高中数学函数的零点和最值

二次函数的零点与最值【典型例题】：例1.已知方程023222=---k x kx 有两个不相等的实根21x x 、（1）若12,x x 都小于零，求k 的取值范围； （2）若12,x x 都小于1，求k 的取值范围；（3）若121x x <<，求k 的取值范围； （4）若1220x x -<<、，求k 的取值范围；（5）恰有一根在（1，2）区间内，求k 的取值范围。

(1)032<<-k , (2)04<<-k , (3)4-<k 或0>k （4）5232-<<-k （5）4-<k 或56>k 例2. 若二次函数12-+-=mx x y 的图像与两端点为A （0，3），B （3，0）的线段AB 有两个不同的交点，求m 的取值范围。

经典练习1,21.若一元二次方程0332=-++k kx kx 的两根都是负数，求k 的取值范围。

2. 已知方程012)2(2=-+-+m x m x 有一实根在0和1之间(不含0和1)，求m 的取值范围。

3. 若方程0)2(2=-++k x k x 的两实根均在区间（-1、1）内，求k 的取值范围。

4.设⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=121|x x A ，}0)1()12(|{2≤+++-=a a x a x x B ，若B A ⊆，求实数a 的取值范围例3.求函数22242)(a x x x f --=在区间]1,[+a a 上的最小值例4．求函数1)(2+-=ax x x f 在区间]2,1[-上的最大值经典练习3,41.函数1)(2+-=ax x x f 在区间]2,1[-上的最小值为-2求a2.已知函数122)(2++--=a ax x x f ,若]1,1[-∈x ,记函数的最小值为)(a g ,写出)(a g 的解析式.例5.设f （x ）=x 2－2ax +2.当x ∈［－1，+∞）时，f （x ）≥a 恒成立，求实数a 的取值范围经典练习5不等式0626922≥--+-a a ax x 在3131≤≤-x 内恒成立,求实数a 的取值范围.【巩固练习】：一、基础训练题：1.设0abc >，二次函数()2f x ax bx c =++的图象可能是（ ）1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

函数的零点1、函数零点的定义：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。

方程f(x)=0有实数根↔函数y=f(x)的图象与x 轴有交点↔函数y=f(x)有零点注意：零点是一个实数,不是点。

练习：函数23)(2+-=x x x f 的零点是（ ）Ａ．()0,1Ｂ．()0,2Ｃ．()0,1，()0,2Ｄ.１，２方程f(x)=0的根的个数就是函数y=f(x)的图象与x 轴交点的个数。

方程f(x)=0的实数根就是函数y=f(x)的图象与x 轴交点的横坐标。

方法：①（代数法）求函数的零点就是求相应的方程的根，一般可以借助求根公式或因式分解等办法，求出方程的根，从而得出函数的零点。

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 练习：Ⅰ求零点 ①y=x ³-1, ② y=2^x-1, ③y=lg(x ²-1)-1, ④y=2^|x|-8, ⑤y=2+log 3xⅡ结合函数的图像判断函数f(x)=x ³-7x+6的零点 Ⅲ判断函数f(x)=lnx+2x 是否存在零点及零点的个数 2、一元二次方程和二次函数例，当a>0时，方程ax ²+bx+c=0的根与函数y=ax ²+bx+c 的图象之间的关系如下表： 判别式 △=b2－4ac △＞0△=0△＜0函数y= ax ²+bx+c(a>0)的图象函数的图象与 x 轴的交点 (x 1,0), (x 2,0)(x 1,0)没有交点方程ax ²+bx +c=0(a ≠0)的根两个不相等的实数根x 1 、x 2 有两个相等的实数根x 1 = x 2没有实数根练习：如果函数f(x)= ax ²-x-1仅有一个零点，求实数a 的范围。

3、零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c ∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c 也就是方程f(x)=0的根。

高中数学常见题型解法归纳 函数的零点个数问题的求解方法【知识要点】一、方程的根与函数的零点（1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等.（2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.（3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点，即存在(,c a b ∈）使得()0f c =，这个c 也就是方程的根.函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f 是函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点的一个充分不必要条件.零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决. 二、二分法（1）二分法及步骤对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法. （2）给定精确度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： 第一步：确定区间[,]a b ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε. 第二步：求区间(,)a b 的中点1x .第三步：计算1()f x ：①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；②若1()()0f a f x <，则令1b x = （此时零点01(,)x a x ∈）③若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）第四步：判断是否达到精确度ε即若a b ε-<，则得到零点值a 或b ，否则重复第二至第四步.三、一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布讨论一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布一般从以下个方面考虑列不等式组： （1）a 的符号； （2）对称轴2bx a=-的位置； （3）判别式的符号； （4）根分布的区间端点的函数值的符号.四、精确度为0.1指的是零点所在区间的长度小于0.1，其中的任意一个值都可以取；精确到0.1指的是零点保留小数点后一位数字，要看小数点后两位，四舍五入. 五、方法总结函数零点问题的处理常用的方法有：(1) 方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法. 【方法点评】方法一 方程法使用情景 方程可以直接解出来. 解题步骤 先解方程，再求解.【例1 】已知函数2()32(1)(2)f x x a x a a 区间(1,1)-内有零点，求实数a 的取值范围.【点评】（1）本题如果用其它方法比较复杂，用这种方法就比较简洁.关键是能发现方程能直接解出来.（2）对于含有参数的函数要尝试因式分解，如果不好因式分解，再考虑其它方法.【反馈检测1】函数2()(1)cos f x x x =-在区间[0,4]上的零点个数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ． 7方法二 图像法使用情景 一些简单的初等函数或单调性容易求出，比较容易画出函数的图像.解题步骤先求函数的单调性，再画图分析.【例2】（2017全国高考新课标I 理科数学）已知函数2()(2)xx f x ae a e x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.(2) ①若0,a ≤由（1）知()f x 至多有一个零点.②若0a >，由（1）知当ln x a =-时，()f x 取得最小值，1(ln )1ln f a a a-=-+. （i ）当1a =时，(ln )f a -=0，故()f x 只有一个零点. （ii ）当(1,)a ∈+∞时，由于11ln a a-+>0，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点. （iii ）当0,1a ∈（）时，11ln 0a a-+<，即(ln )0f a -<. 422(2)(2)2220,f ae a e e ----=+-+>-+>故()f x 在(,ln )a -∞-只有一个零点.00000000003ln(1),()(2)203ln(1)ln ,()n n n n n n f n e ae a n e n n aa f x a>-=+-->->->->-∞设正整数满足则由于因此在（-lna,+)有一个零点.综上所述，a 的取值范围为（0,1）.【点评】（1）本题第2问根据函数的零点个数求参数的范围，用的就是图像法. 由于第1问已经求出了函数的单调性，所以第2问可以直接利用第1问的单调性作图分析. (2) 当0,1a ∈（）时，要先判断(,ln )a -∞的零点的个数，此时考查了函数的零点定理，(ln )0f a -<，还必须在该区间找一个函数值为正的值，它就是422(2)(2)2220,f aea e e ----=+-+>-+>要说明(2)0f ->，这里利用了放缩法，丢掉了42ae ae --+.(3) 当0,1a ∈（）时，要判断(ln ,)a -+∞上的零点个数，也是在考查函数的零点定理，还要在该区间找一个函数值为正的值，它就是03ln(1)n a>-，再放缩证明0()f n >0. （4）由此题可以看出零点定理在高考中的重要性.【例3】已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点. （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'0f x =所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-，极小值为()332ln 221f =- 因此()()21616101616ln 291f f =-⨯>-=()()213211213f e f --<-+=-<所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<，因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--【点评】本题第(3)问，由于函数()f x 中没有参数，所以可以直接画图数形结合分析解答.【反馈检测2】已知函数2()1x e f x ax=+，其中a 为实数，常数 2.718e =.(1) 若1 3x=是函数()f x的一个极值点，求a的值；(2) 当4a=-时，求函数()f x的单调区间；(3) 当a取正实数时，若存在实数m，使得关于x的方程()f x m=有三个实数根，求a的取值范围.方法三方程+图像法使用情景函数比较复杂，不容易求函数的单调性.解题步骤先令()0f x=,重新构造方程()()g x h x=,再画函数(),()y g x y h x==的图像分析解答.【例4】函数()lg cosf x x x=-的零点有（）A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个【点评】调性不是很方便，所以先令()lg cos0f x x x=-=,可化为lg cosx x=,再在同一直角坐标系下画出lgy x=和cosy x=的图像分析解答.（2）方程+图像是零点问题中最难的一种，大家注意理解掌握和灵活应用.【反馈检测3】设函数()()()221ln,1,02f x x m xg x x m x m=-=-+>．（1）求函数()f x的单调区间；（2）当1m≥时，讨论函数()f x与()g x图象的交点个数．422510152025oy=cosxy=lgxyx参考答案【反馈检测1答案】C【反馈检测2答案】（1）95a =；（2）()f x 的单调增区间是51(1)2-，15(,12+； ()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,12-，5(1)++∞；（3）a 的取值范围是(1,)+∞. 【反馈检测2详细解析】(1)222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+ 因为13x =是函数()f x 的一个极值点，所以1()03f '=，即12910,935a a a -+==. 而当95a =时，229591521(2)()()59533ax ax x x x x -+=-+=--，可验证：13x =是函数()f x 的一个极值点.因此95a =.(2) 当4a =-时，222(481)()(14)xx x e f x x -++'=-令()0f x '=得24810x x -++=，解得51x =，而12x ≠±.所以当x 变化时，()f x '、()f x 的变化是x1(,)2-∞-15(,1)22-- 512-51(1,)22-15(,1)22+ 512+5(1,)2++∞ ()f x '--++-()f x极小值极大值因此()f x 的单调增区间是51(1,)22-，15(,1)22+；()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,1)2--，5(1,)++∞； 【反馈检测3答案】（1）单调递增区间是),m +∞, 单调递减区间是(m ；（2）1．【反馈检测3详细解析】（1）函数()f x 的定义域为()()(0,,'x m x m f x x+∞=．当0x m <<()'0f x <,函数()f x 单调递减，当x m >时，()'0f x >函数()f x 单调递增，综上，函数()f x 的单调递增区间是),m +∞, 单调递减区间是(m ．（2）令()()()()211ln ,02F x f x g x x m x m x x =-=-++->,问题等价于求函数()F x 的零点个数，()()()1'x x m F x x--=-,当1m =时，()'0F x ≤，函数()F x 为减函数，F x有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．综上，函数()。

函数零点一、函数的零点1.零点的定义：对于函数()y f x ，使()0f x 的实数x 叫做函数()yf x 的零点．2.函数零点的等价关系函数()y f x =的零点就是方程()0f x =实数根，亦即函数()y f x =的图象与x 轴交点的横坐标．即方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点．3.零点存在性判定定理定理：如果函数()y f x =在区间[]a b ，上的图象是连续不断的一条曲线，且()()0f a f b ⋅<，则函()y f x =在区间()a b ，内有零点，即存在()c a b ∈，，使得()0f c =，这个c 就是方程()0f x =的根．4.对函数零点存在的判断中，必须强调：1）()f x 在[]a b ，上连续； 2）()()0f a f b <； 3）在()a b ，内存在零点． 这是零点存在的一个充分条件，但不是必要条件． 注意：函数()yf x 的零点就是方程()0f x 的实数根，也就是函数()yf x 的图象与x 轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．5. 二次函数零点的判定0）的图像2ax bx c 0a ）的根2a2ax bxc0）的零点2ba2ax bxc0）的解集2ax bxc0）的解集1x 或2xx }2a6.一元二次方程20axbx c根的分布（下面对0a 进行讨论）20bk a △20bk a △1212()x x k k ，，1122k x k x )k ，内有且只有一根yyyky y1220b k a△23()0()0f k f k △且(2b k a一．选择题（共12小题）1．（2018•重庆模拟）函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（）A．0B．1C．2D．32．（2018•商洛模拟）函数f（x）=ln（x+1）﹣2x的零点所在的大致区间是（）A．（3，4）B．（2，e）C．（1，2）D．（0，1）3．（2017秋•镇原县校级期末）函数f（x）=2x+7的零点为（）A．7B．7 2C．﹣7D．−7 24．（2017秋•平罗县校级期末）方程2x=2﹣x的根所在区间是（）A．（﹣1，0）B．（2，3）C．（1，2）D．（0，1）5．（2018春•番禺区校级月考）方程x3﹣3x﹣m=0在[0，1]上有实数根，则m的最大值是（）A．0B．﹣2C．﹣118D．16．（2017•奉贤区二模）若f（x）为奇函数，且x0是y=f（x）﹣e x的一个零点，则﹣x0一定是下列哪个函数的零点（）A．y=f（x）e x+1B．y=f（﹣x）e﹣x﹣1C．y=f（x）e x﹣1D．y=f（﹣x）e x+17．（2016秋•仙桃期末）函数f（x）=2x2﹣3x+1的零点个数是（）A．0B．1C．2D．38．（2016秋•库尔勒市校级期末）下列函数中，既是奇函数又存在零点的函数是（）A．y=sinx B．y=cosxC．y=lnx D．y=x3+19．（2016秋•黄山期末）函数f（x）=log2（x﹣1）的零点是（）A．（1，0）B．（2，0）C．1D．210．（2016秋•东莞市校级期末）函数f（x）=x2﹣4x+4的零点是（）A．（0，2）B．（2，0）C．2D．411．（2017秋•青冈县校级期中）函数f（x）=2x2﹣3x+1的零点是（）A．﹣12，﹣1B．﹣12，1C．12，﹣1D．12，112．（2017春•江津区期中）设f（x）=ax+4，若f（1）=2，则a的值（）A．2B．﹣2C．3D．﹣3二．填空题（共5小题）13．（2014秋•新沂市校级月考）已知集合A={x|ax2﹣3x+2=0，x∈R，a∈R}只有一个元素，则a=．14．（2014秋•涟水县校级期中）方程4x2﹣12x+k﹣3=0没有实根，则k的取值范围是．15．（2012秋•浦东新区校级月考）2﹣x+x2=5的实根个数为．16．（2012秋•金山区校级月考）函数y=x3﹣2x的零点是．17．已知x 38=234，则x=．三．解答题（共1小题）18．解方程：x3+x2=1．。

零点存在的判定与证明一、基础知识：1、函数的零点：一般的，对于函数()y f x =，我们把方程()0f x =的实数根0x 叫作函数()y f x =的零点。

2、零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ×<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内必有零点，即()0,x a b $Î，使得()00f x =注：零点存在性定理使用的前提是()f x 在区间[],a b 连续，如果()f x 是分段的，那么零点不一定存在3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。

因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调4、几个“不一定”与“一定”（假设()f x 在区间(),a b 连续）（1）若()()0f a f b ×<，则()f x “一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。

要分析()f x 的性质与图像，如果()f x 单调，则“一定”只有一个零点（2）若()()0f a f b ×>，则()f x “不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。

如果()f x 单调，那么“一定”没有零点（3）如果()f x 在区间(),a b 中存在零点，则()()f a f b ×的符号是“不确定”的，受函数性质与图像影响。

如果()f x 单调，则()()f a f b ×一定小于05、零点与单调性配合可确定函数的符号：()f x 是一个在(),a b 单增连续函数，0x x =是()f x 的零点，且()0,x a b Î，则()0,x a x Î时，()0f x <；()0,x x b Î时，()0f x >6、判断函数单调性的方法：（1）可直接判断的几个结论：① 若()(),f x g x 为增（减）函数，则()()f x g x +也为增（减）函数② 若()f x 为增函数，则()f x -为减函数；同样，若()f x 为减函数，则()f x -为增函数③ 若()(),f x g x 为增函数，且()(),0f x g x >，则()()f x g x ×为增函数（2）复合函数单调性：判断()()y f g x =的单调性可分别判断()t g x =与()y f t =的单调性（注意要利用x 的范围求出t 的范围），若()t g x =，()y f t =均为增函数或均为减函数，则()()y f g x =单调递增；若()t g x =，()y f t =一增一减，则()()y f g x =单调递减（此规律可简记为“同增异减”）（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图像7、证明零点存在的步骤：（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数()f x （3）分析函数()f x 的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间（4）利用零点存在性定理证明零点存在例1：函数()23x f x e x =+-的零点所在的一个区间是（ ）A.1,02æö-ç÷èø B.10,2æöç÷èø C.1,12æöç÷èø D.31,2æöç÷èø思路：函数()f x 为增函数，所以只需代入每个选项区间的端点，判断函数值是否异号即可解：1211234022f e -æöæö-=+×--=-<ç÷ç÷èøèø，()020f =-<11232022f æö=+×-=-<ç÷èø()12310f e e =+-=->()1102f f æö\×<ç÷èø01,12x æö\Îç÷èø，使得()00f x =答案：C例2：函数()()ln 1f x x x =-+的零点所在的大致区间是（ ）A.31,2æöç÷èø B.3,22æöç÷èøC.()2,eD.(),e +¥思路：先能判断出()f x 为增函数，然后利用零点存在性判定定理，只需验证选项中区间端点函数值的符号即可。

高中数学解多项式函数的零点和极值的方法和实例一、引言多项式函数是高中数学中常见的函数类型，解多项式函数的零点和求取极值是数学学习中的重要内容。

本文将介绍解多项式函数零点和求取极值的方法，并通过具体的例题进行说明和分析，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一内容。

二、解多项式函数的零点1. 二次多项式函数的零点二次多项式函数一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a≠0。

要解二次多项式函数的零点，可以使用求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。

下面通过一个例题进行说明。

例题：解方程f(x) = 2x^2 + 3x - 5 = 0的零点。

解答：根据求根公式，可得x = (-3 ± √(3^2 - 4×2×-5)) / (2×2) = (-3 ± √(9 + 40)) / 4 = (-3 ± √49) / 4。

故方程的零点为x = (-3 + 7) / 4 = 1和x = (-3 - 7) / 4 = -5/2。

2. 高次多项式函数的零点高次多项式函数的零点求解相对复杂，通常需要借助图像或数值计算方法。

下面通过一个例题进行说明。

例题：解方程f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2 = 0的零点。

解答：首先，我们可以通过观察函数图像的变化趋势来估计零点的范围。

根据函数的性质，当x取较小的负数时，f(x)的值较大且为正；当x取较大的正数时，f(x)的值也较大且为正。

因此，我们可以判断方程的零点位于x的取值范围为(-2, 2)之间。

接下来，我们可以使用数值计算方法，如二分法、牛顿法等，逐步逼近方程的零点。

这里以二分法为例进行说明。

选择x = -2和x = 2作为初始区间的端点，计算f(-2)和f(2)的值。

若f(-2)和f(2)异号，则方程在该区间内有一个零点。

高考数学《函数零点的个数问题》知识点讲解与分析一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。

（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续）① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =−,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。

由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。

（详见方法技巧）二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。

例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭即可判定其零点必在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭中 2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。

5.3.2 函数的极值与最大(小)值（2）本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习函数的极值与最大(小)值学生已经具有导数概念、导数几何意义、导数计算、函数的单调性等相关的数学概念知识，对函数的单调性有一定的认识，对相应导数的内容也具有一定的储备。

函数的极值与最值是函数的一个重要性质。

在学习运用导数判断函数单调性的基础上，研究和学习函数的极值与最值是导数的一个重要应用，注意培养学生数形结合思想、特殊到一般的研究方法，发展学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养。

课程目标学科素养A.了解函数最大（小）值的概念以及与函数极值的区别与联系；B．掌握求函数最值的方法及其应用；C．体会数形结合、化归转化的数学思想．1.数学抽象：求函数最值的方法2.逻辑推理：函数极值与最值的关系3.数学运算：运用导数求函数的最值4.直观想象：最值与极值的关系重点：求函数最值的方法及其综合应用难点：函数最大（小）值的概念以及与函数极值的区别与联系多媒体一、温故知新1.求函数y=f(x)的极值的一般方法：解方程f '(x) = 0.当 f '(x) = 0 时：如果在x0附近的左侧f '(x)>0,右侧f '(x)<0 ，那么 f (x) 为极大值；如果在x0附近的左侧f '(x)<0,右侧f '(x)>0 ，那么 f (x) 为极小值；二、探究新知我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。

也就是说，如果x是函数y=f(x)的极大（小）值点，那么在x=x0附近找不到比f (x)更大的值，但是，在解决实际问题或研究函数性质时，我们往往更关注函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小，如果x是某个区间上函数y=f(x)的最大（小）值点，那么f(x)不小（大）于函数y=f(x)在此区间上所有的函数值。

高考数学中的函数极值及最值问题及解题方法在高中数学学习中，函数极值及最值问题是一个重要的考点，也是一个有难度的知识点。

在高考数学中，这个知识点被广泛地应用于各种数学题型中，涉及到的知识点和方法需要大家掌握好。

本文将就函数极值及最值问题及解题方法做一些简单的介绍和详解。

第一部分：什么是函数的最值和极值函数的最大值和最小值是这个函数在定义域内的函数值中的最大值和最小值，也就是说，最大值和最小值都是函数的取值，而不是函数本身。

函数的最大值就是这个函数在定义域内取到的最大值，而函数的最小值就是这个函数在定义域内取到的最小值。

函数的极值也是类似的，极大值指的是某个函数在一个特定的区间内取到的最大值，而极小值就是函数在这个特定的区间内取到的最小值。

第二部分：函数的最值和极值问题的解法1. 求函数的最值对于求函数的最值，一般有两种方法：一种方法是借助函数图像，根据函数图像的形态来看出函数的最值所在的位置。

另一种方法是通过求导数，然后借助导数定理来求解函数的最值。

求函数的最值需要用到极限、导数、函数的性质等多个数学知识点，需要考生们细心地掌握。

2. 求函数的极值对于求函数的极值，可以通过以下几种方法来实现：一种方法是通过求导数，然后求得导函数的零点，从而求出函数的极值点。

另一种方法是对函数求导数，然后再对导数进行求导数，直到得到导函数的函数表达式，从而得到函数的极值点。

还有一种方法是使用极限和数列的性质来求解函数的极值。

总的来说，求函数的极值需要使用到导数、函数的性质、函数图像的图形等多个数学知识点，需要考生们认真学习和练习。

第三部分：函数极值及最值问题的解题实例在高考数学中，函数极值及最值问题的解题实例非常丰富，接下来就给大家介绍一些常见的解题思路。

1. 求函数的最值比如，一道求函数最大值的题目：求函数f(x)=x2+2x+3的最小值。

解题思路：首先可以画出函数的图像，在图像上寻找最小值所在的位置。

另一方面，我们也可以通过求导数来求解函数的最值。

高中数学-函数的零点问题及例题分析1. 引言函数是数学中一个非常重要的概念，它在数学和实际问题中发挥着重要的作用。

函数的零点问题是函数中一个常见且重要的问题，它与方程的解有着紧密的联系。

本文将介绍函数的零点问题，并通过一些例题分析来加深理解。

2. 函数的定义与性质回顾函数是一个将一个集合的元素映射到另一个集合的元素的规则。

函数通常用符号表示，如$f(x)$，其中$x$是自变量，$f(x)$是对应的函数值。

函数的零点指的是函数取零值的点，即满足$f(x)=0$的$x$值。

函数的零点问题与方程的解问题紧密相关。

对于一元函数，函数的零点就是方程$f(x)=0$的解。

因此，解方程可以转化为求函数的零点。

函数的零点可以通过图像、图表或数值计算等方法来确定。

下面将通过几个例题来进一步分析。

3. 例题分析3.1 例题一已知函数$f(x)=2x^2-3x+1$，求函数$f(x)$的零点。

解析：要求函数$f(x)$的零点，即求解方程$2x^2-3x+1=0$。

我们可以使用配方法、求根公式或因式分解等方法来解这个二次方程，最终可以得到$x=1$和$x=\frac{1}{2}$两个解。

3.2 例题二已知函数$g(x)=\sqrt{x+3}-2$，求函数$g(x)$的零点。

解析：要求函数$g(x)$的零点，即求解方程$\sqrt{x+3}-2=0$。

为了消除平方根，我们可以将方程两边平方，得到$x+3=4$，然后解得$x=1$。

因此，函数$g(x)$的零点为$x=1$。

3.3 例题三已知函数$h(x)=\frac{1}{x-2}$，求函数$h(x)$的零点。

解析：函数$h(x)$在$x=2$处不存在定义，因此不存在零点。

4. 总结本文介绍了函数的零点问题及其与方程的解之间的联系。

函数的零点是函数取零值的点，可以通过解相应的方程来求得。

通过例题分析，我们进一步了解了求函数零点的具体方法。

在实际问题中，函数的零点问题有时对于确定某个变量的取值非常重要，因此对于函数的零点问题的理解和掌握是非常有益的。

⾼三数学函数零点的判定定理知识点 函数零点问题是⾼等数学中的重要问题，⾼中数学课程中有基本的介绍，下⾯是店铺给⼤家带来的⾼三数学函数零点的判定定理知识点，希望对你有帮助。

⾼三数学函数零点的判定定理知识点(⼀) 函数零点存在性定理： ⼀般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的⼀条曲线，并且有f(a)。

f(b)<o，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=O，这个c也就是f(x)=0的根。

特别提醒:(1)根据该定理，能确定f(x)在(a,b)内有零点，但零点不⼀定唯⼀。

(2)并不是所有的零点都可以⽤该定理来确定，也可以说不满⾜该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x2-3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点。

(3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)。

f(b)<0，则fx)在(a，b)上有唯⼀的零点。

函数零点个数的判断⽅法: (1)⼏何法：对于不能⽤求根公式的⽅程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利⽤函数的性质找出零点。

特别提醒：①“⽅程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为⼀谈，如⽅程x2-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，⽽函数f(x)=x2-2x +1在[0，2]上只有⼀个零点 ②函数的零点是实数⽽不是数轴上的点。

(2)代数法：求⽅程f(x)=0的实数根。

⾼三数学函数零点的判定定理知识点(⼆) 判断函数零点个数的常⽤⽅法 (1)解⽅程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有⼏个解就有⼏个零点。

(2)零点存在性定理法：利⽤定理不仅要判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点。

高中数学基础之函数零点函数零点的考查往往以选择题或填空题的形式出现，在解答题中，特别是有关导数的解答题中也经常考查零点问题．根据高考试题的考查特点，建议掌握好函数零点的求法、含参数问题的解决办法以及常用的二次函数零点问题的求法．函数的零点(1)零点的定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．注：函数的零点不是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点，而是y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数．(2)零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点⇔函数y＝f(x)有零点．零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条□01连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．注：函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．一、函数零点及其所在区间的判断例1 函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)答案B解析解法一(定理法)：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续的曲线．由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，根据零点存在定理可知，函数f (x )＝log 3x ＋x －2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内．故选B.解法二(图象法)：将函数f (x )的零点所在的区间转化为函数g (x )＝log 3x 和h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两函数的图象如图所示，可知f (x )的零点所在的区间为(1，2).故选B.例2 已知函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2，k ＋12(k ∈Z )内，那么k ＝ ． 答案 5解析 因为x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋2＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝ln52－1＜0，f (3)＝ln 3＞0，所以f (x )的零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫52，3内，则整数k ＝5. 总结：判断函数零点所在区间的方法(1)解方程法，当对应方程易解时，可直接解方程． (2)利用零点存在定理求解．(3)数形结合法，画出相应函数图象，观察与x 轴交点来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上是否有交点来判断．二、函数零点个数的判断例3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 令f (x )＋3x ＝0，则⎩⎨⎧x ≤0，x 2－2x ＋3x ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1＋1x ＋3x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1，所以函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是2.例4 若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋4)＝f (x )，且x ∈(－2，2]时，f (x )＝12|x |，则函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝lg |x |的图象的交点个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．10 答案 C解析 因为f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数．又x ∈(－2，2]时，f (x )＝12|x |，所以作出函数f (x )的图象如图所示．因为x ＝±10时，y ＝lg |±10|＝1，所以由数形结合可得函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝lg |x |的图象的交点个数为8.例5 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln （x －1），x >1，2x －1－1，x ≤1，则f (x )的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 当x ＞1时，令f (x )＝ln (x －1)＝0，得x ＝2；当x ≤1时，令f (x )＝2x －1－1＝0，得x ＝1，故f (x )的零点个数为2.例6 若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点有( )A ．多于4个B ．4个C ．3个D ．2个答案 B解析 分别作出y ＝f (x )与y ＝log 3|x |的图象如图所示，由图可知y ＝f (x )与y ＝log 3|x |的图象有4个交点，故函数y ＝f (x )－log 3|x |有4个零点．总结：函数零点个数的判断方法(1)直接求零点．令f (x )＝0，有几个解就有几个零点．(2)零点存在定理．要求函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，且f (a )f (b )<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数．(3)利用图象交点个数判断．作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数． 三、函数零点的应用例7 已知方程x 2＋(m －2)x ＋5－m ＝0的一根在区间(2，3)内，另一根在区间(3，4)内，则m 的取值范围是( )A ．(－5，－4)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－2C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－4D ．(－5，－2) 答案 C解析 令f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m ，由二次函数根的分布性质，若一根在区间(2，3)内，另一根在区间(3，4)内，只需⎩⎪⎨⎪⎧f （2）>0，f （3）<0，f （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋2（m －2）＋5－m >0，9＋3（m －2）＋5－m <0，16＋4（m －2）＋5－m >0，解不等式组可得－133<m <－4，即m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－4.故选C. 例8 设函数f (x )＝⎩⎨⎧|ln x |，x >0，e x （x ＋1），x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2，0C ．{0}∪(1，＋∞)D ．(0，1]答案 D解析 函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点等价于f (x )＝b 有三个根，当x ≤0时，f (x )＝e x (x ＋1)，则f ′(x )＝e x (x ＋1)＋e x ＝e x (x ＋2)，由f ′(x )＜0得x ＜－2，此时f (x )为减函数，由f ′(x )＞0得－2＜x ≤0，此时f (x )为增函数，即当x ＝－2时，f (x )取得极小值f (－2)＝－1e 2，作出f (x )的图象如图，要使f (x )＝b 有三个根，则0＜b ≤1.故选D.例9 若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1，1]有零点，则实数a 的取值范围是 ． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2解析 因为函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1，1]有零点，所以方程4x －2x －a ＝0在[－1，1]上有解，即方程a ＝4x －2x 在[－1，1]上有解．方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122－14，令2x＝t ，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14，0≤t －12≤32，0≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122≤94，－14≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14≤2，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.总结：已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．。

2022年高中数学选择性必修第二册：第2课时函数的最大(小)值基础过关练题组一函数最大(小)值的概念及其求解1.设f(x)是区间[a,b]上的连续函数,且在(a,b)内可导,则下列结论中正确的是()A.f(x)的极值点一定是最值点B.f(x)的最值点一定是极值点C.f(x)在区间[a,b]上可能没有极值点D.f(x)在区间[a,b]上可能没有最值点2.(2020北京清华附中高二下期末)函数f(x)=x·e x的最小值是()A.-1B.-eC.-1eD.不存在3.(2020浙江杭州六校高二下期中)已知函数f(x)=x3-12x,x∈[-3,3],则f(x)的最大值为()A.-9B.-16C.16D.94.如图是函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象,写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值.5.(2020黑龙江佳木斯一中高二上期末)求函数f(x)=x3-12x+6,x∈[-3,3]的单调区间,并求函数f(x)的最值.题组二 含参函数的最大(小)值问题6.若函数f(x)=asin x+13sin 3x 在x=π3处有最大(小)值,则a 等于( )A.2 B .1 C .2√33D.07.若函数f(x)=-x 3+mx 2+1(m ≠0)在区间(0,2)上的极大值为最大值,则m 的取值范围是 ( ) A.(0,3) B.(-3,0) C.(-∞,-3) D.(3,+∞) 8.已知函数y=ax 2x -1(x>1)有最大值-4,则a 的值为( )A.1 B .-1 C.4 D .-49.(2020浙江杭州高二下期中)函数f(x)=x 3-3ax-a 在(0,1)内有最小值,则a 的取值范围为 .10.已知a 是实数,函数f(x)=x 2(x-a),求f(x)在区间[0,2]上的最大值.题组三利用函数的最大(小)值解决不等式问题11.已知函数f(x)=x2-2ln x,若在定义域内存在x0,使得不等式f(x0)-m≤0成立,则实数m的最小值是()A.2B.-2C.1D.-1在区间[1,+∞)上为减函数,则实数a的取值范12.已知函数f(x)=lna+lnxx围为.13.设函数f(x)=ln x-x+1.(1)求函数f(x)的极值;(2)证明:ln x≤x-1.14.已知函数f(x)=xln x.(1)求f(x)的最小值;(2)若对任意x≥1,都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围.题组四利用导数解决生活中的优化问题15.某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数,且函数解析式为y1=17x2(x>0),生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数,且函数解析式为y2=2x3-x2(x>0),要使利润最大,则该产品应生产()A.6千台B.7千台C.8千台D.9千台16.某批发商以每吨20元的价格购进一批建筑材料,若以每吨M元零售,销量N(单位:吨)与零售价M(单位:元)有如下关系:N=8300-170M-M2,则该批材料零售价定为元时利润最大,利润的最大值为元.17.时下,网校教学越来越受广大学生的喜爱,它已经成为学生课外学习的一种方式.假设某网校的套题每日的销售量y(单位:千套)与销售+4(x-6)2,其中2<x<6,m为常数,已价格x(单位:元/套)满足关系式:y=mx-2知销售价格为4元/套时,每日可售出套题21千套.(1)求m的值;(2)假设网校的员工工资、办公费用等所有开销折合为每套题2元(只考虑售出的套题).试确定销售价格x为何值时,网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留1位小数)18.将一块2m×6m的矩形钢板按如图所示的方式划线,要求①至⑦全为矩形,沿线裁去阴影部分,把剩余部分焊接成一个以⑦为底,⑤⑥为盖的水箱,设水箱的高为x m,容积为y m3.(1)写出y关于x的函数关系式;(2)当x取何值时,水箱的容积最大?能力提升练题组一函数最值问题的求解与应用1.(2020重庆九校联盟高二上期末联考,)若直线l:x=a与函数f(x)=x2+1,g(x)=12ln x的图象分别交于点P、Q,当P、Q两点距离最近时,a=()A.√52B.√22C.1D.122.(2020重庆七校联盟高二上期末联考,)已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表:x-1045f(x)1221y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示:给出下列关于函数f(x)的命题:①函数y=f(x)是周期函数;②函数f(x)在[0,2]上是减函数;③如果当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;④当1<a<2时,函数y=f(x)-a有4个零点.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.43.()已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的单调递减区间;(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.题组二含参函数的最大(小)值问题4.(2020广东揭阳高二下期末,)若函数f(x)=13x3+x2-1在区间(m,m+3)上存在最小值,则实数m的取值范围是()A.[-5,0)B.(-5,0)C.[-3,0)D.(-3,0)5.(2020湖南长沙长郡中学高二上期末,)已知函数f(x)=xx2+a(a>0)在[1,+∞)上的最大值为√33,则a的值为()A.√3-1B.34C.43D.√3+16.(2019吉林高二期末,)函数f(x)=ax4-4ax3+b(a>0),x∈[1,4],f(x)的最大值为3,最小值为-6,则ab=.7.()已知函数f(x)=-2a2ln x+12x2+ax(a∈R).(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)当a<0时,求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值.题组三 利用函数的最大(小)值解决不等式问题 8.()若对任意的x>0,恒有ln x ≤px-1(p>0),则p 的取值范围是( )A.(0,1]B.(1,+∞)C.(0,1)D.[1,+∞) 9.()已知f(x)=ln(x 2+1),g(x)=(12)x-m,若∀x 1∈[0,3],∃x 2∈[1,2],使得f(x 1)≥g(x 2),则实数m 的取值范围是( ) A.[14,+∞) B.(-∞,14] C.[12,+∞) D.(-∞,-12] 10.(多选)()定义在R 上的函数f(x),若存在函数g(x)=ax+b(a,b 为常数),使得f(x)≥g(x)对一切实数x 都成立,则称g(x)为函数f(x)的一个承托函数,下列命题中正确的是( )A.函数g(x)=-2是函数f(x)={lnx,x >0,1,x ≤0的一个承托函数B.函数g(x)=x-1是函数f(x)=x+sin x 的一个承托函数C.若函数g(x)=ax 是函数f(x)=e x 的一个承托函数,则a 的取值范围是[0,e]D.值域是R 的函数f(x)不存在承托函数 11.(2020河北保定高二上期末,)已知函数f(x)=sin x-1,g(x)=a2ln x-x,若对任意x 1∈R 都存在x 2∈(1,e)使f(x 1)<g(x 2)成立,则实数a 的取值范围是 .深度解析12.(2020北京西城高三第一学期期末,)已知函数f(x)=e x -ax+12x 2,其中a>-1.(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;(3)若f(x)≥12x 2+x+b 对任意x ∈R 恒成立,求b-a 的最大值.题组四 利用导数解决生活中的优化问题 13.()某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总营业收入R(元)与年产量x(万吨)的关系是R(x)={400x -12x 2,0≤x ≤400,80 000,x >400,则总利润最大时,年产量是( ) A.100万吨 B.150万吨 C.200万吨 D.300万吨14.()现有一个帐篷,它下部分的形状是高为1 m 的正六棱柱,上部分的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥(如图所示).当帐篷的体积最大时,帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为( )A.1 mB.32 m C.2 m D.3 m15.()某厂生产x 件某种产品的总成本为c(x)=(1 200+275x 3)(万元),已知产品单价的平方与产品件数x 成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,则产量定为 件时,总利润最大. 16.(2019山东泰安高三上期中,)如图,AOB 是一块半径为r 的扇形空地,∠BOG=π6,∠AOB=π2.某单位计划在空地上修建一个矩形的活动场地OCDE 及一矩形停车场EFGH,剩余的地方进行绿化.设∠AOD=θ. (1)记活动场地与停车场占地总面积为f(θ),求f(θ)的表达式; (2)当cos θ为何值时,可使活动场地与停车场占地总面积最大?答案全解全析基础过关练1.C根据函数的极值与最值的概念知,选项A,B,D都不正确.故选C.2.C由题意得,f'(x)=e x+xe x=(1+x)e x.令f'(x)=0,得x=-1.当x<-1时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>-1时,f'(x)>0,f(x)单调递增.因此f(x)在x=-1处取得极小值也是最小值,且最小值为f(-1)=-1.故选eC.3.C由题意得,f'(x)=3x2-12,令f'(x)=0,解得x=±2,易知f(x)在[-3,-2]上单调递增,在[-2,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增,又f(-2)=16,f(3)=-9,所以f(x)的最大值为16,故选C.4.解析由题图可知y=f(x)在x1,x3处取极小值,在x2处取极大值,所以极小值为f(x1),f(x3),极大值为f(x2);比较极值和端点值可知函数的最小值是f(x3),最大值在b处取得,最大值为f(b).5.解析依题意得f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),令f'(x)=0,得x=-2或x=2,列表如下:x-3(-3,-2)-2(-2,2)2(2,3)3 f'(x)+0-0+f(x)15↗22↘-10↗-3所以函数f(x)在(-3,-2)和(2,3)上是增函数,在(-2,2)上是减函数,且函数f(x)的最大值是22,最小值是-10.6.A∵f(x)在x=π处有最大(小)值,3∴x=π3是函数f(x)的极值点.又∵f'(x)=acos x+cos 3x(x ∈R), ∴f'(π3)=acos π3+cos π=0,解得a=2.7.A 由题得f'(x)=-3x 2+2mx,令f'(x)=0,得x=2m 3或x=0(舍去),因为f(x)在区间(0,2)内的极大值为最大值,所以2m 3∈(0,2),即0<2m 3<2,所以0<m<3.8.B 依题意得y'=(ax 2x -1)'=2ax(x -1)-ax 2(x -1)2=ax 2-2ax(x -1)2=a [1−1(x -1)2],令y'=0,解得x=2或x=0(舍去).若函数在区间(1,+∞)上有最大值-4,则最大值必然在x=2处取得,所以4a1=-4,解得a=-1,此时y'=-x(x -2)(x -1)2,当1<x<2时,y'>0,当x>2时,y'<0,可以验证当x=2时y 取得最大值-4,故选B. 9.答案 (0,1)解析 由题意得, f'(x)=3x 2-3a, 令f'(x)=0,得x 2=a.∵x ∈(0,1),∴要使f(x)在(0,1)内有最小值,只需0<√a <1,即0<a<1. 当0<x<√a 时, f'(x)<0,当√a <x<1时,f'(x)>0,可以验证当x=√a 时f(x)取得最小值,故a 的取值范围是(0,1). 10.解析 由题意得, f'(x)=3x 2-2ax. 令f'(x)=0,得x=0或x=2a3.①当2a 3≤0,即a ≤0时, f(x)在[0,2]上单调递增,从而f(x)max =f(2)=8-4a.②当2a3≥2,即a ≥3时, f(x)在[0,2]上单调递减,从而f(x)max =f(0)=0.③当0<2a 3<2,即0<a<3时, f(x)在0,2a 3上单调递减,在2a 3,2上单调递增,从而f(x)max ={8−4a(0<a ≤2),0(2<a <3).综上所述, f(x)max ={8−4a(a ≤2),0(a >2).11.C 由题可知,函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=2x-2x .令f'(x)=0,得x=1或x=-1(舍).当x ∈(0,1)时, f'(x)<0;当x ∈(1,+∞)时, f'(x)>0.所以当x=1时,f(x)取得极小值,也是最小值,且最小值为1. 由题意知m ≥1,因此实数m 的最小值为1. 12.答案 [e,+∞) 解析 由题意得, f'(x)=1x·x -(lna+lnx)x 2=1−(lna+lnx)x 2.因为f(x)在[1,+∞)上为减函数,所以f'(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,即ln a ≥1-ln x 在[1,+∞)上恒成立,令g(x)=1-ln x,易知函数g(x)=1-ln x 在区间[1,+∞)上单调递减,所以g(x)max =g(1)=1, 故ln a ≥1,即a ≥e.13.解析 (1)由题意得,函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=1x -1=1−x x,令f'(x)=0,得x=1.当x 变化时, f'(x), f(x)的变化情况如下表:x (0,1) 1 (1,+∞) f'(x) + 0 - f(x)↗极大值 ↘因此,当x=1时,函数f(x)有极大值,且极大值为f(1)=0.(2)证明:由(1)可知函数f(x)在x=1处取得最大值,且最大值为0. 即f(x)=ln x-x+1≤0,得 ln x ≤x-1.14.解析 (1)易知f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1+ln x. 令f'(x)>0,解得x>1e,令f'(x)<0,解得0<x<1e.故f(x)的最小值为f (1e )=-1e.(2)依题意得, f(x)≥ax-1在[1,+∞)上恒成立,即不等式a ≤ln x+1x 对任意x ∈[1,+∞)恒成立. 令g(x)=ln x+1x ,则g'(x)=1x -1x2=x -1x 2.当x ≥1时,g'(x)≥0,故g(x)在[1,+∞)上是增函数,所以g(x)的最小值是g(1)=1,因此a ≤g(x)min =g(1)=1, 故a 的取值范围为(-∞,1].15.A 设利润为y 万元,则y=y 1-y 2=17x 2-(2x 3-x 2)=-2x 3+18x 2(x>0), ∴y'=-6x 2+36x=-6x(x-6).令y'=0,解得x=0(舍去)或x=6,经检验知x=6既是函数的极大值点又是函数的最大值点,∴应生产6千台该产品. 16.答案 30;23 000解析 设该商品的利润为y 元,由题意知, y=N(M-20)=-M 3-150M 2+11 700M-166 000, 则y'=-3M 2-300M+11 700, 令y'=0,得M=30或M=-130(舍去), 当M ∈(0,30)时,y'>0,当M ∈(30,+∞)时,y'<0,因此当M=30时,y 取得极大值,也是最大值,且y max =23 000. 17.解析 (1)由题意知当x=4时,y=21, 代入y=m x -2+4(x-6)2,得m2+16=21,解得m=10.(2)设每日销售套题所获得的利润为f(x)元. 由(1)可知,套题每日的销售量y=10x -2+4(x-6)2,2<x<6,所以每日销售套题所获得的利润f(x)=(x-2)[10x -2+4(x -6)2]=10+4(x-6)2(x-2)=4x 3-56x 2+240x-278(2<x<6), 则f '(x)=12x 2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2<x<6). 令f '(x)=0,得x=6(舍去)或x=103.当x ∈(2,103)时,f '(x)>0,函数f(x)单调递增;当x ∈(103,6)时,f '(x)<0,函数f(x)单调递减,所以x=103是函数f(x)在(2,6)内的极大值点,也是最大值点,所以当x=103≈3.3时,函数f(x)取得最大值.故当销售价格为3.3元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大. 18.解析 (1)由水箱的高为x m,得水箱底面的宽为(2-2x)m,长为6−2x 2=(3-x)m.故水箱的容积y=(2-2x)(3-x)x =2x 3-8x 2+6x(0<x<1).(2)由(1)得y'=6x 2-16x+6,令y'=0, 解得x=4+√73(舍去)或x=4−√73, 所以y=2x 3-8x 2+6x(0<x<1)在(0,4−√73)内单调递增,在(4−√73,1)内单调递减,所以当x=4−√73时,水箱的容积最大.能力提升练1.D 由题意知|PQ|=a 2+1-12ln a.设h(x)=x 2+1-12ln x(x>0),则h'(x)=2x-12x=4x 2-12x,令h'(x)=0,得4x 2-1=0,解得x=12(负值舍去).当x 在(0,+∞)上变化时,h'(x)与h(x)的变化情况如下表:x (0,12) 12 (12,+∞) h'(x) - 0 + h(x)↘极小值 ↗因此,当|PQ|最小时a 的值为12,故选D.2.A 由函数f(x)的定义域为[-1,5],知函数y=f(x)不是周期函数,故①错误;由题图知在[0,2]上f'(x)≤0,故f(x)在[0,2]上单调递减,故②正确;依题意可画出函数f(x)的大致图象如图所示:如果当x ∈[-1,t]时, f(x)的最大值是2,那么t 的最大值为5,故③错误;当x=2时,f(2)的值不确定,故1<a<2时,函数y=f(x)-a 的零点个数不确定,故④错误.故选A.3.解析 (1)由题意得, f'(x)=-3x 2+6x+9. 令f'(x)<0,解得x<-1或x>3,所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞). (2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a, 所以f(2)>f(-2). 因为在(-1,3)上f'(x)>0, 所以f(x)在[-1,2]上单调递增. 又f(x)在[-2,-1]上单调递减,所以f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值, 于是有22+a=20,解得a=-2. 故f(x)=-x 3+3x 2+9x-2, 因此f(-1)=1+3-9-2=-7,即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.4.D 函数f(x)=13x 3+x 2-1的导函数为f'(x)=x 2+2x,令f'(x)=0,得x=-2或x=0,故f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,在(-2,0)上单调递减, 则x=0为极小值点,x=-2为极大值点. 由f(x)在区间(m,m+3)上存在最小值, 可得m<0<m+3,解得-3<m<0,此时f(m)=13m 3+m 2-1=13m 2(m+3)-1>-1=f(0),因此实数m 的取值范围是(-3,0),故选D. 5.A 由f(x)=x x 2+a得, f'(x)=a -x 2(x 2+a)2,当a>1时,若x>√a ,则f'(x)<0, f(x)单调递减,若1<x<√a ,则f'(x)>0, f(x)单调递增,故当x=√a 时,函数f(x)有最大值2√a =√33,得a=34<1,不符合题意.当a=1时,函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,最大值为f(1)=12,不符合题意.当0<a<1时,函数f(x)在[1,+∞)上单调递减.此时最大值为f(1)=1a+1=√33,得a=√3-1,符合题意.故a 的值为√3-1.故选A. 6.答案 1解析 ∵函数f(x)=ax 4-4ax 3+b(a>0),x ∈[1,4],∴f'(x)=4ax 3-12ax 2, 令4ax 3-12ax 2=0,解得x=0或x=3, f(1)=b-3a, f(3)=b-27a, f(4)=b,且a>0, ∴b-27a<b-3a<b.∵f(x)的最大值为3,最小值为-6, ∴b=3,b-27a=-6,解得a=13,∴ab=13×3=1.7.解析 (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),当a=1时, f(x)=-2ln x+12x 2+x,则f'(x)=-2x +x+1=x 2+x -2x,∴f'(1)=0.又f(1)=32,∴曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=32. (2)f'(x)=-2a 2x+x+a=x 2+ax -2a 2x=(x -a)(x+2a)x (x>0).若a=0,则f'(x)=x>0, f(x)的单调递增区间为(0,+∞). 若a<0,当x ∈(0,-2a)时, f'(x)<0,当x ∈(-2a,+∞)时, f'(x)>0, ∴f(x)的单调递减区间为(0,-2a),单调递增区间为(-2a,+∞). 若a>0,当x ∈(0,a)时, f'(x)<0,当x ∈(a,+∞)时, f'(x)>0, ∴f(x)的单调递减区间为(0,a),单调递增区间为(a,+∞).(3)由(2)知,当a<0时, f(x)的单调递减区间为(0,-2a),单调递增区间为(-2a,+∞).当-2a ≤1,即-12≤a<0时, f(x)在[1,e]上单调递增,则f(x)min =f(1)=12+a;当1<-2a<e,即-e 2<a<-12时, f(x)在(1,-2a)上单调递减,在(-2a,e)上单调递增,则f(x)min =f(-2a)=-2a 2ln(-2a);当-2a ≥e,即a ≤-e2时, f(x)在[1,e]上单调递减,则f(x)min =f(e)=-2a 2+e22+ae.综上,f(x)min ={ 12+a,-12≤a <0,-2a 2ln(−2a),-e 2<a <−12,-2a 2+e 22+ae,a ≤−e 2. 8.D 原不等式可化为ln x-px+1≤0,令f(x)=ln x-px+1,则f(x)max ≤0.由f'(x)=1x -p 知, f(x)在(0,1p )上单调递增,在(1p ,+∞)上单调递减,故f(x)在x=1p 处取得极大值,也是最大值,故f(x)max =f (1p )=-ln p,则有-ln p ≤0,解得p ≥1.9.A 由题意得, f'(x)=2x x 2+1,易得f(x)在[0,3]上单调递增,所以f(x 1)∈[0,ln10];g'(x)=(12)x·ln 12,易得g(x)在[1,2]上单调递减,所以g(x 2)∈14-m,12-m .因为∀x 1∈[0,3],∃x 2∈[1,2],使得f(x 1)≥g(x 2), 所以只需0≥14-m ⇒m ≥14.故当m ≥14时,满足题意.10.BC ∵当x>0时, f(x)=ln x ∈(-∞,+∞),∴f(x)≥g(x)=-2对一切实数x 不一定都成立,故A 错误.令t(x)=f(x)-g(x),则t(x)=x+sin x-(x-1)=sin x+1≥0恒成立, ∴函数g(x)=x-1是函数f(x)=x+sin x 的一个承托函数,故B 正确. 令h(x)=e x -ax,则h'(x)=e x -a, 若a=0,由题意知,结论成立.若a>0,令h'(x)=0,得x=ln a,∴函数h(x)在(-∞,ln a)上为减函数,在(ln a,+∞)上为增函数,∴当x=ln a 时,函数h(x)取得极小值,也是最小值,为a-aln a,∵g(x)=ax 是函数f(x)=e x 的一个承托函数,∴a-aln a ≥0,∴ln a ≤1,∴0<a ≤e.若a<0,当x →-∞时,h(x)→-∞,故不成立.综上,当0≤a ≤e 时,函数g(x)=ax 是函数f(x)=e x 的一个承托函数,故C 正确.不妨令f(x)=2x,g(x)=2x-1,则f(x)-g(x)=1≥0恒成立,故g(x)=2x-1是f(x)=2x 的一个承托函数,故D 错误.故选BC.11.答案 (2e,+∞)解析 因为对任意x 1∈R 都存在x 2∈(1,e)使f(x 1)<g(x 2)成立, 所以f(x)max <g(x)max ,又f(x)=sin x-1,所以f(x)max =0,即存在x ∈(1,e),使a 2ln x-x>0,此时ln x>0, 所以a>0,因此问题可转化为存在x ∈(1,e),使2a <lnx x 成立,设h(x)=lnx x ,则2a<h(x)max , 对h(x)求导得h'(x)=1−lnxx 2,当x ∈(1,e)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,所以h(x)<h(e)=1e ,即2a <1e ,所以a>2e, 所以实数a 的取值范围是(2e,+∞).解题模板易错警示 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤:12.解析(1)当a=0时,f(x)=e x+1x2,则f'(x)=e x+x,所以f(0)=1,f'(0)=1.2所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x-y+1=0.x2,(2)当a=1时,f(x)=e x-x+12则f'(x)=e x-1+x.因为f'(0)=0,且f'(x)=e x-1+x在(-∞,+∞)上单调递增,所以当x>0时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x<0时,f'(x)<0,f(x)单调递减.所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(-∞,0).(3)由f(x)≥1x2+x+b对任意x∈R恒成立,得e x-(a+1)x-b≥0对任意x∈R恒2成立.设g(x)=e x-(a+1)x-b,则g'(x)=e x-(a+1).令g'(x)=0,得x=ln(a+1)(a>-1).当x变化时,g'(x)与g(x)的变化情况如下表所示:x(-∞,ln(a+1))ln(a+1)(ln(a+1),+∞)g'(x)-0+g(x)↘极小值↗所以g(x)在(-∞,ln(a+1))上单调递减,在(ln(a+1),+∞)上单调递增.所以函数g(x)的最小值为g(ln(a+1))=(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b.由题意,得g(ln(a+1))≥0,即 b-a ≤1-(a+1)ln(a+1).设h(x)=1-xln x(x>0),则h'(x)=-ln x-1.因为当0<x<1e 时,-ln x-1>0;当x>1e 时,-ln x-1<0, 所以h(x)在(0,1e )上单调递增,在1e,+∞上单调递减. 所以当x=1e 时,h(x)max =h (1e )=1+1e. 所以当a+1=1e ,b=a+1-(a+1)ln(a+1),即a=1e -1,b=2e 时,b-a 有最大值,最大值为1+1e . 13.D 当年产量为x 万吨时,总成本为(20 000+100x)元,总利润为f(x)元,∴总利润f(x)={400x -12x 2-20 000-100x,0≤x ≤400,80 000−20 000−100x,x >400,即f(x)={300x -12x 2-20 000,0≤x ≤400,60 000−100x,x >400,所以f'(x)={300−x,0≤x ≤400,-100,x >400,①当0≤x ≤400时,令f'(x)=0,得x=300,由f'(x)<0得300<x ≤400,此时f(x)是减函数,由f'(x)>0得0<x<300,此时f(x)是增函数,∴当0≤x ≤400时,f(x)max =300×300-12×3002-20 000=25 000; ②当x>400时,f(x)是减函数,∴f(x)<60 000-100×400=20 000,∴当x=300时,f(x)有最大值.故选D.14.C 设OO 1为x m,则1<x<4,设底面正六边形的面积为S m 2,帐篷的体积为V m 3.则由题设可得,正六棱锥底面边长为√32-(x -1)2=√8+2x -x 2(m), 于是S=6×√34(√8+2x -x 2)2=3√32(8+2x-x 2), 所以V=13×3√32(8+2x-x 2)(x-1)+3√32×(8+2x-x 2)=√32(8+2x-x 2)[(x-1)+3]=√32(16+12x -x 3)(1<x<4),则V'=√32(12-3x 2).令V'=0,解得x=2或x=-2(舍去).当1<x<2时,V'>0,V 单调递增;当2<x<4时,V'<0,V 单调递减.所以当x=2时,V 最大.故选C.15.答案 25解析 设产品的单价为p 万元,根据已知,可设p 2=k x ,其中k 为比例系数. 因为当x=100时,p=50,所以k=250 000,所以p 2=250 000x ,p=√x ,x>0.设总利润为y 万元,则y=√x ·x-1 200-275x 3=500√x -275x 3-1 200, 则y'=√x -225x 2.令y'=0,得x=25.故当0<x<25时,y'>0;当x>25时,y'<0.因此当x=25时,函数y 取得极大值,也是最大值.16.解析 (1)由题意得,在矩形OCDE 中,∠AOD=θ,∴OC=rcos θ,OE=rsin θ,∴矩形OCDE 的面积为S 矩形OCDE =OC ·OE=r 2sin θcos θ. 又∠BOG=π6,四边形EFGH 是矩形, ∴HG=rsin π6=r 2,OH=rcos π6=√3r 2, ∴HE=OH-OE=r (√32-sinθ), ∴矩形EFGH 的面积为S矩形EFGH =HG ·HE=r 22(√32-sinθ), ∴f(θ)=S 矩形OCDE +S 矩形EFGH=r 2sin θcos θ+r 22(√32-sinθ) =r 2(sinθcosθ-12sinθ+√34),θ∈(0,π3). (2)由(1)可得, f'(θ)=r 2cos 2θ-sin 2θ-12cos θ=r 22·(4cos 2θ-cos θ-2), 令f'(θ)=0,得4cos 2θ-cos θ-2=0,解得cos θ=1+√338或cos θ=1−√338(不合题意,舍去), 令cos θ0=1+√338,则θ0∈(0,π3). 当θ∈(0,θ0)时, f'(θ)>0, f(θ)单调递增;当θ∈(θ0,π3)时, f'(θ)<0, f(θ)单调递减,∴当θ=θ0时, f(θ)取得最大值,即cos θ=1+√338时,可使活动场地与停车场占地总面积最大.。

高中数学知识点总结导数的应用之函数的极值与最值高中数学知识点总结：导数的应用之函数的极值与最值在高中数学中，导数是一个重要的概念和工具，它被广泛应用于各个数学领域。

其中的一个应用就是求解函数的极值与最值。

本文将针对这一知识点进行总结和讨论。

I. 导数和极值函数的极值指的是函数在某个区间上的最大值或最小值。

在求解极值问题时，我们可以利用导数的性质来进行分析和计算。

下面是一些常见的求解函数极值的方法：1. 极值的必要条件若函数f(x)在x=a处取得极值，那么导数f'(a)存在，且f'(a)=0，或者导数不存在（函数在该点有间断点或者不可导）。

2. 极值的充分条件若函数f(x)在x=a点的左右两侧导数符号相反，即f'(a-)和f'(a+)异号，那么f(x)在x=a处取得极值。

- 若f'(a-)>0且f'(a+)<0，那么极值为极大值；- 若f'(a-)<0且f'(a+)>0，那么极值为极小值。

3. 临界点和拐点临界点是指导数为零或不存在的点，对于一元函数来说，临界点多对应于函数的极值点。

拐点是指在函数图像上出现凹凸性突变的点，即曲线的凸度方向改变的点。

II. 求解函数的极值步骤在应用导数求解函数极值时，一般需要按照以下步骤进行：1. 求取函数f(x)的导数f'(x)。

2. 解方程f'(x)=0，求得导数为零的临界点。

3. 利用极值的充分条件，对临界点进行分析判断。

4. 若需要，进一步计算临界点处的函数值和边界点处的函数值进行比较。

5. 得到函数的极值。

III. 求解函数的最值函数的最大值和最小值称为最值，求解最值问题需要考虑函数的定义域和导数的变化情况。

下面是一些常见的求解函数最值的方法：1. 函数在开区间内求最值若函数f(x)在开区间(a, b)内进行求最大值，我们需要进行以下步骤：- 求取函数f(x)的导数f'(x)。