最新版福建省福州市第八中学高一数学下学期期末考试试题
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2022-2023学年福建省福州市高一下学期期末质量检测数学试题一、单选题1.在ABC 中,3a =,1b =,60A =︒,则B =()A .30°B .60°C .30°或150°D .60°或120°【答案】A【分析】由正弦定理求得sin B ,再结合边的关系即可得解.【详解】由正弦定理sin sin a b A B=,所以31sin 12sin 23b A B a ⨯===,又a b >,所以A B >所以30B = .故选:A.2.已知水平放置的ABC 按斜二测画法,得到如图所示的直观图,其中1B O C O ''''==,2A O ''=,那么ABC 的周长为()A .6B .222+C .2215+D .2217+【答案】D【分析】根据斜二测画法的规则作出原图ABC ,求出各个边长即可求解.【详解】根据斜二测画法的规则作出原图ABC 如图:由直观图中1B O C O ''''==,2A O ''=,可得ABC 中,1BO CO ==,4AO =,因为AO BC ⊥,则224117AB AC ==+=,又底边2BC =,所以ABC 的周长为2217+.故选:D.3.某校高一年级开展英语百词测试,现从中抽取100名学生进行成绩统计.将所得成绩分成5组:第1组[)75,80,第2组[)80,85,第3组[)85,90,第4组[)90,95,第5组[]95,100,并绘制成如图所示的频率分布直方图.则第4组的学生人数为()A .20B .30C .40D .50【答案】A【分析】先根据频率分布直方图中小矩形面积之和等于1,求出m 的值,再由第四个小矩形面积乘以100即可求解.【详解】由图可得:()0.010.020.060.0751m ++++⨯=,解得0.04m =,所以第四组的人数为0.04510020⨯⨯=.故选:A.4.设α,β为不重合的平面,m ,n 为不重合的直线,则其中正确命题的序号为()①//m α,//αβ,则//m β;②m α⊂,n β⊂,//αβ,则//m n ;③m α⊥,n β⊥,αβ⊥,则m n ⊥;④n β⊂,m α⊥,//m n ,则αβ⊥.A .①③B .②③C .②④D .③④【答案】D【分析】根据线面平行和面面平行的性质可判断①②;根据线面垂直和面面垂直的性质可判断③④,由此可得选项.【详解】解:①若//m α,//αβ,则//m β或m β⊂,故①错误;②若m α⊂,n β⊂,//αβ,则//m n 或m 与n 异面,故②错误;③若m α⊥,αβ⊥,则m β⊂或//m β,又n β⊥,则m n ⊥,故③正确;④若m α⊥,//m n ,则n α⊥,又n β⊂,m α⊥,可得αβ⊥,故④正确.故选:D.5.设一圆锥的侧面积是其底面积的3倍,则该圆锥的高与母线长的比值为()A .89B .223C .63D .23【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r ,母线长为l ,高为h ,求得圆锥的侧面积和底面积,即可得出母线长和半径的关系,然后利用勾股定理即可求解.【详解】设圆锥的底面半径为r ,母线长为l ,高为h ,由题意得23rl r ππ=,解得3l r =,又222l r h =+,则22h r =,223h l =.故选:B.6.在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,3CO CE →→=,BE 的延长线与CD 交于点F .若→→=AB a ,AD b →→=,则EF →=()A .6176a b→→-B .11306a b→→-+C .11306a b→→+D .61+76a b→→【答案】B【分析】根据向量的线性运算律进行运算.【详解】解:如图所示:由3CO CE →→=得15CE EA =,由//DC AB 得EFC ∽EBA △,∴15CF CE AB EA ==,又∵DC AB =,∴15CF DC =,111111116565306306EF EC CF AC CD DC DA DC DC DA a b →→→→→→→→→→→→⎛⎫=+=+=--=--=-+ ⎪⎝⎭,故选:B.7.已知直三棱柱111ABC A B C -的各棱长均相等,体积为23,M 为1A B 中点,则点M 到平面11A B C的距离为()A .217B .455C .77D .233【答案】A【分析】根据三棱柱的体积求出棱长,设M 到平面11A B C 的距离为d ,利用1111M A B C C A B M V V --=以及棱锥的体积公式即可求解.【详解】直三棱柱111ABC A B C -的各棱长均相等,设棱长为a ,因为体积为23,所以213234ABC V S AA a a =⋅=⋅= ,解得:2a =,设点M 到平面11A B C 的距离为d ,因为112A B =,1122CB CA ==,所以11A B C 中,11A B 边上的高为()222217-=,则1112772CA B S =⨯⨯= ,取AB 的中点H ,连接CH ,则CH AB ⊥,因为1AA ⊥面ABC ,CH ⊂面ABC ,所以1AA ⊥CH ,因为1AA AB A = ,所以CH ⊥面11ABB A ,在ABC 中,3CH =,由1111M A B C C A B M V V --=,即11111133B M CA B A d S CH S ⋅⋅=⋅⋅ ,即1117321332d ⋅⋅=⨯⨯⨯⨯,解得:217d =,故点M 到平面11A B C 的距离为217,故选:A.8.下列四个命题正确的个数为()①抛掷两枚质地均匀的骰子,则向上点数之和不小于10的概率为16;②现有7名同学的体重(公斤)数据如下:50,55,45,60,68,65,70,则这7个同学体重的上四分位数(第75百分位数)为65;③新高考改革实行“312++”模式,某同学需要从政治、地理、化学、生物四个学科中任取两科参加高考,则选出的两科中含有政治学科的概率为12.A .3B .2C .1D .0【答案】B【分析】对于①,利用列举法分析判断,对于②,利用百分位数的定义求解即可,对于③,利用列举法分析判断【详解】①:抛掷两枚质地均匀的骰子,总的基本事件数为6636⨯=种,向上点数之和不小于10的基本事件有()4,6,()5,5,()5,6,()6,4,()6,5,()6,6共6种,所以所求事件的概率61366P ==,故①正确,②:因为775% 5.25⨯=,所以这7个同学体重的上四分位数(第75百分位数)为68,故②错误,③:从政治、地理、化学、生物四个学科中任取两科参加高考的基本事件个数为246C =,选出的两科中含有政治学科的基本事件有(政治,地理),(政治,生物),(政治,化学)共3种,所以所求事件的概率3162P ==,故③正确,故选:B.二、多选题9.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,M ,N 分别是11,A D BD 的中点,则()A .四点A ,M ,N ,C 共面B .MN ∥CDC .1AD ∥平面1BCD D .若1MN =,则正方体1111ABCD A B C D -外接球的表面积为12π【答案】BD【分析】连接1AD 和1BC ,由此可知点A ,M ,N 在平面11ABC D 中,而点C 不在平面11ABC D 中,即可判断选项A ;由已知得MN 为△1ABD 的中位线,利用中位线的性质即可判断选项B ;由已知得点B ,C ,1D 都在平面11A BCD ,1A D 与平面11A BCD 相交,即可判断选项C ;由1MN =即可求得正方体的棱长为2,则可以求出正方体1111ABCD A B C D -外接球的半径,即可判断选项D .【详解】对于选项A ,连接1AD 和1BC ,由此可知点A ,M ,N 在平面11ABC D 中,点C ∉平面11ABC D ,则四点A ,M ,N ,C 不共面,即选项A 不正确;对于选项B ,由正方体的性质结合条件可知M ,N 分别是11,AD BD 的中点,所以MN ∥AB ,又因为CD ∥AB ,所以MN ∥CD ,即选项B 正确;对于选项C ,点B ,C ,1D 都在平面11A BCD ,所以1A D 与平面1BCD 相交,即选项C 不正确;对于选项D ,因为MN 为△1ABD 的中位线,且1MN =,所以正方体的棱长为2,设正方体1111ABCD A B C D -外接球的半径为R ,则2221112=23R D A AA AB ++=,即3R =,则外接球的表面积为24π12πS R ==,即选项D 正确;故选:BD .10.已知复数13z i =-+(i 为虚数单位),z 为z 的共轭复数,若复数z w z=,则下列结论正确的有()A .w 在复平面内对应的点位于第二象限B .1w =C .w 的实部为12-D .w 的虚部为32i 【答案】ABC【分析】对选项,A 求出13=22w i -+,再判断得解;对选项B ,求出1w =再判断得解;对选项,C 复数w 的实部为12-,判断得解;对选项D ,w 的虚部为32,判断得解.【详解】对选项,A 由题得13,z i =--213(13)22313=42213(13)(13)i i i w i ii i -----+∴===-+-+-+--.所以复数w 对应的点为13(,)22-,在第二象限,所以选项A 正确;对选项B ,因为13144w =+=,所以选项B 正确;对选项,C 复数w 的实部为12-,所以选项C 正确;对选项D ,w 的虚部为32,所以选项D 错误.故选:ABC【点睛】本题主要考查复数的运算和共轭复数,考查复数的模的计算,考查复数的几何意义,考查复数的实部和虚部的概念,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.袋子中共有大小和质地相同的4个球,其中2个白球和2个黑球,从袋中有放回地依次随机摸出2个球.甲表示事件“第一次摸到白球”,乙表示事件“第二次摸到黑球”,丙表示事件“两次都摸到白球”,则()A .甲与乙互斥B .乙与丙互斥C .甲与乙独立D .甲与乙对立【答案】BC【分析】结合互斥事件、对立事件和相互独立事件的知识确定正确选项.【详解】首先抽取方法是有放回,每次摸出1个球,共抽取2次.基本事件为:白白,白黑,黑白,黑黑,共4种情况.事件甲和事件乙可能同时发生:白黑,所以甲与乙不是互斥事件,A 错误.事件乙和事件丙不可能同时发生,所以乙与丙互斥,B 正确.事件甲和事件乙是否发生没有关系,用A 表示事件甲,用B 表示事件乙,()()()111,,224P A P B P AB ===,则()()()P AB P A P B =,所以甲与乙独立,C 正确.由于事件甲和事件乙是否发生没有关系,所以不是对立事件.故选:BC12.设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若2cos sin cos sin ac A B b B C =,则△ABC 的形状为()A .等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D .等腰直角三角形【答案】AC【分析】利用正弦定理与二倍角的正弦公式可得A B =或2A B π+=,从而可得正确的选项.【详解】由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===知:2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =,由2cos sin cos sin ac A B b B C =知:2224sin sin cos sin 4sin cos sin R A C A B R B B C=所以sin cos sin cos A A B B =,所以sin 2sin 2A B =,而(),,0,A B A B π+∈,所以22A B =或22A B π=-,即A B =或2A B π+=所以△ABC 是等腰三角形,或直角三角形,故选:AC.三、填空题13.已知一组数据3,2,4,5,1,9a a --的平均数为3(其中a R ∈),则中位数为.【答案】3.5【分析】首先根据平均数求出参数a ,即可一一列出数据,再求出数据的中位数即可;【详解】解:因为数据3,2,4,5,1,9a a --的平均数为3,所以32451936a a -+++-++=⨯,解得2a =,所以则组数据分别是3,4,4,3,1,9-,按从小到大排列分别为3,1,3,4,4,9-,故中位数为343.52+=故答案为:3.514.已知单位向量a →,b →的夹角为45°,k a b →→-与a →垂直,则k =.【答案】22【分析】首先求得向量的数量积,然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值.【详解】由题意可得:211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=,由向量垂直的充分必要条件可得:0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭,即:2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=,解得:22k =.故答案为:22.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则,向量垂直的充分必要条件等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.甲参加猜成语比赛,假定甲每轮获胜的概率都是34,且各轮比赛结果互不影响,则在三轮比赛中甲恰好获胜两轮的概率为.【答案】2764【分析】直接利用二项分布的概率公式即可求解【详解】由题意,甲每轮获胜的概率都是34,且各轮比赛结果互不影响,所以在三轮比赛中甲恰好获胜两轮的概率为223332714464C ⎛⎫⎛⎫⋅⋅-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为:2764.16.已知正四棱锥P ABCD -中,底面边长为2,侧面积为45,若该四棱锥的所有顶点都在球O 的表面上,则球O 的体积为.【答案】92π【分析】由正四棱锥的底边长与侧面积可得侧棱长,求出正四棱锥的高,球心在高所在直线上,利用勾股定理求半径,则球的体积可求.【详解】设正四棱锥的侧棱长为b ,又侧面积为45,∴21421452b ⨯⨯⨯-=,解得6b =,∴正四棱锥P ABCD -的高622h =-=,正四棱锥P ABCD -的外接球的球心O 在正四棱锥P ABCD -的高所在直线上,如图,设球O 的半径为R ,则()()22222R R -+=,解得32R =,则球O 的体积为334439R 3322V πππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.故答案为:92π.四、解答题17.已知函数()2332sin cos 3sin cos 222f x x x x x =+--.(1)求函数()f x 的单调递减区间;(2)若θ为锐角,π102245f θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,求cos θ的值.【答案】(1)511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)255【分析】(1)利用三角变换公式可得()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,利用整体法可求单调减区间.(2)利用两角差的余弦可求cos θ的值.【详解】(1)()223sin 23sin 2cos sin 23cos 22sin 223f x x x x x x x π⎛⎫=+-⨯=-=- ⎪⎝⎭,令3222,232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈,则511,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈,故函数()f x 的单调递减区间为511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.(2)由π102245f θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得10sin 410πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,因θ为锐角,故444πππθ-<-<,而sin 04πθ⎛⎫-> ⎪⎝⎭,故044ππθ<-<,所以310cos 410πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,而2241025cos cos cos sin 442442105ππππθθθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.18.已知平面向量a →,b →满足()1,3a →=,102b →=.(1)若//b a →→,求b →的坐标;(2)若25a b a b →→→→⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求32a b →→-的值;(3)若a →在b →上的投影向量为2b →-,求a →与b →的夹角.【答案】(1)13,22b →⎛⎫= ⎪⎝⎭或13,22b →⎛⎫=-- ⎪⎝⎭;(2)310;(3)34π.【分析】(1)由题意设()1,3b λ→=,解方程2210132λ+=即得解;(2)根据25a b a b →→→→⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求出56a b →→⋅=,利用22329124a b a a b b →→→→→→-=-⋅+求解;(3)设a →与b →的夹角为θ,[0,]θπ∈,解方程cos 2ba b b θ→→→→⋅⋅=-得解.【详解】解:(1)由题意设()1,3b λ→=,2210132b λ→=+=,解得12λ=±,即13,22b →⎛⎫= ⎪⎝⎭或13,22b →⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,(2)∵25a b a b →→→→⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴250a b a b →→→→⎛⎫⎛⎫+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即222950a a b b →→→→-⋅-=,即()22102139504a b →→⨯+-⋅-⨯=,故56a b →→⋅=,所以22329124*********a b a a b b →→→→→→-=-⋅+=-+=,(3)设a →与b →的夹角为θ,[0,]θπ∈,则cos 2b a b b θ→→→→⋅⋅=-,即10cos 2102b b θ→→⋅⋅=-,即2cos 2θ=-,因为[0,]θπ∈,所以34πθ=.所以a →与b →的夹角为34π.19.某大学为调研学生在A 、B 两家餐厅用餐的满意度,从在A 、B 两家都用过餐的学生中随机抽取了100人,每人分别对这两家餐厅进行评分,满分均为60分.整理评分数据,将分数以10为组距分为6组:[010),、[10)20,、[20)30,、[30)40,、[40)50,、[5060],,得到A 餐厅分数的频率分布直方图和B餐厅分数的频数分布表:(1)在抽样的100人中,求对A 餐厅评分低于30的人数;(2)从对B 餐厅评分在[020),范围内的人中随机选出2人,求2人中恰有1人评分在[010),范围内的概率.(3)如果从A 、B 两家餐厅中选择一家用餐,你会选择哪一家?说明理由.【答案】(1)20人;(2)35;(3)选择B 餐厅用餐,理由见解析.【分析】(1)由A 餐厅分数的频率分布直方图得频率,从而得人数;(2)对B 餐厅评分在[010),范围内的有2人,记为m 、n ,对B 餐厅评分在[10)20,范围内的有3人,记为a 、b 、c ,用列举法写出任选2人可能,计数后可计算出所求概率;(3)由(1)(2)比较得分低于30分的人数可得结论.【详解】(1)由A 餐厅分数的频率分布直方图,得对A 餐厅评分低于30分的频率为:(0.0030.0050.012)100.2++⨯=,∴对A 餐厅评分低于30的人数为1000.220⨯=人,(2)对B 餐厅评分在[010),范围内的有2人,设为m 、n ,对B 餐厅评分在[10)20,范围内的有3人,设为a 、b 、c ,从这5人中随机选出2人的选法为:mn 、ma 、mb 、mc 、na 、nb 、nc 、ab 、ac 、bc ,共10种,其中恰有1人评分在[010),范围内的选法包括:ma 、mb 、mc 、na 、nb 、nc ,共6种,故2人中恰有1人评分在[010),范围内的概率为63105P ==,(3)从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例来看,由(1)得,抽样的100人中,A 餐厅评分低于30的人数为20,∴A 餐厅评分低于30分的人数所占的比例为20%,B 餐厅评分低于30分的人数为23510++=,∴B 餐厅得分低于30分的人数所占的比例为10%,∴会选择B 餐厅用餐.20.在ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知5,2,45b c B ==∠= .(1)求边BC 的长﹔(2)在边BC 上取一点D ,使得4cos 5ADB Ð=,求sin DAC ∠的值.【答案】(1)3BC =;(2)2525.【解析】(1)在ABC 中,利用余弦定理即可求解;(2)在ABC 中,由正弦定理可以求出5sin 5C =,再利用ADC ∠与ADB ∠互补可以求出4cos 5ADC ∠=-,得出ADC ∠是钝角,从而可得C ∠为锐角,即可求出cos C 和sin ADC ∠的值,利用sin sin()DAC ADC C ∠=∠+∠展开代入数值即可求解.【详解】在ABC 中,因为5b =,2c =,45B ∠= ,由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,得2252222a a =+-⨯⨯⨯所以2230a a --=解得:3a =或1a =-(舍)所以3BC =.(2)在ABC 中,由正弦定理sin sin b c B C =,得52sin 45sin C= .所以5sin 5C =在ADC △中,因为()4cos 180cos cos 5ADB ADB ADC -∠=-∠∠=-= ,所以ADC ∠为钝角.而180ADC C CAD ∠+∠+∠= ,所以C ∠为锐角故225cos 1sin 5C C =-=因为4cos 5ADC ∠=-,所以22431cos 155sin ADC ADC ⎛⎫∠=-∠=--= ⎪⎝⎭,()sin sin 180sin ()DAC ADC C ADC C ∠=-∠-∠=∠+∠ ,sin cos cos sin ADC C ADC C=∠∠+∠∠3254525555525=⨯-⨯=【点睛】关键点点睛:本题解题的关键是利用两角互补余弦互为相反数求出4cos 5ADC ∠=-,可得ADC ∠为钝角,从而C ∠为锐角,可确定cos C 的值.21.如图,在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,14AA =,2AB =,E ,M ,N 分别是BC ,1BB ,1A D 的中点.(1)求三棱锥1C C DE -的体积;(2)求异面直线MN 与1C D 所成角的余弦值.【答案】(1)43;(2)25.【解析】(1)因为11C C DE C CDE V V --=,由正四棱柱1111ABCD A B C D -,可知1CC 为点1C 到平面CDE 的高,结合已知,即可求得答案;(2)取AD 的中点Q ,连接NQ ,BQ ,证明//NQ MB 且NQ MB =,可得1C DE ∠为异面直线MN 与1C D 所成角(或其补角),求解三角形可得115,17,25DE C E C D ===再由余弦定理可得异面直线MN 与1C D 所成角的余弦值.【详解】(1) 1113C C DE C CDE CDE V V S h --∆==,在正四棱柱1111ABCD A B C D -中∴1CC ⊥平面ABCD ,即1CC 为点1C 到平面CDE 的高111111421432323C C DE V CD CE CC -∴=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=(2)取AD 的中点Q ,连接NQ ,BQN 为1A D 的中点∴1//NQ AA 且112NQ AA =, M 为1BB 的中点,∴1//MB AA ,且112MB AA =∴//NQ MB 且NQ MB=∴四边形MNQB 是平行四边形,∴//MN BQ 且MN BQ=同理可证//DE BQ 且DE BQ=∴//MN DE 且MN DE=∴1C DE ∠为异面直线MN 与1C D 所成角(或其补角).在正方形ABCD 中,2AB =,E 为BC 中点∴115,17,25DE C E C D ===∴22211112cos 25DE DC C C D E E DC DE +-∠==⋅⋅.∴异面直线MN 与1C D 所成角的余弦值为25.【点睛】关键点睛:本题考查了求异面直线夹角问题,解题关键是将求两条异面直线夹角问题转化为求共面直线夹角,结合余弦定理进行求解.22.如图,平面四边形ABCD 中,BC CD ⊥,3AB AD BC ===,23BD =,以BD 为折痕将ABD △折起,使点A 到达点P 的位置,且6PC =.(1)若E 为棱PD 中点,求异面直线CE 与PB 所成角的余弦值;(2)证明:平面BCD ⊥平面PBC ;(3)求二面角P BD C --的平面角的正弦值.【答案】(1)13;(2)证明见解析;(3)306.【分析】(1)取DB 的中点M ,连接ME ,MC ,CE ,证明出MEC ∠即为异面直线CE 与PB 所成的角,分别求出NE 、EC 、CM ,在MEC 中,由余弦定理求出异面直线CE 与PB 所成角的余弦值;(2)直接利用面面垂直的判定定理证明平面BCD ⊥平面PBC ;(3)解:在平面PBC 内,过点P 作PF BC ⊥于F ,连接MF ,证明出PMF ∠即为二面角P BD C --的平面角,求出PF ,PM ,在Rt PFM △中,可以求出二面角P BD C --的平面角的正弦值.【详解】(1)解:取DB 的中点M ,连接ME ,MC ,CE ,因为E 为PD 的中点,则//ME PB ,则MEC ∠即为异面直线CE 与PB 所成的角,在PCD 中,6PC =,3CD =,3PD =,则222PD PC CD =+,所以PCD 为直角三角形,则1322CE PD ==,在MEC 中,1322ME PB ==,132MC BD ==,32CE =,由余弦定理可得,222993144cos 3323222ME CE MC MEC ME CE +-+-∠===⋅⋅⨯⨯,故异面直线CE 与PB 所成角的余弦值为13;(2)证明:由(1)可知,CD PC ⊥,又CD BC ⊥,PC BC C ⋂=,PC ,BC ⊂平面PBC ,所以CD ⊥平面PBC ,又CD ⊂平面BCD ,所以平面BCD ⊥平面PBC ;(3)解:在平面PBC 内,过点P 作PF BC ⊥于F ,连接MF ,由(2)可知,平面BCD ⊥平面PBC ,又平面BCD 平面PBC BC =,所以PF ⊥平面BCD ,因为PM BD ⊥,由三垂线定理可得,MF BD ⊥,则PMF ∠即为二面角P BD C --的平面角,在PBC 中,由余弦定理可得2229962cos 22333PB BC PC B PB BC +-+-===⋅⋅⨯⨯,在Rt PBF 中,2cos 33BF BF B PB ===,所以2,945BF PF ==-=,在等腰PBD △中,22936PM PB BM =-=-=,在Rt PFM △中,530sin 66PF PMF PM ∠===,故二面角P BD C --的平面角的正弦值为306.【点睛】立体几何解答题的基本结构:(1)第一问一般是几何位置关系的证明,用判定定理;(2)第二问是计算,求角或求距离(求体积通常需要先求距离).如果求体积(或求距离),常用的方法有:(1)直接法;(2)等体积法;(3)补形法;(4)向量法.。
福州八中2019学年第二学期期末考试高一数学 必修Ⅳ考试时间:120分钟 试卷满分:150分第Ⅰ卷(100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分。
每题有且只有一个选项是正确的,请把答案填在答卷相应位置上) 1.化简AC -BD +CD -AB 得A .ABB .C .D .2.设sin α=-53,cos α=54,那么下列的点在角α的终边上的是 A .(-3,4) B .(-4,3) C .(4,-3) D .(3,-4)3.cos43°cos77°+sin43°cos167°的值是A.B .12 CD .12- 4.函数)sin(ϕω+=x A y (A >0,ω>0,0<ϕ<π)在一个周期内的图象如右图,此函数的解析式为A .)322sin(2π+=x yB .)32sin(2π+=x yC .)32sin(2π-=x yD .)32sin(2π-=x y5.在边长为2的正三角形ABC 中,∙为A .32B .32-C .2D .2-6.如图,ABCD 的对角线交点是O ,则下列等式成立的是 A .=+B .BA OB OA =+C .AB OB AO =-D .CD OB OA =-7.若()414tan ,52tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+πββα,那么⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πα的值是 A .1813B .223C .1213 D .61x8.函数f (x)是以π为周期的奇函数且1)4(-=-πf ,则)49(πf 的值为A .4πB .-4πC .1D .-1二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 9.求值:2525sin(-)cos 36ππ+= 。
10.如图,单摆的摆线离开平衡位置的位移S (厘米)和 时间t (秒)的函数关系是2sin(2),[0,)4S t t π=+∈+∞,则摆球往复摆动一次所需要的时间是______秒11.扇形OAB 的面积是1cm 2,半径是1cm ,则它的中心角的弧度数为 。
2021-2022学年福建省福州市高一下学期期末考试数学试题一、单选题1.已知全集,集台和的关系U =R {|112}M x Z x =∈-≤-≤{}|21,N x x k k N *==+∈如图所示,则阴影部分表示的集合的元素共有( )A .2个B .3个C .4个D .无穷多个B由韦恩图可得影部分表示的集合为,由交集、补集的概念即可得解.()U N M【详解】由题意,集台,{}{}{|112}|030,1,2,3M x Z x x Z x =∈-≤-≤=∈≤≤={}|21,N x x k k N *==+∈所以阴影部分表示的集合为,有3个元素.(){}U 0,1,2N M = 故选:B.2.若M 为△ABC 的边AB 上一点,且,则( )52AB AM=CB =A .B .3522CA CM--3522CA CM - C .D .3522CA CM+3522CA CM -+ D【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得;【详解】解:因为,所以,所以52AB AM = ()52CB CA CM CA-=-.3522CB CA CM=-+故选:D.3.某品牌家电公司从其全部200名销售员工中随机抽出50名调查销售情况,销售额都在区间(单位:百万元)内,将其分成5组:,,,[]5,25[)5,9[)9,13[)13,17,,并整理得到如下的频率分布直方图,下列说法正确的是( )[)17,21[]21,25A .频率分布直方图中a 的值为0.07B .估计全部销售员工销售额的众数与中位数均为15C .估计全部销售员工中销售额在17百万元以上的有12人D .估计全部销售员工销售额的第20百分位数约为10.5D【分析】由各组的频率和为1,求出,然后再逐个分析判断即可a 【详解】由频率分布直方图可知,4(0.020.090.030.03)1a ⨯++++=解得,所以A 错误,0.08a =由频率分布直方图可知众数为15,因为前2组的频率和为,前3组的频率和为40.0240.080.40.5⨯+⨯=<,所以中位数在第3组,设中位数为,则40.0240.0840.090.760.5⨯+⨯+⨯=>x ,解得,所以B 错误,0.40.09(13)0.5x +-=14.1x ≈由频率分布直方图可知销售额在17百万元以上的频率为,所以4(0.030.03)0.24⨯+=全部销售员工中销售额在17百万元以上的约有人,所以C 错误,0.2420048⨯=因为第1组的频率为,前2组的频率和为,所以第20百分位数在第2组,设0.080.4第20百分位数为,则,解得,所以全部销售员工y 40.020.08(9)0.2y ⨯+-=10.5y =销售额的第20百分位数约为10.5,所以D 正确,故选:D 4.如图,为正方体,下列错误的是( )1111ABCD A B C D -A .平面B .//BD 11CB D 11AC A D⊥C .平面平面D .异面直线与所成的角为60°1ADC ⊥11CB D 1A D 1AC D【分析】根据正方体的性质及线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理证明即可.【详解】解:在正方体中,,平面,平1111ABCD A B C D -11//BD B D BD ⊄11CB D 11B D ⊂面,所以平面,故A 正确;11CB D //BD 11CB D 由,平面,平面,所以,11AD DA ⊥AB ⊥11ADD A 1DA ⊂11ADD A 1AB DA ⊥又,平面,所以平面,1AB AD A = 1,AB AD ⊂11ABC D 1DA ⊥11ABC D 又平面,所以,故异面直线与所成的角为,即B1AC ⊂11ABC D 11DA AC ⊥1A D 1AC 90︒正确,D 错误;又由,平面,平面,所以,11DC D C ⊥AD ⊥11DD C C 1D C ⊂11DD C C 1AD D C ⊥又,平面,所以平面,1AD DC D = 1,AD DC ⊂1ADC 1D C ⊥1ADC 又平面,所以平面平面,故C 正确;1D C ⊂11B D C 11B D C ⊥1ADC故选:D5.已知,且,成立的充分而不必要条件是( )0a >1a ≠3log 14a<A .B .C .D .13,44⎛⎫ ⎪⎝⎭3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭1,14⎛⎫⎪⎝⎭30,(1,)4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ A【分析】分别讨论和两种情况,根据对数函数单调性,可得a 的范围,根1a >10a >>据充分、必要条件的概念,分析即可得答案.【详解】当时,在为单调递增函数,则恒成立,1a >log a y x =(0,)+∞3log 014a<<当时,在为单调递减函数,10a >>log a y x =(0,)+∞由,可得,解得,3log 14a<3log log 4a a a<304a <<综上使成立a 的范围是,3log 14a<30,(1,)4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 由题意: “选项”是使 “”成立的充分而不必要条件,3log 14a<所以由“选项”可推出 “”成立,反之不成立,30,(1,)4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 分析选项可得,只有A 符合题意,故选:A6.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时,相应水面的面积为;水位为海拔时,1485m .21400km .1575m .相应水面的面积为,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水21800km .库水位从海拔上升到)( )1485m .1575m . 2.65≈A .B .C .D .931.010m⨯931.210m⨯931.410m⨯931.610m⨯C【分析】根据题意只要求出棱台的高,即可利用棱台的体积公式求出.【详解】依题意可知棱台的高为(m),所以增加的水量即为棱台157.5148.59MN =-=的体积.V 棱台上底面积,下底面积,262140.014010S ==⨯km m 262180.018010S '==⨯km m∴((66119140101801033V h S S =+=⨯⨯⨯+⨯'.(()679933320109618 2.6510 1.43710 1.410(m )=⨯+⨯≈+⨯⨯=⨯≈⨯故选:C .7.口袋里装有1红,2白,3黄共6个形状相同小球,从中取出2球,事件“取出A =的两球同色”,事件“取出的2球中至少有一个黄球”,事件“取出的2球至少有B =C =一个白球”,事件“取出的2球不同色”,“取出的2球中至多有一个白球”.下列D =E =判断中正确的是( )A .B .()()()P A B P A P B +=+()()1P C P D +=C .D .()1P C E = ()()P B P C =C【分析】根据给定条件,计算判断A ,B ,D ;分析事件与(),(),(),()P A P B P C P D C 所含事件判断C 作答.E 【详解】依题意,,,而2222332266C C C 44(),()1C 15C 5P A P B +===-=16()()115P A P B +=>,A 不正确;()1P A B +≤,,B 不正确;2426C 311()1,()1()C 515P C P D P A =-==-=()()1P C P D +>事件是含有1个白球与含有两个白球的两个互斥事件和,事件是含有1个白球与C E 没有白球的两个互斥事件和,事件是必然事件,因此,C 正确;C E ⋃()1P C E = 因,,则,即D 不正确.4()5P B =3()5P C =()()P B P C ≠故选:C8.已知一个三角形的三边是连续的三个自然数,且最大角是最小角的2倍,则该三角形的最小角的余弦值是A .B .4534C .D18B【分析】设的最大角为,最小角为,可得出,,由题意得ABC ∆B C 1b a =+1c a =-出,由二倍角公式,利用正弦定理边角互化思想以2B C =sin sin 22sin cos B C C C ==及余弦定理可得出关于的方程,求出的值,可得出的值.a a cos C 【详解】设的最大角为,最小角为,可得出,,ABC ∆B C 1b a =+1c a =-由题意得出,,所以,,2B C =sin sin 22sin cos B C C C ∴==2cos b c C =即,即,2cos bCc =222b a b c c ab +-=将,代入得,解得,,,1b a =+1c a =-222b a b c c ab +-=1411a a a a ++=-+5a =6b ∴=4c =则,故选B.63cos 284b C c ===本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形,解题时根据对称思想设边长可简化计算,另外就是充分利用二倍角公式进行转化是解本题的关键,综合性较强.二、多选题9.复数,,下列结论正确的是( )()21(1)iz m m =-+-R m ∈A .若z 对应复平面上的点在第四象限,则1m <-B .若z 是纯虚数,则1m =±C .当时,z 是虚数1m ≠D .当时,2m =10z =AC【分析】根据给定复数,利用复数的概念及几何意义,逐项分析、计算判断作答.【详解】复数,,()21(1)iz m m =-+-R m ∈对于A ,z 对应复平面上的点在第四象限,则,解得,A 正确;21010m m ⎧->⎨-<⎩1m <-对于B ,z 是纯虚数,则,解得,B 不正确;21010m m ⎧-=⎨-≠⎩1m =-对于C ,当时,复数z 的虚部,z 是虚数,C 正确;1m ≠10m -≠对于D ,当时,,则,D 不正确.2m =3i z =+||z ==故选:AC10.已知,,且,则下列说法正确的是( )0a >0b >21a b +=A .的最小值为B .的最大值为22a b +15ab 18C .的最大值为D .的最小值为1a b +4311a b +AB【分析】利用基本不等式及函数的性质计算可得.【详解】解:对于A :由,,,则,0a >0b >21a b +=12a b =-所以,解得,1200b b ->⎧⎨>⎩102b <<所以,22222221(12)541555a b b b b b b ⎛⎫+=-+=-+=-+⎪⎝⎭所以当时,有最小值,故A 正确.25b =22a b +15对于B :由,,,当且仅当,即,0a >0b >12a b =+≥18ab ≤2a b =12a =时等号成立,14b =所以的最大值是,故B 正确;ab 18对于C :由,,,则,所以,解得,0a >0b >21a b +=12a b =-1200b b ->⎧⎨>⎩102b <<所以,因为,所以,111121a b b b b -==+-+-102b <<1112b -<-<-所以,所以,即,故C 错误;1211b -<<--1121b -<<-112a b <<+对于D :112221233a b a b b a a b a b a b +++=+=+++≥+=+当且仅当,即,时取等号,故D 错误;2b aa b =b =1a =故选:AB11.函数(常数,)的部分图象如图所示,下列结论正()sin()f x A x ωϕ=+0A >0>ω确的是( )A .(0)1f =B .在区间上单调递增5π[,0]12-C .将的图象向左平移个单位,所得函数是偶函数()f x π10D .2π()()3f x f x =--BD【分析】根据给定的函数图象,求出函数的解析式,再逐项分析判断作答.()f x 【详解】观察函数的图象知,,最小正周期满足,即()f x 2A =T 37ππ3π(41264T =--=,则,πT =2π2T ω==由得,,即,而,因此π()06f -=π2()π,Z 6k k ϕ⨯-+=∈ππ+,Z 3k k ϕ=∈(0)2sin 0f ϕ=>,π2π,Z3k k ϕ=+∈于是得,A 不正确;π()2sin(2)3f x x =+π(0)2sin 3f ==当时,,因此函数在上单调递增,B 正确;5012x π-≤≤πππ2233x -≤+≤()f x 5π[,0]12-因,则将的图象向左平移个单位,πππ8π()2sin[2()]2sin(2)1010315f x x x +=++=+()f x π10所得函数不是偶函数,C 不正确;,D 正确.2π2ππππ()2sin[2()]2sin[2π(22sin(2)()33333f x x x x f x -=-+=-+=-+=-故选:BD12.设函数的定义域为,且满足,,当()y f x =R ()(2)f x f x =-()(2)f x f x -=--时,,则下列说法正确的是( )(1,1]x ∈-2()1f x x =-+A .B .当时,的取值范围为(2022)1f =[]4,6x ∈()f x []1,0-C .为奇函数D .方程仅有5个不同实(3)y f x =+()lg(1)f x x =+数解BCD【分析】根据给定条件,确定函数的对称性、周期性,判断A ,B ,C ;作出函数()f x 、的部分图象判断D 作答.()y f x =lg(1)y x =+【详解】依题意,当时,,当时,,函数10x -<<()01f x <<01x ≤≤()01f x ≤≤的定义域为,有,()y f x =R ()(2)f x f x =-又,即,因此有,即()(2)f x f x -=--()(2)f x f x =---(2)(2)x x f f =----,(4)()f x f x +=-于是有,从而得函数的周期,(8)(4)()f x f x f x +=-+=()f x 8T =对于A ,,A 不正确;()()()()()2022252866201f f f f f =⨯+==-=-=-对于B ,当时,,有,则,45x ≤≤041x ≤-≤0(4)1f x ≤-≤()(4)[1,0]f x f x =--∈-当时,,,有,56x ≤≤423x -≤-≤-0(2)41x ≤-+≤0[(2)4]1f x ≤-+≤,当时,的取值范围为,B ()(2)[(2)4][1,0]f x f x f x =-=--+∈-[]4,6x ∈()f x []1,0-正确;对于C ,,函数(3)[(3)4](1)[2(1)](3)f x f x f x f x f x +=-++=--=---=--+为奇函数,C 正确;(3)y f x =+对于D ,在同一坐标平面内作出函数、的部分图象,如图:()y f x =lg(1)y x =+方程的实根,即是函数与的图象交点的横坐标,()lg(1)f x x =+()y f x =lg(1)y x =+观察图象知,函数与的图象有5个交点,因此方程()y f x =lg(1)y x =+仅有5个不同实数解,D 正确.()lg(1)f x x =+故选:BCD方法点睛:图象法判断函数零点个数,作出函数f (x )的图象,观察与x 轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数,作出这两个函数的图象,观察它们的公共点个数.三、填空题13.若,则___________.log 86x =2log x =120.5【分析】利用换底公式及对数的运算法则计算可得.【详解】解:因为,所以,即,即,log 86x =22log 86log x =223log 26log x =236log x =所以;21log 2x =故1214.若,,,则与的夹角大小为___________.1a = 12a b ⋅=()()12a b a b -⋅+= a b 4π45︒【分析】根据数量积的运算律求出,再根据夹角公式计算可得;b【详解】解:因为,,1a =()()12a b a b -⋅+= 所以()()222212a b a b a b a b -⋅+=-=-=又,设与的夹角为,所以,12a b ⋅=a b θcos θ=因为,所以.[]0,θπ∈4πθ=故4π15.某同学进行投篮训练,在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别,14,,该同学站在这三个不同的位置各投篮一次,至少投中一次的概率为,则13p 56的值为________.p 23【分析】由概率的乘法公式求三次均不中的概率后列方程求解【详解】该同学在三个不同的位置各投篮一次,至少投中一次的概率为:,解得.1151(1)436p ----=23p =故2316.集合有10个元素,设M 的所有非空子集{}66,11,23,10,911,1,18,100,0,πM =---为每一个中所有元素乘积为,则iM ()1,2,,1023i = i M i m ()1,2,,1023i = ___________.1231023m m m m ++++=-1【分析】分析可得M 的所有非空子集为可分为4类,分别分析4类子集中,所有i M 元素乘积,综合即可得答案.i m 【详解】集合M 的所有非空子集为可以分成以下几种情况iM ()1,2,,1023i = ①含元素0的子集共有个,这些子集中所有元素乘积;92512=0im =②不含元素0,含元素-1且含有其他元素的子集有个821255-=③不含元素0,不含元素-1,但含其他元素的子集有个821255-=其中②③中元素是一一对应的,且为相反数,则的和为0,i m ④只含元素-1的子集1个,满足,1i m =-综上:所有子集中元素乘积.12310231m m m m ++++=- 故-1四、解答题17.已知是关于x 的实系数方程的一个复数根.11z =+20x mx n ++=(1)求实数,的值:m n (2)设方程的另一根为,复数,对应的向量分别是,,若向量与2z 1z 2z a bta b - 垂直,求实数的值.ta b +t (1),;2m =-3n =(2)1t =±【分析】(1)由实系数一元二次方程虚根成对原理及根与系数的关系求解与的值;m n (2)求出的坐标,进一步求得与的坐标,再由向量垂直与数量积的关,a b ta b - + ta b 系列式求得实数的值.t【详解】(1)解:(1)是关于的实系数方程的一个复数根,11z = x 20x mx n ++=是关于的实系数方程的另一个复数根,21z ∴=x 20x mx n ++=由根与系数的关系可得,即;112m -=+=2m =-.2(11123n ==-=+=,;2m ∴=-3n =(2)解:由(1)知,,,a =(1,b =则,,(ta b t -=- (1,)ta b t +=+由与垂直,可得,ta b - + ta b ()()221220ta b ta b t t -⋅+=--+= 解得.1t =±18.已知函数,其中,且.()2cos sin f x x x xωωω=+06ω<<1122f π⎛⎫=⎪⎝⎭(1)求函数的单调递增区间;()f x (2)若,且,求的值.(),126ππθ∈()56f θ=cos 212πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(1)递增区间为且;[,]63k k ππππ-+Z k ∈【分析】(1)由二倍角正余弦及辅助角公式可得,根据已知条1()sin(262f x x πω=-+件可得,,进而有,再应用正弦函数性质求单调增区间.66k ππωπ-=Z k ∈1ω=(2)根据已知求得,结合角的范围求得1sin(2)63πθ-=cos(26πθ-=及和角余弦公式求值即可.(22412)6ππθπθ-++=【详解】(1)由题设,,1cos 21()2sin(2262x f x x x ωπωω-=+=-+又,即,,故,11sin(661222f ππωπ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭-66k ππωπ-=Z k ∈61(0,6)k ω=+∈所以时,则,0k =1ω=1()sin(262f x x π=-+令,,可得,.222262k x k πππππ-≤-≤+Z k ∈63k x k ππππ-££+Z k ∈所以的单调递增区间为且.()f x [,63k k ππππ-+Z k ∈(2)由(1)知:,可得,15sin(2626πθ-+=1sin(263πθ-=又,则,故(),126ππθ∈2(0,66ππθ-∈cos(2)6πθ-=而cos 2cos[c (2)(2)cos sin(2os 12)sin 646464ππππππθθπθθ-⎛⎫+== ⎪-⎝-⎭+-=.13=19.如图,在四棱锥P-ABCD中,AD ∥BC ,ADC=PAB=90°,BC=CD=AD .E 为棱∠∠12AD 的中点,异面直线PA 与CD 所成的角为90°.(I )在平面PAB 内找一点M ,使得直线CM ∥平面PBE ,并说明理由;(II)若二面角P-CD-A 的大小为45°,求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) .13【详解】【分析】试题分析:本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识,考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.第一问,利用线面平行的定理,先证明线线平行,再证明线面平行;第二问,可以先找到线面角,再在三角形中解出正弦值,还可以用向量法建立直角坐标系解出正弦值.试题解析:(Ⅰ)在梯形ABCD 中,AB 与CD 不平行.延长AB ,DC ,相交于点M (M ∈平面PAB ),点M 即为所求的一个点.理由如下:由已知,BC ∥ED ,且BC=ED.所以四边形BCDE 是平行四边形. 从而CM ∥EB.又EB 平面PBE ,CM 平面PBE ,⊂⊄所以CM ∥平面PBE.(说明:延长AP 至点N ,使得AP=PN ,则所找的点可以是直线MN 上任意一点)(Ⅱ)方法一:由已知,CD ⊥PA ,CD ⊥AD ,PA AD=A ,所以CD ⊥平面PAD.从而CD ⊥PD.所以PDA 是二面角P-CD-A 的平面角.∠所以PDA=45°.∠设BC=1,则在Rt △PAD 中,PA=AD=2.过点A 作AH ⊥CE ,交CE 的延长线于点H ,连接PH.易知PA ⊥平面ABCD ,从而PA ⊥CE.于是CE ⊥平面PAH.所以平面PCE ⊥平面PAH.过A 作AQ ⊥PH 于Q ,则AQ ⊥平面PCE.所以APH 是PA 与平面PCE 所成的角.∠在Rt △AEH 中,AEH=45°,AE=1,∠所以.在Rt △PAH 中,,所以sin APH= =.∠AH PH 13方法二:由已知,CD ⊥PA ,CD ⊥AD ,PA AD=A , 所以CD ⊥平面PAD.于是CD ⊥PD.从而PDA 是二面角P-CD-A 的平面角.∠所以PDA=45°.∠由PA ⊥AB ,可得PA ⊥平面ABCD.设BC=1,则在Rt △PAD 中,PA=AD=2.作Ay ⊥AD ,以A 为原点,以 ,的方向分别为x 轴,z 轴的正方向,建立如图所AD AP示的空间直角坐标系A-xyz ,则A (0,0,0),P (0,0,2),C(2,1,0),E(1,0,0),所以=(1,0,-2), =(1,1,0),=(0,0,2)PEEC AP 设平面PCE 的法向量为n=(x,y,z),由 得 设x=2,解得n=(2,-2,1).0,{0,n PE n EC ⋅=⋅= 20,{0,x z x y -=+=设直线PA 与平面PCE 所成角为α,则sinα==.||n AP n AP⋅⋅13=所以直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为 .13线线平行、线面平行、向量法.20.在对某中学高一年级学生身高的调查中,根据性别对总体进行分层,用分层随机抽样的方法进行调查,抽取了一个容量为40的样本,其中男生18人,女生22人,其观测数据(单位:)如下:cm 男生172.0174.5166.0172.0170.0165.0165.0168.0164.0172.5172.0173.0175.0168.0170.0172.0176.0174.0女生163.0164.0161.0157.0162.0165.0158.0155.0164.0162.5154.0154.0164.0149.0159.0161.0170.0171.0155.0148.0172.0162.5(1)从身高在的男生中随机抽取2人,求至少有1人的身高大于174.5[]173.0,176.0的概率:cm (2)利用题目中所给数据和参考数据,计算出总样本的方差,并对该中学高一年级全体学生的身高方差作出估计(精确到0.1).参考数据:,,,,1821129083.318i i y =≈∑170.5y =2221125799.422i i z =≈∑160.5z =,,其中男生样本记为,女生样本记为2170.529070.3≈2160.525760.3≈1218,,,y y y 2122,,,z z z (1);710(2),该中学高一年级全体学生的身高方差大约为52.1.52.1【分析】(1)利用列举法求出基本事件数,再利用古典概率公式计算作答.(2)求出男生样本、女生样本方差,总样本平均数,再利用方差计算公式列式求解作答.【详解】(1)由给定数表知,身高在的男生共5人,记内的3[]173.0,176.0[]173.0,174.5名男生为,身高大于174.5的两名男生记为,123,,A A A cm 12,B B 从身高在的男生中随机抽取2人的样本空间:[]173.0,176.0,12131112232122313212{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B Ω=共10个,至少有1人的身高大于174.5的事件为M ,则M 含有基本事件:cm ,共7个,11122122313212(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A B A B A B A B A B B B 所以至少有1人的身高大于174.5的概率.cm 7()10P M =(2)男生样本方差,181822221111()170.529083.329070.313.01818yi i i i s y y y ===-=-=-=∑∑女生样本方差,222222221111()160.525799.425760.339.12222zi i i i s z z z ===-=-=-=∑∑设总样本的平均数为,方差为,则,x 2s 182218170.522160.51654040y z x +⨯+⨯===,1822182222222111111[()()][()()]4040i i i i i i i i s y x z x y y y x z z z x =====-+-=-+-+-+-∑∑∑∑181818222111()()2()()18()iii i i i y x y y y x y y y x ===-=-+--+-∑∑∑18182211()2()(18)18()i i i i y y y x y y y x ===-+--+-∑∑,22218018()1813.018(170.5165)778.5y s y x =++-=⨯+⨯-=222222222111()()2()()22()iii i i i z x z z z x z z z x ===-=-+--+-∑∑∑22222211()2()(22)22()i i i i z z z x z z z x ===-+--+-∑∑,22222022()2239.122(160.5165)1305.7z s z x =++-=⨯+⨯-=因此,,2778.51305.752.140s +==所以该中学高一年级全体学生的身高方差大约为.52.121.已知函数是偶函数.()3()log 91x f x kx=++(1)当,函数存在零点,求实数的取值范围;0x ≥()y f x x a =-+a (2)设函数,若函数与的图象只有一个公共点,求实数()3()log 32x h x m m=⋅-()f x ()h x 的取值范围.m (1)(),0∞-(2)()1,+∞ 【分析】(1)利用偶数数的定义,即可求出实数的值,从而得到()()f x f x -=k 的解析式;令,得,构造函数,将问题转()f x ()0f x x a -+=()a f x x -=-()()g x f x x =-化为直线与函数的图象有交点,从而求出实数的取值范围;y a =-()y g x =a (2)依题意等价于关于的方程只有一个解,令,x ()33log (32)log 33x x x m m -⋅-=+3x t =讨论的正根即可.2(1)210m t mt ---=【详解】(1)解:是偶函数,,()f x ()()f x f x ∴-=即对任意恒成立,33log (91)log (91)x xkx kx -+-=++R x ∈,23333912log (91)log (91)log log 3291x xxx x kx x---+∴=+-+===-+.1k ∴=-即,()3()log 91x f x x=+-因为函数有零点,即方程有实数根.()y f x x a =-+3log (91)2xx a +-=-令,则函数与直线有交点,3()log (91)2xg x x =+-()y g x =y a =-333()log (91)2log (91)log 9x x x g x x =+-=+- ,33911log log (1)99x x x +==+又,,1119x+>31()log (1)09x g x ∴=+>,所以,即的取值范围是.0a ∴->0a <a (),0∞-(2)解:因为,()()()3333391()log 91log 91log 3log log 333x xxxx x x f x x -+=⎛ =+-⎫⎪⎝⎭=+-=+又函数与的图象只有一个公共点,()f x ()h x 则关于的方程只有一个解,x ()33log (32)log 33x x x m m -⋅-=+所以,3233x x xm m -⋅-=+令,得,3(0)x t t =>2(1)210m t mt ---=①当,即时,此方程的解为,不满足题意,10m -=1m =12t =-②当,即时,此时,又,10m ->1m >()2244(1)410m m m m ∆=+-=+->12201mt t m +=>-,12101t t m -=<-所以此方程有一正一负根,故满足题意,③当,即时,由方程只有一正根,则需10m -<1m <2(1)210m t mt ---=,244(1)(1)0202(1)m m mm ⎧--⨯-=⎪-⎨->⎪-⎩解得m =综合①②③得,实数的取值范围为:.m ()1,+∞ 22.如图,要测量河对岸的塔高.请设计一个方案,包括:(1)指出需要测量的AB 数据(用字母表示,并在图中标出):(2)用文字和公式写出计算的长的步骤.AB 答案见解析.【分析】先在地面取两点,,保持,,在同一直线上,再测量的长度,C D B C D CD ,两点关于塔顶的仰角大小,而后利用正弦定理求出的长.C D AB 【详解】(1)如图,在地面取一点,测得塔顶的仰角,往远离河岸且保持C ACB α∠=与在同一直线上的方向移动的距离到达点,测得塔顶的仰角.BC m D ADB β∠=(2)在中,由正弦定理得,,ACD △sin sin AC CDADC DAC =∠∠即,.()sin sin AC mβαβ=-()sin sin m AC βαβ=-在中,因为,所以.ACB △AB BC ⊥()sin sin sin sin m AB AC αβααβ==-。
福建省福州八中2021-2021学年高一数学下学期期末考试试卷2. 在△ABC 中, a = 2 ,b =30A = , 则B=A .60B .60或 120C .30D .30或1503. 在等比数列{}n a 中,1240a a +=,3460a a +=,那么78a a +=A .80B .90C .100D .1354. ABC ∆中,C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2-+-=,则A cos 的值为A.12B.C. 12-D. 5. 在等差数列{}n a 中,假设11006100510041003=+++a a a a =18那么该数列的前2020项的和A .18072B .3012C .9036D .120486. 假设0<a <1,那么不等式(x -a )(x -1a)>0的解集为 A. (a ,1a) B .(-∞,1a )∪(a ,+∞)C .(1a,a )D.(-∞,a )∪(1a,+∞)7. 已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-,第k 项知足58k a <<,那么k =A. 9B.8C.7D. 68. 假设a,b,c 成等比数列,m 是a,b 的等差中项,n 是b,c 的等差中项,那么=+ncm aA .4B .3C .2D .19. 设c b a 、、别离是ABC ∆中C B A ∠∠∠、、所对边的边长,那么直线(sin )0A x ay c ++=与0sin )(sin =+-C y B bx 的位置关系是A.垂直B. 平行C. 重合D.相交但不垂直10. 利用大体不等式求最值,以下各式运用正确的选项是A.4424=⋅≥+=xx x x y B.)(4sin 4sin 2sin 4sin 为锐角x xx x x y =⋅≥+= C. 43432343=⋅≥+=x x x x yD.410log 4lg 210log 4lg =⋅≥+=x x x x y二、填空题(此题共4小题,每题4分,共16分,请将所选答案写在答题卷上)11.假设变量x ,y 知足约束条件142x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,那么目标函数24z x y =+的最大值为___ __。
一、选择题1.(0分)[ID :12727]设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S = A .5B .7C .9D .112.(0分)[ID :12724]已知向量()cos ,sin a θθ=,()1,2b =,若a 与b 的夹角为6π,则a b +=( )A .2BCD .13.(0分)[ID :12715]设集合{1,2,3,4}A =,{}1,0,2,3B =-,{|12}C x R x =∈-≤<,则()A B C =A .{1,1}-B .{0,1}C .{1,0,1}-D .{2,3,4}4.(0分)[ID :12709]已知集合{}22(,)1A x y x y =+=,{}(,)B x y y x ==,则A B中元素的个数为( ) A .3B .2C .1D .05.(0分)[ID :12703]已知ABC ∆是边长为4的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则•()PA PB PC +的最小值是()A .6-B .3-C .4-D .2-6.(0分)[ID :12673]在ABC 中,已知,2,60a x b B ===,如果ABC 有两组解,则x 的取值范围是( )A .23⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,B .23⎡⎢⎣⎦,C .23⎡⎢⎣⎭,D .2,3⎛ ⎝⎦7.(0分)[ID :12633]阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入N 的值为20,则输出T 的值为A .1B .2C .3D .48.(0分)[ID :12631]设函数f (x )=cos (x +3π),则下列结论错误的是 A .f(x)的一个周期为−2π B .y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C .f(x+π)的一个零点为x=6π D .f(x)在(2π,π)单调递减 9.(0分)[ID :12666]已知函数21(1)()2(1)ax x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增,则实数a 的取值范围是A .[]0,1B .(]0,1C .[]1,1-D .(]1,1-10.(0分)[ID :12656]某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验,若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是 A .8号学生B .200号学生C .616号学生D .815号学生11.(0分)[ID :12650]下列四个正方体图形中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,P 分别为其所在棱的中点,能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是( )A .①③B .②③C .①④D .②④12.(0分)[ID :12646]已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -,()(),00B m m >,若圆C 上存在点P ,使得90APB ∠=︒,则m 的最大值为( )A .7B .6C .5D .413.(0分)[ID :12639]在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知5a =,7b =,8c =,则A C +=A .90︒B .120︒C .135︒D .150︒14.(0分)[ID :12677]已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+,则1210a a a +++=( ) A .68B .67C .61D .6015.(0分)[ID :12652]将直线2x -y +λ=0沿x 轴向左平移1个单位,所得直线与圆x 2+y 2+2x -4y =0相切,则实数λ的值为( ) A .-3或7 B .-2或8 C .0或10D .1或11二、填空题16.(0分)[ID :12825]在ABC △ 中,若223a b bc -= ,sin 23sin C B = ,则A 等于__________.17.(0分)[ID :12824]在区间[﹣2,4]上随机地取一个数x ,若x 满足|x|≤m 的概率为,则m= _________ .18.(0分)[ID :12817]已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上,SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ,SA AC =,SB BC =,三棱锥S ABC -的体积为9,则球O 的表面积为______. 19.(0分)[ID :12798]若,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则sin α=_________20.(0分)[ID :12795]已知2a b ==,()()22a b a b +⋅-=-,则a 与b 的夹角为 .21.(0分)[ID :12791]如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 、F 分别是1DD 、DC 上靠近点D 的三等分点,则异面直线EF 与11A C 所成角的大小是______.22.(0分)[ID :12787]已知数列{}n a 为正项的递增等比数列,1582a a +=,2481a a ⋅=,记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,则使不等式12019113n T ->成立的最大正整数n 的值是_______.23.(0分)[ID :12743]已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m ⎧≤=⎨-+>⎩其中0m >,若存在实数b ,使得关于x 的方程f (x )=b 有三个不同的根,则m 的取值范围是________________. 24.(0分)[ID :12734]过点1(,1)2M 的直线l 与圆C :(x ﹣1)2+y 2=4交于A 、B 两点,C 为圆心,当∠ACB 最小时,直线l 的方程为_____.25.(0分)[ID :12744]已知四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是矩形,PA ⊥底面ABCD ,点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点,则 ①棱AB 与PD 所在直线垂直; ②平面PBC 与平面ABCD 垂直; ③△PCD 的面积大于△PAB 的面积; ④直线AE 与直线BF 是异面直线.以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的序号)三、解答题26.(0分)[ID :12928]某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如表所示. 组号 分组频数 频率第1组 [)160,165 5 0.050 第2组 [)165,170 ① 0.350第3组[)170,17530②第4组 [)175,18020 0.200 第5组[)180,185100.100(1)请先求出频率分布表中,①②位置的相应数据,再完成频率分布直方图; (2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试,求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试; (3)在(2)的前提下,学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试,求:第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率.27.(0分)[ID :12920]某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是[)70,80,[)80,90,[)90,100,[)90,100,[)100,110,[)110,120.()1求图中m 的值;()2根据频率分布直方图,估计这200名学生的平均分;()3若这200名学生的数学成绩中,某些分数段的人数x 与英语成绩相应分数段的人数y 之比如表所示,求英语成绩在[)90,120的人数.28.(0分)[ID :12911]在ABC ∆中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且()()3a b c a b c ab +++-=.(1)求角C 的值;(2)若2c =,且ABC ∆为锐角三角形,求+a b 的取值范围.29.(0分)[ID :12892]a b c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边,已知tan 3sin a B b A =. (1)求cos B ;(2)若3a =,b =ABC ∆的面积.30.(0分)[ID :12876]一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a ,b ,c .(Ⅰ)求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率; (Ⅱ)求“抽取的卡片上的数字a ,b ,c 不完全相同”的概率.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1.A 2.B 3.C 4.B 5.A 6.A7.B8.D9.C10.C11.C12.B13.B14.B15.A二、填空题16.【解析】由得所以即则又所以故答案为17.3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6区间﹣24上随机地取一个数x若x满足|x|≤m的概率为若m对于3概率大于若m小于3概率小于所以m=3故答案为318.36π【解析】三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上SC是球O的直径若平面SCA⊥平面SCBSA=ACSB=BC三棱锥S−ABC的体积为9可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形设球的半19.【解析】【分析】利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可【详解】因为故故答案为:【点睛】本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负同时也要利用两角和的正弦公式属20.【解析】【分析】【详解】根据已知条件去括号得:21.【解析】【分析】连接可得出证明出四边形为平行四边形可得可得出异面直线与所成角为或其补角分析的形状即可得出的大小即可得出答案【详解】连接在正方体中所以四边形为平行四边形所以异面直线与所成的角为易知为等22.6【解析】【分析】设等比数列{an}的公比q由于是正项的递增等比数列可得q>1由a1+a5=82a2•a4=81=a1a5∴a1a5是一元二次方程x2﹣82x+81=0的两个实数根解得a1a5利用通23.【解析】试题分析:由题意画出函数图象如下图所示要满足存在实数b使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根则解得故m的取值范围是【考点】分段函数函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质函数24.2x﹣4y+3=0【解析】【分析】要∠ACB最小则分析可得圆心C到直线l的距离最大此时直线l 与直线垂直即可算出的斜率求得直线l 的方程【详解】由题得当∠ACB 最小时直线l 与直线垂直此时又故又直线l 过点25.①③【解析】由条件可得AB ⊥平面PAD ∴AB ⊥PD 故①正确;若平面PBC ⊥平面ABCD 由PB ⊥BC 得PB ⊥平面ABCD 从而PA ∥PB 这是不可能的故②错;S △PCD =CD·PDS △PAB =AB·PA 由三、解答题 26. 27. 28. 29. 30.2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1.A 解析:A 【解析】1353333,1a a a a a ++===,5153355()25522S a a a a =+=⨯==,选A. 2.B解析:B 【解析】 【分析】先计算a 与b 的模,再根据向量数量积的性质22()a b a b +=+即可计算求值. 【详解】因为()cos ,sin a θθ=,()1,2b =, 所以||1a =,||3b =.又222222()2||2||||cos||6a b a b a a b b a a b b +=+=+⋅+=+π+137=++=, 所以7a b +=,故选B. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算,向量的数量积,向量的模的计算,属于中档题.3.C解析:C 【解析】分析:由题意首先进行并集运算,然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解:由并集的定义可得:{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-, 结合交集的定义可知:(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛:本题主要考查并集运算、交集运算等知识,意在考查学生的计算求解能力.4.B解析:B 【解析】试题分析:集合中的元素为点集,由题意,可知集合A 表示以()0,0为圆心,1为半径的单位圆上所有点组成的集合,集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合,又圆221x y +=与直线y x =相交于两点,22⎛ ⎝⎭,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,则A B 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时,要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合,这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大,特别是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.5.A解析:A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系,表示出点的坐标,利用向量坐标运算和平面向量的数量积的运算,求得最小值,即可求解. 【详解】由题意,以BC 中点为坐标原点,建立如图所示的坐标系, 则(0,23),(2,0),(2,0)A B C -,设(,)P x y ,则(,23),(2,),(2,)PA x y PB x y PC x y =--=---=--, 所以22()(2)(23)(2)2432PA PB PC x x y y x y y •+=-⋅-+-⋅-=-+222[(3)3]x y =+--,所以当0,3x y ==时,()PA PB PC •+取得最小值为2(3)6⨯-=-, 故选A.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的应用问题,根据条件建立坐标系,利用坐标法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.6.A解析:A 【解析】 【分析】已知,,a b B ,若ABC 有两组解,则sin a B b a <<,可解得x 的取值范围. 【详解】由已知可得sin a B b a <<,则sin602x x ︒<<,解得4323x <<.故选A. 【点睛】本题考查已知两边及其中一边的对角,用正弦定理解三角形时解的个数的判断. 若ABC 中,已知,,a b B 且B 为锐角,若0sin b a B <<,则无解;若sin b a B =或b a ≥,则有一解;若sin a B b a <<,则有两解. 7.B 解析:B 【解析】分析:由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值. 详解:结合流程图运行程序如下: 首先初始化数据:20,2,0N i T ===,20102N i ==,结果为整数,执行11T T =+=,13i i =+=,此时不满足5i ≥; 203N i =,结果不为整数,执行14i i =+=,此时不满足5i ≥; 2054N i ==,结果为整数,执行12T T =+=,15i i =+=,此时满足5i ≥; 跳出循环,输出2T =.本题选择B 选项.点睛:识别、运行程序框图和完善程序框图的思路:(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构.(2)要识别、运行程序框图,理解框图所解决的实际问题.(3)按照题目的要求完成解答并验证.8.D解析:D【解析】f (x )的最小正周期为2π,易知A 正确; f 8π3⎛⎫ ⎪⎝⎭=cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭=cos3π=-1,为f (x )的最小值,故B 正确; ∵f (x +π)=cos ππ3x ⎛⎫++⎪⎝⎭=-cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-cos 2π=0,故C 正确;由于f 2π3⎛⎫ ⎪⎝⎭=cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭=cosπ=-1,为f (x )的最小值,故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调,故D 错误.故选D.9.C解析:C【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1,x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-在(1,+∞)恒成立, 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立,故a ⩽1,而1+a +1⩾1,即a ⩾−1,综上,a ∈[−1,1],本题选择C 选项.点睛:利用单调性求参数的一般方法:一是求出函数的单调区间,然后使所给区间是这个单调区间的子区间,建立关于参数的不等式组即可求得参数范围;二是直接利用函数单调性的定义:作差、变形,由f (x 1)-f (x 2)的符号确定参数的范围,另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题.10.C解析:C【解析】【分析】等差数列的性质.渗透了数据分析素养.使用统计思想,逐个选项判断得出答案.【详解】详解:由已知将1000名学生分成100个组,每组10名学生,用系统抽样,46号学生被抽到,所以第一组抽到6号,且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ,公差10d =, 所以610n a n =+()n *∈N ,若8610n =+,则15n =,不合题意;若200610n =+,则19.4n =,不合题意; 若616610n =+,则61n =,符合题意;若815610n =+,则80.9n =,不合题意.故选C .【点睛】本题主要考查系统抽样.11.C解析:C【解析】【分析】用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性,利用线线平行来判断④的正确性.【详解】对于①,连接AC 如图所示,由于//,//MN AC NP BC ,根据面面平行的性质定理可知平面//MNP 平面ACB ,所以//AB 平面MNP .对于②,连接BC 交MP 于D ,由于N 是AC 的中点,D 不是BC 的中点,所以在平面ABC 内AB 与DN 相交,所以直线AB 与平面MNP 相交.对于③,连接CD ,则//AB CD ,而CD 与PN 相交,即CD 与平面PMN 相交,所以AB 与平面MNP 相交.对于④,连接CD ,则////AB CD NP ,由线面平行的判定定理可知//AB 平面MNP .综上所述,能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是①④.故选:C【点睛】本小题主要考查线面平行的判定,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于基础题. 12.B解析:B【解析】由题意知,点P 在以原点(0,0)为圆心,以m 为半径的圆上,又因为点P 在已知圆上,所以只要两圆有交点即可,所以15m -=,故选B.考点:本小题主要考查两圆的位置关系,考查数形结合思想,考查分析问题与解决问题的能力.13.B解析:B【解析】【分析】由已知三边,利用余弦定理可得1cos 2B =,结合b c <,B 为锐角,可得B ,利用三角形内角和定理即可求A C +的值.【详解】在ABC ∆中,5a =,7b =,8c =,∴由余弦定理可得:2222564491cos 22582a cb B ac +-+-===⨯⨯, b c <,故B 为锐角,可得60B =︒,18060120A C ∴+=︒-︒=︒,故选B .【点睛】本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用.14.B解析:B【解析】【分析】首先运用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出通项n a ,判断n a 的正负情况,再运用1022S S -即可得到答案.【详解】当1n =时,112S a ==-;当2n ≥时,()()()22141141125n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦, 故2,125,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩; 所以,当2n ≤时,0n a <,当2n >时,0n a >. 因此,()()()12101234101022612367a a a a a a a a S S +++=-+++++=-=-⨯-=.故选:B .【点睛】 本题考查了由数列的前n 项和公式求数列的通项公式,属于中档题,解题时特别注意两点,第一,要分类讨论,分1n =和2n ≥两种情形,第二要掌握()12n n n a S S n -=-≥这一数列中的重要关系,否则无法解决此类问题,最后还要注意对结果的处理,分段形式还是一个结果的形式.15.A解析:A【解析】试题分析:根据直线平移的规律,由直线2x ﹣y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位得到平移后直线的方程,然后因为此直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径,利用点到直线的距离公式列出关于λ的方程,求出方程的解即可得到λ的值.解:把圆的方程化为标准式方程得(x+1)2+(y ﹣2)2=5,圆心坐标为(﹣1,2),半径为,直线2x ﹣y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位后所得的直线方程为2(x+1)﹣y+λ=0, 因为该直线与圆相切,则圆心(﹣1,2)到直线的距离d==r=, 化简得|λ﹣2|=5,即λ﹣2=5或λ﹣2=﹣5,解得λ=﹣3或7故选A考点:直线与圆的位置关系.二、填空题16.【解析】由得所以即则又所以故答案为 解析:6π 【解析】 由23sinC sinB = 得23c b =, 所以2223323a b bc b -==⋅,即227a b =, 则222222232243b c a cosA bc b+-=== ,又0A π∈(,), 所以6A π=. 故答案为6π. 17.3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6区间﹣24上随机地取一个数x 若x 满足|x|≤m 的概率为若m 对于3概率大于若m 小于3概率小于所以m=3故答案为3解析:3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6,区间[﹣2,4]上随机地取一个数x ,若x 满足|x|≤m 的概率为,若m 对于3概率大于,若m 小于3,概率小于,所以m=3.故答案为3.18.36π【解析】三棱锥S−ABC 的所有顶点都在球O 的球面上SC 是球O 的直径若平面SCA ⊥平面SCBSA=ACSB=BC 三棱锥S−ABC 的体积为9可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形设球的半 解析:36π【解析】三棱锥S−ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,SC 是球O 的直径,若平面SCA ⊥平面SCB ,SA=AC ,SB=BC ,三棱锥S−ABC 的体积为9,可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形,设球的半径为r , 可得112932r r r ⨯⨯⨯⨯= ,解得r=3.球O 的表面积为:2436r ππ= .点睛:与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径. 19.【解析】【分析】利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可【详解】因为故故答案为:【点睛】本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负同时也要利用两角和的正弦公式属解析:46+ 【解析】【分析】利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可.【详解】因为1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故cos 43πα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭ sin sin cos cos s s in 44i 44n 44ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=14sin cos 2442336ππαα⎡⎤⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+=--=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故答案为:46+【点睛】本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法,同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负,同时也要利用两角和的正弦公式,属于中等题型. 20.【解析】【分析】【详解】根据已知条件去括号得:解析:60︒【解析】【分析】【详解】根据已知条件(2)()2a b a b +⋅-=-,去括号得:222422cos 242a a b b θ+⋅-=+⨯⨯-⨯=-,1cos ,602θθ︒⇒== 21.【解析】【分析】连接可得出证明出四边形为平行四边形可得可得出异面直线与所成角为或其补角分析的形状即可得出的大小即可得出答案【详解】连接在正方体中所以四边形为平行四边形所以异面直线与所成的角为易知为等 解析:60【解析】【分析】连接1CD ,可得出1//EF CD ,证明出四边形11A BCD 为平行四边形,可得11//A B CD ,可得出异面直线EF 与11A C 所成角为11BA C ∠或其补角,分析11A BC ∆的形状,即可得出11BA C ∠的大小,即可得出答案.【详解】连接1CD 、1A B 、1BC ,113DE DF DD DC ==,1//EF CD ∴, 在正方体1111ABCD A B C D -中,11//A D AD ,//AD BC ,11//A D BC ∴,所以,四边形11A BCD 为平行四边形,11//A B CD ∴,所以,异面直线EF 与11A C 所成的角为11BA C ∠.易知11A BC ∆为等边三角形,1160BA C ∴∠=.故答案为:60.【点睛】本题考查异面直线所成角的计算,一般利用平移直线法,选择合适的三角形求解,考查计算能力,属于中等题.22.6【解析】【分析】设等比数列{an}的公比q 由于是正项的递增等比数列可得q >1由a1+a5=82a2•a4=81=a1a5∴a1a5是一元二次方程x2﹣82x+81=0的两个实数根解得a1a5利用通解析:6【解析】【分析】设等比数列{a n }的公比q ,由于是正项的递增等比数列,可得q >1.由a 1+a 5=82,a 2•a 4=81=a 1a 5,∴a 1,a 5,是一元二次方程x 2﹣82x+81=0的两个实数根,解得a 1,a 5,利用通项公式可得q ,a n .利用等比数列的求和公式可得数列{2n a }的前n 项和为T n .代入不等式2019|13T n ﹣1|>1,化简即可得出. 【详解】 数列{}n a 为正项的递增等比数列,1582a a +=,a 2•a 4=81=a 1a 5,即15158281a a a a +=⎧⎨⋅=⎩解得15181a a =⎧⎨=⎩,则公比3q =,∴13n n a -=, 则2122221333n n T -=++++ 11132311313n n -⎛⎫=⨯=- ⎪⎝⎭-, ∴12019113n T ->,即1201913n ⨯>,得32019n <,此时正整数n 的最大值为6. 故答案为6.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.23.【解析】试题分析:由题意画出函数图象如下图所示要满足存在实数b 使得关于x 的方程f (x )=b 有三个不同的根则解得故m 的取值范围是【考点】分段函数函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质函数解析:()3+∞,【解析】试题分析:由题意画出函数图象如下图所示,要满足存在实数b ,使得关于x 的方程f (x )=b 有三个不同的根,则24m m m -<,解得3m >,故m 的取值范围是(3,)+∞.【考点】分段函数,函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题,关键在于能利用数形结合思想,通过对函数图象的分析,转化得到代数不等式.本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.24.2x ﹣4y+3=0【解析】【分析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大此时直线l 与直线垂直即可算出的斜率求得直线l 的方程【详解】由题得当∠ACB 最小时直线l 与直线垂直此时又故又直线l 过点解析:2x ﹣4y +3=0【解析】【分析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大,此时直线l 与直线CM 垂直,即可算出CM 的斜率求得直线l 的方程.【详解】由题得,当∠ACB 最小时,直线l 与直线CM 垂直,此时102112CM k -==-- ,又1CM l k k ⋅=-,故12l k =,又直线l 过点1(,1)2M ,所以11:1()22l y x -=-,即2430x y -+= . 故答案为:2430x y -+=【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心到定点与直线垂直时取得最值.同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直线方程的方法.25.①③【解析】由条件可得AB ⊥平面PAD ∴AB ⊥PD 故①正确;若平面PBC ⊥平面ABCD 由PB ⊥BC 得PB ⊥平面ABCD 从而PA ∥PB 这是不可能的故②错;S △PCD =CD·PDS △PAB =AB·PA 由 解析:①③【解析】由条件可得AB ⊥平面PAD ,∴AB ⊥PD ,故①正确;若平面PBC ⊥平面ABCD ,由PB ⊥BC ,得PB ⊥平面ABCD ,从而PA ∥PB ,这是不可能的,故②错;S △PCD =12CD ·PD ,S △PAB =12AB ·PA , 由AB =CD ,PD >PA 知③正确;由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点,可得EF ∥CD ,又AB ∥CD ,∴EF ∥AB ,故AE 与BF 共面,④错.三、解答题26.(1)①35人,②0.300,直方图见解析;(2)3人、2人、1人;(3)35. 【解析】【分析】(1)由频率分布直方图能求出第2组的频数,第3组的频率,从而完成频率分布直方图.(2)根据第3,4,5组的频数计算频率,利用各层的比例,能求出第3,4,5组分别抽取进入第二轮面试的人数.(3)设第3组的3位同学为123,,A A A ,第4组的2位同学为12,B B ,第5组的1位同学为1C ,利用列举法能出所有基本事件及满足条件的基本事件的个数,利用古典概型求得概率.【详解】(1)①由题可知,第2组的频数为0.3510035⨯=人,②第3组的频率为300.300100=, 频率分布直方图如图所示,(2)因为第3,4,5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试,每组抽取的人数分别为: 第3组:306360⨯=人, 第4组:人,第5组:106160⨯=人, 所以第3,4,5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试.(3)设第3组的3位同学为123,,A A A ,第4组的2位同学为12,B B ,第5组的1位同学为1C ,则从这六位同学中抽取两位同学有15种选法,分别为:12,A A (),13,A A (),11,A B (),12,A B (),11,A C (),23,A A (),21,A B (),22,A B (),21,A C (),31,A B (),32,A B (),31,A C (),12,B B (),11,B C (),21,B C (),其中第4组的2位同学12,B B 中至少有一位同学入选的有9种,分别为:11122122A B A B A B A B (,),(,),(,),(,),31321211A B A B B B B C (,),(,),(,),(,),21B C (,),∴第4组至少有一名学生被A 考官面试的概率为93155=. 【点睛】本题考查频率分直方图、分层抽样的应用,考查概率的求法,考查数据处理能力、运算求解能力,是基础题. 27.(1)0.005m =(2)平均数为93(3)140人【解析】【分析】(1)根据面积之和为1列等式解得.(2)频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数, (3)先计算出各分数段上的成绩,再根据比值计算出相应分数段上的英语成绩人数相加即可.【详解】解:()1由()1020.020.030.041m ⨯+++=,解得0.005m =.()2频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数, 即估计平均数为0.05750.4850.3950.21050.0511593⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.()3由频率分布直方图可求出这200名学生的数学成绩在[)90,100,[)100,110,[)110,120的分别有60人,40人,10人,按照表中给的比例,则英语成绩在[)90,100,[)100,110,[)110,120的分别有50人,80人,10人,所以英语成绩在[)90,120的有140人.【点睛】本题考查了频率分布直方图,属中档题.28.(1) 3C π=.(2) .【解析】【分析】(1)根据题意,由余弦定理求得1cos 2C =,即可求解C 角的值; (2)由正弦定理和三角恒等变换的公式,化简得到4sin 6a b A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭,再根据ABC ∆为锐角三角形,求得62A ππ<<,利用三角函数的图象与性质,即可求解.【详解】(1)由题意知()()3a b c a b c ab +++-=,∴222a b c ab +-=, 由余弦定理可知,222cos 122a b c C ab +-==, 又∵(0,)C π∈,∴3C π=.(2)由正弦定理可知,2sin sin sin 3a b A B π===,即,a A b B ==∴sin )a b A B +=+2sin sin 3A A π⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦2cos A A =+4sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 又∵ABC ∆为锐角三角形,∴022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩,即, 则2363A πππ<+<,所以4sin 46A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭, 综上+a b的取值范围为.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题,对于解三角形问题,通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系,利用“角转边”寻求边的关系,利用余弦定理借助三边关系求角,利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点,经常利用三角形内角和定理,三角形面积公式,结合正、余弦定理解题.29.(1)1cos 3B =;(2) 【解析】【分析】 (1)利用正弦定理边角互化思想以及切化弦的思想得出cos B 的值;(2)利用余弦定理求出c 的值,并利用同角三角函数的平方关系求出sin B 的值,最后利用三角形的面积公式即可求出ABC ∆的面积.【详解】(1)因为tan 3sin a B b A =,所以sin tan 3sin sin A B B A =,又sin 0A >,所以sin 3sin cos B B B =,因为sin 0B >,所以1cos 3B =; (2)由余弦定理,得2222cos b a c ac B =+-,则21179233c c =+-⨯⨯⨯, 整理得2280c c --=,0c >,解得4c =.因为1cos 3B =,所以sin B ==,所以ABC ∆的面积1sin 2S ac B == 【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角,同时也考查余弦定理解三角形以及三角形面积的计算,考查计算能力,属于中等题.30.(1)19;(2)89. 【解析】 试题分析:(1)所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种,而满足a b c +=的(,,)a b c 共计3个,由此求得“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率;(2)所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种,用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的(,,)a b c 共计三个,由此求得“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的概率,再用1减去此概率,即得所求.试题解析:(1) 所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种,而满足a b c +=的(,,)a b c 有(1,1,2)、(1,2,3)、(2,1,3)共计3个故“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率为31279= (2) 所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种满足“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的(,,)a b c 有(1,1,1)、(2,2,2)、(3,3,3)共计三个故“抽取的卡片上的数字a、b、c完全相同”的概率为31 279=所以“抽取的卡片上的数字a、b、c不完全相同”的概率为18 199 -=考点:独立事件的概率.【方法点睛】求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和;二是先求其对立事件的概率,然后再应用公式求解.如果采用方法一,一定要将事件拆分成若干个互斥事件,不能重复和遗漏;如果采用方法二,一定要找准其对立事件,否则容易出现错误.。
2022-2023学年福建省福州市八县(市)一中联考高一(下)期末数学试卷一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知复数z 满足z +4i =6+3i ,i 是虚数单位,则z 在复平面内对应的点位于( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.已知a →=(2,1),b →=(x ,1),且a →+b →与2a →−b →平行,则x 等于( ) A .10B .﹣10C .2D .﹣23.在平行四边形ABCD 中,E 是BC 的中点,DE 交AC 于F ,则DF →=( )A .13AB →−23AD →B .23AB →−13AD →C .−13AB →+23AD →D .−23AB →+13AD →4.某种心脏手术,成功率为0.6,现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率:先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数,由于成功率是0.6,故我们用0,1,2,3表示手术不成功,4,5,6,7,8,9表示手术成功;再以每3个随机数为一组,作为3例手术的结果.经随机模拟产生10组随机数:812,832,569,684,271,989,730,537,925,907.由此估计3例心脏手术全部成功的概率为( ) A .0.2B .0.3C .0.4D .0.55.设x ∈R ,则“x 2<1”是“2x <1”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件6.从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件,则取出的两件中恰有一件次品的概率是( ) A .16B .14C .13D .127.如图,某景区欲在两山顶A ,C 之间建缆车,需要测量两山顶间的距离.已知山高AB =2km ,CD =6km ,在水平面上E 处测得山顶A 的仰角为30°(B 、D 、E 在同一水平面上),山顶C 的仰角为60°,∠AEC=150°,则两山顶A ,C 之间的距离为( )A .4√3kmB .4√7kmC .4√2kmD .4√5km8.已知直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长均为2,∠BAD =60°.以D 1为球心,√5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为( ) A .π2B .√22π C .π D .2二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A =“第一枚正面朝上”,事件B =“第二枚正面朝上”,下列结论中正确的是( ) A .A 与B 为互斥事件 B .A 与B 为相互独立事件C .P (A ∪B )=12D .P (AB )=1410.已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m 、n ,有下列命题中正确的是( ) A .若m ∥n ,m ⊥α,则n ⊥αB .若m ⊥α,α⊥β,则m ∥βC .若m ∥α,α∩β=n ,则m ∥nD .若m ⊥α,m ∥n ,n ⊂β,则α⊥β11.已知2a =3b =6,则正确的有( ) A .a >bB .a +b >4C .ab >4D .1a +1b<112.如图,边长为1的正方形ABCD 的顶点A ,D 分别在x 轴、y 轴正半轴上移动,则OB →⋅OC →的可能值为( )A .12B .√22C .√2D .2三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若样本数据x 1,x 2,…,x 10的方差为3,则数据2x 1﹣1,2x 2﹣1,…,2x 10﹣1的方差为 . 14.已知函数f(x)={1+log 2(2−x),x <12x−1,x ≥1,则f (f (﹣2))= .15.在四面体ABCD 中,E 、F 分别是AB 、CD 的中点.若BD 、AC 所成的角为45°,且BD =2,AC =4,则EF 2的长为 .16.已知ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体,E 为AA 1的中点,点F 在CC 1上(不与C 、C 1重合),三棱锥A ﹣D 1EF 的体积为 ,当F 为CC 1的中点,几何体AED 1FCD 的体积为 . 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知非零向量a →,b →夹角为θ,且a →=(1,0). (1)当b →=(−1,√3)时,求θ;(2)若θ=60°,且(a →+b →)⊥(a →−b →),求|a →−2b →|.18.(12分)如图,P 是正方形ABCD 所在平面外一点,且平面P AC ⊥平面ABCD ,E 、F 分别是线段AB 、PC 的中点.(1)求证:EF ∥平面P AD ; (2)求证:BD ⊥PC .19.(12分)已知在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,满足条件:___.在 ①acosB +√3asinB −c =0;②√3acosC =(2b −√3c)cosA ;③b =2a •sin (C +π6).这三个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并解答.问题: (1)求角A 的大小;(2)求cos(π2−B)−2sin 2C2的取值范围.20.(12分)如图,一块正方体形木料ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的上底面有一点M .(1)问:经过点M 在上底面面上能否画一条直线,使得与CM 垂直,若可以,该怎么画,写出作图过程并加以证明,若不能,说明理由.(2)若正方体棱长为2,F 为线段BC 的中点,求AF 与面A 1BC 所成角的正弦值.21.(12分)近几年随着疫情的影响,经济发展速度放缓,投资渠道有限,越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段,下面将A 市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如图所示. (1)求a 的取值,以及把黄金作为理财产品的投资者年龄的上四分位数(第75百分位数); (2)现按照分层抽样的方法从年龄在[40,50)和[60,70]的投资者中随机抽取5人,再从这5人中随机抽取2人进行投资调查,求至少有1人年龄在[60,70]的概率.22.(12分)已知函数f (x )=log a (√2x 2+1−√2x ),a >1. (1)判断并证明函数f (x )的奇偶性;(2)指出函数f (x )的单调性(只需用复合函数理由说明,不要求定义证明);(3)设对任意x ∈R ,都有f(√2cosx +2t +5)+f(√2sinx −t 2)≤0成立;请问是否存在a 的值,使g (t )=a 4t ﹣2t +1最小值为−23,若存在求出a 的值.2022-2023学年福建省福州市八县(市)一中联考高一(下)期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知复数z 满足z +4i =6+3i ,i 是虚数单位,则z 在复平面内对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限解:∵z +4i =6+3i , ∴z =6+3i ﹣4i =6﹣i∴z 在复平面内对应的点为(6,﹣1),在第四象限. 故选:D .2.已知a →=(2,1),b →=(x ,1),且a →+b →与2a →−b →平行,则x 等于( ) A .10B .﹣10C .2D .﹣2解:a →+b →=(2+x ,2),2a →−b →=(4﹣x ,1). ∵a →+b →与2a →−b →平行,∴2(4﹣x )﹣(2+x )=0,解得x =2. 故选:C .3.在平行四边形ABCD 中,E 是BC 的中点,DE 交AC 于F ,则DF →=( )A .13AB →−23AD →B .23AB →−13AD →C .−13AB →+23AD →D .−23AB →+13AD →解:设DF →=λDE →=λ(DC →+CE →)=λAB →+λCE →=λAB →−λ2BC →=λAB →−λ2AD →,∵A ,F ,C 三点共线,∴DF →=μDA →+(1−μ)DC →=(1−μ)AB →−μAD →,由平面向量基本定理得:{λ=1−μ−λ2=−μ,解得:{λ=23μ=13, ∴DF →=23AB →−13AD →. 故选:B .4.某种心脏手术,成功率为0.6,现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率:先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数,由于成功率是0.6,故我们用0,1,2,3表示手术不成功,4,5,6,7,8,9表示手术成功;再以每3个随机数为一组,作为3例手术的结果.经随机模拟产生10组随机数:812,832,569,684,271,989,730,537,925,907.由此估计3例心脏手术全部成功的概率为( ) A .0.2B .0.3C .0.4D .0.5解:随机模拟产生10组随机数中,有3组随机数:569,684,989表示手术成功, 故3例心脏手术全部成功的概率为:310=0.3.故选:B .5.设x ∈R ,则“x 2<1”是“2x <1”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解:若x 2<1,解得﹣1<x <1,若2x <1=20,注意到y =2x 在定义域内单调递增,解得x <0, 故“﹣1<x <1”是“x <0”的既不充分也不必要条件. 故选:D .6.从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件,则取出的两件中恰有一件次品的概率是( ) A .16B .14C .13D .12解:有三件正品(用1,2,3表示)和一件次品(用0表示)的产品中任取两件的样本空间Ω={(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)}, 恰有一件次品A ={(0,1),(0,2),(0,3)}, 由古典概型得P(A)=m n =36=12. 故选:D .7.如图,某景区欲在两山顶A ,C 之间建缆车,需要测量两山顶间的距离.已知山高AB =2km ,CD =6km ,在水平面上E 处测得山顶A 的仰角为30°(B 、D 、E 在同一水平面上),山顶C 的仰角为60°,∠AEC =150°,则两山顶A ,C 之间的距离为( )A .4√3kmB .4√7kmC .4√2kmD .4√5km解:因为AB =2,∠BEA =30°,所以AE =4; 因为CD =6,∠CED =60°,所以CE =4√3;在△AEC ,AC 2=42+(4√3)2−2×4×4√3⋅cos150°=112 所以AC =4√7.故选:B .8.已知直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长均为2,∠BAD =60°.以D 1为球心,√5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为( ) A .π2B .√22π C .π D .2解:如图所示:由已知,连接BD 、B 1D 1,则BD =B 1D 1=2, 因为直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长均为2,∠BAD =60°,所以△B 1C 1D 1为等边三角形.且BB 1⊥平面B 1C 1D 1,取B 1C 1的中点O ,连接D 1O ,则D 1O ⊥B 1C 1, 又D 1O ⊂平面B 1C 1D 1,所以BB 1⊥D 1O , 又B 1C 1∩BB 1=B 1,所以D 1O ⊥平面BCC 1B 1,故平面BCC 1B 1截球面的截面圆的圆心是点O ,取BB 1、CC 1的中点E 、F , 连接EF ,D 1E 、D 1F ,则D 1E =D 1F =√5, 故E 、F 在球面上,OE =OF =√2,EF =2,所以△OEF 为直角三角形,∠EOF =90° 球面与侧面BCC 1B 1 的交线是侧面上以O 为圆心,√2为半径的圆弧EF ̂=14×2√2π=√22π. 故选:B .二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A =“第一枚正面朝上”,事件B =“第二枚正面朝上”,下列结论中正确的是( ) A .A 与B 为互斥事件 B .A 与B 为相互独立事件C .P (A ∪B )=12D .P (AB )=14解:抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A =“第一枚正面朝上”,事件B =“第二枚正面朝上”, 则P (A )=12,P (B )=12,A 与B 的发生互不影响,故A 与B 为相互独立事件,故A 错误,B 正确; 则P (AB )=P (A )P (B )=12×12=14,故D 正确; 又P (A ∪B )=P (A )+P (B )﹣P (AB )=1−14=34,故C 错误. 故选:BD .10.已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m 、n ,有下列命题中正确的是( ) A .若m ∥n ,m ⊥α,则n ⊥αB .若m ⊥α,α⊥β,则m ∥βC .若m ∥α,α∩β=n ,则m ∥nD .若m ⊥α,m ∥n ,n ⊂β,则α⊥β解:若m ∥n ,m ⊥α,则n ⊥α,故A 正确; 若m ⊥α,α⊥β,则m ∥β或m ⊂β,故B 错误;若m ∥α,α∩β=n ,则m ∥n 或m 与n 异面,故C 错误;若m ⊥α,m ∥n ,则n ⊥α,又n ⊂β,则α⊥β,故D 正确. 故选:AD .11.已知2a =3b =6,则正确的有( ) A .a >bB .a +b >4C .ab >4D .1a +1b<1解:已知2a =3b =6,所以a =log 26,b =log 36, 因为log 26>log 36,所以a >b ,故选项A 正确, 因为1a +1b =1log 26+1log 36=log 62+log 63=log 6(2×3)=log 66=1,故选项D 错误;因为1a +1b =1>2√1a ⋅1b ,所以ab >4,故选项B 正确; 因为1a +1b=a+b ab=1,整理得a +b =ab ,又ab >4,所以a +b >4,故选项C 正确.故选:ABC .12.如图,边长为1的正方形ABCD 的顶点A ,D 分别在x 轴、y 轴正半轴上移动,则OB →⋅OC →的可能值为( )A .12B .√22C .√2D .2解:如图令∠OAD =θ,θ∈(0,π2),由于AD =1,故OA =cos θ,OD =sin θ,如图∠BAx =π2−θ,AB =1,故x B =cos θ+cos (π2−θ)=cos θ+sin θ,y B =sin (π2−θ)=cos θ,故OB →=(cos θ+sin θ,cos θ),同理可求得C (sin θ,cos θ+sin θ),即OC →=(sin θ,cos θ+sin θ), ∴OB →⋅OC →=(cos θ+sin θ,cos θ)•(sin θ,cos θ+sin θ)=1+sin2θ, OB →⋅OC →=1+sin2θ∈(1,2]. 故选:CD .三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若样本数据x 1,x 2,…,x 10的方差为3,则数据2x 1﹣1,2x 2﹣1,…,2x 10﹣1的方差为 12 .解:∵样本数据x 1,x 2,…,x 10的方差为3,∴数据2x 1﹣1,2x 2﹣1,…,2x 10﹣1的方差为:22×3=12. 故答案为:12.14.已知函数f(x)={1+log 2(2−x),x <12x−1,x ≥1,则f (f (﹣2))= 4 .解:因为f(x)={1+log 2(2−x),x <12x−1,x ≥1,所以f (﹣2)=1+log 2(2﹣(﹣2))=1+log 24=3, 所以f (f (﹣2))=f (3)=23﹣1=22=4.故答案为:4.15.在四面体ABCD 中,E 、F 分别是AB 、CD 的中点.若BD 、AC 所成的角为45°,且BD =2,AC =4,则EF 2的长为 5±2√2. . 解:取BC 的中点G ,连接FG ,EG ,因为E 、F 分别是AB ,CD 的中点,所以FG =12BD =1,EG =12AC =2, 因为BD ,AC 所成的角为45°,所以∠EGF =135°或45°, 如图1,∠EGF =135°,则EF 2=FG 2+EG 2−2FG ⋅EGcos135°=1+4+2×2×√22=5+2√2; 如图2,∠EGF =45°,则EF 2=FG 2+EG 2−2FG ⋅EGcos45°=1+4−2×2×√22=5−2√2.故答案为:5±2√2.16.已知ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体,E 为AA 1的中点,点F 在CC 1上(不与C 、C 1重合),三棱锥A ﹣D 1EF 的体积为23,当F 为CC 1的中点,几何体AED 1FCD 的体积为83.解:在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,棱AA 1长为2,E 为AA 1的中点, 则S △AD 1D E =12A 1D 1⋅A 1E =12×2×1=1, F 为CC 1上一点,而CC 1∥平面ADD 1A 1,C 1D 1⊥平面ADD 1A 1, 则点F 到平面ADD 1A 1的距离为C 1D 1长,所以三棱锥A 1﹣D 1EF 的体积V A 1−D 1EF =V F−A 1D 1E =13S △A 1D 1E ⋅C 1D =13×12×1×2×2=23, 取DD 1的中点为O ,连接OE ,OF ,由于O ,E ,F 均为棱的中点,由正方体的结构特征可知OEF ﹣ADC 为直三棱柱, 故几何体ACFEDD 1可以分割为三棱柱OEF ﹣ADC 和三棱锥D 1﹣OEF , 故几何体ACFEDD 1体积为V OEF ﹣ADC +V D 1−EOF =S △OEF •OD +13S △OEF •D 1O =43S △OEF •OD =43×12OE •OF •OD =43×12×2×2×1=83. 故答案为:23;83.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知非零向量a →,b →夹角为θ,且a →=(1,0). (1)当b →=(−1,√3)时,求θ;(2)若θ=60°,且(a →+b →)⊥(a →−b →),求|a →−2b →|. 解:(1)当b →=(−1,3)时,a →⋅b →=(−1)×1+0×√3=−1,|b →|=√(−1)2+√32=2,cosθ=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=(−1)1×2=−12, ∵0≤θ≤π, ∴θ=2π3.(2)∵(a →+b →)⊥(a →−b →), ∴(a →+b →)⋅(a →−b →)=0, ∴|a →|=|b →|,∴|a →−2b →|=√(a →−2b →)2=√|a →|2+4|b →|2−4a →⋅b →=√1+4−4×1×1×12=√3.18.(12分)如图,P 是正方形ABCD 所在平面外一点,且平面P AC ⊥平面ABCD ,E 、F 分别是线段AB 、PC 的中点.(1)求证:EF ∥平面P AD ; (2)求证:BD ⊥PC .证明:(1)法一:取PD 中点G ,连接FG ,AG ,在△PDC 中,因为F 、G 分别是PC ,PD 的中点,所以FG ∥CD ,FG =12CD ;因为E 是正方形ABCD 边AB 的中点, 所以AE ∥CD ,AE =12CD ,所以AE =GF ,AE =GF ;即四边形AEFG 是平行四边形,所以EF∥AG,又因为AG⊂平面P AD,EF⊄平面P AD,所以EF∥平面P AD;法二:取CD的中点M,连接EM,FM,因为E,F都是中点,由题意可得EM∥AD,FM∥PD,又AD⊂平面P AD,EM⊄平面P AD,所以EM∥平面P AD,同理可证得FM∥平面P AD,EM∩FM=M,所以平面EFM∥平面P AD,而EF⊂平面EFM,所以可证得EF∥平面P AD;(2)因为正方形ABCD中,BD⊥AC,又平面ABCD⊥平面P AC,平面P AC∩平面ABCD=AC,BC⊂平面ABCD,所以BD⊥平面P AC,因为PC⊂平面P AC,所以BD⊥PC.19.(12分)已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,满足条件:___.在①acosB+√3asinB−c=0;②√3acosC=(2b−√3c)cosA;③b=2a•sin(C+π6).这三个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并解答.问题:(1)求角A的大小;(2)求cos(π2−B)−2sin2C2的取值范围.解:(1)选择条件①:由正弦定理及acosB+√3asinB−c=0,得sin A cos B+√3sin A sin B﹣sin C=0,因为sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B,所以√3sin A sin B=cos A sin B,因为sin B>0,所以√3sin A=cos A,即tan A=√33,又A∈(0,π),所以A=π6.选择条件②:由正弦定理及√3acosC=(2b−√3c)cosA,得√3sin A cos C=(2sin B−√3sin C)cos A,所以√3(sin A cos C+cos A sin C)=2sin B cos A,即√3sin(A+C)=√3sin B=2sin B cos A,因为sin B>0,所以√3=2cos A,即cos A=√32,因为A∈(0,π),所以A=π6.选择条件③:由正弦定理及b=2a•sin(C+π6),知sin B=2sin A•sin(C+π6),所以sin B=2sin A•(√32sin C+12cos C)=sin A•(√3sin C+cos C),因为sin B=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C,所以cos A sin C=√3sin A sin C,又sin C>0,所以cos A=√3sin A,即tan A=√33,因为A∈(0,π),所以A=π6.(2)由(1)知,A=π6,所以B+C=5π6,所以cos(π2−B)−2sin2C2=sin B﹣(1﹣cos C)=sin B+cos(5π6−B)﹣1=sin B−√32cos B+12sin B﹣1=√3sin(B−π6)﹣1,因为0<B<5π6,所以−π6<B−π6<2π3,所以sin(B−π6)∈(−12,1],所以cos(π2−B)−2sin2C2=√3sin(B−π6)﹣1∈(−√32−1,√3−1],故cos(π2−B)−2sin2C2的取值范围为(−√32−1,√3−1].20.(12分)如图,一块正方体形木料ABCD﹣A1B1C1D1的上底面有一点M.(1)问:经过点M在上底面面上能否画一条直线,使得与CM垂直,若可以,该怎么画,写出作图过程并加以证明,若不能,说明理由.(2)若正方体棱长为2,F为线段BC的中点,求AF与面A1BC所成角的正弦值.解:(1)连接MC1,在上底面过M与C1M垂直即可,设为MP,即MP⊥C1M,证明如下:在正方体中,因为CC1⊥面A1B1C1D1,MP⊂A1B1C1D1,所以CC1⊥MP,而CC1∩MC1=C1,所以MP⊥面MCC1,而MC⊂面MCC1,可得MP⊥MC;(2)作AE⊥A1B交于E,由正方体可知,E为A1B的中点,因为正方体的棱长为2,所以AE=BE=12A1B=12•2√2=√2,由正方体可知BC⊥面AB1,AE⊂面AB1,所以AE⊥BC,而BC∩A1B=B,所以AE⊥面A1BC,则EF为AF在面A1BC内的投影,即∠AFE为AF与面A1BC所成的角,在Rt△BEF中,F为BC的中点,则EF=√BE2+EF2=√2+1=√3,所以tan ∠AFE =AE EF =√2√3=√63. 21.(12分)近几年随着疫情的影响,经济发展速度放缓,投资渠道有限,越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段,下面将A 市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如图所示. (1)求a 的取值,以及把黄金作为理财产品的投资者年龄的上四分位数(第75百分位数); (2)现按照分层抽样的方法从年龄在[40,50)和[60,70]的投资者中随机抽取5人,再从这5人中随机抽取2人进行投资调查,求至少有1人年龄在[60,70]的概率.解:由题意,0.07+0.18+10a +0.25+0.2=1,解得a =0.030, 因为前3组的频率和为10×(0.007+0.018+0.030)=0.55<0.75, 前4组的频率和为10×(0.007+0.018+0.030+0.025)=0.80>0.75, 所以所求上四分位数(第75百分位数)为50+10×0.75−0.550.25=58.(2)由频率分布直方图可知年龄在[40,50)和[60,70]的频率分别为0.3,0.2,所以年龄在[40,50)的投资者应抽取3人,记为A ,B ,C ,年龄在[60,70]的投资者应抽取2人.记为a ,b ,则任取2人,所有的情况为:(A ,B ),(A ,C ),(B ,C ),(a ,b ),(A ,a ),(A ,b ),(B ,a ),(B ,b ),(C ,a ),(C ,b ),共10种,满足条件的为(A ,a ),(A ,b ),(B ,a ),(B ,b ),(C ,a ),(C ,b ),(a ,b )共7种, 故至少有1人年龄在[60,70]的概率为P =710.22.(12分)已知函数f (x )=log a (√2x 2+1−√2x ),a >1. (1)判断并证明函数f (x )的奇偶性;(2)指出函数f (x )的单调性(只需用复合函数理由说明,不要求定义证明);(3)设对任意x ∈R ,都有f(√2cosx +2t +5)+f(√2sinx −t 2)≤0成立;请问是否存在a 的值,使g (t )=a 4t ﹣2t +1最小值为−23,若存在求出a 的值.解:(1)函数f(x)=log a (√2x 2+1−√2x)在R 上为奇函数,证明:因为√2x 2+1>√2x 2=√2|x|≥√2x ,∴√2x 2+1−√2x >0恒成立. 所以函数f(x)=log a (√2x 2+1−√2x)的定义域为R ,关于原点中心对称. f(−x)=log a (√2x 2+1+√2x)=log a (√2x 2+1−√2x)−1 =−log a (√2x 2+1−√2x)=−f (x ),所以函数f(x)=log a (√2x 2+1−√2x)在R 上为奇函数.(2)由(1)知f(x)=log a (√2x 2+1−√2x)=log a (√2x 2+1+√2x)−1=−log a (√2x 2+1+√2x), 因为t =√2x 2+1+√2x 在R 是增函数, 又a >1,y =﹣log a t (t ≥1)为减函数,所以f(x)=log a (√2x 2+1−√2x)在R 上为减函数.(3)因为对任意x ∈R 都有f(√2cosx +2t +5)+f(√2sinx −t 2)≤0,所以对任意x ∈R 都有f(√2cosx +2t +5)≤−f(√2sinx −t 2)=f(t 2−√2sinx), 由f(x)=log a (√2x 2+1−√2x)在R 上为减函数; 所以对任意x ∈R 都有√2cosx +2t +5≥t 2−√2sinx , 所以对任意x ∈R 都有t 2−2t −5≤√2sinx +√2cosx , 因为√2sinx +√2cosx =2sin(x +π4)≥−2,所以t 2﹣2t ﹣5≤﹣2即t 2﹣2t ﹣3≤0,解得﹣1≤t ≤3, 因为g (t )=a 4t ﹣2t +1=a (2t )2﹣2×2t , 令n =2t ,则12≤n ≤8,令h (n )=an 2﹣2n ,它的对称轴为n =1a∈(0,1), 当0<1a <12,即a >2时,h (n )=an 2﹣2n 在[12,8]上是增函数,ℎ(n)min =ℎ(12)=a 4−1=−23,解得a =43∉(2,+∞)舍去, 当12≤1a <1即1<a ≤2时,此时ℎ(n)min =ℎ(1a )=−1a =−23,解得a =32∈(1,2], 所以a =32.。
绝密★启用前2019-2020学年福州市外国语学校第二学期期末质量评估高一数学试卷一.选择题,每题5分,共12题。
1. 设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =,集合{}1,2,3,5A =,{}2,4,6B =,则=A C B U IA. {}2B. {}4,6C. {}1,3,5D. {}4,6,7,82.函数()()()1ln f x x x x =++-的定义域为A. {}0x x <B. {}{}10x x ≤-⋃C. {}1x x ≤-D. {}1x x ≥-3.角α的终边经过点(3,4),则=-+ααααcos sin cos sin A. 53B. 54C. 7D. 71 4. 已知向量a =(1,k),b =(2,2),且a -b 与b 垂直,那么k 的值为A .2B .3C .4D .55. 已知,αβ是两个不同的平面,,m n 是两条不同的直线,则下列命题中正确的是A.若//,,//m n m n ββ⊂则B. 若//,,//m n n ααβ⋂=则mC.若,,//m m αβαβ⊥⊥则D. 若,,//m βαβα⊥⊥则m6. 设0.30.40.3log 2,2,0.3a b c ===,则,,a b c 的大小关系是A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<7. 阅读右侧的算法框图,输出的结果S 的值为A. 32B.0C. 3D. 32-8. 的位置关系是()与圆直线022)1(22=--+-=y y x x k yA. 相交B. 相切C. 相离D. 以上皆有可能9.某次实验中测得(),x y 的四组数值如右图所示,若根据该表的回归方程5126.5y x =-+$,则m 的值为A. 39B. 40C.41D.4210. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.3 B. 22 C. 2 D.111. 已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0,0,2A πωϕ>><)的部分图象如图所示,则()f x 的解析式为A. ()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ,B.()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C. ()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,D. ()2sin 46f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭12. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤=1,421,)(2x m mx x x x x f ,若存在实数b ,使得关于x 的方程f (x )=b 有三个不同的根,则m 的取值范围是A. RB. )0,-(∞C. ),1(∞+D. )0,-(∞U ),1(∞+ 二.填空题,每题5分,共4题。
2017-2018学年度第二学期八县(市)一中期末考联考高中 一 年 数学 科试卷命题学校: 长乐一中 命题者: 长乐一中集备组 考试日期: 7 月 3 日 完卷时间: 120 分钟 满 分: 150 分 一、选择题(每题5分,共60分)1.已知向量()1,2a =,(3,3)b =--, (),3c x =,若()2//a b c +,则x =( )A .1-B .2-C .3-D .4-2.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,卷一《方田》[三三]:“今有宛田, 下周六步,径四步问为田几何?”译成现代汉语其意思为:有一块扇形的田,弧长 6步,其所在圆的直径是4步,问这块田的面积是( )平方步? A. 6B.3C. 12D. 93.,则sin 2α的值为( )ABC .9D .94.将函数15cos π26x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭=对应的曲线沿着x 轴水平方向向左平移2π3个单位,得到 曲线为( )A .1πcos 26y x ⎛⎫ ⎪=-B .1sin 2y x =C .1πsin 26y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=- D .1sin 2y x =- 51352cos10cos80-=( ) A .2- B .12- C .1-D .16.如图所示,向量,,,,,OA a OB b OC c A B C ===在一条直线上,且4AC CB =-则( )A. 1322c a b =+ B. 3122c a b =- C. 2c a b =-+ D. 1433c a b =-+7.设向量a 与b 满足2a =,1b =,且()b a b ⊥+,则向量b 在向量2a b +方向 上的投影为( )学校 班级 姓名 座号 准考号: .---------密………封…………装…………订………线----------A .12-B .12C .1D . 1-8.函数sin 21cos xy x=+的部分图象大致为( )A .B .C .D .9.已知非零向量a ,b 满足23a b =,2a b a b -=+,则a 与b 的夹角的余弦值为( )A .23B .34C .13D .1410.设sin5a π=,cos10b π=,5tan12c π=,则( )A .c b a >>B .a c b >>C .b a c >>D .a b c >>11. ()f x 在区间ω的值为( ) A .2B .38C .103D .2312.平行四边形ABCD 中,2AB =,1AD =,·1AB AD =-,点M 在边CD 上,则·MA MB 的最大值为( )A .1B .2C .5D 1二、填空题(每题5分,共20分)13.已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 34π,cos 34π落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为 .14则sin cos αα等于 .15.当x θ=时,函数()5sin 12cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=________.16. ①;②③在ABC △中,1AB =,3AC =,D 是BC 的中点,则·4AD BC =; ④已知对任意的x R ∈恒有且()f x 在R 上是奇函数,时,()sin f x x =,其中命题正确的是___. 三、解答题(共6大题,17题10分,18~22题每题12分,共70分) 17.已知向量(3,4)OA =-,(6,3)OB =-,(5,3)OC m m =---.(1)若点A ,B ,C 能构成三角形,求实数m 应满足的条件; (2)若△ABC 为直角三角形,且∠A 为直角,求实数m 的值.18.已知a ,b 是两个单位向量.(1)若|32|3a b -=,求|3|a b +的值; (2)若a ,b 的夹角为3π,求向量2m a b =+与23n b a =-的夹角α.19.已知函数()sin f x x =,先将函数()f x 的图象向右平移6π个单位,再将图象的横坐标扩大3倍,纵坐标扩大2倍得到函数()g x .(1)求函数()g x 的解析式,并求出5()4g π的值; (2)设α,[0,]2πβ∈,10(3)213g πα+=,3cos()5αβ+=,求(32)2g βπ+的值.20.设函数()f x a b =⋅,其中向量()2cos ,1a x =,b ()m x x +=2sin 3,cos .(1)求函数()x f 的最小正周期和在[]π,0上的单调递增区间; (2)当∈x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6π,0时,()4f x <恒成立,求实数m 的取值范围.21.如图,在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场,游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ,该曲线段是函数sin()(0,0,(0,))y A x A ωϕωϕπ=+>>∈,[]4,0x ∈-的图象,图象的最高点为(1,2)B -.边界的中间部分为长1千米的直线段CD ,且CD ∥EF .游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧DE . (1)求曲线段FGBC 的函数表达式;(2)如图,在扇形ODE 区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ ,平行四边形的一边在海岸线EF 上,一边在半径OD 上,另外一个顶点P 在圆弧DE 上,且POE θ∠=,求平行四边形休闲区OMPQ 面积的最大值及此时θ的值.22.已知向量()11,,1,sin(2)62a y b x π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭,且//a b ,设函数()y f x =.(1)若方程()0f x k -=在[,]2x ππ∈上恰有两个相异的实根αβ、,写出实数k 的取值范围,并求αβ+的值.(2)若()2()1h x f x =-,5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,且()()2cos 43g x h x x λπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭求实数λ的值.2017---2018学年度第二学期八县(市)一中期末考联考高一数学参考答案一、选择题:(每小题5 分,共60 分) 二、填空题:(每小题 5 分,共20 分)13. 7π414.25 15. 1213- 16. ②③④三、解答题:(共6大题,17题10分,18~22题每题12分,共70分)17. 解:(1)若点A 、B 、C 能构成三角形,则这三点不共线, ………1分(3,1)AB OB OA -==,(2,1)AC OC OA m m -==--. …………………3分3(1)2m m ∴-≠- ∴. ……………5分 (2)若△ABC 为直角三角形,且∠A 为直角,则AB AC ⊥, ………7分3(2)(1)0m m ∴-+-=…………………………9分…………10分 18.解:(1)因为a ,b 是两个单位向量,所以||||1a b ==,又|32|3a b -=,∴222(32)9||124||9a b a a b b -=-+=,即13a b =. ………2分∴22|3|9||6||91a b a a b b +=++=⨯= ………4分(2)因为227(2)(23)2||6||2m n a b b a b a b a =+-=+-=-, ………6分 222||(2)4||4||41m a b a a b b =+=++=⨯= ………8分222||(23)4||129||41n b a b a b a =-=-+=⨯-= ………10分则71cos 2||||7m n m n α-===-⨯,又因为0απ≤≤,所以23πα=. ………12分 19. 解:(1)由题可知:1()2sin()36gx x π=-,………3分则515()2sin()2sin 2434642g ππππ=⨯-==⨯= ………5分 (2) 因为110(3)2sin[(3)]2sin 232613g πππααα+=+-==, 所以5sin 13α=,[0,]2πα∈,则12cos 13α=,………7分又因为3cos()5αβ+=,[0,]αβπ+∈,则4sin()5αβ+=, ………9分所以3124556cos cos[()]cos()cos sin()sin 51351365βαβααβααβα=+-=+++=⨯+⨯=………11分所以(32)11562sin[(32)]sin()cos 2236265g βπππβπββ+=⨯⨯+-=+==. ..…12分20. (1)()16π2sin 22sin 3cos 22++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=m x m x x x f …………3分 ∴函数()x f 的最小正周期π=T , ……………4分π22π6π2x π22πk k +≤+≤+-π6πx π3πk k +≤≤+-∴()Z k ∈ ……………6分∴在[]π,0上的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡6π,0,⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,3π2. …………7分(2) 当∈x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6π,0时,()x f 单调递增∴当6π=x 时,()x f 的最大值等于3+m . …………8分当0=x 时,()x f 的最小值等于2+m . …………9分由题设知()4<x f ,即()44<<-x f∴⎩⎨⎧->+<+4243m m , …………11分 解得:16<<-m . ……………………12分21. (1)由已知条件,得2A =, …………1分又∵34T =,212T πω==,∴6πω= ………2分 又∵当1x =-时,有2sin()2,6y πϕ=-+= ∴23πϕ= …………4分∴曲线段FGBC 的解析式为[]22sin(),4,063y x x ππ=+∈-(2)如图,OC ,1CD =,∴2OD =,6COD π∠=,13PMP π∠=……5分解法一:作1PP ⊥x 轴于1P 点, ……6分 在1Rt OPP ∆中,12cos OPθ=,12sin PP θ=在1Rt MPP ∆中,1112sin tan3PP MP MP πθ==,∴13MP θ==……8分(注:学过正弦定理可以采用解法二求线段OM 的长度)(解法二:作1PP ⊥x 轴于1P 点,在1Rt OPP ∆中,12sin PP θ=, 在OMP ∆中,sin120sin(60)OP OMθ=-∴sin(60)2cos 2cos sin1203OP OM θθθθ⋅-===-.) ……8分……11分当262ππθ+=时,即6πθ=……12分 22. 解:(1)()1sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ …………………1分方程()0f x k -=在[,]2x ππ∈上恰有两个相异的实根∴题中问题等价于函数()y f x =与y k =的图像在[,]2x ππ∈上恰有两个不同的交点用五点法画出()1sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图像(草图略)…………………4分 ∴由图可知:10.2k -<≤ ……………………5分 αβ、关于直线56x π=对称 ∴5.3παβ=+ ……………………6分2cos 3OM θθ=-(2)()()2cos 43g x h x x λπ⎛⎫=+-⎪⎝⎭4sin 2cos 463x x λππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 24sin 212sin 266x x λπ⎡π⎤⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222sin 2216x λλ⎡π⎤⎛⎫=---++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦……………………8分5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,于是20263x ππ≤-≤,0sin 216x π⎛⎫∴≤-≤ ⎪⎝⎭……………9分①当0λ<时,当且仅当sin 206x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时,()g x 取得最大值1,与已知不符.10分 ②当01λ≤≤时,当且仅当sin 26x λπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时,()g x 取得最大值221λ+, 由已知得23212λ+=,解得12λ=. ……………11分 ③当1λ>时,当且仅当sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时,()g x 取得最大值41λ-, 由已知得3412λ-=,解得58λ=,矛盾. ……………12分 综上所述,12λ=.。
福建省福州第八中学2023-2024学年高一下学期7月期末考
试数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
二、多选题
9.下列命题正确的是()
A.一个棱柱至少有六个面
B.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形C.棱台的各侧棱延长后交于一点
四、解答题
15.随着社会经济的发展,物业管理这个行业发展迅猛,某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查,随机选取了200户居民的问卷评分(得分都在50~100分内,满分100分),并将评分按照[)[)[)[)[]
50,60,60,70,70,80,80,90,90,100分成5组,绘制成如图所示的频率分布直方图.
注:本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务;成绩低于80分的居民支持更换新物业公司.
(1)求这200户居民本次问卷评分的中位数;
(2)若该小区共有居民1200户,试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户?
(3)按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在[)[]
50,60,90,100内的住户中选取5户,再从这5户中任意选取2户,求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率.
16.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系e kx b
y+
=
由球的几何性质可知1OO ^平面因为11O A O B =,160AO B Ð=°因为H 为AB 的中点,则1O H 同理可知2
3O H =,
因为平面1
O AB ^平面2O AB ,平面H Ì平面O AB ,所以O H
答案第151页,共22页。
福州市2014-2015高一数学第二学期期末试题(带答案)必修4考试时间:120分钟 试卷满分:150分2015.7.7A 卷(共100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)1. 已知α为第二象限角,54sin =α,则=-)2sin(απ A .2425- B .2425 C .1225D .1225-2. 已知函数()=sin f x x ,下列结论中错误的是A .()f x 既偶函数,又是周期函数.B. ()f xC. ()y f x =的图像关于直线2x π=对称D. ()y f x =的图像关于(),0π中心对称3. 设向量(2,0),(1,1)a b ==,则下列结论中正确的是A .2=⋅b aB .||||a b =C .a b ⊥D .//a b4. 若a =(2,1),b =(3,4),则向量a 在向量b 方向上的投影为A .52B. 2C. 5D. 105.已知αtan ,且0απ∈-(,),则sin αα的值是A B .-3C D .36.函数()()1cos f x x x =的最小正周期为A .2πB .32π C .πD .2π 7.在△ABC 中,若tan A ·tan B <1,则△ABC 的形状是 A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 8.已知函数()()sin f x x ωϕ=A +(0A >,0ω>,2πϕ<)的部分图象如图所示,则ϕ=C A .6π B .3πC .6π-D .3π-9.如图,BC 是单位圆A 的一条直径, F 是线段AB 上的点,且2BF FA =,若DE 是圆A 中绕圆心A 运动的一条直径,则FE FD ∙的值是A.34- B. 89- C. 14- D. 不确定 10.设函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>的最小正周期为π,将()y f x =的图象向左平移8π个单位得函数()y g x =的图象,则A. ()02g x π⎛⎫ ⎪⎝⎭在,上单调递减B. ()344g x ππ⎛⎫⎪⎝⎭在,上单调递减C. ()02g x π⎛⎫ ⎪⎝⎭在,上单调递增D. ()344g x ππ⎛⎫⎪⎝⎭在,上单调递增二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分。
)11.= 600tan12. 设x R ∈,向量(,1)x =a ,(1,2)=-b ,且⊥a b ,则=a +b _________ 13.已知C ∆AB 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,60∠A=,2c =,且C ∆AB a 边的长为 14.已知函数f (x )=sin(x +θ)+3cos(x +θ),]2,2[ππθ-∈,且函数f (x )是偶函数,则θ的值为______ 三、解答题:(本大题共3小题,共34分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。
) 15.(本小题10分)已知向量)4,1(),0,1(==b a .(Ⅰ) 若向量k +与2+平行,求k 的值;(Ⅱ) 若向量k +与2+的夹角为锐角,求k 的取值范围.16. (本小题12分)已知函数22()sin cos 3cos ()f x x x x x m m R =+++∈. (Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间及对称轴方程; (Ⅱ)当[0,]3x π∈时,()f x 的最大值为9,求实数m 的值.17. (本小题12分)已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像经过点π(,1)12. (1)求ϕ的值;(2)在ABC ∆中,A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ,若222a b c ab +-=,且π()2122A f +=.求sin B .B 卷(共50分)一、选择题(5分×4=20分,请将答案填写在答卷上)18. 设向量a =(1.cos θ)与b=(-1, 2cos θ)垂直,则cos 2θ等于A .2B .12C .0D .-119.sin 47sin17cos30cos17-A .B .12-C .12 D20. 设a,b 是两个非零向量.A .若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥bB .若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|C .若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得a=λbD .若存在实数λ,使得a=λb,则|a+b|=|a|-|b|21.定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数.若()f x 的最小正周期是π,且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()sin f x x =,则53f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为A .12-B .12C .D 二、填空题(本大题共2小题,每小题4分,共8分。
) 22.在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为,,a b c .已知22,sin 2sin a b bc C B -==,则角A 为__________.23.如图,为测量山高MN ,选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点,从A 点测得M 点的仰角∠MAN =60°,C 点的仰角∠CAB =45°以及∠MAC =75°;从C 点测得∠MCA =60°.已知山高BC =100 m ,则山高MN=________m.三、解答题:(本大题共2小题,共22分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。
) 24.(本小题10分)在△ABC 中,c b a ,,分别是角A ,B ,C 的对边,53cos =B ,且21=⋅。
(I )求ac 的值及△ABC 的面积;(II )若7=a ,求角C 的大小。
25.(本小题12分)如图,在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场,游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ,该曲线段是函数sin()(0,0,(0,))y A x A ωφωφπ=+>>∈,[4,0]x ∈-的图像,图像的最高点为(1,2)B -.边界的中间部分为长1千米的直线段CD ,且C D E F ∥.游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧.(1)求曲线段FGBC 的函数表达式;(2)曲线段FGBC 上的入口G 距海岸线EF 最近距离为1千米,现准备从入口G 修一条笔直的景观路到O ,求景观路GO 长;(3)如图,在扇形ODE 区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ ,平行四边形的一边在海岸线EF 上,一边在半径OD 上,另外一个顶点P 在圆弧上,且POE θ∠=,求平行四边形休闲区OMPQ 面积的最大值及此时θ的值.Cy 2EQ P xDB F (- 4,0)福州八中2014—2015学年第二学期期末考试高一数学 必修4 试卷参考答案及评分标准A 卷(共100分)一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
) ABABB ACBBA二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分。
) 11. ___3_______. 1213.__3______.14.6π。
三、解答题:(本大题共3小题,共34分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。
) 15.解:(Ⅰ)依题意得)8,3()8,2()0,1(2),4,1()4,1()0,(=+=++=+=+b a k k b a k -------2分 ∵向量k +与2+平行∴043)1(8=⨯-+⨯k ,---------------4分 解得21=k --------------------5分 (Ⅱ)由(2)得)8,3(2),4,1(=++=+k k ∵向量b a k +与b a 2+的夹角为锐角∴084)1(3)2()(>⨯++⨯=+⋅+k k ,且43)1(8⨯≠+k --------8分 ∴335->k且21≠k ------------10分 16. 解:(Ⅰ)22()sin cos 3cos f x x xx x m =+++1cos 21cos 22322x xx m -+=+⨯+………………………3分2cos 22x x m =+++2sin(2) 2.6x m π=+++………………………5分由222,262k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z ,………………………6分得,36k x k k ππ-+π≤≤+π∈Z .∴函数()f x 的单调增区间为[,](36k k k ππ-+π+π∈Z).…………7分由2,62x k k ππ+=+π∈Z 得,62k x k ππ=+∈Z ,∴函数()f x 的对称轴方程是,62k x k ππ=+∈Z .………………………8分(Ⅱ)∵当[0,]3x π∈时,2666x ππ5π≤+≤,………………………9分∴ 1sin(2)126x π≤+≤,………………………10分∴32sin(2m x +≤ ∴49m +=∴实数m 的值为5.…………………………………………12分17.解:(1)由题意可得π()112f =,即πsin()16ϕ+=. ……………………………2分 0πϕ<< ,ππ7π666ϕ∴<+<, ππ62ϕ∴+=, π3ϕ∴=. ……………………………………………………………5分(2)222a b c ab +-= ,2221cos 22a b c C ab +-∴==, ……………………………………………………7分sin C ∴==. …………………………………………8分 由(1)知π()sin(2)3f x x =+,π(+)sin()cos 2122A f A A π∴=+==()0,A π∈ , sin 2A ∴==, ……………………………10分 又sin sin(π())sin()B AC A C =-+=+ ,1sin sin cos cos sin 2B A C A C ∴=+=+=.……………12分 B 卷(共50分)一.选择题(5分×4=20分,请将答案填写在答卷上) CCCD二、填空题(4分×2=8分) 22.__3π________23. 150 . 三、解答题24. (本小题10分) 解:(I )因为21=⋅,所以21cos =B ca ,所以35=ac 。
(2分)又53cos =B ,所以54sin =B 。
(3分) 所以14543521sin 21=⨯⨯==B ac S ABC △。
即△ABC 的面积为14。
(5分)(II )因为7=a ,且35=ac ,所以5=c 。