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3.4 导数的综合应用一、填空题1．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使体积最大，则其高为________cm. 解析 设圆锥的体积为V cm 3，高为h cm ， 则V ＝13π(400－h 2)h ＝13π(400 h －h 3)，∴V ′＝13π(400－3h 2)，由V ′＝0，得h ＝2033.所以当h ＝2033cm 时，V 最大．答案20332．设m ∈R ，若函数y ＝e x＋2mx 有大于零的极值点，则m 的取值范围是________． 解析 因为函数y ＝e x ＋2mx ，有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于零的实根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图象可得 －2m >1，即m <－12.答案 m <－123．若函数y ＝f (x )可导，则“f ′(x )＝0有实根”是“f (x )有极值”的________． 答案 必要不充分条件4．已知函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是________．解析f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，显然a>0，f′(x)＝3(x＋a)(x－a)，由已知条件0<a<1，解得0<a<1.答案(0,1)5．已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)·(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是________．解析结合二次函数图象知，当a>0或a<－1时，在x＝a处取得极小值，当－1<a<0时，在x＝a处取得极大值，故a∈(－1,0)．答案(－1,0)6．有一长为16m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.解析设矩形的长为x m，则宽为：16－2x2＝8－x(m)∴S矩形＝x(8－x)＝8x－x2＝－(x－4)2＋16≤16.答案167．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是________．解析令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f (1)＝－2，如图，观察得－2＜a ＜2时恰有三个不同的公共点．答案 (－2,2)8．一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后t 秒内列车前进的距离为S ＝27t －0.45t 2米，则列车刹车后________秒车停下来，期间列车前进了________米．解析 S ′(t )＝27－0.9t ，由瞬时速度v (t )＝S ′(t )＝0得t ＝30(秒)，期间列车前进了S (30)＝27×30－0.45×302＝405(米)． 答案 30 4059．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，若f (x )在区间(－1,0)上单调递减，则a 2＋b 2的取值范围是________．解析 由题意得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(x )≤0在x ∈(－1,0)上恒成立，即3x 2＋2ax ＋b ≤0在x ∈(－1,0)上恒成立， ∴⎩⎨⎧2a －b －3≥0，b ≤0，∴a ，b 所满足的可行域如图中的阴影部分所示．则点O 到直线2a －b －3＝0的距离d ＝35，∴a 2＋b 2≥d 2＝95，∴a 2＋b 2的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫95，＋∞.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫95，＋∞10．关于x 的方程x 3－3x 2－a ＝0有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________．解析 f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)． 令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2 当x ＜0时，f ′(x )＞0； 当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0； 当x ＞2时，f ′(x )＞0.∴当x ＝0时，f (x )取得极大值， 即f (x )极大值＝f (0)＝－a ； 当x ＝2时，f (x )取得极小值， 即f (x )极小值＝f (2)＝－4－a . ∴⎩⎨⎧－a ＞0－4－a ＜0，解得：－4＜a ＜0.答案 (－4,0)11．将边长为1 m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝梯形的周长2梯形的面积，则s 的最小值是________．解析 如图所示，设AD ＝x m(0＜x ＜1)，则DE ＝AD ＝x m ， ∴梯形的周长为x ＋2(1－x )＋1＝3－x (m)，又S △ADE ＝34x 2(m 2)， ∴梯形的面积为34－34x 2(m 2)， ∴s ＝433×x 2－6x ＋91－x 2(0＜x ＜1)，∴s ′＝－833×3x －1x －31－x 22，令s ′＝0得x ＝13或3(舍去)，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，13时，s ′＜0，s 递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，s ′＞0，s 递增．故当x ＝13时，s 的最小值是3233.答案 323312．已有函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )＞0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )＜0的解集是________．解析 在(0，＋∞)上有f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)单调递增．又函数f (x )是R 上的偶函数，所以f (1)＝f (－1)＝0.当x ＞0时，f (x )＜0，∴0＜x ＜1；当x ＜0时，图象关于y 轴对称，f (x )＞0，∴x ＜－1. 答案 (－∞，－1)∪(0,1)13．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________．解析 若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x ＞0，即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝31－2xx 4，所以g (x )在区间⎝⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减， 因此g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4.当x ＜0，即x ∈[－1,0)时，同理a ≤3x 2－1x3.g (x )在区间[－1,0)上单调递增， ∴g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4， 综上可知a ＝4. 答案 4 二、解答题14. 已知函数3()(0)f x ax cx d a =++≠是R 上的奇函数，当1x =时()f x 取得极值2-.(I)求()f x 的单调区间和极大值；(II)证明对任意12,x x (1,1),∈-不等式12|()()|4f x f x -<恒成立. 解析 (I)由奇函数定义，应有()(),f x f x x R -=-∈.即 33,0.ax cx d ax cx d d --+=---∴= 因此， 3(),f x ax cx =+ 2'()3.f x ax c =+由条件 (1)2f =-为()f x 的极值，必有'(1)0,f =故230a c a c +=-⎧⎨+=⎩解得 1, 3.a c ==-因此， 32()3,'()333(1)(1),'(1)'(1)0.f x x x f x x x x f f =-=-=+--==当 (,1)x ∈-∞-时，'()0f x >，故()f x 在单调区间(,1)-∞-上是增函数. 当 (1,1)x ∈-时，'()0f x <，故()f x 在单调区间(1,1)-上是减函数. 当 (1,)x ∈+∞时，'()0f x >，故()f x 在单调区间(1,)+∞上是增函数. 所以，()f x 在1x =-处取得极大值，极大值为(1) 2.f -= (II)由(I)知，3()3([1,1])f x x x x =-∈-是减函数，且()f x 在[1,1]-上的最大值(1)2,M f =-= ()f x 在[1,1]-上的最小值(1) 2.m f ==-所以，对任意12,(1,1),x x ∈-恒有 12|()()|2(2) 4.f x f x M m -<-=--=15．如图，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC ，另一侧修建一条观光大道，它的前一段OD 是以O 为顶点，x 轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段DBC 是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，x ∈[4,8]时的图象，图象的最高点为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，833，DF ⊥OC ，垂足为F . (1)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式；(2)若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园PMFE ，问：点P 落在曲线OD 上何处时，水上乐园的面积最大？解析 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，由图象知A ＝833，ω＝2πT ＝2π48－5＝π6.将B ⎝⎛⎭⎪⎫5，833代入到y ＝833·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ中，得5π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )．又|φ|＜π2，所以φ＝－π3.故y ＝833sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3.(2)在y ＝833sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3中，令x ＝4，得D (4,4)，所以曲线OD 的方程为y 2＝4x (0≤x ≤4)．设点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，t (0≤t ≤4)，则矩形PMFE 的面积为S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－t 24t (0≤x ≤4)．因为S ′＝4－3t 24，由S ′＝0，得t ＝433，且当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，433时，S ′＞0，则S 单调递增， 当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫433，4时，S ′＜0，则S 单调递减；所以当t ＝433时，S 最大，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，433. 16．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0]与 [1，＋∞)上是减函数，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[0，m ](m ＞0)上恒有f (x )≤x 成立，求m 的取值范围．解析 (1)由f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .又由f (x )在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0]与[1，＋∞)上是减函数， 可知x ＝0和x ＝1是f ′(x )＝0的解，∴⎩⎨⎧f ′0＝0，f ′1＝0，即⎩⎨⎧c ＝0，3a ＋2b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧c ＝0，b ＝－32a .∴f ′(x )＝3ax 2－3ax .又由f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32，得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3a 4－3a 2＝32，∴a ＝－2，即f (x )＝－2x 3＋3x 2.(2)由f (x )≤x ，得－2x 3＋3x 2≤x ，即x (2x －1)(x －1)≥0， ∴0≤x ≤12或x ≥1.又f (x )≤x 在区间[0，m ](m ＞0)上恒成立，∴0＜m ≤12.故m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，12.17．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)． (1)某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解析 设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)．由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0＜x ＜30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800.所以当x ＝15 cm 时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )．由V ′＝0，得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0.所以当x ＝20时，V 取得极大值，也就是最大值， 此时h a ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12. 18．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′x ＋f(m 2)在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围．解析 (1)根据题意知，f ′(x )＝a 1－x x(x ＞0)， 当a ＞0时，f (x )的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1，＋∞)； 当a ＜0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)∵f ′(2)＝－a2＝1，∴a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3.∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x ， ∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，且g ′(0)＝－2，∴⎩⎨⎧ g ′t ＜0，g ′3＞0.由题意知：对于任意的t ∈[1,2]，g ′(t )＜0恒成立，∴⎩⎨⎧ g ′1＜0，g ′2＜0，g ′3＞0，∴－373＜m ＜－9. 【点评】 利用导数解决函数的单调性、最值、极值等问题时，主要分以下几步：,第一步：确定函数的定义域；,第二步：求函数fx 的导数f ′x ；,第三步：求方程f ′x ＝0的根；,第四步：利用f ′x ＝0的根和不可导点的x 的值从小到大顺序将定义域分成若干个小开区间，并列出表格；,第五步：由f ′x 在小开区间内的正、负值判断f x 在小开区间内的单调性；,第六步：明确规范表述结论.。
