高中数学函数零点在解题中的应用专题辅导

第09讲三角函数零点问题的处理【知识要点】三角函数的零点问题，是考试经常考察的重点、热点和难点.三角函数的零点问题的处理一般有以下三种方法：1、单调性+数形结合 .2、分离参数+数形结合. 3、方程+数形结合. 三种方法也不是绝对的，要注意灵活使用.【方法讲评】方法一单调性+数形结合解题步骤一般先研究三角函数的单调性，再数形结合分析.【例1】已知向量，，设函数．（1）若函数的图象关于直线对称，且时，求函数的单调增区间；（2）在（1）的条件下，当时，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．（1）∵函数图象关于直线对称，∴，解得：，∵，∴，∴，由，解得：，所以函数的单调增区间为．∴当或时函数有且只有一个零点．即或，所以满足条件的．【点评】（1）本题第2小问是在第1问的前提下进行的，第1问求出了函数的单调增区间，所以第2小问对零点问题的研究，可以利用单调性+数形结合方法分析解答.第2问首先求复合函数在上的单调性，再数形结合分析函数零点的个数. （2）在解答数学问题时，只要写不等式，一定要注意取等问题，本题第2问，左边可以取等，右边不能取等.【反馈检测1】设P是⊙O：上的一点，以轴的非负半轴为始边、OP为终边的角记为，又向量。

且.（1）求的单调减区间；（2）若关于的方程在内有两个不同的解，求的取值范围.方法二分离参数+数形结合解题步骤先分离参数，再画出方程两边的函数的图像，数形结合分析解答.【例2】已知函数的最大值为．（1）求函数的单调递增区间；（2）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程-＝0在∈上有解，求实数的取值范围．【解析】（1），由，解得，所以函数的单调递增区间当时，，取最小值-3．方程在∈上有解，即 -3≤≤【点评】(1)本题就是先分离参数，再分别画方程左右两边的函数的图像数形结合分析.(2)本题也可以单调性+数形结合的方法分析解答.它们之间不是绝对的，要注意灵活使用. 【反馈检测2】已知函数的周期为.（1）若，求它的振幅、初相；（2）在给定的平面直角坐标系中作出该函数在的图像；（3）当时，根据实数的不同取值，讨论函数的零点个数.方法三方程+数形结合解题步骤先解方程，再数形结合分析解答.【例3】已知函数.（Ⅰ）当时，求值；（Ⅱ）若存在区间(且)，使得在上至少含有6个零点，在满足上述条件的中，求的最小值.【点评】（1）本题就是先解方程，再数形结合分析解答.本题如果用前面的两种方法，也可以解答，不过比较复杂. （2）如果，所以它不是最小值.【反馈检测3】已知函数，其中常数；（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，区间（且）满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值．高中数学热点难点突破技巧第09讲：三角函数零点问题的处理参考答案【反馈检测1答案】（1）的单调减区间是：、；（2），且.【反馈检测1详细解析】（2）因，则.设，所以有两个不同的解，由题得. 借助函数图象可知：，即所以得：，且【反馈检测2答案】（1），；（2）详见解析；（3）当或时，函数无零点；当时，函数仅有一个零点；当或时，函数有两个零点；当时，函数有三个零点.【反馈检测2详细解析】（1）化为，由得，即.（1）函数的振幅是，初相为（2）列表2 0 0【反馈检测3答案】（1）（2）【反馈检测3详细解析】(1)因为，根据题意有(2) ，或，即的零点相离间隔依次为和，故若在上至少含有30个零点，则的最小值为．。

高一函数零点题型归纳函数零点是高中数学中的一个重要概念，它涉及到函数的值、图像、单调性等多个方面。

以下是高一函数零点的一些常见题型及其解题方法：一、判断零点个数例题：函数f(x) = x^{2} - 2xf(x)=x2−2x在区间( - 3,3)(−3,3)内的零点个数为( )A.0 B.11 C.22 D.33解析：首先确定函数的对称轴为x = 1x=1，然后判断函数的开口方向为向上。

接下来，根据对称轴和区间端点的距离，可以确定函数在区间内的零点个数。

二、求函数的零点例题：函数f(x) = \log_{2}(x - 3)f(x)=log2(x−3)的零点是( )A.22 B.33 C.44 D.55解析：对数函数的零点即为使对数内部表达式等于1的x值。

因此，令x - 3 = 1x−3=1，解得x = 4x=4。

三、判断零点所在区间例题：函数f(x) = x^{3} - x^{2} - xf(x)=x3−x2−x在区间( - 1,2)(−1,2)内的一个零点所在的区间是( )A.(0,1)(0,1) B.(1,2)(1,2) C.( - 1,0)(−1,0) D.(0,2)(0,2)解析：先确定函数在给定区间端点的函数值，然后判断其正负性。

如果端点函数值异号，则该区间内必存在零点。

四、应用题中的零点问题例题：某商品的成本价为每件30元，售价不超过50元时，售价y(元)与售价的整数部分x 满足关系式：y = x + 20y=x+20，当成本价与售价相等时，每月最多可售出该商品____件。

解析：根据题意，当成本价与售价相等时，即30 = x + 2030=x+20，解得x = 10x=10。

由于售价的整数部分为10，则售价为30元。

再根据一次函数的性质，当斜率大于0时，函数单调递增，因此每月最多可售出该商品33件。

五、判断函数是否为同一函数（根据零点个数）例题：下列四个函数中与函数f(x) = \frac{1}{x}f(x)=x1表示同一函数的是( )A.y = \frac{x^{2}}{x}y=xx2B.y = \frac{1}{\sqrt{x}}y=x1C.y = \frac{1}{\log_{a}x}y=logax1D.y = \frac{e^{x}}{x}y=xex解析：根据函数的三要素（定义域、值域、对应关系），分别判断各选项是否与给定函数定义域相同、值域相同以及对应关系相同。

高中数学函数零点教案
目标:
学生能够掌握函数零点的概念以及求解零点的方法。

教学内容:
1. 函数零点的定义
2. 方程求解的方法（因式分解、配方法、二次函数公式）
3. 利用图像法求解零点
教学步骤:
1. 引导学生了解函数零点的定义，即函数图像与X轴的交点。

2. 讲解如何求解函数的零点，分别介绍因式分解、配方法和二次函数公式的应用。

3. 演示练习，让学生在老师的指导下解决一些函数的零点问题。

4. 引导学生通过作图的方法求解函数的零点，讲解如何在函数图像上找到交点。

5. 练习巩固，让学生自主完成一些函数的零点求解问题。

评价方式:
1. 学生的课堂参与度
2. 课堂练习的正确率
3. 课后作业的完成情况
Homework:
1. 完成课后练习
2. 尝试解决更复杂的函数零点问题
备注:
老师在教学过程中要引导学生注意函数零点的概念理解和求解方法，遇到困难要及时给予帮助和指导。

提倡学生多做练习，加深对函数零点的理解和掌握。

重难点06利用导数研究函数的零点【九大题型】【新高考专用】【题型1判断、证明或讨论零点的个数】 (2)【题型2零点问题之唯一零点问题】 (3)【题型3零点问题之双零点问题】 (3)【题型4根据零点情况求参数范围】 (4)【题型5函数零点的证明问题】 (5)【题型6多零点的和、差、积与大小关系问题】 (6)【题型7隐零点问题】 (7)【题型8三角函数的零点问题】 (8)【题型9与函数零点相关的综合问题】 (8)1、利用导数研究函数的零点导数是高中数学的重要考查内容，而导数中的函数零点（方程的根）问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及判断函数零点的个数或范围.高考常考查三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解答题的压轴题出现，难度较大.【知识点1导数中的函数零点问题的解题策略】1．函数零点（个数）问题的的常用方法(1)构造函数法：构造函数g(x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数.(2)函数零点存在定理：利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零点.(3)数形结合法：函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，数形结合，根据图象的几何直观求解.2．导数中的含参函数零点（个数）问题利用导数研究含参函数的零点（个数）问题主要有两种方法：(1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.(2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y=g(x)图象的交点问题.3．与函数零点有关的参数范围问题的解题策略与函数零点（方程的根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况.【知识点2隐零点问题】1．隐零点问题隐零点问题是指函数的零点存在但无法直接求解出来的问题，在函数不等式与导数的综合题目中常会遇到涉及隐零点的问题，处理隐零点问题的基本策路是判断单调性，合理取点判断符号，再结合函数零点存在定理处理.2．隐零点问题的解题策略在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是x0.因为x0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x0叫做隐零点；若x0容易求出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法.【题型1判断、证明或讨论零点的个数】【例1】（2024·四川凉山·二模）若=Lin+cos−1，∈−π2,π，则函数的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3【变式1-1】（2024·北京房山·一模）若函数op=p,∈−∞,0∈0,+∞，则函数op=op++零点的个数为（）A．1B．2C．1或2D．1或3【变式1-2】（2024·浙江·模拟预测）已知函数=e+sin−−1.(1)当=12时，求的单调区间；(2)当=1时，判断的零点个数.【变式1-3】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数=En−1+∈R.(1)讨论的零点个数；(2)若关于的不等式≤2−2e在0,+∞上恒成立，求的取值范围.【题型2零点问题之唯一零点问题】【例2】（2024·四川成都·三模）若函数=e−B2大于0的零点有且只有一个，则实数的值为（）A．4B．2e C．e2D．e24【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数=2−B−恰有一个零点0，且>>0，则0的取值范围为（）A．−∞,B．−∞,C+∞D+∞【变式2-2】（2024·广东汕头·三模）已知函数op=oe−B2).(1)若曲线=op在J−1处的切线与轴垂直，求=op的极值.(2)若op在(0,+∞)只有一个零点，求.【变式2-3】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数op=32+Lino>0)，其中为常数且≥−6，(1)当=1时，求曲线=op在点(0,o0))处的切线方程，(2)若函数=−Bcos在区间0,32π上有且只有一个零点，求实数的取值范围.【题型3零点问题之双零点问题】【例3】（2024·四川内江·三模）若函数op=ln−有两个零点，则实数的取值范围为（）A．(0,e)B．(e,+∞)C．(0,2e)D．(2e,+∞)【变式3-1】（2024·浙江杭州·模拟预测）若函数=En−+−有且仅有两个零点，则的取值范围是（）A．−1e,0∪0,e B．−2e,0∪0,eC．−2e,0∪0,3D．−1e,0∪0,3【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数op=x1−o>0)，且op有两个相异零点1,2．(1)求实数a的取值范围．(2)证明：1+2>2e．【变式3-3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数=2ln−有两个不同的零点1，2，且=12+ 22．(1)求实数的取值范围；(2)求证：<1；(3)比较与2e及2+3e的大小，并证明．【题型4根据零点情况求参数范围】【例4】（2024·江西鹰潭·模拟预测）已知>1，若函数=ln−e有两个不同的零点，则a的取值范围是（）A．e,+∞B．1,e C．2e,+∞D．e,2e【变式4-1】（2024·陕西汉中·二模）已知函数op=−3−32−2s≤0lns>0，op=op−B有4个零点，则m的取值范围为（）A．(14,1e)B．(−2,0]∪{1e}C．(−2,0]∪{14}D．(−∞,0]∪(14,1e)【变式4-2】（2024·贵州贵阳·一模）已知函数=+e,>0e−,<0，若方程+e=0存在三个不相等的实根，则实数的取值范围是（）A．−∞,e B．−∞,−e C．−∞,−2e D．−∞,2e【变式4-3】（2023·辽宁大连·模拟预测）已知函数=3+22+s≥0−2s<0，若函数=−B2−4,(∈R)恰有4个零点，则k的取值范围（）A．−∞,−1∪25,+∞B．−∞,−5∪0,2C．−∞,0∪0,2+22D．−∞,0∪2+25,+∞【题型5函数零点的证明问题】【例5】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数=ln B−>0．(1)若≤0恒成立，求的取值范围；(2)若有两个不同的零点1,2，证明1+2>2．【变式5-1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数op=oln+1)+13(>0)．(1)求证：1+En>0；(2)若1,2是op的两个相异零点，求证：2−1<1−【变式5-2】（2024·辽宁·三模）已知=−1e+12B2.(1)讨论函数的单调性；(2)当>0时，证明：函数有且仅有两个零点1,2，且1+2<0.【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数op=2−(2+p+En，∈.(1)讨论op的单调性；(2)设op=e−op+2−(+1)−2+(−1)ln，若op存在两个不同的零点1，2，且1<2.（i）证明：2>e+1；（ii）证明：2−1<42−2K12K1.【题型6多零点的和、差、积与大小关系问题】【例6】（2023·四川成都·三模）已知函数op=−1−En有三个零点1,2,3，其中∈，则B123的取值范围是（）A．(1,+∞)B．2，+∞C．(e,+∞)D．(3,+∞)【变式6-1】（2023·四川南充·一模）已知函数op=ln−2+2−（0<<3）有两个不同的零点1，2（1<2），下列关于1，2的说法正确的有（）个①21<e2②1>2r2③e3<2<33−④12>1A．1B．2C．3D．4【变式6-2】（2023·四川成都·一模）已知函数=ln2−2En+e2有三个零点1、2、3且1<2<3，则2ln11+ln22+ln33的取值范围是（）A．−1e2−e,0B．−1e2,0C．−12e,0D．−2e,0【变式6-3】（2023·四川南充·一模）已知函数op=ln−2+2−（0<<3）有两个不同的零点1，2（1<2），下列关于1，2的说法正确的有（）个①21<e2②1>2r2③12>1A．0B．1C．2D．3【题型7隐零点问题】【例7】（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知=−12e−33+B>0∈.(1)讨论函数的单调性；(2)当=0时，判定函数=+ln−122零点的个数，并说明理由.【变式7-1】（23-24高三上·辽宁鞍山·阶段练习）已知函数=ln−B+1，=−.（1）若直线=2与函数的图象相切，求实数的值；（2）当=−1时，求证：≤+2.【变式7-2】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数=x B（>0）.(1)求在区间−1,1上的最大值与最小值；(2)当≥1时，求证：≥ln++1.【变式7-3】（2023·内蒙古包头·一模）已知函数op=x−ln(+1)−1．(1)当=e时，求曲线=op在点(0,o0))处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积；(2)证明：当>1时，op没有零点．【题型8三角函数的零点问题】【例8】（2023·江西上饶·一模）已知函数=sin2+2sin−1，则在∈0,2023π上的零点个数是（）A．2023B．2024C．2025D．2026【变式8-1】（2023·河南·模拟预测）已知函数=e<0sin B,0≤≤π有4个不同的零点，则正实数的范围为（）A B C4D【变式8-2】（2024·广西钦州·三模）已知函数=Lin+vos.(1)若=0，求曲线=在点0,0处的切线方程；(2)若>−1，证明：在−π,π上有3个零点.【变式8-3】（2024·广东深圳·模拟预测）已知=Lin−vos在=π2时取得极大值．(1)讨论在−π,π上的单调性；(2)令ℎ=2−4Lin−4cos+4，试判断ℎ在R上零点的个数．【题型9与函数零点相关的综合问题】【例9】（2024·广东广州·二模）已知函数=+1e−+2．(1)讨论的零点个数；(2)若存在两个极值点，记0为的极大值点，1为的零点，证明：0−21>2．【变式9-1】（2024·四川遂宁·模拟预测）已知函数=−1+En，其中∈.(1)当∈1,+∞时，≥0，求a的取值范围.(2)若<−2，证明：有三个零点1，2，3（1<2<3），且1，2，3成等比数列.【变式9-2】（2024·北京朝阳·二模）已知函数=B−ln1−∈.(1)求曲线=在点0,0处的切线方程；(2)若≥0恒成立，求a的值；(3)若有两个不同的零点1,2，且2−1>e−1，求a的取值范围.【变式9-3】（2024·江西景德镇·三模）已知函数=e−B2，=e−B.(1)当=e时，求函数的极值；(2)已知实数∈①求证：函数有且仅有一个零点；②设该零点为0，若图象上有且只有一对点1,1，2,21<2关于点0,0成中心对称，求实数的取值范围.一、单选题1．（2024·陕西安康·模拟预测）函数=ln+2−2的零点所在区间是（）A．B1C．1,2D．2,2 2．（2024·陕西西安·模拟预测）若函数=3−3+在区间0,2内有两个零点，则实数的取值范围是（）A．0,2B．2,+∞C．0,1D．1,+∞3．（2024·四川绵阳·模拟预测）函数=e−B−恰好有一零点0，且>>0，则0的取值范围是（）A．(−∞,0)B．(0,1)C．(−∞,1)D．(1,+∞) 4．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知>0，若函数=ln,>0,sin B,−π≤≤0有4个零点，则的取值范围是（）A B C D5．（2024·四川宜宾·模拟预测）定义在0,+∞上的单调函数，对任意的∈0,+∞有−ln=1恒成立，若方程⋅′=有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（）A．−∞,1B．0,1C．0,1D．−∞,1 6．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数=ln+1−B有两个零点1,2，且1<2，则下列命题正确的是（）A．>1B．1+2<2C．1⋅2<1．2−1>1−17．（2024·四川·模拟预测）已知函数=−2+1,>0,(r2)2e,≤0.若函数=[]2−B有5个不同的零点，则的取值范围是（）A．0,1B．1,4C．1,4D．1,+∞8．（2024·全国·模拟预测）已知函数=e2−2+1x++22（其中e为自然对数的底数），则下列结论错误的是（）A．∃∈，使函数恰有1个零点B．∃∈，使函数恰有3个零点C．∃∈，使函数没有零点D．若函数有2个零点，则实数的取值范围为e−2,e二、多选题9．（2023·广西·模拟预测）已知方程B−2En=2+3（∈）有两个不同的根1，2，若1<2，则（）A．∈4,+∞B．1<1<2C．ln1+ln2−1>ln2D．12>1 10．（2024·重庆·三模）已知函数op=2−B2(为常数)，则下列结论正确的是（）A．当=1时，op在(0,o0))处的切线方程为2−+1=0B．若op有3个零点，则的取值范围为2,+∞C．当=2时，=1是op的极大值点D．当=12时，op有唯一零点0，且−1<0<−12 11．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数=e+−有两个零点1，2，则下列说法正确的是（）A．的值可以取14B．的值可以取12C．1−2的值关于单调递减D．′1+′2>0三、填空题12．（2024·四川成都·三模）若函数=e−B2大于0的零点有且只有一个，则实数的值为．13．（2023·江苏·模拟预测）已知函数op=3−s≤0lns>0，若op=oop−p有六个零点，则实数的取值范围是．14．（2023·福建福州·二模）已知函数=2e2−+1x+2−1有三个零点1,2,3，且1<2< 0<3，则2−1e12−2e22−3e32=.四、解答题15．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数=3−B+2,∈R.(1)若=−2是函数的极值点，求的值，并求其单调区间；(2)若函数3上仅有2个零点，求的取值范围．16．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数op=2sin+ln(+1)−B．(1)当=2时，求函数op在区间0,(2)若≥0时，不等式op≤0恒成立，求实数的取值范围．17．（2024·安徽·三模）已知函数=2−o>0,≠1).(1)若=e，求在=0处的切线方程；(2)若函数有2个零点，试比较ln与12e的大小关系.18．（2024·福建南平·模拟预测）已知函数=e为自然对数的底数．(1)讨论的单调性；(2)若方程=1有两个不同的根1,2．(i)求的取值范围；(ii)证明：12+22>2．19．（2024·河北邯郸·二模）已知函数=e−B,=−En．(1)是否存在实数，使得和在0,+∞上的单调区间相同？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．(2)已知1,2是的零点，2,3是的零点．①证明：>e，②证明：1<123<e3．。

函数零点的题型归纳与解题技巧函数零点是指函数取值为零的点，即f(x)=0的解。

在高中数学、大学数学以及各类数学竞赛中，函数零点常见的题型有很多种，这里我们将从题型归纳与解题技巧两方面进行探讨。

一、题型归纳1. 求解一元函数零点：例如求解f(x) = x^3-2x^2-x+2=0的零点。

2. 求解二元函数零点：例如求解f(x,y) = x^2+y^2-1=0的零点。

3. 求解多项式方程零点：例如求解f(x) = x^3-x^2+2x-2=0的零点。

4. 求解参数方程零点：例如求解x(t) = t^2-t+2，y(t) =t^3-t^2+2t-2，求解当f(x,y)=0时对应的参数t。

5. 利用零点求解函数的性质：例如已知f(x)的零点及其性质，求解f'(x)或f''(x)的零点。

6. 证明存在或不存在零点：例如证明函数f(x)在区间(a,b)上存在唯一零点。

二、解题技巧1. 分类讨论：对于不同的函数类型，采用不同的方法求解零点。

例如线性函数、二次函数、三次函数、对数函数等，都有相应的求解方法。

2. 利用代数方法：通过代数运算，将原方程转化为容易求解的方程。

例如将原方程化为因式分解的形式，利用韦达定理等。

3. 利用几何方法：将方程与几何图形进行关联，求解图形的相交点即为零点。

例如将方程与直线、圆、椭圆、抛物线等几何图形关联起来。

4. 利用数学分析方法：利用微积分知识，如导数、二分法、牛顿法等，求解零点。

例如，求解f'(x)=0的零点，可以找到函数的拐点；二分法则多用于求解逼近零点。

5. 利用数值方法：通过计算机进行数值逼近求解零点。

例如求解非线性方程组零点时，可以采用牛顿法、拟牛顿法等。

6. 利用泰勒展开：对于非常复杂的函数，可以考虑将其在某一点附近进行泰勒展开，将高次函数近似为低次函数（如线性、二次），再求解零点。

7. 利用解析几何方法：通过解析几何知识，求解平面或空间上的几何问题。

高中数学函数零点，交点，数形结合的综合应用！
高考热点导航：函数零点，交点，以及含有参数的存在性或任意性问题，或是有关不等式问题，考察同学们对函数综合知识的掌握情况，涉及知识面广，高考题目中，常以压轴题的形式出现，下面介绍几种常见的题型和解题策略，只要掌握住了，辅以相应的练习，并非你想象中那么难 .
这一部分需要用到有关函数图像变换的知识点，现总结如下：
一﹑零点个数（数形结合）一个函数零点转化为两个函数的交点.
分析：本题是典型的复合函数零点问题，分清楚每个复合函数的内外层，从内层向外层扫根，具体如下：
三、分离参变量：含参类的综合题型
含参函数的零点问题：
求解含参函数的零点，分离参变量是最简便的一种方法，可以避免对参数的讨论，简化计算过程，分离参变量参变量应用
范围非常广，在个别压轴的填选题和大题中，均有涉及，要求掌握，下面以零点问题，对分离参变量做出解析.
就给大家分享到这里，分离参变量需要重点掌握，它可以应用到有关参数的各种题型中，但是不是所有的含参等式或不等式都可以分离，而且即使可以分离，那么分立后的函数也不一定好分析，但是如果能够使用，计算过程会简化很多，避免各种谈论.。