()222ln 21221ln 212121xx x x x x x x x -+-+++==+．（2）令25u x =-，ln y u =，则()112ln 222525y u u u x x '''=⋅=⋅=⋅=--．（3）因为()11sin 2cos 2sin 4sin 42222y x x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()11111sin 4sin 4sin 44cos 4sin 42cos 422222y x x x x x x x x x x''⎛⎫⎛⎫=-+-=--⋅=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'．11．求下列函数的导函数．(1)324ln 1y x x x =+-+；(2)24cos 2xy x -=+；(3)21e sin +=x y x ．【答案】(1)21122x x x +-(2)()()2222sin 2cos 82x x x x x x ++-+(3)()212sin cos e x x x ++【详解】（1）'21122y x x x=+-；（2）()()()()()22'2222sin 224cos 2sin 2cos 822x x x x xx x x xy xx+--++-==++；（3）()'2121212e sin e cos 2sin cos e x x x y x x x x +++=+=+.12．求下列函数的导数.（1）(11y⎛=+ ⎝；（2）ln xy x=.【答案】（1）'y =，（2）'21ln x y x -=【详解】解：（1）因为(11221111y x x-⎛=+==- ⎝，所以31'22211111)22222x y x x x --+=--=-=-，（2）由ln x y x =，得'21ln x y x -=13．求下列函数的导数：(1)5log 2y x =；(2)8x y =；(3)cos 2y x =；(4)()432y x =．【答案】(1)1ln 5y x '=(2)8ln8x y '=(3)2sin 2y x '=-(4)1013323y x =【详解】（1）555log 2log 2log x x =+ 1ln 5y x '∴=（2）8ln8x y '=（3）令2,t x =则cos y t =()()()cos 2cos 2sin 22sin 2x t x y y t x t x t x''''''∴=⋅⇒=⋅=-⨯=-，故2sin 2y x '=-（4）()10444414313333334222233y x x y xx -'==⋅∴=⨯= 14．求下列函数的导数：（1）8y x =；（2）4x y =；（3）3log y x =；（4）sin(2y x π=+；（5）2e y =.【答案】（1）'78y x =；（2）'4ln 4x y =⋅；（3）'1ln 3y x =⋅；（4）'sin y x =-；（5）'0y =.【详解】（1）8y x =,'78y x =；（2）4x y =，'4ln 4x y =⋅；（3）3log y x =,'1ln 3y x =⋅；（4）sin()cos 2y x x π=+=，'sin y x =-；（5）2e y =，'0y =.15．求下列函数的导数.(1)12y x =；(2)41y x=；(3)3x y =；(4)ln y x =；(5)cos y x =.【答案】(1)1112y x '=(2)54y x'=-(3)3ln 3xy '=(4)1y x '=(5)sin y x '=-【详解】（1）()121112y x x ''==（2）()4545144y x x x x --'⎛⎫''===-=- ⎪⎝⎭（3）()ln 333x x y ''==（4）()1ln y x x''==（5）()cos sin y x x''==-16．求下列函数的导函数(1)4235+6y x x x =--；(2)21y x x=+；(3)2cos y x x =；(4)tan y x =【答案】(1)3465y x x =--'；(2)321y x '=-；(3)22cos sin y x x x x -'=；(4)21cos y x'=【详解】（1）由4235+6y x x x =--，则3465y x x =--'；（2）由21y x x =+，则321y x '=-；（3）由2cos y x x =，则22cos sin y x x x x -'=；（4）由sin tan cos x y x x ==，则2222cos sin 1cos cos x x y x x+'==.17．求下列函数的导函数.（1）()3224f x x x =-+；（2）()32113f x x x ax =-++（3）()cos ,(0,1)f x x x x =+∈；（4）2()3ln f x x x x =-+-（5）sin y x =；（6）11x y x +=-【答案】(1)2()68f x x x =-+(2)2()2f x x x a'=-+(3)()sin 1f x x '=-+(4)1()23f x x x'=--+(5)cos y x '=(6)22(1)y x '=--【详解】解：（1）由()3224f x x x =-+，则()'268f x x x =-+；（2）由()32113f x x x ax =-++，则()'22f x x x a =-+；（3）由()cos ,(0,1)f x x x x =+∈，则()1sin ,(0,1)f x x x =-∈；（4）由2()3ln f x x x x =-+-，则'1()23f x x x=-+-；（5）由sin y x =，则'cos y x =；（6）由11x y x +=-，则'''22(1)(1)(1)(1)2(1)(1)x x x x y x x +⨯--+⨯-==---.18．求下列函数的导数：（1）221()(31)y x x =-+；（2）cos x y e x =；【答案】（1）y ′＝18x 2＋4x －3；（2）y ′＝ex (cos x －sin x ).【详解】（1）2222(21)(31)(21)(31)4(31)3(21)1843y x x x x x x x x x '''=-++-+=++-=+-，（2）()cos (cos )cos sin (cos sin )x x x x x y e x e x e x e x e x x '''=+=-=-.19．求下列函数在指定点处的导数．(1)()πf x x =，1x =；(2)()sin f x x =，π2x =．【答案】(1)π(2)0【详解】(1)解：因为()πf x x =，所以()1f x x ππ-'=，所以()1f π'=.(2)解：因为()sin f x x =，所以()cos f x x '=，所以cos 022f ππ⎛⎫'== ⎪⎝⎭.20．求下列函数的导数.(1)12y x =；(2)41y x=；(3)3x y =；(4)5log y x =.【答案】(1)1112y x '=(2)54y x '=-(3)3ln3xy '=(4)1=ln5y x '【详解】（1）12y x =，则1112y x '=（2）441y x x -==，则41544y x x --'-==-（3）3x y =，则3ln3x y '=（4）5log y x =，则1=ln 5y x '21．求下列函数的导数：（1）23cos =+y x x ；（2）()1ln =+y x x ；【答案】（1）6sin =-'y x x ；（2）1ln 1y x x'=++【详解】解：（1）因为23cos =+y x x所以()()23cos 6sin y x x x x '''=+=-，即6sin =-'y x x（2）因为()1ln =+y x x所以()()()()111ln 1ln ln 1ln 1y x x x x x x x x x '''=+++=++⋅=++，即1ln 1y x x'=++22．求下列函数的导数.(1)()()22331y x x =+-；(2)1sin 1cos xy x-=+.【答案】(1)21849y x x '=-+(2)21cos sin (1cos )'--+=+x x y x 【详解】（1）解：因为326293y x x x =-+-，所以21849y x x '=-+（2）()()2cos (1cos )1sin sin (1cos )x x x x y x -+---=+'，21cos sin (1cos )x xx --+=+.23．求下列函数的导数.(1)()()ln sin f x x x x =+；(2)()()521exx f x +=.【答案】(1)()ln sin cos 1f x x x x x '=+++(2)()()()42192e xx x f x +-'=【详解】（1）()()()1ln sin ln sin ln sin cos f x x x x x x x x x x x x ⎛⎫'''=+++=+++ ⎪⎝⎭ln sin cos 1x x x x =+++.（2）()()()()()()454525e 212121e 102121e e x x x xx x x x x f x '++-++-+'==()()()()442110212192e ex xx x x x +--+-==.24．求下列函数的导数：(1)()2sin 2x f x x x=+(2)()()3e ln 24xf x x =+【答案】(1)()()()()222cos 2sin 222x x x x x f x x x +-+'=+(2)()()33e 3e ln 224xxf x x x =+++'【详解】（1）()2sin 2xf x x x=+，()()()()222cos 2sin 222x x x x x f x xx +-+'=+（2）()()3e ln 24xf x x =+，()()()3333e 3e ln 242242e 3e ln 24x xxxx f x x x x '=++++=++.25．求下列函数的导数：(1)()f x =(2)()cos 21x y x+=.【答案】(1)21x x +(2)()()22sin 21cos 21x x x x -+-+（2）求商的导数，[]2()()()()()()()f x f x g x f x g x g x g x '''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，由复合函数的的导数得[]cos(21)sin(21)(21)2sin(21)x x x x ''+=-++=-+ .【详解】（1）因为()f x =所以()()122'211221x x x f x x -+⋅===+'.（2）()()()'2cos 21cos 21x x x x f x x ⎡⎤+-+⎣⎦''=()22sin 21cos(21)x x x x -+-+=.26．求下列函数的导函数.(1)()()22331y x x =+-；(2)233x y x +=+.【答案】(1)21849x x -+(2)()222633x x x--++【详解】（1）()()22331y x x =+- ，()()()()()()2222233123314313231849y x x x x x x x x x '''∴=+-++-=-++=-+；（2）233x x y +=+ ，()()()()()()()()()2222222222333332363333x x x x x x x x x xxxy ''∴++-+++-+--+=='=+++.27．求下列函数的导数:(1)32234y x x =--；(2)ln xy x=.【答案】(1)266x x -(2)21ln x x -【详解】（1）322(2)(3)(4)66y x x x x ''''=--=-（2）()2221ln ln ln ()1ln x xx x x x x x y x x x ⋅-''⋅-⋅-'===28．求下列函数的导数：(1)31x x y e-=(2)ln(52)y x =+(3)cos(21)x y x +=【答案】(1)3231e x x x y -+'+=(2)552y x '=+(3)22sin(21)cos(21)x x x y x +++'=-【详解】（1）∵31xx y e-=，则()()()()()()''333232221e 1e 31e 31e e e x xxxx xx x xx x x y ----++-++==='，故3231e xx x y -+'+=.（2）设52u x =+，则ln ,52u y u u x ==+，则()()()()''''15ln 52552u y y u u x u x '==+=⨯=+，故552y x '=+.（3）∵cos(21)x y x+=，则[]()2222sin(21)cos(21)2sin(21)cos(cos(21)cos 2121)x x x x x x y x x x x x x x ''+⋅-+⋅⎡⎤⎣⎦'==-+-++++=-，故22sin(21)cos(21)x x x y x +++'=-.29．求下列函数的导数.(1)n 1l y x x =+;(2)sin cos 22x y x x =-；(3)cos ex xy =【答案】(1)211y x x '=-.(2)11cos 2y x '=-(3)sin cos e x x x y +'=-.【详解】（1）22111(ln )(y x x x x''=+=-；（2）由已知1sin 2y x x =-，所以11cos 2y x '=-；（3）22(cos )e cos (e )sin e cos e sin cos (e )e e x x x x x x xx x x x x xy ''--⋅-⋅+'===-．30．求下列函数的导数：(1)21y x x=+；(2)e sin x y x =；(3)()2ln 3=+y x x x ．【答案】(1)312y x -=-'(2)()e sin cos x y x x '=+(3)y '=()223ln 33x x x x ++++【详解】（1）解：()331212--=+-⋅=-'y x x（2）解：()()()e sin e sin e sin e cos e sin cos x x x x x y x x x x x x '''=+=+=+（3）解：()()()22223()ln 3ln 3ln 33+'⎡⎤'=+++=++'⎣⎦+x y x x x x x x x x x .31．()2ln 3=+y x x x ．【答案】y '=()223ln 33x x x x ++++【详解】()()22ln 3ln 3y x x x x x x '⎡⎤''=+++⎣⎦()()221ln 3233x x x x x x =++⋅⋅++()223ln 33x x x x +=+++.32．21y x x =+；【答案】312y x -=-'【详解】221y x x x x-=+=+，()2312y x x x --'''=+=-.33．求下列函数的导数(1)2(2)(31)y x x =-+；(2)2cos 2x y x=【答案】(1)2272411y x x '=--(2)y '222cos(2)2sin(2)(cos 2)x x x x x +=【详解】（1）因为2232(2)(31)(2)(961)912112y x x x x x x x x =-+=-++=---，所以()()()32291211272411y x x x x x ''''=--=--（2）222222()cos 2(cos 2)2cos 2(2sin 2)cos 2(cos 2)(cos 2)x x x x x x x x x y x x x '''⎛⎫---'=== ⎪⎝⎭222cos(2)2sin(2)(cos 2)x x x x x +=34．求下列函数的导数(1)()2112f x x x x=--；(2)()e ln sin x f x x x =++【答案】(1)()3221x x f x x -+'=；(2)()1e cos xf x x x '=++【详解】（1）解：因为()2112f x x x x =--，则()3222111x x f x x x x -+=-+='.（2）解：因为()e ln sin x f x x x =++，则()1e cos xf x x x'=++.35．求下列函数的导数.(1)ln(21)y x =+；(2)sin cos x y x=；(3)()2ln 1y x x =+；(4)1()23()()y x x x =+++.【答案】(1)221y x '=+；(2)21cos y x ='；(3)()2222ln 11x x xy +++'=；(4)231211y x x =++'.【详解】（1）函数ln(21)y x =+，所以()12212121y x x x '=⋅+=++'.（2）函数sin cos x y x =，所以()()''22222sin cos sin cos cos sin 1cos cos cos x x x x x x y x x x -+=='=.（3）函数2)ln(1y x x =+，所以22222212ln(1(1)())ln 111x x x x x x y x '++⋅⋅+=++++'=.（4）依题意，32123()()()6116y x x x x x x ==++++++，所以231211y x x =++'.36．求下列函数的导函数．(1)()4ln =+f x x x ；(2)()sin cos =-x f x x x；(3)()21e xf x -=．【答案】(1)31()4f x x x '=+；(2)()2cos sin sin x x xf x x x'-=+；(3)21()2e x f x '-=.【详解】（1）31()4f x x x '=+；（2）()2cos sin sin x x xf x x x'-=+.（3）2121(21()e )e 2x x x x f --'==⋅-'.37．求下列函数的导数.(1)y =(2)()()()123y x x x =+++；(3)y =【答案】(1)52322332sin cos 2x x x x x x y ---=-+-+'；(2)231211y x x =++'；(3)()221y x '=-【详解】（1） 13523222sin sin x x x x y x x x x -++==++∴()()3322sin y x x x x --'⎛⎫'''=++ ⎪⎝⎭52322332sin cos 2x x x x x x ---=-+-+.（2） ()()2323236116y x x x xx x =+++=+++，∴231211y x x =++'.（3）21y x===-∴()()()222122111y x x x '-'⨯-⎛⎫=== ⎪-⎝⎭--.38．求下列函数的导数：(1)()()311y x x =--；(2)sin 3y x =；(3)21ex x y +=．【答案】(1)32431y x x =--'；(2)3cos 3y x ='；(3)221e xx x y -+'=-【详解】（1）()()()()()()''3332321111131431y x x x x x x x x x =--+--=-+--'=-；（2）令3u x =，则sin y u =，所以()()''3sin 3cos 3cos3y x u u x =⋅=='；（3）()()()()()()''2222221e 1e 2e 1e 21e e e x xx xxx xxx x x x x y +-+-+-+=='=-．39．求下列函数的导数：(1)πsin tan 0,2y x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)()2ln 35y x =+．【答案】(1)21πcos 0,cos 2y x x x ⎛⎫'=+∈ ⎪⎝⎭；(2)()2223563535x x y x x '+'==++【详解】（1）πsin tan 0,2y x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()22cos cos sin sin sin 1πsin cos cos ,0,cos cos 2cos x x x x x y x x x x x x x '⋅-⋅-⎛⎫⎛⎫''=+=+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()2ln 35y x =+()2223563535x xy x x '+'==++40．求下列函数的导数：(1)21y x x =+；(2)()2ln 3=+y x x x ．【答案】(1)312y x -=-'(2)()223ln 33x x x x ++++【详解】（1）解：()331212--=+-⋅=-'y x x ；（2）()()()22223()ln 3ln 3ln 33+'⎡⎤'=+++=++'⎣⎦+x y x x x x x x x x x .41．求下列函数的导数．(1)()2ln 2xx f x x +=；(2)()()3ln 45f x x =+．【答案】(1)()312ln ln 222xx x x -+-；(2)1245x +【详解】（1）函数()2ln 2xx f x x +=的定义域为()0+∞，.所以()()()()()()22232ln 2ln 212ln ln 222xxxx x x x x x f x x x ''+-+-+-'==（2）函数()()()3ln 453ln 45f x x x =+=+的定义域为54⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，.所以()()'345124545x f x x x +==++'42．求下列函数的导数：(1)()2321cos y x x x =++；(2)2y =(3)18sin ln y x x x =+-；(4)32cos 3log xy x x x =-；(5)33sin 3log xy x x =-；(6)e cos tan x y x x =+．【答案】(1)()2(62)cos 321sin x x x x x +-++；(2)132291122x x --+；(3)17118cos x x x+-；(4)()332ln 2cos 2sin 3log 3log e x x x x x ---；(5)()313ln 3sin 3cos 3log e x x x x x +-⋅；(6)21e cos e sin cos x xx x x-+.【详解】（1）()()()22321cos 321cos y x x x x x x '''=+++++⋅()2(62)cos 321sin x x x x x =+-++.（2）3122235y x x x -==+-+，所以1222213331311222912y x x x x --'=⨯⋅+-⋅=-+.（3）17118cos y x x x'=+-.（4）()()()()332cos 2cos 3log log x x y x x x x x x'⎡⎤''''=+-+⎢⎥⎣⎦()332ln 2cos 2sin 3log 3log e x x x x x =---.（5）()()13sin 3sin 3ln 3x xy x x x '''=+-⋅()313ln 3sin 3cos 3log e x x x x x=+-⋅.（6）sin e cos tan e cos cos x xxy x x x x=+=+，故()()()()2sin cos cos sin e cos e cos cos x x x x x xy x x x''-'''=+⋅+21=e cos e sin cos x x x x x-+.43．求下列函数的导数：(1)2e axbxy -+=；(2)2sin(13)y x =-；(3)y(4)y =(5)2lg sin 2x y x ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；(6)221cos e x x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．【答案】(1)2(2)eax bxax b -+-+(2)6cos(13)x --(3)()()()231cos 2sin 22ln 213x x x x x --+⋅+⋅+(4)cos 2(1sin )x x +(5)22cos 122lg e 2sin 2x x x x x ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+⋅⋅ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭(6)22(1)1sin 2e e x x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【详解】（1）因为函数2e axbxy -+=可以看做函数e u y =和2u ax bx =-+的复合函数，根据复合函数求导公式可得，xu x y y u '''=⋅()()2e u ax bx ''=⋅-+()e 2u ax b =⨯-+2(2)e axbxax b -+=-+；（2）因为函数2sin(13)y x =-可以看做函数2sin y μ=和13u x =-的复合函数，根据复合函数求导公式可得，xu x y y u '''=⋅()()2sin 13x μ''=⋅-()2cos 3μ=⨯-6cos(13)x =--；（3）因为函数y =y =()cos 2xu x =+的复合函数，根据复合函数求导公式可得，xu x y y u '''=⋅，又因为函数()cos 2xu x =+可以看做函数cos t μ=和2x t x =+的复合函数，根据复合函数求导公式可得，xt x t μμ'''=⋅所以x u t xy y u t ''''=⋅⋅()()cos2xt x'''=⋅⋅+()()231sin2ln213xtμ-⎛⎫=⨯-⨯+⎪⎝⎭()()()231cos2sin22ln213x x xx x-⎡⎤=+-+⨯+⎣⎦()()()231cos2sin22ln213x x xx x-=-+⋅+⋅+；（4）函数y=()1ln1sin2y x=+因为函数()1ln1sin2y x=+可以看做函数1ln2yμ=和1sinu x=+的复合函数，根据复合函数求导公式可得，x u xy y u'''=⋅，所以x u xy y u'''=⋅()1ln1sin2xμ'⎛⎫'=⋅+⎪⎝⎭1cos2xμ⎛⎫=⨯⎪⎝⎭cos2(1sin)xx=+；（5）因为函数2lg sin2xy x⎡⎤⎛⎫=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦可以看做函数lgy u=和2sin2xu x⎛⎫=+⎪⎝⎭的复合函数，根据复合函数求导公式可得，x u xy y u'''=⋅，又因为函数2sin2xu x⎛⎫=+⎪⎝⎭可以看做函数sin tμ=和22xt x=+的复合函数，根据复合函数求导公式可得，x t xtμμ'''=⋅所以x u t xy y u t''''=⋅⋅()()2lg sin2xt xμ'⎛⎫''=⋅⋅+⎪⎝⎭()11cos2ln102t xμ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⎪⎪⎝⎭⎝⎭22cos122lg e2sin2x xxx x⎛⎫+⎪⎛⎫⎝⎭=+⋅⋅⎪⎛⎫⎝⎭+⎪⎝⎭；（6）函数221cos e x x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可化为211cos 2e 2x x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，因为函数2221cos e 2xx y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=可以看做函数1cos 2y μ+=和222e xx u +=的复合函数，根据复合函数求导公式可得，x u x y y u '''=⋅，所以xu x y y u '''=⋅21cos 222e xx μ''⎛⎫++⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()224e e 221sin 2e x x x x x μ⎡⎤-+⎢⎥=-⋅⎢⎥⎣⎦21242sin 2e x x x μ⎛⎫-+-=-⋅ ⎪⎝⎭22(1)1sin 2e e x x x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.44．求下列函数的导数.(1)()()1ln 2y x x =+；(2)21e x y x+=.【答案】(1)y '()1ln 21x x =++(2)212122e ex x x y x ++-='【详解】（1）()()()()()()()111ln 21ln 2ln 21ln 21y x x x x x x x x x'=+++=++⋅=++⎡⎤⎣'⎦'（2）()2121212122e e 2e e x x x x x x x y x x ++++'⋅-⋅-==''45．求下列函数的导数．(1)y =(2)()621e 1x y x -+=-【答案】(1)()241y x -'=-；(2)()()521e 182x y x x -+'=--【详解】（1）2211221x y x ++===-()()()()()22212212211x x x x x y x x '''+--+-+⎛⎫'== ⎪-⎝⎭-()()()()222122411x x x x --+-==--（2）()()()()666212121e 1e 1e 1x x x y x x x -+-+-+'''⎡⎤⎡⎤'=-=-+-⎣⎦⎣⎦()()()()6552121212e 1e 61e 182x x x x x x x -+-+-+=--+⋅-=--46．求下列函数的导数.(1)52234y x x =--；(2)e sin xy x=.【答案】(1)4106y x x '=-；(2)2e sin e cos sin x x x xy x-'=【详解】（1）()()()5252423423106y x x x x x x ''''-==--=-（2）()()2e sin sin e e sin sin x x xx x y x x '''-⎛⎫'== ⎪⎝⎭2e sin e cos sin x x x x x -47．求下列函数的导数：(1)2sin y x x =；(2)n 1l y x x=+；(3)tan y x x =⋅；(4)()()()123y x x x =+++；(5)()()22332y x x =+-；(6)cos e xxy =．【答案】(1)22sin cos y x x x x '=+(2)211y x x'=-(3)2tan cos x y x x '=+(4)231211y x x =++'(5)21889y x x '=-+(6)sin cos e xx xy +'=-【详解】（1）()()()2222sin sin sin 2sin cos y x x x x x x x x x x ''''==+=+；（2）()21111ln ln y x x x x x x''⎛⎫⎛⎫''=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）()()222sin cos sin tan tan tan tan tan cos cos x x x y x x x x x x x x x x x x '+⎛⎫'''=⋅=+=+⋅=+⋅ ⎪⎝⎭2tan cos x x x =+；（4）()()()()()()123123y x x x x x x '''=+++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()()123123123x x x x x x x x x '''=+++++++++++()()()()()()231312x x x x x x =++++++++231211x x =++.（5）()()()()()()2222233223324323231889y x x x x x x x x x '''=+-+++=-++=-+；（6）()2cos 1111sin cos cos cos sin cos e e e e e e e x x x x x x xx x x y x x x x ''+⎛⎫⎛⎫⎛⎫''==+=-⋅+⋅-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。

第20题解析几何高考考点命题分析三年高考探源 考查频率曲线的方程或轨迹方程高考全国卷每年必有一道解析几何解答题，在高考中解析几何一般运算量较大，该题通常有2问，第1问多为曲线方程的确定，第2问多为直线与圆锥曲线的位置关系的应用，考查热点是长度、面积及定点定值问题2021课标全国Ⅰ21 2021课标全国Ⅱ20 2020课标全国Ⅰ202020课标全国Ⅱ19 2019课标全国Ⅲ20 2019课标全国Ⅰ19 2019课标全国Ⅱ21★★★★★ 直线与圆锥曲线位置关系及应用（长度、面积、定点、定值）2021课标全国Ⅰ21 2021课标全国Ⅱ20 2020课标全国Ⅰ20 2020课标全国Ⅲ20 2019课标全国Ⅰ19 2019课标全国Ⅱ21 2019课标全国Ⅲ21★★★★★例题（2021高考全国I ）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值． 【答案】（1）2p =；（2）5解：（1）抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，42pFM =+，（2分）所以，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=，解得2p =；（4分）（2）抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，对该函数求导得2x y '=，（5分）设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ， 直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x x y y =-，即11220x x y y --=， 同理可知，直线PB 的方程为22220x x y y --=，由于点P 为这两条直线的公共点，则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=， 所以，直线AB 的方程为00220x x y y --=，联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得200240x x x y -+=， 由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，（8分） 所以，()()()222222001212000001414164422x x AB x x x x x y xx y ⎛⎫⎛⎫=++-=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（9分）点P 到直线AB 的距离为200244x y d x -=+（100分）所以，()()()2300222200002041114442224PABx y S AB d xx y x y x -=⋅=+-=-+△， ()()2222000000041441215621x y y y y y y -=-+-=---=-++，由已知可得053y -≤≤-，所以，当05y =-时，PAB △的面积取最大值321202052⨯=（12分）1．（2022届山西省吕梁市高三模拟）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 3(3,6为C 上一点，过点1F 且与y 轴不垂直的直线l 与C 交于A ，B 两点． (1)求C 的方程；(2)在平面内是否存在定点Q ，使得QA QB ⋅为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)221128x y +=(2)存在；8,03Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 (1)设C 的半焦距为()0c c >，由题意得222223361c a a b a b c⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2221284a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以C 的方程为221128x y +=．(2)假设存在定点(),Q s t ，使得QA QB ⋅为定值λ，设()11,A x y ，()22,B x y ． 由（1）知()2,0F -，因为l 不垂直于y 轴，故设l 的方程为2x my =-，联立，得2221128x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并化简，得()22238160m y my +--=．则()226464230m m ∆=++>，且122823m y y m +=+，1221623y y m =-+， ()()1111,2,QA x s y t my s y t =--=---，()()2222,2,QB x s y t my s y t =--=---，所以()()()()121222QA QB my s my s y t y t ⋅=----+--()()()()2221212122m y y m s t y y s t =+-++++++⎡⎤⎣⎦()()()222221618222323m m s t m s t m m λ+++⎡⎤⎣⎦=--+++=++． 所以()()()222222221616828223223m s m tm s t m s t m λλ⎡⎤⎡⎤---+-++++++=+⎣⎦⎣⎦， 所以()()2216822222s s t λ--++++=，80t -=，()22163233s t λ-+++=，所以83s =-，0=t ，449λ=-．所以存在8,03Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅为定值449-．2．（2022届河南省顶级名校高三4月联合考）己知抛物线1C 的方程是223y x =，圆2C 的方程是()2211x a y -++=，过抛物线1C 上的点()(),0>P a b b 作圆2C 的切线，两切线分别与抛物线1C 相交于与点P 不重合的()()()112212,,,>A x y B x y y y 两点． (1)求直线P A ，PB 的方程（直线PB 的方程用含b 的等式表示）； (2)若PA PB =，求实数2b 的值．【答案】(1)x a =，()242214370b x by b b ---+=(2)227+【解析】 (1)由题意可知，直线PB 的方程是x a =，根据条件可设直线PA 的方程是()y k x a b =-+，即0kx y ka b --+=， ∵直线PA 与圆()2211x a y -++=相切，∴()2111k a ka bk --+=+，∴212b k b-=，∴直线PA 的方程是2221130222b b b x y b b b ----⋅+=，即()242214370b x by b b ---+=.(2)若210b -=，则0k =，直线PA 与抛物线1C 没有两个交点，不合题意， 故210b -≠，∴直线PA 的方程可写成()4222237121b b b x y b b -=+--，将它代入223y x =并化简得()2242314370b y by b b ---+=，∴()()2224Δ(4)121730b b b b =---->①，()12431b y b b +=-，即()12431by b b =--， ∴()21112211114PA b y b by k k=+-=++-()()()()()2222222222221354164143119131b b b b b b b b b b b b ⎡⎤+-⎢⎥=+---⎢⎥---⎣⎦，∵2PB b =，∴()22222135231b b b b b +-=-，解得，22b =，或227b += 经检验，22b =与227b +=①，所以实数2b 的值是227+3．（2022届山西省高三第二次模拟）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>经过点()12,0A ，()24,0A ，(322,3A ，(422,3A -，53,3A 中的3个点.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知点M ，N 是双曲线C 上与其顶点不重合的两个动点，过点M ，N 的直线1l ，2l 都经过双曲线C 的右顶点，若直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，且121k k +=，判断直线MN 是否过定点，若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由【答案】(1)22143x y -=(2)直线MN 过定点，且定点坐标为()2,3【解析】 (1)由于34,A A 关于x 轴对称，所以34,A A 要么都在双曲线C 上，要么都不在双曲线C 上.点12,A A 不可能都在双曲线C 上，因为双曲线C 经过3个点，所以34,A A 都在双曲线C 上.将34,A A 的坐标代入22221x y a b-=得22831a b -=，由34,A A 都在双曲线C 上可知()24,0A 、53,3A 都不在双曲线C 上，所以点()12,0A 在双曲线C 上，故2a =， 结合22831a b -=可得3b = 所以双曲线C 的方程为22143x y -=.(2)设()()1122,,,M x y N x y ，其中12y y ≠，故可设直线MN 的方程为x my n =+，由22143x my nx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去x 并化简得()2223463120m y mny n -++-=，2340m -≠，21212226312,3434mn n y y y y m m -+=-⋅=--. 因为双曲线C 的右顶点为()12,0A ，且121k k +=， 所以121212122222y y y y x x my n my n +=+--+-+-12122212122(2)()(2)()(2)my y n y y m y y m n y y n +-+=+-++-22222222222226246123343413126122(2)3434mn m mn mnm m m m n m m n m n nn m m -----==----+---，所以32n m =-+，代入x my n =+得()32x m y =-+， 当3y =时，2x =， 所以直线MN 过定点()2,3.4．（2022届河北省九师联盟高三4月联考）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为()16,0F ，)26,0F ．且该双曲线过点(22,2P ．(1)求C 的方程；(2)如图．过双曲线左支内一点(),0T t 作两条互相垂直的直线分别与双曲线相交于点A ，B 和点C ，D ．当直线AB ，CD 均不平行于坐标轴时，直线AC ，BD 分别与直线x t =相交于P ．Q 两点，证明：P ，Q 两点关于x 轴对称． 【答案】(1)22142x y -=(2)证明见解析 【解析】 (1)解：由已知可得22226821a b a b ⎧+⎪⎨-=⎪⎩，解得224,2a b ==， 所以双曲线C 的方程为22142x y -=； (2)证明：由题意，设直线AB 的方程为x my t =+，直线CD 的方程为1x y t m=-+，点 ()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，由22142x y x my t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，得 ()2222240m y mty t -++-=，则()()22222(2)424168320mt m t m t ∆=---=+->，得2224m t +>，所以212122224,22mt t y y y y m m --+==--， 同理可得()2234342242,1212t m mt y y y y m m-+==--，其中,m t 满足2224t m +>， 直线AC 的方程为()133111y y y y x x x x --=--，令x t =，得()131113y yy t x y x x -=-+-, 又11331,x my t x y t m =+=-+，所以()2121331m y y y m y y +=+，即()2132131,m y y P t m y y ⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭， 同理可得()2242241,m y y Q t m y y ⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭， 因为()()()()()()()2222123412341324222213241324111m m y y y y y y y y my y my y m y y m y y my y m y y ⎡⎤++++++⎣⎦+=++++()()()()()222222222221324442212122120m t t m mt mt m m m m m m y y m y y ⎡⎤---+⋅+⋅⎢⎥----⎢⎥⎣⎦==++， 所以,P Q 两点关于x 轴对称.5．（2022届天津市第七中学高三阶段检测）已知曲线C 上动点M 与定点()2,0F 的距离和它到定直线1:22l x =-22，若过()0,1P 的动直线l 与曲线C 相交于,A B 两点．(1)说明曲线C 的形状，并写出其标准方程； (2)是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)曲线C 为椭圆，标准方程为：22142x y +=，(2)存在定点()0,2Q ，使得QA PA QB PB =恒成立. 【解析】 (1) 设(),M x y ()2222222x y x ++=+，整理可得：22142x y +=， ∴曲线C 为椭圆，标准方程为：22142x y +=.(2)①当直线l 与y 轴垂直时，即:1l y =，由椭圆对称性可知：PA PB =，QA QB ∴=，∴点Q 在y 轴上；②当直线l 与x 轴垂直时，即:0l x =，则(2A ，(0,2B -， 若存在定点Q ，则由①知：点Q 在y 轴上，可设()()0,1Q t t ≠，由QA PA QB PB =221212t t --=++1t =（舍）或2t =，()0,2Q ∴； 则若存在定点Q 满足题意，则Q 点坐标必然是()0,2，只需证明当直线l 斜率存在时，对于()0,2Q ，都有QA PAQB PB=成立即可. 设:1l y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()2212420k x kx ++-=，其中23280k ∆=+>恒成立，122122412212k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+∴⎨⎪=-⎪+⎩，121212112x x k x x x x +∴+==，设点B 关于y 轴的对称点为B '，则()22,B x y '-， 11111211QA y kx k k x x x --===-，22222211QB y kx k k x x x '--===-+--， 12112220QA QB k k k k k x x '⎛⎫∴-=-+=-= ⎪⎝⎭，即,,Q A B '三点共线，12QA QA x PAQB QB x PB∴==='； 综上所述：存在定点()0,2Q ，使得QA PAQB PB=恒成立. 6．（2022届浙江省嘉兴市高三4月二模）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，椭圆1C 上的点31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭到两焦点1F ，2F 的距离之和为4.(1)求椭圆1C 的标准方程；(2)若抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点F 与椭圆1C 的右焦点2F 重合，过点(,0)(0)P m m >作直线1l 交抛物线2C 于点M ，N ，直线MF 交抛物线2C 于点Q ，以Q 为切点作抛物线2C 的切线2l ，且21l //l ，求MNQ △面积S 的最小值.【答案】(1)22143x y +=；(2)16.【解析】 (1)因为椭圆1C 上的点31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭到两焦点1F ，2F 的距离之和为4，所以有24a =，即2a =，将点31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入椭圆1C 的方程22214x yb+=，得219144b+=，从而23b =， 所以椭圆1C 的标准方程为22143x y +=； (2)由（1）知椭圆的右焦点为(1,0)，因为抛物线2C 的焦点与椭圆1C 的右焦点重合，所以12p=，即2p =，从而抛物线2C 的方程为24y x =.设()11,M x y ，()22,N x y ，设直线MN 为：(0)x ty m t =+≠，联立24x ty my x =+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y ty m --=，所以121244y y t y y m +=⎧⎨=-⎩①， 直线2114:14y MF x y y -=+与抛物线22:4C y x =联立，消去x 得 2211440y y y y ---=，所以得Q 点的纵坐标为14y -，所以21144,Q y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为21l //l ，所以直线2l 为：21144t x ty y y =++与抛物线22:4C y x =联立，消去x 得2211161640t y ty y y ---=，故2221114240t t t y y y ⎛⎫∆=++=+= ⎪⎝⎭，得12y t =-，代入①式可以得224y t t =+，122244y y t m t t ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，即212m t=+，又有()2,2Q t t ，直线MN 为212(0)x ty t t =++≠，得2221||12MN t t t =+++222121Q MN d t t t -⎫=++⎪⎭+所以33222222112222216MNQ S t t t t ⎛⎫⎛⎫=++≥⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭△， 当且仅当1t =±时取到最小值.7．（2022届山西省吕梁市高三第二次模拟）已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>6(6,1)P ． (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，直线OA 的斜率为1k ，直线OB 的斜率为2k ，且1213k k =-，求OA OB ⋅的取值范围．【答案】(1)22193x y +=；(2)[3,0)(0,3]-.【解析】 (1)由题意，226611c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，又222a b c =+，解得3,3a b ==所以椭圆C 为22193x y +=. (2)设()()1122,,,A x y B x y ，若直线l 的斜率存在，设l 为y kx t =+，联立22193y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()222136390+++-=k x ktx t ，22Δ390k t =+->，则12221226133913kt x x k t x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，又12k k =121213y y x x =-， 故121213=-y y x x 且120x x ≠，即2390-≠t ，则23≠t ，又1122,y kx t y kx t =+=+，所以()()()222222222121212221212122691133939313-+++++-+==+=+==---+k t t kx t kx t kt x x t y y t k k k k t x x x x x x t k ， 整理得222933=+≥t k ，则232≥t 且Δ0>恒成立． 221212121212222122393333133313--⎛⎫⋅=+=-==⋅=⋅=- ⎪+⎝⎭t t OA OB x x y y x x x x x x k t t ， 又232≥t ，且23≠t ，故2331[3,0)(0,3)⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭t . 当直线l 的斜率不存在时，2121,x x y y ==-，又12k k =212113-=-y x ，又2211193x y +=，解得2192x =，则222111233⋅=-==OA OB x y x ． 综上，OA OB ⋅的取值范围为[3,0)(0,3]-．8．（2022届浙江省温州市高三3月适应性测试）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>离心率为662⎝⎭；圆()()2223:4C x m y n -+-=的圆心为M ，M 是椭圆上1C 上的点，过O 作圆2C 两条斜率存在的切线，交椭圆1C 于A ，B ．(1)求椭圆1C 方程；(2)记d OA OB =+，求d 的最大值． 【答案】(1)2213x y +=(2)22【解析】 (1)依题意22222226216a b a b c c a ⎧⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎪⎪⎩，解得3,1,2a b c ==所以椭圆1C 的方程为2213x y +=.(2)设过原点的圆()()2223:4C x m y n -+-=的切线方程为y kx =，即0kx y ， 231km n k -=+()222348340m k mnk n -++-=， 其两根12,k k 满足21223434n k k m -=-，设12,OA OB k k k k ==，(),M m n 是椭圆1C 上的点，所以22221,133m m n n +==-. 2221222243341334133434343m m n k k m m m ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭====----. 设()()1122,,,A x kx B x kx ，则2211221,1OA k x OB k x +=+，且2222221211221,133x x k x k x +=+=，2212221233,1313x x k k ==++ 所以()()222222112211OA OB k x k x +=+++()222222222222222222121122112211221122333362x x k x k x k x k x k x k x k x k x =+++=-+-++=-+ 2212221233621313k k k k ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭()()()()222212212212313313621313k k k k k k +++=-⨯++ 2222221212122222221212123318332626262=41339233k k k k k k k k k k k k ++++=-⨯=-⨯=-+++++. 所以由基本不等式得()22222d OA OB OA OB =+≤+=，当且仅当OA OB =时等号成立. 所以d 的最大值为229．（2022届云南省高三第二次统一检测）已知曲线C ()22110x y x -++=，点D 的坐标为()1,0，点P 的坐标为()1,2．(1)设E 是曲线C 上的点，且E 到D 的距离等于4，求E 的坐标；(2)设A ，B 是曲线C 上横坐标不等于1的两个不同的动点，直线P A ，PB 与y 轴分别交于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线经过点P ．证明：直线AB 的斜率为定值． 【答案】(1)(3,23或(3,23-(2)证明见解析 【解析】 (1)∵曲线C ()22110x y x -++=，移项平方得()()22211x y x -+=+，化简得24y x =， ∴曲线C 的方程为24y x =．∴()1,0D 为抛物线24y x =的焦点，直线1x =-为抛物线24y x =的准线． 设()00,E x y ，则01ED x =+． ∵4ED =，∴014x +=，解得03x =．∴20412y x ==，解得023y =± ∴E 的坐标为(3,23或(3,23-．(2)∵()1,2P ，曲线C 的方程为24y x =，2241=⨯， ∴点()1,2P 在曲线C 上．∵A 、B 是曲线C 上横坐标不等于1的两个不同的动点，直线P A 、PB 与y 轴分别交于点M 、N ，∴直线P A 、PB 的斜率都存在，且都不为0，分别设为k 、1k ，则10kk ≠，直线P A 的方程为()21y k x -=-，即2y kx k =+-．当0x =时，2y k =-，即()0,2M k -． 同理可得()10,2N k -．∵线段MN 的垂直平分线经过点P ， ∴12222k k -+-=，即1k k =-．由224y kx k y x=+-⎧⎨=⎩，得：()2222222440k x k k x k k --++-+=． 设()11,A x y ，则1，1x 是()2222222440k x k k x k k --++-+=的解．由韦达定理得：2112441k k x x k -+=⋅=．∴21244422k k y k k k k-+=⨯+-=-．∴22444,2k k A k k ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭． 同理可得22444,2k k B k k ⎛⎫++- ⎪-⎝⎭． ∴2222442214444ABk k k k k k k k k ---+==-++-+-． ∴直线AB 的斜率为定值．10．（2022届河南省五市高三第二次联合调研）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的上顶点和两焦点构成的三角形为等腰直角三角形，且面积为2，点M 为椭圆C 的右顶点. (1)求椭圆C 的方程；(2)若经过点(,0)P t 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，实数t 取何值时以AB 为直径的圆恒过点M ？【答案】(1)22142x y +=，(2)23t = 【解析】 (1)由题意知：2b cbc =⎧⎨=⎩解得：2b c ==2a =，所以椭圆C 的方程为22142x y +=. (2)由（1）知：(2,0)M ，若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x t =（22t -<<）， 此时222t A t ⎛- ⎝，2,22t B t ⎛-⎝， 由0MA MB ⋅=得2222,2022t t t t ⎛⎛--⋅---= ⎝⎝， 解得23t =或2t =（舍），即23t =. 若直线l 的斜率存在，不妨设直线l ：()y k x t =-，11(,)A x y ，22(,)B x y 联立()22142y k x t x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()()22222124240k x k ty k t +-+-=.所以，2122412k tx x k +=+，221222412k t x x k -=+.由题意知：0MA MB ⋅=，即1122(2,)(2,)0x y x y -⋅-=， 易得()()()()222212121240kx x k t x x k t +-++++=，()()()()()22222222124244120k k tk t k t k t k +--++++=（），整理得，()223840k t t -+=，因为k 不恒为0故解得23t =或2t =（舍）， 综上，23t =时以AB 为直径的圆恒过点M . 11．（2022届江苏省南通市高三二模））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是F 1，F 2，焦距为2，点P 是椭圆C 上一动点，12PF F △的内切圆的面积的最大值为3π． (1)求椭圆C 的方程；(2)延长12,PF PF 与椭圆C 分别交于点A ，B ，问：1212PF PF F AF B+是否为定值?并说明理由．【答案】(1)22143x y +=，(2)是，理由见解析 【解析】 (1)设12PF F △的内切圆的半径为r ，点P 的坐标为()00,x y ． 因为焦距为2，所以122F F =，故1c =． 12PF F △的面积()12012121122S F F y PF PF F F r =⋅=++⋅，故0(1)y a r =+． 对于给定的椭圆，要使 12PF F △的内切圆的面积最大，即r 最大，即0y 最大, 由于12PF F △的内切圆的面积的最大值为3π,故此时3r =, 所以0y b =时，有3(1)b a =+①又221a b -=．②由①②，得224,3a b ==，所以椭圆C 的方程22143x y +=． (2)由题意知：12(1,0),(1,0)F F - ,设()()1122,,,A x y B x y ，直线1PF 的方程为1x my =-，与（1）中所求椭圆22:143x y C +=联立方程组并消去x 得， ()2234690my my +--=，24(1)0m ∆=+> ，所以012934y y m -=+，所以221001103409PF y m y F A y -+==-． 因为点00(,)P x y 在直线1:1PF x my =-上，所以001x m y +=， 又点 00(,)P x y 在椭圆22:143x y C +=上，所以22003412x y +=，所以()20222100000113431452993x PF y x y x y F A ⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭===． 同理，可得202523PF x F B -=， 所以1212103PF PF F A F B +=（定值）． 12．（2022届浙江省稽阳高三4月联考）如图，点()()00,10A x x >在抛物线22x py =上，抛物线的焦点为F ，且||2AF =，直线y kx k =-交抛物线于B ，C 两点（C 点在第一象限），过点C 作y 轴的垂线分别交直线OA ，OB 于点P ，Q ，记PQO ，ACP △的面积分别为1S ，2S .(1)求0x 的值及抛物线的方程； (2)当0k <时，求12S S 的取值范围.【答案】(1)202,4x x y ==(2)10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 （1）12,22pAF p =+=∴=， 204,2x y x ∴==.（2）设()()1122,,,C x y B x y ，因为直线OA ：12y x = 则()112,P yy ，直线OB 的方程为:22y y x x =,1212,y x Q y y ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭, 联立方程组24y kx kx y=-⎧⎨=⎩消去y 可得:2440x kx k -+=,121244x x k x x k +=⎧∴⎨=⎩1121221,1x x x x x x x ∴+=∴=- ()()12111212111112212112y x y y PQ y y S S x y y PC y ⎛⎫- ⎪⋅⎝⎭∴==--- 2222211111121222221111112424112424x x x x x x x S S x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 21211221214414x S x x S x ∴==--,222111122222111144414444S x x x S x x x x ⎛⎫-+∴==-=-=-+ ⎪----⎝⎭ 又10,01k x <∴<<,-4<x12-4<-3, 221144141,103434x x ∴-<<--<+<--故1210,3S S ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.。

2021年高考高三理科数学“大题精练”检测题及解析1317.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n S a =-． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n n n b a log a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥面ABCD ，E 为PD 的中点。

（1）证明：//PB 平面AEC ;（2）设1AP =，AD =，三棱锥P ABD -的体积 V =，求A 到平面PBC 的距离。

19.下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注：参考数据：719.32ii y==∑，7140.17i i i t y ==∑，0.55=参考公式：相关系数()()niit t y y r --=∑回归方程y a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，=.a y bt -试题解析：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得4t =，721()28i i t t =-=∑0.55=，，.因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.（Ⅱ）由9.32 1.3317y =≈及（Ⅰ）得71721()()2.890.10328()ˆiii i i t t y y b t t ==--==≈-∑∑， 1.3310.10340.ˆ92ˆay bt =-≈-⨯≈. 所以，关于的回归方程为：.将2016年对应的代入回归方程得：.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.20.已知抛物线2:2C x py =(0)p >，其焦点到准线的距离为2，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，1l 与2l 交于点M .（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）若12l l ⊥，求MAB △面积的最小值.21.已知1x =是函数2()ln 2xf x ax x x =+-的极值点. （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求证：函数()f x 存在唯一的极小值点0x ，且()0304f x <<. （参考数据：ln 20.69≈）（二）选考题：共10分。

5高三数学(理科)专题训练 A. —B. -C. —D.—6.下列关系式中正确的是()《三角函数、三角包等变换与解三角形》A. sinllsin168C. sin11sin1687.在锐角cos10 sin168sin 11 cos10sin168 cos10cos10 sin11ABC中,角A,B.D.1 . 选择题为三角形的一个内角,边长分别为a,b.若2asinB角A等于()B所对的J3b,则tan A.1212c13B,()VC。

沪2.函数y sin x和函数增函数的区间是()12有cosx者B是A . - B. - C. - D.8.已知函数f (x) Acos( x )(A则f(x)是奇函数”是“0, 0,R),A. [2k. [2k ,2k Lk2— ](k2](k Z)BZ)C. [2k ,2ka](k Z)D.[2k -,2k25 3.已知sin(一2 ](kZ)2A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件二、填空题9.已知扇形AOB的周长是6cm,该扇形中心角是1弧度，则该扇形面积是.1,那么510.设sin2 sincos A.() 2 B. 54.在图中,1C.51D. 25 5tan2 的值是11.在锐角ABC中,BC 1, BA、B是单位圆。

上的AC2 A,则小匕的值等于cosA点，C是圆与x轴正半轴的交点，A点的坐标为(3,4),5 5且AOB是正三角形.则cos COB的值为(),AC的取值范围为12.函数 f(x) si 的最大传A.C. 4 3、3103 4 310B.D.4 3.3103 4 . 310-2 sin cos(x )三、解答题山13.已知函数f(x) 3sin( x )( 0,- -)5,将函数y 3cosx sin x(x R)的图象向左平移m(m 0)个长度单位后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是() 的图象关于直线x —对称，且3图象上相邻两个最高点的距离为⑴求和的值;3 / ,求⑵右 f (—) 2 cos( ，)的值. 14 .已知向量， 1、।a (cosx, -), b2x R,设函数f (x)(1)求f (x)的最小正周期; (2)求f (x)在［0,—］上的最大值和2最小值.■ ---(3sin x, a b.15 .已知函数f (x) Asin(x —), x R,且 4f(- ) 3. 12 2(1)求A 的值；3⑵若 f( ) f()二, 2 求 f(3).416 .已知函数f (x) 3 sin xcos x Q x R,且函数f (x)的最小正周期为.(1)求的值和函数f(x)的单调增区问；(2)在ABC 中，角A,B,C 所对的边分 别是a,b,c,又A 4f (一 一) —, b 2, ABC 的面积 2 3 5等于3,求边长a 的值. 17 .已知函数x x xf (x) 2 sin - cos - . 3 cos -4 4 2(1)求函数f(x)的最小正周期及 最值;(2)令g(x) f (x 3),判断函数 g(x)的奇偶性，并说明理由.18 .在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 已知a b, c 3,(1)求角C 的大小；4(2)若sin A —,求 ABC 的面积.5("，1cos2 x,2高三数学(理科)专题训练数列一、选择题1.数列\；’275,2.虎,/1,,的一个通项公式是()A. a n J3n 3B. a n J3n 1C. a n J3n 1D. % Cn 32.已知等差数列⑶｝中,a? a9 16冏1,则a12的值是()A. 15B. 30C. 31D. 643.等比数列⑶｝中，a〔a9 64, a3 a? 20,则an 的值是()A. 1B. 64C. 1 或64D. 1 或324. ABC的三边a,b, c既成等差数列又成等比数列，则此三角形是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形5.已知数列｛a n｝满足二、填空题9.在等差数列｛a n｝中，a〔a3 a5 12, a3 a4 a5 8,则通项a n 1 a n a n 1(n 2), a1 记S n a1 a2 a3结论正确的是()1, a2 3, a n,则下列A. a2014C. a2014 a20143,S2014a20141,S20141 ,S2053, S20'514142B.2D.6.如果在等差数列｛a n｝中,a3 a4 a5 12,那么a〔a2 a?()A. 14B. 21C. 28D. 357.数列｛a n｝中，a11,a2 2 3,a3 4 5 6,a47 那么a10 ()A. 495B. 505C. 550D. 5958.各项均为实数的等比数列｛a n｝的前n项和为S n,若S10 10, S30 70,贝US40 ()A. 150B. 200C. 150 或200D. 400 或50 a n .10.设等比数列｛a n｝的前n项和为S n,若"I 3,则S9 .11.设平面内有n条直线(n 2),其中任意两条直线都相交且交点不同；若用f(n)表示这n条直线把平面分成的区域个数，则f (2) , f(3) , f(4) .当n 4 时，f (n) .12.已知数列｛a n｝的通项公式为n 1a n log2----------(n N*).设其刖n 项n 2和为S n,则使S n 5成立的最小自然数n是.三、解答题13.等差数列｛a n｝的前n项和为S n,a123,公差d为整数，且第6 项为正，从第7项起变为负.(1)求d的值；(2)求S n的最大值；(3)当S n是正数时，求n的最大化14.设a1,d为实数，首项为诩、公差为d的等差数列｛a n｝的前n项和为S n,满足&S6 15 0.⑴若S5 5,求S6及为；(2)求d的取值范围.[0,5.，已知数歹｛a n｝的首项a1 a,S n是,薮列｛a n｝的前n项和，且满足S2 3n2a n S21,a n 0,(1)若数列｛a n｝是等差数列，求a 的值；(2)确定a的取值集合M,使a M时，数列｛a n｝是递增数列.16 .已知｛a n ｝为递增的等比数列，且⑶自0}{ 10, 6, 2,0,1,3,4,16}.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)是否存在等差数列｛b n ｝,使得对一切n N *都成立？若存在， 求出bn ；若不存在，说明理由.17 .等差数列｛a n ｝各项均为正整数，a 1 3,前n 项和为S n ,等比数列 ｛b n ｝中，b 1 1,且b 2s 2 64, ｛b a n ｝ 是公比为64的等比数列.(1)求 a n 与 b n ；1 113 (2)证明：-——3S 1 S 2S n 418.已知数列｛a n ｝, S n 为其前n 项的 和，S n n a n 9, n N *.(1)证明数列｛a n ｝不是等比数列；(2)令b n a n 1,求数列｛b n ｝的通项公式b n ；(3)已知用数列｛b n ｝可以构造新数 列.例如：｛sin b n ｝,…，请写出用数列｛b n ｝构造 出的新数列｛P n ｝的通项公式，使数 列｛P n ｝满足以下两个条件，并说明 理由.①数列｛ P n ｝为等差数列；②数列a 〔b na 2b n 1a 3b n 2a nb 12n{3b n }, {2b n1}, {b ：}, {，}, {2b n },｛P n｝的前n项和有最大值.高三数学(理科)专题训练三＜概率〉一、选择题1 .对满足A B的非空集合A、B有下列四个命题：其中正确命题的个数为()①若任取x A,则x B是必然事件②若x A,则x B是不可能事件③若任取x B,则x A是随机事件④若x B,则x A是必然事件A. 4B. 3C. 2D. 12.从1, 2,…，9中任取两个数，其中在下列事件中，是对立事件的是()①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数②至少有一个是奇数和两个都是奇数③至少有一个是奇数和两个都是偶数④至少有一个奇数和至少有一个偶数A.①B.②④C.③D.①③3.如图所示，设D是图中边长为4 的正方形区域，E是D内函数y x2图象下方的点构成的区域，向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为()A. 1B. 1C. -D. 12 3 4 54.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记硬币正面向上”为事件A,骰子向上的点数是3”为内任取A. 1B. 1C. -D. 2 3 36.已知随机变量服从正态分布N(0, 2),若P( 2) 0.023, WJP( 2 2)的值为()7.把半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投8.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布~N(80,102),则下列命题中不正确的是()事件B,则事件A、件发生的概率是()B中至少有一A. —B. -C.12 2172D-5.如图所示，圆C内切于扇形AOB, AOB 一,若在扇形AOB3点，则该点在圆C内的概率为()点，此点落在星形内2 2 *2 1 2 ,()4 2 c 4 1A . — 1B . — C.——A.该市这次考试的数学平均成绩为80分B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D.该市这次考试的数学成绩标准差为10二、填空题9.盒子里共有大小相同的三只白球、一只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是. 10.在集合{x|x —,n 1,2,3, ,10}中任取6 1个元素，所取元素恰好满足方1一程cosx -的概率是.211.在区间［3,3］上随机取一个数x,使得|x 1 | |x 2| 1成立的概率为.12.在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选到男教师的概率为旦，则参20 加联欢会的教师共有 _______ 人.13.已知三、解答题14.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是1,得到黑球或黄球的概率是—,3 12得到黄球或绿球的概率也是-,12试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？15.某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别是2和3.现安排甲组研发新产品A,3 5乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获得利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.16.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立. (1)求在未来连续3天里，有连续2 大的日销售量都不低于100个且另一大的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量2{(x, y)|x y 6,x Qy 0}, A {(x, y)|x 4, y 0,x y 0}. 若向区域上随机投一点P,则P落入区域A的概率是.不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E(X)及方差D(X).17设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0605050.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2) X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.18乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图，甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C上记3分，落点在1分，其它情况记0分，落点D上记1在C上的概率为—，在D上的概率为 5 3.假设共有两次来球且落在A, B上 5 各一次，小明的两次回球互不影响. 求：(I )小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(II )两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望.高三数学（理科）专题训练四《立体几何初步》一、选择题1.已知ABC的三个顶点为A（3,3,2）、B（4, 3,7）、C（0,5,1）, 则BC边上的中线长为（）A. 5B. 4C. 3D. 22.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A. 6B. 9C. 12D. 183. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可能是（）A.球B.三棱锥C.正方体D.圆柱4.已知m、n表示两条不同直线，表示平面，下列说法中正确的是（）A .若m// , n〃，则m// nB.若m// ,m n,,则nC.若m , m n,,贝U n〃D.若m , n ,，则m n5.已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积为（）A. 10 cm3B. 20 cm3c 10 3 20 3C. ---- c m D . ---- cm6.已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB BC CA 2,则球的半径是（）7.用a,b,c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：其中正确的命题是（）①若a // b,b // c,则a // c;②若 a b,b c,贝U a c;③若a// ,b//，则a//b;④若a ,b ，则a//b.A.①②B.②③C.①④D.③④8. 一个圆锥和一个半球有公共底A.3B. 4C. - D. 45 5二、填空题9.已知三棱柱ABC顶点都在球。

高考理科数学试题(带答案解析)一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的（1）在等差数列{}n a 中,241,5a a ==,则{}n a 的前5项和5S =（A）7（B）15（C）20（D）25【答案】：B【解析】：422514,d a a =-=-=2d =,1252121,3167a a d a a d =-=-=-=+=+=155()5651522a a S +⨯⨯===【考点定位】本题考查等差数列的通项公式及前n 项和公式,解题时要认真审题,仔细解答．（2）不等式1021x x -≤+的解集为（A）1,12⎛⎤-⎥⎝⎦（B）1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C）[)1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭（D）[)1,1,2⎡⎤-∞-+∞⎢⎥⎣⎦（3）对任意的实数k ,直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是（A）相离（B）相切（C）相交但直线不过圆心（D）相交且直线过圆心（4）8+的展开式中常数项为（A）3516（B）358（C）354（D）105【答案】B【解析】：8821881()2rrr r r r r T C C --+==令820r -=解得4r =展开式中常数项为4458135()28T C ==【考点定位】本题考查利用二项展开式的通项公式求展开式的常数项（5）设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两根,则tan()αβ+的值（A）-3（B）-1（C）1（D）3【答案】：A【解析】：tan tan 3,tan tan 2αβαβ+==,则tan tan 3tan()31tan tan 12αβαβαβ++===---【考点定位】本此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切函数公式化简求值．（6）设,,x y R ∈向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===- ,且,//a c b c ⊥ ,则||a b +=（C）（D）10（7）已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且以2为周期,则“()f x 为[0,1]上的增函数”是“()f x 为[3,4]上的减函数”的（A）既不充分也不必要的条件（B）充分而不必要的条件（C）必要而不充分的条件（D）充要条件【答案】：D【解析】：由()f x 是定义在R 上的偶函数及[0,1]上的增函数可知在[-1,0]减函数,又2为周期,所以[3,4]上的减函数【考点定位】本题主要通过常用逻辑用语来考查函数的奇偶性和对称性,进而来考查函数的周期性．根据图象分析出函数的性质及其经过的特殊点是解答本题的关键．（8）设函数()f x 在R 上可导,其导函数为()f x ',且函数(1)()y x f x '=-的图像如题（8）图所示,则下列结论中一定成立的是（A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f （B ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f （C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -（D ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f（9）设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,2和a ,且长为a 的棱与长为2的棱异面,则a 的取值范围是（A ）(0,2)（B ）(0,3)（C ）(1,2)（D ）(1,3)【答案】：A【解析】：2221()22BE =-=,BF BE <,22AB BF =<,【考点定位】本题考查棱锥的结构特征,考查空间想象能力,极限思想的应用,是中档题．（10）设平面点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭,则A B 所表示的平面图形的面积为（A ）34π（B ）35π（C ）47π（D ）2π[【答案】：D【解析】：由对称性：221,,(1)(1)1y x y x y x≥≥-+-≤围成的面积与221,,(1)(1)1y x y x y x≤≥-+-≤围成的面积相等得：A B 所表示的平面图形的面积为22,(1)(1)1y x x y ≤-+-≤围成的面积即2122R ππ⨯=25115112lim lim 555n n n n nn n→∞→∞++++===【考点定位】本题考查极限的求法和应用,n 都没有极限,可先分母有理化再求极限；（13）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35cos ,cos ,3,513A B b ===则c =【答案】：c =145【解析】：由35cos ,cos 513A B ==得412sin ,sin ,513A B ==由正弦定理sin sin a bA B=得43sin 13512sin 513b A a B ⨯===由余弦定理22a c =2+b -2cbcosA 得22590c -c+56=0则c =145【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系求出sinB 的值本题的突破点,然后利用正弦定理建立已知和未知之间的关系．同时要求学生牢记特殊角的三角函数值．（14）过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点,若25,,12AB AF BF =<则AF =。

2021届高三数学（理）“大题精练”1017．在ABC △中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=；（1）证明：ABC △为等腰三角形；（2）若D 为BC 边上的点，2BD DC =，且2ADB ACD ∠=∠，3a =，求b 的值． 18．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，且222,AD AB BC ===90,BAD PAD ∠=︒为等边三角形，平面ABCD ⊥平面PAD ；点E M 、分别为PD PC、的中点．（1）证明：//CE 平面PAB ；（2）求直线DM 与平面ABM 所成角的正弦值．19．已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>⎛- ⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点)作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，试问在x 轴上是否存在定点Q使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由. 20．已知函数()ln 2f x x x =--．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）函数()f x 在区间(,1)()k k k N +∈上有零点，求k 的值；21．某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y （万人）与年份x 的数据：该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y 与x 的两个回归模型： 模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程50.8169.7y x =+；模型①：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线bxy ae =的附近．（1）根据表中数据，求模型①的回归方程bx y ae =．（a 精确到个位，b 精确到0．01）． （2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．参考公式、参考数据及说明： ①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v w v w v w ，其回归直线w v αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为121()(),()niii nii w w v v w v v v βαβ==--==--∑∑．①刻画回归效果的相关指数22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑ ．①参考数据： 5.46235e ≈， 1.43 4.2e ≈．表中1011ln ,10i i i i u y u u ===∑． 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,2sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），已知点(4,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（2）已知直线l ：y kx =与曲线2C 交于,A B 两点，若3OA AB =，求k 的值. 23．已知函数()121f x ax x =++- （1）当1a =时，求不等式()3f x >的解集； （2）若02a <<，且对任意x ∈R ，3()2f x a≥恒成立，求a 的最小值． 2020届高三数学（理）“大题精练”10（答案解析）17．在ABC △中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=；（1）证明：ABC △为等腰三角形；（2）若D 为BC 边上的点，2BD DC =，且2ADB ACD ∠=∠，3a =，求b 的值． 【解】（1）2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=，由正弦定理得：22cos 2bc A a cb +=，由余弦定理得：2222222b c a bc a bc bc+-⋅+=；化简得：222b c bc +=,所以()20b c -=即b c =， 故ABC 为等腰三角形． （2）如图，由已知得2BD =，1DC =，2,ADB ACD ACD DAC ∠=∠=∠+∠ACD DAC ∴∠=∠， 1AD CD ∴==，又cos cos ADB ADC ∠=-∠，22222222AD BD AB AD CD AC AD BD AD CD +-+-∴=-⋅⋅， 即2222221211221211c b +-+-=-⨯⨯⨯⨯，得2229b c +=，由（1）可知b c =，得b =解法二：取BC 的中点E ，连接AE ．由（1）知,AB AC AE BC =∴⊥， 由已知得31,1,22EC DC ED ===，2,ADB ACD ACD DAC ∠=∠=∠+∠ACD DAC ∴∠=∠，2AE ∴===，b AC ∴==== 解法三：由已知可得113CD a ==，由（1）知，,AB AC B C =∴∠=∠，又2DAC ADB C C C C ∠=∠-∠=∠-∠=∠，CAB CDA ∴∽，即CB CA CA CD =，即31bb =，b ∴=18．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，且222,AD AB BC ===90,BAD PAD ∠=︒为等边三角形，平面ABCD ⊥平面PAD ；点E M 、分别为PD PC、的中点．（1）证明：//CE 平面PAB ；（2）求直线DM 与平面ABM 所成角的正弦值． 【解】（1）设PA 的中点为N ，连接,EN BN ，E 为PD 的中点，所以EN 为PAD △的中位线，则可得//EN AD ，且12EN AD =； 在梯形ABCD 中，//BC AD ，且12BC AD =， //,BC EN BC EN ∴=，所以四边形ENBC 是平行四边形，//CE BN ∴，又BN ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， //CE ∴平面PAB ．法二：设O 为AD 的中点，连接,CO OE ，E 为PD 的中点，所以OE 是ADP △的中位线，所以//OE AP ， 又OE ⊄平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，//OE ∴平面PAB ，又在梯形ABCD 中，//BC AD ，且12BC AD =， 所以四边形BAOC 是平行四边形，//BC BA ∴，又OC ⊄平面PAB ，AB平面PAB ，//OC ∴平面PAB ，又OE OC O ⋂=，所以平面//OEC 平面PAB ， 又CE ⊂平面PAB ，//CE ∴平面PAB ．（2）设AD 的中点为O ，又,PA PD PO AD =∴⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，交线为AD ，PO ⊂平面PAD ，PO ∴⊥平面ABCD ，又由//CO BA ，90BAD ∠=︒，CO AD ∴⊥．即有,,OA OC OP 两两垂直，如图，以点O 为原点，OA 为x 轴，OP 为y 轴，OC 为z 轴建立坐标系． 已知点()()()()111,0,0,1,0,1,,1,0,0,0,0,1,22A B M D AB AM ⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面ABM 的法向量为：(),,m x y z =．则有0102m AB z m AM x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，可得平面ABM 的一个法向量为()3,2,0m =，122DM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，可得：(1120cos ,m DM m DM m DM++⨯⋅===⋅，所以直线DM 与平面ABM 所成角的正弦值为． 19．已知椭圆2222:1x y Ca b +=（0a b >>）的离心率为2，且经过点1,2⎛- ⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程； （2）过点)作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，试问在x 轴上是否存在定点Q使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.【解】(1)ca =，22131a4b +=，又222a b c -=， 解得2a 4=，2b 1=.所以，椭圆C 的方程为22x y 14+=(2)存在定点Q ⎫⎪⎪⎝⎭，满足直线QA 与直线QB恰关于x 轴对称.设直线l 的方程为x my 0+=，与椭圆C 联立，整理得，()224m y10+--=.设()22B x ,y ，11x xy y 12+=，定点()Q t,0.(依题意12t x ,t x )≠≠则由韦达定理可得，12y y+=1221y y 4m -=+. 直线QA 与直线QB恰关于x 轴对称，等价于AQ,BQ 的斜率互为相反数. 所以，1212y y0x t x t+=--，即得()()1221y x t y x t 0-+-=. 又11x my 0+=，22x my 0+=， 所以，))1221y my t y my t 0-+-=，整理得，)()1212t y y 2my y 0+-=.从而可得，)21t 2m 04m--⋅=+，即()2m 40=，所以，当t =，即Q ,03⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭时，直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称成立. 特别地，当直线l 为x 轴时，Q 3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭也符合题意. 综上所述，存在x 轴上的定点Q 3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称. 20．已知函数()ln 2f x x x =--．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）函数()f x 在区间(,1)()k k k N +∈上有零点，求k 的值； （3）若不等式()(1)()x m x f x x-->对任意正实数x 恒成立，求正整数m 的取值集合．【解】（1）1()1f x x'=-，所以切线斜率为()01f '=， 又(1)1f =-，切点为(1,1)-，所以切线方程为1y =-．（2）令1()1f x x'=-，得1x =， 当01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 所以()f x 的极小值为(1)10f =-<，又22221111()ln 20e e e ef =--=>， 所以()f x 在区间(0,1)上存在一个零点1x ，此时0k =；因为(3)3ln321ln30f =--=-<，(4)4ln 4222ln 22(1ln 2)0f =--=-=->， 所以()f x 在区间(3,4)上存在一个零点2x ，此时3k =．综上，k 的值为0或3． （3）当1x =时，不等式为(1)10g =>．显然恒成立，此时m R ∈； 当01x <<时，不等式()(1)()x m x f x x -->可化为ln 1x x x m x +>-，令ln ()1x x x g x x +=-，则22ln 2()()(1)(1)x x f x g x x x --'==--， 由（2）可知，函数()f x 在(0,1)上单调递减，且存在一个零点1x ，此时111()ln 20f x x x =--=，即11ln 2x x =- 所以当10x x <<时，()0f x >，即()0g x '>，函数()g x 单调递增；当11x x <<时，()0f x <，即()0g x '<，函数()g x 单调递减． 所以()g x 有极大值即最大值1111111111ln (2)()11x x x x x x g x x x x +-+===--，于是1m x >．当1x >时，不等式()(1)()x m x f x x -->可化为ln 1x x x m x +<-，由（2）可知，函数()f x 在(3,4)上单调递增，且存在一个零点2x ，同理可得2m x <． 综上可知12x m x <<．又因为12(0,1), (3,4)x x ∈∈，所以正整数m 的取值集合为{}1,2,3．21．某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y （万人）与年份x 的数据：该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y 与x 的两个回归模型： 模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程50.8169.7y x =+；模型①：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线bxy ae =的附近．（1）根据表中数据，求模型①的回归方程bx y ae =．（a 精确到个位，b 精确到0．01）． （2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．参考公式、参考数据及说明： ①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v w v w v w ，其回归直线w v αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为121()(),()niii nii w w v v w v v v βαβ==--==--∑∑．①刻画回归效果的相关指数22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑ ．①参考数据： 5.46235e ≈， 1.43 4.2e ≈．表中1011ln ,10i i i i u y u u ===∑．【解】（1）对bxy ae =取对数，得ln ln y bx a =+，设ln u y =，ln c a =，先建立u 关于x 的线性回归方程，()()()10110219.000.10883iii i i x x u u b x x==--==≈-∑∑， 6.050.108 5.5 5.456 5.46c u bx =-≈-⨯=≈ 5.46235c a e e =≈≈∴模型①的回归方程为0.11235x y e =（2）由表格中的数据，有30407>14607，即101022113040714607()()i i i i y y y y ==>--∑∑，即10102211304071460711()()iii i y y y y ==-<---∑∑，2212R R <模型①的相关指数21R 小于模型①的22R ，说明回归模型①的拟合效果更好.2021年时，13x =，预测旅游人数为0.1113 1.43235235235 4.2987y e e ⨯==≈⨯=（万人） 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,2sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），已知点(4,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（2）已知直线l ：y kx =与曲线2C 交于,A B 两点，若3OA AB =，求k 的值.【解】（1）设()2cos ,2sin P θθ，(),M x y .且点()4,0Q ，由点M 为PQ 的中点，所以2cos 42,22sin ,2x cos y sin θθθθ+⎧==+⎪⎪⎨⎪==⎪⎩整理得()2221x y -+=.即22430x y x +-+=， 化为极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=.（2）设直线l ：y kx =的极坐标方程为θα=.设()1,A ρα，()2,B ρα，因为3OA AB =，所以43OA OB =，即1243ρρ=.联立2430,,cos ρρθθα⎧-+=⎨=⎩整理得24cos 30ραρ-⋅+=.则1212124,3,43,cos ρραρρρρ+=⎧⎪=⎨⎪=⎩解得7cos 8α=.所以222115tan 1cos 49k αα==-=，则k =± 23．已知函数()121f x ax x =++-（1）当1a =时，求不等式()3f x >的解集；（2）若02a <<，且对任意x ∈R ，3()2f x a≥恒成立，求a 的最小值． 【解】（1）当1a =时，()121f x x x =++-，即()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩， 解法一：作函数()121f x x x =++-的图象，它与直线3y =的交点为()()1,3,1,3A B -，所以，()3f x >的解集的解集为()(),11,-∞-⋃+∞．解法2：原不等式()3f x >等价于133x x <-⎧⎨->⎩ 或11223x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-+>⎩ 或1233x x ⎧>⎪⎨⎪>⎩，解得：1x <-或无解或1x >，所以，()3f x >的解集为()(),11,-∞-⋃+∞．（2）1102,,20,202a a a a <<∴-+-<． 则()()()()12,,1112122,,212,2a x x a f x ax x a x x a a x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩所以函数()f x 在1,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 所以当12x =时，()f x 取得最小值，()min 1122a f x f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭． 因为对x R ∀∈，()32f x a ≥恒成立， 所以()min 3122a f x a =+≥． 又因为0a >，所以2230a a +-≥，解得1a ≥ （3a ≤-不合题意）． 所以a 的最小值为1．。